domicile » Notions de base » Méthodes de modélisation mathématique en économie. Méthodes et modèles d'analyse économiques et mathématiques

Méthodes de modélisation mathématique en économie. Méthodes et modèles d'analyse économiques et mathématiques

Envoyez votre bon travail dans la base de connaissances est simple. Utilisez le formulaire ci-dessous

Les étudiants, les étudiants diplômés, les jeunes scientifiques qui utilisent la base de connaissances dans leurs études et leur travail vous seront très reconnaissants.

Publié sur http://www.allbest.ru/

introduction

Simulation dans recherche scientifique a commencé à être utilisé dans les temps anciens et a progressivement capturé de nouvelles zones savoir scientifique: conception technique, construction et architecture, astronomie, physique, chimie, biologie et enfin sciences sociales. Grand succès et reconnaissance dans presque toutes les industries science moderne apporté la méthode de modélisation du XXe siècle. Cependant, la méthodologie de modélisation Longtemps développé indépendamment par des sciences distinctes. Il n'y avait pas de système unifié de concepts, de terminologie unifiée. Ce n'est que progressivement qu'on a commencé à prendre conscience du rôle de la modélisation en tant que méthode universelle de connaissance scientifique.

Le terme « modèle » est largement utilisé dans différentes régions activité humaine et a de nombreuses significations sémantiques. Considérons seulement ces "modèles" qui sont des outils pour acquérir des connaissances.

Un modèle est un tel objet matériel ou imaginé mentalement qui, dans le processus de recherche, remplace l'objet original de sorte que son étude directe donne de nouvelles connaissances sur l'objet original.

La modélisation fait référence au processus de construction, d'apprentissage et d'application de modèles. Il est étroitement lié à des catégories telles que l'abstraction, l'analogie, l'hypothèse, etc. Le processus de modélisation comprend nécessairement la construction d'abstractions et d'inférences par analogie, ainsi que la construction d'hypothèses scientifiques.

caractéristique principale la modélisation est qu'il s'agit d'une méthode de cognition indirecte à l'aide d'objets de substitution. Le modèle agit comme une sorte d'outil cognitif que le chercheur met entre lui et l'objet et à l'aide duquel il étudie l'objet d'intérêt. C'est cette caractéristique de la méthode de modélisation qui détermine les formes spécifiques d'utilisation d'abstractions, d'analogies, d'hypothèses, d'autres catégories et méthodes de cognition.

La nécessité d'utiliser la méthode de modélisation est déterminée par le fait que de nombreux objets (ou problèmes liés à ces objets) peuvent être directement étudiés ou totalement impossibles, ou cette recherche nécessite beaucoup de temps et d'argent.

Le processus de modélisation comprend trois éléments : 1) un sujet (chercheur), 2) un objet de recherche, 3) un modèle qui médiatise la relation entre le sujet connaissant et l'objet connu.

Qu'il y ait ou qu'il soit nécessaire de créer un objet A. Nous construisons (matériellement ou mentalement) ou trouvons dans le monde réel un autre objet B - le modèle de l'objet A. L'étape de construction d'un modèle présuppose la présence d'une certaine connaissance sur le objet d'origine. Les capacités cognitives du modèle sont déterminées par le fait que le modèle reflète toutes les caractéristiques essentielles de l'objet d'origine. La question de la nécessité et d'un degré suffisant de similitude entre l'original et le modèle nécessite une analyse spécifique. Évidemment, le modèle perd son sens à la fois en cas d'identité avec l'original (il cesse alors d'être l'original) et en cas de différence excessive par rapport à l'original à tous égards essentiels.

Ainsi, l'étude de certaines faces de l'objet modélisé se fait au prix d'un refus de refléter les autres faces. Par conséquent, tout modèle ne remplace l'original que dans un sens strictement limité. Il s'ensuit que pour un même objet, plusieurs modèles « spécialisés » peuvent être construits qui se concentrent sur certains aspects de l'objet à l'étude ou caractérisent l'objet avec des degrés de détail variables.

À la deuxième étape du processus de modélisation, le modèle agit comme un objet de recherche indépendant. L'une des formes de telles recherches est la conduite d'expériences "modèles", dans lesquelles les conditions de fonctionnement du modèle sont délibérément modifiées et les données sur son "comportement" sont systématisées. Le résultat final de cette phase est une mine de connaissances sur le modèle R.

À la troisième étape, les connaissances sont transférées du modèle à l'original - la formation d'un ensemble de connaissances S sur l'objet. Ce processus de transfert de connaissances s'effectue selon certaines règles. Les connaissances sur le modèle doivent être ajustées en tenant compte des propriétés de l'objet d'origine qui n'ont pas été reflétées ou ont été modifiées lors de la construction du modèle. On peut avec raison suffisante transférer n'importe quel résultat du modèle à l'original, si ce résultat est nécessairement associé à des signes de similitude entre l'original et le modèle. Si un certain résultat d'une étude de modèle est associé à une différence entre le modèle et l'original, alors ce résultat ne peut pas être transféré.

La quatrième étape est la vérification pratique des connaissances obtenues à l'aide de modèles et leur utilisation pour construire une théorie généralisante d'un objet, de sa transformation ou de son contrôle.

Pour comprendre l'essence de la modélisation, il est important de ne pas perdre de vue que la modélisation n'est pas la seule source de connaissance sur un objet. Le processus de modélisation est « immergé » dans plus processus général connaissance. Cette circonstance est prise en compte non seulement au stade de la construction d'un modèle, mais aussi au stade final, lors de l'unification et de la généralisation des résultats de recherche obtenus sur la base de divers moyens de cognition.

La modélisation - processus cyclique... Cela signifie que le premier cycle en quatre étapes peut être suivi d'un deuxième, d'un troisième, etc. Dans le même temps, les connaissances sur l'objet à l'étude sont élargies et affinées, et le modèle original est progressivement amélioré. Les inconvénients découverts après le premier cycle de modélisation, causés par une faible connaissance de l'objet et des erreurs dans la construction du modèle, peuvent être corrigés dans les cycles suivants. Ainsi, la méthodologie de modélisation contient de grandes opportunités d'auto-développement.

1. Caractéristiques de l'application de la méthode mathématiquemodélisation en économie

La pénétration des mathématiques dans l'économie est associée au dépassement de difficultés importantes. C'était en partie la faute des mathématiques, qui se sont développées au cours de plusieurs siècles principalement en lien avec les besoins de la physique et de la technologie. Mais les principales raisons résident encore dans la nature des processus économiques, dans les spécificités de la science économique.

La plupart des objets étudiés par l'économie peuvent être caractérisés par le concept cybernétique de système complexe.

La compréhension la plus courante du système comme un ensemble d'éléments qui interagissent et forment une sorte d'intégrité, d'unité. Une qualité importante de tout système est l'émergence - la présence de telles propriétés qui ne sont inhérentes à aucun des éléments inclus dans le système. Par conséquent, lors de l'étude des systèmes, il ne suffit pas d'utiliser la méthode consistant à les diviser en éléments avec l'étude ultérieure de ces éléments séparément. L'une des difficultés de la recherche économique est qu'il n'y a presque pas d'objets économiques qui pourraient être considérés comme des éléments séparés (non systémiques).

La complexité d'un système est déterminée par le nombre d'éléments qu'il contient, les connexions entre ces éléments, ainsi que la relation entre le système et l'environnement. L'économie du pays présente toutes les caractéristiques d'un système très complexe. Il réunit un grand nombre d'éléments, se distingue par une variété de connexions internes et de connexions avec d'autres systèmes (environnement naturel, économies d'autres pays, etc.). V économie nationale processus naturels, technologiques, sociaux, facteurs objectifs et subjectifs interagissent.

La complexité de l'économie a parfois été perçue comme une justification de l'impossibilité de la modéliser, de l'étudier au moyen des mathématiques. Mais ce point de vue est, en principe, incorrect. Vous pouvez modéliser un objet de toute nature et de toute complexité. Et ce sont précisément les objets complexes qui présentent le plus grand intérêt pour la modélisation ; c'est là que la modélisation peut donner des résultats qui ne peuvent être obtenus par d'autres méthodes de recherche.

Le potentiel de modélisation mathématique de tout objet et processus économique ne signifie pas, bien sûr, sa faisabilité réussie à un niveau donné de connaissances économiques et mathématiques, d'informations spécifiques disponibles et de technologie informatique. Et bien qu'il soit impossible d'indiquer les limites absolues de la formalisation mathématique des problèmes économiques, il y aura toujours des problèmes non formalisés, ainsi que des situations où la modélisation mathématique n'est pas assez efficace.

2. Classement emodèles économiques et mathématiques

Les modèles mathématiques de processus et de phénomènes économiques peuvent être plus brièvement appelés modèles économiques et mathématiques. Différents motifs sont utilisés pour classer ces modèles.

Selon leur destination, les modèles économiques et mathématiques sont divisés en modèles théoriques et analytiques, utilisés dans l'étude des propriétés générales et des lois des processus économiques, et appliqués, utilisés pour résoudre des problèmes économiques spécifiques (modèles analyse économique, prévision, gestion).

Des modèles économiques et mathématiques peuvent être conçus pour étudier divers aspects de l'économie nationale (en particulier, sa production et ses structures technologiques, sociales, territoriales) et ses différentes parties. Lors de la classification des modèles en fonction des processus économiques étudiés et des problèmes de fond, il est possible de distinguer des modèles de l'économie nationale dans son ensemble et de ses sous-systèmes - industries, régions, etc., complexes de modèles de production, de consommation, de formation et de distribution de le revenu, ressources en main-d'œuvre, les prix, les liens financiers, etc.

Arrêtons-nous plus en détail sur les caractéristiques de ces classes de modèles économiques et mathématiques, qui sont associées aux plus grandes caractéristiques de la méthodologie et de la technique de modélisation.

Conformément à la classification générale des modèles mathématiques, ils sont divisés en fonctionnels et structurels, et comprennent également des formes intermédiaires (structurelles et fonctionnelles). Dans les études au niveau économique national, les modèles structurels sont plus souvent utilisés, car les interconnexions des sous-systèmes sont d'une grande importance pour la planification et la gestion. Les modèles structurels typiques sont les modèles de liens intersectoriels. Les modèles fonctionnels sont largement utilisés dans la régulation économique, lorsque le comportement d'un objet (« sortie ») est influencé par la modification de « l'entrée ». Un exemple est le modèle de comportement du consommateur en termes de relations marchandise-argent. Un même objet peut être décrit simultanément par une structure et un modèle fonctionnel. Ainsi, par exemple, pour planifier un système sectoriel séparé est utilisé modèle structurel, et au niveau économique national, chaque industrie peut être représentée par un modèle fonctionnel.

Les différences entre les modèles descriptifs et normatifs ont déjà été montrées ci-dessus. Les modèles descriptifs répondent à la question : comment cela se passe-t-il ? ou comment cela peut-il probablement se développer davantage ? ils ne font qu'expliquer les faits observés ou donner une prévision probable. Les modèles normatifs répondent à la question : comment cela devrait-il être ? impliquent une activité intentionnelle. Exemple type les modèles normatifs sont des modèles de planification optimale, formalisant d'une manière ou d'une autre les objectifs de développement économique, les opportunités et les moyens de les atteindre.

L'utilisation de l'approche descriptive dans la modélisation de l'économie s'explique par la nécessité d'identifier empiriquement diverses dépendances dans l'économie, d'établir des modèles statistiques de comportement économique groupes sociaux, en étudiant les voies probables de développement de tout processus dans des conditions immuables ou se produisant sans influences extérieures. Des exemples de modèles descriptifs sont les fonctions de production et les fonctions de demande client construites sur la base d'un traitement statistique des données.

Qu'un modèle économico-mathématique soit descriptif ou normatif ne dépend pas seulement de sa structure mathématique, mais de la nature de l'utilisation de ce modèle. Par exemple, le modèle entrées-sorties est descriptif s'il est utilisé pour analyser les proportions du passé. Mais le même modèle mathématique devient normatif lorsqu'il est utilisé pour calculer des options équilibrées pour le développement de l'économie nationale qui satisfont les besoins finaux de la société aux coûts de production planifiés.

De nombreux modèles économiques et mathématiques combinent les caractéristiques des modèles descriptifs et normatifs. Une situation typique est lorsque le modèle normatif structure complexe combine des blocs individuels qui sont des modèles descriptifs privés. Par exemple, un modèle intersectoriel peut inclure des fonctions de demande des consommateurs qui décrivent le comportement des consommateurs lorsque le revenu change. Exemples similaires caractériser la tendance d'une combinaison efficace d'approches descriptives et normatives pour modéliser les processus économiques. L'approche descriptive est largement utilisée dans la modélisation par simulation.

De par la nature du reflet des relations causales, il existe des modèles rigidement déterministes et des modèles qui prennent en compte l'aléatoire et l'incertitude. Il faut distinguer entre l'incertitude décrite par les lois probabilistes et l'incertitude, pour laquelle les lois de la théorie des probabilités sont inapplicables. Le deuxième type d'incertitude est beaucoup plus difficile à modéliser.

