Quelle est la puissance négative du nombre. Comment élever un nombre à une puissance négative - exemples avec description dans Excel

Dans cet article, nous allons découvrir ce qui est diplôme de... Ici, nous allons donner des définitions du degré d'un nombre, tout en considérant en détail tous les exposants possibles, en commençant par un exposant naturel et en terminant par un irrationnel. Dans le matériel, vous trouverez de nombreux exemples de diplômes, couvrant toutes les subtilités qui se présentent.

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Degré avec exposant naturel, carré de nombre, cube de nombre

Commençons avec. En regardant vers l'avenir, nous disons que la définition du degré d'un nombre a avec l'exposant naturel n est donnée pour a, que nous appellerons diplôme de base, et n, que nous appellerons exposant... Nous notons également que le degré avec un exposant naturel est déterminé par le produit, donc pour comprendre le matériel ci-dessous, vous devez avoir une idée de la multiplication des nombres.

Définition.

Puissance du nombre a avec exposant naturel n est une expression de la forme a n, dont la valeur est égale au produit de n facteurs, dont chacun est égal à a, c'est-à-dire,.
En particulier, la puissance d'un nombre a d'exposant 1 est le nombre a lui-même, c'est-à-dire a 1 = a.

Il faut dire tout de suite les règles de lecture des diplômes. La façon universelle de lire un enregistrement a n est la suivante : "a à la puissance n". Dans certains cas, les options suivantes sont également acceptables : « a à la nième puissance » et « nième puissance du nombre a ». Par exemple, prenons la puissance 8 12, qui est « huit puissance douze », ou « huit puissance douzième », ou « puissance douzième de huit ».

Le deuxième degré d'un nombre, ainsi que le troisième degré d'un nombre, ont leurs propres noms. La deuxième puissance d'un nombre s'appelle par le carré du nombre par exemple, 7 2 se lit « sept au carré » ou « le carré du nombre sept ». La troisième puissance d'un nombre s'appelle nombres de cubes par exemple, 5 3 peut être lu comme « cube de cinq » ou « cube de numéro 5 ».

Il est temps de diriger exemples de diplômes à valeurs naturelles... Commençons par l'exposant 5 7, ici 5 est la base de l'exposant et 7 est l'exposant. Donnons un autre exemple : 4.32 est la base, et entier naturel 9 - exposant (4,32) 9.

Notez que dans le dernier exemple, la base du degré 4,32 est écrite entre parenthèses : pour éviter toute confusion, nous mettrons entre parenthèses toutes les bases du degré qui sont différentes des nombres naturels. A titre d'exemple, nous donnons les degrés suivants avec des indicateurs naturels , leurs bases ne sont pas des nombres naturels, elles sont donc écrites entre parenthèses. Eh bien, pour plus de clarté en ce moment, nous allons montrer la différence entre les entrées de la forme (−2) 3 et −2 3. L'expression (−2) 3 est la puissance de −2 avec un exposant naturel de 3, et l'expression −2 3 (elle peut s'écrire - (2 3)) correspond au nombre, la valeur de la puissance 2 3 .

Notez qu'il existe une notation pour le degré d'un nombre a avec un exposant n de la forme a ^ n. De plus, si n est un nombre naturel à plusieurs valeurs, alors l'exposant est pris entre parenthèses. Par exemple, 4 ^ 9 est une autre notation pour la puissance 4 9. Et voici quelques autres exemples d'écriture de degrés en utilisant le symbole "^": 14 ^ (21), (-2,1) ^ (155). Dans ce qui suit, nous utiliserons principalement la notation pour le degré de la forme a n.

L'une des tâches, inverse à l'élévation à une puissance avec un exposant naturel, est la tâche de trouver la base du degré en valeur connue degré et un indicateur connu. Cette tâche conduit à.

On sait que l'ensemble des nombres rationnels se compose d'entiers et de nombres fractionnaires, et chaque nombre fractionnaire peut être représenté comme positif ou négatif fraction commune... Nous avons défini le degré avec un exposant entier dans le paragraphe précédent, donc, afin de compléter la définition d'un degré avec un exposant rationnel, nous devons donner un sens au degré d'un nombre a avec un exposant fractionnaire m / n, où m est un entier et n est un nombre naturel. Faisons le.

Considérons un degré avec un exposant fractionnaire de la forme. Pour que la propriété de degré à degré reste valable, l'égalité ... Si l'on prend en compte l'égalité obtenue et la manière dont on l'a déterminée, alors il est logique d'accepter, à condition que pour les m, n et a donnés, l'expression ait un sens.

Il est facile de vérifier cela pour toutes les propriétés d'un degré avec un exposant entier (cela est fait dans la section sur les propriétés d'un degré avec un exposant rationnel).

Le raisonnement ci-dessus nous permet de faire ce qui suit. sortir: si pour m, n et a donnés l'expression a un sens, alors la puissance du nombre a avec l'exposant fractionnaire m / n est appelée la racine nième de a à la puissance m.

Cette affirmation nous rapproche de très près de la détermination du degré avec un exposant fractionnaire. Il ne reste plus qu'à décrire pour quels m, n et a l'expression a un sens. Il existe deux approches principales en fonction des contraintes sur m, n et a.

Le moyen le plus simple est de restreindre a en supposant a≥0 pour m positif et a> 0 pour m négatif (puisque pour m≤0 le degré 0 m n'est pas défini). On obtient alors la définition suivante d'un exposant fractionnaire.

Définition.

La puissance d'un nombre positif a avec un exposant fractionnaire m / n, où m est un entier et n est un nombre naturel, est appelée la racine nième du nombre a à la puissance m, c'est-à-dire,.

Une puissance fractionnaire de zéro est également déterminée à la seule condition que l'indicateur doit être positif.

Définition.

Puissance de zéro avec exposant fractionnaire positif m / n, où m est un entier positif et n est un nombre naturel, est défini comme .
Lorsque le degré n'est pas déterminé, c'est-à-dire que le degré d'un nombre zéro avec un exposant négatif fractionnaire n'a pas de sens.

