Racine algébrique : pour ceux qui veulent en savoir plus.

Établissement d'enseignement du gouvernement municipal - école secondaire numéro 31
Résumé du cours de biologie, 6e année
Enseignante : Purtova E.V., enseignante de biologie, classe 1
2012, Sredneuralsk
Pourquoi une plante a-t-elle besoin d'une racine ?
Tâches:
1. Poursuivre la formation des connaissances sur les caractéristiques nutritionnelles de l'organisme végétal.
2. Familiariser les élèves avec les fonctions de la racine.
3. Développer la capacité de travailler en groupe, de faire des discours ; travailler avec du texte (trouver des réponses aux questions, informer les autres); expliquer les résultats des expériences.
4. Pour former la capacité de comparer des objets, d'analyser des informations, de tirer des conclusions, d'argumenter votre point de vue.
5. Montrer pertinence pratique connaissance de la structure et du fonctionnement de la plante.
6. Contribuer à la formation d'une pensée écologique, en présentant les plantes comme un groupe d'organismes qui jouent un rôle global dans la vie d'autres organismes vivants, incl. et une personne.
Pendant les cours.
Mise à jour des connaissances.
Sur la table d'exposition - farine, sarrasin, thé, jus, etc.
Conversation:
Pourquoi une personne a-t-elle besoin de ces produits alimentaires ? (dont une personne reçoit nutriments- protéines, lipides, glucides - pour grandir, bouger, etc.)
Quelle est l'origine de ces aliments ? De quoi sont-ils faits? (en répondant, des herbiers ou des photographies de plantes sont affichés)
Pour vivre, les humains et les animaux ont besoin d'énergie, qu'ils reçoivent de nutriments déjà créés par quelqu'un (plantes ou autres animaux). Et les plantes elles-mêmes créent des substances organiques à partir de substances inorganiques. Vous vous souvenez du nom de ce processus ? (photosynthèse)
Dans quelles parties des plantes la photosynthèse a-t-elle lieu ?
Quels sont les noms des organites cellulaires dans lesquels la photosynthèse a lieu ? (chloroplastes)
Qu'est-ce qui se forme à la suite de la photosynthèse? Comment la plante utilise-t-elle la matière organique qu'elle crée ?
A partir de quelles substances le glucose se forme-t-il dans une plante ?
D'où vient le dioxyde de carbone ?
D'où provient l'eau?

