Actions à racines carrées. Module

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Félicitations: aujourd'hui, nous allons analyser les racines - l'un des sujets les plus époustouflants de la 8e année. :)

Beaucoup de gens sont confus au sujet des racines, non pas parce qu'elles sont complexes (ce qui est compliqué - quelques définitions et quelques propriétés supplémentaires), mais parce que dans la plupart des manuels scolaires, les racines sont définies à travers de tels jokers que seuls les auteurs des manuels eux-mêmes peut comprendre ce gribouillage. Et même alors seulement avec une bouteille de bon whisky. :)

Par conséquent, je vais maintenant donner la définition la plus correcte et la plus compétente de la racine - la seule dont vous devez vraiment vous souvenir. Et alors seulement, j'expliquerai: pourquoi tout cela est nécessaire et comment l'appliquer dans la pratique.

Mais souvenez-vous d'abord d'un point important, dont de nombreux compilateurs de manuels "oublient" pour une raison quelconque:

Les racines peuvent être de degré pair (notre $\sqrt(a)$ préféré, ainsi que tout $\sqrt(a)$ et même $\sqrt(a)$) et de degré impair (tout $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ etc.). Et la définition de la racine d'un degré impair est quelque peu différente de la racine paire.

Ici, dans ce putain de « quelque peu différent », se cachent, probablement, 95 % de toutes les erreurs et incompréhensions associées aux racines. Alors clarifions la terminologie une fois pour toutes :

Définition. Même racine n du nombre $a$ est quelconque non négatif un nombre $b$ tel que $((b)^(n))=a$. Et la racine d'un degré impair d'un même nombre $a$ est généralement tout nombre $b$ pour lequel la même égalité vaut : $((b)^(n))=a$.

Dans tous les cas, la racine est notée comme suit :

\(une)\]

Le nombre $n$ dans une telle notation est appelé l'exposant racine, et le nombre $a$ est appelé l'expression radicale. En particulier, pour $n=2$ nous obtenons notre racine carrée « préférée » (en passant, c'est la racine d'un degré pair), et pour $n=3$ nous obtenons une racine cubique (degré impair), qui se trouve aussi souvent dans les problèmes et les équations.

Exemples. Exemples classiques racines carrées:

\[\begin(aligner) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(aligner)\]

Au fait, $\sqrt(0)=0$ et $\sqrt(1)=1$. C'est assez logique puisque $((0)^(2))=0$ et $((1)^(2))=1$.

Les racines cubiques sont également courantes - n'en ayez pas peur:

\[\begin(aligner) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4 ; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(aligner)\]

Eh bien, quelques "exemples exotiques":

\[\begin(aligner) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(aligner)\]

Si vous ne comprenez pas quelle est la différence entre un degré pair et un degré impair, relisez à nouveau la définition. Il est très important!

En attendant, nous examinerons une caractéristique désagréable des racines, à cause de laquelle nous devions introduire une définition distincte pour les exposants pairs et impairs.

Pourquoi avons-nous besoin de racines ?

Après avoir lu la définition, de nombreux élèves demanderont : "Qu'est-ce que les mathématiciens ont fumé lorsqu'ils ont trouvé cela ?" Et vraiment : pourquoi avons-nous besoin de toutes ces racines ?

Pour répondre à cette question, revenons un instant sur classes élémentaires. Rappelez-vous : en ces temps lointains, quand les arbres étaient plus verts et les boulettes étaient plus savoureuses, notre principale préoccupation était de multiplier les nombres correctement. Eh bien, quelque chose dans l'esprit de "cinq par cinq - vingt-cinq", c'est tout. Mais après tout, vous pouvez multiplier les nombres non pas par paires, mais par triplets, par quatre et généralement par ensembles :

\[\begin(aligner) & 5\cdot 5=25 ; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125 ; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625 ; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125 ; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Cependant, ce n'est pas le sujet. L'astuce est différente : les mathématiciens sont des paresseux, ils ont donc dû écrire la multiplication de dix cinq comme ceci :

Alors ils sont venus avec des diplômes. Pourquoi ne pas écrire le nombre de facteurs en exposant au lieu d'une longue chaîne ? Comme celui-ci:

C'est très pratique ! Tous les calculs sont réduits de plusieurs fois, et vous ne pouvez pas dépenser un tas de feuilles de parchemin de cahiers pour écrire quelque 5 183 . Une telle entrée s'appelait le degré d'un nombre, un tas de propriétés y étaient trouvées, mais le bonheur s'est avéré être de courte durée.

Après une beuverie grandiose, organisée autour de la « découverte » des degrés, un mathématicien particulièrement défoncé a soudainement demandé : « Et si nous connaissions le degré d'un nombre, mais que nous ne connaissions pas le nombre lui-même ? En effet, si l'on sait qu'un certain nombre $b$, par exemple, donne 243 puissance 5, alors comment deviner à quoi est égal le nombre $b$ lui-même ?

Ce problème s'est avéré beaucoup plus global qu'il n'y paraît à première vue. Parce qu'il s'est avéré que pour la majorité des diplômes «prêts à l'emploi», il n'y a pas de tels numéros «initiaux». Jugez par vous-même :

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3 ; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(aligner)\]

Et si $((b)^(3))=50$ ? Il s'avère que vous devez trouver un certain nombre qui, multiplié par lui-même trois fois, nous donnera 50. Mais quel est ce nombre ? Il est nettement supérieur à 3 car 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. C'est-à-dire ce nombre se situe quelque part entre trois et quatre, mais à quoi il est égal - FIG vous comprendrez.

C'est exactement pourquoi les mathématiciens ont trouvé des racines $n$-ièmes. C'est pourquoi l'icône radicale $\sqrt(*)$ a été introduite. Pour désigner le même nombre $b$, qui, à la puissance spécifiée, nous donnera une valeur précédemment connue

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Je ne discute pas: souvent ces racines sont facilement considérées - nous avons vu plusieurs exemples de ce type ci-dessus. Mais encore, dans la plupart des cas, si vous pensez à un nombre arbitraire, puis essayez d'en extraire la racine d'un degré arbitraire, vous allez avoir une cruelle déception.