Selon les manières de refléter le facteur temps, les modèles économiques et mathématiques sont divisés en statique et dynamique. Dans les modèles statiques, toutes les dépendances se réfèrent à un moment ou à une période de temps. Les modèles dynamiques caractérisent les changements dans les processus économiques au fil du temps. Selon la durée de la période considérée, les modèles de prévision et de planification à court terme (jusqu'à un an), à moyen terme (jusqu'à 5 ans), à long terme (10-15 ans ou plus) diffèrent. Le temps lui-même dans les modèles économiques et mathématiques peut changer de façon continue ou discrète.

Les modèles de processus économiques sont extrêmement divers sous la forme de dépendances mathématiques. Il est particulièrement important de distinguer la classe de modèles linéaires les plus pratiques pour l'analyse et les calculs et qui se sont ainsi généralisés. Les différences entre les modèles linéaires et non linéaires sont significatives non seulement d'un point de vue mathématique, mais aussi d'un point de vue théorique et économique, car de nombreuses dépendances dans l'économie sont fondamentalement non linéaires : l'efficacité d'utilisation des ressources avec une augmentation de la production, un changement de la demande et de la consommation de la population avec une augmentation de la production, un changement de la demande et de la consommation de la population avec une augmentation des revenus, etc. La théorie de « l'économie linéaire » diffère sensiblement de la théorie de « l'économie non linéaire ». Les conclusions sur la possibilité de combiner la planification centralisée et l'indépendance économique des sous-systèmes économiques dépendent de manière significative du fait que les ensembles de capacités de production des sous-systèmes (industries, entreprises) sont supposés être convexes ou non convexes.

Selon le rapport des variables exogènes et endogènes incluses dans le modèle, elles peuvent être divisées en ouvertes et fermées. Il n'y a pas de modèles complètement ouverts ; le modèle doit contenir au moins une variable endogène. Modèles économiques et mathématiques entièrement fermés, c'est-à-dire hors variables exogènes sont extrêmement rares ; leur construction nécessite une abstraction complète de "l'environnement", c'est-à-dire grossissement sérieux du réel systèmes économiques avoir toujours relations extérieures... L'écrasante majorité des modèles économiques et mathématiques occupent une position intermédiaire et diffèrent par le degré d'ouverture (proximité).

Pour les modèles du niveau économique national, il est important de les diviser en modèles agrégés et détaillés.

Selon que les modèles économiques nationaux intègrent ou non des facteurs et conditions spatiaux, on distingue les modèles spatiaux et ponctuels.

Ainsi, classification générale les modèles économiques et mathématiques comportent plus de dix caractéristiques principales. Avec le développement de la recherche économique et mathématique, le problème de la classification des modèles appliqués se complique. Parallèlement à l'émergence de nouveaux types de modèles (notamment types mixtes) et de nouveaux signes de leur classification, le processus d'intégration des modèles est effectué différents types dans des conceptions de modèles plus complexes.

3 . Étapes des économiesmodélisation o-mathématique

Les principales étapes du processus de modélisation ont déjà été discutées ci-dessus. Dans diverses branches du savoir, y compris dans l'économie, ils acquièrent leurs propres spécificités. Analysons l'enchaînement et le contenu des étapes d'un cycle de modélisation économique et mathématique.

1. Énoncé du problème économique et son analyse qualitative. L'essentiel ici est de formuler clairement l'essence du problème, les hypothèses formulées et les questions auxquelles il faut répondre. Cette étape comprend la sélection des caractéristiques et propriétés les plus importantes de l'objet modélisé et l'abstraction des secondaires ; étudier la structure de l'objet et les principales dépendances reliant ses éléments ; formulation d'hypothèses (au moins préliminaires), expliquant le comportement et le développement de l'objet.

2. Bâtiment modèle mathématique... C'est l'étape de formalisation d'un problème économique, en l'exprimant sous forme de dépendances et de relations mathématiques spécifiques (fonctions, équations, inégalités, etc.). Habituellement, la construction de base (type) du modèle mathématique est d'abord déterminée, puis les détails de cette construction sont spécifiés (une liste spécifique de variables et de paramètres, la forme de liens). Ainsi, la construction du modèle se subdivise en plusieurs étapes.

Il est faux de croire que plus le modèle prend en compte de faits, mieux il "fonctionne" et donne meilleurs scores... Il en va de même des caractéristiques de la complexité du modèle comme les formes de dépendances mathématiques utilisées (linéaires et non linéaires), la prise en compte des facteurs de hasard et d'incertitude, etc. La complexité et la lourdeur excessives du modèle compliquent le processus de recherche. Il faut non seulement prendre en compte les possibilités réelles d'information et de support mathématique, mais aussi comparer les coûts de modélisation avec l'effet obtenu (avec une augmentation de la complexité du modèle, l'augmentation des coûts peut dépasser l'augmentation des l'effet).

L'une des caractéristiques importantes des modèles mathématiques est le potentiel de leur utilisation pour résoudre des problèmes de qualité différente. Par conséquent, même face à un nouveau défi économique, il n'est pas nécessaire de chercher à « inventer » un modèle ; dans un premier temps, il faut essayer d'appliquer des modèles déjà connus pour résoudre ce problème.

Dans le processus de construction d'un modèle, les deux systèmes de connaissances scientifiques sont comparés - économique et mathématique. Il est naturel de s'efforcer d'obtenir un modèle appartenant à une classe bien étudiée de problèmes mathématiques. Cela peut souvent être fait en simplifiant quelque peu les hypothèses initiales du modèle sans déformer les caractéristiques essentielles de l'objet modélisé. Cependant, une telle situation est également possible lorsque la formalisation d'un problème économique conduit à une structure mathématique jusque-là inconnue. Les besoins de la science et de la pratique économiques au milieu du XXe siècle. contribué au développement de la programmation mathématique, de la théorie des jeux, de l'analyse fonctionnelle, des mathématiques computationnelles. Il est probable qu'à l'avenir le développement de l'économie deviendra un stimulant important pour la création de nouvelles branches des mathématiques.

3. Analyse mathématique du modèle. Le but de cette étape est de clarifier les propriétés générales du modèle. Des méthodes de recherche purement mathématiques sont utilisées ici. Le point le plus important est la preuve de l'existence de solutions dans le modèle formulé (théorème d'existence). S'il est possible de prouver que le problème mathématique n'a pas de solution, alors il n'est pas nécessaire de poursuivre les travaux sur la version originale du modèle ; il faut corriger soit la formulation du problème économique, soit les modalités de sa formalisation mathématique. Dans une étude analytique du modèle, des questions telles que, par exemple, la seule solution sont clarifiées, quelles variables (inconnues) peuvent être incluses dans la solution, quelles seront les relations entre elles, dans quelles limites et selon quelles conditions initiales ils changent, quelles sont les tendances de leur changement, et etc. L'étude analytique du modèle par rapport à l'empirique (numérique) a l'avantage que les conclusions obtenues restent valables pour diverses valeurs spécifiques des paramètres externes et internes du modèle.

La connaissance des propriétés générales d'un modèle est si importante, souvent pour prouver de telles propriétés, que les chercheurs optent délibérément pour l'idéalisation du modèle original. Or, les modèles d'objets économiques complexes sont difficiles à analyser analytiquement. Dans les cas où les méthodes analytiques ne parviennent pas à découvrir les propriétés générales du modèle et que les simplifications du modèle conduisent à des résultats inacceptables, elles se tournent vers des méthodes de recherche numériques.

4. Préparation des informations de base. La modélisation impose des exigences fortes au système d'information. En même temps, les possibilités réelles d'obtenir des informations limitent le choix des modèles destinés à utilisation pratique... Cela prend en compte non seulement la possibilité fondamentale de préparer l'information (dans un certain délai), mais aussi les coûts de préparation des tableaux d'information correspondants. Ces coûts ne devraient pas dépasser l'effet de l'utilisation d'informations supplémentaires.

Dans le processus de préparation de l'information, les méthodes de la théorie des probabilités, des statistiques théoriques et mathématiques sont largement utilisées. Dans la modélisation économique et mathématique systémique, l'information initiale utilisée dans certains modèles est le résultat du fonctionnement d'autres modèles.

5. Solution numérique. Cette étape comprend le développement d'algorithmes pour la résolution numérique du problème, la compilation de programmes informatiques et le calcul direct. Les difficultés de cette étape sont principalement dues à la grande dimension des problèmes économiques, à la nécessité de traiter des quantités importantes d'informations.

Habituellement, les calculs basés sur le modèle économique et mathématique sont multivariés. En raison de la vitesse élevée des ordinateurs modernes, il est possible d'effectuer de nombreuses expériences de "modèle", en étudiant le "comportement" du modèle sous divers changements dans certaines conditions. Les recherches effectuées par des méthodes numériques peuvent compléter de manière significative les résultats de la recherche analytique, et pour de nombreux modèles, c'est la seule réalisable. La classe des problèmes économiques qui peuvent être résolus par des méthodes numériques est beaucoup plus large que la classe des problèmes disponibles pour la recherche analytique.

6. Analyse des résultats numériques et leur application. A cette étape finale du cycle, se pose la question de l'exactitude et de l'exhaustivité des résultats de la simulation, du degré d'applicabilité pratique de ces derniers.

Les méthodes de vérification mathématique peuvent révéler des constructions de modèles incorrectes et ainsi réduire la classe de modèles potentiellement corrects. Une analyse informelle des conclusions théoriques et des résultats numériques obtenus au moyen du modèle, les confrontant aux connaissances disponibles et aux faits de la réalité permet également de révéler les lacunes de la formulation du problème économique, le modèle mathématique construit, ses informations et support mathématique.

Interrelations des étapes. Faisons attention aux retours d'expérience des étapes qui surviennent du fait que dans le processus de recherche, les lacunes des étapes précédentes de la modélisation sont révélées.

Déjà au stade de la construction d'un modèle, il peut devenir évident que la formulation du problème est contradictoire ou conduit à un modèle mathématique trop complexe. Conformément à cela, la formulation originale du problème est corrigée. De plus, l'analyse mathématique du modèle (étape 3) peut montrer qu'une petite modification de l'énoncé du problème ou de sa formalisation donne un résultat analytique intéressant.

Le plus souvent, la nécessité de revenir aux étapes précédentes de la modélisation apparaît lors de la préparation des informations initiales (étape 4). Vous constaterez peut-être que les informations nécessaires manquent ou que le coût de leur préparation est trop élevé. Il faut ensuite revenir à la formulation du problème et à sa formalisation, en les modifiant pour s'adapter aux informations disponibles.

Étant donné que les problèmes économiques et mathématiques peuvent être complexes dans leur structure, avoir une grande dimension, il arrive souvent que les algorithmes et programmes informatiques connus ne permettent pas de résoudre le problème en forme originale... S'il est impossible de développer de nouveaux algorithmes et programmes en peu de temps, la formulation originale du problème et le modèle sont simplifiés : les conditions sont supprimées et combinées, le nombre de facteurs est réduit, les relations non linéaires sont remplacées par des linéaires, le déterminisme du modèle est renforcé, etc.

Les inconvénients qui ne peuvent être corrigés aux étapes intermédiaires de la modélisation sont éliminés dans les cycles suivants. Mais les résultats de chaque cycle ont aussi une signification totalement indépendante. En commençant votre recherche par la construction d'un modèle simple, vous pouvez rapidement obtenir des résultats utiles, puis passer à la création d'un modèle plus avancé, complété par de nouvelles conditions, notamment des relations mathématiques affinées.

À mesure que la modélisation économique et mathématique se développe et devient plus complexe, ses différentes étapes sont isolées dans des domaines de recherche spécialisés, les différences entre les modèles théoriques et analytiques et appliqués augmentent, et les modèles sont différenciés selon les niveaux d'abstraction et d'idéalisation.

La théorie de l'analyse mathématique des modèles économiques est devenue une branche spéciale des mathématiques modernes - l'économie mathématique. Les modèles étudiés dans le cadre de l'économie mathématique perdent leur lien direct avec la réalité économique ; ils traitent d'objets et de situations économiques extrêmement idéalisés. Lors de la construction de tels modèles, le principe de base n'est pas tant une approximation de la réalité, mais plutôt l'obtention du plus grand nombre possible de résultats analytiques grâce à des preuves mathématiques. La valeur de ces modèles pour théorie économique et la pratique est qu'ils servent de base théorique aux modèles de type appliqué.

