Comment les équations de racine carrée sont résolues. Façons de résoudre des équations irrationnelles

Développements méthodiques au cours au choix

"Méthodes de résolution d'équations irrationnelles"

INTRODUCTION

Le cours au choix proposé « Méthodes de résolution d'équations irrationnelles » est destiné aux étudiants de la 11e année d'une école d'enseignement général et est axé sur la matière, visant à élargir les connaissances théoriques et pratiques des étudiants. Le cours au choix est construit sur la base des connaissances et des compétences acquises par les élèves dans l'étude des mathématiques au lycée.

La spécificité de ce cours est qu'il s'adresse en priorité aux étudiants qui souhaitent élargir, approfondir, systématiser, généraliser leurs connaissances mathématiques, étudier les méthodes et techniques courantes de résolution d'équations irrationnelles. Le programme comprend des questions qui vont en partie au-delà des programmes actuels en mathématiques et des méthodes non standard qui vous permettent de résoudre plus efficacement divers problèmes.

La plupart des missions USE exigent que les diplômés maîtrisent diverses méthodes de résolution de divers types d'équations et de leurs systèmes. Le matériel lié aux équations et aux systèmes d'équations constitue une partie importante du cours de mathématiques à l'école. La pertinence du choix du sujet du cours au choix est déterminée par l'importance du sujet « Equations irrationnelles » dans cours d'école mathématiques et, en même temps, le manque de temps pour envisager des méthodes et approches non standard de résolution d'équations irrationnelles que l'on trouve dans les tâches du groupe "C" de l'examen.

Parallèlement à la tâche principale d'enseignement des mathématiques - assurer une maîtrise solide et consciente par les étudiants du système de connaissances et de compétences mathématiques - ce cours au choix prévoit la formation d'un intérêt constant pour le sujet, le développement des capacités mathématiques, une augmentation de le niveau de culture mathématique des étudiants, crée une base pour la réussite de l'examen et la poursuite des études dans les universités ...

Objectif du cours :

Augmenter le niveau de compréhension et de formation pratique en résolution d'équations irrationnelles ;

Étudier les techniques et méthodes de résolution d'équations irrationnelles;

Former la capacité d'analyse, mettre en évidence l'essentiel, former des éléments de recherche créative basés sur des techniques de généralisation;

Pour élargir les connaissances des étudiants sur ce sujet, pour améliorer les compétences et les capacités de résolution de divers problèmes pour réussir l'examen.

Objectifs du cours :

Approfondir les connaissances sur les méthodes et les techniques de résolution d'équations algébriques ;

Généralisation et systématisation des connaissances lors de l'enseignement de la 10e à la 11e année et de la préparation à l'examen ;

Développement de la capacité d'acquérir et d'appliquer des connaissances de manière autonome ;

Initier les étudiants à travailler avec la littérature mathématique;

Développement de la pensée logique des élèves, de leur culture algorithmique et de leur intuition mathématique ;

Améliorer la culture mathématique de l'élève.

Le programme de cours au choix implique l'étude de diverses méthodes et approches pour résoudre des équations irrationnelles, le développement de compétences pratiques sur les questions à l'étude. Le cours est conçu pour 17 heures.

Le programme est compliqué, dépasse le programme d'études habituel, favorise le développement de la pensée abstraite, élargit le domaine de connaissances de l'étudiant. En même temps, il maintient la continuité avec les programmes existants, étant leur continuation logique.

Plan académique-thématique

№p / p

Sujet de la leçon

Nombre d'heures

Résoudre des équations en tenant compte de la plage de valeurs admissibles

Résoudre des équations irrationnelles en élevant à une puissance naturelle

Résoudre des équations en introduisant des variables auxiliaires (méthode de remplacement)

Solution d'une équation avec un radical du troisième degré.

Transformations identiques lors de la résolution d'équations irrationnelles

Tâches non conventionnelles. Tâches du groupe "C" de l'examen

Formulaires de contrôle : tests à domicile, travaux indépendants, essais et travaux de recherche.

À la suite de l'enseignement de ce cours au choix, les étudiants devraient être capables de résoudre diverses équations irrationnelles à l'aide de méthodes et de techniques standard et non standard ;

maîtriser l'algorithme de résolution d'équations irrationnelles standard;

être capable d'utiliser les propriétés des équations pour résoudre des tâches non standard ;

être capable d'effectuer des transformations identiques lors de la résolution d'équations ;

avoir une idée claire des sujets de l'examen d'État unifié, des principales méthodes pour les résoudre;

acquérir de l'expérience dans le choix des méthodes de résolution de problèmes non standard.

PARTIE PRINCIPALE.

Les équations dans lesquelles la quantité inconnue est sous le signe radical sont appelées irrationnel.

Les équations irrationnelles les plus simples comprennent des équations de la forme :

L'idée principale de la solution L'équation irrationnelle consiste à la réduire à une équation algébrique rationnelle, qui est soit équivalente à l'équation irrationnelle originelle, soit en est la conséquence. Lors de la résolution d'équations irrationnelles, nous parlons toujours de trouver de vraies racines.

Considérons quelques façons de résoudre des équations irrationnelles.

1.Solution d'équations irrationnelles en tenant compte de la plage de valeurs admissibles (ODZ).

La plage des valeurs admissibles d'une équation irrationnelle se compose des valeurs d'inconnues pour lesquelles toutes les expressions sous le signe d'un radical de degré pair sont non négatives.

Parfois la connaissance de l'ODZ permet de prouver que l'équation n'a pas de solution, et parfois elle permet de trouver des solutions à l'équation par substitution directe des nombres de l'ODZ.

Exemple 1 . Résous l'équation.

Solution . Après avoir trouvé l'ODV de cette équation, nous arrivons à la conclusion que l'ODV de l'équation originale est un ensemble à un élément... Substitutionx = 2dans cette équation, nous arrivons à la conclusion quex = 2Est la racine de l'équation d'origine.

Réponse : 2 .

Exemple 2.

L'équation n'a pas de solutions, car pour chaque valeur valide de la variable, la somme de deux nombres non négatifs ne peut pas être négative.

Exemple 3.
+ 3 =
.

ODZ :

L'équation ODZ est un ensemble vide.

Réponse : l'équation n'a pas de racines.

Exemple 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ :

ODZ :
... En vérifiant, nous nous assurons que x = 1 est la racine de l'équation.

Réponse 1.

Montrer que l'équation n'a pas

racines.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Résous l'équation.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+ (x + 3) (2005 − x) = 0.

2.Dans Élever les deux côtés de l'équation à la puissance naturelle , c'est-à-dire la transition de l'équation

(1)

à l'équation

. (2)

Les affirmations suivantes sont vraies :

1) pour toute équation (2) est une conséquence de l'équation (1) ;

2) si ( m est un nombre impair), alors les équations (1) et (2 ) sont équivalents;

3) si ( m est un nombre pair), alors l'équation (2) est équivalente à l'équation

, (3)

et l'équation (3) est équivalente à l'ensemble des équations

. (4)

En particulier, l'équation

(5)

est équivalent à un ensemble d'équations (4).

Exemple 1... Résous l'équation

.

L'équation est équivalente au système

d'où il suit que x = 1, et la racine ne satisfait pas la seconde inégalité. Dans le même temps, une décision compétente ne nécessite pas de vérification.

Réponse:x = 1.

Exemple 2... Résous l'équation.

Résoudre la première équation de ce système, qui est équivalente à l'équation , nous obtenons les racines et. Cependant, à ces valeurs X l'inégalité ne tient pas, et donc cette équation n'a pas de racines.

Réponse: pas de racines.

Exemple 3... Résous l'équation

En consolidant le premier radical, on obtient l'équation

équivalent à l'original.

En mettant au carré les deux côtés de cette équation, puisqu'ils sont tous les deux positifs, on obtient l'équation

,

qui est une conséquence de l'équation d'origine. En mettant au carré les deux membres de cette équation à condition que, nous arrivions à l'équation

.

Cette équation a des racines,. La première racine satisfait la condition initiale et la seconde non.

Réponse: x = 2.

Si l'équation contient deux radicaux ou plus, ils sont d'abord isolés puis mis au carré.

Exemple 1.

En réunissant le premier radical, on obtient une équation équivalente à celle-ci. Mettons au carré les deux côtés de l'équation :

Après avoir terminé les transformations nécessaires, nous allons mettre au carré l'équation résultante

Après vérification, on remarque que

hors de portée.

Réponse : 8.

Réponse : 2

Réponse : 3 ; 1.4.