Qu'est-ce qu'il y a ! Même le $\sqrt(2)$ le plus simple et le plus familier ne peut pas être représenté sous notre forme habituelle - comme un entier ou une fraction. Et si vous entrez ce nombre dans une calculatrice, vous verrez ceci :

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Comme vous pouvez le voir, après la virgule décimale, il y a une suite infinie de nombres qui n'obéissent à aucune logique. Vous pouvez, bien sûr, arrondir ce nombre pour le comparer rapidement avec d'autres nombres. Par exemple:

\[\sqrt(2)=1,4142...\environ 1,4 \lt 1,5\]

Ou voici un autre exemple :

\[\sqrt(3)=1,73205...\environ 1,7 \gt 1,5\]

Mais tous ces arrondis sont, premièrement, assez grossiers ; et deuxièmement, vous devez également être capable de travailler avec des valeurs approximatives, sinon vous pouvez attraper un tas d'erreurs non évidentes (d'ailleurs, la compétence de comparaison et d'arrondi est nécessairement vérifiée lors de l'examen de profil).

Par conséquent, en mathématiques sérieuses, on ne peut pas se passer de racines - ce sont les mêmes représentants égaux de l'ensemble de tous les nombres réels $\mathbb(R)$, ainsi que des fractions et des entiers qui nous sont familiers depuis longtemps.

L'impossibilité de représenter la racine comme une fraction de la forme $\frac(p)(q)$ signifie que cette racine n'est pas nombre rationnel. De tels nombres sont dits irrationnels et ne peuvent être représentés avec précision qu'à l'aide d'un radical ou d'autres constructions spécialement conçues à cet effet (logarithmes, degrés, limites, etc.). Mais plus à ce sujet une autre fois.

Prenons quelques exemples où, après tous les calculs, des nombres irrationnels resteront dans la réponse.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\environ -1,2599... \\ \end(aligner)\]

Naturellement, par apparence la racine est presque impossible de deviner quels nombres viendront après la virgule décimale. Cependant, il est possible de calculer sur une calculatrice, mais même la calculatrice de date la plus avancée ne nous donne que les premiers chiffres d'un nombre irrationnel. Par conséquent, il est beaucoup plus correct d'écrire les réponses sous la forme $\sqrt(5)$ et $\sqrt(-2)$.

C'est pour ça qu'ils ont été inventés. Pour faciliter l'écriture des réponses.

Pourquoi faut-il deux définitions ?

Le lecteur attentif a probablement déjà remarqué que toutes les racines carrées données dans les exemples sont tirées de nombres positifs. Eh bien, au moins à partir de zéro. Mais les racines cubiques sont calmement extraites d'absolument n'importe quel nombre - même positif, même négatif.

Pourquoi cela arrive-t-il? Jetez un œil au graphique de la fonction $y=((x)^(2))$ :

Le graphe d'une fonction quadratique donne deux racines : positive et négative

Essayons de calculer $\sqrt(4)$ en utilisant ce graphique. Pour ce faire, une ligne horizontale $y=4$ (marquée en rouge) est tracée sur le graphique, qui coupe la parabole en deux points : $((x)_(1))=2$ et $((x) _(2)) =-2$. C'est tout à fait logique puisque

Tout est clair avec le premier nombre - il est positif, donc c'est la racine :

Mais alors que faire du second point ? Le 4 a-t-il deux racines à la fois ? Après tout, si on met au carré le nombre −2, on obtient aussi 4. Pourquoi ne pas écrire alors $\sqrt(4)=-2$ ? Et pourquoi les enseignants regardent-ils ces dossiers comme s'ils voulaient vous manger ? :)

C'est le problème, que si vous n'imposez aucun conditions additionnelles, alors les quatre auront deux racines carrées - positive et négative. Et tout nombre positif en aura également deux. Mais les nombres négatifs n'auront pas du tout de racines - cela peut être vu sur le même graphique, puisque la parabole ne tombe jamais en dessous de l'axe y, c'est à dire. ne prend pas de valeurs négatives.

Un problème similaire se produit pour toutes les racines avec un exposant pair :

1. À proprement parler, chaque nombre positif aura deux racines avec un exposant pair $n$ ;
2. A partir de nombres négatifs, la racine paire $n$ n'est pas extraite du tout.

C'est pourquoi la définition d'une racine paire $n$ stipule spécifiquement que la réponse doit être un nombre non négatif. C'est ainsi que nous nous débarrassons de l'ambiguïté.

Mais pour $n$ impairs, il n'y a pas de problème de ce genre. Pour le voir, regardons le graphique de la fonction $y=((x)^(3))$ :

La parabole cubique prend n'importe quelle valeur, donc racine cubique extrait de n'importe quel nombre

Deux conclusions peuvent être tirées de ce graphique :

1. Les branches d'une parabole cubique, contrairement à la parabole habituelle, vont à l'infini dans les deux sens - vers le haut et vers le bas. Par conséquent, quelle que soit la hauteur à laquelle nous traçons une ligne horizontale, cette ligne croisera définitivement notre graphique. Par conséquent, la racine cubique peut toujours être prise, absolument à partir de n'importe quel nombre ;
2. De plus, une telle intersection sera toujours unique, vous n'avez donc pas besoin de vous demander quel nombre considérer comme la racine "correcte" et lequel marquer. C'est pourquoi la définition des racines pour un degré impair est plus simple que pour un degré pair (il n'y a pas d'exigence de non-négativité).

Il est dommage que ces choses simples ne soient pas expliquées dans la plupart des manuels. Au lieu de cela, nos cerveaux commencent à monter en flèche avec toutes sortes de racines arithmétiques et leurs propriétés.

Oui, je ne discute pas: qu'est-ce qu'une racine arithmétique - vous devez également le savoir. Et j'en parlerai en détail dans une leçon séparée. Aujourd'hui nous en parlerons aussi, car sans lui, toutes les réflexions sur les racines de la $n$-ième multiplicité seraient incomplètes.

