Mathématiques : actions avec fractions. Actions décimales et fractionnaires

FRACTIONS DÉCIMALES. ACTIONS SUR LES FRACTIONS DÉCIMALES

(leçon de généralisation)

Tumysheva Zamira Tansykbaevna, professeur de mathématiques, lycée 2

Khromtau, région d'Aktobe, République du Kazakhstan

Ce développement de leçon est conçu comme une leçon de généralisation pour le chapitre « Actions sur fractions décimales". Il peut être utilisé aussi bien en 5e qu'en 6e. La leçon se déroule de manière ludique.

Fractions décimales. Actions sur les fractions décimales.(leçon de généralisation)

Cible:

Pratiquer les compétences et les capacités d'addition, de soustraction, de multiplication et de division de fractions décimales par des nombres naturels et par une fraction décimale

Créer les conditions du développement des compétences travail indépendant, la maîtrise de soi et l'estime de soi, le développement des qualités intellectuelles : attention, imagination, mémoire, capacité d'analyse et de généralisation

Instiller un intérêt cognitif pour le sujet et développer la confiance en soi

PLAN DE COURS:

1. Partie organisationnelle.

3. Le thème et le but de notre leçon.

4. Le jeu "Au drapeau tant convoité !"

5. Jeu "Numéro moulin".

6. Digression lyrique.

7. Travaux de vérification.

8. Jeu "Cryptage" (travail en binôme)

9. Résumé.

10. Devoirs.

1. Partie organisationnelle. Bonjour. Asseyez-vous.

2. Un aperçu des règles pour effectuer des opérations arithmétiques avec des fractions décimales.

La règle pour additionner et soustraire des fractions décimales :

1) égaliser le nombre de décimales dans ces fractions ;

2) écrivez les uns sous les autres de sorte que la virgule soit sous la virgule ;

3) sans remarquer la virgule, effectuez une action (addition ou soustraction), et placez une virgule sous les virgules en conséquence.

3,455 + 0,45 = 3,905 3,5 + 4 = 7,5 15 – 7,88 = 7,12 4,57 - 3,2 = 1,37

3,455 + 3,5 _15,00 _ 4,57

0,450 4,0 7,88 3,20

3,905 7,5 7,12 1,37

Lors de l'addition et de la soustraction, les nombres naturels sont écrits sous forme de fraction décimale avec des décimales égales à zéro.

Règle de multiplication décimale :

1) en ignorant la virgule, multipliez les nombres ;

2) dans le produit résultant, séparez autant de chiffres de droite à gauche par une virgule qu'ils sont séparés par une virgule en fractions décimales.

Lors de la multiplication d'une fraction décimale par des unités de bit (10, 100, 1000, etc.), la virgule est décalée vers la droite d'autant de nombres qu'il y a de zéros dans l'unité de bit

4

17,25 4 = 69

x 1 7,2 5

4

6 9,0 0

15,256 100 = 1525,6

0,5 0,52 = 2,35

X 0,5 2

4,5

2 7 0

2 0 8__

2,3 5 0

Lors de la multiplication, les nombres naturels sont écrits comme des nombres naturels.

La règle de division des fractions décimales par entier naturel:

1) diviser toute la partie du dividende, mettre une virgule dans le quotient ;

2) continuer la division.

Lors de la division au reste, nous démolissons un seul nombre du dividende.

Si dans le processus de division de la fraction décimale, il y a un reste, après lui avoir attribué le nombre requis de zéros, nous continuerons la division jusqu'à ce que le reste soit zéro.

15,256: 100 = 0,15256

0,25: 1000 = 0,00025

Lors de la division d'une fraction décimale en unités de bits (10, 100, 1000, etc.), la virgule est décalée vers la gauche d'autant de nombres qu'il y a de zéros dans l'unité de bits.

18,4: 8 = 2,3

_ 18,4 І_8_

16 2,3

2 4

2 4

22,2: 25 = 0,88

22,2 _25_

0 0,888

22 2

20 0

2 20

2 00

200

200

3,56: 4 = 0,89

3,56 I_4_

0 0,89

3 5

3 2

36

Lors de la division, les nombres naturels sont écrits comme des nombres naturels.

La règle pour diviser les fractions décimales par une fraction décimale :

1) déplacer la virgule dans le diviseur vers la droite pour obtenir un nombre naturel ;

2) nous transférons la virgule dans le dividende à droite autant de nombres que nous avons transférés dans le diviseur ;

3) on fait la division de la fraction décimale par un nombre naturel.

3,76: 0,4 = 9, 4

_ 3,7,6 _0,4, _

3 6 9, 4

1 6

1 6

0

Le jeu "Au drapeau tant convoité !"

Règles du jeu: De chaque équipe, un élève est appelé au tableau, qui compte verbalement à partir de la dernière marche. La résolution d'un exemple marque la réponse dans le tableau. Puis un autre membre de l'équipe le remplace. Il y a un mouvement vers le haut - vers le drapeau convoité. Les étudiants sur le terrain vérifient verbalement les résultats de leurs joueurs. Si la réponse est fausse, un autre membre de l'équipe vient au conseil pour continuer à résoudre les problèmes. Les capitaines d'équipe appellent les élèves à travailler au tableau. L'équipe qui, avec le moins d'élèves, atteint en premier le drapeau, gagne.

Jeu de moulin à nombre

Règles du jeu: Les nombres sont écrits dans les cercles du moulin. Les flèches reliant les cercles indiquent des actions. La tâche consiste à effectuer des actions séquentielles, en se déplaçant le long de la flèche du centre vers le cercle extérieur. En suivant successivement l'itinéraire indiqué, vous trouverez la réponse dans l'un des cercles ci-dessous. Le résultat de l'exécution des actions pour chaque flèche est enregistré dans un ovale à côté d'elle.

Digression lyrique.

Le poème de Lifshitz "Trois dixièmes"

Qui est-ce

Du portefeuille

Hurle de contrariété

Livre de problèmes haineux

Étui à crayons et cahiers

Et colle dans son journal.

Sans rougir en même temps,

Sous le buffet en chêne.

Que mettre sous le buffet ? ..

Veuillez rencontrer:

Kostia Jigalin.

Victime d'éternelle lancinante, -

Il a encore échoué.

Et siffle

Sur échevelé

En regardant le livre de problèmes :

Je n'ai pas de chance !

Je ne suis qu'un perdant !

Quelle est la raison

Son ressentiment et son agacement ?

Que la réponse n'était pas d'accord

Seulement trois dixièmes.

C'est une bagatelle !

Et à lui, bien sûr,

Niggles

Strict

Marie Petrovna.

Trois dixièmes...

Parlez-moi d'une telle erreur -

Et, peut-être, sur les visages

Vous verrez un sourire.

Trois dixièmes...

Et pourtant à propos de cette erreur

Je vous demande

Écoute moi

Sans sourire.

Si seulement, construisez votre maison.

Celui dans lequel vous vivez.

Architecte

Un peu

Tort

En comptant, -

Ce qui se passerait.

Connaissez-vous Kostya Zhigalin ?

Cette maison

tournerait

Dans un tas de ruines !

Vous montez sur le pont.

Il est fiable et durable.

Ne soyez pas ingénieur

Dans ses dessins, il est précis, -

Tu le ferais, Kostya,

Tomber

dans la rivière froide

Je ne dirais pas merci

Cette personne!

Voici la turbine.

Il y a un arbre

Gaspillé par les tourneurs.

Si un tourneur

Au travail

N'était pas très précis -

Il serait arrivé, Kostya,

Grand malheur :

Ferait souffler la turbine

En petits morceaux!

Trois dixièmes -

Et les murs

Sont en construction

De travers!

Trois dixièmes -

Et s'effondrer

Voitures

Hors piste !

Faire une erreur

Seulement trois dixièmes

Pharmacie, -

Le médicament deviendra poison

va tuer un homme !

Nous avons brisé et conduit

Bande fasciste.

Ton père a servi

Commande de batterie.

Il s'est trompé en arrivant

Au moins trois dixièmes, -

Les obus ne dépasseraient pas

Maudits fascistes.

Pensez-y

Mon ami, de sang-froid

Et dis moi.

Était-ce mal

Marya Petrovna ?

Franchement

Réfléchis, Kostya, à ça.

Alors pas longtemps à mentir

Agenda sous le buffet !

Travail de vérification sur le thème "Fractions décimales" (mathématiques -5)

9 diapositives apparaîtront à l'écran dans l'ordre. Dans des cahiers, les élèves notent le numéro de l'option et les réponses à la question. Par exemple, l'option 2

1.C ; 2. A; etc.

QUESTION 1

Option 1

Lorsque vous multipliez une fraction décimale par 100, vous devez déplacer la virgule dans cette fraction :

A. à gauche par 2 chiffres ; B. à droite par 2 chiffres ; C. ne changez pas la place de la virgule.

Option 2

Lorsque vous multipliez une fraction décimale par 10, vous devez déplacer la virgule dans cette fraction :

A. à droite par 1 chiffre ; B. vers la gauche par 1 chiffre ; C. ne changez pas la place de la virgule.

QUESTION 2

Option 1

La somme de 6,27 + 6,27 + 6,27 + 6,27 + 6,27 sous forme de produit s'écrit comme suit :

A. 6.27 * 5; B. 6,27 * 6,27 ; Art. 6.27 4.

Option 2

La somme de 9,43 + 9,43 + 9,43 + 9,43 sous forme de produit s'écrit comme suit :

A. 9,43 * 9,43 ; B. 6 * 9,43 ; Art. 9,43 4.

QUESTION 3

Option 1

Dans le produit 72.43 * 18 après la virgule sera :

Option 2

Dans le produit 12.453 35 après la virgule il y aura :

A. 2 chiffres ; B. 0 chiffres ; C. 3 chiffres.

QUESTION 4

Option 1

Le quotient 76,4 : 2 après la virgule sera :

A. 2 chiffres ; B. 0 chiffres ; C. 1 chiffre.

Option 2

Le quotient 95,4 : 6 après la virgule sera :

A. 1 chiffre ; B. 3 chiffres ; C. 2 chiffres.

QUESTION 5

Option 1

Trouver la valeur de l'expression 34,5 : x + 0,65 y, avec x = 10 y = 100 :

A. 35.15 ; H. 68,45 ; Art. 9.95.

Option 2

Trouver la valeur de l'expression 4,9 x +525 : y, pour x = 100 y = 1000 :

A. 4905.25 ; H. 529,9 ; Art. 490.525.

QUESTION 6

Option 1

L'aire d'un rectangle de côtés 0,25 et 12 cm est

A. 3; B. 0,3 ; P. 30.

Option 2

L'aire d'un rectangle de côtés 0,5 et 36 cm est égale à

A.1.8 ; H. 18 ; Art. 0.18.

