Méthodes et modèles d'analyse économiques et mathématiques. Modélisation mathématique en économie

MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION ET DES SCIENCES DE LA FÉDÉRATION DE RUSSIE

AGENCE FÉDÉRALE POUR L'ÉDUCATION

Établissement public d'enseignement supérieur enseignement professionnel

UNIVERSITÉ DE COMMERCE ET D'ÉCONOMIE D'ÉTAT DE RUSSIE

BRANCHE DE TULA

(TF GOU VPO RGTEU)

Résumé en mathématiques sur le sujet :

"Modèles économiques et mathématiques"

Complété:

étudiants de 2e année

"Finance et crédit"

département de jour

Maksimova Christine

Vitka Natalia

Vérifié:

Docteur en Sciences Techniques,

le professeur S.V. Yudin _____________

introduction

1.Modélisation économique et mathématique

1.1 Concepts de base et types de modèles. Leur classement

1.2 Méthodes économiques et mathématiques

Développement et application de modèles économiques et mathématiques

2.1 Étapes de l'économie modélisation mathématique

2.2 Application des modèles stochastiques en économie

Conclusion

Bibliographie

introduction

Pertinence.La modélisation dans la recherche scientifique a commencé à être appliquée dans l'Antiquité et a progressivement capturé de nouveaux domaines de connaissances scientifiques : conception technique, construction et architecture, astronomie, physique, chimie, biologie et, enfin, sciences sociales. La méthode de modélisation du 20e siècle a apporté un grand succès et une reconnaissance dans presque toutes les branches de la science moderne. Cependant, la méthodologie de modélisation a longtemps été développée indépendamment par des sciences distinctes. Il n'y avait pas de système unifié de concepts, de terminologie unifiée. Ce n'est que progressivement qu'on a commencé à prendre conscience du rôle de la modélisation en tant que méthode universelle de connaissance scientifique.

Le terme « modèle » est largement utilisé dans différentes régions l'activité humaine et a de nombreuses significations sémantiques. Ne considérons que les « modèles » qui sont des outils pour acquérir des connaissances.

Un modèle est un tel objet matériel ou imaginé mentalement qui, dans le processus de recherche, remplace l'objet original de sorte que son étude directe donne de nouvelles connaissances sur l'objet original.

La modélisation fait référence au processus de construction, d'apprentissage et d'application de modèles. Il est étroitement lié à des catégories telles que l'abstraction, l'analogie, l'hypothèse, etc. Le processus de modélisation comprend nécessairement la construction d'abstractions et d'inférences par analogie, ainsi que la construction d'hypothèses scientifiques.

La modélisation économique et mathématique fait partie intégrante de toute recherche dans le domaine de l'économie. Le développement rapide de l'analyse mathématique, de la recherche opérationnelle, de la théorie des probabilités et des statistiques mathématiques a contribué à la formation de divers types de modèles économiques.

Le but de la modélisation mathématique des systèmes économiques est d'utiliser les méthodes mathématiques pour la solution la plus efficace des problèmes survenant dans le domaine de l'économie, en utilisant, en règle générale, la technologie informatique moderne.

Pourquoi peut-on parler de l'efficacité de l'application des méthodes de modélisation dans ce domaine ? Tout d'abord, les objets économiques de différents niveaux (en partant du niveau d'une simple entreprise et en terminant par le niveau macro - l'économie du pays ou même l'économie mondiale) peuvent être envisagés sous l'angle d'une approche systémique. Deuxièmement, des caractéristiques du comportement des systèmes économiques telles que :

-variabilité (dynamisme) ;

-comportement contradictoire;

-une tendance à détériorer les performances ;

-exposition l'environnement

prédéterminer le choix de la méthode de leur recherche.

La pénétration des mathématiques dans l'économie est associée au dépassement de difficultés importantes. C'est en partie la faute des mathématiques, qui se sont développées sur plusieurs siècles, principalement en lien avec les besoins de la physique et de la technologie. Mais les raisons principales résident encore dans la nature des processus économiques, dans les spécificités de la science économique.

La complexité de l'économie était parfois vue comme une justification de l'impossibilité de la modéliser, de l'étudier au moyen des mathématiques. Mais ce point de vue est, en principe, incorrect. Vous pouvez modéliser un objet de toute nature et complexité. Et ce sont précisément les objets complexes qui présentent le plus grand intérêt pour la modélisation ; c'est là que la modélisation peut donner des résultats qui ne peuvent être obtenus par d'autres méthodes de recherche.

Le but de ce travail- révéler la notion de modèles économiques et mathématiques et étudier leur classification et les méthodes sur lesquelles ils se fondent, ainsi que d'envisager leur application en économie.

Objectifs de ce travail :systématisation, accumulation et consolidation des connaissances sur les modèles économiques et mathématiques.

1.Modélisation économique et mathématique

1.1 Concepts de base et types de modèles. Leur classement

Dans le processus de recherche d'un objet, il est souvent peu pratique voire impossible de traiter directement avec cet objet. Il est plus pratique de le remplacer par un autre objet similaire à celui-ci dans les aspects qui sont importants dans cette étude. V vue générale maquettepeut être défini comme une image conventionnelle d'un objet réel (processus), qui est créé pour une étude plus approfondie de la réalité. Une méthode de recherche basée sur le développement et l'utilisation de modèles est appelée la modélisation... Le besoin de modélisation est dû à la complexité, et parfois à l'impossibilité d'étudier directement l'objet réel (processus). Il est beaucoup plus accessible de créer et d'étudier des prototypes d'objets réels (processus), c'est-à-dire des des modèles. On peut dire ça connaissance théoriqueà propos de quelque chose, en règle générale, est une collection de différents modèles. Ces modèles reflètent les propriétés essentielles d'un objet réel (processus), bien qu'en réalité la réalité soit beaucoup plus significative et plus riche.

Modèleest un système imaginé mentalement ou matériellement réalisé qui, en affichant ou en reproduisant un objet de recherche, est capable de le remplacer de telle manière que son étude donne de nouvelles informations sur cet objet.

À ce jour, il n'existe pas de classification unique des modèles généralement acceptée. Cependant, à partir de l'ensemble des modèles, on peut distinguer les modèles verbaux, graphiques, physiques, économiques-mathématiques et certains autres types.

Modèles économiques et mathématiques- ce sont des modèles d'objets ou de processus économiques, dans la description desquels des moyens mathématiques sont utilisés. Les objectifs de leur création sont variés : ils sont construits pour analyser certains prérequis et dispositions. théorie économique, justification logique des lois économiques, traitement et introduction dans le système des données empiriques. Concrètement, les modèles économiques et mathématiques sont utilisés comme outil de prévision, de planification, de gestion et d'amélioration de divers aspects de l'activité économique de la société.

Les modèles économiques et mathématiques reflètent les propriétés les plus essentielles d'un objet ou d'un processus réel à l'aide d'un système d'équations. Il n'y a pas de classification unifiée des modèles économiques et mathématiques, bien que leurs groupes les plus importants puissent être distingués en fonction de la caractéristique de classification.

Par destinationles modèles sont divisés en:

· Théorique et analytique (utilisé dans l'étude des propriétés générales et des modèles de processus économiques);

· Appliqué (utilisé pour résoudre des problèmes économiques spécifiques, tels que des problèmes d'analyse économique, de prévision, de gestion).

Prise en compte du facteur tempsles modèles sont subdivisés en :

· Dynamique (décrire le système économique en développement);

· Statistique (le système économique est décrit dans les statistiques, par rapport à un un certain moment temps; c'est comme un instantané, une tranche, un fragment d'un système dynamique à un moment donné).

Par la durée de la période considéréedistinguer les modèles :

· Prévision ou planification à court terme (jusqu'à un an);

· Prévision ou planification à moyen terme (jusqu'à 5 ans);

· Prévision ou planification à long terme (sur 5 ans).

Par le but de la création et de l'utilisationdistinguer les modèles :

· Bilan;

· économétrique;

· Optimisation;

· Réseau;

· Systèmes de files d'attente ;

· Imitation (expert).

V équilibreles modèles reflètent l'exigence d'adéquation entre la disponibilité des ressources et leur utilisation.

Options économétriqueles modèles sont estimés à l'aide de méthodes de statistiques mathématiques. Les modèles les plus courants sont les systèmes d'équations de régression. Ces équations reflètent la dépendance des variables endogènes (dépendantes) vis-à-vis des variables exogènes (indépendantes). Cette dépendance s'exprime principalement à travers une évolution (tendance à long terme) des principaux indicateurs du système économique modélisé. Des modèles économétriques sont utilisés pour analyser et prévoir des processus économiques spécifiques à l'aide d'informations statistiques réelles.

Optimisationles modèles vous permettent de trouver parmi une variété d'options (alternatives) possibles la meilleure option production, distribution ou consommation. Dans le même temps, des ressources limitées seront utilisées de la meilleure façon possible pour atteindre l'objectif fixé.

RéseauLes modèles sont les plus utilisés en gestion de projet. Le modèle de réseau affiche un ensemble d'activités (opérations) et d'événements, et leur relation dans le temps. En règle générale, le modèle de réseau est conçu pour effectuer le travail dans un ordre tel que le délai d'exécution du projet est minimal. Dans ce cas, la tâche consiste à trouver le chemin critique. Cependant, il existe également de tels modèles de réseau qui ne se concentrent pas sur le critère du temps, mais, par exemple, sur la minimisation du coût du travail.

Des modèles systèmes de file d'attentesont créés pour minimiser le temps d'attente dans la file d'attente et le temps d'arrêt des canaux de service.

Imitationle modèle, avec les décisions de la machine, contient des blocs où les décisions sont prises par un humain (expert). Au lieu d'une participation humaine directe à la prise de décision, une base de connaissances peut agir. Dans ce cas, un ordinateur personnel, spécialisé Logiciel, la base de données et la base de connaissances forment un système expert. Expertle système est conçu pour résoudre un ou plusieurs problèmes en imitant les actions d'une personne, un expert dans ce domaine.

Prise en compte du facteur d'incertitudeles modèles sont subdivisés en :

· Déterministe (avec des résultats définis de manière unique) ;

· Stochastique (probabiliste ; avec différents résultats probabilistes).

Par le type d'appareil mathématiquedistinguer les modèles :

· Programmation linéaire (le plan optimal est atteint au point extrême de la plage de variation des variables du système de contraintes) ;

· Programmation non linéaire (il peut y avoir plusieurs valeurs optimales de la fonction objectif);

· Correlation et regression;

· Matrice;

· Réseau;

· La théorie des jeux;

· Théories des files d'attente, etc.

Avec le développement de la recherche économique et mathématique, le problème de la classification des modèles appliqués se complique. Parallèlement à l'émergence de nouveaux types de modèles et de nouveaux signes de leur classification, le processus d'intégration des modèles est effectué. différents types dans des conceptions de modèles plus complexes.

simulation mathématique stochastique

1.2 Méthodes économiques et mathématiques

Comme toute modélisation, la modélisation économique et mathématique repose sur le principe de l'analogie, c'est-à-dire la possibilité d'étudier un objet en construisant et en considérant un autre objet, semblable à lui, mais plus simple et plus accessible, son modèle.

Les tâches pratiques de la modélisation économique et mathématique sont, premièrement, l'analyse des objets économiques, deuxièmement, la prévision économique, prévoyant le développement des processus économiques et le comportement des indicateurs individuels, et troisièmement, le développement des décisions de gestion à tous les niveaux de gestion.

L'essence de la modélisation économique et mathématique est de décrire les systèmes et processus socio-économiques sous la forme de modèles économiques et mathématiques, qui doivent être compris comme un produit du processus de modélisation économique et mathématique, et les méthodes économiques et mathématiques en tant qu'outil.

Considérez les problèmes de classification des méthodes économiques et mathématiques. Ces méthodes représentent un complexe de disciplines économiques et mathématiques qui sont un alliage d'économie, de mathématiques et de cybernétique. Dès lors, la classification des méthodes économiques et mathématiques se réduit à la classification des disciplines scientifiques qui en font partie.

Avec un certain degré de conventionnalité, la classification de ces méthodes peut être présentée comme suit.

· Cybernétique économique : analyse systémique de l'économie, théorie de l'information économique et théorie des systèmes de contrôle.

· Statistiques mathématiques : applications économiques de cette discipline - méthode d'échantillonnage, analyse de variance, analyse de corrélation, analyse de régression, analyse statistique multivariée, théorie des indices, etc.

· L'économie mathématique et l'économétrie qui étudient les mêmes questions du côté quantitatif : la théorie de la croissance économique, la théorie fonctions de production, équilibres intersectoriels, comptes nationaux, analyse de la demande et de la consommation, analyse régionale et spatiale, modélisation globale.

· Méthodes pour prendre des décisions optimales, y compris l'étude des opérations dans l'économie. Il s'agit de la section la plus complète, qui comprend les disciplines et méthodes suivantes : programmation (mathématique) optimale, méthodes de planification et de contrôle des réseaux, théorie et méthodes de gestion des stocks, théorie des files d'attente, théorie des jeux, théorie et méthodes de prise de décision.

La programmation optimale, à son tour, comprend la programmation linéaire et non linéaire, la programmation dynamique, la programmation discrète (entière), la programmation stochastique, etc.

· Méthodes et disciplines qui sont spécifiques séparément à la fois à une économie planifiée et à une économie de marché (concurrentielle). Les premières comprennent la théorie de la tarification optimale du fonctionnement de l'économie, la planification optimale, la théorie de la tarification optimale, les modèles d'offre matérielle et technique, etc. Les dernières comprennent des méthodes permettant de développer des modèles de libre concurrence, des modèles de cycle capitaliste, des modèles de monopole. , modèles de théorie des firmes, etc... Bon nombre des méthodes développées pour une économie planifiée centralement peuvent être utiles dans la modélisation économique et mathématique dans une économie de marché.

· Méthodes pour l'étude expérimentale des phénomènes économiques. Ceux-ci comprennent, en règle générale, des méthodes mathématiques d'analyse et de planification d'expériences économiques, des méthodes de simulation de machines (simulation), jeux d'entreprise... Cela inclut également les méthodes de jugement d'experts, développées pour l'évaluation de phénomènes qui ne peuvent pas être mesurés directement.

Dans les méthodes économiques et mathématiques, diverses sections des mathématiques, des statistiques mathématiques et de la logique mathématique sont utilisées. Les mathématiques computationnelles, la théorie des algorithmes et d'autres disciplines jouent un rôle important dans la résolution de problèmes économiques et mathématiques. L'utilisation de l'appareil mathématique a apporté des résultats tangibles dans la résolution des problèmes d'analyse des processus de production élargie, de détermination des taux de croissance optimaux des investissements en capital, de l'emplacement optimal, de la spécialisation et de la concentration de la production, des problèmes de choix des méthodes de production optimales, de la détermination de la séquence optimale de lancement en production, le problème de la préparation de la production à l'aide de méthodes de planification de réseau et bien d'autres. ...

Pour résoudre les problèmes standard, un objectif clair est caractéristique, la capacité de développer à l'avance des procédures et des règles pour la conduite des règlements.

Il existe les conditions préalables suivantes pour l'utilisation de méthodes de modélisation économique et mathématique, dont les plus importantes sont un niveau élevé de connaissance de la théorie économique, des processus et phénomènes économiques, la méthodologie de leur analyse qualitative, ainsi qu'un niveau élevé formation mathématique, connaissance des méthodes économiques et mathématiques.

Avant de procéder au développement de modèles, il est nécessaire d'analyser soigneusement la situation, d'identifier les objectifs et les relations, les problèmes à résoudre et les données initiales pour leur solution, de maintenir un système de notation et de décrire ensuite la situation sous la forme de relations mathématiques.

2. Développement et application de modèles économiques et mathématiques

2.1 Les étapes de la modélisation économique et mathématique

Le processus de modélisation économique et mathématique est une description des systèmes sociaux et des processus sous forme de modèles économiques et mathématiques. Ce type de modélisation présente un certain nombre de caractéristiques essentielles associées à la fois à l'objet de modélisation et aux appareils et outils utilisés pour la modélisation. Il convient donc d'analyser plus en détail l'enchaînement et le contenu des étapes de la modélisation économique et mathématique, en mettant en évidence les six étapes suivantes :

.L'énoncé du problème économique et son analyse qualitative ;

2.Construire un modèle mathématique;

.Analyse mathématique du modèle ;

.Préparation des informations de base ;

.Solution numérique ;

Examinons chacune des étapes plus en détail.