Mais vous devez d'abord bien comprendre la définition que j'ai donnée ci-dessus. Sinon, en raison de l'abondance de termes, un tel gâchis commencera dans votre tête qu'à la fin vous ne comprendrez rien du tout.

Et tout ce que vous devez comprendre, c'est la différence entre les nombres pairs et impairs. Par conséquent, une fois de plus, nous rassemblerons tout ce que vous devez vraiment savoir sur les racines :

1. Une racine paire n'existe qu'à partir d'un nombre non négatif et est elle-même toujours un nombre non négatif. Pour les nombres négatifs, une telle racine est indéfinie.
2. Mais la racine d'un degré impair existe à partir de n'importe quel nombre et peut elle-même être n'importe quel nombre : pour les nombres positifs, elle est positive, et pour les nombres négatifs, comme l'indique la majuscule, elle est négative.

C'est difficile? Non, ce n'est pas difficile. Dégager? Oui, c'est évident ! Par conséquent, nous allons maintenant nous entraîner un peu avec les calculs.

Propriétés de base et restrictions

Les racines ont beaucoup de propriétés et de restrictions étranges - ce sera une leçon séparée. Par conséquent, nous ne considérerons maintenant que la "puce" la plus importante, qui ne s'applique qu'aux racines avec un exposant pair. Nous écrivons cette propriété sous la forme d'une formule :

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\droite|\]

En d'autres termes, si nous élevons un nombre à une puissance paire, puis en extrayons la racine du même degré, nous n'obtiendrons pas le nombre d'origine, mais son module. Cette théorème simple, ce qui se prouve facilement (il suffit de considérer séparément les $x$ non négatifs, puis de considérer séparément les négatifs). Les enseignants en parlent constamment, c'est donné dans tous les manuels scolaires. Mais une fois qu'il s'agit d'une décision équations irrationnelles(c'est-à-dire des équations contenant le signe du radical), les élèves oublient ensemble cette formule.

Pour comprendre le problème en détail, oublions toutes les formules pendant une minute et essayons de compter deux nombres à l'avance :

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

C'est très exemples simples. Le premier exemple sera résolu par la plupart des gens, mais sur le second, beaucoup s'en tiendront. Pour résoudre de telles conneries sans problème, considérez toujours la procédure :

1. Tout d'abord, le nombre est élevé à la puissance quatre. Eh bien, c'est un peu facile. Un nouveau nombre sera obtenu, qui peut même être trouvé dans la table de multiplication;
2. Et maintenant de ce nouveau nombre il faut extraire la racine du quatrième degré. Celles. il n'y a pas de "réduction" des racines et des degrés - ce sont des actions séquentielles.

Traitons la première expression : $\sqrt(((3)^(4)))$. Évidemment, vous devez d'abord calculer l'expression sous la racine :

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Puis on extrait la quatrième racine du nombre 81 :

Faisons maintenant de même avec la seconde expression. Tout d'abord, nous élevons le nombre −3 à la puissance quatre, pour laquelle nous devons le multiplier par lui-même 4 fois :

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ gauche(-3 \droite)=81\]

J'ai un nombre positif parce que le total il y a 4 moins dans le travail, et ils s'annuleront tous (après tout, un moins fois un moins donne un plus). Ensuite, extrayez à nouveau la racine :

En principe, cette ligne ne pourrait pas être écrite, car il est évident que la réponse sera la même. Celles. une racine paire de même puissance paire "brûle" les moins, et en ce sens le résultat est indiscernable du module habituel :

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3 ; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(aligner)\]

Ces calculs sont en bon accord avec la définition de la racine d'un degré pair : le résultat est toujours non négatif, et sous le signe du radical aussi, il n'y a toujours pas nombre négatif. Sinon, la racine n'est pas définie.

Remarque sur l'ordre des opérations

1. La notation $\sqrt(((a)^(2)))$ signifie que nous mettons d'abord au carré le nombre $a$, puis prenons la racine carrée de la valeur résultante. Par conséquent, nous pouvons être sûrs qu'un nombre non négatif se trouve toujours sous le signe racine, puisque $((a)^(2))\ge 0$ de toute façon ;
2. Mais la notation $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, au contraire, signifie que nous extrayons d'abord la racine d'un certain nombre $a$ et seulement ensuite élevons le résultat au carré. Par conséquent, le nombre $a$ ne peut en aucun cas être négatif - c'est exigence obligatoire inclus dans la définition.

Ainsi, il ne faut en aucun cas réduire inconsidérément les racines et les degrés, soi-disant "simplifiant" l'expression originale. Parce que s'il y a un nombre négatif sous la racine et que son exposant est pair, nous aurons beaucoup de problèmes.

Cependant, tous ces problèmes ne concernent que les indicateurs pairs.

Suppression d'un signe moins sous le signe racine

Naturellement, les racines avec des exposants impairs ont aussi leur propre caractéristique, qui, en principe, n'existe pas pour les paires. À savoir:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

En bref, vous pouvez retirer un moins sous le signe des racines d'un degré impair. C'est très propriété utile, ce qui vous permet de "jeter" tous les inconvénients :

\[\begin(aligner) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(aligner)\]

Cette propriété simple simplifie grandement de nombreux calculs. Maintenant, vous n'avez pas à vous inquiéter : que se passe-t-il si une expression négative se trouve sous la racine et que le degré à la racine s'avère pair ? Il suffit juste de "jeter" tous les inconvénients en dehors des racines, après quoi ils peuvent être multipliés les uns par les autres, divisés et généralement faire beaucoup de choses suspectes, qui dans le cas des racines "classiques" sont garanties pour nous conduire à un Erreur.