QUESTION 7

Option 1

Deux élèves ont quitté l'école simultanément dans des directions opposées. La vitesse du premier élève est de 3,6 km/h, la vitesse du second est de 2,56 km/h. Après 3 heures, la distance entre eux sera:

A. 6,84 km ; H 18,48 km ; Sud 3.12 km

Option 2

Deux cyclistes ont quitté l'école simultanément dans des directions opposées. La vitesse du premier est de 11,6 km/h, la vitesse du second est de 13,06 km/h. Après 4 heures, la distance entre eux sera:

A. 5,84 km ; 100,8 km d'altitude ; S. 98,64 km

Option 1

Option 2

Vérifiez vos réponses. Mettez "+" pour la bonne réponse et "-" pour la mauvaise réponse.

Jeu "Cryptage"

Règles du jeu: Une carte avec une tâche avec un code de lettre est distribuée à chaque pupitre d'école. Après avoir effectué les actions et reçu le résultat, notez la lettre code de votre carte sous le numéro correspondant à votre réponse.

En conséquence, nous recevrons une offre :

6,8

420

21,6

420

306

65,8

21,6

Résumant la leçon.

Les notes pour le travail de vérification sont annoncées.

Devoir n° 1301, 1308, 1309

Merci pour l'attention!!!

Nous consacrerons ce matériel à un sujet aussi important que les fractions décimales. Tout d'abord, définissons les définitions de base, donnons des exemples et attardons-nous sur les règles de la notation décimale, ainsi que sur les décimales. Ensuite, nous mettons en évidence les principaux types : fractions finies et infinies, périodiques et non périodiques. Dans la dernière partie, nous montrerons comment se situent les points correspondant aux nombres fractionnaires sur l'axe des coordonnées.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Qu'est-ce que la notation décimale pour les nombres fractionnaires

La notation dite décimale nombres fractionnaires peut être utilisé pour les nombres naturels et fractionnaires. Cela ressemble à un ensemble de deux chiffres ou plus séparés par une virgule.

Le point décimal est utilisé pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire. En règle générale, le dernier chiffre d'une fraction décimale n'est pas un zéro, à moins que le point décimal soit immédiatement après le premier zéro.

Quels sont quelques exemples de nombres fractionnaires en notation décimale ? Il peut s'agir de 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9, etc.

Dans certains manuels, vous pouvez trouver l'utilisation d'un point au lieu d'une virgule (5. 67, 6789. 1011, etc.) Cette option est considérée comme équivalente, mais elle est plus typique pour les sources en anglais.

Définition des fractions décimales

Sur la base de la notion ci-dessus de notation décimale, nous pouvons formuler la définition suivante des fractions décimales :

Définition 1

Les fractions décimales sont des nombres fractionnaires en notation décimale.

Pourquoi devons-nous écrire des fractions sous cette forme ? Cela nous donne certains avantages par rapport aux notations ordinaires, par exemple, une notation plus compacte, surtout dans les cas où le dénominateur est 1000, 100, 10, etc. ou nombre mixte... Par exemple, au lieu de 6 10, nous pouvons spécifier 0, 6, au lieu de 25 10000 - 0, 0023, au lieu de 512 3 100 - 512.03.

Comment représenter correctement des fractions ordinaires avec des dizaines, des centaines, des milliers au dénominateur sous forme décimale sera discuté dans un document séparé.

Comment lire correctement les décimales

Il existe quelques règles pour lire la notation décimale. Ainsi, ces fractions décimales, qui correspondent à leurs équivalents ordinaires réguliers, se lisent presque de la même manière, mais avec l'ajout des mots "zéro dixième" au début. Ainsi, l'enregistrement 0, 14, qui correspond à 14 100, se lit comme "zéro virgule quatorze centièmes".

Si une fraction décimale peut être associée à un nombre fractionnaire, alors elle se lit de la même manière que ce nombre. Donc, si nous avons une fraction 56, 002, qui correspond à 56 2 1000, nous lisons une telle entrée comme "cinquante six virgule deux millièmes".

La signification d'un chiffre dans une fraction décimale dépend de l'endroit où il se trouve (comme dans le cas des nombres naturels). Ainsi, dans la fraction décimale 0, 7, sept est des dixièmes, dans 0, 0007 - dix millièmes, et dans les fractions 70 000, 345, cela signifie sept dizaines de milliers d'unités entières. Ainsi, dans les fractions décimales, il y a aussi la notion de chiffre d'un nombre.

Les noms des décimales sont similaires à ceux qui existent dans les nombres naturels. Les noms de ceux qui se trouvent après sont clairement présentés dans le tableau :

Regardons un exemple.

Exemple 1

Nous avons le nombre décimal 43 098. Elle a un quatre dans les dizaines, trois dans les uns, zéro dans les dixièmes, 9 dans les centièmes et 8 dans les millièmes.

Il est d'usage de distinguer les chiffres des fractions décimales par ancienneté. Si nous parcourons les nombres de gauche à droite, nous passerons des chiffres les plus significatifs aux moins significatifs. Il s'avère que les centaines sont plus âgés que les dizaines et que les millionièmes sont plus jeunes que les centièmes. Si nous prenons cette dernière fraction décimale, que nous avons donnée comme exemple ci-dessus, alors la plus élevée, ou la plus élevée, sera la place des centaines, et la plus basse, ou la plus basse, sera la place des 10 millièmes.

Toute fraction décimale peut être décomposée en chiffres séparés, c'est-à-dire représentées comme une somme. Cette action est effectuée de la même manière que pour les nombres naturels.

Exemple 2

Essayons de développer la fraction 56, 0455 en chiffres.

Nous obtiendrons:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Si nous nous souvenons des propriétés de l'addition, nous pouvons alors représenter cette fraction sous d'autres formes, par exemple, comme la somme 56 + 0, 0455 ou 56, 0055 + 0, 4, etc.

Que sont les décimales finales

Toutes les fractions dont nous avons parlé ci-dessus sont des fractions décimales finales. Cela signifie que le nombre de chiffres après la virgule est fini. Dérivons la définition :

Définition 1

Les fractions décimales de fin sont une forme de fractions décimales qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule.

Des exemples de telles fractions peuvent être 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49, etc.

Chacune de ces fractions peut être convertie soit en un nombre mixte (si la valeur de sa partie fractionnaire est différente de zéro), soit en une fraction ordinaire (avec une partie entière nulle). Nous avons consacré un document séparé à la façon dont cela est fait. Ici, nous indiquerons simplement quelques exemples : par exemple, nous pouvons réduire la fraction décimale finale 5, 63 à la forme 5 63 100, et 0, 2 correspond à 2 10 (ou toute autre fraction qui lui est égale, par exemple, 4 20 ou 1 5.)

Mais le processus inverse, c'est-à-dire l'écriture d'une fraction ordinaire sous forme décimale ne peut pas toujours être effectuée. Ainsi, 5 13 ne peut pas être remplacé par une fraction égale avec un dénominateur de 100, 10, etc., ce qui signifie que la fraction décimale finale ne fonctionnera pas.

Les principaux types de fractions décimales infinies : fractions périodiques et non périodiques

Nous avons souligné ci-dessus que les fractions finales sont appelées ainsi parce qu'après la virgule elles ont un nombre fini de chiffres. Cependant, il peut très bien être infini, auquel cas les fractions elles-mêmes seront également appelées infinies.

Définition 2

Les fractions décimales infinies sont celles qui ont un nombre infini de chiffres après la virgule.

De toute évidence, de tels nombres ne peuvent tout simplement pas être écrits complètement, nous n'en indiquons donc qu'une partie, puis mettons des points de suspension. Ce signe indique la continuation sans fin de la séquence de décimales. Des exemples de fractions décimales infinies sont 0, 143346732 ..., 3, 1415989032 ..., 153, 0245005 ..., 2, 66666666666 ..., 69, 748768152 .... etc.

Dans la "queue" d'une telle fraction, il peut y avoir non seulement des séquences de nombres aléatoires à première vue, mais la répétition constante du même caractère ou groupe de caractères. Fractions avec alternance après virgule sont dits périodiques.

Définition 3

Les fractions décimales périodiques sont des fractions décimales infinies dans lesquelles un chiffre ou un groupe de plusieurs chiffres est répété après la virgule. La partie répétitive est appelée la période de la fraction.

Par exemple, pour la fraction 3, 444444…. la période sera le nombre 4, et pour 76, 134134134134 ... - groupe 134.

Quel est le nombre minimum de caractères pouvant être laissés dans l'enregistrement d'une fraction périodique ? Pour les fractions périodiques, il suffira d'écrire la période entière une fois entre parenthèses. Donc, fraction 3, 444444…. il sera correct de l'écrire comme 3, (4) et 76, 134134134134 ... - comme 76, (134).

En général, les enregistrements avec plusieurs points entre parenthèses auront exactement la même signification : par exemple, la fraction périodique 0, 677777 est la même que 0, 6 (7) et 0, 6 (77), etc. Les enregistrements de la forme 0, 67777 (7), 0, 67 (7777), etc. sont également autorisés.

Pour éviter les erreurs, introduisons l'uniformité de notation. Convenons-nous de n'écrire qu'un seul point (la suite de chiffres la plus courte), la plus proche de la virgule, et de la mettre entre parenthèses.