3. De nombreuses équations irrationnelles sont résolues en introduisant des variables auxiliaires.

Un moyen pratique de résoudre des équations irrationnelles est parfois la méthode d'introduction d'une nouvelle variable, ou "Méthode de remplacement". La méthode est généralement appliquée si dans l'équation une certaine expression se produit à plusieurs reprises en fonction de la quantité inconnue. Il est alors logique de désigner cette expression par quelques nouvelle lettre et essayez de résoudre l'équation d'abord par rapport à l'inconnue introduite, puis trouvez l'inconnue d'origine.

Bon choix la nouvelle variable rend la structure de l'équation plus transparente. La nouvelle variable est tantôt évidente, tantôt quelque peu voilée, mais « ressentie », et parfois « manifestée » uniquement dans le processus de transformations.

Exemple 1.

Laisser
t> 0, alors

t =
,

t 2 + 5t-14 = 0,

t 1 = -7, t 2 = 2. t = -7 ne satisfait pas la condition t> 0, alors

,

x 2 -2x-5 = 0,

x 1 = 1-
, x 2 = 1 +
.

Réponse 1-
; 1+
.

Exemple 2. Résoudre une équation irrationnelle

Remplacement:

Remplacement inverse : /

Réponse:

Exemple 3. Résous l'équation .

Faisons des remplacements :,. L'équation originale sera réécrite sous la forme, d'où l'on trouve que une = 4b et . De plus, en élevant les deux côtés de l'équation au carré, on obtient : D'où X= 15. Reste à vérifier :

- à droite!

Réponse: 15.

Exemple 4... Résous l'équation

Réglage, on obtient une équation irrationnelle sensiblement plus simple. Mettons au carré les deux côtés de l'équation :.

; ;

; ; , .

La vérification des valeurs trouvées et leur substitution dans l'équation montrent qu'il s'agit de la racine de l'équation et d'une racine étrangère.

Retour à la variable d'origine X, on obtient une équation, c'est-à-dire une équation quadratique, ayant résolu laquelle on trouve deux racines :,. Les deux racines satisfont l'équation originale.

Réponse: , .

La substitution est particulièrement utile si une nouvelle qualité est obtenue à la suite, par exemple, une équation irrationnelle se transforme en une équation rationnelle.

Exemple 6... Résous l'équation.

Réécrivons l'équation comme suit :.

On peut voir que si nous introduisons une nouvelle variable , alors l'équation prend la forme , d'où est une racine étrangère et.

De l'équation que nous obtenons,.

Réponse: , .

Exemple 7... Résous l'équation .

Introduisons une nouvelle variable,.

En conséquence, l'équation irrationnelle d'origine prend la forme d'un carré

,

d'où, compte tenu de la restriction, on obtient. En résolvant l'équation, nous obtenons la racine. Réponse: 2,5.

Tâches pour une solution indépendante.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4. Méthode d'introduction de deux variables auxiliaires.

Équations de la forme (ici une , b , c , ré – quelques chiffres, m , m – nombres naturels) et un certain nombre d'autres équations peuvent souvent être résolues en introduisant deux inconnues auxiliaires : et, où et la transition ultérieure vers système équivalent d'équations rationnelles.

Exemple 1... Résous l'équation.

Élever les deux côtés de cette équation à la quatrième puissance n'augure rien de bon. Si nous mettons,, alors l'équation originale est réécrite comme suit :. Puisque nous avons introduit deux nouvelles inconnues, nous devons trouver une autre équation reliant oui et z... Pour ce faire, nous élevons les égalités à la puissance quatrième et notons cela. Il faut donc résoudre le système d'équations

En mettant au carré on obtient :

Après substitution, nous avons : ou. Alors le système a deux solutions :,; ,, et le système n'a pas de solutions.

Il reste à résoudre le système de deux équations à une inconnue

et le système Le premier donne, le second donne.

Réponse: , .

Exemple 2.

Laisser

Réponse:

5. Équations avec un radical du troisième degré.
Lors de la résolution d'équations contenant des radicaux du 3ème degré, il peut être utile d'utiliser l'addition d'identités :

Exemple 1. .
Élevons les deux côtés de cette équation à la puissance 3 et utilisons l'identité ci-dessus :

Notez que l'expression entre parenthèses est 1, ce qui découle de l'équation d'origine. En tenant compte de cela et en rassemblant des termes similaires, nous obtenons :
Ouvrons les parenthèses, donnons des termes similaires et résolvons l'équation quadratique. Ses racineset... Si nous supposons (par définition) que la racine d'un degré impair peut également être extraite de nombres négatifs, alors les deux nombres obtenus sont des solutions de l'équation d'origine.
Réponse:.

6. Multiplication des deux membres de l'équation par l'expression conjuguée de l'une d'entre elles.

Parfois, une équation irrationnelle peut être résolue assez rapidement si les deux côtés de celle-ci sont multipliés par une fonction bien choisie. Bien sûr, lorsque les deux côtés de l'équation sont multipliés par une fonction, des solutions étrangères peuvent apparaître, elles peuvent être les zéros de cette fonction elle-même. Par conséquent, la méthode proposée nécessite une étude obligatoire des valeurs résultantes.

Exemple 1. Résous l'équation

Solution: Choisissons la fonction

Multiplions les deux côtés de l'équation par la fonction sélectionnée :

Présentons des termes similaires et obtenons l'équation équivalente

On ajoute l'équation d'origine et la dernière, on obtient

Réponse: .

7. Transformations identiques lors de la résolution d'équations irrationnelles

Lors de la résolution d'équations irrationnelles, il est souvent nécessaire d'appliquer des transformations identiques associées à l'utilisation de formules bien connues. Malheureusement, ces actions sont parfois tout aussi dangereuses que d'élever à une puissance égale - des solutions peuvent être acquises ou perdues.

Considérons plusieurs situations dans lesquelles ces problèmes surviennent et apprenons à les reconnaître et à les prévenir.

JE. Exemple 1... Résous l'équation.

Solution. La formule s'applique ici .

Il suffit de penser à la sécurité de son utilisation. Il est facile de voir que ses côtés gauche et droit ont des domaines de définition différents et que cette égalité n'est vraie que sous la condition. Par conséquent, l'équation originale est équivalente au système

En résolvant l'équation de ce système, nous obtenons les racines et. La seconde racine ne satisfait pas l'ensemble des inégalités du système et, par conséquent, est une racine étrangère à l'équation d'origine.

Réponse: -1 .

II La prochaine transformation dangereuse lors de la résolution d'équations irrationnelles est déterminée par la formule.

Si vous utilisez cette formule de gauche à droite, le DHS se développe et des solutions extérieures peuvent être achetées. En effet, sur le côté gauche les deux fonctions et doivent être non-négatives ; et leur produit doit être non négatif à droite.

Regardons un exemple où un problème est implémenté à l'aide d'une formule.

Exemple 2... Résous l'équation.

Solution. Essayons de résoudre cette équation en factorisant

Notez que cette action s'est avérée être une solution perdue, car elle correspond à l'équation d'origine et ne correspond plus à celle obtenue : cela n'a aucun sens pour. Par conséquent, cette équation est mieux résolue par une quadrature ordinaire

En résolvant l'équation de ce système, nous obtenons les racines et. Les deux racines satisfont l'inégalité du système.

Réponse: , .

III Il y a une action encore plus dangereuse - la réduction par un facteur commun.

Exemple 3... Résous l'équation .

Faux raisonnement : Réduisez les deux côtés de l'équation de, nous obtenons .

Il n'y a rien de plus dangereux et de mal que de faire cela. Premièrement, une solution appropriée à l'équation d'origine a été perdue; deuxièmement, deux solutions étrangères ont été acquises. Il s'avère que la nouvelle équation n'a rien à voir avec l'originale ! Voici la bonne solution.

Solution... Déplacez tous les termes vers la gauche de l'équation et factorisez-la

.

Cette équation est équivalente au système

qui a la seule solution.

Réponse: 3 .

CONCLUSION.

Dans le cadre de l'étude d'un cours au choix, des techniques non standard de résolution de problèmes complexes sont présentées, qui développent avec succès pensée logique, la capacité de trouver parmi les nombreuses manières de résoudre celle qui est confortable pour l'élève et rationnelle. Ce cours demande aux étudiants de travail indépendant, contribue à la préparation des étudiants à la formation continue, en élevant le niveau de culture mathématique.