La préparation et le traitement de l'information économique et le développement de supports mathématiques pour les problèmes économiques (création de bases de données et de banques d'informations, programmes de construction automatisée de modèles et services logiciels pour les économistes-utilisateurs) deviennent des domaines de recherche assez indépendants. Au stade de l'utilisation pratique des modèles, le rôle principal devrait être joué par des spécialistes dans le domaine pertinent de l'analyse, de la planification et de la gestion économiques. Le principal domaine de travail des économistes-mathématiques reste la formulation et la formalisation de problèmes économiques et la synthèse du processus de modélisation économique et mathématique.

modélisation mathématique économique

Liste de la littérature utilisée

1.Fedoseev, Méthodes économiques

2. IL Akulich, Programmation mathématique en exemples et problèmes, Moscou, « lycée", 1986;

3. SA Abramov, Constructions mathématiques et programmation, Moscou, "Nauka", 1978;

4. J. Littlewood, Mélange mathématique, Moscou, "Nauka", 1978;

5. Nouvelles de l'Académie des sciences. Théorie et systèmes de contrôle, 1999, n° 5, pp. 127-134.

7.http: //exsolver.narod.ru/Books/Mathematic/GameTheory/c8.html

Publié sur Allbest.ru

Documents similaires

Découverte et développement historique des méthodes de modélisation mathématique, leur utilisation pratique dans l'économie moderne. L'utilisation de la modélisation économique et mathématique à tous les niveaux de gestion comme la technologie de l'information est introduite.

essai, ajouté le 06/10/2009

Concepts de base et types de modèles, leur classification et le but de leur création. Caractéristiques des méthodes économiques et mathématiques appliquées. caractéristiques générales les principales étapes de la modélisation économique et mathématique. Application des modèles stochastiques en économie.

résumé ajouté le 16/05/2012

Le concept et les types de modèles. Étapes de la construction d'un modèle mathématique. Fondamentaux de la modélisation mathématique de la relation des variables économiques. Détermination des paramètres d'une équation de régression linéaire unidirectionnelle. Méthodes d'optimisation des mathématiques en économie.

résumé, ajouté le 02/11/2011

Application de méthodes d'optimisation pour résoudre des problèmes spécifiques de production, d'économie et de gestion à l'aide de modélisations économiques et mathématiques quantitatives. Solution du modèle mathématique de l'objet étudié au moyen d'Excel.

dissertation, ajouté le 29/07/2013

L'histoire du développement des méthodes économiques et mathématiques. La statistique mathématique est une branche des mathématiques appliquées basée sur un échantillon des phénomènes étudiés. Analyse des étapes de modélisation économique et mathématique. Description informationnelle verbale de la modélisation.

cours magistral, ajouté le 01/12/2009

Application de méthodes mathématiques à la résolution de problèmes économiques. Concept fonction de production, isoquants, interchangeabilité des ressources. Définition de produits peu élastiques, moyennement élastiques et très élastiques. Principes de gestion optimale des stocks.

essai, ajouté le 13/03/2010

Classification des modèles économiques et mathématiques. L'utilisation de l'algorithme d'approximations successives dans la formulation de problèmes économiques dans le complexe agro-industriel. Méthodes de modélisation du programme de développement d'une entreprise agricole. Justification du programme de développement.

dissertation ajoutée le 01/05/2011

La division de la modélisation en deux classes principales - matérielle et idéale. Il existe deux niveaux principaux de processus économiques dans tous les systèmes économiques. Modèles mathématiques idéaux en économie, application de méthodes d'optimisation et de simulation.

résumé, ajouté le 11/06/2010

Concepts de base des modèles mathématiques et leur application en économie. Caractéristiques générales des éléments de l'économie comme objet de modélisation. Le marché et ses types. Modèle dynamique de Leontief et Keynes. Modèle Solow à temps discret et continu.

dissertation ajoutée le 30/04/2012

Détermination du stade de développement de la modélisation économique et mathématique et justification de la méthode d'obtention du résultat de la modélisation. Théorie des jeux et prise de décision sous incertitude. Analyse d'une stratégie commerciale dans un environnement incertain.

UIP Fédération Russe

Oural Université d'État Moyens de communication

Institut des voies de communication de Tcheliabinsk

TRAVAIL DE COURS

sur le cours : "Modélisation économique et mathématique"

Sujet : "Modèles mathématiques en économie"

Complété:

Chiffrer:

Adresse:

Vérifié:

Tcheliabinsk 200_g.

introduction

Compilation d'un modèle mathématique

Création et enregistrement de rapports

Analyse de la solution trouvée. Réponses aux questions

Partie numéro 2 "Calcul du modèle économique et mathématique du bilan entrées-sorties

Résoudre le problème sur un ordinateur

Équilibre intersectoriel de la production et de la distribution des produits

Littérature

introduction

La modélisation dans la recherche scientifique a commencé à être utilisée dans l'Antiquité et a progressivement capturé de nouveaux domaines de connaissances scientifiques : conception technique, construction et architecture, astronomie, physique, chimie, biologie et, enfin, sciences sociales. La méthode de modélisation du 20e siècle a apporté un grand succès et une reconnaissance dans presque toutes les branches de la science moderne. Cependant, la méthodologie de modélisation a longtemps été développée indépendamment par des sciences distinctes. Il n'y avait pas de système unifié de concepts, de terminologie unifiée. Ce n'est que progressivement qu'on a commencé à prendre conscience du rôle de la modélisation en tant que méthode universelle de connaissance scientifique.

Le terme « modèle » est largement utilisé dans diverses sphères de l'activité humaine et a de nombreuses significations sémantiques. Considérons seulement ces "modèles" qui sont des outils pour acquérir des connaissances.

La principale caractéristique de la modélisation est qu'il s'agit d'une méthode de cognition indirecte utilisant des objets de substitution. Le modèle agit comme une sorte d'outil cognitif que le chercheur met entre lui et l'objet et à l'aide duquel il étudie l'objet d'intérêt. C'est cette caractéristique de la méthode de modélisation qui détermine les formes spécifiques d'utilisation d'abstractions, d'analogies, d'hypothèses, d'autres catégories et méthodes de cognition.

La modélisation est un processus cyclique. Cela signifie que le premier cycle en quatre étapes peut être suivi d'un deuxième, d'un troisième, etc. Dans le même temps, les connaissances sur l'objet à l'étude sont élargies et affinées, et le modèle original est progressivement amélioré. Les inconvénients découverts après le premier cycle de modélisation, causés par une faible connaissance de l'objet et des erreurs dans la construction du modèle, peuvent être corrigés dans les cycles suivants. Ainsi, la méthodologie de modélisation contient de grandes opportunités d'auto-développement.

Le but de la modélisation mathématique des systèmes économiques est d'utiliser les méthodes mathématiques pour la solution la plus efficace des problèmes survenant dans le domaine de l'économie, en utilisant, en règle générale, la technologie informatique moderne.

Le processus de résolution des problèmes économiques se déroule en plusieurs étapes:

Énoncé de problème (économique) substantiel. Tout d'abord, vous devez comprendre la tâche, la formuler clairement. Dans le même temps, sont également déterminés des objets liés au problème à résoudre, ainsi qu'à la situation qui doit être mise en œuvre à la suite de sa solution. C'est l'étape de la formulation significative du problème. Pour que le problème soit décrit quantitativement et utilisé dans sa solution technologie informatique, vous devez faire une analyse qualitative et quantitative des objets et des situations qui s'y rapportent. Dans ce cas, les objets complexes sont divisés en parties (éléments), les connexions de ces éléments, leurs propriétés, les valeurs quantitatives et qualitatives des propriétés, les relations quantitatives et logiques entre elles, exprimées sous forme d'équations, d'inégalités, etc. sont déterminés. C'est l'étape de l'analyse systémique du problème, à la suite de laquelle l'objet est présenté sous la forme d'un système.

L'étape suivante est la formulation mathématique du problème, au cours de laquelle la construction d'un modèle mathématique de l'objet est réalisée et la détermination de méthodes (algorithmes) pour obtenir une solution au problème. C'est l'étape de synthèse systémique (formulation mathématique) du problème. Il convient de noter qu'à ce stade, il peut s'avérer que l'analyse du système précédemment effectuée a conduit à un tel ensemble d'éléments, de propriétés et de relations pour lesquels il n'existe aucune méthode acceptable pour résoudre le problème ; en conséquence, il est nécessaire de revenir à l'étape de l'analyse du système. En règle générale, les problèmes résolus dans la pratique économique sont standardisés, l'analyse du système est effectuée sur la base d'un modèle mathématique connu et d'un algorithme pour sa solution, le problème réside uniquement dans le choix d'une méthode appropriée.

L'étape suivante consiste à développer un programme pour résoudre le problème sur un ordinateur. Pour les objets complexes constitués d'un grand nombre d'éléments avec un grand nombre de propriétés, il peut être nécessaire de compiler une base de données et des outils pour travailler avec elle, des méthodes d'extraction de données nécessaires aux calculs. Pour les tâches standard, ce n'est pas le développement qui est effectué, mais la sélection d'un package d'application et d'un système de gestion de base de données appropriés.

Au stade final, le modèle est exploité et les résultats sont obtenus.

Ainsi, la solution au problème comprend les étapes suivantes :

2. L'analyse du système.

3. Synthèse du système (formulation mathématique du problème)

4. Développement ou sélection de logiciels.

5. Résolution du problème.

L'utilisation cohérente des méthodes de recherche opérationnelle et leur mise en œuvre sur les technologies modernes de l'information et de l'informatique nous permet de surmonter la subjectivité, d'exclure les décisions dites volontaires basées non pas sur une considération stricte et précise de circonstances objectives, mais sur des émotions aléatoires et l'intérêt personnel des gestionnaires de divers niveaux, qui, d'ailleurs, ne sont pas d'accord sur ces décisions volontaristes.

L'analyse du système permet de prendre en compte et d'utiliser en gestion toutes les informations disponibles sur l'objet contrôlé, de coordonner les décisions prises du point de vue d'un critère objectif et non subjectif d'efficacité. Économiser sur les calculs lors du contrôle équivaut à économiser sur la visée lors de la prise de vue. Or, un ordinateur permet non seulement de prendre en compte toutes les informations, mais aussi de décharger le gestionnaire des informations inutiles, et laisse tout le nécessaire contourner la personne, ne lui présentant que les informations les plus générales, la quintessence. Approche systémique en économie, elle est efficace en elle-même, sans utiliser l'ordinateur, comme méthode de recherche, alors qu'elle ne modifie pas les lois économiques précédemment découvertes, mais enseigne seulement comment mieux les utiliser.

La complexité des processus économiques exige qu'un décideur soit hautement qualifié et expérimenté. Ceci, cependant, ne garantit pas des erreurs, de donner une réponse rapide à la question posée, de conduire Recherche expérimentale, impossible ou nécessitant des coûts et du temps importants sur un objet réel, permet une modélisation mathématique.

La modélisation mathématique permet de prendre l'optimal, c'est-à-dire meilleure solution... Elle peut légèrement différer d'une décision bien prise sans recours à la modélisation mathématique (environ 3 %). Cependant, avec de gros volumes de production, une erreur aussi "mineure" peut entraîner des pertes énormes.

Méthodes mathématiques utilisées pour l'analyse et l'adoption de modèles mathématiques solution optimale, sont très complexes et leur mise en œuvre sans l'utilisation d'un ordinateur est difficile. Dans le cadre de programmes Exceller et Mathcad il existe des outils qui vous permettent d'effectuer une analyse mathématique et de trouver la solution optimale.

Numéro de pièce 1 "Recherche d'un modèle mathématique"

Formulation du problème.

L'entreprise a la capacité de produire 4 types de produits. Pour la libération d'une unité de production de chaque type, il est nécessaire de dépenser une certaine quantité de main-d'œuvre, de ressources financières et de matières premières. Il y a une quantité limitée de chaque ressource disponible. La vente d'une unité de production est rentable. Les valeurs des paramètres sont données dans le tableau 1. Condition supplémentaire: dépenses financières pour la production des produits n ° 2 et n ° 4 ne doit pas dépasser 50 roubles. (de chaque type).

Basé sur une modélisation mathématique au moyen Exceller déterminer quels produits et en quelles quantités il est conseillé de produire du point de vue d'obtenir le plus grand profit, analyser les résultats, répondre aux questions, tirer des conclusions.

Un modèle est avant tout une représentation simplifiée d'un objet ou d'un phénomène réel, en préservant ses principales caractéristiques essentielles. Le processus de développement du modèle lui-même, c'est-à-dire simulation, peut être fait différentes façons, dont la plus courante est la modélisation physique et mathématique. Cependant, différents modèles peuvent être obtenus par chacune de ces méthodes, car leur implémentation spécifique dépend des caractéristiques d'un objet réel considérées par le créateur du modèle comme étant les principales. Par conséquent, dans la pratique de l'ingénierie et dans la recherche scientifique, différents modèles d'un même objet peuvent être utilisés, car leur diversité permet une étude plus approfondie des aspects les plus divers d'un objet ou d'un phénomène réel.

Dans la pratique de l'ingénierie et les sciences naturelles, les modèles physiques sont répandus, qui diffèrent généralement de l'objet à l'étude par des dimensions plus petites et sont utilisés pour mener des expériences dont les résultats sont utilisés pour étudier l'objet d'origine et tirer des conclusions. sur le choix de l'une ou l'autre option pour son développement ou sa conception lorsqu'il s'agit d'un projet d'ouvrage d'art. La voie de la modélisation physique s'avère improductive pour l'analyse des objets et des phénomènes économiques. En raison de ce la principale méthode de modélisation en économie est la méthode de modélisation mathématique , c'est à dire. description des principales caractéristiques d'un processus réel à l'aide d'un système de formules mathématiques.

Comment procédons-nous lors de la création d'un modèle mathématique ? Quels sont les modèles mathématiques ? Quelles caractéristiques apparaissent lors de la modélisation des phénomènes économiques ? Essayons de clarifier ces problèmes.