C'est-à-dire que pour la fraction ci-dessus, nous considérerons l'entrée 0, 6 (7) comme principale et, par exemple, dans le cas de la fraction 8, 9134343434, nous écrirons 8, 91 (34).

Si le dénominateur d'une fraction ordinaire contient des facteurs premiers qui ne sont pas égaux à 5 et 2, alors une fois converti en notation décimale, des fractions infinies en seront obtenues.

En principe, nous pouvons écrire n'importe quelle fraction finie comme une fraction périodique. Pour ce faire, il suffit d'ajouter une infinité de zéros à droite. A quoi ça ressemble dans l'enregistrement ? Disons que nous avons une fraction finale 45, 32. Sous forme périodique, il ressemblera à 45, 32 (0). Cette action est possible car l'ajout de zéros à droite de n'importe quelle décimale nous donne une fraction égale.

Séparément, nous devrions nous attarder sur les fractions périodiques avec une période de 9, par exemple, 4, 89 (9), 31, 6 (9). Ils sont une notation alternative pour des fractions similaires avec une période de 0, ils sont donc souvent remplacés lors de l'écriture avec des fractions avec une période de zéro. Dans ce cas, un est ajouté à la valeur du chiffre suivant, et (0) est indiqué entre parenthèses. L'égalité des nombres résultants est facile à vérifier en les présentant sous forme de fractions ordinaires.

Par exemple, la fraction 8, 31 (9) peut être remplacée par la fraction correspondante 8, 32 (0). Ou 4, (9) = 5, (0) = 5.

Les fractions périodiques décimales infinies se réfèrent à nombres rationnels... En d'autres termes, toute fraction périodique peut être représentée comme une fraction ordinaire, et vice versa.

Il existe également des fractions qui n'ont pas de séquence répétée à l'infini après la virgule décimale. Dans ce cas, elles sont appelées fractions non périodiques.

Définition 4

Les fractions décimales non périodiques comprennent les fractions décimales infinies dans lesquelles il n'y a pas de point après la virgule décimale, c'est-à-dire groupe de nombres répété.

Parfois, les fractions non périodiques ressemblent beaucoup aux fractions périodiques. Par exemple, 9, 03003000300003 ... à première vue semble avoir une période, mais une analyse détaillée des décimales confirme qu'il s'agit toujours d'une fraction non périodique. Il faut être très prudent avec de tels chiffres.

Les fractions non périodiques sont des nombres irrationnels. Ils ne sont pas traduits en fractions ordinaires.

Opérations décimales de base

Vous pouvez effectuer les actions suivantes avec des fractions décimales : comparaison, soustraction, addition, division et multiplication. Analysons chacun d'eux séparément.

La comparaison de fractions décimales peut être réduite à la comparaison de fractions qui correspondent à la décimale d'origine. Mais des fractions non périodiques infinies ne peuvent pas être réduites à cette forme, et convertir des fractions décimales en fractions ordinaires est souvent une tâche laborieuse. Comment pouvons-nous effectuer rapidement une action de comparaison si nous devons le faire tout en résolvant un problème ? Il est pratique de comparer les chiffres décimaux de la même manière que nous comparons les nombres naturels. Nous consacrerons un article séparé à cette méthode.

Pour ajouter des fractions décimales à d'autres, il est pratique d'utiliser la méthode d'addition de colonnes, comme pour les nombres naturels. Pour ajouter des fractions décimales périodiques, vous devez d'abord les remplacer par des fractions ordinaires et compter selon le schéma standard. Si, selon les conditions du problème, nous devons ajouter une infinité de fractions non périodiques, nous devons d'abord les arrondir à un certain chiffre supérieur, puis les additionner. Plus le chiffre auquel nous arrondissons est petit, plus la précision du calcul sera élevée. Pour la soustraction, la multiplication et la division de fractions infinies, un arrondi préliminaire est également nécessaire.

Trouver la différence des fractions décimales inversement à l'addition. En fait, à l'aide de la soustraction, nous pouvons trouver un tel nombre, dont la somme avec la fraction soustraite nous donnera le nombre décroissant. Nous vous en dirons plus à ce sujet dans un article séparé.

La multiplication des fractions décimales s'effectue de la même manière que pour les nombres naturels. La méthode de calcul des colonnes convient également pour cela. Nous réduisons encore cette action des fractions périodiques à la multiplication des fractions ordinaires selon les règles déjà étudiées. Les fractions infinies, on s'en souvient, doivent être arrondies avant de compter.

Le processus de division des fractions décimales est l'inverse du processus de multiplication. Lors de la résolution de problèmes, nous utilisons également le nombre de colonnes.

Vous pouvez définir une correspondance exacte entre la fraction décimale finale et un point sur l'axe des coordonnées. Voyons comment marquer un point sur l'axe qui correspondra exactement à la fraction décimale requise.

Nous avons déjà étudié comment construire des points correspondant à des fractions ordinaires, mais les fractions décimales peuvent être réduites à cette forme. Par exemple, une fraction ordinaire 14 10 est la même que 1, 4, donc le point correspondant sera éloigné de l'origine dans le sens positif d'exactement la même distance :

Vous pouvez vous passer de remplacer la fraction décimale par une fraction ordinaire, mais prenez comme base la méthode d'expansion en chiffres. Ainsi, si nous devons marquer un point dont la coordonnée sera 15, 4008, nous représenterons au préalable ce nombre comme la somme de 15 + 0, 4 +, 0008. Pour commencer, on reporte 15 segments unitaires entiers dans le sens positif à partir de l'origine, puis 4 dixièmes d'un segment, puis 8 dix millièmes d'un segment. En conséquence, nous obtenons un point de coordonnées, qui correspond à la fraction 15, 4008.

Pour une fraction décimale infinie, il est préférable d'utiliser cette méthode, car elle vous permet d'approcher le point souhaité aussi près que vous le souhaitez. Dans certains cas, il est possible de construire une correspondance exacte d'une fraction infinie sur l'axe des coordonnées : par exemple, 2 = 1, 41421. ... ... , et cette fraction peut être associée à un point du rayon de coordonnées distant de 0 de la longueur de la diagonale d'un carré dont le côté sera égal à un segment unitaire.

Si nous trouvons non pas un point sur l'axe, mais une fraction décimale qui lui correspond, alors cette action est appelée la mesure décimale du segment. Voyons comment le faire correctement.

Disons que nous devons passer de zéro à ce point sur l'axe des coordonnées (ou le plus près possible dans le cas d'une fraction infinie). Pour ce faire, nous reportons progressivement les segments unitaires de l'origine jusqu'à ce que nous arrivions au point souhaité. Après des segments entiers, si nécessaire, nous mesurons les dixièmes, centièmes et plus petites parts afin que la correspondance soit la plus précise possible. En conséquence, nous avons obtenu une fraction décimale, qui correspond à un point donné sur l'axe des coordonnées.

Ci-dessus, nous avons donné un dessin avec un point M. Regardez à nouveau : pour arriver à ce point, vous devez mesurer à partir de zéro un segment unitaire et quatre dixièmes de celui-ci, car ce point correspond à la fraction décimale 1, 4.

Si nous ne pouvons pas arriver à un point dans le processus de mesure décimale, cela signifie qu'une fraction décimale infinie lui correspond.

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§ 31. Problèmes et exemples pour toutes les actions avec des fractions décimales.

Effectuez les actions indiquées :

767. Trouver le quotient de division :

772. Calculer:

Trouve N.-É. , si:

776. Le nombre inconnu a été multiplié par la différence entre les nombres 1 et 0,57 et le produit a obtenu 3,44. Trouvez un numéro inconnu.

777. Montant numéro inconnu et 0,9 a été multiplié par la différence entre 1 et 0,4 et le produit a obtenu 2,412. Trouvez un numéro inconnu.

778. D'après le schéma sur la fusion de la fonte brute dans la RSFSR (Fig. 36), dressez un problème, pour la solution duquel il est nécessaire d'appliquer les actions d'addition, de soustraction et de division.

779. 1) La longueur du canal de Suez est de 165,8 km, la longueur du canal de Panama est de 84,7 km de moins que le canal de Suez et la longueur du canal mer Blanche-Baltique est de 145,9 km de plus que le canal de Panama. Quelle est la longueur du canal Mer Blanche-Baltique ?

2) Métro de Moscou(en 1959) a été construit en 5 étapes. La longueur de la première ligne du métro est de 11,6 km, la deuxième de -14,9 km, la longueur de la troisième est de 1,1 km de moins que la longueur de la deuxième ligne, la longueur de la quatrième ligne est de 9,6 km de plus que la troisième ligne , et la longueur de la cinquième ligne est de 11,5 km moins la quatrième. Quelle est la longueur du métro de Moscou début 1959 ?

780. 1) La plus grande profondeur de l'océan Atlantique est de 8,5 km, la plus grande profondeur de l'océan Pacifique est de 2,3 km supérieure à la profondeur de l'océan Atlantique et la plus grande profondeur du Nord océan Arctique 2 fois moins que la profondeur la plus profonde de l'océan Pacifique. Quel est l'océan Arctique le plus profond ?

2) La voiture Moskvich consomme 9 litres d'essence aux 100 kilomètres, la voiture Pobeda est 4,5 litres de plus que la Moskvich consomme et la Volga est 1,1 fois plus que Pobeda. Combien d'essence la voiture Volga consomme-t-elle pour 1 km de voie ? (Arrondir la réponse au 0,01 l près.)

781. 1) L'étudiant est allé chez son grand-père pendant les vacances. Il a voyagé en train pendant 8,5 heures et depuis la gare à cheval pendant 1,5 heures. Au total, il a parcouru 440 km. A quelle vitesse l'élève a-t-il pris le chemin de fer s'il montait à cheval à une vitesse de 10 km/h ?

2) Le kolkhoze devait se trouver à un point situé à une distance de 134,7 km de sa maison. Pendant 2,4 heures, il a voyagé en bus à une vitesse moyenne de 55 km/h, et le reste du trajet il a marché à pied à une vitesse de 4,5 km/h. Combien de temps a-t-il marché ?