Il convient de noter qu'avec une telle définition d'un degré avec un exposant fractionnaire, il y a une nuance : pour certains a moins et certains m et n, l'expression a un sens, et nous avons écarté ces cas en introduisant la condition a≥0. Par exemple, il est logique d'écrire ou, et la définition donnée ci-dessus nous oblige à dire que les degrés avec un exposant fractionnaire de la forme n'a pas de sens, puisque la base ne doit pas être négative.

Une autre approche pour déterminer l'exposant avec un exposant fractionnaire m / n consiste à considérer séparément les exposants pairs et impairs de la racine. Cette approche nécessite condition supplémentaire: la puissance du nombre a, dont l'indicateur est, est considérée comme la puissance du nombre a, dont l'indicateur est la fraction irréductible correspondante (l'importance de cette condition sera expliquée plus loin). C'est-à-dire que si m / n est une fraction irréductible, alors pour tout nombre naturel k, le degré est préalablement remplacé par.

Pour n pair et m positif, l'expression a un sens pour tout a non négatif (une racine paire d'un nombre négatif n'a pas de sens), pour m négatif, le nombre a doit toujours être non nul (sinon il y aura division par zéro ). Et pour n impair et m positif, le nombre a peut être quelconque (la racine d'un degré impair est définie pour tout nombre réel), et pour m négatif, le nombre a doit être non nul (afin qu'il n'y ait pas de division par zéro) .

Le raisonnement ci-dessus nous conduit à une telle définition du degré avec un exposant fractionnaire.

Définition.

Soit m / n une fraction irréductible, m un entier et n un nombre naturel. Pour toute fraction annulable, l'exposant est remplacé par. La puissance d'un nombre avec un exposant fractionnaire irréductible m / n est pour



Expliquons pourquoi un degré à exposant fractionnaire réductible est préalablement remplacé par un degré à exposant irréductible. Si nous définissions simplement le degré comme, et ne faisions pas de réserve sur l'irréductibilité de la fraction m / n, alors nous serions confrontés à des situations similaires à la suivante : puisque 6/10 = 3/5, alors l'égalité devrait être vérifiée , mais , une .

L'exponentiation négative est l'un des éléments de base des mathématiques, qui est souvent rencontré lors de la résolution de problèmes algébriques. Vous trouverez ci-dessous une instruction détaillée.

Comment élever à une puissance négative - théorie

Quand on est un nombre à la puissance habituelle, on multiplie sa valeur plusieurs fois. Par exemple, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Avec une fraction négative, l'inverse est vrai. La vue générale selon la formule sera la suivante : a -n = 1 / a n. Ainsi, pour élever un nombre à une puissance négative, vous devez diviser l'unité par numéro donné, mais déjà à un degré positif.

Comment élever à une puissance négative - exemples sur des nombres ordinaires

Avec la règle ci-dessus à l'esprit, résolvons quelques exemples.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Réponse : 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
La réponse est -4 -2 = 1/16.

Mais pourquoi la réponse dans les premier et deuxième exemples est-elle la même ? Le fait est que lorsqu'un nombre négatif est élevé à une puissance paire (2, 4, 6, etc.), le signe devient positif. Si le degré était pair, le moins restait:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Comment élever à une puissance négative - nombres de 0 à 1

Rappelez-vous que lorsque vous augmentez un nombre compris entre 0 et 1 à une puissance positive, la valeur diminue avec l'augmentation de la puissance. Par exemple, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Exemple 3 : Calculez 0,5 -2
Solution : 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Réponse : 0,5 -2 = 4

Analyse (séquence d'actions) :

• Convertir décimal 0,5 en 1/2. C'est plus facile ainsi.
  Augmenter 1/2 à une puissance négative. 1 / (2) -2. Divisez 1 par 1 / (2) 2, on obtient 1 / (1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Exemple 4 : Calculez 0,5 -3
Solution : 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1 / (1/2) 3 = 1 / (1/8) = 8

Exemple 5 : Calculer -0,5 -3
Solution : -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1 / (- 1/2) 3 = 1 / (- 1/8) = -8
Réponse : -0,5 -3 = -8

A partir des 4ème et 5ème exemples, nous tirerons plusieurs conclusions :

• Pour un nombre positif compris entre 0 et 1 (exemple 4), élevé à une puissance négative, la régularité ou l'impair de la puissance n'est pas importante, la valeur de l'expression sera positive. De plus, plus le degré est élevé, plus la valeur est élevée.
• Pour un nombre négatif compris entre 0 et 1 (exemple 5), élevé à une puissance négative, la régularité ou l'impair de la puissance n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera négative. De plus, plus le degré est élevé, plus la valeur est faible.

Comment élever à une puissance négative - une puissance sous forme de nombre fractionnaire

Les expressions de ce type ont la forme suivante : a -m / n, où a est un nombre ordinaire, m est le numérateur du degré, n est le dénominateur du degré.

Prenons un exemple :
Calculer : 8 -1/3

Solution (séquence d'actions) :

• Rappelez-vous la règle pour élever un nombre à une puissance négative. On obtient : 8 -1/3 = 1 / (8) 1/3.
• Notez que le dénominateur est 8 en tant que puissance fractionnaire. La vue générale du calcul d'une puissance fractionnaire est la suivante : a m / n = n 8 m.
• Ainsi, 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 8 1). On a racine cubique de huit, qui est 2. Sur cette base, 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
• Réponse : 8 -1/3 = 2

Depuis l'école, nous connaissons tous la règle de l'élévation à une puissance : tout nombre d'exposant N est égal au résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même N-ième nombre de fois. En d'autres termes, 7 à la puissance 3 est 7 multiplié par lui-même trois fois, c'est-à-dire 343. Une autre règle est qu'élever une valeur à la puissance 0 donne un, et élever une valeur négative est le résultat d'une exponentiation ordinaire, s'il est pair, et le même résultat avec un signe moins s'il est impair.

Les règles donnent également une réponse sur la façon d'élever un nombre à une puissance négative. Pour ce faire, vous devez construire la manière habituelle la valeur requise par le module de l'indicateur, puis diviser l'unité par le résultat.