Lors de la création d'un modèle mathématique, on part d'un problème réel. Tout d'abord, la situation est clarifiée, les caractéristiques importantes et secondaires, les paramètres, les propriétés, les qualités, les connexions, etc. sont identifiés. Ensuite, l'un des modèles mathématiques existants est sélectionné ou un nouveau modèle mathématique est créé pour décrire l'objet à l'étude.

Les désignations sont introduites. Les contraintes auxquelles les variables doivent satisfaire sont enregistrées. La cible est déterminée - la fonction cible est sélectionnée (si possible). Le choix de la fonction objectif n'est pas toujours univoque. Des situations sont possibles quand on veut ceci, cela, et bien plus encore... Mais des objectifs différents conduisent à des solutions différentes. Dans ce cas, le problème appartient à la classe des problèmes multicritères.

L'économie est l'un des domaines d'activité les plus difficiles. Les objets économiques peuvent être décrits par des centaines, des milliers de paramètres, dont beaucoup sont aléatoires. De plus, il y a un facteur humain dans l'économie.

Prédire le comportement humain peut être difficile, parfois impossible.

La complexité d'un système de toute nature (technique, biologique, social, économique) est déterminée par le nombre d'éléments qui le composent, les connexions entre

ces éléments, ainsi que la relation entre le système et l'environnement. L'économie a toutes les caractéristiques d'un système très complexe. Il réunit un grand nombre d'éléments, se distingue par une variété de connexions internes et de connexions avec d'autres systèmes (environnement naturel, activités économiques d'autres sujets, relations sociales etc.). Dans l'économie nationale, les processus naturels, technologiques, sociaux, les facteurs objectifs et subjectifs interagissent. L'économie dépend de la structure sociale de la société, de la politique et de nombreux facteurs.

La complexité des relations économiques a souvent justifié l'impossibilité de modéliser l'économie en l'étudiant au moyen des mathématiques. Néanmoins, la modélisation de phénomènes économiques, d'objets, de processus est possible. Vous pouvez modéliser un objet de toute nature et de toute complexité. Pour modéliser l'économie, on n'utilise pas un modèle unique, mais un système de modèles. Ce système comporte des modèles qui décrivent différents aspects de l'économie. Il existe des modèles de l'économie du pays (ils sont appelés macroéconomiques), il existe des modèles de modèles économiques dans une entreprise distincte, ou même un modèle d'un événement économique (ils sont appelés microéconomiques). Lors de la compilation d'un modèle de l'économie d'un objet complexe, ce que l'on appelle l'agrégation est effectuée. Dans ce cas, un certain nombre de paramètres liés sont combinés en un seul paramètre, réduisant ainsi le nombre total de paramètres. L'expérience et l'intuition jouent un rôle important à ce stade. Toutes les caractéristiques ne peuvent pas être sélectionnées comme paramètres, mais les plus importantes.

Une fois le problème mathématique compilé, une méthode pour le résoudre est choisie. À ce stade, en règle générale, un ordinateur est utilisé. Après réception de la décision, elle est comparée à la réalité. Si les résultats obtenus sont confirmés par la pratique, alors le modèle peut être appliqué et avec son aide pour faire des prédictions. Si les réponses obtenues à partir du modèle ne correspondent pas à la réalité, alors le modèle ne fonctionnera pas. Nous devons créer plus modèle complexe qui correspond le mieux à l'objet à l'étude.

Quel modèle est le meilleur : simple ou complexe ? La réponse à cette question ne peut être sans ambiguïté.

Si le modèle est trop simple, alors il ne correspond pas bien à l'objet réel. Si le modèle est trop complexe, il se peut qu'avec l'existence d'un bon modèle, nous ne soyons pas en mesure d'obtenir une réponse basée sur celui-ci. Peut exister bon modèle et il existe un algorithme pour résoudre le problème correspondant. Mais le temps de décision sera si long que tous les autres avantages du modèle en seront rayés. Par conséquent, lors du choix d'un modèle, vous avez besoin d'un " juste milieu ".

Ministère des Chemins de fer de la Fédération de Russie

Université d'État des chemins de fer de l'Oural

Institut des voies de communication de Tcheliabinsk

TRAVAIL DE COURS

sur le cours : "Modélisation économique et mathématique"

Sujet : "Modèles mathématiques en économie"

Complété:

Chiffrer:

Adresse:

Vérifié:

Tcheliabinsk 200_g.

introduction

Création et enregistrement de rapports

Résoudre le problème sur un ordinateur

Littérature

introduction

Le processus de résolution des problèmes économiques se déroule en plusieurs étapes:

Énoncé (économique) substantiel du problème. Tout d'abord, vous devez comprendre la tâche, la formuler clairement. Dans le même temps, sont également déterminés des objets liés au problème à résoudre, ainsi qu'à la situation qui doit être mise en œuvre à la suite de sa solution. C'est l'étape de la formulation significative du problème. Pour que le problème soit décrit de manière quantitative et utilise la technologie informatique pour le résoudre, il est nécessaire d'effectuer une analyse qualitative et quantitative des objets et des situations qui s'y rapportent. Dans ce cas, les objets complexes sont divisés en parties (éléments), les connexions de ces éléments, leurs propriétés, les valeurs quantitatives et qualitatives des propriétés, les relations quantitatives et logiques entre elles, exprimées sous forme d'équations, d'inégalités, etc. sont déterminés. C'est l'étape de l'analyse systémique du problème, à la suite de laquelle l'objet est présenté sous la forme d'un système.

Au stade final, le modèle est exploité et les résultats sont obtenus.

Ainsi, la solution au problème comprend les étapes suivantes :

2. Analyse du système.

3. Synthèse du système (formulation mathématique du problème)

4. Développement ou sélection de logiciels.

5. Résolution du problème.

L'analyse du système permet de prendre en compte et d'utiliser en gestion toutes les informations disponibles sur l'objet contrôlé, de coordonner les décisions prises du point de vue d'un critère objectif et non subjectif d'efficacité. Économiser sur les calculs lors du contrôle équivaut à économiser sur la visée lors de la prise de vue. Or, un ordinateur permet non seulement de prendre en compte toutes les informations, mais aussi de décharger le gestionnaire des informations inutiles, et laisse tout le nécessaire contourner la personne, ne lui présentant que les informations les plus générales, la quintessence. L'approche systémique en économie est efficace en soi, sans l'utilisation d'ordinateurs, comme méthode de recherche, alors qu'elle ne modifie pas les lois économiques précédemment découvertes, mais enseigne seulement comment mieux les utiliser.

La complexité des processus économiques exige qu'un décideur soit hautement qualifié et expérimenté. Ceci, cependant, ne garantit pas les erreurs, donner une réponse rapide à la question posée, réaliser des études expérimentales qui sont impossibles ou nécessitent des dépenses et du temps importants sur un objet réel, permet une modélisation mathématique.

La modélisation mathématique vous permet de prendre la décision optimale, c'est-à-dire la meilleure. Elle peut légèrement différer d'une décision bien prise sans recours à la modélisation mathématique (environ 3 %). Cependant, avec de gros volumes de production, une erreur aussi "mineure" peut entraîner des pertes énormes.

Les méthodes mathématiques utilisées pour analyser un modèle mathématique et prendre une décision optimale sont très complexes et leur mise en œuvre sans l'utilisation d'un ordinateur est difficile. Dans le cadre de programmes Exceller et Mathcad il existe des outils qui vous permettent d'effectuer une analyse mathématique et de trouver la solution optimale.

Numéro de pièce 1 "Recherche d'un modèle mathématique"

Formulation du problème.

L'entreprise a la capacité de produire 4 types de produits. Pour la libération d'une unité de production de chaque type, il est nécessaire de dépenser une certaine quantité de main-d'œuvre, de ressources financières et de matières premières. Il y a une quantité limitée de chaque ressource disponible. La vente d'une unité de production est rentable. Les valeurs des paramètres sont indiquées dans le tableau 1. Condition supplémentaire: les coûts financiers pour la production des produits n° 2 et n° 4 ne doivent pas dépasser 50 roubles. (de chaque type).

Tableau 1.

Compilation d'un modèle mathématique

Fonction objectif (CF).

La fonction objectif montre dans quel sens la solution au problème doit être la meilleure (optimale). Dans notre tâche le CF :

Bénéfice → max.

La valeur du profit peut être déterminée par la formule :

Bénéfice = compte 1 ∙ pr 1 + mise 2 ∙ pr 2 + mise 3 ∙ pr 3 + mise 4 ∙ pr 4, où numéro 1, ..., numéro 4 -

le nombre de produits manufacturés de chaque type ;

pr 1, ..., pr 4 - bénéfices tirés de la vente d'une unité de chaque type de produit. Substituer les valeurs pr 1, ..., pr 4 ( du tableau 1) on obtient :

CF : 1,7 ∙ chiffre 1 + 2,3 ∙ chiffre 2 + 2 chiffre 3 + 5 chiffre 4 → max (1)

Restrictions (OGR).

Les contraintes établissent des dépendances entre les variables. Dans notre problème, des restrictions sont imposées sur l'utilisation des ressources, dont les quantités sont limitées. La quantité de matières premières nécessaire à la production de tous les produits peut être calculée à l'aide de la formule :

Matières premières = à partir de 1 ∙ quantité 1 + à partir de 2 ∙ quantité 2 + à partir de 3 ∙ quantité 3 + à partir de 4 quantité 4, où s 1, ..., s 4 –

les quantités de matières premières nécessaires pour produire une unité de chaque type de produit. Montant total les matières premières utilisées ne peuvent pas dépasser la ressource disponible. En substituant les valeurs du tableau 1, nous obtenons la première limite - pour les matières premières :

1,8 ∙ chiffre 1 + 1,4 chiffre 2 + 1 chiffre 3 + 0,15 chiffre 4 ≤ 800 (2)

De même, nous écrivons les restrictions sur les coûts financiers et de main-d'œuvre :

0,63 ∙ chiffre 1 + 0,1 chiffre 2 + 1 chiffre 3 + 1,7 chiffre 4 ≤ 400 (3)

1,1 ∙ chiffre 1 + 2,3 ∙ chiffre 2 + 1,6 ∙ chiffre 3 + 1,8 chiffre 4 ≤ 1000 (4)

Conditions aux limites (GRU).

Les conditions aux limites montrent les limites dans lesquelles les variables recherchées peuvent varier. Dans notre tâche, il s'agit des coûts financiers pour la production des produits n° 2 et n° 4 selon la condition :

0,1 ∙ compter 2 50 p.; 1,7 ∙ compter 4 ≤ 50 p. ( 5)

D'autre part, il faut introduire que le montant de la production doit être supérieur ou égal à zéro. C'est une condition évidente pour nous, mais une condition nécessaire pour un ordinateur :

compter 1 0 ; compter 2 0 ; compter 3 0 ; compter 4 0. ( 6)

Étant donné que toutes les variables requises ( col 1, ..., col 4) sont inclus dans le rapport 1-7 au premier degré et seules les actions de sommation et de multiplication par des coefficients constants sont effectuées sur eux, alors le modèle est linéaire.

Résoudre le problème sur un ordinateur.

Nous allumons l'ordinateur. Avant d'entrer dans le réseau, définissez le nom d'utilisateur ZA, avec le mot de passe A. Chargez le programme Exceller... Enregistrez le fichier sous le nom Lidovitski Kulik. N.-É. ls... dans le dossier Ek/k 31 (2). Créez un en-tête : à gauche la date, au centre le nom du fichier, à droite le nom de la feuille.

Nous créons et formatons l'en-tête et le tableau des données sources (tableau 1). Nous entrons les données dans le tableau selon la variante du problème.

Nous créons et mettons en forme un tableau pour le calcul. Entrez les valeurs initiales dans la cellule "Quantité". Nous les choisissons proches du résultat attendu. Nous n'avons pas d'informations préalables et nous les choisirons donc égales à 1. Cela facilitera le contrôle des formules saisies.

Dans la ligne "Coûts de main-d'œuvre", nous entrons les termes de la formule (4) - le produit de la quantité de produits par le nombre d'intrants de main-d'œuvre nécessaires à la production d'une unité de production :

pour le numéro de produit 1 (= С15 * С8) ;

numéro de produit 2 (= D15 * D8) ;

numéro de produit 3 (= E15 * E8) ;

numéro de produit 4 (= F15 * F8).

Dans la colonne « TOTAL », on retrouve la somme des contenus de ces cellules à l'aide du bouton de somme automatique Σ. Dans la colonne « Restant », on retrouve la différence entre le contenu des cellules « Ressource-Effort » du tableau 1 et « TOTAL-Effort » (= G8-G17). G18) et « Matières premières » (= G10-G19).

Dans la cellule « Profit », nous calculons le profit sur le côté gauche de la formule (1). Dans ce cas, nous utiliserons la fonction = SOMMEPROD (C15 : F15 ; C11 : F11).

Nous attribuons aux cellules contenant le bénéfice total, les coûts financiers, de main-d'œuvre et de matières premières, ainsi que les quantités de produits, les noms, respectivement : "Profit", "Finance", "Coûts de main-d'œuvre", "Matières premières", "Pr1 ", "Pr2", "Pr3" , "Pr4". Exceller inclura ces noms dans les rapports.