1.Énoncé du problème économique et son analyse qualitative... L'essentiel ici est de formuler clairement l'essence du problème, les hypothèses formulées et les questions auxquelles il faut répondre. Cette étape comprend la sélection des caractéristiques et propriétés les plus importantes de l'objet modélisé et l'abstraction des secondaires ; étudier la structure de l'objet et les principales dépendances reliant ses éléments ; formulation d'hypothèses (au moins préliminaires), expliquant le comportement et le développement de l'objet.

2.Construire un modèle mathématique... C'est l'étape de formalisation d'un problème économique, en l'exprimant sous forme de dépendances et de relations mathématiques spécifiques (fonctions, équations, inégalités, etc.). Habituellement, la construction de base (type) du modèle mathématique est d'abord déterminée, puis les détails de cette construction sont spécifiés (une liste spécifique de variables et de paramètres, la forme de liens). Ainsi, la construction du modèle se subdivise en plusieurs étapes.

Il est faux de croire que plus un modèle prend en compte de faits, mieux il « fonctionne » et donne meilleurs scores... On peut en dire autant de caractéristiques de la complexité du modèle que les formes de dépendances mathématiques utilisées (linéaires et non linéaires), prenant en compte les facteurs d'aléatoire et d'incertitude, etc.

La complexité et la lourdeur excessives du modèle compliquent le processus de recherche. Il faut prendre en compte non seulement les possibilités réelles d'information et de support mathématique, mais aussi comparer les coûts de modélisation avec l'effet obtenu.

L'une des caractéristiques importantes des modèles mathématiques est le potentiel de leur utilisation pour résoudre des problèmes de qualité différente. Ainsi, même face à un nouveau défi économique, il n'est pas nécessaire de s'efforcer d'« inventer » un modèle ; il faut d'abord essayer d'appliquer des modèles déjà connus pour résoudre ce problème.

.Analyse mathématique du modèle.Le but de cette étape est de clarifier les propriétés générales du modèle. Des techniques de recherche purement mathématiques sont utilisées ici. Plus point important- preuve de l'existence de solutions dans le modèle formulé. S'il est possible de prouver que le problème mathématique n'a pas de solution, alors la nécessité de poursuivre les travaux sur la version initiale du modèle disparaît et soit la formulation du problème économique, soit les méthodes de sa formalisation mathématique doivent être ajustées. Dans l'étude analytique du modèle, des questions telles que, par exemple, la seule solution sont clarifiées, quelles variables (inconnues) peuvent être incluses dans la solution, quelles seront les relations entre elles, dans quelles limites et en fonction des conditions initiales , ils changent, quelles sont les tendances de leur changement, etc. etc. L'étude analytique du modèle par rapport à l'empirique (numérique) a l'avantage que les conclusions obtenues restent valables pour diverses valeurs spécifiques des paramètres externes et internes du modèle.

4.Préparation des premières informations.La modélisation impose des exigences fortes au système d'information. En même temps, les possibilités réelles d'obtenir des informations limitent le choix des modèles destinés à une utilisation pratique. Ceci prend en compte non seulement la possibilité fondamentale de préparer l'information (dans un certain laps de temps), mais aussi les coûts de préparation des tableaux d'information correspondants.

Ces coûts ne devraient pas dépasser l'effet de l'utilisation d'informations supplémentaires.

Dans le processus de préparation de l'information, les méthodes de la théorie des probabilités, des statistiques théoriques et mathématiques sont largement utilisées. Dans la modélisation économique et mathématique systémique, l'information initiale utilisée dans certains modèles est le résultat du fonctionnement d'autres modèles.

5.Solution numérique.Cette étape comprend le développement d'algorithmes pour la résolution numérique du problème, la compilation de programmes informatiques et des calculs directs. Les difficultés de cette étape sont dues, tout d'abord, à la grande dimension des problèmes économiques, à la nécessité de traiter des quantités importantes d'informations.

Les recherches effectuées par des méthodes numériques peuvent compléter de manière significative les résultats de la recherche analytique, et pour de nombreux modèles, c'est la seule réalisable. La classe des problèmes économiques qui peuvent être résolus par des méthodes numériques est beaucoup plus large que la classe des problèmes disponibles pour la recherche analytique.

6.Analyse des résultats numériques et leur application.A cette étape finale du cycle, se pose la question de l'exactitude et de l'exhaustivité des résultats de la simulation, du degré d'applicabilité pratique de ces derniers.

Les méthodes de vérification mathématique peuvent révéler des constructions de modèles incorrectes et ainsi restreindre la classe des modèles potentiellement corrects. Une analyse informelle des conclusions théoriques et des résultats numériques obtenus au moyen du modèle, en les comparant avec les connaissances disponibles et les faits de la réalité, nous permet également de révéler les lacunes de la formulation du problème économique, le modèle mathématique construit, ses informations et Support.

2.2 Application des modèles stochastiques en économie

La base de l'efficacité de la gestion bancaire est le contrôle systématique de l'optimalité, de l'équilibre et de la stabilité du fonctionnement dans le contexte de tous les éléments qui constituent le potentiel de ressources et déterminent les perspectives de développement dynamique d'un établissement de crédit. Ses méthodes et ses outils nécessitent une modernisation en réponse à l'évolution des conditions économiques. Dans le même temps, la nécessité d'améliorer le mécanisme de mise en œuvre des nouvelles technologies bancaires détermine l'opportunité de la recherche scientifique.

Les coefficients intégraux de stabilité financière (CFR) des banques commerciales utilisés dans les méthodes existantes caractérisent souvent le bilan de leur condition, mais ne permettent pas une description complète de la tendance de développement. Il faut garder à l'esprit que le résultat (KFU) dépend de nombreuses causes aléatoires (endogènes et exogènes), qui ne peuvent être pleinement prises en compte à l'avance.

À cet égard, il est justifié de considérer les résultats possibles de l'étude de l'état stable des banques comme des variables aléatoires avec la même distribution de probabilité, puisque les études sont réalisées selon la même méthodologie en utilisant la même approche. De plus, ils sont indépendants les uns des autres, c'est-à-dire le résultat de chaque coefficient individuel ne dépend pas des valeurs des autres.

Tenant compte du fait que dans un test la variable aléatoire prend une et une seule valeur possible, nous concluons que les événements X1 , X2 , ..., Xmforment un groupe complet, par conséquent, la somme de leurs probabilités sera égale à 1: p1 + p2 + ... + pm=1 .

Variable aléatoire discrète X- le coefficient de stabilité financière de la banque "A", Oui- banque "B", Z- banque "C" pour une période donnée. Afin d'obtenir un résultat permettant de tirer une conclusion sur la soutenabilité du développement des banques, l'évaluation a été réalisée sur la base d'une période rétrospective de 12 ans (tableau 1).

Tableau 1

Numéro de série de l'année Banque "A" Banque "B" Banque "C"11.3141,2011,09820,8150,9050,81131,0430,9940,83941,2111,0051,01351,1101,0901,00961,0981,1541,01771,1121,1151,02981,3111,3281,06591, 2451, 1911 14511 5701 2041,296111,3001,1261,084121,1431,1511,028Min0,8150,9050,811Max1,5701,3281,296 Étape0,07550,04230,0485

Pour chaque échantillon d'une certaine banque, les valeurs sont divisées en Nintervalles, les valeurs minimales et maximales sont déterminées. La procédure pour déterminer le nombre optimal de groupes est basée sur l'application de la formule de Sturgess :

N= 1 + 3.322 * ln N;

N= 1 + 3,322 * ln12 = 9,525 × 10,

Où m- le nombre de groupes ;

N- le nombre de la population.

h = (KFUmax- KFUmin) / 10.

Tableau 2

Les limites des intervalles de valeurs des variables aléatoires discrètes X, Y, Z (coefficients de stabilité financière) et la fréquence d'occurrence de ces valeurs dans les limites indiquées

Numéro d'intervalle Limites d'intervalle Taux d'occurrence (m ) XYZXYZ10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Sur la base du pas d'intervalle trouvé, les limites des intervalles ont été calculées en ajoutant le pas trouvé à la valeur minimale. La valeur résultante est la bordure du premier intervalle (bordure gauche - LG). Pour trouver la deuxième valeur (la bordure droite de PG), j'ajoute à nouveau une étape à la première bordure trouvée, et ainsi de suite. La frontière du dernier intervalle coïncide avec la valeur maximale :

Lg1 = KFUmin;

PG1 = KFUmin+h;

Lg2 = PG1;

PG2 = LG2 +h;

PG10 = KFUmax.

Les données sur la fréquence d'atteinte des coefficients de stabilité financière (variables aléatoires discrètes X, Y, Z) sont regroupées en intervalles et la probabilité que leurs valeurs tombent dans les limites spécifiées est déterminée. Dans ce cas, la valeur de la bordure gauche est incluse dans l'intervalle, et celle de droite ne l'est pas (tableau 3).

Tableau 3

Distribution des variables aléatoires discrètes X, Y, Z

Indicateur Valeurs de l'indicateur Banque "A" X0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P (X)0,083000,3330,0830,1670,250000,083Banque "B" O0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P (O)0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Banque "C" Z0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P (Z)0,1670000,4170,2500,083000,083

Par la fréquence d'occurrence des valeurs mleurs probabilités ont été trouvées (la fréquence d'occurrence est divisée par 12, en fonction du nombre d'unités dans la population), et les points médians des intervalles ont été utilisés comme valeurs de variables aléatoires discrètes. Les lois de leur distribution :

Pje= nje /12;

Xje= (LGje+ PGje)/2.

Sur la base de la distribution, on peut juger de la probabilité d'un développement instable de chaque banque :

P (X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P (O<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P (Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Ainsi, avec une probabilité de 0,083, la banque « A » peut atteindre la valeur du ratio de stabilité financière égale à 0,853. Autrement dit, la probabilité que ses dépenses dépassent ses revenus est de 8,3 %. Pour la banque B, la probabilité que le coefficient tombe en dessous de un était également de 0,083. Cependant, compte tenu du développement dynamique de l'organisation, cette diminution s'avérera toujours insignifiante - à 0,926. Enfin, il existe une forte probabilité (16,7%) que l'activité de la banque « C », toutes choses égales par ailleurs, soit caractérisée par la valeur de stabilité financière égale à 0,835.

En même temps, selon les tableaux de répartition, on peut voir la probabilité d'un développement durable des banques, c'est-à-dire la somme des probabilités, où les options de cotes ont une valeur supérieure à 1 :

P (X> 1) = 1 - P (X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P (O> 1) = 1 - P (O<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P (Z> 1) = 1 - P (Z<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

On peut observer que le développement le moins durable est attendu dans la banque « C ».

En général, la loi de distribution spécifie une variable aléatoire, mais le plus souvent, il est plus judicieux d'utiliser des nombres qui décrivent la variable aléatoire au total. On les appelle les caractéristiques numériques d'une variable aléatoire ; elles incluent l'espérance mathématique. L'espérance mathématique est approximativement égale à la valeur moyenne de la variable aléatoire et plus elle s'approche de la valeur moyenne, plus les tests ont été effectués.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits de toutes les quantités possibles par ses probabilités :

M (X) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xmpm

Les résultats du calcul des valeurs des espérances mathématiques des variables aléatoires sont présentés dans le tableau 4.

Tableau 4

Caractéristiques numériques des variables aléatoires discrètes X, Y, Z

Bank Expectation Variance Déviation quadratique moyenne"A" M (X) = 1,187D (X) = 0,027 ?(x) = 0,164 "B" M (Y) = 1,124D (Y) = 0,010 ?(y) = 0,101 "C" M (Z) = 1,037D (Z) = 0,012 ? (z) = 0,112

Les attentes mathématiques obtenues nous permettent d'estimer les valeurs moyennes des valeurs probables attendues du ratio de stabilité financière dans le futur.

Ainsi, d'après les calculs, on peut juger que l'espérance mathématique de développement durable de la banque « A » est de 1,187. L'espérance mathématique des banques "B" et "C" est respectivement de 1,124 et 1,037, ce qui reflète la rentabilité attendue de leur travail.

Cependant, ne connaissant que l'espérance mathématique montrant le "centre" des valeurs possibles supposées d'une variable aléatoire - KFU, il est encore impossible de juger ni ses niveaux possibles, ni le degré de leur distraction autour de l'espérance mathématique obtenue .

En d'autres termes, l'espérance mathématique, de par sa nature, ne caractérise pas pleinement la pérennité du développement de la banque. Pour cette raison, il devient nécessaire de calculer d'autres caractéristiques numériques : la variance et l'écart type. Ce qui permet d'évaluer le degré de dispersion des valeurs possibles du coefficient de stabilité financière. Les anticipations mathématiques et les écarts types permettent d'estimer l'intervalle dans lequel se situeront les valeurs possibles des ratios de stabilité financière des établissements de crédit.

Avec une valeur caractéristique relativement élevée de l'espérance mathématique de stabilité pour la banque "A", l'écart type était de 0,164, ce qui indique que la stabilité de la banque peut augmenter de cette valeur ou diminuer. Avec une évolution négative de la stabilité (ce qui est encore improbable, compte tenu de la probabilité obtenue d'activité non rentable, égale à 0,083), le ratio de stabilité financière de la banque restera positif - 1,023 (voir tableau 3)

L'activité de la banque « B » avec une espérance mathématique de 1,124, est caractérisée par une plage de valeurs de coefficient plus petite. Ainsi, même dans un concours de circonstances défavorable, la banque restera stable, puisque l'écart type par rapport à la valeur prédite était de 0,11, ce qui lui permettra de rester dans une zone de rendement positif. On peut donc tirer une conclusion sur la pérennité du développement de cette banque.

La banque « C », au contraire, avec une faible espérance mathématique de sa fiabilité (1 037), toutes choses égales par ailleurs, sera confrontée à un écart inacceptable pour elle égal à 0,112. Dans une situation défavorable, et compte tenu également du pourcentage élevé de probabilité d'activités non rentables (16,7%), cet établissement de crédit est susceptible de réduire sa stabilité financière à 0,925.

Il est important de noter qu'après avoir tiré des conclusions sur la durabilité du développement des banques, on ne peut pas prévoir avec certitude à l'avance laquelle des valeurs possibles le ratio de stabilité financière prendra à la suite du test ; cela dépend de nombreuses raisons, qui ne peuvent être prises en compte. De cette position, nous avons des informations très modestes sur chaque variable aléatoire. A cet égard, il n'est guère possible d'établir des modèles de comportement et la somme d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires.

Or, il s'avère que dans certaines conditions relativement larges, le comportement global d'un nombre suffisamment grand de variables aléatoires perd presque son caractère aléatoire et devient naturel.

Appréciant la soutenabilité du développement des banques, il reste à évaluer la probabilité que l'écart d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique ne dépasse pas un nombre positif en valeur absolue ?.L'inégalité de P.L. Tchebychev. La probabilité que l'écart d'une variable aléatoire X par rapport à son espérance mathématique en valeur absolue soit inférieur à un nombre positif ? pas moins que :

ou en cas de probabilité inverse :

En tenant compte du risque associé à la perte de stabilité, nous estimons la probabilité d'écart de la variable aléatoire discrète par rapport à l'espérance mathématique vers le bas et, en considérant les écarts par rapport à la valeur centrale comme étant également probables, à la fois vers le bas et vers le haut, réécrivons l'inégalité de nouveau:

En outre, sur la base de la tâche, il est nécessaire d'évaluer la probabilité que la valeur future du ratio de stabilité financière ne soit pas inférieure à 1 de l'espérance mathématique proposée (pour la banque « A », la valeur ?prendre égal à 0,187, pour la banque "B" - 0,124, pour "C" - 0,037) et calculer cette probabilité :

pot":

banque "C":

Selon le P.L. Chebyshev, la banque B est la plus stable dans son développement, car la probabilité d'écart des valeurs attendues d'une variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique est faible (0,325), alors qu'elle est relativement moindre que pour les autres banques. La banque A occupe la deuxième place en termes de stabilité relative du développement, où le coefficient de cet écart est légèrement plus élevé que dans le premier cas (0,386). Dans la troisième banque, la probabilité que la valeur du coefficient de stabilité financière s'écarte vers la gauche de l'espérance mathématique de plus de 0,037 est pratiquement un événement fiable. De plus, considérant que la probabilité ne peut pas être supérieure à 1, dépassant les valeurs, selon la preuve de L.P. Chebyshev, doit être pris comme 1. Autrement dit, le fait que le développement d'une banque puisse évoluer dans une zone instable, caractérisée par un ratio de stabilité financière inférieur à 1, est un événement fiable.