Et ici une autre définition entre en scène - celle-là même avec laquelle la plupart des écoles commencent à étudier expressions irrationnelles. Et sans quoi notre raisonnement serait incomplet. Rencontrer!

racine arithmétique

Supposons un instant que seuls les nombres positifs ou, dans les cas extrêmes, zéro peuvent être sous le signe racine. Notons sur des indicateurs pairs / impairs, sur toutes les définitions données ci-dessus - nous ne travaillerons qu'avec des nombres non négatifs. Quoi alors ?

Et puis nous obtenons la racine arithmétique - elle recoupe partiellement nos définitions "standard", mais en diffère toujours.

Définition. Une racine arithmétique du $n$ième degré d'un nombre non négatif $a$ est un nombre non négatif $b$ tel que $((b)^(n))=a$.

Comme vous pouvez le voir, nous ne sommes plus intéressés par la parité. Au lieu de cela, une nouvelle restriction est apparue : expression radicale est maintenant toujours non négatif, et la racine elle-même est également non négative.

Pour mieux comprendre en quoi la racine arithmétique diffère de la racine habituelle, jetez un œil aux graphiques de la parabole carrée et cubique qui nous sont déjà familiers :

Zone de recherche racine - nombres non négatifs

Comme vous pouvez le voir, à partir de maintenant, nous ne nous intéressons qu'aux morceaux de graphiques situés dans le premier quart de coordonnées - où les coordonnées $x$ et $y$ sont positives (ou au moins nulles). Vous n'avez plus besoin de regarder l'indicateur pour comprendre si nous avons le droit d'enraciner un nombre négatif ou non. Parce que les nombres négatifs ne sont plus considérés en principe.

Vous pouvez demander : "Eh bien, pourquoi avons-nous besoin d'une telle définition castrée ?" Ou : "Pourquoi ne pouvons-nous pas nous en sortir avec la définition standard donnée ci-dessus ?"

Eh bien, je ne donnerai qu'une seule propriété, à cause de laquelle la nouvelle définition devient appropriée. Par exemple, la règle d'exponentiation :

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Veuillez noter : nous pouvons élever l'expression racine à n'importe quelle puissance et en même temps multiplier l'exposant racine par la même puissance - et le résultat sera le même nombre ! Voici quelques exemples:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(aligner)\]

Eh bien, qu'est-ce qui ne va pas avec ça? Pourquoi ne pouvions-nous pas le faire avant? Voici pourquoi. Prenons une expression simple : $\sqrt(-2)$ est un nombre tout à fait normal dans notre compréhension classique, mais absolument inacceptable du point de vue de la racine arithmétique. Essayons de le convertir :

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Comme vous pouvez le voir, dans le premier cas, nous avons retiré le moins du radical (nous avons parfaitement le droit, car l'indicateur est impair), et dans le second, nous avons utilisé la formule ci-dessus. Celles. du point de vue des mathématiques, tout se fait selon les règles.

WTF ? ! Comment un même nombre peut-il être à la fois positif et négatif ? Certainement pas. C'est juste que la formule d'exponentiation, qui fonctionne très bien pour les nombres positifs et zéro, commence à donner une hérésie complète dans le cas des nombres négatifs.

Ici, afin de se débarrasser d'une telle ambiguïté, ils ont proposé des racines arithmétiques. Une grande leçon séparée leur est consacrée, où nous examinons en détail toutes leurs propriétés. Alors maintenant, nous ne nous attarderons pas sur eux - la leçon s'est avérée trop longue de toute façon.

Racine algébrique : pour ceux qui veulent en savoir plus

J'ai longuement réfléchi : faire de ce sujet un paragraphe à part ou pas. Finalement, j'ai décidé de partir d'ici. Ce matériel est destiné à ceux qui veulent encore mieux comprendre les racines - non plus au niveau "scolaire" moyen, mais au niveau proche de l'Olympiade.

Donc : en plus de la définition "classique" de la racine du $n$-ième degré d'un nombre et de la division associée en indicateurs pairs et impairs, il existe une définition plus "adulte", qui ne dépend pas de la parité et d'autres subtilités du tout. C'est ce qu'on appelle une racine algébrique.

Définition. Une racine algébrique $n$-ième de tout $a$ est l'ensemble de tous les nombres $b$ tels que $((b)^(n))=a$. Il n'y a pas de désignation bien établie pour de telles racines, alors mettez simplement un tiret en haut :

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

La différence fondamentale avec Définition standard donné au début de la leçon est que racine algébrique n'est pas un nombre spécifique, mais un ensemble. Et puisque nous travaillons avec des nombres réels, cet ensemble n'est que de trois types :

1. Ensemble vide. Se produit lorsqu'il est nécessaire de trouver une racine algébrique d'un degré pair à partir d'un nombre négatif ;
2. Un ensemble composé d'un seul élément. Toutes les racines de puissances impaires, ainsi que les racines de puissances paires à partir de zéro, entrent dans cette catégorie ;
3. Enfin, l'ensemble peut inclure deux nombres - les mêmes $((x)_(1))$ et $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que nous avons vus sur le fonction quadratique graphique. En conséquence, un tel alignement n'est possible que lors de l'extraction de la racine d'un degré pair à partir d'un nombre positif.

Le dernier cas mérite un examen plus détaillé. Comptons quelques exemples pour comprendre la différence.

Exemple. Expressions de calcul :

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Solution. La première expression est simple :

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Ce sont deux nombres qui font partie de l'ensemble. Parce que chacun d'eux au carré donne un quatre.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Ici, nous voyons un ensemble composé d'un seul nombre. C'est assez logique, puisque l'exposant de la racine est impair.

Enfin, la dernière expression :

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

A reçu ensemble vide. Parce qu'il n'y a pas un seul nombre réel qui, élevé à la quatrième puissance (c'est-à-dire paire !), nous donnera un nombre négatif -16.

Note finale. Attention : ce n'est pas par hasard que j'ai constaté partout que l'on travaille avec des nombres réels. Parce qu'il y a aussi des nombres complexes - il est tout à fait possible d'y calculer $\sqrt(-16)$ et bien d'autres choses étranges.