Formulation du problème.
Ou la racine peut-elle exécuter d'autres fonctions ?
(écouter les réponses, écrire les messages clés au tableau)
Comment pouvez-vous tester vos hypothèses?
(étudier la littérature, mettre en place des expériences, considérer des objets naturels)
Sujet de la leçon : Pourquoi une plante a-t-elle besoin d'une racine ?
Apprentissage de nouveau matériel.
Travail en groupe de 4 personnes. Répartition des rôles dans le groupe, réalisation des tâches en (5-7 minutes). La discussion des résultats :
Numéro de groupe Conclusion principale
1 Les racines fournissent de l'eau à la plante
2 Les racines stockent les nutriments
3 Les racines stockent les nutriments
4 Les racines maintiennent la plante dans le sol
5 Les racines absorbent les minéraux
Quelles sont les fonctions de la racine chez les plantes ? (maintient la plante dans le sol, absorbe l'eau et les minéraux, stocke les nutriments)
Éducation physique.
Chaque enfant reçoit un morceau de la phrase sur du papier d'une certaine couleur. Vous devez écrire ces phrases au tableau.
Le résultat au tableau est :
- maintient la plante dans le sol
- aspire l'eau avec des minéraux
- stocke les nutriments.
Ces enregistrements (les fonctions principales de la racine) sont la réponse à la question problématique. Les élèves les copient dans un cahier.
Sécurisation du matériel.
Connaissez-vous le nom d'Ivan Andreevich Krylov ? (fabuliste russe).
Il a une fable appelée Feuilles et racines.
Par une belle journée d'été
Jetant une ombre à travers la vallée
Des feuilles sur l'arbre avec des guimauves chuchotaient,
Ils se vantaient de leur densité
Et voici comment les guimauves ont été interprétées à leur sujet :
« N'est-il pas vrai que nous sommes la beauté de toute la vallée ?
Que notre arbre est si magnifique et frisé,
Vaste et majestueux ?
Qu'y aurait-il dedans sans nous ? Eh bien, d'accord,
Nous pouvons nous louer sans péché !
Nous ne sommes pas de la chaleur du berger
Et abriter le vagabond à l'ombre fraîche ?
Nous ne sommes pas notre beauté
Attirons-nous des bergères pour danser ici ?
Nous avons la même aube tôt et tard
Le rossignol siffle.
Oui, vous guimauves vous-même
Ne se séparent presque jamais de nous."
"Vous pourriez dire merci ici et à nous",
Une voix leur répondit humblement depuis le sol.
« Qui ose parler avec tant d'impudence et d'arrogance !
Qui es-tu là,
Pourquoi hardiment commencé à compter avec nous? "
Les draps, bruissant contre le bois, chuchotaient.
Qui est entré dans la conversation avec les feuilles?
Que pensez-vous que les racines pourraient dire à la plante?
"Nous sommes les seuls"
Ils ont répondu ci-dessous :
« Qui, ici en train de fouiller dans le noir,
Nous vous nourrissons. Ne savez-vous vraiment pas?
Nous sommes les racines de l'arbre sur lequel vous fleurissez.
Montrez-vous dans une bonne heure!
Souviens-toi juste de la différence entre nous,
Qu'avec le nouveau printemps une nouvelle feuille naîtra ;
Et si la racine se dessèche, -
Il n'y aura pas d'arbre, pas toi."
Les racines ont-elles répondu correctement aux feuilles ? Pourquoi?
Une plante est un organisme vivant dans lequel toutes ses parties (organes) sont interconnectées. Dans les feuilles, des substances organiques (nutritives) se forment, qui sont envoyées le long de la tige à tous les organes de la plante, à chacune de ses cellules, et peuvent même être stockées dans les fruits, les graines, les racines. La racine apporte les minéraux nécessaires à la croissance et de l'eau à la formation matière organique... Le fonctionnement de chaque organe d'une plante dépend de la sensation ressentie par la plante entière.
Quelles sont les raisons pour lesquelles une plante peut avoir des feuilles, des racines ou une tige endommagées ? Comment pensez-vous que la plante se sent?
Essayez de décrire cette situation et d'exprimer les sentiments de la plante. Vous pouvez inventer une histoire avec une fin heureuse. L'histoire peut être racontée du point de vue de la plante elle-même. Ce sera votre devoir.
Devoirs.
Lire le paragraphe. Connaître les fonctions de la racine. Rédigez un essai (facultatif).
Quiz.
Expliquez le sens des proverbes : - Ils sèment du pain pour les nouveaux, portent du fumier pour les anciens.
- Sans racine et l'absinthe ne pousse pas
- Qui veut vaincre les mauvaises herbes doit se battre avec des racines.
2. Quelles fonctions les racines peuvent-elles remplir dans les plantes ?
3. Dans quel but les engrais sont-ils appliqués au sol ?
4. Dans quelles plantes cultivées une personne utilise-t-elle la racine pour se nourrir ? Comment s'appellent ces racines ?
Littérature:
1. Biologie : Plantes. Bactéries. Champignons. Lichens : un manuel pour les élèves de 6e année les établissements d'enseignement./ Éd. prof. I. N. Ponomareva. - M. : Ventana-Graf2. Un livre à lire sur la biologie : Plantes : Pour les élèves de 6e à 7e année / Comp. DI. Traitak. - M. : Éducation, 1996.