Ainsi, caractérisant le développement financier des banques commerciales, les conclusions suivantes peuvent être tirées : l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète (l'espérance moyenne du ratio de stabilité financière) de la banque A est de 1,187. L'écart type de cette valeur discrète est de 0,164, ce qui caractérise objectivement une petite dispersion des valeurs de coefficient par rapport à la moyenne. Cependant, le degré d'instabilité de cette série est confirmé par une probabilité assez élevée d'un écart négatif du coefficient de stabilité financière de 1, égal à 0,386.

L'analyse des activités de la deuxième banque a montré que l'espérance mathématique de KFU est de 1,124 avec un écart type de 0,101. Ainsi, l'activité d'un établissement de crédit se caractérise par un faible écart des valeurs du ratio de stabilité financière, c'est-à-dire est plus concentré et stable, ce qui est confirmé par la probabilité relativement faible (0,325) de passage de la banque en zone non rentable.

La stabilité de la banque "C" est caractérisée par une faible valeur de l'espérance mathématique (1,037) et également par un petit écart de valeurs (l'écart type est de 0,112). Inégalité L.P. Chebysheva prouve le fait que la probabilité d'obtenir une valeur négative du ratio de stabilité financière est de 1, c'est-à-dire l'attente d'une dynamique positive de son développement, toutes choses égales par ailleurs, semblera très déraisonnable. Ainsi, le modèle proposé, basé sur la détermination de la distribution existante de variables aléatoires discrètes (valeurs des ratios de stabilité financière des banques commerciales) et confirmé par l'évaluation de leur écart positif ou négatif équiprobable par rapport à l'espérance mathématique obtenue, permet déterminer son niveau actuel et prospectif.

Conclusion

L'utilisation des mathématiques en science économique a donné une impulsion au développement à la fois de la science économique elle-même et des mathématiques appliquées, en termes de méthodes du modèle économique et mathématique. Le proverbe dit : "Mesurer sept fois - Couper une fois." L'utilisation de modèles, c'est du temps, des efforts, des ressources matérielles. De plus, les modèles de calcul s'opposent aux décisions volontaires, car ils permettent d'évaluer à l'avance les conséquences de chaque décision, d'écarter les options inacceptables et de recommander les plus efficaces. La modélisation économique et mathématique est basée sur le principe de l'analogie, c'est-à-dire la possibilité d'étudier un objet en construisant et en considérant un autre objet, semblable à lui, mais plus simple et plus accessible, son modèle.

Les tâches pratiques de la modélisation économique et mathématique sont, d'abord, l'analyse d'objets économiques ; deuxièmement, la prévision économique, prévoyant l'évolution des processus économiques et le comportement des indicateurs individuels ; troisièmement, le développement des décisions de gestion à tous les niveaux de gestion.

Dans le travail, il a été découvert que les modèles économiques et mathématiques peuvent être divisés selon les caractéristiques:

· but visé;

· la prise en compte du facteur temps ;

· la durée de la période considérée ;

· finalités de création et d'application ;

· la prise en compte du facteur d'incertitude ;

· type d'appareil mathématique;

La description des processus et phénomènes économiques sous forme de modèles économiques et mathématiques repose sur l'utilisation de l'une des méthodes économiques et mathématiques utilisées à tous les niveaux de gestion.

Un rôle particulièrement important est acquis par les méthodes économiques et mathématiques à mesure que les technologies de l'information sont introduites dans tous les domaines de la pratique. Les principales étapes du processus de modélisation ont également été considérées, à savoir :

· énoncé du problème économique et son analyse qualitative;

· construire un modèle mathématique;

· analyse mathématique du modèle;

· préparation des premières informations ;

· solution numérique;

· l'analyse des résultats numériques et leur application.

L'article présentait un article de S.V. Boyko, dans lequel il est noté que les établissements de crédit nationaux, exposés à l'influence de l'environnement extérieur, sont confrontés à la tâche de trouver des outils de gestion qui impliquent la mise en œuvre de mesures anticrise rationnelles visant à stabiliser les taux de croissance des indicateurs de base de leurs activités. À cet égard, l'importance d'une détermination adéquate de la stabilité financière à l'aide de diverses méthodes et modèles augmente, dont l'une des variétés sont les modèles stochastiques (probabilistes), qui permettent non seulement d'identifier les facteurs attendus de croissance ou de déclin de la stabilité, mais aussi pour former un ensemble de mesures préventives pour le maintenir.

Le potentiel de modélisation mathématique de tout objet et processus économique ne signifie pas, bien sûr, sa faisabilité réussie à un niveau donné de connaissances économiques et mathématiques, d'informations spécifiques disponibles et de technologie informatique. Et bien qu'il soit impossible d'indiquer les limites absolues de la formalisation mathématique des problèmes économiques, il y aura toujours des problèmes non formalisés, ainsi que des situations où la modélisation mathématique n'est pas assez efficace.

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• Teneur
• introduction
• 1. Modèles mathématiques
• 1.1 Classification des modèles économiques et mathématiques
• 2. Modélisation d'optimisation
• 2.1 Programmation linéaire
• 2.1.1 La programmation linéaire comme outil de modélisation mathématique de l'économie
• 2.1.2 Exemples de modèles de programmation linéaire
• 2.2.3 Allocation optimale des ressources
• Conclusion

introduction

Les mathématiques modernes se caractérisent par une pénétration intensive dans d'autres sciences. À bien des égards, ce processus est dû à la division des mathématiques en un certain nombre de domaines indépendants. Pour de nombreuses branches du savoir, les mathématiques sont devenues non seulement un outil de calcul quantitatif, mais aussi une méthode de recherche précise et un moyen de formulation extrêmement claire de concepts et de problèmes. Sans les mathématiques modernes avec leur appareil logique et informatique développé, les progrès dans divers domaines de l'activité humaine n'auraient pas été possibles. modélisation linéaire mathématique économique

L'économie en tant que science des raisons objectives du fonctionnement et du développement de la société utilise une variété de caractéristiques quantitatives et a donc incorporé un grand nombre de méthodes mathématiques.

La pertinence de ce sujet est que l'économie moderne utilise des méthodes d'optimisation qui constituent la base de la programmation mathématique, de la théorie des jeux, de la planification de réseau, de la théorie des files d'attente et d'autres sciences appliquées.

L'étude des applications économiques des disciplines mathématiques qui constituent la base des mathématiques économiques actuelles, vous permet d'acquérir des compétences dans la résolution de problèmes économiques et d'élargir les connaissances dans ce domaine.

Le but de ce travail est d'étudier quelques-unes des méthodes d'optimisation utilisées dans la résolution de problèmes économiques.

1. Modèles mathématiques

Modèles mathématiques en économie. L'utilisation généralisée des modèles mathématiques est une direction importante pour l'amélioration de l'analyse économique. La spécification des données ou leur présentation sous forme de modèle mathématique permet de choisir la solution la moins chronophage et augmente l'efficacité de l'analyse.

Tous les problèmes économiques résolus à l'aide de la programmation linéaire diffèrent par des solutions alternatives et certaines conditions limites. Résoudre un tel problème signifie choisir la meilleure, optimale parmi toutes les options (alternatives) certes possibles. L'importance et la valeur de l'utilisation de la méthode de programmation linéaire en économie réside dans le fait que l'option optimale est sélectionnée parmi un nombre suffisamment important d'options alternatives.

Les points les plus essentiels dans la formulation et la résolution de problèmes économiques sous la forme d'un modèle mathématique sont :

· L'adéquation du modèle économique et mathématique de la réalité ;

· Analyse des patrons correspondant à ce processus ;

· Détermination des méthodes avec lesquelles vous pouvez résoudre le problème ;

· Analyse des résultats obtenus ou synthèse.

L'analyse économique est principalement comprise comme une analyse factorielle.

Soit y = f (x i) une fonction qui caractérise le changement d'un indicateur ou d'un processus ; x 1, x 2,…, x n - facteurs dont dépend la fonction y = f (x i). Une connexion déterministe fonctionnelle de l'indicateur y avec un ensemble de facteurs est donnée. Soit l'indicateur y avoir changé au cours de la période analysée. Il est nécessaire de déterminer quelle partie de l'incrément numérique de la fonction y = f (x 1, x 2,…, x n) est due à l'incrément de chaque facteur.

Peut être distingué en analyse économique- analyse de l'impact de la productivité du travail et du nombre d'employés sur le volume de produits fabriqués ; analyse de l'influence de la valeur bénéficiaire des immobilisations et du fonds de roulement normalisé sur le niveau de rentabilité ; analyse de l'influence des fonds empruntés sur l'agilité et l'indépendance de l'entreprise, etc.

En analyse économique, en plus des tâches qui reviennent à la décomposer en ses éléments constitutifs, il existe un ensemble de tâches où il est nécessaire de relier fonctionnellement un certain nombre de caractéristiques économiques, c'est-à-dire construire une fonction qui contient la qualité principale de tous les indicateurs économiques considérés.

Dans ce cas, un problème inverse est posé - le problème dit d'analyse factorielle inverse.

Soit un ensemble d'indicateurs x 1, x 2,…, x n, caractérisant un processus économique F. Chacun des indicateurs caractérise ce processus. Il est nécessaire de construire une fonction f (x i) des changements dans le processus F, contenant les principales caractéristiques de tous les indicateurs x 1, x 2, ..., x n

Le point principal de l'analyse économique est la définition d'un critère par lequel différentes solutions seront comparées.

Modèles mathématiques en gestion. La prise de décision joue un rôle important dans toutes les sphères de l'activité humaine. Pour formuler le problème de prise de décision, deux conditions doivent être remplies :

· Disponibilité de choix;

· Choix d'une option selon un certain principe.

Il existe deux principes connus pour choisir une solution : volontaire et critériel.

Le choix volitif, qui est le plus souvent utilisé, est utilisé en l'absence de modèles formalisés comme le seul possible.

Le choix du critère consiste à accepter un certain critère et à comparer les options possibles en fonction de ce critère. L'option pour laquelle le critère adopté prend la meilleure décision est appelée optimale, et le problème de prendre la meilleure décision est appelé problème d'optimisation.

Le critère d'optimisation est appelé fonction objectif.

Tout problème dont la solution se réduit à trouver le maximum ou le minimum de la fonction objectif est appelé problème extrême.

Les tâches de gestion sont associées à la recherche de l'extremum conditionnel de la fonction objectif sous des contraintes connues imposées à ses variables.

Lors de la résolution de divers problèmes d'optimisation, la fonction objectif est considérée comme la quantité ou le coût des produits, les coûts de production, le montant du profit, etc. Les limitations sont généralement liées aux ressources humaines matérielles et financières.

Les tâches de gestion de l'optimisation, différentes dans leur contenu et mises en œuvre à l'aide de produits logiciels standards, correspondent à l'une ou l'autre classe de modèles économiques et mathématiques.

Considérez la classification de certains des principaux problèmes d'optimisation mis en œuvre par la direction de la production.

Classification des problèmes d'optimisation par fonction de contrôle :

Fonction de contrôle	Tâches d'optimisation	Classe de modèles économiques et mathématiques
Préparation technique et organisationnelle de la production	Modélisation de la composition des produits ; Optimisation de la composition des grades, charge, mélanges ; Optimisation de la découpe des tôles, produits laminés ; Optimisation de l'allocation des ressources dans les modèles de réseau des lots de travaux ; Optimisation des aménagements des entreprises, des installations de production et des équipements ; Optimisation du parcours de fabrication des produits ; Optimisation des technologies et des modes technologiques.	La théorie des graphes Programmation discrète Programmation linéaire Planification et gestion du réseau Modélisation par simulation Programmation dynamique Programmation non linéaire
Planification technique et économique	Construire un plan consolidé et des indicateurs prévisionnels de développement de l'entreprise ; Optimisation du portefeuille de commandes et du programme de production ; Optimisation de la répartition du programme de production pour les périodes de planification.	Modèles d'équilibre matriciel "Entrée-Sortie" Corrélation- analyse de régression Extrapolation des tendances Programmation linéaire
Gestion opérationnelle de la production principale	Optimisation des normes d'ordonnancement ; Tâches du calendrier ; Optimisation des plans standards; Optimisation des plans de production à court terme.	Programmation non linéaire Modélisation par simulation Programmation linéaire Programmation en nombres entiers

Tableau 1.

La combinaison de divers éléments du modèle conduit à différentes classes de problèmes d'optimisation :

Tableau 2.

1.1 Classification des modèles économiques et mathématiques

Il existe une grande variété de types, de types de modèles économiques et mathématiques nécessaires à la gestion d'objets et de processus économiques. Les modèles économiques et mathématiques sont divisés en : macroéconomique et microéconomique, selon le niveau de l'objet de contrôle simulé, dynamique, qui caractérise les changements de l'objet de contrôle dans le temps, et statique, qui décrit la relation entre différents paramètres, indicateurs de l'objet à cet instant. Les modèles discrets affichent l'état de l'objet de contrôle à des moments distincts et fixes dans le temps. Les modèles économiques et mathématiques utilisés pour simuler des objets et des processus économiques contrôlés à l'aide de la technologie de l'information et de l'informatique sont appelés modèles d'imitation. Par le type d'appareil mathématique utilisé dans les modèles, il existe des modèles de programmation économiques et statistiques, linéaires et non linéaires, des modèles matriciels, des modèles de réseau.

Modèles factoriels. Le groupe des modèles à facteurs économiques et mathématiques comprend des modèles qui, d'une part, incluent des facteurs économiques dont dépend l'état de l'objet économique contrôlé, et d'autre part, les paramètres de l'état de l'objet dépendant de ces facteurs. Si les facteurs sont connus, alors le modèle permet de déterminer les paramètres souhaités. Les modèles factoriels sont le plus souvent fournis par des fonctions linéaires ou statiques mathématiquement simples qui caractérisent la relation entre les facteurs et les paramètres d'un objet économique qui en dépendent.

Modèles d'équilibre. Les modèles d'équilibre, à la fois statistiques et dynamiques, sont largement utilisés dans la modélisation économique et mathématique. La création de ces modèles est basée sur la méthode de l'équilibre - une méthode de comparaison mutuelle des ressources matérielles, de main-d'œuvre et financières et de leurs besoins. Décrivant le système économique dans son ensemble, son modèle d'équilibre est compris comme un système d'équations, dont chacune exprime le besoin d'un équilibre entre la quantité de produits fabriqués par des objets économiques individuels et la demande totale de ces produits. Avec cette approche, le système économique se compose d'entités économiques, dont chacune produit un certain produit. Si au lieu du concept de « produit » nous introduisons le concept de « ressource », alors le modèle d'équilibre doit être compris comme un système d'équations qui satisfont les exigences entre une certaine ressource et son utilisation.

Les types les plus importants de modèles d'équilibre:

· Bilans matériels, du travail et financiers pour l'économie dans son ensemble et ses différents secteurs ;

· Balances intersectorielles ;

· Les soldes matriciels des entreprises et des firmes.

Modèles d'optimisation. Une grande classe de modèles économiques et mathématiques est constituée de modèles d'optimisation qui vous permettent de choisir la meilleure option optimale parmi toutes les solutions. Dans le contenu mathématique, l'optimalité est comprise comme atteignant l'extremum du critère d'optimalité, aussi appelé fonction objectif. Les modèles d'optimisation sont le plus souvent utilisés pour trouver la meilleure façon d'utiliser les ressources économiques, ce qui vous permet d'obtenir l'effet cible maximal. La programmation mathématique a été formée sur la base de la résolution du problème de la coupe optimale des feuilles de contreplaqué, ce qui garantit l'utilisation la plus complète du matériau. Ayant posé un tel problème, le célèbre mathématicien et économiste russe, l'académicien L.V. Kantorovich a été reconnu comme digne du prix Nobel d'économie.