De ces règles, il devient clair que la mise en œuvre de tâches réelles avec l'exploitation de grandes quantités nécessitera des moyens techniques. Manuellement, il s'avérera qu'il multipliera par lui-même la plage maximale de nombres jusqu'à vingt et trente, puis pas plus de trois à quatre fois. Sans parler du fait que plus tard, diviser l'unité par le résultat. Par conséquent, pour ceux qui n'ont pas de calculatrice d'ingénierie spéciale à portée de main, nous vous expliquerons comment élever un nombre à une puissance négative dans Excel.

Résolution de problèmes dans Excel

Excel vous permet d'utiliser l'une des deux options pour résoudre les problèmes d'élévation à la puissance.

La première consiste à utiliser une formule avec le signe de la casquette standard. Saisissez les données suivantes dans les cellules de la feuille de calcul :

De la même manière, vous pouvez augmenter la valeur requise à n'importe quelle puissance - négative, fractionnaire. Suivons ces étapes et répondons à la question de savoir comment élever un nombre à une puissance négative. Exemple:

Vous pouvez corriger = B2 ^ -C2 directement dans la formule.

La deuxième option consiste à utiliser la fonction prête à l'emploi "Degree", qui prend deux arguments requis - un nombre et un indicateur. Pour commencer à l'utiliser, il suffit de mettre un signe égal (=) dans n'importe quelle cellule libre, indiquant le début de la formule, et d'entrer les mots ci-dessus. Il reste à sélectionner deux cellules qui participeront à l'opération (ou à spécifier manuellement des numéros spécifiques), et à appuyer sur la touche Entrée. Regardons quelques exemples simples.

			Formule	Résultat
			DIPLME (B2; C2)
			DIPLME (B3; C3)	0,002915

Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de difficile à élever un nombre à une puissance négative et à la puissance habituelle à l'aide d'Excel. En effet, pour résoudre ce problème, vous pouvez utiliser à la fois le symbole familier "cap" et la fonction intégrée du programme, qui est facile à retenir. C'est un plus indéniable !

Passons à plus exemples complexes... Rappelons-nous la règle sur la façon d'élever un nombre à une puissance fractionnaire négative, et nous verrons que cette tâche est très facile à résoudre dans Excel.

Indicateurs fractionnaires

En bref, l'algorithme de calcul d'un nombre avec un exposant fractionnaire est le suivant.

1. Convertir un exposant fractionnaire en une fraction correcte ou incorrecte.
2. Élever notre nombre au numérateur de la fraction transformée résultante.
3. Calculer la racine à partir du nombre obtenu au paragraphe précédent, à condition que l'exposant de la racine soit le dénominateur de la fraction obtenue au premier étage.

Convenez que même lorsque vous travaillez avec de petits nombres et des fractions régulières, de tels calculs peuvent prendre beaucoup de temps. Il est bon que le tableur Excel ne se soucie pas du nombre et du degré à augmenter. Essayez de résoudre l'exemple suivant dans une feuille de calcul Excel :

En utilisant les règles ci-dessus, vous pouvez vérifier et vous assurer que le calcul est effectué correctement.

A la fin de notre article, nous donnerons sous forme de tableau avec des formules et des résultats plusieurs exemples de comment élever un nombre à une puissance négative, ainsi que plusieurs exemples de fonctionnement avec des nombres fractionnaires et des puissances.

Tableau d'exemples

Vérifier sur la feuille de calcul classeurs Excel les exemples suivants. Pour que tout fonctionne correctement, vous devez utiliser un lien mixte lors de la copie de la formule. Fixez le numéro de la colonne contenant le numéro à relever et le numéro de la ligne contenant la mesure. Votre formule devrait ressembler à ceci : "= $ B4 ^ C $ 3".

Nombre / Degré

Veuillez noter que les nombres positifs (même non entiers) sont calculés sans problème pour tous les indicateurs. Il n'y a aucun problème à élever des nombres à des indicateurs entiers. Mais élever un nombre négatif à une puissance fractionnaire s'avérera être une erreur pour vous, car il est impossible de suivre la règle indiquée au début de notre article sur la construction des nombres négatifs, car la parité est une caractéristique exclusivement d'un INTEGRAL numéro.

Le nombre élevé au pouvoir est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois.

La puissance d'un nombre avec une valeur négative (un) peut être défini de la même manière que le degré du même nombre avec un exposant positif est déterminé (un) ... Cependant, cela nécessite également une définition supplémentaire. La formule est définie comme :

un = (1 / un n)

Les propriétés des puissances négatives des nombres sont similaires à celles des puissances avec un exposant positif. Équation présentée une m / un n = un m-n peut être juste comme

« Nulle part, comme en mathématiques, la clarté et la précision de la conclusion ne permettent à une personne de s'éloigner de la réponse en parlant autour de la question.».

A.D. Alexandrov

à m Suite m et pour m Suite m ... Prenons un exemple : 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Tout d'abord, vous devez déterminer le nombre qui est la définition du diplôme. b = un (-n) ... Dans cet exemple -n est un exposant, b - la valeur numérique souhaitée, une - la base du diplôme sous la forme d'une valeur numérique naturelle. Déterminez ensuite le module, c'est-à-dire la valeur absolue d'un nombre négatif, qui agit comme un exposant. Calculer la puissance d'un nombre donné d'un nombre absolu relatif, comme indicateur. La valeur du degré est trouvée en divisant un par le nombre résultant.

Riz. 1

Considérons la puissance d'un nombre avec un exposant fractionnaire négatif. Imaginez que le nombre a soit n'importe quel nombre positif, les nombres m et m - entiers. Selon la définition une élevé au pouvoir - est égal à un divisé par le même nombre avec un degré positif (Fig. 1). Lorsque la puissance d'un nombre est une fraction, alors, dans de tels cas, seuls les nombres avec des exposants positifs sont utilisés.

Cela vaut le coup de s'en souvenir que zéro ne peut jamais être un exposant d'un nombre (règle de division par zéro).