Appel de la boîte de dialogue Trouver une solutionéquipes Service-Recherche d'une solution...

But de la fonction objectif.

Placer le curseur dans la fenêtre Définir la cellule cible et en cliquant sur la cellule "Profit", saisissez-y son adresse. On introduit la direction de la fonction objectif : La valeur maximale.

Entrez les adresses des variables recherchées, contenant le nombre de produits 1-4, dans la fenêtre Changer de cellule .

Saisie des restrictions.

Cliquez sur le bouton Ajouter... Une boîte de dialogue apparaît Ajout de restrictions... On met le curseur dans la fenêtre Référence de cellule et saisissez-y l'adresse de la cellule "Coûts de main-d'oeuvre". Ouvrez la liste des conditions et sélectionnez<=, в поле Limitation saisir l'adresse de la cellule "Ressources-Coûts de la main-d'oeuvre". Cliquez sur le bouton Ajouter... Dans une nouvelle fenêtre Ajout de restrictions de même, nous introduisons une restriction sur le financement. Cliquez sur le bouton Ajouter, nous introduisons une restriction sur les matières premières. Cliquer sur d'accord... la saisie des restrictions est terminée. La fenêtre réapparaît à l'écran. Trouver une solution, dans le champ Restrictions une liste des restrictions saisies est visible.

Saisie des conditions aux limites.

La saisie de GRU ne diffère pas de la saisie de restrictions. Dans la fenêtre Ajout de restrictions dans le champ Référence de celluleà l'aide de la souris, entrez l'adresse de la cellule "Fin2". Choisir un signe<=. В поле Limitationécrivez 50. Cliquez sur Ajouter... A l'aide de la souris, entrez l'adresse de la cellule "Fin4". Choisir un signe<=. В поле Limitationécrivez 50. Cliquez sur d'accord... retour à la fenêtre Trouver une solution... Dans le champ Restrictions la liste complète des OGR et GRU introduits est visible (Fig. 1).

Image 1.

Saisie des paramètres.

Cliquez sur le bouton Options. Une fenêtre apparaît Options de recherche de solutions... Dans le champ Modèle linéaire cochez la case. Laissez le reste des paramètres inchangés. Cliquer sur d'accord(fig. 2).

Figure 2.

Solution.

Dans la fenêtre Trouver une solution cliquez sur le bouton Exécuter... Une fenêtre apparaît à l'écran Résultats de la recherche de solutions... Il indique "Une solution a été trouvée. Toutes les contraintes et conditions d'optimalité ont été respectées."

Création et enregistrement de rapports

Pour répondre aux questions du problème, nous avons besoin de rapports. Dans le champ Type de rapport sélectionnez tous les types avec la souris : "Résultats", "Stabilité" et "Limites".

Nous mettons un point dans le domaine Enregistrer la solution trouvée et cliquez sur d'accord... (fig. 3). Exceller génère les rapports demandés et les place sur des feuilles séparées. La feuille de calcul d'origine s'ouvre. Dans la colonne "Quantité" - les valeurs trouvées pour chaque type de produit.

Figure 3.

Nous formons un rapport de synthèse. Nous copions et plaçons les rapports reçus sur une seule feuille. Nous les éditons pour qu'ils tiennent tous sur une seule page.

Nous présentons graphiquement les résultats de la solution. Nous construisons des diagrammes "Quantité de production" et "Répartition des ressources".

Pour construire le graphique "Nombre de produits", ouvrez l'assistant graphique et sélectionnez la version volumétrique de l'histogramme habituel comme première étape. La deuxième étape de la fenêtre de données initiale consiste à sélectionner la plage de données = Lidovitsky ! $ CA 14 $ : $ F 15 $. La troisième étape dans les paramètres du diagramme consiste à définir le nom du diagramme "Nombre de produits". La quatrième étape consiste à placer le schéma sur la feuille existante. Sur simple pression d'un bouton Prêt nous finissons de construire le diagramme.

Pour créer le graphique d'allocation des ressources, ouvrez l'assistant graphique et sélectionnez un histogramme en trois dimensions comme première étape. La deuxième étape de la fenêtre de données initiale consiste à sélectionner la plage : Lidovitsky ! $ A 17 $ : $ F 19 $ ; Lidovitski ! $ CA 14 $ : $ F 14 $. La troisième étape dans les paramètres du graphique consiste à définir le nom du graphique « Allocation des ressources ». La quatrième étape consiste à placer le schéma sur la feuille existante. Sur simple pression d'un bouton Prêt nous terminons la construction du diagramme (Figure 4).

Figure 4.

Ces diagrammes illustrent la meilleure gamme de produits en termes de génération de profit le plus important et l'allocation correspondante des ressources.

Nous imprimons une feuille avec des tableaux de données sources, avec des diagrammes et des résultats de calcul et une feuille avec un rapport de synthèse sur papier.

Analyse de la solution trouvée. Réponses aux questions

D'après le rapport des résultats.

Le profit maximum pouvant être obtenu si toutes les conditions du problème sont remplies est de 1292,95 roubles.

Pour ce faire, il est nécessaire de produire le plus grand nombre possible de produits n ° 2 - 172,75 et n ° 4 - 29,41 unités avec des coûts financiers n'excédant pas 50 roubles. pour chaque type, et les produits n° 1 - 188,9 et n° 3 - 213,72. Dans le même temps, les ressources pour les coûts de main-d'œuvre, les finances et les matières premières seront complètement épuisées.

Selon le rapport de durabilité.

La modification de l'une des données initiales n'entraînera pas une structure différente de la solution trouvée, c'est-à-dire à un autre assortiment de produits requis pour obtenir un profit maximum, si : le profit de la vente de l'unité de produit n° 1 n'augmente pas de plus de 1,45 et ne diminue pas de plus de 0,35. Ainsi:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

le bénéfice de la vente de l'unité de produit n° 2 n'augmentera pas de plus de 0,56 et ne diminuera pas de plus de 1,61. Ainsi:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

le bénéfice de la vente de l'unité de produit n° 3 n'augmentera pas de plus de 0,56 et ne diminuera pas de plus de 0,39. Ainsi:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

le bénéfice de la vente de l'unité de produit n° 4 ne peut diminuer de plus de 2,81, c'est-à-dire de 56,2 % et augmenter indéfiniment. Ainsi : profit 4> 2,19 = (5 - 2,81) la ressource pour les matières premières peut être augmentée de 380,54, c'est-à-dire de 47,57 % et a diminué de 210,46, soit de 26,31 %. Ainsi : 589,54< С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

Selon le rapport sur les limites :

Le nombre de produits fabriqués pour l'un des types peut varier de 0 à la valeur optimale trouvée, cela n'entraînera pas de changement dans la gamme de produits requis pour obtenir un profit maximum. Dans le même temps, si vous fabriquez le produit n ° 1, le bénéfice sera de 971,81 roubles, produit n ° 2 - 895,63 roubles, produit n ° 3 - 865,51 roubles, produit n ° 4 - 1145,89 roubles.

conclusions

L'étude du modèle mathématique et son analyse ultérieure nous permet de tirer les conclusions suivantes :

Le bénéfice maximum possible, s'élevant à 1292,95 roubles, lorsque toutes les conditions et restrictions spécifiées sont remplies, peut être obtenu si la production de produits n° 1 - 188,9 unités, produits n° 2 - 172,75 unités, produits n° 3 - 213,72 unités , numéro de produit 4 - 29,41 unités.

Après la sortie du produit, toutes les ressources seront entièrement utilisées.

La structure de la solution trouvée dépend le plus fortement de la vente des unités de produits n ° 1 et n ° 3, ainsi que d'une diminution ou d'une augmentation de toutes les ressources disponibles.

Partie numéro 2 "Calcul du modèle économique et mathématique du bilan entrées-sorties

Dispositions théoriques.

Méthode d'équilibre- la méthode d'intercomparaison des ressources financières, matérielles et de main-d'œuvre et leurs besoins. Le modèle d'équilibre d'un système économique est un système d'équations qui satisfont aux exigences d'adéquation entre la disponibilité d'une ressource et son utilisation.

Équilibre intersectoriel reflète la production et la distribution d'un produit dans un contexte sectoriel, dans les liens de production intersectoriels, l'utilisation des ressources matérielles et de main-d'œuvre, la création et la distribution du revenu national.

Diagramme d'équilibre entrée-sortie.

Chaque industrie dans la balance est à la fois consommatrice et productrice. Il existe 4 zones d'équilibre (quadrants) à contenu économique :

tableau des connexions matérielles interindustrielles, ici X ij - valeurs des flux intersectoriels de produits, c'est-à-dire le coût des moyens de production produits dans l'industrie i et requis comme coûts des matériaux dans l'industrie j.

Les produits finaux sont des produits qui vont de la sphère de la production au domaine de la consommation, de l'accumulation, de l'exportation, etc.

La production nette provisoire Zj est la somme de la dépréciation Cj et de la production nette (Uj + mj).

Reflète la distribution et l'utilisation finales du revenu national. La colonne et la ligne de production brute sont utilisées pour vérifier le bilan et établir un modèle économique et mathématique.

Le coût total des matières de toute industrie consommatrice et sa production nette conditionnellement est égal à la production brute de cette industrie :

(1)

La production brute de chaque industrie est égale à la somme des coûts matériels des industries consommant ses produits et des produits finis de cette industrie.

(2)

Résumons pour toutes les branches de l'équation 1 :

De même pour l'équation 2 :

La partie gauche est le produit brut, alors on assimile les parties droites :

(3)

Formulation du problème.

Il existe un système économique à quatre branches. Déterminer les coefficients des coûts matériels totaux à partir des données : la matrice des coefficients des coûts matériels directs et le vecteur de la production brute (tableau 2).

Tableau 2.

Elaboration d'un modèle d'équilibre.

La base du modèle économique et mathématique du bilan entrées-sorties est la matrice des coefficients des coûts matériels directs :

Le coefficient des coûts directs des matières montre combien de produits de l'industrie i sont nécessaires si seuls les coûts directs de production d'une unité de production de l'industrie j sont pris en compte.

Étant donné l'expression 4, l'expression 2 peut être réécrite :

(5)

Vecteur de production brute.

Le vecteur du produit final.

On note la matrice des coefficients de coûts matières directs :

Alors le système d'équations 5 sous forme matricielle :

(6)

La dernière expression est le modèle d'équilibre entrée-sortie ou le modèle Leontief. À l'aide du modèle, vous pouvez :

Après avoir fixé la valeur de la production brute X, déterminez les volumes du produit final Y :

(7)

où E est la matrice identité.

Après avoir fixé la valeur du produit final Y, déterminez la valeur du produit brut X :

(8)

notons B la valeur (E-A) - 1, c'est-à-dire

alors les éléments de la matrice B seront.

Pour chaque i industrie :

Il s'agit des coefficients du coût total des matières qui montrent quelle quantité de l'industrie i doit être produite afin d'obtenir une unité du produit final de l'industrie j en tenant compte des coûts directs et indirects de ce produit.

Pour calculer le modèle économique et mathématique du bilan entrées-sorties, en tenant compte des valeurs données :

Matrices de coefficients de coûts matières directs :

Vecteurs de production brute :

La matrice unitaire correspondant à la matrice A est :

Pour calculer les coefficients des coûts matières totaux, nous utiliserons la formule :

Pour déterminer la production brute de toutes les industries, la formule :

Pour déterminer la valeur des flux de produits intersectoriels (matrice x), on définit les éléments de la matrice x par la formule :

où i = 1 ... n ; j = 1 ... n;

n est le nombre de lignes et de colonnes de la matrice carrée A.

Pour déterminer le vecteur de production conditionnellement pure Z, les éléments du vecteur sont calculés par la formule :

Résoudre le problème sur un ordinateur

Chargement du programme Mathcad .

Créer un fichier nommé Lidovitskiy- Kulik . mcd. dans le dossier Ek/k 31 (2).

Sur la base des préréglages (modèle), créez et formatez le titre.

Nous entrons avec les commentaires appropriés ( ORIGINE = 1) compte tenu de la matrice des coefficients des coûts matières directs A et du vecteur de la production brute X (toutes les inscriptions et désignations sont saisies en alphabet latin, les formules et commentaires donnés doivent se situer soit au niveau, soit au-dessus des valeurs calculées).

On calcule la matrice des coefficients des coûts matières totaux B. Pour ce faire, on calcule la matrice unitaire correspondant à la matrice A. Pour cela, on utilise la fonction identité ( cols ( UNE)).

On calcule la matrice B par la formule :

Nous déterminons le volume de la production brute pour toutes les industries Y selon la formule :

Définir la matrice N.-É. valeurs des flux de produits intersectoriels. Pour ce faire, on définit les éléments de la matrice en précisant des commentaires :

je = 1. lignes (A) j = 1. cols (A) x i, j = A i, j X j

Après cela, nous trouvons la matrice N.-É. .

Nous calculons le vecteur de la production conditionnellement pure Z, en définissant la formule pour cela :

Puisque dans la balance Z est un vecteur ligne, on trouve le vecteur transposé Z T.

Trouvons les montants totaux :

9.11.1 Production propre conditionnelle :

9.11.2 Produits finis :

9.11.3 Production brute :

Nous imprimons les résultats de la solution sur papier.