782. 1) Au cours de l'été, un spermophile consomme environ 0,12 quintal de pain. Au printemps, les pionniers ont exterminé 1 250 spermophiles sur 37,5 hectares. Combien de pain les écoliers ont-ils mis de côté pour la ferme collective ? Quelle quantité de céréales est économisée par hectare ?

2) Le kolkhoze a calculé qu'en détruisant des spermophiles sur une superficie de 15 hectares de terres arables, les écoliers ont économisé 3,6 tonnes de céréales. Combien de spermophiles sont détruits en moyenne par hectare de terre si un spermophile anéantit 0,012 tonne de céréales par été ?

783. 1) Lors de la mouture du blé en farine, 0,1 de son poids est perdu et lors de la cuisson, une cuisson égale à 0,4 poids de farine est obtenue. Quelle quantité de pain cuit sera obtenu à partir de 2,5 tonnes de blé ?

2) Le kolkhoze a collecté 560 tonnes de graines de tournesol. combien de huile de tournesol fabriqué à partir de grains récoltés, si le poids du grain est de 0,7 poids de graines de tournesol et le poids de l'huile résultante est de 0,25 poids de grain ?

784. 1) Le rendement en crème du lait est de 0,16 poids de lait et le rendement en beurre de la crème est de 0,25 poids de crème. Quelle quantité de lait (en poids) faut-il pour obtenir 1 quintal de beurre ?

2) Combien de kilogrammes de cèpes doivent être collectés pour obtenir 1 kg de cèpes séchés, s'il reste 0,5 poids en préparation pour le séchage, et 0,1 poids du champignon transformé reste pendant le séchage ?

785. 1) Les terres attribuées au kolkhoze sont utilisées comme suit : 55% de celles-ci sont occupées par des terres arables, 35% par des prairies, et le reste des terres d'un montant de 330,2 hectares est attribué pour le kolkhoze jardin et pour les fermes des kolkhoziens. Combien de terres y a-t-il sur la ferme collective?

2) Le kolkhoze a semé 75 % de la superficie totale ensemencée en céréales, 20 % en légumes et le reste en graminées fourragères. Quelle était la superficie ensemencée du kolkhoze s'il ensemençait 60 hectares en graminées fourragères ?

786. 1) Combien de centimes de graines faudra-t-il pour semer un champ en forme de rectangle de 875 m de long et 640 m de large, si on sème 1,5 cent de graines par hectare ?

2) Combien de centimes de graines faudra-t-il pour semer un champ rectangulaire si son périmètre est de 1,6 km ? La largeur du champ est de 300 m. Pour semer 1 hectare, il faut 1,5 centimes de graines.

787. Combien d'assiettes carrées d'un côté de 0,2 pouce peuvent-elles tenir dans un rectangle mesurant 0,4 po X 10 po ?

788. La salle de lecture a des dimensions de 9,6 mx 5 mx 4,5 m. Pour combien de sièges la salle de lecture est-elle conçue, si 3 mètres cubes sont nécessaires pour chaque personne. m d'air ?

789. 1) Quelle surface du pré un tracteur avec une remorque de quatre faucheuses tondra-t-il en 8 heures, si la largeur de travail de chaque faucheuse est de 1,56 m et la vitesse du tracteur est de 4,5 km/h ? (Le temps des arrêts n'est pas pris en compte.) (Arrondissez la réponse au 0,1 ha le plus proche.)

2) La largeur de travail du semoir de légumes du tracteur est de 2,8 m. Quelle surface peut être semée avec ce semoir en 8 heures. travailler à une vitesse de 5 km/h ?

790. 1) Trouvez le rendement d'une charrue à trois corps en 10 heures. travail, si la vitesse du tracteur est de 5 km par heure, la capture d'un corps est de 35 cm et la perte de temps était de 0,1 du temps total passé. (Arrondissez la réponse au 0,1 ha près.)

2) Trouvez le rendement d'une charrue de tracteur à cinq corps en 6 heures. travail, si la vitesse du tracteur est de 4,5 km par heure, la capture d'un corps est de 30 cm et la perte de temps était de 0,1 du temps total passé. (Arrondissez la réponse au 0,1 ha près.)

791. La consommation d'eau par 5 km de parcours pour une locomotive à vapeur d'un train de voyageurs est de 0,75 tonne Le réservoir d'eau du tender contient 16,5 tonnes d'eau. Combien de kilomètres le train aura-t-il assez d'eau si le réservoir était à 0,9 de sa capacité ?

792. Seuls 120 wagons de fret peuvent être installés sur la voie d'évitement, avec une longueur moyenne de wagon de 7,6 m. Combien de wagons de voyageurs à quatre essieux de 19,2 m de long pourront tenir sur cette voie si 24 wagons de fret supplémentaires sont placés sur cette voie ?

793. Pour la solidité du remblai ferroviaire, il est recommandé de renforcer les pentes en semant des graminées des champs. Pour chaque mètre carré de remblai, 2,8 g de graines sont nécessaires, pour un coût de 0,25 rouble. pour 1kg. Combien cela coûtera-t-il de semer 1,02 hectares de talus si le coût du travail est de 0,4 du coût des semences ? (Arrondissez la réponse au rouble le plus proche.)

794. La briqueterie livrée à la gare chemin de fer briques. 25 chevaux et 10 camions travaillaient au transport des briques. Chaque cheval transportait 0,7 tonne par tour et effectuait 4 voyages par jour. Chaque voiture transportait 2,5 tonnes par trajet et effectuait 15 trajets par jour. Le transport a duré 4 jours. Combien de morceaux de briques ont été livrés à la gare si poids moyen une brique 3,75 kg ? (Arrondissez la réponse au millier le plus proche.)

795. L'approvisionnement en farine a été réparti entre trois boulangeries : la première a reçu 0,4 de l'offre totale, la seconde a reçu 0,4 restes et la troisième boulangerie a reçu 1,6 tonne de farine de moins que la première. Quelle quantité de farine a été distribuée au total ?

796. En deuxième année de l'institut, il y a 176 étudiants, en troisième année c'est 0,875 de ce nombre, et en première année c'est une fois et demie plus qu'en troisième année. Le nombre d'étudiants en première, deuxième et troisième années était de 0,75 du nombre total d'étudiants de cet institut. Combien y avait-il d'élèves ?

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797. Trouvez la moyenne arithmétique :

1) deux nombres : 56,8 et 53,4 ; 705,3 et 707,5 ;

2) trois nombres: 46,5 ; 37,8 et 36 ; 0,84 ; 0,69 et 0,81 ;

3) quatre nombres : 5,48 ; 1,36 ; 3.24 et 2.04.

798. 1) Le matin la température était de 13,6°, à midi de 25,5° et le soir de 15,2°. Calculez la température moyenne pour ce jour-là.

2) Quelle est la température moyenne pour une semaine, si pendant la semaine le thermomètre indiquait : 21° ; 20,3° ; 22,2° ; 23,5° ; 21,1° ; 22,1° ; 20,8° ?

799. 1) L'équipe de l'école a désherbé 4,2 hectares de betteraves le premier jour, 3,9 hectares le deuxième jour et 4,5 hectares le troisième. Déterminer la production moyenne de la brigade par jour.

2) Pour établir le délai standard de fabrication d'une pièce neuve, 3 tourneurs ont été fournis. Le premier a réalisé la partie en 3,2 minutes, le second en 3,8 minutes et le troisième en 4,1 minutes. Calculez le taux de temps qui a été défini pour la fabrication de la pièce.

800. 1) La moyenne arithmétique de deux nombres est 36,4. L'un de ces nombres est 36,8. Trouve un autre.

2) La température de l'air a été mesurée trois fois par jour : le matin, à midi et le soir. Trouvez la température de l'air le matin, si à midi il faisait 28,4°, le soir il faisait 18,2°C, et la température moyenne diurne était de 20,4°.

801. 1) La voiture a parcouru 98,5 km au cours des deux premières heures et 138 km au cours des trois heures suivantes. Combien de kilomètres une voiture parcourt-elle en moyenne par heure ?

2) Un essai de capture et de pesée de carpes d'un an a montré que sur 10 carpes, 4 pesaient 0,6 kg, 3 pesaient 0,65 kg, 2 pesaient 0,7 kg et 1 pesait 0,8 kg. Quel est le poids moyen d'une carpe yearling ?

802. 1) À 2 litres de sirop d'une valeur de 1,05 rouble. pour 1 litre ajouté 8 litres d'eau. Combien coûte 1 litre d'eau avec sirop obtenu ?

2) L'hôtesse a acheté une boîte de 0,5 litre de bortsch en conserve pour 36 kopecks. et bouilli avec 1,5 litre d'eau. Quel est le coût d'une assiette de bortsch si son volume est de 0,5 litre ?

803. Travail de laboratoire"Mesurer la distance entre deux points",

1ère réception. Mesure avec un ruban à mesurer (ruban à mesurer). La classe est divisée en liens de trois personnes chacun. Accessoires : 5-6 jalons et 8-10 tags.

Avancement des travaux : 1) les points A et B sont marqués et une ligne droite est accrochée entre eux (voir problème 178) ; 2) poser le ruban le long de la ligne droite fixe et marquer à chaque fois la fin du ruban avec une étiquette. 2ème réception. Mesure, par étapes. La classe est divisée en liens de trois personnes chacun. Chaque élève parcourt la distance de A à B en comptant le nombre de ses pas. En multipliant la longueur moyenne de votre foulée par le nombre de foulées obtenu, vous obtenez la distance de A à B.

3ème réception. Mesure "à l'oeil". Chacun des élèves dessine main gauche avec un pouce levé (Fig. 37) et dirige le pouce vers le poteau au point B (dans la figure - un arbre) de sorte que l'œil gauche (point A), le pouce et le point B soient sur la même ligne droite. Sans changer de position, fermez l'œil gauche et regardez avec le droit le pouce. Le déplacement résultant est mesuré à l'œil nu et augmenté d'un facteur 10. C'est la distance de A à B.