Le travail a examiné les principales méthodes de résolution d'équations irrationnelles, certaines approches de résolution d'équations de degrés supérieurs, dont l'utilisation est censée résoudre les tâches USE, ainsi que lors de l'entrée dans les universités et de la formation mathématique continue. En outre, le contenu des concepts de base et des énoncés liés à la théorie de la résolution d'équations irrationnelles a été divulgué. Après avoir identifié la méthode la plus courante pour résoudre les équations, nous avons identifié son application dans des situations standard et non standard. De plus, le erreurs typiques lors de l'exécution de transformations identiques et les moyens de les surmonter.

Au cours du cours, les étudiants auront l'occasion de maîtriser diverses méthodes et techniques de résolution d'équations, tout en apprenant à systématiser et à généraliser les informations théoriques, à rechercher de manière autonome des solutions à certains problèmes et, à cet égard, à composer un certain nombre de problèmes et d'exercices sur ces derniers. les sujets. Le choix d'un matériel complexe aidera les étudiants à faire leurs preuves dans les activités de recherche.

Le côté positif du cours est la possibilité d'une application ultérieure par les étudiants du matériel étudié lors de la réussite de l'examen, l'admission dans les universités.

Le côté négatif est que tous les étudiants ne sont pas capables de maîtriser toutes les techniques de ce cours, même avec une envie, en raison de la difficulté de la plupart des problèmes à résoudre.

LITTÉRATURE:

Sharygin I.F. "Mathématiques pour les candidats à l'université." - 3e éd., - M. : Outarde, 2000.