La diffusion d'un concept tel que le nombre est devenu des manipulations telles que les calculs de mesure, ainsi que le développement des mathématiques en tant que science. L'introduction de valeurs négatives était due au développement de l'algèbre, qui donnait des solutions générales aux problèmes d'arithmétique, indépendamment de leur signification spécifique et des données numériques initiales. En Inde, aux VIe-XIe siècles, les valeurs négatives des nombres étaient systématiquement utilisées lors de la résolution de problèmes et étaient interprétées de la même manière qu'aujourd'hui. V sciences européennes les nombres négatifs ont commencé à être largement utilisés grâce à R. Descartes, qui a donné une interprétation géométrique aux nombres négatifs comme les directions des segments. C'est Descartes qui proposa la désignation du nombre élevé à une puissance à afficher sous la forme d'une formule à deux étages un .

L'exponentiation négative est l'un des éléments de base des mathématiques, qui est souvent rencontré lors de la résolution de problèmes algébriques. Vous trouverez ci-dessous une instruction détaillée.

Comment élever à une puissance négative - théorie

Quand on est un nombre à la puissance habituelle, on multiplie sa valeur plusieurs fois. Par exemple, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Avec une fraction négative, l'inverse est vrai. La vue générale selon la formule sera la suivante : a -n = 1 / a n. Ainsi, pour élever un nombre à une puissance négative, il faut diviser l'unité par le nombre donné, mais à une puissance positive.

Comment élever à une puissance négative - exemples sur des nombres ordinaires

Avec la règle ci-dessus à l'esprit, résolvons quelques exemples.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Réponse : 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
La réponse est -4 -2 = 1/16.

Mais pourquoi la réponse dans les premier et deuxième exemples est-elle la même ? Le fait est que lorsqu'un nombre négatif est élevé à une puissance paire (2, 4, 6, etc.), le signe devient positif. Si le degré était pair, le moins restait:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Comment élever à une puissance négative - nombres de 0 à 1

Rappelez-vous que lorsque vous augmentez un nombre compris entre 0 et 1 à une puissance positive, la valeur diminue avec l'augmentation de la puissance. Par exemple, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Exemple 3 : Calculez 0,5 -2
Solution : 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Réponse : 0,5 -2 = 4

Analyse (séquence d'actions) :

• Convertir décimal 0,5 en 1/2. C'est plus facile ainsi.
  Augmenter 1/2 à une puissance négative. 1 / (2) -2. Divisez 1 par 1 / (2) 2, on obtient 1 / (1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Exemple 4 : Calculez 0,5 -3
Solution : 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1 / (1/2) 3 = 1 / (1/8) = 8

Exemple 5 : Calculer -0,5 -3
Solution : -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1 / (- 1/2) 3 = 1 / (- 1/8) = -8
Réponse : -0,5 -3 = -8

A partir des 4ème et 5ème exemples, nous tirerons plusieurs conclusions :

• Pour un nombre positif compris entre 0 et 1 (exemple 4), élevé à une puissance négative, la régularité ou l'impair de la puissance n'est pas importante, la valeur de l'expression sera positive. De plus, plus le degré est élevé, plus la valeur est élevée.
• Pour un nombre négatif compris entre 0 et 1 (exemple 5), élevé à une puissance négative, la régularité ou l'impair de la puissance n'a pas d'importance, la valeur de l'expression sera négative. De plus, plus le degré est élevé, plus la valeur est faible.

Comment élever à une puissance négative - une puissance sous forme de nombre fractionnaire

Les expressions de ce type ont la forme suivante : a -m / n, où a est un nombre ordinaire, m est le numérateur du degré, n est le dénominateur du degré.

Prenons un exemple :
Calculer : 8 -1/3

Solution (séquence d'actions) :

• Rappelez-vous la règle pour élever un nombre à une puissance négative. On obtient : 8 -1/3 = 1 / (8) 1/3.
• Notez que le dénominateur est 8 en tant que puissance fractionnaire. La vue générale du calcul d'une puissance fractionnaire est la suivante : a m / n = n 8 m.
• Ainsi, 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 8 1). Nous obtenons la racine cubique de huit, qui est 2. Sur la base de cela, 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
• Réponse : 8 -1/3 = 2

Formules de puissance utilisé dans le processus de réduction et de simplification expressions complexes, dans la résolution d'équations et d'inéquations.

Nombre c est un m-ème puissance du nombre une lorsque:

Opérations avec diplômes.

1. En multipliant les degrés avec la même base, leurs indicateurs s'additionnent :

suisUn n = un m + n.

2. Dans la division des degrés avec la même base, leurs indicateurs sont soustraits:

3. Le degré du produit de 2 facteurs ou plus est égal au produit des degrés de ces facteurs :

(abc ...) n = a n b n c n ...

4. La puissance d'une fraction est égale au rapport des puissances du dividende et du diviseur :

(a / b) n = a n / b n.

5. En élevant d'un degré à un degré, les exposants sont multipliés :

(un m) n = un m n.

Chacune des formules ci-dessus est vraie de gauche à droite et vice versa.

Par exemple. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900/225 = 4.

Opérations racine.

1. La racine du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des racines de ces facteurs :

2. La racine de la relation est égale au rapport du dividende et du diviseur des racines :

3. Lorsqu'on élève une racine à une puissance, il suffit d'élever le nombre de racine à cette puissance :

4. Si vous augmentez le degré de la racine dans m une fois et en même temps intégré m-ième puissance du nombre racine, alors la valeur racine ne changera pas :

5. Si vous réduisez le degré de la racine dans m extraire la racine une fois et en même temps m-ième puissance du nombre radical, alors la valeur de la racine ne changera pas :

Degré avec exposant négatif. La puissance d'un nombre avec un exposant non positif (entier) est définie comme une unité divisée par la puissance du même nombre avec un exposant égal à la valeur absolue de l'exposant non positif :

Formule suis: un n = un m - n peut être utilisé non seulement pour m> m, mais aussi à m< m.

Par exemple. une4: un 7 = un 4 - 7 = un -3.