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804. 1) Selon le recensement de 1959, la population de l'URSS était de 208,8 millions de personnes, et population ruraleétait de 9,2 millions de personnes de plus que la ville. Combien y avait-il d'urbains et de ruraux en URSS en 1959 ?

2) Selon le recensement de 1913, la population de la Russie était de 159,2 millions de personnes et la population urbaine était inférieure de 103,0 millions à la population rurale. Combien y avait-il de population urbaine et rurale en Russie en 1913 ?

805. 1) La longueur du fil est de 24,5 m. Ce fil a été coupé en deux parties de sorte que la première partie soit 6,8 m de plus que la seconde. Combien de mètres fait chaque partie ?

2) La somme de deux nombres est 100,05. Un nombre est 97,06 plus grand que l'autre. Trouvez ces nombres.

806. 1) Dans trois entrepôts de charbon, il y a 8656,2 tonnes de charbon, dans le deuxième entrepôt, il y a 247,3 tonnes de charbon de plus qu'au premier, et au troisième 50,8 tonnes de plus qu'au second. Combien de tonnes de charbon y a-t-il dans chaque entrepôt ?

2) La somme de trois nombres est 446.73. Le premier nombre est 73,17 de moins que le deuxième et 32,22 de plus que le troisième. Trouvez ces nombres.

807. 1) Le bateau longeait le fleuve à une vitesse de 14,5 km/h, et à contre-courant à une vitesse de 9,5 km/h. Quelle est la vitesse du bateau en eau calme et quelle est la vitesse du débit de la rivière ?

2) Le paquebot a parcouru en 4 heures le cours du fleuve 85,6 km, et à contre-courant en 3 heures 46,2 km. Quelle est la vitesse du bateau à vapeur en eau calme et quelle est la vitesse du débit de la rivière ?

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808. 1) Deux paquebots ont livré 3 500 tonnes de fret et un paquebot a livré 1,5 fois plus de fret que l'autre. Quelle quantité de cargaison chaque bateau à vapeur a-t-il livré ?

2) La superficie de deux pièces est de 37,2 m². m. La superficie d'une pièce est 2 fois plus grande que l'autre. Quelle est la superficie de chaque pièce ?

809. 1) À partir de deux agglomérations distantes de 32,4 km, un motocycliste et un cycliste se sont simultanément dirigés l'un vers l'autre. Combien de kilomètres chacun d'eux parcourra-t-il avant le meeting si la vitesse du motocycliste est 4 fois supérieure à la vitesse du cycliste ?

2) Trouvez deux nombres dont la somme est 26,35 et le quotient de la division d'un nombre par un autre est 7,5.

810. 1) L'usine a expédié trois types de cargaison d'un poids total de 19,2 tonnes. Le poids de la cargaison du premier type était trois fois le poids de la cargaison du deuxième type et le poids de la cargaison du troisième type était la moitié du poids de la cargaison des premier et deuxième types ensemble. Quel est le poids de chaque type de cargaison ?

2) En trois mois, une équipe de mineurs a produit 52 500 tonnes minerai de fer... En mars, il a été extrait 1,3 fois, en février 1,2 fois plus qu'en janvier. Combien de minerai l'équipe a-t-elle extrait chaque mois ?

811. 1) Le gazoduc Saratov-Moscou est plus long de 672 km que le canal de Moscou. Trouvez la longueur des deux structures si la longueur du gazoduc est 6,25 fois la longueur du canal de Moscou.

2) La longueur de la rivière Don est 3,934 fois la longueur de la rivière Moscou. Trouvez la longueur de chaque rivière si la longueur du Don est plus longue de 1 467 km que celle de Moscou.

812. 1) La différence de deux nombres est de 5,2 et le quotient de la division d'un nombre par un autre est de 5. Trouve ces nombres.

2) La différence de deux nombres est de 0,96 et leur quotient est de 1,2. Trouvez ces nombres.

813. 1) Un nombre est inférieur de 0,3 à l'autre et en représente 0,75. Trouvez ces nombres.

2) Un nombre est 3,9 de plus qu'un autre nombre. Si le plus petit nombre est doublé, alors ce sera 0,5 du plus grand. Trouvez ces nombres.

814. 1) Le kolkhoze a semé 2600 hectares de terre en blé et seigle. Combien d'hectares de terre ont été ensemencés en blé et combien de seigle, si 0,8 de la superficie ensemencée en blé est égal à 0,5 de la superficie ensemencée en seigle ?

2) La collection des deux garçons fait 660 timbres ensemble. De combien de timbres se compose la collection de chaque garçon si 0,5 du nombre de timbres du premier garçon est égal à 0,6 du nombre de timbres de la collection du deuxième garçon ?

815. Deux étudiants avaient ensemble 5,4 roubles. Une fois que le premier a dépensé 0,75 de son argent et le second 0,8 de son argent, ils ont toujours des quantités d'argent égales. De combien d'argent chaque élève disposait-il ?

816. 1) Deux paquebots partis l'un vers l'autre de deux ports dont la distance est de 501,9 km. Combien de temps leur faudra-t-il pour se rencontrer, si la vitesse du premier bateau à vapeur est de 25,5 km/h et la vitesse du second de 22,3 km/h ?

2) Deux trains sont partis pour se rencontrer à partir de deux points dont la distance entre eux est de 382,2 km. Combien de temps leur faudra-t-il pour se rencontrer, si la vitesse moyenne du premier train était de 52,8 km/h et celle du second de 56,4 km/h ?

817. 1) De deux villes dont la distance est de 462 km, deux voitures sont parties en même temps et se sont rencontrées en 3,5 heures. Trouvez la vitesse de chaque voiture si la vitesse de la première voiture était de 12 km/h de plus que la vitesse de la deuxième voiture.

2) Des deux colonies, dont la distance est de 63 km, en même temps un motocycliste et un cycliste se sont dirigés l'un vers l'autre et se sont rencontrés en 1,2 heure. Trouvez la vitesse du motocycliste si le cycliste roulait à une vitesse de 27,5 km/h inférieure à la vitesse du motocycliste.

818. L'élève a remarqué que le train, composé d'une locomotive à vapeur et de 40 voitures, est passé à côté de lui pendant 35 secondes. Déterminez la vitesse du train par heure, si la longueur de la locomotive est de 18,5 m et la longueur de la voiture est de 6,2 m (donnez la réponse avec une précision de 1 km par heure.)

819. 1) Un cycliste a quitté A à B avec une vitesse moyenne de 12,4 km par heure. Après 3 heures 15 minutes. un autre cycliste a quitté B pour le rejoindre à une vitesse moyenne de 10,8 km/h. Dans combien d'heures et à quelle distance de A vont-ils se rencontrer, si 0,32 distances entre A et B sont égales à 76 km ?

2) Depuis les villes A et B, dont la distance est de 164,7 km, un camion de la ville A et une voiture particulière de la ville B se sont rapprochés l'un de l'autre. La vitesse d'un camion est de 36 km et celle d'une voiture particulière est de 1,25 fois plus élevé. La voiture particulière est partie 1,2 heures plus tard que le camion. Combien de temps cela prendra-t-il et à quelle distance de la ville B une voiture de tourisme rencontrera-t-elle un camion ?

820. Deux paquebots quittent le même port en même temps et vont dans la même direction. Le premier vapeur parcourt 37,5 km toutes les 1,5 heures, et le second parcourt 45 km toutes les 2 heures. Combien de temps faudra-t-il pour que le premier paquebot soit à 10 km du second ?

821. Un piéton a d'abord quitté un point, et 1h30 après sa sortie, un cycliste est parti dans la même direction. À quelle distance du point le cycliste a-t-il rattrapé le piéton si celui-ci marchait à une vitesse de 4,25 km/h et que le cycliste roulait à une vitesse de 17 km/h ?

822. Le train a quitté Moscou pour Leningrad à 6 heures. 10 minutes. matin et marchait à une vitesse moyenne de 50 km n heure. Plus tard, un avion de passagers a décollé de Moscou à Leningrad et s'est rendu à Leningrad en même temps que l'arrivée du train. La vitesse moyenne de l'avion était de 325 km/h et la distance entre Moscou et Leningrad était de 650 km. Quand l'avion a-t-il décollé de Moscou ?

823. Le paquebot a longé le fleuve pendant 5 heures, et à contre-courant pendant 3 heures et n'a parcouru que 165 km. Combien de kilomètres a-t-il parcouru avec le courant et combien à contre-courant, si la vitesse du débit de la rivière est de 2,5 km par heure ?

824. Le train est parti de A et doit arriver à B à une certaine heure ; après avoir parcouru la moitié du chemin et parcouru 0,8 km en 1 minute, le train a été arrêté pendant 0,25 heure ; en augmentant encore la vitesse de 100 m en 1 million, le train est arrivé à B à l'heure. Trouvez la distance entre A et B.

825. De la ferme collective à la ville 23 km. De la ville à la ferme collective, un facteur a fait du vélo à une vitesse de 12,5 km/h. 0,4 heure plus tard, la ferme collective IW de la ville a conduit un fermier collectif à cheval à une vitesse qui était au début de 0,6 la vitesse d'un facteur. Combien de temps après son départ le kolkhozien rencontrera-t-il le facteur ?

826. De la ville A à la ville B, distante de 234 km de A, une voiture roulait à une vitesse de 32 km/h. 1,75 heure après cela, la deuxième voiture a quitté la ville B en direction de la première, dont la vitesse est 1,225 fois supérieure à la vitesse de la première. Combien d'heures après son départ la deuxième voiture rencontrera la première

827. 1) Une dactylo peut retaper un manuscrit en 1,6 heure et une autre en 2,5 heures. Combien de temps faudra-t-il aux deux dactylographes pour retaper ce manuscrit, en travaillant ensemble ? (Arrondissez la réponse à 0,1 heure près.)