2. Modélisation d'optimisation

2.1 Programmation linéaire

2.1.1 La programmation linéaire comme outil de modélisation mathématique de l'économie

L'étude des propriétés du système général d'inégalités linéaires est menée depuis le 19ème siècle, et le premier problème d'optimisation avec une fonction objectif linéaire et des contraintes linéaires a été formulé dans les années 30 du 20ème siècle. L'un des premiers scientifiques étrangers à avoir jeté les bases de la programmation linéaire était John von Neumann, un mathématicien et physicien bien connu qui a prouvé le théorème principal sur les jeux matriciels. Parmi les scientifiques russes, le lauréat du prix Nobel L.V. Kantorovitch, N.N. Moiseev, E.G. Holstein, D.B. Yudin et bien d'autres.

La programmation linéaire est traditionnellement considérée comme l'une des branches de la recherche opérationnelle, qui étudie les méthodes permettant de trouver l'extremum conditionnel des fonctions de nombreuses variables.

Dans l'analyse mathématique classique, la formulation générale du problème de la détermination de l'extremum conditionnel est étudiée, cependant, en raison du développement de la production industrielle, des transports, du complexe agro-industriel, du secteur bancaire, les résultats traditionnels de l'analyse mathématique se sont avérés être insuffisant. Les besoins de la pratique et le développement de la technologie informatique ont conduit à la nécessité de déterminer des solutions optimales dans l'analyse de systèmes économiques complexes. Le principal outil pour résoudre de tels problèmes est la modélisation mathématique, c'est-à-dire une description formalisée du processus à l'étude et son étude à l'aide d'un appareil mathématique.

L'art de la modélisation mathématique est de prendre en compte le plus large éventail possible de facteurs influençant le comportement d'un objet, en utilisant des relations aussi simples que possible. C'est dans ce contexte que le processus de modélisation est souvent de nature à plusieurs étapes. Tout d'abord, un modèle relativement simple est construit, puis son étude est réalisée, ce qui permet de comprendre lesquelles des propriétés intégratrices de l'objet ne sont pas captées par ce schéma formel, après quoi, en raison de la complication du modèle, son une plus grande adéquation à la réalité est assurée. De plus, dans de nombreux cas, la première approximation de la réalité est un modèle dans lequel toutes les relations entre les variables caractérisant l'état de l'objet sont linéaires. La pratique montre qu'un nombre important de processus économiques sont suffisamment décrits par des modèles linéaires, et par conséquent, la programmation linéaire en tant qu'appareil qui permet de trouver un extremum conditionnel sur un ensemble donné par des équations linéaires et des inégalités joue un rôle important dans l'analyse des ces processus.

2.1.2 Exemples de modèles de programmation linéaire

Ci-dessous, nous considérerons plusieurs situations dont l'étude est possible à l'aide d'outils de programmation linéaire. Étant donné que le principal indicateur dans ces situations est économique - coût, les modèles correspondants sont économiques et mathématiques.

Le problème de la coupe des matériaux. Le matériel d'un échantillon est reçu pour traitement en une quantité d'unités. Il est nécessaire d'en fabriquer différents composants en quantités proportionnelles aux nombres a 1, ..., a k. Chaque unité de matériau peut être découpée de n manières différentes, en utilisant la ième méthode (i = 1, . .., n) donne b ij, unités du j-ième produit (j = 1, ..., k).

Il est nécessaire de trouver un plan de coupe qui prévoit le nombre maximum de jeux.

Le modèle économique et mathématique de ce problème peut être formulé comme suit. Notons x i - le nombre d'unités de matériaux découpés par la ième méthode, et x - le nombre d'ensembles de produits fabriqués.

En considérant que la quantité totale de matière est égale à la somme de ses unités, découpées de diverses manières, on obtient :

La condition de complétude est exprimée par les équations :

Il est évident que

x i 0 (i = 1, ..., n) (3)

Le but est de déterminer une telle solution X = (x 1, ..., x n), satisfaisant les contraintes (1) - (3), à laquelle la fonction F = x prend sa valeur maximale. Illustrons le problème considéré avec l'exemple suivant.Pour la fabrication de poutres d'une longueur de 1,5 m, 3 m et 5 m dans un rapport de 2: 1: 3, 200 bûches d'une longueur de 6 m sont coupées pour la coupe Déterminer le plan de coupe qui fournit le nombre maximum de jeux. Afin de formuler le problème d'optimisation correspondant de la programmation linéaire, définissons toutes les manières possibles de scier des grumes, en indiquant le nombre correspondant de poutres obtenues dans ce cas (tableau 1).

Tableau 1

Notons x i - le nombre de grumes sciées par la i-ème méthode (i = 1,2, 3, 4); x est le nombre d'ensembles de barres.

Tenant compte du fait que toutes les billes doivent être sciées, et que le nombre de poutres de chaque taille doit satisfaire à la condition de complétude, le modèle économique et mathématique d'optimisation prendra la forme suivante x> max sous les contraintes :

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 200

x i 0 (i = 1,2,3,4)

Le problème du choix du programme de production optimal de l'entreprise. Que l'entreprise soit capable de produire n types de produits différents. Pour fabriquer ces types de produits, l'entreprise utilise M types de ressources matérielles et N types d'équipements. Il est nécessaire de déterminer les volumes de production de l'entreprise (c'est-à-dire son programme de production) à un intervalle de planification donné afin de maximiser le bénéfice brut de l'entreprise.

où a i est le prix de vente des produits de type i ;

b i - coûts variables pour la libération d'une unité de production de type i;

Zp - coûts fixes conditionnellement, qui seront supposés indépendants du vecteur x = (x 1, ..., x n).

Dans le même temps, les restrictions sur les volumes de matériaux et de matières premières utilisés et le temps d'utilisation de l'équipement dans l'intervalle doivent être respectées.

Notons par Lj (j = l, ..., M) le volume des stocks de ressources matérielles de la forme j, et par fk (k = 1, ..., N) - le temps pendant lequel l'équipement du forme k. La consommation de ressources matérielles de type j pour la production d'une unité de produit de type i est connue, que l'on note l ij (i = 1, ..., n; j = 1, ..., M). On connaît également t ik - le temps de chargement d'un équipement de type k pour la fabrication d'une unité de production de type i (i = 1, ..., n; k = 1, ..., N) . Par m k on note le nombre d'équipements de la forme k (k = l, ..., N).

Avec les désignations introduites, des restrictions sur la quantité de matière consommée et de matières premières peuvent être définies comme suit :

Les contraintes sur la capacité de production sont données par les inégalités suivantes

De plus, les variables

x i? 0 i = 1, ..., n (7)

Ainsi, le problème du choix d'un programme de production qui maximise le profit consiste à choisir un tel plan de sortie x = (x 1 ..., x n) qui satisferait aux contraintes (5) - (7) et maximiserait la fonction (4).

Dans certains cas, une entreprise doit fournir des volumes de production Vt prédéfinis à d'autres entités économiques, puis dans le modèle considéré, au lieu de la restriction (1.7), une restriction de la forme peut être incluse :

x t> Vt i = 1, ..., n.

Problème de régime. Considérez la tâche de compiler un régime alimentaire à coût minimum par jour qui contiendrait certains nutriments dans les quantités requises. Nous supposerons qu'il existe une liste connue de produits de n noms (pain, sucre, beurre, lait, viande, etc.), que nous désignerons par les lettres F 1, ..., F n. De plus, les caractéristiques des aliments (nutriments) tels que les protéines, les graisses, les vitamines, les minéraux et autres sont prises en compte. Désignons ces composants par les lettres N 1, ..., N m. Supposons que pour chaque produit F i on connaisse (i = 1, ..., n) le contenu quantitatif dans une unité du produit des composants ci-dessus. Dans ce cas, vous pouvez créer un tableau contenant les caractéristiques des produits :

F 1, F 2,… F j… F n

N 1 un 11 un 12… un 1j… un 1N

N 2 un 21 un 22… un 2j… un 2N

N i a i1 a i2… a ij… a iN

N m un m1 un m2… un mj… un mN

Les éléments de ce tableau forment une matrice à m lignes et n colonnes. Notons-la par A et appelons-la la matrice nutritionnelle. Supposons que nous ayons compilé une ration x = (x 1, x 2, ..., x n) pour une certaine période (par exemple, un mois). Autrement dit, nous planifions chaque personne pour un mois x, unités (kilogrammes) de produit F 1, x 2 unités de produit F 2, etc. Il n'est pas difficile de calculer la quantité de vitamines, de graisses, de protéines et d'autres nutriments qu'une personne recevra pendant cette période. Par exemple, le composant N 1 est présent dans ce régime en une quantité

un 11 x 1 + un 12 x 2 +… + un 1n x n

puisque selon la condition en x 1 unités le produit F 1 selon la matrice nutritionnelle contient a 11 x 1 unités de composant N 1; à cette quantité est ajoutée une portion a 12 x 2 de substance N 1 à partir de x 2 unités de produit F 2, etc. De même, vous pouvez déterminer la quantité de toutes les autres substances N i dans le régime préparé (x 1, ..., x n).

Supposons qu'il existe certaines exigences physiologiques concernant la quantité requise de nutriments dans N i (i / = 1, ..., N) dans la période planifiée. Soit ces besoins donnés par le vecteur b = (b 1 ..., b n), dont le i-ème composant b i indique la teneur minimale requise du composant N i dans l'alimentation. Cela signifie que les coefficients x i du vecteur x doivent satisfaire le système de contraintes suivant :

a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1n x n?b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 +… + a 2n x n?b 2 (8)

un m1 x 1 + un m2 x 2 +… + un mn x n?b m

De plus, d'après le sens significatif du problème, il est évident que toutes les variables x 1, ..., x n sont non négatives et donc les inégalités s'ajoutent aux contraintes (8)

x 1? 0; x 2? 0; ... x n? 0; (neuf)

Tenant compte du fait que dans la plupart des cas une infinité de rations satisfont aux contraintes (8) et (9), nous choisissons celle qui a le coût le plus bas.

Soit les prix des produits F 1, ..., F n égaux respectivement à 1, ..., c n

Par conséquent, le coût de l'ensemble du régime x = (x 1 ..., x n) peut être écrit sous la forme

c 1 x 1 + c 2 x 2 +… + c n x n> min (10)

La formulation finale du problème de régime est que parmi tous les vecteurs x = (x 1, ..., x n) satisfaisant les contraintes (8) et (9), en choisir un pour lequel la fonction objectif (10) prend la valeur minimale.

Problème de transports. Il y a m points S 1, ..., S m pour la production d'un produit homogène (charbon, ciment, pétrole, etc.), tandis que le volume de production au point S i est égal à a i unités. Le produit fabriqué est consommé aux points Q 1 ... Q n et la demande au point Q j est de k j unités (j = 1, ..., n). Il est nécessaire d'établir un plan de transport des points S i (i = 1, ..., m) aux points Q j (j = 1, ..., n) afin de satisfaire les besoins du produit bj, tout en minimisant les frais de transport.

Soit le coût de transport d'une unité de produit du point S i au point Q i est égal à c ij. Nous supposerons en outre que lors du transport de x ij unités d'un produit de S i à Q j, les coûts de transport sont égaux à c ij x ij.

Appelons un plan de transport un ensemble de nombres x ij c i = 1, ..., m; j = 1, ..., n, satisfaisant les contraintes :

x ij?0, i = 1,2, ..., m; j = 1,…, n (11)

Avec un plan de transport (x ij), les frais de transport s'élèveront à

La formation finale du problème de transport est la suivante : parmi tous les ensembles de nombres (x ij) satisfaisant les contraintes (11), trouver un ensemble qui minimise (12).

2.1.3 Allocation optimale des ressources

La classe de problèmes discutés dans ce chapitre a de nombreuses applications pratiques.

En termes généraux, ces tâches peuvent être décrites comme suit. Il existe une certaine quantité de ressources, qui peuvent être comprises comme des fonds monétaires, des ressources matérielles (par exemple, des matières premières, des produits semi-finis, ressources en main-d'œuvre, différentes sortes matériel, etc). Ces ressources doivent être réparties entre les différents objets de leur utilisation à des intervalles distincts de la période de planification ou à des intervalles différents pour différents objets afin d'obtenir l'efficacité totale maximale du mode de répartition choisi. Un indicateur d'efficacité peut être, par exemple, le profit, la production commercialisable, le rendement des actifs (tâches de maximisation) ou les coûts totaux, le coût de revient, le temps d'exécution pour une quantité de travail donnée, etc. (tâches de minimisation).

D'une manière générale, l'écrasante majorité des problèmes de programmation mathématique s'intègrent dans la formulation générale du problème de l'allocation optimale des ressources. Naturellement, lorsque l'on considère des modèles et des schémas de calcul pour résoudre de tels problèmes par la méthode DP, il est nécessaire de concrétiser la forme générale du problème d'allocation des ressources.

Dans ce qui suit, nous supposerons que les conditions nécessaires à la construction du modèle DP sont satisfaites dans le problème. Décrivons un problème typique d'allocation de ressources en termes généraux.

Problème 1. Il existe un montant initial de fonds qui doit être réparti sur n ans entre s entreprises. Les fonds (k = 1, 2,…, n ; i = 1,…, s) alloués la kème année à la i-ème entreprise génèrent des revenus en montant et en fin d'année sont restitués en quantité. Dans la distribution ultérieure des revenus peut soit participer (partiellement ou complètement), ou ne pas participer.

Il est nécessaire de déterminer une telle méthode d'allocation des ressources (le montant des fonds alloués à chaque entreprise au cours de chaque année de planification) de sorte que le revenu total de s entreprises pour n années soit maximal.

Par conséquent, le revenu total reçu de s entreprises est pris comme indicateur de l'efficacité du processus d'allocation des ressources pendant n années :

Le nombre de ressources au début de la kième année sera caractérisé par la valeur (paramètre d'état). Gestion sur k-ième étape consiste en le choix de variables désignant les ressources allouées la k-ème année à la i-ème entreprise.

Si nous supposons que le revenu ne participe pas à la distribution ultérieure, alors l'équation d'état du processus a la forme

Si une partie du revenu participe à une distribution ultérieure au cours d'une année, la valeur correspondante est ajoutée au membre de droite de l'égalité (4.2).

Il est nécessaire de déterminer ns variables non négatives satisfaisant les conditions (4.2) et la fonction de maximisation (4.1).

La procédure de calcul DP commence par l'introduction d'une fonction désignant les revenus perçus en n - k + 1 ans, à partir de la kème année jusqu'à la fin de la période considérée, avec la répartition optimale des fonds entre s entreprises, si les fonds étaient distribué la kième année. Les fonctions pour k = 1, 2, ... n-1 satisfont aux équations fonctionnelles (2.2), qui peuvent être écrites comme :

Pour k = n, d'après (2.2), on obtient

Ensuite, il est nécessaire de résoudre séquentiellement les équations (4.4) et (4.3) pour tous les possibles (k = n - 1, n - 2, 1). Chacune de ces équations est un problème d'optimisation pour une fonction qui dépend de s variables. Ainsi, un problème avec ns variables est réduit à une séquence de n problèmes, dont chacun contient s variables. Dans ce cadre général, le problème reste difficile (en raison de sa multidimensionnalité), et dans ce cas il est impossible de le simplifier en le considérant comme un problème à ns pas. En fait, essayons de le faire. Numérotons les échelons par les numéros des entreprises, d'abord en 1ère année, puis en 2ème, etc. :

et nous utiliserons un paramètre pour caractériser le solde des fonds.

Au cours de la kème année, l'état "au début de n'importe quelle étape s (k-1) _ + i (i = 1,2,…, s) sera déterminé par l'état précédent à l'aide d'une équation simple. Cependant, après une année, c'est-à-dire au début de l'année suivante, il sera nécessaire d'ajouter des fonds à la trésorerie et, par conséquent, l'état au début de la (ks + 1) ème étape dépendra non seulement de la précédente ks- ème état, mais aussi sur tous les s états et contrôles de la dernière année. On obtient ainsi un processus avec séquelles. Pour éliminer les séquelles, il faut introduire plusieurs paramètres d'états ; le problème à chaque étape reste complexe multidimensionnalité.

Tâche 2. L'activité de deux entreprises (s = 2) est prévue pour n ans. Les fonds initiaux sont. Les fonds x investis dans l'entreprise I rapportent un revenu f 1 (x) à la fin de l'année et rapportent le montant de la même manière, les fonds x investis dans l'entreprise II rapportent un revenu f 2 (x) et rapportent le montant. A la fin de l'année, tous les fonds restants sont redistribués entre les entreprises I et II, de nouveaux fonds ne sont pas reçus et les revenus ne sont pas investis dans la production.