Cependant, dans la modernité cours d'école En mathématiques, les nombres complexes sont presque introuvables. Ils ont été omis de la plupart des manuels parce que nos fonctionnaires considèrent le sujet « trop difficile à comprendre ».

Je passe cette leçon en huitième année, lorsque nous étudions le sujet «Propriétés de la racine carrée arithmétique» (Auteurs du manuel Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk). Il n'y a pas de comparaison des propriétés (Vx) 2 et V x 2 dans le manuel, et à l'avenir, elles seront utilisées dans les équations et les fonctions et seront incluses dans UTILISER les devoirs et GIA. C'est une occasion unique pour stade initial explorer ces propriétés sur des équations et des fonctions simples.

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Budget municipal établissement d'enseignement"L'école secondaire Solonovskaya nommée d'après A.P. Matrenin"

District de Smolensky du territoire de l'Altaï

Sujet de la leçon :

« Racine carrée hors diplôme»

2012

Note explicative

La formation des compétences des étudiants est due à la mise en œuvre non seulement d'un contenu mis à jour, mais également de méthodes et de technologies d'enseignement adéquates.

Dans cette leçon, j'ai choisi en partie la recherche, les méthodes de recherche et la technologie pour le développement de la pensée critique (J. Steele, K. Meredith). Le potentiel de cette technologie est très élevé et sa mise en œuvre affecte la réalisation d'un résultat d'apprentissage tel que la compétence.

Ces modes et formes d'organisation activités d'apprentissage permis non seulement de réaliser le développement de ce qui a été étudié dans la leçon Matériel pédagogique, mais aussi assuré l'épanouissement personnel de chaque élève, contribuant à la formation de

• compétence informationnelle, par le développement de la capacité à connecter de nouvelles informations avec du matériel déjà étudié, la capacité d'analyser et de sélectionner de manière indépendante les informations nécessaires, la capacité de les transformer et de les présenter sous une forme accessible ;
• compétence éducative et cognitive, par le développement des capacités de réflexion, de logique, de réflexion et d'auto-évaluation des élèves, la capacité de se fixer un objectif, de planifier, d'analyser, de comparer, de tirer des conclusions ;
• compétence communicative, par le développement des compétences de travail en groupe, la capacité à partager ses idées et ses opinions, la capacité à aider et à soutenir ses camarades, la capacité à formuler clairement sa pensée, à poser des questions sur l'objet étudié, à proposer sa propre version de la réponse , la capacité de défendre et de défendre son opinion devant les autres, la capacité de déterminer en quoi les opinions des camarades diffèrent des leurs, la capacité de critiquer les idées, pas les gens.

Je mets en évidence les tâches principales :

- créer les conditions du développement et de l'épanouissement des élèves ;

- l'assimilation des savoirs et savoir-faire productifs ;

- le développement du besoin de se ressourcer tout au long de la vie.

Je passe cette leçon en huitième année, lorsque nous étudions le sujet «Propriétés de la racine carrée arithmétique» (Auteurs du manuel Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk). Il n'y a pas de comparaison de propriétés dans le tutoriel et , et plus tard, ils sont utilisés dans les équations et les fonctions et sont inclus dans les tâches de l'USE et du GIA. Il s'agit d'une occasion unique au stade initial d'explorer ces propriétés sur des équations et des fonctions simples.

Les élèves définissent indépendamment la tâche de la leçon, c'est-à-dire poser un problème, puis exprimer et vérifier leurs propres hypothèses, suppositions, ils font des généralisations des facteurs étudiés, appliquent de manière créative les connaissances dans de nouvelles situations.

Sur la base des résultats de cette leçon, les étudiants ont élaboré un projet de formation. Au fur et à mesure que nous étudierons d'autres équations et fonctions, nous compléterons ce projet avec de nouveaux matériaux, ce qui contribue à la maîtrise forte et consciente des connaissances et des compétences des étudiants sur ce sujet et crée une motivation positive pour la préparation de l'examen. La fiche d'autocontrôle de l'élève est importante pour évaluer sa performance.

La composante multimédia de cette leçon est une présentation qui, lors de la mise à jour des connaissances, permet de présenter rapidement des tâches, donne une représentation visuelle du matériel considéré et contrôle les résultats intermédiaires d'un travail indépendant.

La ressource est utilisée tout au long de la leçon :

• traitement des matériaux
• réflexion sur la leçon

tableau interactifutilisé pour visualiser le projet.

En conséquence, grâce à des tâches de recherche créatives, les écoliers développent des compétences, c'est-à-dire les traits de personnalité dont les enfants ont besoin plus tard dans la vie.

La leçon que j'ai choisie correspond à la formule de compétence :

Compétence = mobilité des connaissances +

Souplesse de la méthode + esprit critique.

Plan de cours détaillé.