2) La piscine est remplie de deux pompes puissance différente... La première pompe, fonctionnant seule, peut remplir la piscine en 3,2 heures, et la seconde en 4 heures. Combien de temps faudra-t-il pour remplir la piscine lorsque ces pompes fonctionnent en même temps ? (Arrondissez la réponse au 0,1 le plus proche.)

828. 1) Une équipe peut terminer une commande en 8 jours. Un autre prend 0,5 temps pour terminer cette commande en premier. La troisième équipe peut exécuter cette commande en 5 jours. Combien de jours l'ensemble de la commande sera-t-il terminé lorsque travailler ensemble trois brigades ? (Arrondissez la réponse au 0,1 jour le plus proche.)

2) Le premier travailleur peut terminer une commande en 4 heures, le second 1,25 fois plus vite et le troisième en 5 heures. Combien d'heures une commande prendra-t-elle lorsque trois ouvriers travaillent ensemble ? (Arrondissez la réponse à 0,1 heure près.)

829. Deux voitures travaillent au nettoyage de la rue. Le premier d'entre eux peut nettoyer toute la rue en 40 minutes, le second prend 75% du temps du premier. Les deux machines ont commencé à fonctionner en même temps. Après avoir travaillé ensemble pendant 0,25 heure, la deuxième machine a cessé de fonctionner. Combien de temps après cela la première machine a-t-elle fini de nettoyer la rue ?

830. 1) Un côté du triangle mesure 2,25 cm, le second est 3,5 cm plus grand que le premier et le troisième est 1,25 cm plus petit que le second. Trouvez le périmètre du triangle.

2) L'un des côtés du triangle mesure 4,5 cm, le deuxième est 1,4 cm plus petit que le premier et le troisième côté est égal à la moitié de la somme des deux premiers côtés. Quel est le périmètre d'un triangle ?

831 ... 1) La base du triangle mesure 4,5 cm et sa hauteur est inférieure de 1,5 cm. Trouvez l'aire d'un triangle.

2) La hauteur du triangle est de 4,25 cm et sa base est 3 fois plus grande. Trouvez l'aire d'un triangle. (Arrondissez la réponse au 0,1 le plus proche.)

832. Trouvez les zones des figures ombrées (Fig. 38).

833. Quelle aire est la plus grande : un rectangle avec des côtés de 5 cm et 4 cm, un carré avec un côté de 4,5 cm, ou un triangle dont la base et la hauteur sont de 6 cm chacun ?

834. La pièce a une longueur de 8,5 m, une largeur de 5,6 m et une hauteur de 2,75 m. La superficie des fenêtres, des portes et des poêles est de 0,1 de la superficie totale des murs de la pièce. De combien de morceaux de papier peint avez-vous besoin pour couvrir cette pièce si le morceau de papier peint mesure 7 m de long et 0,75 m de large ? (Arrondissez la réponse au bloc le plus proche.)

835. Il faut enduire et badigeonner l'extérieur chalet, dont les dimensions sont : longueur 12 m, largeur 8 m et hauteur 4,5 m.La maison a 7 fenêtres mesurant 0,75 mx 1,2 m chacune et 2 portes chacune de 0,75 mx 2,5 m. tous les travaux coûteront si le badigeonnage et le plâtrage sont 1 m² m est 24 kopecks.? (Arrondissez la réponse au rouble le plus proche.)

836. Calculez la surface et le volume de votre pièce. Trouvez les dimensions de la pièce en mesurant.

837. Le potager a la forme d'un rectangle dont la longueur est de 32 m, la largeur de 10 m. 0,05 de toute la surface du jardin est planté de carottes et le reste du jardin est planté de pommes de terre et oignons, et la zone est 7 fois plus grande que les oignons avec des pommes de terre. Quelle est la superficie plantée individuellement de pommes de terre, d'oignons et de carottes ?

838. Le potager a la forme d'un rectangle dont la longueur est de 30 m et la largeur de 12 m. 0,65 de toute la surface du jardin est planté de pommes de terre et le reste - de carottes et de betteraves, de betteraves planté sur 84 m². m plus que des carottes. Quelle quantité de terre se trouve séparément sous les pommes de terre, les betteraves et les carottes ?

839. 1) La boîte en forme de cube était recouverte de tous côtés de contreplaqué. Quelle quantité de contreplaqué est consommée si le bord du cube mesure 8,2 dm ? (Arrondir la réponse au 0,1 Dm² le plus proche)

2) Quelle quantité de peinture est nécessaire pour peindre un cube avec un bord de 28 cm, si 1 m². cm utiliserez-vous jusqu'à 0,4 g de peinture ? (Répondez en arrondissant au 0,1 kg près.)

840. Longueur d'une billette de fonte ayant une forme parallélépipède rectangle, égal à 24,5 cm, largeur 4,2 cm et hauteur 3,8 cm Combien pèsent 200 ébauches en fonte, si 1 mètre cube. dm de fonte pèse 7,8 kg ? (Arrondissez la réponse au 1 kg près.)

841. 1) La longueur de la boîte (avec couvercle), qui a la forme d'un parallélépipède rectangle, est de 62,4 cm, largeur 40,5 cm, hauteur 30 cm. mètres carrés les planches sont allées à la fabrication d'une boîte, si les déchets de planches représentent 0,2 de la surface, laquelle doit être gainée de planches ? (Arrondissez la réponse au 0,1 m² le plus proche)

2) Le fond et les parois latérales de la fosse, qui a la forme d'un parallélépipède rectangle, doivent être gainées de planches. La fosse mesure 72,5 m de long, 4,6 m de large et 2,2 m de haut Combien de mètres carrés de planches ont été utilisés pour le bordage si les déchets de planches représentent 0,2 de la surface à border ? (Arrondir la réponse au 1 m² le plus proche)

842. 1) La longueur du sous-sol, qui a la forme d'un parallélépipède rectangle, est de 20,5 m, la largeur est de 0,6 de sa longueur et la hauteur est de 3,2 m. Le sous-sol était rempli de pommes de terre sur 0,8 de son volume. Combien de tonnes de pommes de terre peuvent entrer dans le sous-sol si 1 mètre cube de pommes de terre pèse 1,5 tonne ? (Arrondissez la réponse au 1 mètre près.)

2) La longueur du réservoir, qui a la forme d'un parallélépipède rectangle, est de 2,5 m, la largeur est de 0,4 de sa longueur et la hauteur est de 1,4 m. Le réservoir est rempli de kérosène sur 0,6 de son volume. Combien de tonnes de kérosène sont versées dans le réservoir, si le poids du kérosène dans un volume de 1 cu. m vaut 0,9 t ? (Arrondissez la réponse au 0,1 m près.)

843. 1) Combien de temps l'air peut-il être renouvelé dans une pièce de 8,5 m de long, 6 m de large et 3,2 m de haut, si à travers une fenêtre en 1 s. passe 0,1 mètre cube. m d'air ?

2) Calculez le temps qu'il faut pour rafraîchir l'air de votre pièce.

844. Dimensions (modifier) bloc de béton pour la construction des murs sont les suivants : 2,7 mx 1,4 mx 0,5 m Le vide est de 30% du volume du bloc. Combien de mètres cubes de béton faudra-t-il pour fabriquer 100 de ces blocs ?

845. Niveleuse-élévatrice (machine à creuser des fossés) en 8 heures. les travaux font un fossé de 30 cm de large, 34 cm de profondeur et 15 km de long. Combien de pelles sont remplacées par une telle machine si une pelle peut prendre 0,8 cu. m par heure ? (Arrondissez le résultat.)

846. Les bacs en forme de parallélépipède rectangle mesurent 12 m de long et 8 m de large. Dans ce bac, le grain est versé jusqu'à une hauteur de 1,5 m. Afin de savoir combien pèse le grain entier, ils ont pris une boîte de 0,5 m de long, 0,5 m de large et 0,4 m de haut, l'ont rempli de grain et l'ont pesé . Combien pesait le grain dans le silo si le grain dans la caisse pesait 80 kg ?

849. Construisez un diagramme linéaire de la croissance de la population urbaine en URSS, si en 1913 la population urbaine était de 28,1 millions de personnes, en 1926 - 24,7 millions, en 1939 - 56,1 millions et en 1959 - 99, 8 millions de personnes.

850. 1) Faites un devis pour la rénovation de votre salle de classe, si vous avez besoin de blanchir les murs et le plafond, ainsi que de peindre le sol. Les données pour la préparation du devis (la taille de la classe, le coût du blanchiment à la chaux de 1 m², le coût de la peinture du sol de 1 m²) doivent être obtenues auprès du directeur de l'école.

2) Pour planter dans le jardin, l'école a acheté des plants: 30 pommiers à 0,65 roubles. chacun, 50 cerises, 0,4 roubles. chacun, 40 groseilliers pour 0,2 roubles. et 100 buissons de framboises à 0,03 roubles. par buisson. Rédigez une facture pour cet achat comme suit :

RÉPONSES

Cet article est à propos de décimales... Ici, nous traiterons de la notation décimale des nombres fractionnaires, introduirons le concept de fraction décimale et donnerons des exemples de fractions décimales. Ensuite, parlons des chiffres des fractions décimales, donnons les noms des chiffres. Après cela, nous nous concentrerons sur les fractions décimales infinies, disons sur les fractions périodiques et non périodiques. Ensuite, nous listons les principales actions avec des fractions décimales. Enfin, nous allons définir la position des fractions décimales sur le rayon de coordonnées.

Navigation dans les pages.

Notation décimale d'un nombre fractionnaire

Lecture de décimales

Disons quelques mots sur les règles de lecture des fractions décimales.

Les fractions décimales, qui correspondent aux fractions ordinaires régulières, se lisent de la même manière que ces fractions ordinaires, seul "zéro entier" est préalablement ajouté. Par exemple, la fraction décimale 0,12 correspond à la fraction ordinaire 12/100 (lire "douze centièmes"), donc, 0,12 se lit "zéro virgule douze centièmes".

Les fractions décimales, qui correspondent à des nombres fractionnaires, se lisent exactement de la même manière que ces nombres fractionnaires. Par exemple, le nombre décimal 56.002 est un nombre mixte, donc le nombre décimal 56.002 se lit "cinquante-six virgule deux millièmes".