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appendice

Résoudre tout type d'équations en ligne sur le site pour consolider le matériel étudié par les étudiants et les écoliers.. Résoudre les équations en ligne. Équations en ligne. Faites la distinction entre les équations algébriques, paramétriques, transcendantales, fonctionnelles, différentielles et autres. Certaines classes d'équations ont des solutions analytiques, ce qui est pratique en ce qu'elles donnent non seulement la valeur exacte de la racine, mais vous permettent d'écrire la solution dans le forme d'une formule, qui peut inclure des paramètres. Les expressions analytiques permettent non seulement de calculer les racines, mais aussi d'analyser leur existence et leur nombre en fonction des valeurs des paramètres, ce qui est souvent encore plus important pour application pratique que les valeurs spécifiques des racines. Résolution d'équations en ligne .. Equations en ligne. La solution d'une équation est le problème de trouver de telles valeurs des arguments pour lesquels cette égalité est atteinte. Les valeurs d'argument possibles peuvent être superposées conditions additionnelles(entier, réel, etc.). Résolution d'équations en ligne .. Equations en ligne. Vous pourrez résoudre l'équation en ligne instantanément et avec une grande précision du résultat. Les arguments de fonctions données (parfois appelées "variables") sont appelés "inconnus" dans le cas d'une équation. Les valeurs des inconnues auxquelles cette égalité est atteinte sont appelées solutions ou racines de cette équation. On dit que les racines satisfont l'équation donnée. Résoudre une équation en ligne, c'est trouver l'ensemble de toutes ses solutions (racines) ou prouver qu'il n'y a pas de racines. Résolution d'équations en ligne .. Equations en ligne. Les équations sont dites équivalentes ou équivalentes si leurs ensembles de racines coïncident. Les équations sont également considérées comme équivalentes si elles n'ont pas de racines. L'équivalence des équations a la propriété de symétrie : si une équation est équivalente à une autre, alors la deuxième équation est équivalente à la première. L'équivalence des équations a la propriété de transitivité : si une équation est équivalente à une autre et que la seconde est équivalente à la troisième, alors la première équation est équivalente à la troisième. La propriété d'équivalence des équations permet d'effectuer des transformations avec elles, sur lesquelles sont basées les méthodes de leur résolution. Résolution d'équations en ligne .. Equations en ligne. Le site vous permettra de résoudre l'équation en ligne. Les équations pour lesquelles des solutions analytiques sont connues comprennent les équations algébriques ne dépassant pas le quatrième degré : une équation linéaire, une équation quadratique, une équation cubique et une équation du quatrième degré. Les équations algébriques de degrés supérieurs n'ont généralement pas de solution analytique, bien que certaines d'entre elles puissent être réduites à des équations de degrés inférieurs. Les équations qui incluent des fonctions transcendantales sont appelées transcendantales. Parmi elles, des solutions analytiques sont connues pour certaines équations trigonométriques, puisque les zéros fonctions trigonométriques sont bien connus. Dans le cas général, lorsqu'une solution analytique ne peut pas être trouvée, des méthodes numériques sont utilisées. Les méthodes numériques ne donnent pas une solution exacte, mais vous permettent seulement de réduire l'intervalle dans lequel se trouve la racine à une certaine valeur prédéterminée. Résoudre des équations en ligne .. Equations en ligne .. Au lieu d'une équation en ligne, nous allons imaginer comment la même expression forme une relation linéaire, et pas seulement le long d'une ligne droite, mais aussi au point d'inflexion du graphique. Cette méthode est irremplaçable à tout moment de l'étude du sujet. Il arrive souvent que la solution des équations se rapproche de la valeur finale au moyen de nombres infinis et de vecteurs d'écriture. Il est nécessaire de vérifier les données initiales, et c'est l'essence de la tâche. Sinon, la condition locale est convertie en une formule. Inversion le long d'une droite à partir d'une fonction donnée, qui sera calculée par le calculateur d'équations sans trop de retard dans l'exécution, le privilège de l'espace servira de décalage. Il se concentrera sur les résultats scolaires des étudiants. Cependant, comme tout ce qui précède, cela nous aidera dans le processus de recherche et lorsque vous résoudrez complètement l'équation, enregistrez la réponse aux extrémités du segment de ligne. Les lignes dans l'espace se coupent en un point et ce point est appelé lignes coupées. L'intervalle sur la ligne droite est indiqué comme indiqué précédemment. Le premier article sur l'étude des mathématiques sera publié. Affecter à la valeur de l'argument à partir de manière paramétrique une surface donnée et résoudre l'équation en ligne sera en mesure de décrire les principes d'un appel productif à une fonction. La bande de Mobius, ou comme on l'appelle l'infini, ressemble à un huit. C'est une surface unilatérale et non bilatérale. Selon le principe bien connu de tous, nous accepterons objectivement équations linéaires pour la désignation de base en l'état et dans le domaine de la recherche. Seules deux valeurs d'arguments donnés consécutivement sont capables de révéler la direction du vecteur. Supposer qu'une autre solution aux équations en ligne est bien plus qu'une simple résolution, signifie obtenir une version à part entière de l'invariant à la sortie. Il est difficile pour les étudiants d'apprendre cette matière sans une approche intégrée. Comme auparavant, pour chaque cas particulier, notre calculateur d'équations en ligne pratique et intelligent aidera tout le monde dans les moments difficiles, car il vous suffit de spécifier les paramètres d'entrée et le système calculera lui-même la réponse. Avant de commencer à saisir des données, nous avons besoin d'un outil de saisie, ce qui peut être fait sans trop de difficulté. Le nombre de chaque estimation de réponse sera une équation quadratique menant à nos conclusions, mais ce n'est pas si facile à faire, car il est facile de prouver le contraire. La théorie, en raison de ses particularités, n'est pas étayée par des connaissances pratiques. Voir la calculatrice de fractions au stade de la publication de la réponse n'est pas une tâche facile en mathématiques, puisque l'alternative d'écrire un nombre sur un ensemble contribue à augmenter la croissance de la fonction. Cependant, il serait inexact de ne pas parler de la formation des étudiants, nous allons donc exprimer chacun autant qu'il est nécessaire de le faire. Auparavant, l'équation cubique trouvée appartiendra à juste titre au domaine de la définition, et contiendra l'espace des valeurs numériques, ainsi que des variables symboliques. Ayant appris ou mémorisé un théorème, nos étudiants ne se montreront qu'avec meilleur côté, et nous serons heureux pour eux. Contrairement à de nombreuses intersections de champs, nos équations en ligne sont décrites par le plan de mouvement multipliant deux et trois lignes numériques fusionnées. L'ensemble en mathématiques n'est pas défini de manière unique. La meilleure solution, selon les élèves, est une notation complète de l'expression. Comme il a été dit langage scientifique, l'abstraction des expressions symboliques n'est pas incluse dans l'état des choses, mais la résolution des équations donne un résultat sans ambiguïté dans tous les cas connus. La durée de la leçon de l'instructeur est basée sur les besoins de cette proposition. L'analyse a montré la nécessité de toutes les techniques de calcul dans de nombreux domaines, et il est absolument clair qu'une calculatrice d'équations est une boîte à outils irremplaçable entre les mains douées d'un étudiant. Une approche loyale de l'étude des mathématiques détermine l'importance des points de vue de différentes directions. Vous voulez identifier l'un des théorèmes clés et résoudre l'équation d'une telle manière, en fonction de la réponse dont il y aura un autre besoin pour son application. L'analyse dans ce domaine prend de l'ampleur. Commençons par le début et dérivons la formule. Après avoir franchi le niveau d'augmentation de la fonction, la ligne tangente au point d'inflexion conduira nécessairement au fait que la résolution de l'équation en ligne sera l'un des principaux aspects de la construction du même graphique à partir de l'argument de la fonction. Une approche amateur a le droit d'être appliquée si cette condition ne contredit pas les conclusions des étudiants. La sous-tâche qui place l'analyse des conditions mathématiques sous forme d'équations linéaires dans le domaine existant de l'objet est ramenée à l'arrière-plan. Le décalage dans le sens de l'orthogonalité annule l'avantage d'une seule valeur absolue. En module, la résolution d'équations en ligne donne le même nombre de solutions si vous développez les parenthèses d'abord avec un signe plus, puis avec un signe moins. Dans ce cas, il y a deux fois plus de solutions, et le résultat sera plus précis. Une calculatrice d'équations en ligne stable et correcte permet d'atteindre l'objectif visé dans la tâche définie par l'enseignant. Méthode souhaitée il semble possible de choisir en raison des différences importantes dans les points de vue des grands scientifiques. L'équation quadratique résultante décrit la courbe des lignes, la soi-disant parabole, et le signe déterminera sa convexité dans un système de coordonnées quadratiques. De l'équation, nous obtenons à la fois le discriminant et les racines elles-mêmes par le théorème de Vieta. Il est nécessaire de présenter une expression sous forme de fraction juste ou fausse et d'utiliser un calculateur de fractions dans un premier temps. En fonction de cela, un plan pour nos calculs ultérieurs sera formé. Avec une approche théorique, les mathématiques seront utiles à chaque étape. Nous représenterons nécessairement le résultat sous la forme d'une équation cubique, car nous cacherons ses racines dans cette expression même, afin de simplifier la tâche d'un étudiant dans une université. Toute méthode est bonne si elle se prête à une analyse superficielle. Des opérations arithmétiques excessives n'entraîneront pas d'erreurs de calcul. Détermine la réponse avec la précision spécifiée. En utilisant la solution d'équations, disons-le franchement - il n'est pas si facile de trouver la variable indépendante d'une fonction donnée, surtout lorsqu'on étudie des droites parallèles à l'infini. Compte tenu de l'exception, le besoin est très évident. La différence de polarité est sans ambiguïté. De l'expérience de l'enseignement dans les instituts, notre professeur a appris leçon principale, sur laquelle les équations ont été étudiées en ligne au sens mathématique complet. Ici, il s'agissait de l'effort le plus élevé et des compétences particulières dans l'application de la théorie. En faveur de nos conclusions, il ne faut pas regarder à travers le prisme. Jusqu'à plus tard, on croyait qu'un ensemble fermé augmentait rapidement dans la zone telle qu'elle est, et la solution des équations devait simplement être étudiée. Dans un premier temps, nous n'avons pas envisagé toutes les options possibles, mais cette approche se justifie plus que jamais. Des actions excessives entre parenthèses justifient quelques avances selon les axes des ordonnées et des abscisses, qui ne peuvent être ignorées à l'œil nu. Dans le sens d'une augmentation proportionnelle étendue de la fonction, il y a un point d'inflexion. Prouvons une fois de plus comment condition nécessaire sera appliqué tout au long de l'intervalle d'une diminution d'une position descendante particulière du vecteur. Dans un espace confiné, nous sélectionnerons une variable du bloc initial de notre script. Pour l'absence du moment de force principal, le système est responsable, construit à la base de trois vecteurs. Cependant, le calculateur d'équation l'a fait ressortir et a aidé à trouver tous les termes de l'équation construite, à la fois au-dessus de la surface et le long de lignes parallèles. Nous allons décrire un certain cercle autour du point de départ. Ainsi, nous commencerons à remonter le long des lignes de section et la tangente décrira le cercle sur toute sa longueur, nous obtiendrons ainsi une courbe appelée développante. Au fait, racontons un peu l'histoire de cette courbe. Le fait est qu'historiquement, en mathématiques, il n'y avait pas de concept des mathématiques elles-mêmes au sens pur, comme c'est le cas aujourd'hui. Auparavant, tous les scientifiques étaient engagés dans une entreprise commune, à savoir la science. Plus tard, plusieurs siècles plus tard, alors que le monde scientifique était rempli d'une quantité colossale d'informations, l'humanité a néanmoins identifié de nombreuses disciplines. Ils sont restés