Convertissez les expressions contenant les racines carrées de la règle. Utilisation des propriétés racine lors de la transformation d'expressions irrationnelles, d'exemples, de solutions

Tutoriel vidéo Convertir des expressions contenant une opération d'extraction racine carrée»- une aide visuelle, à l'aide de laquelle il est plus facile pour l'enseignant d'acquérir des compétences et des capacités pour résoudre des problèmes contenant des expressions à racine carrée. Pendant la leçon, il vous est rappelé base théorique, qui servent de base pour effectuer des opérations sur les nombres et les variables disponibles dans l'expression radicale, décrit la solution de nombreux types de problèmes qui peuvent nécessiter la capacité d'utiliser des formules pour transformer des expressions contenant la racine carrée, et donne des méthodes pour se débarrasser d'irrationalité dans le dénominateur d'une fraction.

Le didacticiel vidéo commence par une démonstration du nom du sujet. Il est à noter que plus tôt dans la classe, des transformations d'expressions rationnelles ont été effectuées. Dans ce cas, des informations théoriques sur les monômes et les polynômes, les méthodes de travail avec les polynômes, fractions algébriques, ainsi que des formules de multiplication abrégée. Ce didacticiel vidéo présente l'opération de racine carrée pour transformer des expressions. On rappelle aux élèves les propriétés de l'opération racine carrée. Parmi ces propriétés, il est indiqué qu'après avoir extrait la racine carrée du carré du nombre, le nombre lui-même est obtenu, la racine du produit de deux nombres est égale au produit de deux racines de ces nombres, la racine du quotient de deux nombres est égal au quotient des racines des membres du quotient. La dernière propriété considérée est l'extraction de la racine carrée d'un nombre élevé à une puissance paire √a 2 n, qui par conséquent forme un nombre à la puissance a n. Les propriétés considérées sont valables pour tous les nombres non négatifs.

Des exemples sont considérés dans lesquels des transformations d'expressions contenant la racine carrée sont nécessaires. Il est indiqué que dans ces exemples a et b sont prévus pour des nombres non négatifs. Dans le premier exemple, il faut simplifier les expressions √16a 4 / 9b 4 et √a 2 b 4. Dans le premier cas, on applique la propriété qui détermine que la racine carrée du produit de deux nombres est égale au produit de leurs racines. La conversion donne l'expression ab 2. La deuxième expression utilise la formule pour convertir la racine carrée du quotient en quotient de racines. Le résultat de la transformation est l'expression 4a 2 / 3b 3.

Dans le deuxième exemple, il est nécessaire de supprimer le facteur du signe de la racine carrée. La solution des expressions √81а, √32а 2, √9а 7 b 5 est considérée. En utilisant l'exemple de la transformation de quatre expressions, il est montré comment la formule de transformation de la racine d'un produit de plusieurs nombres est utilisée pour résoudre des problèmes similaires. Dans ce cas, les cas sont notés séparément lorsque les expressions contiennent des coefficients numériques, des paramètres à un degré pair et impair. À la suite de la transformation, nous obtenons les expressions √81а = 9√а, √32а 2 = 4а√2, √9а 7 b 5 = 3а 3 b 2 √ab.

Dans le troisième exemple, il est nécessaire d'effectuer une opération inverse à celle de la tâche précédente. Pour introduire un facteur sous le signe de la racine carrée, vous devez également être capable d'utiliser les formules apprises. Il est proposé dans les expressions 2√2 et 3a√b / √3a d'introduire un facteur devant les parenthèses sous le signe racine. En utilisant des formules bien connues, le facteur devant le signe racine est mis au carré et placé en tant que facteur dans le produit sous le signe racine. Dans la première expression, la conversion aboutit à l'expression √8. La deuxième expression applique d'abord la formule du cheval de produit pour convertir le numérateur, puis la formule du quotient pour convertir l'expression entière. Après avoir annulé le numérateur et le dénominateur dans l'expression radicale, on obtient √3ab.