Équilibre intersectoriel de la production et de la distribution des produits

Sur la base des données obtenues, nous composerons le bilan intersectoriel de la production et de l'allocation des ressources.

conclusions

Sur la base de la matrice des coefficients des coûts matériels directs et du vecteur de la production brute, les coefficients des coûts matériels totaux ont été déterminés et le bilan intersectoriel de la production et de la répartition des ressources a été établi.

Liens matériels déterminés ou valeurs des flux intersectoriels de produits (matrice N.-É.), c'est à dire. la valeur des moyens de production produits dans l'industrie manufacturière et requis comme coûts de matière dans l'industrie consommatrice.

Détermination du produit final (Y), c'est-à-dire produits quittant l'industrie manufacturière pour l'industrie consommatrice.

Détermination de la valeur de la production nette conditionnelle par industrie (Zj; Z T).

Détermination de la distribution finale de la production brute (X). Pour la colonne et la ligne de la production brute, nous avons vérifié le solde (138 + 697 + 282 + 218) = 1335.

Sur la base du bilan établi, des conclusions peuvent être tirées :

le coût total des matières de toute industrie consommatrice et sa production nette conditionnellement sont égaux à la production brute de cette industrie.

la production brute de chaque industrie est égale à la somme des coûts matériels des industries consommant ses produits et des produits finis de cette industrie.

Littérature

1. " Modèles mathématiques en économie ". Instructions méthodiques pour la mise en œuvre de travaux de laboratoire et de contrôle pour les étudiants des spécialités économiques de l'enseignement extra-muros. Zhukovsky AA CHIPS UrGUPS. Chelyabinsk. 2001.

2. Gataulin AM, Gavrilov GV, Sorokina TM et autres Modélisation mathématique des processus économiques. - M., Agropromizdat, 1990.

3. Méthodes économiques et mathématiques et modèles appliqués : Manuel pour les universités / Sous la direction de V. V. Fedoseeva. - M. : UNITI, 2001.

4. Rechercher des solutions optimales à l'aide d'Excel 7.0. Kuritsky B. Ya. SPb : "VHV - Saint-Pétersbourg", 1997.

5. Plis A.I., Slivina N.A. MathCAD 2000. Atelier mathématique pour économistes et ingénieurs. Moscou. Finances et statistiques. 2000.

MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION ET DES SCIENCES DE LA FÉDÉRATION DE RUSSIE

AGENCE FÉDÉRALE POUR L'ÉDUCATION

Établissement public d'enseignement supérieur professionnel

UNIVERSITÉ ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE D'ÉTAT RUSSE

BRANCHE DE TULA

(TF GOU VPO RGTEU)

Résumé en mathématiques sur le sujet :

"Modèles économiques et mathématiques"

Complété:

étudiants de 2e année

"Finance et crédit"

département de jour

Maksimova Christine

Vitka Natalia

Vérifié:

Docteur en Sciences Techniques,

le professeur S.V. Yudin _____________

introduction

1.Modélisation économique et mathématique

1.1 Concepts de base et types de modèles. Leur classement

1.2 Méthodes économiques et mathématiques

Développement et application de modèles économiques et mathématiques

2.1 Étapes de la modélisation économique et mathématique

2.2 Application des modèles stochastiques en économie

Conclusion

Bibliographie

introduction

Pertinence.La modélisation dans la recherche scientifique a commencé à être utilisée dans l'Antiquité et a progressivement capturé de nouveaux domaines de connaissances scientifiques : conception technique, construction et architecture, astronomie, physique, chimie, biologie et, enfin, sciences sociales. La méthode de modélisation du 20e siècle a apporté un grand succès et une reconnaissance dans presque toutes les branches de la science moderne. Cependant, la méthodologie de modélisation a longtemps été développée indépendamment par des sciences distinctes. Il n'y avait pas de système unifié de concepts, de terminologie unifiée. Ce n'est que progressivement qu'on a commencé à prendre conscience du rôle de la modélisation en tant que méthode universelle de connaissance scientifique.

La modélisation économique et mathématique fait partie intégrante de toute recherche dans le domaine de l'économie. Le développement rapide de l'analyse mathématique, de la recherche opérationnelle, de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques a contribué à la formation de divers types de modèles économiques.

Pourquoi peut-on parler de l'efficacité de l'application des méthodes de modélisation dans ce domaine ? Tout d'abord, les objets économiques de différents niveaux (en partant du niveau d'une simple entreprise et en terminant par le niveau macro - l'économie du pays ou même l'économie mondiale) peuvent être envisagés sous l'angle d'une approche systémique. Deuxièmement, des caractéristiques du comportement des systèmes économiques telles que :

-variabilité (dynamisme) ;

-comportement contradictoire;

-une tendance à détériorer les performances ;

-exposition environnementale

prédéterminer le choix de la méthode de leur recherche.

Le but de ce travail- révéler le concept de modèles économiques et mathématiques et étudier leur classification et les méthodes sur lesquelles ils se fondent, ainsi que d'envisager leur application en économie.

Objectifs de ce travail :systématisation, accumulation et consolidation des connaissances sur les modèles économiques et mathématiques.

1.Modélisation économique et mathématique

1.1 Concepts de base et types de modèles. Leur classement

Dans le processus de recherche d'un objet, il est souvent peu pratique voire impossible de traiter directement avec cet objet. Il est plus pratique de le remplacer par un autre objet similaire à celui-ci dans les aspects qui sont importants dans cette étude. En général maquettepeut être défini comme une image conventionnelle d'un objet réel (processus), qui est créé pour une étude plus approfondie de la réalité. Une méthode de recherche basée sur le développement et l'utilisation de modèles est appelée la modélisation... Le besoin de modélisation est dû à la complexité, et parfois à l'impossibilité d'étudier directement l'objet réel (processus). Il est beaucoup plus accessible de créer et d'étudier des prototypes d'objets réels (processus), c'est-à-dire des modèles. Nous pouvons dire que la connaissance théorique de quelque chose, en règle générale, est une collection de différents modèles. Ces modèles reflètent les propriétés essentielles d'un objet réel (processus), bien qu'en réalité la réalité soit beaucoup plus significative et plus riche.

Modèleest un système imaginé mentalement ou matériellement réalisé qui, en affichant ou en reproduisant un objet de recherche, est capable de le remplacer de telle manière que son étude donne de nouvelles informations sur cet objet.

À ce jour, il n'existe pas de classification unique des modèles généralement acceptée. Cependant, à partir de l'ensemble des modèles, on peut distinguer les modèles verbaux, graphiques, physiques, économico-mathématiques et quelques autres types de modèles.

Modèles économiques et mathématiques- ce sont des modèles d'objets ou de processus économiques, dans la description desquels des moyens mathématiques sont utilisés. Les objectifs de leur création sont variés : ils sont construits pour analyser certains prérequis et dispositions de la théorie économique, la justification logique des lois économiques, le traitement et l'introduction de données empiriques dans le système. Concrètement, les modèles économiques et mathématiques sont utilisés comme outil de prévision, de planification, de gestion et d'amélioration de divers aspects de l'activité économique de la société.

Les modèles économiques et mathématiques reflètent les propriétés les plus essentielles d'un objet ou d'un processus réel à l'aide d'un système d'équations. Il n'y a pas de classification unifiée des modèles économiques et mathématiques, bien que leurs groupes les plus importants puissent être distingués en fonction de la caractéristique de classification.

Par destinationles modèles sont divisés en:

· Théorique et analytique (utilisé dans l'étude des propriétés générales et des modèles de processus économiques);

· Appliqué (utilisé pour résoudre des problèmes économiques spécifiques, tels que des problèmes d'analyse économique, de prévision, de gestion).

Prise en compte du facteur tempsles modèles sont subdivisés en :

· Dynamique (décrire le système économique en développement);

· Statistique (le système économique est décrit dans la statistique, par rapport à un moment précis ; c'est en quelque sorte un instantané, une tranche, un fragment d'un système dynamique à un certain moment).

Par la durée de la période considéréedistinguer les modèles :

· Prévision ou planification à court terme (jusqu'à un an);

· Prévision ou planification à moyen terme (jusqu'à 5 ans);

· Prévision ou planification à long terme (sur 5 ans).

Par le but de la création et de l'utilisationdistinguer les modèles :

· Bilan;

· économétrique;

· Optimisation;

· Réseau;

· Systèmes de files d'attente ;

· Imitation (expert).

V équilibreles modèles reflètent l'exigence d'adéquation entre la disponibilité des ressources et leur utilisation.

Options économétriqueles modèles sont estimés à l'aide de méthodes de statistiques mathématiques. Les modèles les plus courants sont les systèmes d'équations de régression. Ces équations reflètent la dépendance des variables endogènes (dépendantes) vis-à-vis des variables exogènes (indépendantes). Cette dépendance s'exprime principalement à travers une évolution (tendance à long terme) des principaux indicateurs du système économique modélisé. Des modèles économétriques sont utilisés pour analyser et prévoir des processus économiques spécifiques à l'aide d'informations statistiques réelles.

Optimisationles modèles vous permettent de trouver la meilleure option pour la production, la distribution ou la consommation parmi une variété d'options (alternatives) possibles. Dans le même temps, des ressources limitées seront utilisées de la meilleure façon possible pour atteindre cet objectif.

RéseauLes modèles sont les plus largement utilisés dans la gestion de projet. Le modèle de réseau affiche un ensemble d'activités (opérations) et d'événements, et leur relation dans le temps. En règle générale, le modèle de réseau est conçu pour effectuer le travail dans un ordre tel que le délai d'exécution du projet est minimal. Dans ce cas, la tâche consiste à trouver le chemin critique. Cependant, il existe également de tels modèles de réseau qui ne se concentrent pas sur le critère du temps, mais, par exemple, sur la minimisation du coût du travail.

Des modèles systèmes de file d'attentesont créés pour minimiser le temps d'attente dans la file d'attente et le temps d'arrêt des canaux de service.

Imitationle modèle, avec les décisions de la machine, contient des blocs où les décisions sont prises par une personne (expert). Au lieu d'une participation humaine directe à la prise de décision, une base de connaissances peut agir. Dans ce cas, un ordinateur personnel, un logiciel spécialisé, une base de données et une base de connaissances forment un système expert. Expertle système est conçu pour résoudre un ou plusieurs problèmes en imitant les actions d'une personne, un expert dans ce domaine.

Prise en compte du facteur d'incertitudeles modèles sont subdivisés en :

· Déterministe (avec des résultats définis de manière unique) ;

· Stochastique (probabiliste ; avec différents résultats probabilistes).

Par le type d'appareil mathématiquedistinguer les modèles :

· Programmation linéaire (le plan optimal est atteint au point extrême de la plage de variation des variables du système de contraintes) ;

· Programmation non linéaire (il peut y avoir plusieurs valeurs optimales de la fonction objectif);

· Correlation et regression;

· Matrice;

· Réseau;

· La théorie des jeux;

· Théories des files d'attente, etc.

Avec le développement de la recherche économique et mathématique, le problème de la classification des modèles appliqués se complique. Parallèlement à l'émergence de nouveaux types de modèles et de nouveaux signes de leur classification, le processus d'intégration de modèles de différents types dans des constructions de modèles plus complexes est en cours.

simulation mathématique stochastique

1.2 Méthodes économiques et mathématiques

Comme toute modélisation, la modélisation économique et mathématique repose sur le principe de l'analogie, c'est-à-dire la possibilité d'étudier un objet en construisant et en examinant un autre objet semblable à celui-ci, mais plus simple et plus accessible, son modèle.

Les tâches pratiques de la modélisation économique et mathématique sont, premièrement, l'analyse des objets économiques, deuxièmement, la prévision économique, prévoyant le développement des processus économiques et le comportement des indicateurs individuels, et troisièmement, le développement des décisions de gestion à tous les niveaux de gestion.

L'essence de la modélisation économique et mathématique est de décrire les systèmes et processus socio-économiques sous la forme de modèles économiques et mathématiques, qui doivent être compris comme un produit du processus de modélisation économique et mathématique, et les méthodes économiques et mathématiques en tant qu'outil.

Considérez les problèmes de classification des méthodes économiques et mathématiques. Ces méthodes représentent un complexe de disciplines économiques et mathématiques qui sont un alliage d'économie, de mathématiques et de cybernétique. Dès lors, la classification des méthodes économiques et mathématiques se réduit à la classification des disciplines scientifiques qui en font partie.

Avec un certain degré de conventionnalité, la classification de ces méthodes peut être présentée comme suit.

· Cybernétique économique : analyse systémique de l'économie, théorie de l'information économique et théorie des systèmes de contrôle.

· Statistiques mathématiques : applications économiques de cette discipline - méthode d'échantillonnage, analyse de variance, analyse de corrélation, analyse de régression, analyse statistique multivariée, théorie des indices, etc.

· Économie mathématique et économétrie qui étudient les mêmes questions du côté quantitatif : la théorie de la croissance économique, la théorie des fonctions de production, les bilans entrées-sorties, les comptes nationaux, l'analyse de la demande et de la consommation, l'analyse régionale et spatiale, la modélisation globale.