Pour que la formule suis: un n = un m - n est devenu juste quand m = n, la présence du zéro degré est nécessaire.

Niveau zéro. La puissance de tout nombre non nul avec un exposant nul est égale à un.

Par exemple. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Exposant fractionnaire. Pour ériger un vrai numéro une au degré m/n, vous devez extraire la racine m-ème degré de m-ième puissance de ce nombre une.

Premier niveau

Le degré et ses propriétés. Guide complet (2019)

Pourquoi faut-il des diplômes ? Où vous seront-ils utiles ? Pourquoi faut-il prendre le temps de les étudier ?

Pour tout savoir sur les diplômes, à quoi ils servent, comment utiliser vos connaissances dans Vie courante lire cet article.

Et, bien sûr, la connaissance des diplômes vous rapprochera d'une réussite réussir l'examen ou l'examen d'État unifié et l'admission à l'université de vos rêves.

Allons-y allons-y!)

Note importante! Si au lieu de formules vous voyez du charabia, videz le cache. Pour ce faire, appuyez sur CTRL + F5 (sous Windows) ou Cmd + R (sous Mac).

PREMIER NIVEAU

L'exponentiation est la même opération mathématique que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

je vais tout expliquer maintenant langage humain avec des exemples très simples. Faites attention. Les exemples sont élémentaires, mais ils expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Chacun a deux bouteilles de cola. Combien y a-t-il de coca ? C'est vrai - 16 bouteilles.

Maintenant la multiplication.

Le même exemple de cola peut être écrit différemment :. Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d'abord certains modèles, puis trouvent un moyen de les "compter" rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes avait le même nombre de bouteilles de cola et ont mis au point une technique appelée multiplication. D'accord, il est considéré comme plus facile et plus rapide que.

Alors, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreurs, il suffit de se souvenir table de multiplication... Vous pouvez, bien sûr, tout faire plus lentement, plus fort et avec des erreurs ! Mais…

Voici la table de multiplication. Répéter.

Et un autre, plus beau :

Quelles autres astuces de comptage astucieuses les mathématiciens paresseux ont-ils trouvé ? Droit - élever un nombre à une puissance.

Élever un nombre à une puissance

Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, les mathématiciens disent que vous devez élever ce nombre à la puissance cinquième. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux au cinquième degré est. Et ils résolvent ces problèmes dans leur tête - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.

Tout ce que vous devez faire est rappelez-vous ce qui est mis en évidence dans le tableau des puissances des nombres... Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.

Au fait, pourquoi s'appelle le deuxième degré carré nombres, et le troisième - cube? Qu'est-ce que ça veut dire? Très bonne question... Maintenant, vous aurez à la fois des carrés et des cubes.

Exemple de vie #1

Commençons par un carré ou la seconde puissance d'un nombre.

Imaginez une piscine au mètre carré. La piscine est dans votre maison de campagne. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... une piscine sans fond ! Il est nécessaire de couvrir le fond de la piscine avec des tuiles. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Pour le déterminer, vous devez connaître la superficie du fond de la piscine.

Vous pouvez simplement compter, en poussant votre doigt, que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vous avez un carreau mètre par mètre, vous aurez besoin de pièces. C'est facile... Mais où as-tu vu de telles tuiles ? Le carreau est plus susceptible d'être cm par cm et vous serez alors torturé par le "compte des doigts". Ensuite, il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine, on posera des tuiles (pièces) et de l'autre aussi, des tuiles. En multipliant par, vous obtenez des tuiles ().

Avez-vous remarqué que nous avons multiplié le même nombre par nous-mêmes pour déterminer la surface du fond de la piscine ? Qu'est-ce que ça veut dire? Une fois le même nombre multiplié, on peut utiliser la technique de "l'exponentiation". (Bien sûr, quand vous n'avez que deux nombres, vous les multipliez toujours ou les augmentez à une puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors augmenter à une puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs dans les calculs. Pour le examen, c'est très important).
Ainsi, trente au second degré seront (). Ou vous pouvez dire que trente au carré le sera. En d'autres termes, la seconde puissance d'un nombre peut toujours être représentée par un carré. A l'inverse, si vous voyez un carré, c'est TOUJOURS la seconde puissance d'un nombre. Un carré est une représentation de la puissance seconde d'un nombre.

Exemple concret n°2

Voici une tâche pour vous, comptez combien de cases il y a sur l'échiquier en utilisant la case du nombre... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour compter leur nombre, vous devez multiplier huit par huit ou ... si vous remarquez que l'échiquier est un carré avec un côté, alors vous pouvez carré huit. Vous obtiendrez des cellules. () Donc?

Exemple de vie n°3

Maintenant le cube ou la troisième puissance du nombre. La même piscine. Mais maintenant, vous devez savoir combien d'eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Soit dit en passant, les volumes et les liquides sont mesurés en mètres cubes... De façon inattendue, non ?) Dessinez une piscine : le fond mesure un mètre et un mètre de profondeur et essayez de calculer combien de cubes au mètre par mètre iront dans votre piscine.

Pointez du doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre... vingt-deux, vingt-trois... Combien cela s'est-il passé ? Pas perdu? Est-ce difficile de compter avec le doigt ? Pour que! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, ils ont donc remarqué que pour calculer le volume de la piscine, vous devez multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal aux cubes... Plus facile, non ?

Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens sont paresseux et rusés s'ils simplifiaient cela aussi. Ils ont tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Qu'est-ce que ça veut dire ? Cela signifie que vous pouvez profiter du diplôme. Ainsi, ce que vous avez compté une fois avec votre doigt, ils le font en une seule action : trois dans un cube sont égaux. C'est écrit comme ça :.

Il ne reste que rappelez-vous la table des degrés... À moins, bien sûr, que vous soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.

Eh bien, afin de vous convaincre enfin que les diplômes ont été inventés par des paresseux et des gens rusés pour résoudre leurs problèmes de vie, et non pour vous créer des problèmes, voici quelques autres exemples tirés de la vie.