informations organisationnelles
Sujet de la leçon	"Racine carrée du pouvoir"
Chose	Algèbre
Classer
	Sharabarina Galina Gavrilovna, professeur de mathématiques
Établissement d'enseignement	MOU "L'école secondaire Solonovskaya porte le nom. Matrenina A.P. »
République / Territoire	Territoire de l'Altaï, district de Smolensk
Ville/agglomération	Village de Solonovka
Informations méthodiques
Type de cours (événements, cours)	Leçon pour consolider et développer les connaissances, les compétences et les capacités
Objectifs de la leçon	 Favoriser le développement de compétences fortes dans l'application de la propriété de la racine carrée du diplôme, ainsi que le développement chez les écoliers du désir et du besoin de généraliser les faits étudiés : quelles sont les similitudes et les différences entre les expressions étudiées.  Créer les conditions du développement pensée logique, mémoire, attention, compétences de travail indépendant et créatif, discours mathématique, contrôle et maîtrise de soi;  Favoriser l'activité, le désir de travailler jusqu'au bout, susciter l'intérêt pour les mathématiques.
Objectifs de la leçon (activités, cours)	Examinez deux expressions et dans les transformations, sur des équations simples et des fonctions.
Utilisé technologies pédagogiques, méthodes et techniques	Méthodes d'enseignement : recherche partielle, recherche, contrôle et maîtrise de soi. Technologie pour le développement de la pensée critique. Formes travail académique: groupe, individuel.
Temps de mise en œuvre des cours (événements, cours)	45 minutes
Connaissances, savoir-faire, compétences et qualités qui actualisent / acquièrent / consolident / etc. élèves pendant le cours (activités, cours)	Les élèves actualisent leurs connaissances sur le thème "Racine carrée d'un degré", sur la transformation d'expressions contenant des racines carrées, sur la résolution d'équations avec modules, renforcent différentes manières preuves d'égalités et acquérir les compétences nécessaires pour construire des graphes de fonctions en examinant l'expression radicale. Les bases sont posées pour une étude plus approfondie du sujet.
Equipements et matériels nécessaires	Ordinateur, tableau blanc interactif, fiches d'auto-évaluation
Support didactique de la leçon (événements, cours)	Présentation
Liste de la littérature éducative et complémentaire	Cahier de texte. Algèbre. 8e année. Yu.N. Makarytchev
Le déroulement et le contenu de la leçon (événements, cours), activités des enseignants et des élèves.
Motivation des étudiants	Il n'y a pas de comparaison de propriétés dans le tutoriel et , et plus tard, ils sont utilisés dans les équations et les fonctions et sont inclus dans les tâches du GIA et de l'examen d'État unifié. Il s'agit d'une occasion unique au stade initial d'explorer ces propriétés sur des équations et des fonctions simples.
I. Défi. (5 minutes) Cibler: apprendre à fonctionner avec des connaissances, développer la pensée critique. Efficacité:formation de la compétence cognitive.	Les étudiants sont pré-divisés en 3 groupes (facultatif) Prof. Pour savoir ce que nous allons faire aujourd'hui dans la leçon, terminez la tâche et nommez les propriétés des racines carrées que vous avez utilisées. diapositive 2 1. Effectuez des tâches. 2. Individuellement, puis en groupe, vérifiez les réponses, puis utilisez la diapositive de présentation appropriée. Les problèmes sont identifiés et des questions sont soulevées. Ensuite, un représentant de chaque groupe d'élèves prend la parole. Pendant les discours, la tâche de la leçon est déterminée et le problème est identifié. Souvent, tous les élèves ne nomment pas la propriété qui découle de la définition, si . ET donc le problème est : étant donné deux expressions et . Quelles sont les similitudes et les différences entre eux? Un groupe d'étudiants a écrit :Racine, x, carré. À première vue, ils sont similaires, puis nous découvrirons. Déterminez le sujet de la leçon. diapositive 3 Tâches pour chaque groupe pendant la leçon - pour créer un mini-projet sur ce materiel, vous pouvez utiliser le tableau blanc interactif.
II. Donner du sens. (30 minutes) Cibler: apprendre à fonctionner avec des connaissances, développer une flexibilité dans l'utilisation des connaissances. Efficacité:formation de compétences cognitives auto-éducatives, sociales.	1) Découvrons où ces expressions sont utilisées. diapositive 4 Prise de connaissance de la fiche d'autocontrôle que les élèves devront remplir au cours de la leçon. diapositive15 Questions : rappelez-vous quelles expressions sont égales à et ? Si vous avez oublié la première propriété, recherchez-la dans le manuel. Si ; , x – n'importe lequel. Ensuite, nous testons la théorie. diapositive5 2) Tâche à calculer pour les élèves. diapositive 6 Celui qui le termine le plus rapidement, la tâche au tableau 3 Diapositive 6 Peer-to-peer et valider avec la diapositive de présentation appropriée. Chaque groupe tire une conclusion sur la question posée.Quelles sont les similitudes et les différences et ? (Ces expressions diffèrent dans la plage de valeurs variables valides) 3) À l'aide de ces expressions, définissez des fonctions et tracez leurs graphiques. Examen. Diapositive 8 Demandez aux groupes d'écrire d'autres fonctions avec ces expressions. Construisez des graphiques schématiques de ces fonctions et notez le domaine de définition. Suggestions d'étudiants etc. De plus, pour les élèves ayant des capacités d'apprentissage plus élevées, construisez les graphiques de fonctions suivants. Diapositive 9 Ensuite, un représentant de chaque groupe d'élèves prend la parole. Il construit schématiquement des graphiques sur un tableau blanc interactif. À partir du domaine des définitions de ces fonctions, les élèves tirent des conclusions. 4) Demander aux élèves de résoudre des équations. Diapositive 10 Conclusions des élèves : dans la première propriété, l'expression radicale doit être non négative, et dans la seconde, n'importe quel nombre. 5) Référence historique. C'est intéressant. Diapositive 14 (pour éviter la fatigue) Efficacité: la formation de la compétence intellectuelle. Gymnastique pour les yeux.(minutes physiques électroniques pour les yeux) Cibler: Prévenir le stress physique, la fatigue, la fatigue; Contribuez à l'amélioration des performances dans la seconde moitié de la leçon. un enseignant. Et maintenant passons aux transformations qui se produisent dans le GIA (dans la deuxième partie). diapositive 11 Discutez de cette tâche en groupes et prouvez pourquoi cette égalité est vraie. Trouvez deux preuves. Les représentants des groupes expliquent leur façon de résoudre. Vérifiez ensuite avec la diapositive de présentation appropriée. De même, on prouve l'égalité suivante ( diapositive 11 ), seulement maintenant individuellement, en choisissant n'importe quelle méthode. b) Demandez aux élèves de simplifier l'expression.(Diapositive 13) ou #402. Affectation à volonté, selon les opportunités d'apprentissage.
III. Réflexion. (10 minutes) Efficacité:formation de compétences qui favorise l'auto-développement.	Les élèves tirent des conclusions sur le problème.

Avant l'avènement des calculatrices, les élèves et les enseignants calculaient les racines carrées à la main. Il existe plusieurs façons de calculer manuellement la racine carrée d'un nombre. Certains d'entre eux n'offrent qu'une solution approximative, d'autres donnent une réponse exacte.