Il est nécessaire de trouver la manière optimale de répartir les fonds disponibles.

Nous considérerons le processus d'allocation des fonds comme un processus en n étapes, dans lequel le numéro d'étape correspond au numéro de l'année. Système géré - deux entreprises avec des fonds investis. Le système est caractérisé par un paramètre d'état - le montant des fonds qui devraient être redistribués au début de la k-ème année. Il existe deux variables de contrôle à chaque étape : - le montant des fonds alloués respectivement à l'entreprise I et II. Puisque les fonds sont entièrement redistribués annuellement, alors). Pour chaque étape, le problème devient unidimensionnel. On note, alors

L'indicateur d'efficacité de la k-ième étape est. Il s'agit des revenus reçus de deux entreprises au cours de la k-ème année.

L'indicateur de l'efficacité de la tâche - les revenus reçus de deux entreprises pendant n années - est

L'équation d'état exprime le solde des fonds après la k-ième étape et a la forme

Soit le revenu optimal conditionnel reçu de la distribution de fonds entre deux entreprises pendant n - k + 1 ans, à partir de la kème année jusqu'à la fin de la période considérée. Écrivons les relations de récurrence pour ces fonctions :

où - est déterminé à partir de l'équation d'état (4.6).

Avec un investissement discret de ressources, la question peut se poser sur le choix de l'étape Dx dans le changement des variables de contrôle. Cette étape peut être spécifiée ou déterminée en fonction de la précision requise des calculs et de la précision des données d'origine. Dans le cas général, cette tâche est difficile, elle nécessite une interpolation selon les tableaux aux étapes précédentes du calcul. Parfois, une analyse préliminaire de l'équation d'état vous permet de sélectionner l'étape Dx appropriée, ainsi que de définir les valeurs limites pour lesquelles vous devez tabuler à chaque étape.

Considérons un problème bidimensionnel, similaire au précédent, dans lequel un modèle discret du DP du processus d'allocation des ressources est construit.

Tâche 3. Élaborer un plan optimal de répartition annuelle des fonds entre deux entreprises au cours d'une période de planification de trois ans dans les conditions suivantes :

1) le montant initial est de 400 ;

2) les fonds investis d'un montant de x rapportent dans l'entreprise I un revenu f 1 (x) et un retour d'un montant de 60 % de x, et dans l'entreprise II - respectivement f2 (x) et 20 % ;

3) toutes les espèces reçues des fonds retournés sont distribuées annuellement :

4) les fonctions f 1 (x) et f2 (x) sont données dans le tableau. 1:

Le modèle de programmation dynamique de cette tâche est similaire au modèle compilé dans la tâche 1.

Le processus de gestion est en trois étapes. Paramètre - fonds à distribuer la kème année (k = l, 2, 3). La variable de contrôle correspond aux fonds investis dans l'entreprise I la kième année. Les fonds investis dans l'entreprise II la kème année sont Par conséquent, le processus de contrôle à la kème étape dépend d'un paramètre (le modèle unidimensionnel). L'équation d'état s'écrit sous la forme

Et des équations fonctionnelles sous la forme

Essayons de déterminer les valeurs maximales possibles pour lesquelles il est nécessaire de tabuler au k-ième pas (k = l, 2, 3). À = 400 à partir de l'équation (4.8), nous déterminons la valeur maximale possible, nous avons = 0,6 * 400 = 2400 (tous les fonds sont investis dans l'entreprise I). De même, pour nous obtenons la valeur limite 0,6 * 240 = 144. Laissez l'intervalle de changement coïncider avec le tableau, c'est-à-dire Dx = 50. Composons un tableau du profit total à cette étape :

Cela facilitera les calculs ultérieurs. Puisque les cellules situées sur la diagonale du tableau correspondent à la même valeur indiquée dans la 1ère ligne (dans la 1ère colonne) du tableau. 2. Dans la 2ème ligne du tableau, les valeurs de f 1 (x) sont écrites et dans la 2ème colonne - les valeurs de f 2 (y) tirées du tableau. 1. Les valeurs dans les cellules restantes du tableau sont obtenues en additionnant les nombres f 1 (x) et f 2 (y) dans la 2ème ligne et dans la 2ème colonne et correspondant à la colonne et à la ligne à l'intersection de laquelle se trouve cette cellule. Par exemple, pour = 150 nous obtenons une série de nombres : 20 - pour x = 0, y = 150 ; 18 - pour x = 50, y = 100 ; 18 - pour x - 100, y = 50 ; 15 - pour x = 150, y = 0.

Réalisons l'optimisation conditionnelle selon le schéma habituel. 3ème étape. Équation de base (4.9)

Comme indiqué ci-dessus,. Regardons les nombres sur les diagonales correspondant à = 0 ; 50 ; 100 ; 150 et choisissez le plus grand sur chaque diagonale. C'est exactement cela, dans la 1ère ligne, on trouve le contrôle optimal conditionnel correspondant. Nous placerons les données d'optimisation à la 3ème étape dans le tableau principal (Tableau 4). Il a introduit la colonne Dx, qui est en outre utilisée pour l'interpolation.

L'optimisation de la 2ème étape est réalisée en tableau. 5 selon une équation de la forme (4.10) :

Dans ce cas, le revenu maximum peut être obtenu, égal à Zmax = 99, l. Calcul direct des revenus selon le tableau. 2 donne 97,2 pour le contrôle optimal trouvé. L'écart dans les résultats de 1,9 (environ 2%) s'explique par l'erreur d'interpolation linéaire.

Nous avons envisagé plusieurs options pour le problème de l'allocation optimale des ressources. Il existe d'autres variantes de cette tâche, dont les caractéristiques sont prises en compte par le modèle dynamique correspondant.

Conclusion

Dans ce dissertation les types de modèles mathématiques utilisés en économie et en gestion sont considérés, ainsi que leur classification.

Une attention particulière dans le travail de cours est accordée à la modélisation d'optimisation.

Le principe de construction de modèles de programmation linéaire est étudié, des modèles des tâches suivantes sont également donnés :

· La tâche de couper des matériaux;

· La tâche de choisir le programme de production optimal de l'entreprise ;

· Problème d'alimentation;

· Problème de transport.

L'article présente les caractéristiques générales des problèmes de programmation discrète, décrit le principe d'optimalité et l'équation de Bellman, donne description générale processus de modélisation.

Trois tâches ont été choisies pour construire les modèles :

· Le problème de l'allocation optimale des ressources ;

· Le problème de la gestion optimale des stocks ;

· Problème de remplacement.

À tour de rôle, pour chacune des tâches, divers modèles de programmation dynamique ont été construits. Pour les tâches individuelles, des calculs numériques sont donnés conformément aux modèles construits.

Bibliographie:

1. Vavilov V.A., Zmeev O.A., Zmeeva E.E. Manuel électronique de recherche opérationnelle

2. Kalikhman I.L., Voitenko M.A. "Programmation dynamique dans les exemples et les problèmes", 1979

3. Kosorukov O.A., Mishchenko A.V. Recherche opérationnelle, 2003

4. Matériaux provenant d'Internet.

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Notions de base de la modélisation. Concepts généraux et la définition du modèle. Énoncé des problèmes d'optimisation. Méthodes de programmation linéaire. Tâche générale et typique en programmation linéaire. Méthode simplex pour résoudre des problèmes de programmation linéaire.

Moskovski Université d'État

économie, statistiques et informatique

Faculté d'économie et de droit

TEST

Discipline : AHD

Exécuté

Groupe d'étudiants VF-3

Timonina T.S.

Modélisation mathématique

L'un des types de modélisation de signes formalisée est la modélisation mathématique, réalisée au moyen du langage des mathématiques et de la logique. Pour étudier toute classe de phénomènes du monde extérieur, son modèle mathématique est construit, c'est-à-dire une description approximative de cette classe de phénomènes, exprimée à l'aide de symboles mathématiques.

Le processus de modélisation mathématique lui-même peut être divisé en quatre étapes principales :

jeorganiser: Formulation de lois reliant les principaux objets du modèle, c'est-à-dire l'enregistrement sous forme de termes mathématiques a formulé des idées qualitatives sur les connexions entre les objets du modèle.

IIorganiser: L'étude des problèmes mathématiques auxquels conduisent les modèles mathématiques. La question principale est la solution du problème direct, c'est-à-dire obtenir, à la suite de l'analyse du modèle, les données de sortie (conséquences théoriques) pour leur comparaison ultérieure avec les résultats des observations des phénomènes étudiés.

IIIorganiser: Correction du modèle hypothétique adopté selon le critère de la pratique, c'est-à-dire clarification de la question de savoir si les résultats de l'observation sont en accord avec les conséquences théoriques du modèle dans les limites de la précision de l'observation. Si le modèle était complètement défini - tous ses paramètres étaient donnés - alors la détermination des écarts des conséquences théoriques à partir des observations donne la solution du problème direct avec une estimation ultérieure des écarts. Si les écarts dépassent la précision des observations, alors le modèle ne peut pas être accepté. Souvent, lors de la construction d'un modèle, certaines de ses caractéristiques restent indéfinies. L'application du critère de pratique à l'évaluation d'un modèle mathématique permet de tirer une conclusion sur la justesse des dispositions qui sous-tendent le modèle (hypothétique) à étudier.

IVorganiser: Analyse ultérieure du modèle en lien avec l'accumulation de données sur les phénomènes étudiés et la modernisation du modèle. Avec l'avènement des ordinateurs, la méthode de modélisation mathématique a pris une place prépondérante parmi les autres méthodes de recherche. Cette méthode joue un rôle particulièrement important dans la science économique moderne. L'étude et la prévision de tout phénomène économique par la méthode de modélisation mathématique permet de concevoir de nouveaux moyens techniques, de prévoir l'impact de certains facteurs sur ce phénomène, de planifier ces phénomènes même en présence d'une situation économique instable.

L'essence de l'analyse économique

L'analyse (décomposition, démembrement, analyse) est une technique logique, une méthode de recherche dont l'essence est que le sujet étudié est mentalement divisé en éléments constitutifs, dont chacun est ensuite examiné séparément dans le cadre d'un tout démembré, de sorte que le éléments identifiés lors de l'analyse à combiner à l'aide d'une autre méthode logique - la synthèse - en un tout enrichi de nouvelles connaissances.

Sous analyse économique comprendre la discipline scientifique appliquée, qui est un système de connaissances particulières qui permet d'évaluer l'efficacité de l'activité de l'un ou l'autre sujet de l'économie de marché.

Théorie de l'analyse économique vous permet de justifier rationnellement, de prédire le développement d'un objet de gestion dans un avenir proche et d'évaluer la faisabilité de prendre une décision de gestion.

Les grandes orientations de l'analyse économique :

Formulation d'un système d'indicateurs caractérisant le fonctionnement de l'objet analysé ;

Analyse qualitative du phénomène étudié (résultat) ;

Analyse quantitative de ce phénomène (résultat) :

Pour l'élaboration et l'adoption d'une décision de gestion, il est important que ce soit un moyen de résoudre le problème principal de l'identification des réserves pour augmenter l'efficacité de l'activité économique en améliorant l'utilisation des ressources de production, en réduisant les coûts, en augmentant la rentabilité et en augmentant les bénéfices, c'est à dire vise à but ultime mise en œuvre des décisions de gestion.

Les développeurs de la théorie de l'analyse économique le soulignent caractéristique particularités :

1. Approche dialectique de l'étude des processus économiques, qui se caractérisent par : le passage de la quantité à la qualité, l'émergence d'une nouvelle qualité, le déni de la négation, la lutte des contraires, le dépérissement de l'ancienne et l'émergence de le nouveau.

2. Conditionnalité des phénomènes économiques par les relations causales et l'interdépendance.

3. L'identification et la mesure des relations et interdépendances des indicateurs reposent sur la connaissance des lois objectives du développement de la production et de la circulation des biens.

L'analyse économique est tout d'abord factorielle, c'est-à-dire l'influence déterminante d'un ensemble de facteurs économiques sur l'indicateur productif de l'entreprise.

L'influence de divers facteurs sur la performance économique d'une entreprise, une entreprise est réalisée à l'aide d'une analyse stochastique.

À leur tour, les analyses déterministes et stochastiques fournissent :

Établir des relations causales ou probabilistes de facteurs et d'indicateurs de performance ;

Révéler les modèles économiques de l'influence des facteurs sur le fonctionnement de l'entreprise et leur expression à l'aide de dépendances mathématiques ;

La capacité de construire des modèles (principalement mathématiques) de l'impact des systèmes de facteurs sur les indicateurs de performance et de rechercher avec leur aide sur l'impact sur le résultat final de la décision de gestion prise .

Dans la pratique, différents types d'analyses économiques sont utilisés. Les analyses sont particulièrement importantes pour les décisions de gestion prises : opérationnelles, actuelles, prospectives (par intervalles de temps) ; partiel et complexe (en volume); identifier les réserves, améliorer la qualité, etc. (comme prévu) ; analyse prédictive. Les prévisions permettent de justifier économiquement des décisions de gestion stratégiques, opérationnelles (fonctionnelles) ou tactiques .

Historiquement, deux groupes de méthodes et de techniques se sont développés : les traditionnelles et les mathématiques. Considérons plus en détail l'application des méthodes mathématiques à l'analyse économique.

Méthodes mathématiques en analyse économique

L'utilisation de méthodes mathématiques dans le domaine de la gestion est la direction la plus importante pour améliorer les systèmes de gestion. Les méthodes mathématiques accélèrent l'analyse économique, contribuent à un compte rendu plus complet de l'influence des facteurs sur les résultats des activités et améliorent la précision des calculs. L'utilisation de méthodes mathématiques nécessite :

* une approche systématique de l'étude d'un objet donné, prenant en compte les relations et relations avec d'autres objets (entreprises, firmes) ;

* développement de modèles mathématiques reflétant les indicateurs quantitatifs de l'activité systémique des employés de l'organisation, les processus se déroulant dans des systèmes complexes, tels que les entreprises ;

* amélioration du système d'aide à l'information pour la gestion d'entreprise à l'aide d'ordinateurs électroniques.

La solution des problèmes d'analyse économique par des méthodes mathématiques est possible s'ils sont formulés mathématiquement, c'est-à-dire les relations et dépendances économiques réelles sont exprimées à l'aide d'une analyse mathématique. Cela nécessite le développement de modèles mathématiques.

Dans la pratique de la gestion, diverses méthodes sont utilisées pour résoudre les problèmes économiques. La figure 1 montre les principales méthodes mathématiques utilisées dans l'analyse économique.

Les signes de classification choisis sont plutôt arbitraires. Par exemple, dans la planification et la gestion de réseau, diverses méthodes mathématiques sont utilisées, et de nombreux auteurs ont des significations différentes du terme « recherche opérationnelle ».

Méthodes mathématiques élémentaires sont utilisés dans les calculs économiques traditionnels pour justifier les besoins en ressources, développer un plan, des projets, etc.

Méthodes classiques d'analyse mathématique utilisés indépendamment (différenciation et intégration) et dans le cadre d'autres méthodes (statistiques mathématiques, programmation mathématique).

Méthodes statistiques - l'outil principal pour l'étude des phénomènes répétitifs massifs. Ils sont utilisés lorsqu'il est possible de représenter les changements dans les indicateurs analysés comme un processus aléatoire. Si la relation entre les caractéristiques analysées n'est pas déterministe, mais stochastique, alors les méthodes statistiques et probabilistes deviennent pratiquement le seul outil de recherche. En analyse économique, les méthodes d'analyse de corrélation multiple et par paires sont les mieux connues.

Pour l'étude des agrégats statistiques simultanés, la loi de distribution, les séries variationnelles et la méthode d'échantillonnage sont utilisées. Pour les populations statistiques multivariées, des corrélations, des régressions, des analyses de variance, de covariance, spectrales, en composantes et factorielles sont utilisées.