inchangés à ce jour. Pourtant, chaque année, des scientifiques du monde entier essaient de prouver que la science est illimitée, et vous ne résoudrez pas l'équation si vous n'avez pas une connaissance des sciences naturelles. Il ne peut pas être possible d'y mettre un terme. Penser à cela n'a pas de sens que de réchauffer l'air extérieur. Trouvons l'intervalle auquel l'argument, avec sa valeur positive, déterminera le module de la valeur dans une direction fortement croissante. La réaction vous aidera à trouver au moins trois solutions, mais vous devrez les vérifier. Pour commencer, nous devons résoudre l'équation en ligne en utilisant un service unique sur notre site. Entrons les deux côtés de l'équation donnée, appuyez sur le bouton "RÉSOUDRE" et obtenez la réponse exacte en quelques secondes seulement. Dans des cas particuliers, nous prendrons un livre sur les mathématiques et vérifierons notre réponse, à savoir, nous ne verrons que la réponse et tout deviendra clair. Le même projet sur un parallélépipède artificiel redondant s'envolera. Il y a un parallélogramme avec son propre côtés parallèles, et il explique de nombreux principes et approches pour l'étude de la relation spatiale du processus ascendant d'accumulation d'espace creux dans les formules aspect naturel... Des équations linéaires ambiguës montrent la dépendance de la variable souhaitée avec notre solution commune à un moment donné, et il est nécessaire de dériver et de réduire d'une manière ou d'une autre la fraction incorrecte à un cas non trivial. Sur une ligne droite, marquez dix points et tracez une courbe passant par chaque point dans une direction donnée, et avec une convexité vers le haut. Sans grande difficulté, notre calculateur d'équation présentera une expression sous une forme telle que sa vérification de la validité des règles sera évidente même au début de l'enregistrement. Le système des représentations spéciales de la stabilité pour les mathématiciens est en premier lieu, sauf disposition contraire de la formule. A cela nous répondrons par une présentation détaillée d'un rapport sur l'état isomorphe d'un système plastique de corps et la résolution des équations en ligne décrira le mouvement de chaque point matériel de ce système. Au niveau des recherches approfondies, il faudra clarifier en détail la question des inversions d'au moins la couche inférieure de l'espace. En montant dans la section de la discontinuité de la fonction, on appliquera méthode générale un grand explorateur, soit dit en passant, notre compatriote, et nous parlerons plus bas du comportement de l'avion. En raison des fortes caractéristiques d'une fonction spécifiée analytiquement, nous n'utilisons un calculateur d'équations en ligne qu'aux fins prévues dans les puissances dérivées. Argumentant plus loin, arrêtons notre enquête sur l'homogénéité de l'équation elle-même, c'est-à-dire que son membre de droite est égal à zéro. Encore une fois, nous nous assurerons de la justesse de notre décision en mathématiques. Pour éviter d'obtenir une solution triviale, nous allons apporter quelques ajustements aux conditions initiales du problème sur la stabilité conditionnelle du système. Composons une équation quadratique, pour laquelle nous écrivons deux entrées selon la formule bien connue et trouvons des racines négatives. Si une racine est supérieure de cinq unités aux deuxième et troisième racines, alors en apportant des modifications à argument principal on fausse ainsi les conditions initiales du sous-problème. À la base, quelque chose d'inhabituel en mathématiques peut toujours être décrit au centième près d'un nombre positif. Le calculateur de fraction est plusieurs fois supérieur à ses homologues sur des ressources similaires au meilleur moment de charge du serveur. Sur la surface du vecteur vitesse croissant le long de l'ordonnée, nous traçons sept lignes courbées dans des directions opposées les unes aux autres. La commensurabilité de l'argument de fonction affecté est en avance sur le compteur de solde de récupération. En mathématiques, ce phénomène peut être représenté par une équation cubique à coefficients imaginaires, ainsi que dans la progression bipolaire des droites décroissantes. Les points critiques de la chute de température, dans nombre de leurs significations et de leurs progrès, décrivent le processus de factorisation d'une fonction fractionnaire complexe. Si on vous dit de résoudre l'équation, ne vous précipitez pas pour le faire tout de suite, évaluez d'abord sans équivoque l'ensemble du plan d'action, puis adoptez la bonne approche. L'avantage sera certainement. La facilité de travail est évidente, et il en est de même en mathématiques. Résolvez l'équation en ligne. Toutes les équations en ligne représentent une sorte de notation de nombres ou de paramètres et une variable qui doit être définie. Calculez cette variable même, c'est-à-dire trouvez des valeurs ou des intervalles spécifiques d'un ensemble de valeurs auxquelles l'identité sera satisfaite. Les conditions initiales et finales dépendent directement. La solution générale des équations, en règle générale, comprend des variables et des constantes, définissant lesquelles, nous obtenons des familles entières de solutions pour un énoncé de problème donné. En général, cela justifie les efforts investis dans le sens d'augmenter la fonctionnalité d'un cube spatial d'un côté égal à 100 centimètres. Vous pouvez appliquer un théorème ou un lemme à n'importe quelle étape de la construction d'une réponse. Le site délivre progressivement un calculateur d'équations, si nécessaire, affiche plus petite valeur... Dans la moitié des cas, une boule telle que creuse ne répond pas dans une plus large mesure aux exigences de fixation d'une réponse intermédiaire. Au moins sur l'axe des ordonnées dans le sens de la représentation vectorielle décroissante, cette proportion sera sans doute plus optimale que l'expression précédente. A l'heure où fonctions linéaires une analyse de point complet sera effectuée, nous allons, en fait, rassembler tous nos nombres complexes et espaces planaires bipolaires. En remplaçant une variable dans l'expression résultante, vous résoudrez l'équation étape par étape et donnerez la réponse la plus détaillée avec une grande précision. Encore une fois, il sera de bonne forme de la part d'un élève de vérifier vos actions en mathématiques. La proportion dans le rapport des fractions a fixé l'intégrité du résultat dans tous les domaines d'activité importants du vecteur zéro. La trivialité est confirmée à la fin des actions effectuées. Avec une tâche simple, les élèves ne peuvent pas avoir de difficultés s'ils résolvent l'équation en ligne dans les plus brefs délais, mais n'oublient pas toutes sortes de règles. De nombreux sous-ensembles se croisent dans le domaine de la notation convergente. V différents cas le travail n'est pas fautif par erreur. Trouvez de l'aide pour résoudre l'équation en ligne dans notre première section sur les techniques mathématiques de base pour les sections significatives des étudiants des collèges et des collèges. Les exemples de réponses ne nous feront pas attendre plusieurs jours, puisque le procédé de meilleure interaction de l'analyse vectorielle avec recherche séquentielle de solutions a été breveté au début du siècle dernier. Il s'avère que les efforts pour interagir avec l'équipe environnante n'ont pas été vains, quelque chose d'autre était manifestement mûr en premier lieu. Plusieurs générations plus tard, les scientifiques du monde entier ont été amenés à croire que les mathématiques sont la reine des sciences. Qu'il s'agisse d'une réponse à gauche ou à droite, tout de même, les termes exhaustifs doivent être écrits sur trois lignes, puisque dans notre cas nous ne parlerons sans ambiguïté que de l'analyse vectorielle des propriétés matricielles. Les équations non linéaires et linéaires, ainsi que les équations biquadratiques, ont pris une place particulière dans notre livre sur les meilleures pratiques calculer la trajectoire de mouvement dans l'espace de tous les points matériels d'un système fermé. L'analyse linéaire du produit scalaire de trois vecteurs consécutifs nous aidera à donner vie à l'idée. A la fin de chaque paramétrage, la tâche est facilitée en injectant des exceptions numériques optimisées dans les incrustations d'espace de nombres effectuées. Un jugement différent ne s'opposera pas à la réponse trouvée sous la forme arbitraire d'un triangle dans un cercle. L'angle entre les deux vecteurs contient le pourcentage requis de la marge, et la résolution d'équations en ligne révèle souvent une certaine racine commune de l'équation par opposition aux conditions initiales. L'exclusion sert de catalyseur dans tout le processus inévitable de trouver une décision positive dans le domaine de la définition d'une fonction. S'il n'est pas dit que vous ne pouvez pas utiliser un ordinateur, alors un calculateur d'équations en ligne est parfait pour vos tâches difficiles. Il suffit de saisir vos données conditionnelles dans le bon format et notre serveur vous fournira une réponse complète dans les plus brefs délais. La fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que la fonction linéaire. Les talmuds de la littérature bibliothécaire intelligente en témoignent. Effectue le calcul dans un sens général comme le ferait cette équation quadratique à trois coefficients complexes. La parabole dans la partie supérieure du demi-plan caractérise le mouvement parallèle rectiligne le long des axes des points. Il convient de mentionner ici la différence potentielle dans l'espace de travail du corps. Au lieu d'un résultat sous-optimal, notre calculateur de fractions prend à juste titre la première position dans l'évaluation mathématique de l'examen des programmes fonctionnels côté serveur. La facilité d'utilisation de ce service sera appréciée par des millions d'internautes. Si vous ne savez pas comment l'utiliser, nous serons heureux de vous aider. Nous souhaitons également noter et mettre en évidence l'équation cubique d'un certain nombre de problèmes d'école primaire, lorsqu'il est nécessaire de trouver rapidement ses racines et de tracer un graphique de fonction sur le plan. Les plus hauts degrés de reproduction sont l'un des problèmes mathématiques les plus difficiles de l'institut, et un nombre suffisant d'heures est alloué à son étude. Comme toutes les équations linéaires, la nôtre ne fait pas exception selon de nombreuses règles objectives, regardez de différents points de vue, et elle s'avérera simple et suffisante pour poser les conditions initiales. L'intervalle ascendant coïncide avec l'intervalle de convexité de la fonction. Résolution d'équations en ligne. Au cœur de l'étude de la théorie se trouvent des équations en ligne provenant de nombreuses sections pour l'étude de la discipline principale. A l'occasion d'une telle approche dans des problèmes indéfinis, il est très facile de présenter la solution d'équations sous une forme prédéterminée et non seulement de tirer des conclusions, mais aussi de prédire l'issue d'une telle solution positive. Le service nous aidera à apprendre le domaine de la manière la plus les meilleures traditions mathématiques, comme il est de coutume en Orient. Aux meilleurs moments de l'intervalle de temps, des tâches similaires ont été décuplées par un facteur commun. L'abondance des multiplications de plusieurs variables dans le calculateur d'équations a commencé à se multiplier avec la qualité, et non des variables quantitatives de valeurs telles que le poids ou le poids corporel. Afin d'éviter les cas de déséquilibre du système matériel, il est bien évident pour nous de dériver un transformateur tridimensionnel basé sur la convergence triviale de matrices mathématiques non dégénérées. Terminez la tâche et résolvez l'équation dans les coordonnées données, car la sortie n'est pas connue à l'avance, ainsi que toutes les variables incluses dans le temps post-spatial sont inconnues. Pendant un court instant, poussez le facteur commun au-delà des parenthèses et divisez les deux côtés par le plus grand facteur commun à l'avance. À partir du sous-ensemble de nombres couvert résultant, extraire de manière détaillée trente-trois points d'affilée en peu de temps. Dans la mesure où dans de la meilleure façon possible il est possible pour chaque étudiant de résoudre l'équation en ligne, en avance, disons un élément important, mais clé, sans lequel nous ne serons pas faciles à vivre. Au siècle dernier, le grand scientifique a remarqué un certain nombre de modèles dans la théorie des mathématiques. En pratique, il ne s'est pas avéré tout à fait l'impression attendue des événements. Cependant, en principe, cette même solution d'équations en ligne contribue à améliorer la compréhension et la perception d'une approche holistique de l'étude et de la consolidation pratique du matériel théorique transmis par les étudiants. Il est beaucoup plus facile de le faire pendant votre temps de classe.