Applications.
№ 1.
Examinez les données du tableau.
La plus grande profondeur d'occurrence des systèmes racinaires
Nom de la plante Profondeur, m Oxalis 0,05
Pissenlit 0.3
Blé 2.8
Cactus 6 - 8
épine de chameau 20
Quelle plante a la racine la plus longue ?
Où pousse cette plante ?
Pourquoi est-il si profondément enraciné dans la terre ?
№ 2.
Rappelez-vous comment vous pouvez distinguer le fruit des autres parties de la plante ?
Dans l'ensemble proposé, sélectionnez des fruits et des racines modifiées - des plantes-racines.
Quelles plantes ont des racines transformées en plantes-racines ?
En quoi les légumes-racines sont-ils différents des racines ordinaires ?
Quelle est la fonction de telles racines ?
Répartissez les rôles dans le groupe :
1 personne lit la tâche
1 personne s'assure que chacun participe à son tour à la discussion des réponses aux questions
1 personne répondra aux questions devant la classe
1 personne maintient l'ordre dans le groupe (pour que tout le monde s'écoute, ne parle pas trop fort, n'interrompe pas et n'interfère pas avec le travail des autres groupes)
№ 3.
Lisez le texte et répondez aux questions.
Carotte.
Le légume racine juteux et charnu des carottes est très nutritif car il contient un grand nombre de sucre, ainsi que diverses substances nécessaires au corps humain.
Les plantes-racines sont riches en une substance spéciale - le carotène, qui dans le corps se transforme en vitamine A, nécessaire à la croissance et au bon développement du corps.La vitamine A augmente également la résistance du corps humain à diverses maladies.
La carotte est une plante bisannuelle. Au cours de la première année, une rosette de feuilles luxuriantes s'étendant à partir d'une tige raccourcie se développe et des nutriments de rechange sont déposés dans la plante-racine. La deuxième année, le tubercule expulse une tige qui atteint un mètre de hauteur. Des inflorescences - des parapluies complexes - se développent dessus.
Des questions:
Combien d'années vivent les carottes ?
Qu'est-ce qui se forme au cours de la première année de vie de la carotte? A la seconde ?
Quelles substances sont déposées dans les plantes-racines?
Pourquoi certaines plantes produisent-elles des racines ?
№ 5.
Deux boutures de même longueur, avec le même nombre de feuilles (6 chacune) ont été placées dans un verre d'eau. Un verre a été ajouté à l'eau engrais minéraux(« Installation expérimentale »), dans l'autre non (« Installation de contrôle »).
Considérez ces plantes, comparez-les.
Laquelle de ces plantes est la plus grande ? Lequel a plus de feuilles et un système racinaire mieux développé ?
Quelle plante poussait mieux - qui recevait des engrais minéraux, ou qui poussait dans l'eau plate ?
Comment les minéraux sont-ils entrés dans la plante ?
Quel rôle joue la racine dans la vie végétale ?

On sait que la racine peut être trouvée dans les plantes et les dents, mais quelle est la racine d'un mot en russe ? Vous pouvez comprendre cela en utilisant un exemple de la nature.

Les élèves de CE1 peuvent d'abord se poser la question : pourquoi une fleur a-t-elle besoin d'une racine ? C'est la base, le support, le noyau, quelque chose sans lequel il ne peut pas vivre. Ainsi, dans la langue russe, les mots ont une base qui constitue leur sens.

Définition de la racine d'un mot en ligne

Qu'est-ce qu'une racine en russe

Pour en revenir au sujet, nous pouvons en déduire une définition : une racine est une partie importante d'un mot qui unit des mots apparentés, leur dénominateur commun, qui contient sens principal... Si les mots ont une racine, ils sont une racine.

Vous devez savoir qu'il existe des racines qui s'écrivent à l'identique, mais qui ont sens différent... Afin de mettre en évidence le morphème considéré, un arc doit être tracé sur le mot de la première à la dernière lettre de la racine.

Comment déterminer la racine d'un mot

Comment reconnaître la relation des mots et déterminer qu'ils ont une base unique ? Vous devez choisir un mot et lui trouver autant de « parents » que possible.

Dans ce cas, la règle principale est que la racine commune doit montrer le même sens des mots. C'est-à-dire qu'il sera possible d'expliquer ces mots en utilisant une racine. Par exemple: miel, gâteau au miel, hydromel, miel.

Le mot n'en a pas forcément une, deux racines sont aussi possibles. De tels mots sont appelés "complexes" et ils ne sont pas difficiles à reconnaître parmi d'autres ( cascade, résistant au gel). Les racines peuvent interagir non seulement avec d'autres parties du mot, mais aussi séparément.

Par exemple : racine -mettre dans les mots mots d'adieu, passage supérieur présenté avec les préfixes, les suffixes, les terminaisons et le mot manière est déjà indépendant.

Déterminer la racine d'un mot en ligne

Sur des sites spéciaux, une analyse composée du mot est effectuée, ce qui signifie qu'il ne sera pas difficile de déterminer la racine d'un mot en ligne.

Trouve analyse détaillée et la description des morphèmes de la plupart des mots de langue russe est possible sur Internet sur de nombreuses ressources, par exemple :

• http://udarenieru.ru/index.php?word=on&morph_word=online - accent.ru;
• http://wikislovo.ru/morphemic/ - wikislovo.ru;
• http://morphemeonline.ru/O/online - morphemeonline.ru et autres.

Partout, il suffit d'introduire le mot requis, et le programme fera tout pour vous. Une telle aide est parfois très utile, mais la racine est généralement facile à isoler par vous-même.

Ceci est enseigné aux enfants dans école primaire, à savoir en 2e année, et avec une explication correcte, la capacité de mettre en évidence la base d'un mot est généralement fermement préservée pendant de nombreuses années.

Exemples de recherche de la racine dans les mots

À titre d'exemple, faisons une analyse de morphème. Pour déterminer quelle est la racine du mot, nous sélectionnons des mots qui lui sont liés.