Pas

Factorisation première

Décomposez le nombre racine en facteurs qui sont des nombres carrés. Selon le numéro de la racine, vous obtiendrez une réponse approximative ou exacte. Les nombres carrés sont des nombres à partir desquels la racine carrée entière peut être extraite. Les facteurs sont des nombres qui, une fois multipliés, donnent le nombre d'origine. Par exemple, les facteurs du nombre 8 sont 2 et 4, puisque 2 x 4 = 8, les nombres 25, 36, 49 sont des nombres carrés, puisque √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Facteurs carrés sont des facteurs , qui sont des nombres carrés. Tout d'abord, essayez de factoriser le nombre racine en facteurs carrés.

• Par exemple, calculez la racine carrée de 400 (manuellement). Essayez d'abord de factoriser 400 en facteurs carrés. 400 est un multiple de 100, c'est-à-dire divisible par 25 - c'est un nombre carré. Diviser 400 par 25 donne 16. Le nombre 16 est aussi un nombre carré. Ainsi, 400 peut être factorisé en facteurs carrés de 25 et 16, c'est-à-dire 25 x 16 = 400.
• Cela peut s'écrire comme suit : √400 = √(25 x 16).

1. La racine carrée du produit de certains termes est égale au produit des racines carrées de chaque terme, c'est-à-dire √(a x b) = √a x √b. Utilisez cette règle et prenez la racine carrée de chaque facteur carré et multipliez les résultats pour trouver la réponse.

   • Dans notre exemple, prenons la racine carrée de 25 et 16.
     • √(25x16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Si le nombre radical ne se décompose pas en deux multiplicateur carré(ce qui arrive la plupart du temps), vous ne pourrez pas trouver la réponse exacte sous forme d'entier. Mais vous pouvez simplifier le problème en décomposant le nombre racine en un facteur carré et un facteur ordinaire (un nombre à partir duquel la racine carrée entière ne peut pas être extraite). Ensuite, vous prendrez la racine carrée du facteur carré et vous prendrez la racine du facteur ordinaire.

   • Par exemple, calculez la racine carrée du nombre 147. Le nombre 147 ne peut pas être divisé en deux facteurs carrés, mais il peut être divisé en facteurs suivants : 49 et 3. Résolvez le problème comme suit :
     • = √(49x3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Si nécessaire, évaluez la valeur de la racine. Vous pouvez maintenant évaluer la valeur de la racine (trouver une valeur approximative) en la comparant aux valeurs des racines des nombres carrés les plus proches (des deux côtés de la droite numérique) du nombre racine. Vous obtiendrez la valeur de la racine comme fraction décimale, qui doit être multiplié par le nombre derrière le signe racine.

   • Revenons à notre exemple. Le nombre racine est 3. Les nombres carrés les plus proches sont les nombres 1 (√1 = 1) et 4 (√4 = 2). Ainsi, la valeur de √3 est comprise entre 1 et 2. Comme la valeur de √3 est probablement plus proche de 2 que de 1, notre estimation est : √3 = 1,7. Nous multiplions cette valeur par le nombre au signe racine: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Si vous faites les calculs sur une calculatrice, vous obtenez 12,13, ce qui est assez proche de notre réponse.
     • Cette méthode fonctionne également avec de grands nombres. Par exemple, considérons √35. Le nombre racine est 35. Les nombres carrés les plus proches sont les nombres 25 (√25 = 5) et 36 (√36 = 6). Ainsi, la valeur de √35 est comprise entre 5 et 6. Puisque la valeur de √35 est beaucoup plus proche de 6 que de 5 (car 35 n'est que 1 de moins que 36), on peut affirmer que √35 est légèrement inférieur à 6. La vérification avec une calculatrice nous donne la réponse 5,92 - nous avions raison.

4. Une autre méthode consiste à décomposer le nombre racine en facteurs premiers. Les facteurs premiers sont des nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes. Écris les facteurs premiers dans une rangée et trouve des paires de facteurs identiques. De tels facteurs peuvent être retirés du signe de la racine.

   • Par exemple, calculez la racine carrée de 45. Nous décomposons le nombre racine en facteurs premiers : 45 \u003d 9 x 5 et 9 \u003d 3 x 3. Ainsi, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 peut être extrait du signe racine : √45 = 3√5. Nous pouvons maintenant estimer √5.
   • Prenons un autre exemple : √88.
     • = √(2x44)
     • = √ (2 × 4 × 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Vous avez trois multiplicateurs 2 ; prenez-en quelques-uns et sortez-les du signe de la racine.
     • = 2√(2x11) = 2√2x√11. Nous pouvons maintenant évaluer √2 et √11 et trouver une réponse approximative.

   Calcul manuel de la racine carrée

   Utiliser la division de colonne

   1. Cette méthode implique un processus similaire à la division longue et donne une réponse précise. Tout d'abord, tracez une ligne verticale divisant la feuille en deux moitiés, puis tracez une ligne horizontale vers la droite et légèrement en dessous du bord supérieur de la feuille jusqu'à la ligne verticale. Divisez maintenant le nombre racine en paires de nombres, en commençant par la partie fractionnaire après la virgule. Ainsi, le nombre 79520789182.47897 s'écrit "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Par exemple, calculons la racine carrée du nombre 780,14. Dessinez deux lignes (comme indiqué sur l'image) et écrivez le nombre en haut à gauche sous la forme "7 80, 14". Il est normal que le premier chiffre à partir de la gauche soit un chiffre non apparié. Réponse (racine de numéro donné) sera écrit en haut à droite.

   2. Étant donné la première paire de nombres (ou un nombre) à partir de la gauche, trouvez le plus grand entier n dont le carré est inférieur ou égal à la paire de nombres (ou un nombre) en question. En d'autres termes, trouvez le nombre carré qui est le plus proche, mais inférieur à, la première paire de nombres (ou nombre unique) à partir de la gauche, et prenez la racine carrée de ce nombre carré ; vous obtiendrez le numéro n. Écrivez le n trouvé en haut à droite et écrivez le carré n en bas à droite.