Méthodes économiques reposent sur la synthèse de trois domaines de connaissances : l'économie, les mathématiques et les statistiques. La base de l'économétrie est le modèle économique, c'est-à-dire une représentation schématique d'un phénomène ou de processus économiques, le reflet de leurs caractéristiques à l'aide de l'abstraction scientifique. La méthode la plus courante d'analyse de l'économie est celle des "entrées-sorties". La méthode présente des modèles matriciels (bilan) construits selon un schéma en damier et illustrant clairement la relation entre les coûts et les résultats de production.

Techniques de programmation mathématique - le principal moyen de résoudre les problèmes d'optimisation de la production et des activités économiques. Par essence, les méthodes sont des moyens de calculs planifiés, et elles permettent d'évaluer l'intensité des objectifs planifiés, la rareté des résultats, et de déterminer les types limitants de matières premières et de groupes d'équipements.

Sous Recherche Opérationnelle signifie le développement de méthodes d'actions ciblées (opérations), l'évaluation quantitative des solutions et la sélection des meilleures d'entre elles. Le but de la recherche opérationnelle est une combinaison d'éléments structurels interconnectés du système, qui dans la plus grande mesure fournit le meilleur indicateur économique.

La théorie des jeux en tant que section de la recherche opérationnelle, c'est une théorie des modèles mathématiques pour prendre des décisions optimales dans des conditions d'incertitude ou de conflit de plusieurs parties ayant des intérêts différents.

Méthodes de statistiques mathématiques

Riz. 1. Classification des principales méthodes mathématiques utilisées en analyse économique.

Théorie des files d'attente basée sur la théorie des probabilités explore des méthodes mathématiques pour quantifier les processus de mise en file d'attente. Une caractéristique de toutes les tâches liées au service de masse est la nature aléatoire des phénomènes à l'étude. Le nombre de demandes de service et les intervalles de temps entre leurs arrivées sont aléatoires, mais dans l'ensemble ils obéissent à des lois statistiques dont l'étude quantitative fait l'objet de la théorie des files d'attente.

Cybernétique économique analyse les phénomènes et processus économiques en tant que systèmes complexes du point de vue des lois de contrôle et du mouvement de l'information en eux. Les méthodes de modélisation et d'analyse des systèmes sont les plus développées dans ce domaine.

L'utilisation de méthodes mathématiques dans l'analyse économique est basée sur la méthodologie de la modélisation économique et mathématique des processus économiques et la classification scientifiquement fondée des méthodes et des problèmes d'analyse. Toutes les méthodes économiques et mathématiques (tâches) sont divisées en deux groupes : optimisation solutions selon un critère donné et non-optimisation(solutions sans critère d'optimalité).

Sur la base de l'obtention d'une solution exacte, toutes les méthodes mathématiques sont divisées en précis(selon le critère ou sans lui, la seule solution est obtenue) et approximatif(basé sur des informations stochastiques).

Les méthodes exactes optimales incluent les méthodes de la théorie des processus optimaux, certaines méthodes de programmation mathématique et méthodes de recherche opérationnelle, jusqu'aux approximations d'optimisation - certaines des méthodes de programmation mathématique, recherche opérationnelle, cybernétique économique, heuristique.

Les méthodes exactes sans optimisation comprennent les méthodes des mathématiques élémentaires et les méthodes classiques d'analyse mathématique, les méthodes économiques, les méthodes approximatives sans optimisation - la méthode des tests statistiques et d'autres méthodes de statistiques mathématiques.

Les modèles mathématiques de files d'attente et de gestion des stocks sont particulièrement souvent utilisés. Par exemple, la théorie des files d'attente est basée sur celle développée par les scientifiques A.N. Kolmogorov et A.L. Khanchin la théorie de la file d'attente.

Théorie des files d'attente

Cette théorie permet d'étudier des systèmes conçus pour servir un flux massif de requêtes aléatoires. Tant les moments d'apparition des exigences que le temps passé à les traiter peuvent être aléatoires. Le but des méthodes de la théorie est de trouver une organisation raisonnable du service qui assure sa qualité spécifiée, de déterminer les normes optimales (du point de vue du critère accepté) de service de garde, dont le besoin survient de manière imprévue, irrégulière .

En utilisant la méthode de modélisation mathématique, il est possible de déterminer, par exemple, le nombre optimal de machines à fonctionnement automatique pouvant être desservies par un ouvrier ou une équipe d'ouvriers, etc.

Les centraux téléphoniques automatiques - centraux téléphoniques automatiques - peuvent servir d'exemple typique d'objets de la théorie des files d'attente. Le central téléphonique automatique reçoit de manière aléatoire des « demandes » - des appels d'abonnés, et le « service » consiste à connecter des abonnés à d'autres abonnés, à maintenir la communication pendant une conversation, etc. Les problèmes de la théorie, formulés mathématiquement, se réduisent généralement à l'étude d'un type particulier de processus aléatoires.

A partir des données des caractéristiques probabilistes du flux d'appels entrants et de la durée du service et en tenant compte du schéma du système de service, la théorie détermine les caractéristiques correspondantes de la qualité de service (la probabilité d'échec, l'attente moyenne heure du début du service, etc.).

Les modèles mathématiques de nombreux problèmes de contenu technique et économique sont également des problèmes de programmation linéaire. La programmation linéaire est une discipline dédiée à la théorie et aux méthodes de résolution de problèmes extrêmes fonctions linéaires sur des ensembles définis par des systèmes d'égalités et d'inégalités linéaires.

Problème de planification d'entreprise

Pour la production de produits homogènes, il est nécessaire de dépenser divers facteurs de production - matières premières, main-d'œuvre, machines, carburant, transport, etc. Il existe généralement plusieurs méthodes technologiques éprouvées de production, et dans ces méthodes, les coûts des facteurs de production par unité de temps pour la production de produits sont différents.

Le nombre de facteurs de production dépensés et le nombre de produits fabriqués dépendent de la durée pendant laquelle l'entreprise travaillera selon une méthode technologique particulière.

La tâche de répartition rationnelle du temps de travail de l'entreprise pour divers méthodes technologiques, c'est à dire. de telle sorte que le nombre maximum de produits sera produit à un coût limité donné de chaque facteur de production.

Sur la base de la méthode de modélisation mathématique en recherche opérationnelle, de nombreux problèmes importants sont également résolus qui nécessitent des méthodes de résolution spécifiques. Ceux-ci inclus:

· Le problème de la fiabilité du produit.

· La tâche de remplacer l'équipement.

· La théorie de l'ordonnancement (dite théorie de l'ordonnancement).

· Le problème de l'allocation des ressources.

· Le problème de la tarification.

· Théorie de la planification de réseau.

Défi de la fiabilité des produits

La fiabilité des produits est déterminée par un ensemble d'indicateurs. Pour chacun des types de produits, il existe des recommandations pour le choix des indicateurs de fiabilité.

Pour évaluer les produits qui peuvent être dans deux états possibles - en état de marche et en panne, les indicateurs suivants sont utilisés : temps moyen jusqu'à la panne (temps moyen jusqu'à la première panne), temps moyen jusqu'à la panne, taux de panne, paramètre de flux de panne, temps moyen pour restaurer un état de fonctionnement, probabilité de fonctionnement sans défaillance pour l'instant t, facteur de disponibilité.

Problème d'allocation des ressources

La question de l'allocation des ressources est l'un des principaux enjeux du processus de gestion de la production. Pour répondre à cette problématique, la recherche opérationnelle utilise la construction d'un modèle statistique linéaire.

Défi des prix

Pour l'entreprise, la question de la formation des prix des produits joue un rôle important. La manière dont la tarification est effectuée dans l'entreprise dépend de son profit. De plus, dans les conditions actuelles de l'économie de marché, le prix est devenu un facteur important dans la lutte concurrentielle.

Théorie de la planification de réseau

La planification et la gestion du réseau est un système de planification de gestion pour le développement de grands complexes économiques, la conception et la préparation technologique pour la production de nouveaux types de biens, la construction et la reconstruction, révision immobilisations en appliquant des schémas de réseau.

L'essence de la planification et de la gestion de réseau consiste à élaborer un modèle mathématique d'un objet contrôlé sous la forme d'un schéma de réseau ou d'un modèle situé dans la mémoire de l'ordinateur, qui reflète la relation et la durée d'un certain ensemble de travaux. L'horaire du réseau, après son optimisation au moyen des mathématiques appliquées et de l'informatique, est utilisé pour le contrôle opérationnel des travaux.

La résolution de problèmes économiques par la méthode de modélisation mathématique permet de réaliser gestion efficaceà la fois par les processus de production individuels au niveau de la prévision et de la planification des situations économiques et de la prise de décisions de gestion sur cette base, et par l'ensemble de l'économie dans son ensemble. Par conséquent, la modélisation mathématique en tant que méthode est étroitement liée à la théorie de la prise de décision en gestion.

Les étapes de la modélisation économique et mathématique

Les principales étapes du processus de modélisation ont déjà été discutées ci-dessus. Dans diverses branches du savoir, y compris dans l'économie, ils acquièrent leurs propres spécificités. Analysons l'enchaînement et le contenu des étapes d'un cycle de modélisation économique et mathématique.

1. Formulation du problème économique et son analyse qualitative. L'essentiel ici est de formuler clairement l'essence du problème, les hypothèses formulées et les questions auxquelles il faut répondre. Cette étape comprend la sélection des caractéristiques et propriétés les plus importantes de l'objet modélisé et l'abstraction des secondaires ; étudier la structure de l'objet et les principales dépendances reliant ses éléments ; formulation d'hypothèses expliquant le comportement et le développement de l'objet.

2. Construire un modèle mathématique... C'est l'étape de formalisation d'un problème économique, en l'exprimant sous forme de dépendances et de relations mathématiques spécifiques (fonctions, équations, inégalités, etc.). Habituellement, la construction de base (type) du modèle mathématique est d'abord déterminée, puis les détails de cette construction sont spécifiés (une liste spécifique de variables et de paramètres, la forme de liens). Ainsi, la construction du modèle se subdivise en plusieurs étapes.

Il est faux de supposer que plus un modèle prend en compte de faits, mieux il « fonctionne » et donne de meilleurs résultats. Il en va de même des caractéristiques de la complexité du modèle comme les formes de dépendances mathématiques utilisées (linéaires et non linéaires), la prise en compte des facteurs de hasard et d'incertitude, etc. La complexité et la lourdeur excessives du modèle compliquent le processus de recherche. Il faut non seulement prendre en compte les possibilités réelles d'information et de support mathématique, mais aussi comparer les coûts de modélisation avec l'effet obtenu (avec une augmentation de la complexité du modèle, l'augmentation des coûts peut dépasser l'augmentation des l'effet).

L'une des caractéristiques importantes des modèles mathématiques est le potentiel de leur utilisation pour résoudre des problèmes de qualité différente. Par conséquent, même face à un nouveau défi économique, il n'est pas nécessaire de s'efforcer d'« inventer » un modèle ; dans un premier temps, il faut essayer d'appliquer des modèles déjà connus pour résoudre ce problème.

Dans le processus de construction d'un modèle, les deux systèmes de connaissances scientifiques - économique et mathématique - sont comparés. Il est naturel de s'efforcer d'obtenir un modèle appartenant à une classe bien étudiée de problèmes mathématiques. Cela peut souvent être fait en simplifiant quelque peu les hypothèses initiales du modèle sans déformer les caractéristiques essentielles de l'objet modélisé. Cependant, une telle situation est également possible lorsque la formalisation d'un problème économique conduit à une structure mathématique jusque-là inconnue. Les besoins de la science et de la pratique économiques au milieu du XXe siècle. contribué au développement de la programmation mathématique, de la théorie des jeux, de l'analyse fonctionnelle, des mathématiques computationnelles. Il est probable qu'à l'avenir le développement de l'économie deviendra un stimulant important pour la création de nouvelles branches des mathématiques.

3. Analyse mathématique du modèle. Le but de cette étape est de clarifier les propriétés générales du modèle. Des techniques de recherche purement mathématiques sont utilisées ici. Le point le plus important est la preuve de l'existence de solutions dans le modèle formulé (théorème d'existence). S'il est possible de prouver que le problème mathématique n'a pas de solution, alors il n'est pas nécessaire de poursuivre les travaux sur la version originale du modèle ; il faut corriger soit la formulation du problème économique, soit les modalités de sa formalisation mathématique. Dans l'étude analytique du modèle, des questions telles que, par exemple, la seule solution sont clarifiées, quelles variables (inconnues) peuvent être incluses dans la solution, quelles seront les relations entre elles, dans quelles limites et selon quelles conditions initiales ils changent, quelles sont les tendances de leur changement et etc. L'étude analytique du modèle par rapport à l'empirique (numérique) a l'avantage que les conclusions obtenues restent valables pour diverses valeurs spécifiques des paramètres externes et internes du modèle.

La connaissance des propriétés générales d'un modèle est si importante, souvent pour prouver de telles propriétés, que les chercheurs optent délibérément pour l'idéalisation du modèle original. Or, les modèles d'objets économiques complexes sont difficiles à analyser analytiquement. Dans les cas où les méthodes analytiques ne parviennent pas à découvrir les propriétés générales du modèle et que les simplifications du modèle conduisent à des résultats inacceptables, elles passent à des méthodes de recherche numériques.

4. Préparation des informations de base. La modélisation impose des exigences fortes au système d'information. En même temps, les possibilités réelles d'obtenir des informations limitent le choix des modèles destinés à une utilisation pratique. Ceci prend en compte non seulement la possibilité fondamentale de préparer l'information (dans un certain laps de temps), mais aussi les coûts de préparation des tableaux d'information correspondants. Ces coûts ne devraient pas dépasser l'effet de l'utilisation d'informations supplémentaires.

Dans le processus de préparation de l'information, les méthodes de la théorie des probabilités, des statistiques théoriques et mathématiques sont largement utilisées. Dans la modélisation économique et mathématique systémique, l'information initiale utilisée dans certains modèles est le résultat du fonctionnement d'autres modèles.

5. Solution numérique. Cette étape comprend le développement d'algorithmes pour la résolution numérique du problème, la compilation de programmes informatiques et le calcul direct. Les difficultés de cette étape sont dues, tout d'abord, à la grande dimension des problèmes économiques, à la nécessité de traiter des quantités importantes d'informations.

Habituellement, les calculs basés sur le modèle économique et mathématique sont multivariés. En raison de la vitesse élevée des ordinateurs modernes, il est possible d'effectuer de nombreuses expériences de "modèle", en étudiant le "comportement" du modèle sous divers changements dans certaines conditions. Les recherches effectuées par des méthodes numériques peuvent compléter de manière significative les résultats de la recherche analytique, et pour de nombreux modèles, c'est la seule réalisable. La classe des problèmes économiques qui peuvent être résolus par des méthodes numériques est beaucoup plus large que la classe des problèmes disponibles pour la recherche analytique.

6. Analyse des résultats numériques et leur application. A cette étape finale du cycle, se pose la question de l'exactitude et de l'exhaustivité des résultats de la simulation, du degré d'applicabilité pratique de ces derniers.

Les méthodes de vérification mathématique peuvent révéler des constructions de modèles incorrectes et ainsi réduire la classe de modèles potentiellement corrects. Une analyse informelle des conclusions théoriques et des résultats numériques obtenus au moyen du modèle, en les comparant avec les connaissances disponibles et les faits de la réalité, nous permet également de révéler les lacunes de la formulation du problème économique, le modèle mathématique construit, ses informations et Support.

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Les méthodes mathématiques en économie sont un outil important pour l'analyse. Ils sont utilisés dans la construction de modèles théoriques qui permettent d'afficher les connexions existantes dans la vie de tous les jours. En outre, à l'aide de ces méthodes, le comportement des entités commerciales et la dynamique des indicateurs économiques du pays sont prédits de manière assez précise.

Je voudrais m'attarder plus en détail sur la prévision des indicateurs d'objets économiques, qui est un outil de la théorie de la décision. Les prévisions du développement socio-économique de tout pays sont basées sur certains indicateurs (dynamique de l'inflation, produit intérieur brut, etc.). La formation des indicateurs attendus est réalisée à l'aide de méthodes de statistiques appliquées et d'économétrie telles que l'analyse de régression et de corrélation.

Le domaine de recherche « Économie et méthodes mathématiques » a toujours été assez intéressant pour les scientifiques de ce domaine. Ainsi, l'académicien Nemchinov a identifié cinq mathématiques dans la planification et la prévision :

Méthode de modélisation mathématique;

Méthode de matrice vectorielle ;

Méthode d'approximation successive;

La méthode des évaluations publiques optimales.