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Bien que l'apparence intimidante du symbole de la racine carrée puisse faire grincer des dents une personne qui n'est pas bonne en mathématiques, des problèmes avec racine carrée pas aussi difficile que cela puisse paraître au premier abord. Les problèmes de racine carrée simples peuvent souvent être résolus aussi facilement que les problèmes courants de multiplication ou de division. D'un autre côté, des tâches plus complexes peuvent nécessiter un certain effort, mais avec la bonne approche même ils ne seront pas difficiles pour vous. Commencez à résoudre des problèmes par root aujourd'hui pour apprendre cette compétence mathématique radicalement nouvelle !

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Partie 1

Comprendre les nombres carrés et les racines carrées

1. Carré le nombre en le multipliant par lui-même. Pour comprendre les racines carrées, il est préférable de commencer par le carré des nombres. Mettre des nombres au carré est assez simple : mettre un nombre au carré, c'est le multiplier par lui-même. Par exemple, 3 au carré équivaut à 3 × 3 = 9, et 9 au carré équivaut à 9 × 9 = 81. Les carrés sont indiqués en écrivant le petit nombre « 2 » à droite au-dessus du nombre carré. Exemple : 3 2, 9 2, 100 2, et ainsi de suite.

   • Essayez de mettre vous-même au carré quelques chiffres supplémentaires pour essayer ce concept. N'oubliez pas que la quadrature d'un nombre signifie que le nombre doit être multiplié par lui-même. Cela peut être fait même pour les nombres négatifs. Dans ce cas, le résultat sera toujours positif. Par exemple : -8 2 = -8 × -8 = 64 .

2. En ce qui concerne les racines carrées, le processus est inversé au carré. Le symbole racine (√, aussi appelé le radical) signifie essentiellement le contraire de 2. Quand vous voyez un radical, vous devez vous demander : « Quel nombre peut se multiplier tout seul pour obtenir le nombre sous la racine ? Par exemple, si vous voyez √ (9), alors vous devez trouver un nombre qui, une fois mis au carré, donnerait le nombre neuf. Dans notre cas, ce nombre sera trois, car 3 2 = 9.

   • Considérez un autre exemple et trouvez la racine de 25 (√ (25)). Cela signifie que nous devons trouver un nombre qui nous donnerait au carré 25. Puisque 5 2 = 5 × 5 = 25, nous pouvons dire que (25) = 5.
   • Vous pouvez également considérer cela comme "défaire" l'équerrage. Par exemple, si nous devons trouver (64), la racine carrée de 64, alors considérons ce nombre comme 8 2. Puisque le symbole racine "annule" la quadrature, on peut dire que (64) = √ (8 2) = 8.

3. Connaître la différence entre la mise au carré parfaite et non parfaite. Jusqu'à présent, les réponses à nos problèmes avec root étaient des nombres bons et ronds, mais ce n'est pas toujours le cas. Les réponses aux problèmes de racine carrée peuvent être des nombres décimaux très longs et maladroits. Les nombres dont la racine est un nombre entier (en d'autres termes, des nombres qui ne sont pas des fractions) sont appelés carrés parfaits. Tous les exemples ci-dessus (9, 25 et 64) sont des carrés parfaits car leur racine sera un nombre entier (3,5 et 8).

   • D'autre part, les nombres qui, lorsqu'ils sont élevés à la racine, ne donnent pas un nombre entier, sont appelés carrés incomplets. Si vous mettez un de ces nombres sous la racine, vous obtenez un nombre avec une fraction décimale. Parfois, ce nombre peut être assez long. Par exemple, (13) = 3.605551275464 ...

4. Mémorisez les 1 à 12 premiers carrés complets. Comme vous l'avez probablement déjà remarqué, trouver la racine d'un carré complet est assez facile ! Parce que ces tâches sont si faciles, il vaut la peine de se souvenir des racines de la première douzaine de carrés complets. Vous rencontrerez ces chiffres plus d'une fois, alors prenez un peu de temps pour les mémoriser tôt et gagnez du temps à l'avenir.

   • 1 2 = 1 × 1 = 1
   • 2 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 2 = 3 × 3 = 9
   • 4 2 = 4 × 4 = 16
   • 5 2 = 5 × 5 = 25
   • 6 2 = 6 × 6 = 36
   • 7 2 = 7 × 7 = 49
   • 8 2 = 8 × 8 = 64
   • 9 2 = 9 × 9 = 81
   • 10 2 = 10 × 10 = 100
   • 11 2 = 11 × 11 = 121
   • 12 2 = 12 × 12 = 144

5. Simplifiez les racines en en supprimant des carrés pleins, si possible. Trouver la racine d'un carré incomplet peut parfois être délicat, surtout si vous n'utilisez pas de calculatrice (voir la section ci-dessous pour quelques astuces pour faciliter ce processus). Cependant, vous pouvez souvent simplifier le nombre sous le radical pour le rendre plus facile à utiliser. Pour ce faire, il vous suffit de factoriser le nombre sous la racine, puis de trouver la racine carrée du facteur et de l'écrire en dehors de la racine. C'est plus facile qu'il n'y paraît. Lisez la suite pour plus d'informations.

   • Disons que nous devons trouver la racine carrée de 900. À première vue, cela semble être une tâche assez ardue ! Cependant, ce ne sera pas si difficile si nous divisons le nombre 900 par des facteurs. Les multiplicateurs sont des nombres qui sont multipliés les uns par les autres pour donner un nouveau nombre. Par exemple, le nombre 6 peut être obtenu en multipliant 1 × 6 et 2 × 3, ses facteurs seront les nombres 1, 2, 3 et 6.
   • Au lieu de chercher la racine de 900, ce qui est un peu délicat, écrivons 900 sous la forme 9 × 100. Maintenant que 9, qui est un carré parfait, est séparé de 100, nous pouvons trouver sa racine. (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). En d'autres termes, (900) = 3√ (100).
   • On peut même aller encore plus loin en divisant 100 par deux facteurs, 25 et 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. On peut donc dire, que (900) = 3 (10) = 30

6. Utilisez des nombres imaginaires pour trouver la racine nombre négatif. Demandez-vous quel nombre multiplié par lui-même donnera -16 ? Ce n'est pas 4 ou -4, puisque la quadrature de ces nombres nous donnera un nombre positif de 16. Abandonner ? En fait, il n'y a aucun moyen d'écrire la racine -16 ou tout autre nombre négatif dans des nombres normaux. Dans ce cas, nous devons substituer des nombres imaginaires (généralement sous forme de lettres ou de symboles) afin qu'ils apparaissent à la place de la racine d'un nombre négatif. Par exemple, la variable "i" est généralement utilisée pour root -1. Typiquement, la racine d'un nombre négatif sera toujours le nombre imaginaire (ou inclus dans celui-ci).

   • Sachez que même si les nombres imaginaires ne peuvent pas être représentés par des nombres ordinaires, ils peuvent toujours être traités comme tels. Par exemple, la racine carrée d'un nombre négatif peut être mise au carré pour donner à ces nombres négatifs, comme n'importe quel autre, la racine carrée. Par exemple, je 2 = -1

   Partie 2

   Utilisation de l'algorithme de division longue

   1. Écrivez le problème avec la racine comme un problème de division longue. Bien que cela puisse prendre beaucoup de temps, vous pouvez ainsi résoudre le problème de racine carrée incomplète sans recourir à une calculatrice. Pour ce faire, nous utiliserons une méthode de résolution (ou un algorithme) similaire (mais pas exactement la même) à la division longue régulière.

      • D'abord, notez le problème avec la racine sous la même forme que pour la division longue. Supposons que nous voulions trouver la racine carrée de 6,45, qui n'est pas exactement un carré parfait. Tout d'abord, nous écrivons le symbole carré habituel, puis nous écrivons un nombre en dessous. Ensuite, nous allons tracer une ligne au-dessus du nombre pour qu'il apparaisse dans une petite "boîte", tout comme dans une division longue. Après cela, nous avons une racine avec une longue queue et le nombre 6,45 en dessous.
      • Nous écrirons des nombres au-dessus de la racine, alors assurez-vous de laisser de l'espace là-bas.

   2. Groupez les nombres par paires. Pour commencer à résoudre le problème, il est nécessaire de grouper les chiffres du nombre sous le radical par paires, en partant du point à décimal... Si vous le souhaitez, vous pouvez faire de petites marques (comme des points, des lignes obliques, des virgules, etc.) entre les paires afin de ne pas vous tromper.

      • Dans notre exemple, nous devons coupler le nombre 6.45 comme suit : 6-, 45-00. Notez qu'il y a un chiffre "restant" sur la gauche - c'est normal.

   3. Trouvez le plus grand nombre dont le carré est inférieur ou égal au premier "groupe". Commencez par le premier nombre ou paire sur la gauche. Choisissez le plus grand nombre dont le carré est inférieur ou égal au « groupe » restant. Par exemple, si le groupe était de 37, vous choisiriez le chiffre 6, car 6 2 = 36< 37, а 7 2 = 49 >37. Écrivez ce nombre sur le premier groupe. Ce sera le premier chiffre de votre réponse.