Dans l'exemple 4, vous devez effectuer des actions dans des expressions (√a + √b) (√a-√b). Pour résoudre cette expression, de nouvelles variables sont introduites qui remplacent les monômes contenant le signe de la racine √a = x et √b = y. après la substitution de nouvelles variables, la possibilité d'utiliser la formule de multiplication abrégée est évidente, après quoi l'expression devient x 2 -y 2. En revenant aux variables d'origine, nous obtenons a-b. La deuxième expression (√a + √b) 2 peut également être convertie en utilisant la formule de multiplication abrégée. Après avoir développé les parenthèses, on obtient le résultat a + 2√ab + b.

Dans l'exemple 5, les expressions 4a-4√ab + b et x√x + 1 sont factorisées. Pour résoudre ce problème, il est nécessaire d'effectuer des transformations, de sélectionner des facteurs communs. Après avoir appliqué les propriétés de la racine carrée pour résoudre la première expression, la somme est convertie en la différence au carré (2√a-√b) 2. Pour résoudre la deuxième expression, il faut entrer un facteur sous la racine devant le signe racine, puis appliquer la formule de la somme des cubes. Le résultat de la transformation est l'expression (√x + 1) (x 2 -√x + 1).

L'exemple 6 montre la solution du problème où vous devez simplifier l'expression (a√a + 3√3) (√a-√3) / ((√a-√3) 2 + √3a). La tâche est résolue en quatre étapes. Dans la première étape, le numérateur est converti en un produit en utilisant la formule de multiplication abrégée, la somme des cubes de deux nombres. Dans la deuxième action, le dénominateur de l'expression est transformé, qui devient a-√3a + 3. Après conversion, il devient possible de réduire la fraction. La dernière étape applique également la formule de multiplication abrégée, qui permet d'obtenir le résultat final a-3.

Dans le septième exemple, vous devez vous débarrasser de la racine carrée dans les dénominateurs des fractions 1 / √2 et 1 / (√3-√2). Lors de la résolution du problème, la propriété principale de la fraction est utilisée. Pour se débarrasser de la racine dans le dénominateur, le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le même numéro, avec laquelle l'expression radicale est carrée. A la suite des calculs, nous obtenons 1 / √2 = √2 / 2 et 1 / (√3-√2) = √3 + √2.

Les caractéristiques du langage mathématique lorsque l'on travaille avec des expressions contenant une racine sont indiquées. Il est à noter que le contenu de la racine carrée dans le dénominateur d'une fraction signifie le contenu de l'irrationalité. Et ils disent de se débarrasser du signe racine dans un dénominateur comme se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur. Des méthodes sont décrites sur la façon de se débarrasser de l'irrationalité - pour convertir le dénominateur de la forme а, il est nécessaire de multiplier le numérateur simultanément avec le dénominateur par le nombre а, et d'éliminer l'irrationalité pour le dénominateur de la forme √а -√b, le numérateur et le dénominateur sont multipliés par l'expression conjuguée √а + √ b. Il est à noter que se débarrasser de l'irrationalité dans un tel dénominateur facilite grandement la solution du problème.

À la fin du didacticiel vidéo, la simplification de l'expression 7 / √7-2/ (√7-√5) + 4 / (√5 + √3) est discutée. Pour simplifier l'expression, les méthodes décrites ci-dessus sont utilisées pour éliminer l'irrationalité dans le dénominateur des fractions. Les expressions résultantes sont ajoutées, après quoi la forme simplifiée de l'expression a la forme √5-2√3.

Il est recommandé d'utiliser la leçon vidéo "Transformer des expressions contenant l'opération d'extraction d'une racine carrée" dans une leçon scolaire traditionnelle pour développer les compétences nécessaires à la résolution de problèmes contenant une racine carrée. Dans le même but, la vidéo peut être utilisée par l'enseignant dans le cadre d'un enseignement à distance. En outre, le matériel peut être recommandé aux étudiants pour travail indépendant Maisons.