Décimales

Dans la notation des fractions décimales, ainsi que dans la notation des nombres naturels, la signification de chaque chiffre dépend de sa position. En effet, le nombre 3 dans la fraction décimale 0,3 signifie trois dixièmes, dans la fraction décimale 0,0003 - trois dix millièmes, et dans la fraction décimale 30 000 152 - trois dizaines de milliers. On peut donc parler de décimales, ainsi que sur les chiffres des nombres naturels.

Les noms des chiffres des fractions décimales jusqu'à la virgule coïncident complètement avec les noms des chiffres des nombres naturels. Et les noms des chiffres de la fraction décimale après la virgule sont visibles dans le tableau suivant.

Par exemple, en décimal 37.051, le nombre 3 est à la place des dizaines, 7 est à la place des unités, 0 est à la dixième place, 5 est à la centième place, 1 est à la millième place.

Les décimales diffèrent également par ordre de priorité. Si nous passons de chiffre en chiffre de gauche à droite dans la notation décimale, alors nous passerons de SéniorÀ chiffres les moins significatifs... Par exemple, la centième place est plus ancienne que la dixième place et la millionième place est inférieure à la centième place. Dans cette dernière fraction décimale, nous pouvons parler des chiffres les plus significatifs et les moins significatifs. Par exemple, en fraction décimale 604.9387 senior (supérieur) le rang est le rang des centaines, et junior (inférieur)- la catégorie dix-millième.

Pour les fractions décimales, il y a une expansion décimale. Il est similaire à l'expansion en termes de chiffres des nombres naturels. Par exemple, l'expansion décimale de 45,6072 est la suivante : 45,6072 = 40 + 5 + 0,6 + 0,007 + 0,0002. Et les propriétés d'addition à partir du développement d'une fraction décimale par des chiffres permettent de basculer vers d'autres représentations de cette fraction décimale, par exemple, 45,6072 = 45 + 0,6072, ou 45,6072 = 40,6 + 5,007 + 0,0002, ou 45,6072 = 45,0072 + 0,6 .

Décimales finales

Jusqu'à présent, nous n'avons parlé que des fractions décimales, dans lesquelles il y a un nombre fini de chiffres après la virgule. Ces fractions sont appelées fractions décimales finales.

Définition.

Décimales finales- ce sont des fractions décimales dont les enregistrements contiennent un nombre fini de caractères (chiffres).

Voici quelques exemples de fractions décimales finales : 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230 032,45.

Cependant, toutes les fractions communes ne peuvent pas être représentées comme une fraction décimale finale. Par exemple, la fraction 5/13 ne peut pas être remplacée par une fraction égale avec l'un des dénominateurs 10, 100, ..., elle ne peut donc pas être convertie en une fraction décimale finale. Nous en parlerons davantage dans la section de la théorie de la conversion des fractions ordinaires en fractions décimales.

Décimales infinies : fractions périodiques et fractions non périodiques

En écrivant une fraction décimale après la virgule, vous pouvez supposer la possibilité d'un nombre infini de chiffres. Dans ce cas, nous en viendrons à considérer les fractions décimales dites infinies.

Définition.

Fractions décimales infinies- ce sont des fractions décimales, dans l'enregistrement desquelles il y a un nombre infini de chiffres.

Il est clair que nous ne pouvons pas écrire des fractions décimales infinies en entier, par conséquent, elles sont limitées à un certain nombre fini de chiffres après la virgule et mettent une ellipse, indiquant une séquence de chiffres infiniment continue. Voici quelques exemples de fractions décimales infinies : 0.143940932 ..., 3.1415935432 ..., 153.02003004005 ..., 2.111111111 ..., 69.74152152152 ....

Si vous regardez attentivement les deux dernières fractions décimales infinies, alors dans la fraction 2.111111111 ... le nombre 1 qui se répète à l'infini est clairement visible, et dans la fraction 69.74152152152 ..., à partir de la troisième décimale, le groupe de nombres répété 1, 5 et 2 est clairement visible. De telles fractions décimales infinies sont appelées périodiques.

Définition.

Fractions décimales périodiques(ou simplement fractions périodiques) Sont des fractions décimales infinies, dans la notation desquelles, à partir d'une décimale, un chiffre ou un groupe de chiffres est répété à l'infini, ce qui est appelé période fractionnaire.

Par exemple, la période de la fraction périodique 2.111111111 ... est le nombre 1, et la période de la fraction 69.74152152152 ... est un groupe de nombres de la forme 152.

Pour les fractions décimales périodiques infinies, il est accepté forme spéciale enregistrements. Par souci de concision, nous avons convenu d'écrire le point une fois, en le mettant entre parenthèses. Par exemple, la fraction périodique 2.111111111… s'écrit 2, (1), et la fraction périodique 69.74152152152… s'écrit 69.74 (152).

Il convient de noter que différentes périodes peuvent être spécifiées pour la même fraction décimale périodique. Par exemple, la fraction décimale périodique 0,73333 ... peut être considérée comme une fraction 0,7 (3) avec une période de 3, ainsi qu'une fraction 0,7 (33) avec une période de 33, et ainsi de suite 0,7 (333), 0,7 (3333), ... Vous pouvez aussi regarder la fraction périodique 0,73333 ... comme ceci : 0,733 (3), soit 0,73 (333), etc. Ici, afin d'éviter les ambiguïtés et les divergences, nous convenons de considérer le plus court de tous séquences possibles répéter les chiffres et commencer à la position la plus proche de la virgule décimale. C'est-à-dire que la période de la fraction décimale 0,73333 ... sera considérée comme une séquence d'un chiffre 3, et la fréquence commence à partir de la deuxième position après la virgule décimale, c'est-à-dire 0,73333 ... = 0,7 (3). Autre exemple : la fraction périodique 4.7412121212 ... a une période de 12, la fréquence commence à partir du troisième chiffre après la virgule, soit 4.7412121212 ... = 4.74 (12).

Les fractions périodiques décimales infinies sont obtenues en convertissant des fractions ordinaires en fractions décimales dont les dénominateurs contiennent des facteurs premiers autres que 2 et 5.

Ici, il convient de mentionner les fractions périodiques avec une période de 9. Voici des exemples de telles fractions : 6,43 (9), 27, (9). Ces fractions sont une autre notation pour les fractions périodiques avec une période de 0, et il est d'usage de les remplacer par des fractions périodiques avec une période de 0. Pour cela, la période 9 est remplacée par une période 0, et la valeur du prochain rang le plus élevé est augmentée de un. Par exemple, une fraction avec une période de 9 comme 7,24 (9) est remplacée par une fraction périodique avec une période de 0 comme 7,25 (0) ou une fraction décimale finale égale de 7,25. Autre exemple : 4, (9) = 5, (0) = 5. L'égalité d'une fraction de période 9 et de la fraction correspondante de période 0 s'établit facilement après avoir remplacé ces fractions décimales par leurs fractions ordinaires égales.

Enfin, examinons de plus près les fractions décimales infinies, qui ne contiennent pas une séquence de nombres se répétant à l'infini. Ils sont dits non périodiques.

Définition.

Décimales non périodiques(ou simplement fractions non périodiques) Sont des fractions décimales infinies sans point.

Parfois, les fractions non périodiques ont une forme similaire à la forme des fractions périodiques, par exemple, 8.02002000200002… - une fraction non périodique. Dans ces cas, vous devez être particulièrement attentif à remarquer la différence.

Notez que les fractions non périodiques ne peuvent pas être converties en fractions ordinaires, les fractions décimales non périodiques infinies représentent des nombres irrationnels.

Actions décimales

L'une des actions avec des fractions décimales est la comparaison, quatre arithmétiques de base sont également définies actions décimales: addition, soustraction, multiplication et division. Considérons séparément chacune des actions avec des fractions décimales.

Comparaison des décimales repose essentiellement sur la comparaison de fractions communes qui correspondent à des fractions décimales comparées. Cependant, la conversion de fractions décimales en fractions ordinaires est une action plutôt laborieuse, et les fractions non périodiques infinies ne peuvent pas être représentées comme une fraction ordinaire, il est donc pratique d'utiliser une comparaison au niveau du bit des fractions décimales. La comparaison au niveau du bit des fractions décimales est similaire à la comparaison des nombres naturels. Pour des informations plus détaillées, nous vous recommandons d'étudier l'article Comparaison matérielle des fractions décimales, règles, exemples, solutions.

Passons à l'étape suivante - multiplication décimale... La multiplication des fractions décimales finales s'effectue de la même manière que la soustraction des fractions décimales, règles, exemples, solutions de multiplication avec une colonne de nombres naturels. Dans le cas des fractions périodiques, la multiplication peut être réduite à la multiplication de fractions ordinaires. À son tour, la multiplication de fractions décimales non périodiques infinies après leur arrondi est réduite à la multiplication de fractions décimales finies. Nous recommandons pour une étude plus approfondie le matériel de l'article multiplication de fractions décimales, règles, exemples, solutions.

Fractions décimales sur le rayon de coordonnées

Il existe une correspondance biunivoque entre les points et les fractions décimales.

Voyons comment sont construits les points du rayon de coordonnées correspondant à une fraction décimale donnée.

Nous pouvons remplacer les fractions décimales finies et les fractions décimales périodiques infinies par des fractions ordinaires qui leur sont égales, puis construire les fractions ordinaires correspondantes sur le rayon de coordonnées. Par exemple, la fraction décimale 1.4 correspond à la fraction ordinaire 14/10, donc le point de coordonnée 1.4 est éloigné de l'origine dans le sens positif de 14 segments égaux à un dixième de segment unité.

Les fractions décimales peuvent être marquées sur le rayon de coordonnées, à partir de la décomposition de cette fraction décimale en chiffres. Par exemple, supposons que nous ayons besoin de construire un point avec une coordonnée de 16.3007, puisque 16.3007 = 16 + 0.3 + 0.0007, alors vous pouvez arriver à ce point en reportant séquentiellement 16 segments unitaires à partir de l'origine, 3 segments, dont la longueur est égale au dixième d'unité, et 7 segments dont la longueur est le dix millième d'un segment unitaire.