      • Dans notre exemple, le premier groupe de 6-, 45-00 sera le nombre 6. Le plus grand nombre inférieur ou égal à 6 dans le carré est 2 2 = 4. Écrivez le nombre 2 au-dessus du nombre 6 sous le racine.

   4. Doublez le nombre que vous venez d'écrire, puis enracinez-le et soustrayez-le. Prenez le premier chiffre de votre réponse (le numéro que vous venez de trouver) et doublez-le. Écrivez le résultat sous votre premier groupe et soustrayez pour trouver la différence. Déposez les deux prochains nombres à côté de la réponse. Enfin, écrivez à gauche le dernier chiffre double du premier chiffre de votre réponse et laissez un espace à côté.

      • Dans notre exemple, nous commencerons par doubler le nombre 2, qui est le premier nombre de notre réponse. 2 × 2 = 4. Ensuite, nous soustrayons 4 de 6 (notre premier "groupe") pour obtenir 2. Ensuite, nous omettons le groupe suivant (45) pour obtenir 245. Enfin, à gauche, nous écrivons à nouveau le nombre 4, laissant il y a un petit espace à la fin, comme ceci : 4_

   5. Veuillez remplir le blanc. Ensuite, vous devez ajouter un chiffre à droite du numéro enregistré, qui se trouve à gauche. Choisissez un nombre, en multipliant avec votre nouveau nombre, vous obtiendrez le résultat le plus grand possible, mais qui serait inférieur ou égal au nombre « omis ». Par exemple, si votre nombre « omis » est 1700 et que votre nombre à gauche est 40_, vous devez écrire le nombre 4 dans l'espace, car 404 × 4 = 1616< 1700, в то время как 405 × 5 = 2025. Найденная в этом шаге цифра и будет второй цифрой вашего ответа, так вы можете записать ее над знаком корня.

      • Dans notre exemple, nous devons trouver un nombre et l'écrire dans des espaces 4_ × _, ce qui rendra la réponse la plus grande possible, mais toujours inférieure ou égale à 245. Dans notre cas, c'est 5. 45 × 5 = 225, tandis que 46 × 6 = 276

   6. Continuez à utiliser des nombres vides pour trouver la réponse. Continuez à résoudre cette division longue modifiée jusqu'à ce que vous commenciez à obtenir des zéros lorsque vous soustrayez le nombre "omis", ou jusqu'à ce que vous obteniez le niveau de précision souhaité. Lorsque vous avez terminé, les nombres que vous avez utilisés pour remplir les blancs à chaque étape (plus le tout premier nombre) constitueront le nombre de votre réponse.

      • Poursuivant notre exemple, nous soustrayons 225 de 245 pour obtenir 20. Ensuite, nous laissons tomber la paire de nombres suivante, 00, pour obtenir 2000. Doubler le nombre au-dessus du signe racine. Nous obtenons 25 × 2 = 50. En résolvant l'exemple avec des espaces, 50_ × _ = /< 2,000, мы получим 3. На этом этапе над радикалом у нас будет написано 253, а повторив этот процесс снова, следующим нашим числом будет цифра 9.

   7. Déplacez la virgule décimale du numéro de dividende d'origine. Pour compléter votre réponse, vous devez mettre le point décimal dans bon endroit... Heureusement, c'est assez facile à faire. Tout ce que vous avez à faire est de l'aligner avec le point numérique d'origine. Par exemple, si le nombre 49,8 est sous la racine, vous devrez mettre un point entre les deux nombres au-dessus du neuf et du huit.

      • Dans notre exemple, il y a 6,45 sous le radical, nous allons donc simplement déplacer le point et le placer entre les nombres 2 et 5 dans notre réponse, et obtenir la réponse égale à 2,539.

   Partie 3

   Compter rapidement les carrés incomplets

   1. Trouvez des carrés incomplets en les comptant. Une fois que vous avez mémorisé les carrés complets, trouver la racine des carrés incomplets devient beaucoup plus facile. Puisque vous connaissez déjà une douzaine de carrés parfaits, tout nombre compris entre ces deux carrés complets peut être trouvé en réduisant le tout à un nombre approximatif entre ces valeurs. Commencez par trouver deux carrés complets avec votre numéro entre les deux. Déterminez ensuite de quel nombre votre nombre est le plus proche.

      • Par exemple, supposons que nous ayons besoin de trouver la racine carrée de 40. Puisque nous avons mémorisé des carrés parfaits, nous pouvons dire que 40 est compris entre 6 2 et 7 2 ou 36 et 49. Puisque 40 est supérieur à 6 2, sa racine sera est supérieur à 6, et puisqu'il est inférieur à 7 2, sa racine sera également inférieure à 7,40 est un peu plus proche de 36 que de 49, donc la réponse est susceptible d'être un peu plus proche de 6. Dans les prochaines étapes, nous allons affiner notre réponse...
      La prochaine chose que vous devez faire est de mettre le nombre approximatif au carré. Vous n'aurez probablement pas de chance et ne recevrez pas le numéro d'origine. Il sera soit légèrement plus grand, soit légèrement plus petit. Si votre résultat est trop élevé, essayez à nouveau, mais avec une estimation légèrement inférieure (et vice versa si le résultat est trop bas).
      • Multipliez 6,4 par lui-même et vous obtenez 6,4 x 6,4 = 40,96, ce qui est légèrement supérieur au nombre d'origine.
      • Puisque notre réponse s'est avérée plus grande, nous devons multiplier le nombre par un dixième de moins par l'approximatif et obtenir ce qui suit : 6,3 × 6,3 = 39,69. C'est un peu moins que le nombre d'origine. Cela signifie que la racine carrée de 40 est comprise entre 6,3 et 6,4. Encore une fois, puisque 39,69 est plus proche de 40 que de 40,96, nous savons que la racine carrée sera plus proche de 6,3 que de 6,4.

   2. Continuez à calculer.À ce stade, si vous êtes satisfait de votre réponse, vous pouvez simplement faire la première supposition que vous devinez. Cependant, si vous voulez une réponse plus précise, tout ce que vous avez à faire est de choisir une valeur approximative avec deux décimales qui place cette valeur approximative entre les deux premiers nombres. En continuant ce décompte, vous pouvez obtenir trois, quatre décimales ou plus pour votre réponse. Tout dépend jusqu'où tu veux aller.

      • Pour notre exemple, choisissons 6,33 comme valeur approximative, avec deux décimales. Multipliez 6,33 par lui-même pour obtenir 6,33 × 6,33 = 40,0689. puisque celui-ci est légèrement supérieur à notre nombre, nous prendrons un nombre plus petit, par exemple 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Cette réponse est légèrement inférieure à notre nombre, nous savons donc que la racine carrée exacte est comprise entre 6,32 et 6,33. Si nous voulions continuer, nous continuerions à utiliser la même approche pour obtenir une réponse qui deviendrait de plus en plus précise.
   • Pour trouver rapidement une solution, utilisez la calculatrice. La plupart des calculatrices modernes peuvent trouver la racine carrée d'un nombre instantanément. Il vous suffit de saisir votre numéro puis de cliquer sur le bouton racine. Par exemple, pour trouver la racine 841, vous devrez appuyer sur 8, 4, 1 et (√). En conséquence, vous obtiendrez la réponse 39.

Les équations dans lesquelles une variable est contenue sous le signe racine sont dites irrationnelles.

En règle générale, les méthodes de résolution des équations irrationnelles reposent sur la possibilité de remplacer (à l'aide de certaines transformations) une équation irrationnelle par une équation rationnelle, qui est soit équivalente à l'équation irrationnelle d'origine, soit sa conséquence. Le plus souvent, les deux côtés de l'équation sont élevés à la même puissance. Dans ce cas, on obtient une équation qui est une conséquence de l'originale.

Lorsque vous résolvez des équations irrationnelles, tenez compte des éléments suivants :

1) si l'exposant de la racine est un nombre pair, alors l'expression radicale doit être non négative ; dans ce cas, la valeur de la racine est également non négative (détermination de la racine avec un exposant pair) ;

2) si l'exposant de la racine est un nombre impair, alors l'expression radicale peut être n'importe quel nombre réel ; dans ce cas, le signe de la racine coïncide avec le signe de l'expression radicale.

Exemple 1. Résous l'équation

Mettons au carré les deux côtés de l'équation.
x 2 - 3 = 1 ;
Déplacez -3 du côté gauche de l'équation vers le côté droit et effectuez la réduction des termes similaires.
x 2 = 4 ;
L'équation quadratique incomplète résultante a deux racines -2 et 2.