Exemple de vie n°4

Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, vous gagnez un autre million sur chaque million. C'est-à-dire que chaque million d'entre vous au début de chaque année double. Combien d'argent aurez-vous dans des années ? Si vous êtes maintenant assis et "comptez avec votre doigt", alors vous êtes une personne très travailleuse et .. stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Ainsi, la première année - deux fois deux... la deuxième année - il s'est passé deux fois de plus, la troisième année... Stop ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même une fois. Donc deux puissances cinq font un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que ces millions seront reçus par celui qui calcule le plus rapidement... Cela vaut-il la peine de se rappeler les degrés des nombres, qu'en pensez-vous ?

Exemple concret n°5

Vous avez un million. Au début de chaque année, vous gagnez deux de plus sur chaque million. Super, n'est-ce pas ? Chaque million triple. Combien d'argent aurez-vous dans des années ? Comptons. La première année - multipliez par, puis le résultat par une autre... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris : trois fois c'est multiplié par lui-même. Donc la quatrième puissance est égale à un million. Vous avez juste besoin de vous rappeler que trois à la quatrième puissance est ou.

Vous savez maintenant qu'en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Voyons ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.

Termes et concepts ... pour ne pas se tromper

Alors, d'abord, définissons les concepts. Qu'est-ce que tu penses, qu'est-ce qu'un exposant? C'est très simple - c'est le nombre qui est "au sommet" de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais compréhensible et facile à retenir...

Eh bien, en même temps que une telle base de diplôme? C'est encore plus simple - c'est le nombre qui est en dessous, à la base.

Voici un dessin pour être sûr.

Eh bien, dans vue générale, afin de résumer et mieux mémoriser... Un degré avec une base "" et un exposant "" se lit "en degré" et s'écrit comme suit :

Degré du nombre avec exposant naturel

Vous l'avez probablement deviné maintenant : parce que l'exposant est un nombre naturel. Oui, mais qu'est-ce que entier naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont ceux qui sont utilisés pour compter lors de la liste des objets : un, deux, trois... Quand on compte des objets, on ne dit pas : « moins cinq », « moins six », « moins sept ». Nous ne disons pas non plus : « un tiers », ou « zéro, cinq dixièmes ». Ce ne sont pas des nombres naturels. A votre avis, quels sont les chiffres ?

Des nombres comme « moins cinq », « moins six », « moins sept » se réfèrent à nombres entiers. En général, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et un nombre. Zéro est facile à comprendre - c'est quand il n'y a rien. Que signifient les nombres négatifs ("moins") ? Mais ils ont été inventés avant tout pour indiquer des dettes : si vous avez des roubles sur votre téléphone, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.

Toutes les fractions sont nombres rationnels... Comment pensez-vous qu'ils sont arrivés? Très simple. Il y a plusieurs milliers d'années, nos ancêtres ont découvert qu'il leur manquait des nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, la superficie, etc. Et ils sont venus avec nombres rationnels... Intéressant, n'est-ce pas ?

Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? Bref, interminable décimal... Par exemple, si vous divisez la circonférence d'un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.

Sommaire:

Définissons la notion de degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire un entier et positif).

1. Tout nombre de la première puissance est égal à lui-même :
2. Mettre un nombre au carré, c'est le multiplier par lui-même :
3. Cuber un nombre, c'est le multiplier par lui-même trois fois :

Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle signifie multiplier le nombre par lui-même par :
.

Propriétés de puissance

D'où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.

Voyons : qu'est-ce que et ?

Un prieuré :

Combien y a-t-il de facteurs au total ?

C'est très simple : nous avons ajouté des multiplicateurs aux multiplicateurs, et le total est des multiplicateurs.

Mais par définition, c'est le degré d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire comme il faut le prouver.

Exemple: Simplifier l'expression.

Solution:

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution: Il est important de noter que dans notre règle nécessairement doit être motifs identiques!
Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais cela reste un facteur distinct :

juste pour le produit des degrés!

Vous ne pouvez en aucun cas écrire cela.

2. c'est -ième puissance d'un nombre

Comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la ième puissance du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « encadrer l'indicateur ». Mais vous ne devriez jamais faire cela au total :

Rappelons-nous les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ?

Mais ce n'est pas vrai, après tout.

Diplôme avec base négative

Jusqu'à présent, nous n'avons discuté que de ce que devrait être l'exposant.

Mais quelle devrait être la base?

En degrés avec taux naturel la base peut être n'importe quel chiffre... En effet, nous pouvons multiplier n'importe quels nombres les uns par les autres, qu'ils soient positifs, négatifs ou même.

Pensons à quels signes ("" ou "") auront des pouvoirs de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? UNE? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe combien de nombres positifs nous multiplions les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais le négatif est un peu plus intéressant. Après tout, nous nous souvenons d'une règle simple de la 6e année: "moins par moins donne un plus". C'est, ou. Mais si on multiplie par, ça marche.

Décidez vous-même du signe que les expressions suivantes auront :

1)	2)	3)
4)	5)	6)

as-tu réussi ?

Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l'exposant et appliquons la règle appropriée.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans l'exemple 5), tout n'est pas aussi effrayant qu'il n'y paraît : peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif.

Eh bien, à moins que la base ne soit zéro. La fondation n'est pas égale, n'est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

Exemple 6) n'est plus si facile !

6 exemples pour s'entraîner

Analyser la solution 6 exemples

Si nous ignorons le huitième degré, que voyons-nous ici ? Nous rappelons le programme de 7e année. Alors souviens-toi? C'est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence de carrés ! On a:

Regardons de près le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des multiplicateurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? Mauvais ordre des termes. Si elles devaient être inversées, la règle pourrait être appliquée.

Mais comment faire ça ? Cela s'avère très simple : ici le degré pair du dénominateur nous aide.

Les termes sont magiquement inversés. Ce "phénomène" est applicable à toute expression à degré pair : on peut librement changer les signes entre parenthèses.

Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps!

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Entier nous appelons les nombres naturels opposés à eux (c'est-à-dire pris avec le signe "") et le nombre.

entier positif, mais ce n'est pas différent de naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.