· Méthodes pour prendre des décisions optimales, y compris l'étude des opérations dans l'économie. Il s'agit de la section la plus complète, qui comprend les disciplines et méthodes suivantes : programmation (mathématique) optimale, méthodes de planification et de contrôle des réseaux, théorie et méthodes de gestion des stocks, théorie des files d'attente, théorie des jeux, théorie et méthodes de la décision.

La programmation optimale, à son tour, comprend la programmation linéaire et non linéaire, la programmation dynamique, la programmation discrète (entière), la programmation stochastique, etc.

· Méthodes et disciplines qui sont spécifiques séparément à la fois à une économie planifiée et à une économie de marché (concurrentielle). Les premières comprennent la théorie de la tarification optimale du fonctionnement de l'économie, la planification optimale, la théorie de la tarification optimale, les modèles d'offre matérielle et technique, etc. Les dernières comprennent des méthodes permettant de développer des modèles de libre concurrence, des modèles de cycle capitaliste, des modèles de monopole. , modèles de théorie des firmes, etc... Bon nombre des méthodes développées pour une économie planifiée centralement peuvent être utiles dans la modélisation économique et mathématique dans une économie de marché.

· Méthodes pour l'étude expérimentale des phénomènes économiques. Ceux-ci comprennent, en règle générale, les méthodes mathématiques d'analyse et de planification d'expériences économiques, les méthodes de simulation de machines (simulation), les jeux d'entreprise. Cela inclut également les méthodes de jugement d'experts, développées pour évaluer les phénomènes qui ne peuvent pas être mesurés directement.

Dans les méthodes économiques et mathématiques, diverses sections des mathématiques, des statistiques mathématiques et de la logique mathématique sont utilisées. Les mathématiques computationnelles, la théorie des algorithmes et d'autres disciplines jouent un rôle important dans la résolution de problèmes économiques et mathématiques. L'utilisation de l'appareil mathématique a apporté des résultats tangibles dans la résolution des problèmes d'analyse des processus de production élargie, de détermination des taux de croissance optimaux des investissements en capital, de l'emplacement optimal, de la spécialisation et de la concentration de la production, des problèmes de choix des méthodes de production optimales, de la détermination de la séquence optimale de lancement en production, le problème de la préparation de la production à l'aide de méthodes de planification de réseau et bien d'autres. ...

Pour résoudre les problèmes standard, un objectif clair est caractéristique, la capacité de développer des procédures et des règles pour mener à bien les règlements à l'avance.

Il existe les conditions préalables suivantes pour l'utilisation de méthodes de modélisation économique et mathématique, dont les plus importantes sont un niveau élevé de connaissance de la théorie économique, des processus et des phénomènes économiques, la méthodologie de leur analyse qualitative, ainsi qu'un niveau élevé de formation mathématique, connaissance des méthodes économiques et mathématiques.

Avant de procéder au développement de modèles, il est nécessaire d'analyser soigneusement la situation, d'identifier les objectifs et les relations, les problèmes à résoudre et les données initiales pour leur solution, de maintenir un système de notation et de décrire ensuite la situation sous la forme de relations mathématiques.

2. Développement et application de modèles économiques et mathématiques

2.1 Étapes de la modélisation économique et mathématique

Le processus de modélisation économique et mathématique est une description des systèmes et processus économiques et sociaux sous la forme de modèles économiques et mathématiques. Ce type de modélisation présente un certain nombre de caractéristiques essentielles associées à la fois à l'objet de modélisation et aux appareils et outils utilisés pour la modélisation. Il convient donc d'analyser plus en détail l'enchaînement et le contenu des étapes de la modélisation économique et mathématique, en mettant en évidence les six étapes suivantes :

.L'énoncé du problème économique et son analyse qualitative ;

2.Construire un modèle mathématique;

.Analyse mathématique du modèle ;

.Préparation des informations initiales ;

.Solution numérique ;

Examinons chacune des étapes plus en détail.

1.Énoncé du problème économique et son analyse qualitative... L'essentiel ici est de formuler clairement l'essence du problème, les hypothèses formulées et les questions auxquelles il faut répondre. Cette étape comprend la sélection des caractéristiques et propriétés les plus importantes de l'objet modélisé et l'abstraction des secondaires ; étudier la structure de l'objet et les principales dépendances reliant ses éléments ; formulation d'hypothèses (au moins préliminaires), expliquant le comportement et le développement de l'objet.

2.Construire un modèle mathématique... C'est l'étape de formalisation d'un problème économique, en l'exprimant sous forme de dépendances et de relations mathématiques spécifiques (fonctions, équations, inégalités, etc.). Habituellement, la construction de base (type) du modèle mathématique est d'abord déterminée, puis les détails de cette construction sont spécifiés (une liste spécifique de variables et de paramètres, la forme de liens). Ainsi, la construction du modèle se subdivise en plusieurs étapes.

Il est faux de supposer que plus un modèle prend en compte de faits, mieux il « fonctionne » et donne de meilleurs résultats. On peut en dire autant de caractéristiques de la complexité du modèle que les formes de dépendances mathématiques utilisées (linéaires et non linéaires), prenant en compte les facteurs d'aléatoire et d'incertitude, etc.

La complexité et la lourdeur excessives du modèle compliquent le processus de recherche. Il faut prendre en compte non seulement les possibilités réelles d'information et de support mathématique, mais aussi comparer les coûts de modélisation avec l'effet obtenu.

L'une des caractéristiques importantes des modèles mathématiques est le potentiel de leur utilisation pour résoudre des problèmes de qualité différente. Ainsi, même face à un nouveau défi économique, il n'est pas nécessaire de s'efforcer d'« inventer » un modèle ; il faut d'abord essayer d'appliquer des modèles déjà connus pour résoudre ce problème.

.Analyse mathématique du modèle.Le but de cette étape est de clarifier les propriétés générales du modèle. Des techniques de recherche purement mathématiques sont utilisées ici. Le point le plus important est la preuve de l'existence de solutions dans le modèle formulé. S'il est possible de prouver que le problème mathématique n'a pas de solution, alors la nécessité de poursuivre les travaux sur la version initiale du modèle disparaît et soit la formulation du problème économique, soit les méthodes de sa formalisation mathématique doivent être ajustées. Dans une étude analytique du modèle, des questions telles que, par exemple, la seule solution sont clarifiées, quelles variables (inconnues) peuvent être incluses dans la solution, quelles seront les relations entre elles, dans quelles limites et en fonction des conditions initiales , ils changent, quelles sont les tendances de leur changement, etc. etc. L'étude analytique du modèle par rapport à l'empirique (numérique) a l'avantage que les conclusions obtenues restent valables pour diverses valeurs spécifiques des paramètres externes et internes du modèle.

4.Préparation des premières informations.La modélisation impose des exigences fortes au système d'information. En même temps, les possibilités réelles d'obtenir des informations limitent le choix des modèles destinés à une utilisation pratique. Cela prend en compte non seulement la possibilité fondamentale de préparer l'information (dans un certain délai), mais aussi les coûts de préparation des tableaux d'information correspondants.

Ces coûts ne devraient pas dépasser l'effet de l'utilisation d'informations supplémentaires.

5.Solution numérique.Cette étape comprend le développement d'algorithmes pour la résolution numérique du problème, la compilation de programmes informatiques et des calculs directs. Les difficultés de cette étape sont dues, tout d'abord, à la grande dimension des problèmes économiques, à la nécessité de traiter des quantités importantes d'informations.

Les recherches effectuées par des méthodes numériques peuvent compléter de manière significative les résultats de la recherche analytique, et pour de nombreux modèles, c'est la seule réalisable. La classe des problèmes économiques qui peuvent être résolus par des méthodes numériques est beaucoup plus large que la classe des problèmes disponibles pour la recherche analytique.

6.Analyse des résultats numériques et leur application.A cette étape finale du cycle, se pose la question de l'exactitude et de l'exhaustivité des résultats de la simulation, du degré d'applicabilité pratique de ces derniers.

Les méthodes de vérification mathématique peuvent révéler des constructions de modèles incorrectes et ainsi restreindre la classe des modèles potentiellement corrects. Une analyse informelle des conclusions théoriques et des résultats numériques obtenus au moyen du modèle, les confrontant aux connaissances disponibles et aux faits de la réalité permet également de révéler les lacunes de la formulation du problème économique, le modèle mathématique construit, ses informations et support mathématique.

2.2 Application des modèles stochastiques en économie

La base de l'efficacité de la gestion bancaire est le contrôle systématique de l'optimalité, de l'équilibre et de la stabilité du fonctionnement dans le contexte de tous les éléments qui constituent le potentiel de ressources et déterminent les perspectives de développement dynamique d'un établissement de crédit. Ses méthodes et ses outils nécessitent une modernisation en réponse à l'évolution des conditions économiques. Dans le même temps, la nécessité d'améliorer le mécanisme de mise en œuvre des nouvelles technologies bancaires détermine l'opportunité de la recherche scientifique.

Les coefficients intégraux de stabilité financière (FCS) des banques commerciales utilisés dans les méthodes existantes caractérisent souvent le bilan de leur condition, mais ne permettent pas de donner une description complète de la tendance de développement. Il faut garder à l'esprit que le résultat (KFU) dépend de nombreuses causes aléatoires (endogènes et exogènes), qui ne peuvent être pleinement prises en compte à l'avance.

À cet égard, il est justifié de considérer les résultats possibles de l'étude de l'état stable des banques comme des variables aléatoires avec la même distribution de probabilité, puisque les études sont réalisées selon la même méthodologie en utilisant la même approche. De plus, ils sont indépendants les uns des autres, c'est-à-dire le résultat de chaque coefficient individuel ne dépend pas des valeurs des autres.

Tenant compte du fait que dans un test la variable aléatoire prend une et une seule valeur possible, nous concluons que les événements X1 , X2 , ..., Xmforment un groupe complet, par conséquent, la somme de leurs probabilités sera égale à 1: p1 + p2 + ... + pm=1 .

Variable aléatoire discrète X- le coefficient de stabilité financière de la banque "A", Oui- banque "B", Z- banque "C" pour une période donnée. Afin d'obtenir un résultat permettant de tirer une conclusion sur la soutenabilité du développement des banques, l'évaluation a été réalisée sur la base d'une période rétrospective de 12 ans (tableau 1).

Tableau 1

Numéro de série de l'année Banque "A" Banque "B" Banque "C"11.3141,2011,09820,8150,9050,81131,0430,9940,83941,2111,0051,01351,1101,0901,00961,0981,1541,01771,1121,1151,02981,3111,3281,06591, 2451, 1911 14511 5701 2041 296111 3001 1261 084121 1431 1511 028Min0 8150 9050 811Max1 5701 3281 296

Pour chaque échantillon d'une certaine banque, les valeurs sont divisées en Nintervalles, les valeurs minimales et maximales sont déterminées. La procédure de détermination du nombre optimal de groupes est basée sur l'application de la formule de Sturgess :

N= 1 + 3,322 * ln N;

N= 1 + 3,322 * ln12 = 9,525 × 10,

Où m- le nombre de groupes ;

N- le nombre de la population.

h = (KFUmax- KFUmin) / 10.

Tableau 2

Les limites des intervalles de valeurs des variables aléatoires discrètes X, Y, Z (coefficients de stabilité financière) et la fréquence d'occurrence de ces valeurs dans les limites indiquées

Numéro d'intervalle Limites d'intervalle Taux d'occurrence (m ) XYZXYZ10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Sur la base du pas d'intervalle trouvé, les limites des intervalles ont été calculées en ajoutant le pas trouvé à la valeur minimale. La valeur résultante est la bordure du premier intervalle (bordure gauche - LG). Pour trouver la deuxième valeur (la bordure droite de PG), j'ajoute à nouveau une étape à la première bordure trouvée, etc. La frontière du dernier intervalle coïncide avec la valeur maximale :

Lg1 = KFUmin;

PG1 = KFUmin+h;

Lg2 = PG1;

PG2 = LG2 +h;

PG10 = KFUmax.

Les données sur la fréquence d'atteinte des coefficients de stabilité financière (variables aléatoires discrètes X, Y, Z) sont regroupées en intervalles et la probabilité que leurs valeurs tombent dans les limites spécifiées est déterminée. Dans ce cas, la valeur de la bordure gauche est incluse dans l'intervalle, et celle de droite ne l'est pas (tableau 3).

Tableau 3

Distribution des variables aléatoires discrètes X, Y, Z

Indicateur Valeurs de l'indicateur Banque "A" X0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P (X)0,083000,3330,0830,1670,250000,083Banque "B" O0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P (O)0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Banque "C" Z0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P (Z)0,1670000,4170,2500,083000,083

Par la fréquence d'occurrence des valeurs mleurs probabilités ont été trouvées (la fréquence d'occurrence est divisée par 12, en fonction du nombre d'unités dans la population), et les points médians des intervalles ont été utilisés comme valeurs de variables aléatoires discrètes. Les lois de leur distribution :

Pje= nje /12;

Xje= (LGje+ PGje)/2.