Un autre académicien, Kantorovich, a divisé les méthodes mathématiques en quatre groupes :

Modèles d'interaction des unités économiques ;

Modèles macroéconomiques, y compris les modèles de demande et la méthode de l'équilibre ;

Modèles d'optimisation ;

Modélisation linéaire.

Les systèmes sont utilisés dans le but de rendre efficaces et bonne décision v sphère économique... Dans ce cas, la technologie informatique moderne est principalement utilisée.

Le processus de modélisation lui-même doit être effectué dans l'ordre suivant :

1. Énoncé du problème. Il est nécessaire de formuler clairement la tâche, de déterminer les objets liés au problème à résoudre et la situation réalisée grâce à sa solution. C'est à ce stade que le quantitatif et les sujets, objets et situations connexes sont produits.

2. L'analyse du système Tâches. Tous les objets doivent être divisés en éléments avec la définition de la relation entre eux. C'est à ce stade qu'il est préférable d'utiliser des méthodes mathématiques en économie, à l'aide desquelles une analyse quantitative et qualitative des propriétés des éléments nouvellement formés est effectuée et à la suite de laquelle certaines inégalités et équations sont dérivées. En d'autres termes, une carte de pointage est obtenue.

3. La synthèse du système est une formulation mathématique d'un problème, au cours de laquelle un modèle mathématique d'un objet est formé et des algorithmes pour résoudre le problème sont déterminés. A ce stade, il est possible que les modèles adoptés des étapes précédentes se révèlent incorrects, et pour obtenir le bon résultat, vous devrez revenir en arrière d'une ou même de deux étapes.

Dès que le modèle mathématique est formé, vous pouvez procéder au développement d'un programme pour résoudre le problème sur un ordinateur. Si vous avez un objet assez complexe qui consiste en un grand nombreéléments, vous devrez créer une base de données et des outils improvisés pour travailler avec.

Si le problème prend une forme standard, alors toutes les méthodes mathématiques appropriées en économie et le produit logiciel fini sont utilisés.

L'étape finale est l'exploitation directe du modèle généré et l'obtention des résultats corrects.

Les méthodes mathématiques en économie doivent être utilisées exactement dans un certain ordre et avec l'utilisation des technologies modernes de l'information et de l'informatique. Ce n'est que dans cet ordre qu'il devient possible d'exclure les décisions volontaires subjectives basées sur l'intérêt personnel et les émotions.

Ministère des Chemins de fer de la Fédération de Russie

Université d'État des chemins de fer de l'Oural

Institut des voies de communication de Tcheliabinsk

TRAVAIL DE COURS

sur le cours : "Modélisation économique et mathématique"

Sujet : "Modèles mathématiques en économie"

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Tcheliabinsk 200_g.

introduction

Création et enregistrement de rapports

Résoudre le problème sur un ordinateur

Littérature

introduction

La modélisation dans la recherche scientifique a commencé à être appliquée dans l'Antiquité et a progressivement capturé de nouveaux domaines de connaissances scientifiques : conception technique, construction et architecture, astronomie, physique, chimie, biologie et, enfin, sciences sociales. La méthode de modélisation du 20e siècle a apporté un grand succès et une reconnaissance dans presque toutes les branches de la science moderne. Cependant, la méthodologie de modélisation a longtemps été développée indépendamment par des sciences distinctes. Il n'y avait pas de système unifié de concepts, de terminologie unifiée. Ce n'est que progressivement qu'on a commencé à prendre conscience du rôle de la modélisation en tant que méthode universelle de connaissance scientifique.

Le terme « modèle » est largement utilisé dans diverses sphères de l'activité humaine et a de nombreuses significations sémantiques. Ne considérons que les « modèles » qui sont des outils pour acquérir des connaissances.

Un modèle est un tel objet matériel ou imaginé mentalement qui, dans le processus de recherche, remplace l'objet original de sorte que son étude directe donne de nouvelles connaissances sur l'objet original.

La modélisation fait référence au processus de construction, d'apprentissage et d'application de modèles. Il est étroitement lié à des catégories telles que l'abstraction, l'analogie, l'hypothèse, etc. Le processus de modélisation comprend nécessairement la construction d'abstractions et d'inférences par analogie, ainsi que la construction d'hypothèses scientifiques.

caractéristique principale la modélisation est qu'il s'agit d'une méthode de cognition indirecte à l'aide d'objets de substitution. Le modèle agit comme une sorte d'outil cognitif que le chercheur met entre lui et l'objet et à l'aide duquel il étudie l'objet d'intérêt. C'est cette caractéristique de la méthode de modélisation qui détermine les formes spécifiques d'utilisation d'abstractions, d'analogies, d'hypothèses, d'autres catégories et méthodes de cognition.

La nécessité d'utiliser la méthode de modélisation est déterminée par le fait que de nombreux objets (ou problèmes liés à ces objets) peuvent être directement étudiés ou totalement impossibles, ou cette recherche nécessite beaucoup de temps et d'argent.

La modélisation est un processus cyclique. Cela signifie que le premier cycle en quatre étapes peut être suivi d'un deuxième, d'un troisième, etc. Dans le même temps, les connaissances sur l'objet à l'étude sont élargies et affinées, et le modèle original est progressivement amélioré. Les inconvénients découverts après le premier cycle de modélisation, causés par une faible connaissance de l'objet et des erreurs dans la construction du modèle, peuvent être corrigés dans les cycles suivants. Ainsi, la méthodologie de modélisation contient de grandes opportunités d'auto-développement.

Le but de la modélisation mathématique des systèmes économiques est d'utiliser les méthodes mathématiques pour la solution la plus efficace des problèmes survenant dans le domaine de l'économie, en utilisant, en règle générale, la technologie informatique moderne.

Le processus de résolution des problèmes économiques se déroule en plusieurs étapes:

Énoncé (économique) substantiel du problème. Tout d'abord, vous devez comprendre la tâche, la formuler clairement. Dans le même temps, des objets sont également déterminés qui se rapportent au problème à résoudre, ainsi qu'à la situation qui doit être mise en œuvre à la suite de sa solution. C'est l'étape de la formulation significative du problème. Pour que le problème soit décrit de manière quantitative et utilise la technologie informatique pour le résoudre, il est nécessaire d'effectuer une analyse qualitative et quantitative des objets et des situations qui s'y rapportent. Dans ce cas, les objets complexes sont divisés en parties (éléments), les connexions de ces éléments, leurs propriétés, les valeurs quantitatives et qualitatives des propriétés, les relations quantitatives et logiques entre elles, exprimées sous forme d'équations, d'inégalités, etc. sont déterminés. C'est l'étape de l'analyse systémique du problème, à la suite de laquelle l'objet est présenté sous la forme d'un système.

L'étape suivante est la formulation mathématique du problème, au cours de laquelle la construction d'un modèle mathématique de l'objet est réalisée et la détermination de méthodes (algorithmes) pour obtenir une solution au problème. C'est l'étape de synthèse systémique (formulation mathématique) du problème. Il convient de noter qu'à ce stade, il peut s'avérer que l'analyse du système précédemment effectuée a conduit à un tel ensemble d'éléments, de propriétés et de relations pour lesquels il n'existe aucune méthode acceptable pour résoudre le problème ; en conséquence, il est nécessaire de revenir à l'étape de l'analyse du système. En règle générale, les problèmes résolus dans la pratique économique sont standardisés, l'analyse du système est effectuée sur la base d'un modèle mathématique connu et d'un algorithme pour sa solution, le problème réside uniquement dans le choix d'une méthode appropriée.

L'étape suivante consiste à développer un programme pour résoudre le problème sur un ordinateur. Pour les objets complexes constitués d'un grand nombre d'éléments avec un grand nombre de propriétés, il peut être nécessaire de compiler une base de données et des outils pour travailler avec elle, des méthodes d'extraction de données nécessaires aux calculs. Pour les tâches standard, ce n'est pas le développement qui est effectué, mais la sélection d'un package d'application et d'un système de gestion de base de données appropriés.

Au stade final, le modèle est exploité et les résultats sont obtenus.

Ainsi, la solution au problème comprend les étapes suivantes :

2. Analyse du système.

3. Synthèse du système (formulation mathématique du problème)

4. Développement ou sélection de logiciels.

5. Résolution du problème.

L'utilisation cohérente des méthodes de recherche opérationnelle et leur mise en œuvre sur les technologies modernes de l'information et de l'informatique nous permet de dépasser la subjectivité, d'exclure les décisions dites volontaires basées non pas sur une considération stricte et précise de circonstances objectives, mais sur des émotions aléatoires et l'intérêt personnel des managers. de différents niveaux, qui, d'ailleurs, ne sont pas d'accord sur ces décisions volontaires.

L'analyse du système permet de prendre en compte et d'utiliser en gestion toutes les informations disponibles sur l'objet contrôlé, de coordonner les décisions prises du point de vue d'un critère objectif et non subjectif d'efficacité. Économiser sur les calculs lors du contrôle équivaut à économiser sur la visée lors de la prise de vue. Cependant, l'ordinateur permet non seulement de prendre en compte toutes les informations, mais aussi de décharger le gestionnaire des informations inutiles, et laisse tout le nécessaire contourner la personne, ne lui présentant que l'information la plus généralisée, la quintessence. Approche systémique en économie, elle est efficace en elle-même, sans utiliser l'ordinateur, comme méthode de recherche, alors qu'elle ne modifie pas les lois économiques précédemment découvertes, mais enseigne seulement comment mieux les utiliser.

La complexité des processus économiques exige qu'un décideur soit hautement qualifié et expérimenté. Ceci, cependant, ne garantit pas des erreurs, de donner une réponse rapide à la question posée, de conduire Recherche expérimentale, impossible ou nécessitant des coûts et du temps importants sur un objet réel, permet une modélisation mathématique.

La modélisation mathématique vous permet de prendre la décision optimale, c'est-à-dire la meilleure. Elle peut légèrement différer d'une décision bien prise sans recours à la modélisation mathématique (environ 3 %). Cependant, avec de gros volumes de production, une erreur aussi "mineure" peut entraîner des pertes énormes.

Méthodes mathématiques utilisées pour l'analyse et l'adoption de modèles mathématiques solution optimale, sont très complexes et leur mise en œuvre sans l'utilisation d'un ordinateur est difficile. Dans le cadre de programmes Exceller et Mathcad il existe des outils qui vous permettent d'effectuer une analyse mathématique et de trouver la solution optimale.

Numéro de pièce 1 "Recherche d'un modèle mathématique"

Formulation du problème.

L'entreprise a la capacité de produire 4 types de produits. Pour la libération d'une unité de production de chaque type, il est nécessaire de dépenser une certaine quantité de main-d'œuvre, de ressources financières et de matières premières. Il y a une quantité limitée de chaque ressource disponible. La vente d'une unité de production est rentable. Les valeurs des paramètres sont indiquées dans le tableau 1. Condition supplémentaire: les coûts financiers pour la production des produits n° 2 et n° 4 ne doivent pas dépasser 50 roubles. (de chaque type).

Basé sur une modélisation mathématique au moyen Exceller déterminer quels produits et en quelles quantités il est conseillé de produire du point de vue d'obtenir le plus grand profit, analyser les résultats, répondre aux questions, tirer des conclusions.

Tableau 1.

Compilation d'un modèle mathématique

Fonction objectif (CF).

La fonction objectif montre dans quel sens la solution au problème doit être la meilleure (optimale). Dans notre tâche le CF :

Bénéfice → max.

La valeur du profit peut être déterminée par la formule :

Bénéfice = compte 1 ∙ pr 1 + mise 2 ∙ pr 2 + mise 3 ∙ pr 3 + mise 4 ∙ pr 4, où numéro 1, ..., numéro 4 -

le nombre de produits manufacturés de chaque type ;

pr 1, ..., pr 4 - bénéfices tirés de la vente d'une unité de chaque type de produit. Substituer les valeurs pr 1, ..., pr 4 ( du tableau 1) on obtient :

CF : 1,7 ∙ chiffre 1 + 2,3 ∙ chiffre 2 + 2 chiffre 3 + 5 chiffre 4 → max (1)

Restrictions (OGR).

Les contraintes établissent des dépendances entre les variables. Dans notre problème, des restrictions sont imposées sur l'utilisation des ressources, dont les quantités sont limitées. La quantité de matières premières nécessaires à la production de tous les produits peut être calculée à l'aide de la formule :

Matière première = à partir de 1 ∙ quantité 1 + à partir de 2 ∙ quantité 2 + à partir de 3 ∙ quantité 3 + à partir de 4 quantité 4, où s 1, ..., s 4 –

les quantités de matières premières nécessaires pour produire une unité de chaque type de produit. Montant total les matières premières utilisées ne peuvent pas dépasser la ressource disponible. En substituant les valeurs du tableau 1, nous obtenons la première limite - pour les matières premières :

1,8 ∙ chiffre 1 + 1,4 chiffre 2 + 1 chiffre 3 + 0,15 chiffre 4 ≤ 800 (2)

De même, nous écrivons les restrictions sur les coûts financiers et de main-d'œuvre :

0,63 ∙ chiffre 1 + 0,1 chiffre 2 + 1 chiffre 3 + 1,7 chiffre 4 ≤ 400 (3)

1,1 ∙ chiffre 1 + 2,3 ∙ chiffre 2 + 1,6 ∙ chiffre 3 + 1,8 chiffre 4 ≤ 1000 (4)

Conditions aux limites (GRU).

Les conditions aux limites montrent les limites dans lesquelles les variables recherchées peuvent varier. Dans notre tâche, il s'agit des coûts financiers pour la production des produits n° 2 et n° 4 selon la condition :

0,1 ∙ compter 2 50 p.; 1,7 ∙ compter 4 ≤ 50 p. ( 5)

D'autre part, il faut introduire que le montant de la production doit être supérieur ou égal à zéro. C'est une condition évidente pour nous, mais une condition nécessaire pour un ordinateur :

compter 1 0 ; compter 2 0 ; compter 3 0 ; compter 4 0. ( 6)

Étant donné que toutes les variables requises ( col 1, ..., col 4) sont inclus dans le rapport 1-7 au premier degré et seules les actions de sommation et de multiplication par des coefficients constants sont effectuées sur eux, alors le modèle est linéaire.

Résoudre le problème sur un ordinateur.

Nous allumons l'ordinateur. Avant d'entrer dans le réseau, définissez le nom d'utilisateur ZA, avec le mot de passe A. Chargez le programme Exceller... Enregistrez le fichier sous le nom Lidovitski Kulik. N.-É. ls... dans le dossier Ek/k 31 (2). Créez un en-tête : à gauche la date, au centre le nom du fichier, à droite le nom de la feuille.

Nous créons et mettons en forme l'en-tête et le tableau des données sources (tableau 1). Nous entrons les données dans le tableau selon la variante du problème.

Nous créons et mettons en forme un tableau pour le calcul. Entrez les valeurs initiales dans la cellule "Quantité". Nous les choisissons proches du résultat attendu. Nous n'avons pas d'informations préalables et nous les choisirons donc égales à 1. Cela facilitera le contrôle des formules saisies.

Dans la ligne "Coûts de main-d'œuvre", nous entrons les termes de la formule (4) - le produit de la quantité de produits par le nombre d'intrants de main-d'œuvre nécessaires à la production d'une unité de production :

pour le numéro de produit 1 (= С15 * С8) ;

numéro de produit 2 (= D15 * D8) ;

numéro de produit 3 (= E15 * E8) ;

numéro de produit 4 (= F15 * F8).

Dans la colonne « TOTAL », on retrouve la somme des contenus de ces cellules à l'aide du bouton de somme automatique Σ. Dans la colonne « Restant », on retrouve la différence entre le contenu des cellules « Ressource-Effort » du tableau 1 et « TOTAL-Effort » (= G8-G17). De même, on remplit le « Finance » (= G9 -G18) et « Matières premières » (= G10-G19).

Dans la cellule « Profit », nous calculons le profit sur le côté gauche de la formule (1). Dans ce cas, nous utiliserons la fonction = SOMMEPROD (C15 : F15 ; C11 : F11).