Voyons maintenant quelques nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.

Tout nombre dans le degré zéro est égal à un:

Comme toujours, posons-nous la question : pourquoi en est-il ainsi ?

Considérons un diplôme avec une base. Prenez, par exemple, et multipliez par :

Donc, nous avons multiplié le nombre par et avons obtenu le même que c'était -. Et quel nombre doit-on multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, sur. Moyens.

On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :

Répétons la règle :

Tout nombre dans le degré zéro est égal à un.

Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).

D'une part, il devrait être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez par vous-même, vous obtiendrez toujours zéro, c'est clair. Mais d'un autre côté, comme tout nombre au degré zéro, il doit être égal. Alors qu'est-ce qui est vrai ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s'impliquer et ont refusé d'élever de zéro à zéro. C'est-à-dire que maintenant nous ne pouvons pas seulement diviser par zéro, mais aussi l'élever à une puissance nulle.

Allons plus loin. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres négatifs appartiennent aux entiers. Pour comprendre ce qu'est une puissance négative, faisons comme la dernière fois : multiplions un nombre normal par la même puissance négative :

À partir de là, il est déjà facile d'exprimer ce que vous recherchez :

Nous allons maintenant étendre la règle résultante à un degré arbitraire :

Alors, formulons une règle :

Un nombre à la puissance négative est l'inverse du même nombre à la puissance positive. Mais en même temps la base ne peut pas être nulle :(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Résumons :

I. Expression non précisée en cas. Si donc.

II. Tout nombre au degré zéro est égal à un :.

III. Un nombre différent de zéro est en puissance négative inverse du même nombre en puissance positive :.

Tâches pour une solution indépendante :

Eh bien, et, comme d'habitude, des exemples pour une solution indépendante :

Analyse des tâches pour une solution indépendante :

Je sais, je sais, les chiffres sont terribles, mais à l'examen, il faut être prêt à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leur solution si vous n'y parvenez pas et vous apprendrez à les gérer facilement à l'examen !

Continuons à élargir le cercle des nombres « appropriés » en tant qu'exposant.

Considérez maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont dits rationnels ?

Réponse : tout ce qui peut être représenté sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers d'ailleurs.

Pour comprendre ce qu'est Degré fractionnaire, considérons la fraction :

Élevons les deux côtés de l'équation à la puissance :

Rappelons maintenant la règle concernant "Degré à degré":

Quel nombre doit être élevé à une puissance pour obtenir ?

Cette formulation est la définition de la racine ième.

Permettez-moi de vous rappeler : la racine de la ième puissance d'un nombre () est un nombre qui, lorsqu'il est élevé à une puissance, est égal à.

C'est-à-dire que la racine de la ième puissance est l'opération inverse de l'exponentiation :.

Il se trouve que. Evidemment ce cas particulier peut être étendu :.

Ajoutons maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facilement obtenue en utilisant la règle de degré à degré :

Mais la base peut-elle être n'importe quel nombre ? Après tout, la racine ne peut pas être extraite de tous les nombres.

Rien!

Rappelez-vous la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. C'est-à-dire que vous ne pouvez pas extraire des racines de degré pair à partir de nombres négatifs !

Et cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a pas de sens.

Qu'en est-il de l'expression ?

Mais c'est là que le problème se pose.

Le nombre peut être représenté par d'autres fractions annulables, par exemple, ou.

Et il s'avère que cela existe, mais n'existe pas, mais ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.

Ou un autre exemple : une fois, alors vous pouvez écrire. Mais si nous écrivons l'indicateur d'une manière différente, et encore une fois, nous obtenons une nuisance : (c'est-à-dire que nous avons un résultat complètement différent !).

Pour éviter de tels paradoxes, nous considérons seule base positive avec exposant fractionnaire.

Donc si:

• - entier naturel;
• - un nombre entier;

Exemples:

Les exposants rationnels sont très utiles pour convertir des expressions enracinées, par exemple :

5 exemples pour s'entraîner

Analyse de 5 exemples pour la formation

Et maintenant le plus dur. Nous allons maintenant analyser degré irrationnel.

Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception de

En effet, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels à l'exception des nombres rationnels).

Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, global et rationnel, nous avons à chaque fois inventé une sorte d'"image", d'"analogie" ou de description en termes plus familiers.

Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;

...nombre à zéro degré- c'est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à se multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas apparu - donc, le résultat n'est qu'une sorte de " nombre blanc ", à savoir le numéro ;

...exposant entier négatif- c'était comme si une sorte de "processus inverse" avait eu lieu, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

À propos, en sciences, un diplôme avec un indicateur complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'indicateur n'est même pas un nombre réel.

Mais à l'école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.

O NOUS SOMMES SRS QUE VOUS ALLEZ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))

Par exemple:

Décider vous-même:

Analyse des solutions :

1. Commençons par la règle déjà habituelle pour élever une puissance à une puissance :

Regardez maintenant l'indicateur. Il vous rappelle quelque chose ? On rappelle la formule de multiplication abrégée, la différence des carrés :

Dans ce cas,

Il se trouve que:

Réponse: .

2. On ramène les fractions en exposants à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. Prenons par exemple :

Réponse : 16

3. Rien de spécial, on applique les propriétés habituelles des degrés :

NIVEAU AVANCÉ

Détermination du diplôme

Un diplôme est une expression de la forme :, où :

• — base du diplôme;
• - exposant.

Degré avec exposant naturel (n = 1, 2, 3, ...)

Élever un nombre à une puissance naturelle n signifie multiplier le nombre par lui-même par :

Degré entier (0, ± 1, ± 2, ...)

Si l'exposant est tout positif numéro:

Érection à zéro degré:

L'expression est indéfinie, car, d'une part, à tout degré - ceci, et d'autre part - tout nombre au ième degré - ceci.

Si l'exposant est négatif entier numéro:

(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Encore une fois à propos des zéros : l'expression n'est pas définie en cas. Si donc.

Exemples:

Note rationnelle

• - entier naturel;
• - un nombre entier;

Exemples:

Propriétés de puissance

Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d'où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.