Sur la base de la distribution, on peut juger de la probabilité d'un développement instable de chaque banque :

P (X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P (O<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P (Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Ainsi, avec une probabilité de 0,083, la banque « A » peut atteindre la valeur du ratio de stabilité financière égale à 0,853. Autrement dit, la probabilité que ses dépenses dépassent ses revenus est de 8,3 %. Pour la banque "B", la probabilité que le coefficient tombe en dessous de un était également de 0,083, cependant, compte tenu du développement dynamique de l'organisation, cette diminution s'avérera toujours insignifiante - à 0,926. Enfin, il existe une forte probabilité (16,7%) que l'activité de la banque « C », toutes choses égales par ailleurs, soit caractérisée par la valeur de stabilité financière égale à 0,835.

En même temps, selon les tableaux de répartition, on peut voir la probabilité d'un développement durable des banques, c'est-à-dire la somme des probabilités, où les options de cotes ont une valeur supérieure à 1 :

P (X> 1) = 1 - P (X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P (O> 1) = 1 - P (O<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P (Z> 1) = 1 - P (Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

On peut observer que le développement le moins durable est attendu dans la banque « C ».

En général, la loi de distribution spécifie une variable aléatoire, mais le plus souvent, il est plus judicieux d'utiliser des nombres qui décrivent la variable aléatoire au total. On les appelle les caractéristiques numériques d'une variable aléatoire ; elles incluent l'espérance mathématique. L'espérance mathématique est approximativement égale à la valeur moyenne de la variable aléatoire, et plus elle se rapproche de la valeur moyenne, plus les tests ont été effectués.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits de toutes les quantités possibles par ses probabilités :

M (X) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xmpm

Les résultats du calcul des valeurs des espérances mathématiques des variables aléatoires sont présentés dans le tableau 4.

Tableau 4

Caractéristiques numériques des variables aléatoires discrètes X, Y, Z

Bank Expectation Variance Déviation quadratique moyenne"A" M (X) = 1,187D (X) = 0,027 ?(x) = 0,164 "B" M (Y) = 1,124D (Y) = 0,010 ?(y) = 0,101 "C" M (Z) = 1,037D (Z) = 0,012 ? (z) = 0,112

Les attentes mathématiques obtenues nous permettent d'estimer les valeurs moyennes des valeurs probables attendues du ratio de stabilité financière dans le futur.

Ainsi, d'après les calculs, on peut juger que l'espérance mathématique de développement durable de la banque « A » est de 1,187. L'espérance mathématique des banques "B" et "C" est respectivement de 1,124 et 1,037, ce qui reflète la rentabilité attendue de leur travail.

Cependant, ne connaissant que l'espérance mathématique montrant le "centre" des valeurs possibles supposées d'une variable aléatoire - KFU, il est encore impossible de juger ni ses niveaux possibles, ni le degré de leur distraction autour de l'espérance mathématique obtenue .

En d'autres termes, l'espérance mathématique, de par sa nature, ne caractérise pas pleinement la pérennité du développement de la banque. Pour cette raison, il devient nécessaire de calculer d'autres caractéristiques numériques : la variance et l'écart type. Ce qui vous permet d'évaluer le degré de dispersion des valeurs possibles du coefficient de stabilité financière. Les anticipations mathématiques et les écarts types permettent d'estimer l'intervalle dans lequel se situeront les valeurs possibles des ratios de stabilité financière des établissements de crédit.

Avec une valeur caractéristique relativement élevée de l'espérance mathématique de stabilité pour la banque "A", l'écart type était de 0,164, ce qui indique que la stabilité de la banque peut augmenter de cette valeur ou diminuer. Avec une évolution négative de la stabilité (ce qui est encore improbable, compte tenu de la probabilité obtenue d'activité non rentable, égale à 0,083), le ratio de stabilité financière de la banque restera positif - 1,023 (voir tableau 3)

L'activité de la banque « B » avec une espérance mathématique de 1,124, est caractérisée par une plage de valeurs de coefficient plus petite. Ainsi, même dans un concours de circonstances défavorable, la banque restera stable, puisque l'écart type par rapport à la valeur prédite était de 0,11, ce qui lui permettra de rester dans la zone de rendement positif. Dès lors, nous pouvons tirer une conclusion sur la pérennité du développement de cette banque.

La banque « C », au contraire, avec une faible espérance mathématique de sa fiabilité (1 037), toutes choses égales par ailleurs, sera confrontée à un écart inacceptable pour elle égal à 0,112. Dans une situation défavorable, et compte tenu également du pourcentage élevé de probabilité d'activités non rentables (16,7%), cet établissement de crédit est susceptible de réduire sa stabilité financière à 0,925.

Il est important de noter qu'après avoir tiré des conclusions sur la durabilité du développement des banques, il est impossible de prédire à l'avance laquelle des valeurs possibles le ratio de stabilité financière prendra à la suite du test ; cela dépend de nombreuses raisons, qui ne peuvent être prises en compte. De cette position, nous avons des informations très modestes sur chaque variable aléatoire. A cet égard, il n'est guère possible d'établir des modèles de comportement et la somme d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires.

Or, il s'avère que dans certaines conditions relativement larges, le comportement global d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires perd presque son caractère aléatoire et devient naturel.

Appréciant la soutenabilité du développement des banques, il reste à évaluer la probabilité que l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique ne dépasse pas un nombre positif en valeur absolue ?.L'inégalité de P.L. Tchebychev. La probabilité que l'écart d'une variable aléatoire X par rapport à son espérance mathématique en valeur absolue soit inférieur à un nombre positif ? pas moins que :

ou en cas de probabilité inverse :

En tenant compte du risque associé à la perte de stabilité, nous estimons la probabilité d'écart de la variable aléatoire discrète par rapport à l'espérance mathématique vers le bas et, en considérant les écarts par rapport à la valeur centrale comme étant également probables, à la fois vers le bas et vers le haut, réécrivons l'inégalité de nouveau:

En outre, sur la base de la tâche, il est nécessaire d'évaluer la probabilité que la valeur future du ratio de stabilité financière ne soit pas inférieure à 1 de l'espérance mathématique proposée (pour la banque « A », la valeur ?prendre égal à 0,187, pour la banque "B" - 0,124, pour "C" - 0,037) et calculer cette probabilité :

pot":

banque "C":

Selon le P.L. Chebyshev, la banque "B" est la plus stable dans son développement, car la probabilité d'écart des valeurs attendues d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique est faible (0,325), alors qu'elle est comparativement inférieure à celle des autres banques. La banque A occupe la deuxième place en termes de stabilité relative du développement, où le coefficient de cet écart est légèrement plus élevé que dans le premier cas (0,386). Dans la troisième banque, la probabilité que la valeur du coefficient de stabilité financière s'écarte vers la gauche de l'espérance mathématique de plus de 0,037 est pratiquement un événement fiable. De plus, considérant que la probabilité ne peut pas être supérieure à 1, dépassant les valeurs, selon la preuve de L.P. Chebyshev, doit être pris comme 1. Autrement dit, le fait que le développement d'une banque puisse évoluer dans une zone instable, caractérisée par un ratio de stabilité financière inférieur à 1, est un événement fiable.

Ainsi, caractérisant le développement financier des banques commerciales, les conclusions suivantes peuvent être tirées : l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète (la valeur moyenne attendue du ratio de stabilité financière) de la banque A est de 1,187. L'écart type de cette valeur discrète est de 0,164, ce qui caractérise objectivement un petit écart des valeurs de coefficient par rapport à la moyenne. Cependant, le degré d'instabilité de cette série est confirmé par une probabilité assez élevée d'un écart négatif du coefficient de stabilité financière de 1, égal à 0,386.

L'analyse des activités de la deuxième banque a montré que l'espérance mathématique de KFU est de 1,124 avec un écart type de 0,101. Ainsi, l'activité d'un établissement de crédit se caractérise par un faible écart des valeurs du ratio de stabilité financière, c'est-à-dire est plus concentré et stable, ce qui est confirmé par la probabilité relativement faible (0,325) de passage de la banque en zone non rentable.

La stabilité de la banque "C" se caractérise par une faible valeur de l'espérance mathématique (1,037) et également par un petit écart de valeurs (l'écart type est de 0,112). Inégalité L.P. Chebysheva prouve le fait que la probabilité d'obtenir une valeur négative du ratio de stabilité financière est de 1, c'est-à-dire l'attente d'une dynamique positive de son développement, toutes choses égales par ailleurs, semblera très déraisonnable. Ainsi, le modèle proposé, basé sur la détermination de la distribution existante de variables aléatoires discrètes (valeurs des ratios de stabilité financière des banques commerciales) et confirmé par l'évaluation de leur écart positif ou négatif équiprobable par rapport à l'espérance mathématique obtenue, permet déterminer son niveau actuel et prospectif.

Conclusion

L'utilisation des mathématiques en science économique a donné une impulsion au développement à la fois de la science économique elle-même et des mathématiques appliquées, en termes de méthodes du modèle économique et mathématique. Le proverbe dit : "Mesurer sept fois - Couper une fois." L'utilisation de modèles, c'est du temps, des efforts, des ressources matérielles. De plus, les modèles de calcul s'opposent aux décisions volontaires, car ils permettent d'évaluer à l'avance les conséquences de chaque décision, d'écarter les options inacceptables et de recommander les plus efficaces. La modélisation économique et mathématique est basée sur le principe de l'analogie, c'est-à-dire la possibilité d'étudier un objet en construisant et en examinant un autre objet semblable à celui-ci, mais plus simple et plus accessible, son modèle.

Les tâches pratiques de la modélisation économique et mathématique sont, d'abord, l'analyse d'objets économiques ; deuxièmement, la prévision économique, prévoyant l'évolution des processus économiques et le comportement des indicateurs individuels ; troisièmement, le développement des décisions de gestion à tous les niveaux de gestion.

Dans le travail, il a été constaté que les modèles économiques et mathématiques peuvent être divisés selon les caractéristiques :

· but visé;

· la prise en compte du facteur temps ;

· la durée de la période considérée ;

· finalités de création et d'application ;

· la prise en compte du facteur d'incertitude ;

· type d'appareil mathématique;

La description des processus et phénomènes économiques sous forme de modèles économiques et mathématiques repose sur l'utilisation de l'une des méthodes économiques et mathématiques utilisées à tous les niveaux de gestion.

Un rôle particulièrement important est acquis par les méthodes économiques et mathématiques à mesure que les technologies de l'information sont introduites dans tous les domaines de la pratique. Les principales étapes du processus de modélisation ont également été considérées, à savoir :

· énoncé du problème économique et son analyse qualitative;

· construire un modèle mathématique;

· analyse mathématique du modèle;

· préparation des premières informations ;

· solution numérique;

· l'analyse des résultats numériques et leur application.

L'article présentait un article de S.V. Boyko, dans lequel il est noté que les établissements de crédit nationaux, exposés à l'influence de l'environnement extérieur, sont confrontés à la tâche de trouver des outils de gestion qui impliquent la mise en œuvre de mesures anticrise rationnelles visant à stabiliser les taux de croissance des indicateurs de base de leurs activités. À cet égard, l'importance d'une détermination adéquate de la stabilité financière à l'aide de diverses méthodes et modèles est croissante, dont l'une des variétés sont les modèles stochastiques (probabilistes), qui permettent non seulement d'identifier les facteurs attendus de croissance ou de baisse de stabilité, mais aussi de constituer un ensemble de mesures préventives pour la maintenir.

Bibliographie

1)Crass M.S. Mathématiques pour les spécialités économiques : Manuel. -4e éd., Rév. - M. : Delo, 2003.

)Ivanilov Yu.P., Lotov A.V. Modèles mathématiques en économie. - M. : Nauka, 2007.

)Ashmanov S.A. Introduction à l'économie mathématique. - M. : Nauka, 1984.

)Gataulin A.M., Gavrilov G.V., Sorokina T.M. et autres Modélisation mathématique des processus économiques. - M. : Agropromizdat, 1990.

)Éd. Fedoseeva V.V. Méthodes économiques et mathématiques et modèles appliqués : Manuel pour les universités. - M. : UNITI, 2001.

)Savitskaya G.V. Analyse économique : un manuel. - 10e éd., Rév. - M. : Nouvelles connaissances, 2004.

)Gmurman V.E. Théorie des probabilités et statistiques mathématiques. M. : Lycée, 2002

)Recherche opérationnelle. Tâches, principes, méthodologie : manuel. manuel pour les universités / E.S. Wentzel. - 4e éd., Stéréotype. - M. : Outarde, 2006 .-- 206, p. : malade.

)Mathématiques en économie : manuel / S.V. Yudin. - M. : Maison d'édition RGTEU, 2009.-228 p.

)A.A. Kochetygov Théorie des probabilités et statistiques mathématiques : Manuel. Manuel / Outil. État Univ. Tula, 1998.200s.

)Boyko S.V., Modèles probabilistes dans l'évaluation de la stabilité financière des établissements de crédit / S.V. Boyko // Finances et crédit. - 2011. N 39. -

Tutorat

Besoin d'aide pour explorer un sujet ?

Nos experts vous conseilleront ou vous fourniront des services de tutorat sur des sujets qui vous intéressent.
Envoyer une demande avec l'indication du sujet en ce moment pour se renseigner sur la possibilité d'obtenir une consultation.

Taper