Cette façon de construire Nombres décimaux sur le rayon de coordonnées vous permet de vous rapprocher à votre guise du point correspondant à la fraction décimale infinie.

Parfois, il est possible de tracer avec précision le point correspondant à une fraction décimale infinie. Par exemple, , alors cette fraction décimale infinie 1.41421 ... correspond au point du rayon de coordonnées, distant de l'origine des coordonnées de la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1, un segment unitaire.

Le processus inverse d'obtention d'une fraction décimale correspondant à un point donné sur le rayon de coordonnées est ce qu'on appelle mesure du segment décimal... Voyons comment cela est réalisé.

Soit notre tâche d'aller de l'origine à un point donné de la ligne de coordonnées (ou de s'en approcher à l'infini s'il est impossible d'y entrer). Avec la mesure décimale d'un segment, on peut reporter séquentiellement un nombre quelconque de segments unitaires à partir de l'origine, puis des segments dont la longueur est égale à un dixième d'unité, puis des segments dont la longueur est égale à un centième d'unité, etc. En notant le nombre de segments différés de chaque longueur, nous obtenons une fraction décimale correspondant à un point donné sur le rayon de coordonnées.

Par exemple, pour arriver au point M de la figure ci-dessus, vous devez reporter 1 segment unitaire et 4 segments dont la longueur est égale à un dixième d'unité. Ainsi, le point M correspond à la fraction décimale 1.4.

Il est clair que des fractions décimales infinies correspondent aux points du rayon de coordonnées qui ne peuvent être atteints lors de la mesure décimale.

Bibliographie.

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• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (manuel pour les candidats aux écoles techniques): Manuel. manuel. - M .; Plus haut. shk., 1984.-351 p., ill.

Actions avec fractions. Dans cet article, nous allons analyser des exemples, tout est détaillé avec des explications. Nous considérerons les fractions ordinaires. À l'avenir, nous analyserons les décimales. Je vous recommande de tout regarder et de l'étudier séquentiellement.

1. Somme de fractions, différence de fractions.

Règle : lors de l'addition de fractions à dénominateurs égaux, le résultat est une fraction - dont le dénominateur reste le même, et son numérateur sera égal à la somme des numérateurs des fractions.

Règle: lors du calcul de la différence de fractions avec les mêmes dénominateurs, nous obtenons une fraction - le dénominateur reste le même et le numérateur de la seconde est soustrait du numérateur de la première fraction.

Notation formelle de la somme et de la différence de fractions à dénominateurs égaux :

Exemples (1) :

Il est clair que lorsque des fractions ordinaires sont données, alors tout est simple, mais si mélangé ? Rien de compliqué...

Option 1- vous pouvez les convertir en ordinaires puis les calculer.

Option 2- vous pouvez "travailler" séparément avec les parties entières et fractionnaires.

Exemples (2) :

Encore:

Et si la différence de deux est donnée fractions mélangées et le numérateur de la première fraction sera inférieur au numérateur de la seconde ? Vous pouvez également agir de deux manières.

Exemples (3) :

* Traduit en fractions ordinaires, calculé la différence, converti la fraction incorrecte résultante en une fraction mixte.

* Divisé en parties entières et fractionnaires, obtenu un trois, puis présenté 3 comme la somme de 2 et 1, l'unité étant représentée par 11/11, puis trouvé la différence entre 11/11 et 7/11 et calculé le résultat. Le sens des transformations ci-dessus est de prendre (sélectionner) une unité et de la représenter comme une fraction avec le dénominateur dont nous avons besoin, puis nous pouvons en soustraire une autre de cette fraction.

Un autre exemple:

Conclusion: il existe une approche universelle - pour calculer la somme (différence) de fractions mixtes avec des dénominateurs égaux, vous pouvez toujours les traduire en fractions incorrectes, puis exécuter les mesures nécessaires... Après cela, si nous obtenons une fraction incorrecte, nous la convertissons en une fraction mixte.

Ci-dessus, nous avons examiné des exemples avec des fractions qui ont des dénominateurs égaux. Et si les dénominateurs étaient différents ? Dans ce cas, les fractions sont réduites au même dénominateur et l'action spécifiée est effectuée. Pour changer (transformer) une fraction, la propriété principale d'une fraction est utilisée.

Regardons quelques exemples simples :

Dans ces exemples, nous voyons immédiatement comment l'une des fractions peut être transformée pour obtenir des dénominateurs égaux.

Si nous désignons des manières de réduire les fractions à un dénominateur, alors celle-ci s'appellera MÉTHODE UN.

C'est-à-dire que, tout de suite, lors de l'"évaluation" de la fraction, vous devez estimer si cette approche fonctionnera - nous vérifions si le plus grand dénominateur est divisé par le plus petit. Et s'il est divisé, alors nous effectuons la transformation - nous multiplions le numérateur et le dénominateur de sorte que les dénominateurs des deux fractions deviennent égaux.

Maintenant, regardez ces exemples :

Cette approche ne leur est pas applicable. Il existe également des moyens d'amener des fractions à un dénominateur commun, considérez-les.

Méthode DEUXIÈME.

On multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde, et le numérateur et dénominateur de la seconde fraction par le dénominateur de la première :

* En fait, nous apportons des fractions à la forme lorsque les dénominateurs deviennent égaux. Ensuite, nous utilisons la règle pour ajouter des chemises avec des dénominateurs égaux.

Exemple:

* Cette méthode peut être qualifiée d'universelle et elle fonctionne toujours. Le seul inconvénient est qu'après les calculs, vous pouvez obtenir une fraction qui devra être encore réduite.

Prenons un exemple :

On voit que le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 5 :

Méthode TROISIÈME.

Trouvez le plus petit commun multiple (LCM) des dénominateurs. Ce sera le dénominateur commun. Quel est le nombre? C'est le plus petit nombre naturel divisible par chacun des nombres.

Regardez, voici deux nombres : 3 et 4, il y a beaucoup de nombres qui sont divisibles par eux - ce sont 12, 24, 36, ... Le plus petit d'entre eux est 12. Ou 6 et 15, ils sont divisibles par 30, 60, 90 .... Le plus petit 30. La question est : comment déterminer ce plus petit commun multiple ?

Il existe un algorithme clair, mais souvent cela peut être fait immédiatement sans calculs. Par exemple, selon les exemples ci-dessus (3 et 4, 6 et 15), aucun algorithme n'est nécessaire, nous avons pris de grands nombres (4 et 15) et les avons doublés et avons vu qu'ils sont divisibles par le deuxième nombre, mais des paires de nombres peut être d'autres, par exemple 51 et 119.

Algorithme. Afin de déterminer le plus petit commun multiple de plusieurs nombres, vous devez :

- décomposer chacun des nombres en facteurs PRIMAIRES

- écrire la décomposition de la PLUPART d'entre elles

- multiplier par les facteurs MANQUANTS d'autres nombres

Regardons quelques exemples :

50 et 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

l'expansion d'un plus grand nombre manque un cinq

=> LCM (50.60) = 2 2 ∙ 3 ​​​​∙ 5 ∙ 5 = 300

48 et 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

l'expansion d'un plus grand nombre manque deux et trois

=> LCM (48,72) = 2 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 = 144

* Plus petit commun multiple de deux nombres premierségal à leur produit

Question! Et pourquoi est-il utile de trouver le plus petit commun multiple, car vous pouvez utiliser la deuxième méthode et annuler simplement la fraction résultante ? Oui, vous pouvez, mais ce n'est pas toujours pratique. Regardez quel sera le dénominateur des nombres 48 et 72 si vous les multipliez simplement par 48 ∙ 72 = 3456. Convenez qu'il est plus agréable de travailler avec des nombres plus petits.

Regardons quelques exemples :

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

il manque un triple au développement d'un plus grand nombre

=> LCM (51 119) = 3 7 ∙ 17

Appliquons maintenant la première méthode :

* Regardez la différence dans les calculs, dans le premier cas, il y en a un minimum, et dans le second, vous devez travailler séparément sur un morceau de papier, et même la fraction que vous avez reçue doit être réduite. Trouver le LCM simplifie considérablement le travail.

Plus d'exemples :

* Dans le deuxième exemple, vous pouvez voir que le plus petit nombre divisible par 40 et 60 est 120.

LE TOTAL! ALGORITHME DE CALCUL GÉNÉRAL !

- nous réduisons les fractions à des fractions ordinaires, s'il y a une partie entière.

- on ramène les fractions à un dénominateur commun (on regarde d'abord si un dénominateur est divisé par un autre, s'il est divisé, alors on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette autre fraction ; si elle n'est pas divisée, on agit par l'autre méthodes indiquées ci-dessus).

- ayant reçu des fractions de dénominateurs égaux, nous effectuons des actions (addition, soustraction).

- si nécessaire, nous réduisons le résultat.

- si nécessaire, sélectionnez la partie entière.

2. Produit de fractions.

La règle est simple. Lors de la multiplication de fractions, leurs numérateurs et dénominateurs sont multipliés :

Exemples:

Tâche. 13 tonnes de légumes ont été amenées à la base. Les pommes de terre représentent les ¾ de tous les légumes importés. Combien de kilogrammes de pommes de terre ont été livrés à la base ?

Finissons avec le travail.

* Plus tôt, j'ai promis de vous donner une explication formelle de la propriété de base d'une fraction à travers le produit, s'il vous plaît :

3. Division des fractions.

La division des fractions se réduit à leur multiplication. Il est important de rappeler ici que la fraction qui est le diviseur (celle par laquelle elle est divisée) est inversée et l'action se transforme en multiplication :

Cette action peut être écrite sous la forme d'une fraction dite à quatre étages, car la division ":" elle-même peut également être écrite sous forme de fraction :

Exemples:

C'est tout! Succès à vous !

Meilleures salutations, Alexandre Krutitskikh.