Voyons : qu'est-ce que et ?

Un prieuré :

Ainsi, du côté droit de cette expression, nous obtenons le produit suivant :

Mais par définition, c'est la puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :

C.Q.D.

Exemple : Simplifier l'expression.

Solution : .

Exemple : Simplifier l'expression.

Solution : Il est important de noter que dans notre règle nécessairement doit avoir les mêmes bases. Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais cela reste un facteur distinct :

Une autre remarque importante : cette règle est - pour le produit des degrés seulement!

Je ne devrais en aucun cas écrire cela.

Comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Réorganisons cette pièce comme ceci :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la ième puissance du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « encadrer l'indicateur ». Mais vous ne devriez jamais faire cela au total : !

Rappelons-nous les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ? Mais ce n'est pas vrai, après tout.

Un diplôme avec une base négative.

Jusqu'à présent, nous avons seulement discuté de la façon dont il devrait être indice degré. Mais quelle devrait être la base? En degrés avec Naturel indicateur la base peut être n'importe quel chiffre .

En effet, nous pouvons multiplier n'importe quels nombres les uns par les autres, qu'ils soient positifs, négatifs ou même. Pensons à quels signes ("" ou "") auront des pouvoirs de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? UNE? ?

Avec le premier, tout est clair : peu importe combien de nombres positifs nous multiplions les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais le négatif est un peu plus intéressant. Après tout, nous nous souvenons d'une règle simple de la 6e année: "moins par moins donne un plus". C'est, ou. Mais si nous multiplions par (), nous obtenons -.

Et ainsi de suite jusqu'à l'infini : à chaque multiplication ultérieure, le signe changera. On peut formuler une telle règles simples:

1. même degré, - nombre positif.
2. Un nombre négatif, érigé en impair degré, - nombre négatif.
3. Un nombre positif à n'importe quel degré est un nombre positif.
4. Zéro à n'importe quelle puissance est égal à zéro.

Décidez vous-même du signe que les expressions suivantes auront :

1.	2.	3.
4.	5.	6.

as-tu réussi ? Voici les réponses :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l'exposant et appliquons la règle appropriée.

Dans l'exemple 5), tout n'est pas aussi effrayant qu'il n'y paraît : peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Eh bien, à moins que la base ne soit zéro. La fondation n'est pas égale, n'est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

Exemple 6) n'est plus si simple. Ici, vous devez découvrir ce qui est le moins : ou ? Si vous vous en souvenez, cela devient clair, ce qui signifie que la base est inférieure à zéro. C'est-à-dire que nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.

Et encore une fois, nous utilisons la définition de degré :

Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des degrés et, les divisons les uns dans les autres, les divisons en paires et obtenons :

Avant d'examiner la dernière règle, résolvons quelques exemples.

Calculez les valeurs des expressions :

Solutions :

Si nous ignorons le huitième degré, que voyons-nous ici ? Nous rappelons le programme de 7e année. Alors souviens-toi? C'est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence de carrés !

On a:

Regardons de près le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des multiplicateurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? Mauvais ordre des termes. Si elles étaient inversées, on pourrait appliquer la règle 3. Mais comment faire ? Cela s'avère très simple : ici le degré pair du dénominateur nous aide.

Si vous le multipliez par, rien ne change, n'est-ce pas ? Mais maintenant il s'avère ce qui suit :

Les termes sont magiquement inversés. Ce "phénomène" est applicable à toute expression à degré pair : on peut librement changer les signes entre parenthèses. Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps ! On ne peut pas le remplacer en changeant un seul inconvénient dont on ne veut pas !

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Alors maintenant la dernière règle :

Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d'habitude : développons la notion de diplôme et simplifions :

Ouvrons maintenant les crochets. Combien de lettres y aura-t-il ? fois par multiplicateurs - à quoi cela ressemble-t-il ? Ce n'est rien de plus qu'une définition d'une opération multiplication: il n'y avait que des multiplicateurs. C'est, par définition, le degré d'un nombre avec un exposant :

Exemple:

Note irrationnelle

En plus des informations sur les degrés pour le niveau intermédiaire, nous analyserons le degré avec un exposant irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés comme une fraction, où et sont des nombres entiers (qui c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf rationnels).

Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, global et rationnel, nous avons à chaque fois inventé une sorte d'"image", d'"analogie" ou de description en termes plus familiers. Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre au degré zéro est, pour ainsi dire, un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à être multiplié, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas apparu - par conséquent, le résultat n'est qu'une sorte de « numéro vierge », à savoir un numéro ; un degré avec un exposant entier négatif est comme si une sorte de "processus inverse" avait eu lieu, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Il est extrêmement difficile d'imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d'imaginer un espace à 4 dimensions). C'est plutôt un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre le concept de degré à tout l'espace des nombres.

À propos, en sciences, un diplôme avec un indicateur complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'indicateur n'est même pas un nombre réel. Mais à l'école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.

Alors, que faisons-nous lorsque nous voyons un exposant irrationnel ? Nous essayons de toutes nos forces de nous en débarrasser ! :)

Par exemple:

Décider vous-même:

1)

2)

3)

Réponses:

1. On rappelle la formule de la différence des carrés. Réponse: .
2. Nous ramenons les fractions sous la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple :.
3. Rien de spécial, nous appliquons les propriétés de degré habituelles :

RÉSUMÉ DE LA SECTION ET DES FORMULES DE BASE

Degré est appelée une expression de la forme :, où :

Degré entier

degré, dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Note rationnelle

degré, dont l'exposant est un nombre négatif et fractionnaire.

Note irrationnelle

degré, dont l'exposant est une fraction ou racine décimale infinie.

Propriétés de puissance

Caractéristiques des diplômes.

• Nombre négatif porté à même degré, - nombre positif.
• Nombre négatif porté à impair degré, - nombre négatif.
• Un nombre positif à n'importe quel degré est un nombre positif.
• Zéro est égal à n'importe quelle puissance.
• Tout nombre au degré zéro est égal à.

MAINTENANT VOTRE PAROLE...

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