      • Dans notre cas, le premier chiffre à gauche sera le chiffre 7. Ensuite, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Soustrayez le carré du nombre n que vous venez de trouver de la première paire de nombres (ou un nombre) à partir de la gauche.Écrivez le résultat du calcul sous le sous-traitant (le carré du nombre n).

      • Dans notre exemple, soustrayez 4 de 7 pour obtenir 3.

   4. Prenez la deuxième paire de nombres et notez-la à côté de la valeur obtenue à l'étape précédente. Doublez ensuite le nombre en haut à droite et écrivez le résultat en bas à droite avec "_×_=" ajouté.

      • Dans notre exemple, la deuxième paire de nombres est "80". Écrivez "80" après le 3. Ensuite, doubler le nombre en haut à droite donne 4. Écrivez "4_×_=" en bas à droite.

   5. Remplissez les blancs à droite.

      • Dans notre cas, si nous mettons le chiffre 8 au lieu de tirets, alors 48 x 8 \u003d 384, soit plus de 380. Par conséquent, 8 est un nombre trop grand, mais 7 convient. Écrivez 7 au lieu de tirets et obtenez: 47 x 7 \u003d 329. Écrivez 7 en haut à droite - c'est le deuxième chiffre de la racine carrée souhaitée du nombre 780,14.

   6. Soustrayez le nombre résultant du nombre actuel sur la gauche.Écrivez le résultat de l'étape précédente sous le nombre actuel à gauche, trouvez la différence et écrivez-la sous le nombre soustrait.

      • Dans notre exemple, soustrayez 329 de 380, ce qui équivaut à 51.

   7. Répétez l'étape 4. Si la paire de nombres démolie est la partie fractionnaire du nombre d'origine, placez le séparateur (virgule) des parties entière et fractionnaire dans la racine carrée souhaitée en haut à droite. Sur la gauche, descendez la prochaine paire de nombres. Doublez le nombre en haut à droite et écrivez le résultat en bas à droite avec "_×_=" ajouté.

      • Dans notre exemple, la prochaine paire de nombres à démolir sera la partie fractionnaire du nombre 780,14, placez donc le séparateur des parties entière et fractionnaire dans la racine carrée requise en haut à droite. Démolissez 14 et notez-le en bas à gauche. Le double en haut à droite (27) est 54, donc écrivez "54_×_=" en bas à droite.

   8. Répétez les étapes 5 et 6. Trouvez le plus grand nombre à la place des tirets à droite (au lieu des tirets, vous devez substituer le même nombre) afin que le résultat de la multiplication soit inférieur ou égal au nombre actuel à gauche.

      • Dans notre exemple, 549 x 9 = 4941, ce qui est inférieur au nombre actuel sur la gauche (5114). Écrivez 9 en haut à droite et soustrayez le résultat de la multiplication du nombre actuel à gauche : 5114 - 4941 = 173.

   9. Si vous avez besoin de trouver plus de décimales pour la racine carrée, écrivez une paire de zéros à côté du nombre actuel sur la gauche et répétez les étapes 4, 5 et 6. Répétez les étapes jusqu'à ce que vous obteniez la précision de la réponse dont vous avez besoin (nombre de décimales).

   Comprendre le processus

   Pour maîtriser cette méthode, imaginez le nombre dont vous voulez trouver la racine carrée comme l'aire du carré S. Dans ce cas, vous chercherez la longueur du côté L d'un tel carré. Calculer la valeur de L pour laquelle L² = S.

   Entrez une lettre pour chaque chiffre de votre réponse. Notons A le premier chiffre de la valeur de L (la racine carrée souhaitée). B sera le deuxième chiffre, C le troisième et ainsi de suite.

   Spécifiez une lettre pour chaque paire de premiers chiffres. Notons S a la première paire de chiffres de la valeur S, S b la deuxième paire de chiffres, et ainsi de suite.

   Expliquez le lien de cette méthode avec la division longue. Comme dans l'opération de division, où à chaque fois on ne s'intéresse qu'à un chiffre suivant du nombre divisible, lors du calcul de la racine carrée, on travaille avec une paire de chiffres en séquence (pour obtenir le chiffre suivant dans la valeur de la racine carrée) .

   1. Considérez la première paire de chiffres Sa du nombre S (Sa = 7 dans notre exemple) et trouvez sa racine carrée. Dans ce cas, le premier chiffre A de la valeur recherchée de la racine carrée sera un tel chiffre dont le carré est inférieur ou égal à S a (c'est-à-dire que l'on recherche un tel A qui vérifie l'inégalité A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Disons que nous devons diviser 88962 par 7 ; ici la première étape sera similaire : nous considérons le premier chiffre du nombre divisible 88962 (8) et sélectionnons le plus grand nombre qui, multiplié par 7, donne une valeur inférieure ou égale à 8. C'est-à-dire que nous recherchons un nombre d pour lequel l'inégalité est vraie : 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Imaginez mentalement le carré dont vous devez calculer l'aire. Vous cherchez L, c'est-à-dire la longueur du côté d'un carré dont l'aire est S. A, B, C sont des nombres dans le nombre L. Vous pouvez l'écrire différemment : 10A + B \u003d L (pour un deux -nombre de chiffres) ou 100A + 10B + C \u003d L (pour un nombre à trois chiffres) et ainsi de suite.

      • Laisser (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Rappelez-vous que 10A+B est un nombre dont B représente les unités et A représente les dizaines. Par exemple, si A=1 et B=2, alors 10A+B est égal au nombre 12. (10A+B)² est l'aire de tout le carré, 100A² est l'aire du grand carré intérieur, B² est l'aire du petit carré intérieur, 10A×B est l'aire de chacun des deux rectangles. En ajoutant les aires des figures décrites, vous trouverez l'aire du carré d'origine.