Le contenu de cet article doit être considéré comme faisant partie du sujet de la transformation des expressions irrationnelles. Ici, nous utiliserons des exemples pour analyser toutes les subtilités et nuances (dont il y en a beaucoup) qui surviennent lors de la réalisation de transformations basées sur les propriétés des racines.

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Rappeler les propriétés des racines

Dès qu'on va s'occuper de la transformation d'expressions utilisant les propriétés des racines, cela ne fait pas de mal de se souvenir des principales, ou mieux encore, de les noter sur papier et de les placer devant nous.

Tout d'abord, nous étudions les racines carrées et leurs propriétés suivantes (a, b, a 1, a 2, ..., a k sont des nombres réels) :

Et plus tard, le concept de racine est développé, la définition de la racine n-ième est introduite et de telles propriétés sont prises en compte (a, b, a 1, a 2, ..., ak sont des nombres réels, m, n , n 1, n 2, ... , nk - entiers):

Convertir des expressions avec des nombres sous des signes de racine

Comme d'habitude, ils apprennent d'abord à travailler avec des expressions numériques, et ce n'est qu'après cela qu'ils passent aux expressions avec des variables. Nous ferons de même, et nous traiterons d'abord de la transformation expressions irrationnelles contenant sous les signes de racines seulement expressions numériques, et encore plus loin dans la section suivante, nous introduirons des variables sous les signes de racines.

Comment cela peut-il être utilisé pour transformer des expressions ? C'est très simple : par exemple, on peut remplacer une expression irrationnelle par une expression ou vice versa. Autrement dit, si l'expression en cours de conversion contient une expression qui correspond à la forme de l'expression du côté gauche (droit) de l'une des propriétés répertoriées des racines, elle peut être remplacée par l'expression correspondante du côté droit (gauche) côté. C'est la transformation des expressions en utilisant les propriétés des racines.

Voici d'autres exemples.

Simplifions l'expression ... Les nombres 3, 5 et 7 sont positifs, nous pouvons donc appliquer en toute sécurité les propriétés des racines. Ici, vous pouvez agir de différentes manières. Par exemple, une racine basée sur une propriété peut être représentée comme et une racine utilisant une propriété avec k = 3 - comment, avec cette approche, la solution ressemblera à ceci :

On aurait pu agir différemment, en remplaçant par, et plus loin par, dans ce cas la solution ressemblerait à ceci :

D'autres solutions sont possibles, par exemple celle-ci :

Regardons la solution d'un autre exemple. Transformons l'expression. Après avoir regardé la liste des propriétés des racines, nous en sélectionnons les propriétés dont nous avons besoin pour résoudre l'exemple, il est clair que deux d'entre elles sont utiles ici et, qui sont valables pour tout a. On a:

Alternativement, au début, il était possible de convertir des expressions sous les signes de racines en utilisant

puis appliquer les propriétés des racines

Jusqu'à présent, nous avons transformé des expressions qui ne contiennent que des racines carrées. Il est temps de travailler avec des racines qui ont des indicateurs différents.

Exemple.

Convertir une expression irrationnelle .

Solution.

Par propriété le premier facteur du produit donné peut être remplacé par le nombre −2 :

Vas-y. Le deuxième facteur en vertu de la propriété peut être représenté comme, et cela ne fera pas de mal de remplacer 81 par une puissance quadruple de triple, puisque dans les facteurs restants sous les signes des racines, le nombre 3 apparaît :

Il convient de remplacer la racine de la fraction par la relation des racines de la forme, qui peut encore être transformée : ... On a

L'expression résultante après avoir effectué des actions avec deux prendra la forme , et il reste à transformer le produit des racines.

Pour transformer les produits de racines, ils sont généralement réduits à un seul indicateur, pour lequel il convient de prendre des indicateurs de toutes les racines. Dans notre cas, le LCM (12, 6, 12) = 12, et seule la racine devra être réduite à cet indicateur, puisque les deux autres racines ont déjà cet indicateur. Faire face à cette tâche permet l'égalité, qui est appliquée de droite à gauche. Alors ... Compte tenu de ce résultat, nous avons

Maintenant le produit des racines peut être remplacé par la racine du produit et le reste, déjà évident, des transformations peuvent être effectuées :

arrangeons-nous version courte solutions:

Réponse:

.