Vérifions les racines obtenues, pour cela nous substituerons les valeurs de la variable x dans l'équation d'origine.
Examen.
Lorsque x 1 = -2 - vrai :
Lorsque x 2 = -2- est vrai.
Il s'ensuit que l'équation irrationnelle originale a deux racines -2 et 2.

Exemple 2. Résous l'équation .

Cette équation peut être résolue en utilisant la même technique que dans le premier exemple, mais nous le ferons différemment.

Trouvons l'ODV de l'équation donnée. De la définition de la racine carrée, il résulte que dans cette équation deux conditions doivent être remplies simultanément :

ODZ de cet uranium : x.

Réponse : il n'y a pas de racines.

Exemple 3. Résous l'équation =+ 2.

Trouver l'ODV dans cette équation est une tâche assez difficile. Mettons au carré les deux côtés de l'équation :
x 3 + 4x - 1 - 8 = x 3 - 1 + 4+ 4x ;
=0;
x 1 = 1 ; x 2 = 0.
Après vérification, on établit que x 2 = 0 est une racine supplémentaire.
Réponse : x 1 = 1.

Exemple 4. Résoudre l'équation x =.

Dans cet exemple, le DHS est facile à trouver. ODZ de cette équation : x [-1;).

Mettons au carré les deux côtés de cette équation, nous obtenons ainsi l'équation x 2 = x + 1. Les racines de cette équation :

Il est difficile de vérifier les racines trouvées. Mais, malgré le fait que les deux racines appartiennent à l'ODZ, il est impossible d'affirmer que les deux racines sont les racines de l'équation d'origine. Cela entraînera une erreur. Dans ce cas, une équation irrationnelle équivaut à une combinaison de deux inégalités et d'une équation :

x + 10 et x0 et x 2 = x + 1, d'où il résulte que racine négative car une équation irrationnelle est étrangère et doit être écartée.

Exemple 5. Résoudre l'équation + = 7.

Égalisons les deux côtés de l'équation et effectuons la réduction de termes similaires, transférons les termes d'un côté de l'égalité à l'autre et multiplions les deux côtés par 0,5. On obtient ainsi l'équation
= 12, (*) qui est une conséquence de l'original. La quadrature des deux côtés de l'équation à nouveau. Nous obtenons l'équation (x + 5) (20 - x) = 144, qui est une conséquence de l'original. L'équation résultante est réduite à la forme x 2 - 15x + 44 = 0.

Cette équation (qui est aussi une conséquence de l'originale) a des racines x 1 = 4, x 2 = 11. Les deux racines, comme le montre la vérification, satisfont l'équation originale.

Rép. x 1 = 4, x 2 = 11.

Commenter... Lors de la mise au carré des équations, les élèves multiplient souvent dans des équations comme (*) expressions radicales, c'est-à-dire qu'au lieu de l'équation = 12, écrivez l'équation = 12. Cela ne conduit pas à des erreurs, puisque les équations sont des conséquences des équations. Cependant, il faut garder à l'esprit que dans le cas général, une telle multiplication d'expressions radicales donne des équations inéquitables.

Dans les exemples discutés ci-dessus, on pourrait d'abord déplacer l'un des radicaux vers le côté droit de l'équation. Ensuite, un radical restera sur le côté gauche de l'équation, et après avoir mis au carré les deux côtés de l'équation, une fonction rationnelle sera obtenue sur le côté gauche de l'équation. Cette technique (l'isolement du radical) est souvent utilisée pour résoudre des équations irrationnelles.

Exemple 6... Résoudre l'équation - = 3.

En consolidant le premier radical, on obtient l'équation
= + 3, ce qui équivaut à l'original.

En mettant au carré les deux membres de cette équation, on obtient l'équation

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, ce qui équivaut à l'équation

4x - 5 = 3 (*). Cette équation est une conséquence de l'équation d'origine. En mettant au carré les deux côtés de l'équation, on arrive à l'équation
16x 2 - 40x + 25 = 9 (x 2 - 3x + 3), ou

7x 2 - 13x - 2 = 0.

Cette équation est une conséquence de l'équation (*) (et donc de l'équation d'origine) et a des racines. La première racine x 1 = 2 satisfait l'équation d'origine, et la seconde x 2 = - non.

Réponse : x = 2.

Notez que si nous devions mettre au carré les deux côtés de l'équation originale à la fois, sans isoler l'un des radicaux, nous aurions à effectuer des transformations assez lourdes.

Lors de la résolution d'équations irrationnelles, en plus de l'isolement des radicaux, d'autres méthodes sont utilisées. Considérons un exemple d'utilisation de la méthode de remplacement de l'inconnu (la méthode d'introduction d'une variable auxiliaire).

Résoudre des équations irrationnelles.

Dans cet article, nous allons parler des moyens de résoudre les équations irrationnelles les plus simples.

Équation irrationnelle est appelée une équation qui contient l'inconnue sous le signe racine.

Considérons deux types équations irrationnelles, qui sont très similaires à première vue, mais sont en fait très différents les uns des autres.

(1)

(2)

Dans la première équation nous voyons que l'inconnu est sous le signe de la troisième racine. Nous pouvons extraire la racine impaire d'un nombre négatif, donc dans cette équation il n'y a aucune restriction sur l'expression sous le signe de la racine ou l'expression sur le côté droit de l'équation. Nous pouvons élever les deux côtés de l'équation à la troisième puissance pour nous débarrasser de la racine. On obtient une équation équivalente :

En élevant les côtés droit et gauche de l'équation à une puissance impaire, nous ne pouvons pas avoir peur d'obtenir des racines étrangères.

Exemple 1... Résolvons l'équation

Élevons les deux côtés de l'équation à la troisième puissance. On obtient une équation équivalente :

Déplacez tous les termes d'un côté et retirez x en dehors des parenthèses :

En égalant chaque facteur à zéro, nous obtenons :

Réponse : (0 ; 1 ; 2)

Regardons de plus près la deuxième équation : ... Sur le côté gauche de l'équation se trouve la racine carrée, qui ne prend que des valeurs non négatives. Par conséquent, pour que l'équation ait des solutions, le membre de droite doit également être non négatif. Par conséquent, la condition est imposée du côté droit de l'équation :

Titre = "(! LANG: g (x)> = 0"> - это !} condition de la racine.

Pour résoudre une équation de ce type, vous devez mettre au carré les deux côtés de l'équation :

(3)

La quadrature peut conduire à des racines étrangères, nous avons donc besoin des équations :

Titre = "(! LANG: f (x)> = 0"> (4)!}

Cependant, l'inégalité (4) découle de la condition (3) : si du côté droit de l'égalité il y a un carré d'une expression, et le carré de n'importe quelle expression ne peut prendre que des valeurs non négatives, donc le côté gauche doit également être non négatif. Par conséquent, la condition (4) découle automatiquement de la condition (3) et notre l'équation est équivalent au système :

Titre = "(! LANG: delim (lbrace) (matrice (2) (1) ((f (x) = g ^ 2 ((x))) (g (x)> = 0))) ()">!}

Exemple 2. Résolvons l'équation :

.

Passons à un système équivalent :

Titre = "(! LANG: delim (lbrace) (matrice (2) (1) ((2x ^ 2-7x + 5 = ((1-x)) ^ 2) (1-x> = 0))) ( )">!}

Résolvons la première équation du système et vérifions quelles racines satisfont à l'inégalité.

Inégalité title = "(! LANG: 1-x> = 0">удовлетворяет только корень !}

Réponse : x = 1

Attention! Si, dans le processus de résolution, nous élevons les deux côtés de l'équation, alors nous devons nous rappeler que des racines étrangères peuvent apparaître. Par conséquent, soit vous devez aller dans un système équivalent, soit à la fin de la solution VÉRIFIEZ : trouvez les racines et remplacez-les dans l'équation d'origine.

Exemple 3... Résolvons l'équation :

Pour résoudre cette équation, nous devons également mettre au carré les deux côtés. Ne nous occupons pas de l'ODZ et de la condition d'existence de racines dans cette équation, mais vérifions simplement à la fin de la solution.

Mettons au carré les deux côtés de l'équation :

Déplacez le terme contenant la racine vers la gauche et tous les autres termes vers la droite :

En mettant à nouveau les deux côtés de l'équation au carré :

Le long de la tour Vieta :

Allons vérifier. Pour ce faire, nous substituons les racines trouvées dans l'équation d'origine. Évidemment, car, le membre de droite de l'équation d'origine est négatif et le membre de gauche est positif.

Car, nous obtenons la bonne égalité.