Nous attribuons aux cellules contenant le bénéfice total, les coûts financiers, de main-d'œuvre et de matières premières, ainsi que les quantités de produits, les noms, respectivement : "Profit", "Finance", "Coûts de main-d'œuvre", "Matières premières", "Pr1 ", "Pr2", "Pr3" , "Pr4". Exceller inclura ces noms dans les rapports.

Appel de la boîte de dialogue Trouver une solutionéquipes Service-Recherche d'une solution...

But de la fonction objectif.

Placer le curseur dans la fenêtre Définir la cellule cible et en cliquant sur la cellule "Profit", saisissez-y son adresse. On introduit la direction de la fonction objectif : La valeur maximale.

Entrez les adresses des variables recherchées, contenant le nombre de produits 1-4, dans la fenêtre Changer de cellule .

Saisie des restrictions.

Cliquez sur le bouton Ajouter... Une boîte de dialogue apparaît Ajout de restrictions... On met le curseur dans la fenêtre Référence de cellule et saisissez-y l'adresse de la cellule "Coûts de main-d'oeuvre". Ouvrez la liste des conditions et sélectionnez<=, в поле Limitation saisir l'adresse de la cellule "Ressources-Coûts de la main-d'oeuvre". Cliquez sur le bouton Ajouter... Dans une nouvelle fenêtre Ajout de restrictions de même, nous introduisons une restriction sur le financement. Cliquez sur le bouton Ajouter, nous introduisons une restriction sur les matières premières. Cliquer sur d'accord... la saisie des restrictions est terminée. La fenêtre réapparaît à l'écran. Trouver une solution, dans le champ Restrictions une liste des restrictions saisies est visible.

Saisie des conditions aux limites.

La saisie de GRU ne diffère pas de la saisie de restrictions. Dans la fenêtre Ajout de restrictions dans le champ Référence de celluleà l'aide de la souris, entrez l'adresse de la cellule "Fin2". Choisir un signe<=. В поле Limitationécrivez 50. Cliquez sur Ajouter... Entrez avec la souris l'adresse de la cellule "Fin4". Choisir un signe<=. В поле Limitationécrivez 50. Cliquez sur d'accord... retour à la fenêtre Trouver une solution... Dans le champ Restrictions une liste complète des OGR et GRU introduits est visible (Fig. 1).

Image 1.

Saisie des paramètres.

Cliquez sur le bouton Options. Une fenêtre apparaît Options de recherche de solutions... Dans le champ Modèle linéaire cochez la case. Laissez le reste des paramètres inchangés. Cliquer sur d'accord(fig. 2).

Figure 2.

Solution.

Dans la fenêtre Trouver une solution cliquez sur le bouton Exécuter... Une fenêtre apparaît à l'écran Résultats de la recherche de solutions... Il dit "Une solution a été trouvée. Toutes les contraintes et conditions d'optimalité ont été remplies."

Création et enregistrement de rapports

Pour répondre aux questions du problème, nous avons besoin de rapports. Dans le champ Type de rapport sélectionnez tous les types avec la souris : "Résultats", "Stabilité" et "Limites".

Nous mettons un point dans le domaine Enregistrer la solution trouvée et cliquez sur d'accord... (fig. 3). Exceller génère les rapports demandés et les place sur des feuilles séparées. La feuille de calcul d'origine s'ouvre. Dans la colonne "Quantité" - les valeurs trouvées pour chaque type de produit.

Figure 3.

Nous formons un rapport de synthèse. Nous copions et plaçons les rapports reçus sur une seule feuille. Nous les éditons pour qu'ils tiennent tous sur une seule page.

Nous présentons graphiquement les résultats de la solution. Nous construisons des diagrammes "Quantité de production" et "Répartition des ressources".

Pour construire le graphique "Nombre de produits", ouvrez l'assistant graphique et sélectionnez la version volumétrique de l'histogramme habituel comme première étape. La deuxième étape de la fenêtre de données initiale consiste à sélectionner la plage de données = Lidovitsky ! $ CA 14 $ : $ F 15 $. La troisième étape dans les paramètres du diagramme consiste à définir le nom du diagramme "Nombre de produits". La quatrième étape consiste à placer le schéma sur la feuille existante. Sur simple pression d'un bouton Prêt nous finissons de construire le diagramme.

Pour créer le graphique d'allocation des ressources, ouvrez l'assistant graphique et sélectionnez un histogramme en trois dimensions comme première étape. La deuxième étape de la fenêtre de données initiale consiste à sélectionner la plage : Lidovitsky ! $ A 17 $ : $ F 19 $ ; Lidovitski ! $ CA 14 $ : $ F 14 $. La troisième étape dans les paramètres du diagramme consiste à définir le nom du diagramme "Allocation de ressources". La quatrième étape consiste à placer le schéma sur la feuille existante. Sur simple pression d'un bouton Prêt nous finissons de construire le diagramme (Figure 4).

Figure 4.

Ces diagrammes illustrent la meilleure gamme de produits en termes de génération de profit le plus important et l'allocation correspondante des ressources.

Nous imprimons une feuille avec des tableaux de données sources, avec des diagrammes et des résultats de calcul et une feuille avec un rapport de synthèse sur papier.

Analyse de la solution trouvée. Réponses aux questions

D'après le rapport des résultats.

Le profit maximum pouvant être obtenu si toutes les conditions du problème sont remplies est de 1292,95 roubles.

Pour ce faire, il est nécessaire de produire le plus grand nombre possible de produits n ° 2 - 172,75 et n ° 4 - 29,41 unités avec des coûts financiers n'excédant pas 50 roubles. pour chaque type, et les produits n° 1 - 188,9 et n° 3 - 213,72. Dans le même temps, les ressources pour les coûts de main-d'œuvre, les finances et les matières premières seront complètement épuisées.

Selon le rapport de durabilité.

La modification de l'une des données initiales n'entraînera pas une structure différente de la solution trouvée, c'est-à-dire à un autre assortiment de produits nécessaire pour obtenir un profit maximum, si : le profit de la vente de l'unité de produit n° 1 n'augmente pas de plus de 1,45 et ne diminue pas de plus de 0,35. Ainsi:

(1,7 - 0,35) = 1,35 < Прибыль 1 < 3,15 = (1,7 + 1,45)

le bénéfice de la vente de l'unité de produit n° 2 n'augmentera pas de plus de 0,56 et ne diminuera pas de plus de 1,61. Ainsi:

(2,3 - 1,61) = 0,69 < Прибыль 2 < 2,86 = (2,3 + 0,56)

le bénéfice de la vente de l'unité de produit n° 3 n'augmentera pas de plus de 0,56 et ne diminuera pas de plus de 0,39. Ainsi:

(2 - 0,39) = 1,61 < Прибыль 3 < 2,56 = (2 + 0,56)

le bénéfice de la vente de l'unité de produit n° 4 ne peut diminuer de plus de 2,81, c'est-à-dire de 56,2 % et augmenter indéfiniment. Ainsi : profit 4> 2,19 = (5 - 2,81) la ressource pour les matières premières peut être augmentée de 380,54, c'est-à-dire de 47,57 % et a diminué de 210,46, soit de 26,31 %. Ainsi : 589,54< С < 1180,54 ресурс по финансам может быть увеличен на 231,38, т.е. на 57,84% и уменьшен на 195,98, т.е. на 48,99%. Таким образом: 204,02 < Ф < 631,38 ресурс по трудозатратам может быть увеличен на 346,45, т.е. на 34,64% и уменьшен на 352,02, т.е. на 35, 20%. Таким образом: 647,98 < ТЗ < 1346,45

Selon le rapport sur les limites :

Le nombre de produits fabriqués pour l'un des types peut varier de 0 à la valeur optimale trouvée, cela n'entraînera pas de changement dans la gamme de produits requis pour obtenir un profit maximum. Dans le même temps, si pour la production du produit n ° 1, le bénéfice sera de 971,81 roubles, produit n ° 2 - 895,63 roubles, produit n ° 3 - 865,51 roubles, produit n ° 4 - 1145,89 roubles.

conclusions

L'étude du modèle mathématique et son analyse ultérieure nous permettent de tirer les conclusions suivantes :

Le bénéfice maximum possible, s'élevant à 1292,95 roubles, lorsque toutes les conditions et restrictions spécifiées sont remplies, peut être obtenu si la production de produits n° 1 - 188,9 unités, produits n° 2 - 172,75 unités, produits n° 3 - 213,72 unités , numéro de produit 4 - 29,41 unités.

Après la sortie du produit, toutes les ressources seront entièrement utilisées.

La structure de la solution trouvée dépend le plus fortement de la vente des unités de production n° 1 et n° 3, ainsi que d'une diminution ou d'une augmentation de toutes les ressources disponibles.

Partie numéro 2 "Calcul du modèle économique et mathématique du bilan entrées-sorties

Dispositions théoriques.

Méthode d'équilibre- la méthode d'intercomparaison des ressources financières, matérielles et de main-d'œuvre et leurs besoins. Le modèle d'équilibre d'un système économique est un système d'équations qui satisfont aux exigences d'adéquation entre la disponibilité d'une ressource et son utilisation.

Équilibre intersectoriel reflète la production et la distribution d'un produit dans un contexte sectoriel, dans les liens de production intersectoriels, l'utilisation des ressources matérielles et de main-d'œuvre, la création et la distribution du revenu national.

Diagramme d'équilibre entrée-sortie.

Chaque industrie dans le bilan est à la fois consommatrice et productrice. Il existe 4 zones d'équilibre (quadrants) à contenu économique :

tableau des connexions matérielles interindustrielles, ici X ij - valeurs des flux intersectoriels de produits, c'est-à-dire le coût des moyens de production produits dans l'industrie i et requis comme coûts des matériaux dans l'industrie j.

Les produits finaux sont des produits qui vont de la sphère de la production au domaine de la consommation, de l'accumulation, de l'exportation, etc.

La production nette provisoire Zj est la somme de la dépréciation Cj et de la production nette (Uj + mj).

Reflète la distribution et l'utilisation finales du revenu national. La colonne et la ligne de production brute sont utilisées pour vérifier le bilan et établir un modèle économique et mathématique.

Le coût total des matières de toute industrie consommatrice et sa production nette conditionnellement est égal à la production brute de cette industrie :

(1)

La production brute de chaque industrie est égale à la somme des coûts matériels des industries consommant ses produits et des produits finis de cette industrie.

(2)

Résumons pour toutes les branches de l'équation 1 :

De même pour l'équation 2 :

La partie gauche est le produit brut, alors on assimile les parties droites :

(3)

Formulation du problème.

Il existe un système économique à quatre branches. Déterminer les coefficients des coûts matériels totaux à partir des données : la matrice des coefficients des coûts matériels directs et le vecteur de la production brute (tableau 2).

Tableau 2.

Élaboration d'un modèle d'équilibre.

La base du modèle économique et mathématique du bilan entrées-sorties est la matrice des coefficients des coûts matériels directs :

Le coefficient des coûts directs des matières montre combien de produits de l'industrie i sont nécessaires si seuls les coûts directs pour la production d'une unité de production de l'industrie j sont pris en compte.

Étant donné l'expression 4, l'expression 2 peut être réécrite :

(5)

Vecteur de produit brut.

Le vecteur du produit final.

On note la matrice des coefficients de coûts matières directs :

Alors le système d'équations 5 sous forme matricielle :

(6)

La dernière expression est le modèle d'équilibre entrée-sortie ou le modèle Leontief. À l'aide du modèle, vous pouvez :

Après avoir fixé la valeur de la production brute X, déterminez les volumes du produit final Y :

(7)

où E est la matrice identité.

Après avoir fixé la valeur du produit final Y, déterminez la valeur du produit brut X :

(8)

notons B la valeur (E-A) - 1, c'est-à-dire

,

alors les éléments de la matrice B seront.

Pour chaque i industrie :

Il s'agit des coefficients du coût total des matières qui montrent quelle quantité de l'industrie i doit être produite afin d'obtenir une unité du produit final de l'industrie j en tenant compte des coûts directs et indirects de ce produit.

Pour calculer le modèle économique et mathématique du bilan entrées-sorties, en tenant compte des valeurs données :

Matrices de coefficients de coûts matières directs :

Vecteurs de production brute :

La matrice unitaire correspondant à la matrice A est :

Pour calculer les coefficients des coûts matières totaux, nous utiliserons la formule :

Pour déterminer la production brute de toutes les industries, la formule :

Pour déterminer la valeur des flux de produits intersectoriels (matrice x), on définit les éléments de la matrice x par la formule :

,

où i = 1 ... n ; j = 1 ... n;

n est le nombre de lignes et de colonnes de la matrice carrée A.

Pour déterminer le vecteur de production conditionnellement pure Z, les éléments du vecteur sont calculés par la formule :

Résoudre le problème sur un ordinateur

Chargement du programme Mathcad .

Créer un fichier nommé Lidovitskiy- Kulik . mcd. dans le dossier Ek/k 31 (2).

Sur la base des préréglages (modèle), créez et formatez le titre.

Nous entrons avec les commentaires appropriés ( ORIGINE = 1) compte tenu de la matrice des coefficients des coûts matières directs A et du vecteur de la production brute X (toutes les inscriptions et désignations sont saisies en alphabet latin, les formules et commentaires donnés doivent se situer soit au niveau, soit au-dessus des valeurs calculées).

On calcule la matrice des coefficients des coûts matières totaux B. Pour ce faire, on calcule la matrice unitaire correspondant à la matrice A. Pour cela, on utilise la fonction identité ( cols ( UNE)).

On calcule la matrice B par la formule :

Nous déterminons le volume de la production brute pour toutes les industries Y selon la formule :

Définir la matrice N.-É. valeurs des flux de produits intersectoriels. Pour ce faire, on définit les éléments de la matrice en précisant des commentaires :

je = 1. lignes (A) j = 1. cols (A) x i, j = A i, j X j

Après cela, nous trouvons la matrice N.-É. .

Nous calculons le vecteur de la production conditionnellement pure Z, en définissant la formule pour cela :

Puisque dans la balance Z est un vecteur ligne, on trouve le vecteur transposé Z T.

Trouvons les montants totaux :

9.11.1 Production propre conditionnelle :

9.11.2 Produits finis :

9.11.3 Production brute :

Nous imprimons les résultats de la solution sur papier.

Équilibre intersectoriel de la production et de la distribution des produits

Sur la base des données obtenues, nous composerons le bilan intersectoriel de la production et de l'allocation des ressources.

conclusions

Sur la base de la matrice des coefficients des coûts matériels directs et du vecteur de la production brute, les coefficients des coûts matériels totaux ont été déterminés et le bilan intersectoriel de la production et de la répartition des ressources a été établi.

Liens matériels déterminés ou valeurs des flux intersectoriels de produits (matrice N.-É.), c'est à dire. la valeur des moyens de production produits dans l'industrie manufacturière et requis comme coûts de matière dans l'industrie consommatrice.

Détermination du produit final (Y), c'est-à-dire produits quittant l'industrie manufacturière pour l'industrie consommatrice.

Détermination de la valeur de la production nette conditionnelle par industrie (Zj; Z T).

Détermination de la distribution finale de la production brute (X). Pour la colonne et la ligne de la production brute, nous avons vérifié le solde (138 + 697 + 282 + 218) = 1335.

Sur la base du bilan établi, des conclusions peuvent être tirées :

le coût total des matières de toute industrie consommatrice et sa production nette conditionnellement sont égaux à la production brute de cette industrie.

la production brute de chaque industrie est égale à la somme des coûts matériels des industries consommant ses produits et des produits finis de cette industrie.

Littérature

1. " Modèles mathématiques en économie ". Instructions méthodologiques pour la mise en œuvre de travaux de laboratoire et de contrôle pour les étudiants des spécialités économiques des cours par correspondance. Zhukovsky AA CHIPS UrGUPS. Chelyabinsk. 2001.

2. Gataulin AM, Gavrilov GV, Sorokina TM et autres Modélisation mathématique des processus économiques. - M., Agropromizdat, 1990.

3. Méthodes économiques et mathématiques et modèles appliqués : Manuel pour les universités / Sous la direction de V. V. Fedoseeva. - M. : UNITI, 2001.

4. Rechercher des solutions optimales à l'aide d'Excel 7.0. Kuritsky B. Ya. SPb : "VHV - Saint-Pétersbourg", 1997.

5. Plis A.I., Slivina N.A. MathCAD 2000. Atelier mathématique pour économistes et ingénieurs. Moscou. Finances et statistiques. 2000.