Séparément, nous soulignons que pour appliquer les propriétés des racines, il est nécessaire de prendre en compte les restrictions imposées aux nombres sous les signes des racines (a≥0, etc.). Les ignorer peut provoquer des résultats incorrects. Par exemple, nous savons que la propriété est vraie pour a non négatif. Sur cette base, nous pouvons passer en toute sécurité, par exemple, de à, puisque 8 est un nombre positif. Mais si nous prenons une racine significative d'un nombre négatif, par exemple, et, sur la base de la propriété ci-dessus, la remplaçons par, alors nous remplaçons réellement -2 par 2. En effet, un. C'est-à-dire que pour a négatif, l'égalité peut être fausse, tout comme d'autres propriétés des racines peuvent être fausses sans tenir compte des conditions stipulées pour elles.

Mais ce qui a été dit dans le paragraphe précédent ne signifie pas du tout que les expressions avec des nombres négatifs sous les signes des racines ne peuvent pas être transformées en utilisant les propriétés des racines. Il suffit de les "préparer" d'abord en appliquant les règles d'action avec les nombres ou en utilisant la définition d'une racine impaire d'un nombre négatif, ce qui correspond à l'égalité , où −a est un nombre négatif (tandis que a est positif). Par exemple, il ne peut pas être immédiatement remplacé par, puisque -2 et -3 sont nombres négatifs, mais nous permet d'aller de la racine à, puis d'appliquer la propriété de la racine du produit : ... Et dans l'un des exemples précédents, il n'était pas nécessaire d'aller de racine en racine du dix-huitième degré. et donc .

Ainsi, pour transformer des expressions en utilisant les propriétés des racines, vous avez besoin

• sélectionner propriété convenable de la liste,
• assurez-vous que les nombres sous la racine satisfont aux conditions de la propriété sélectionnée (sinon, vous devez effectuer des conversions préliminaires),
• et réaliser la transformation envisagée.

Transformer des expressions avec des variables sous des signes de racine

Pour transformer des expressions irrationnelles contenant non seulement des nombres, mais aussi des variables sous le signe racine, les propriétés des racines énumérées dans le premier paragraphe de cet article doivent être appliquées avec soin. Ceci est principalement dû aux conditions que doivent remplir les nombres participant aux formules. Par exemple, en fonction de la formule, l'expression peut être remplacée par une expression uniquement pour les valeurs de x qui satisfont aux conditions x≥0 et x + 1≥0, car la formule spécifiée est spécifiée pour a≥0 et b 0.

Pourquoi est-il dangereux d'ignorer ces conditions ? L'exemple suivant illustre la réponse à cette question. Disons que nous devons calculer la valeur d'une expression à x = −2. Si nous substituons immédiatement le nombre −2 au lieu de la variable x, alors nous obtenons la valeur dont nous avons besoin ... Et maintenant, imaginons que nous ayons, pour une raison quelconque, converti l'expression donnée sous la forme, et seulement après cela, nous avons décidé de calculer la valeur. Remplacez -2 par x et arrivez à l'expression ce qui n'a pas de sens.

Voyons ce qu'il advient de la plage de valeurs valides (ADV) de la variable x lorsque nous passons d'une expression à l'autre. Nous n'avons pas mentionné l'ODZ par hasard, car c'est un outil sérieux pour contrôler l'admissibilité des transformations effectuées, et changer l'ODZ après avoir transformé l'expression devrait au moins alerter. Il n'est pas difficile de trouver l'ODZ pour les expressions spécifiées. Pour exprimer l'ODV est déterminé à partir de l'inégalité x · (x + 1) ≥0, sa solution donne l'ensemble numérique (−∞, −1] ∪∪)