Après cela, le morphème dont nous avons besoin deviendra probablement évident :

Champ - champs, champ, poteau, campagnol, Chistopol. Racine -Paul, la fin e.

Plus - la majorité, gros, bolchevik, gros. Racine - super, suffixe e.

Verdure - vert, verdure, marchand de légumes, verdure, vert, vert. Racine -légumes verts, zéro fin.

Autour - cercle, cercle, quartiers, environs, rond, circulaire. Racine - cercle, préfixe - dans.

Écrire - écrire, écrire, écrire, écrire, écrire. Racine -pis, suffixe -une, la fin -e.

Eau - plan d'eau, cascade, algues, hydropisie, aquatique, aquatique, sauvagine, aquifère. Racine -l'eau, la fin -une.

Court - court, loin, raccourci, poil court, poil court. Racine -court, la fin e.

À l'aise - à l'aise, à l'aise, à l'aise, à volonté. Préfixe -à, racine -vol, suffixes -n et -O.

Le leur - le leur, le leur, le leur, le leur, leur propre volonté. Ici, le mot se compose de deux racines -Douane et -leur, il y a zéro suffixe et fin.

Lourd - dur, lourd, dur, litige, lourdeur. Racine - lourd, suffixe - mangé, la fin - e.

Afin de ne pas vous perdre dans ce sujet, envisagez un autre point important: dans les racines, des sons alternés sont autorisés. Par exemple, les voyelles : brillant - brillant. Les voyelles peuvent être fluides : lin - lin. Les consonnes: jeune - jeune.

Conclusion

A quoi sert une racine en russe ? On voit que ça veut dire beaucoup pour un mot - ça aide à comprendre son origine, son sens - du point de vue du vocabulaire, pour vérifier l'orthographe.

A la recherche de la racine, on comprend que le mot n'est pas né de lui-même, mais il semble avoir une famille, toute une armée de proches. L'étude de ce sujet vous aidera à mieux comprendre comment les mots sont formés et à élargir votre vocabulaire.

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Félicitations : aujourd'hui, nous allons examiner les racines - l'un des sujets les plus cérébraux de la 8e année. :)

Beaucoup de gens sont confus au sujet des racines, non pas parce qu'elles sont complexes (ce qui est si difficile - quelques définitions et quelques propriétés), mais parce que dans la plupart des manuels scolaires, les racines sont déterminées à travers une telle jungle que seuls les auteurs des les manuels eux-mêmes peuvent comprendre ce gribouillage. Et même alors seulement avec une bouteille de bon whisky. :)

Par conséquent, je vais maintenant donner la définition la plus correcte et la plus compétente de la racine - la seule dont vous devriez vraiment vous souvenir. Et alors seulement j'expliquerai : pourquoi tout cela est nécessaire et comment l'appliquer dans la pratique.

Mais d'abord, rappelez-vous un point important que, pour une raison quelconque, de nombreux compilateurs de manuels "oublient":

Les racines peuvent être de degré pair (notre $ \ sqrt (a) $ préféré, ainsi que toutes sortes de $ \ sqrt (a) $ et même $ \ sqrt (a) $) et de degrés impairs (toutes sortes de $ \ sqrt (a) $, $ \ sqrt (a) $ etc.). Et la définition d'une racine de degré impair est quelque peu différente d'une racine paire.

Ici, dans ce putain de "quelque peu différent" caché, probablement 95% de toutes les erreurs et malentendus liés aux racines. Par conséquent, traitons la terminologie une fois pour toutes :

Définition. Même racine m de $ à $ est quelconque non négatif un nombre $ b $ tel que $ ((b) ^ (n)) = a $. Et la racine impaire du même nombre $ a $ est généralement tout nombre $ b $ pour lequel la même égalité est vraie : $ ((b) ^ (n)) = a $.

Dans tous les cas, la racine est indiquée comme ceci :

\ (une) \]

Le nombre $ n $ dans un tel enregistrement est appelé exposant de la racine et le nombre $ a $ est appelé expression radicale. En particulier, pour $ n = 2 $ nous obtenons notre racine carrée "préférée" (en passant, c'est une racine paire), et pour $ n = 3 $ - cubique (degré impair), qui se retrouve aussi souvent dans les problèmes et équations.

Exemples. Exemples classiques racines carrées:

\ [\ begin (aligner) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ carré (256) = 16. \\ \ fin (aligner) \]

Soit dit en passant, $ \ sqrt (0) = 0 $ et $ \ sqrt (1) = 1 $. C'est assez logique, puisque $ ((0) ^ (2)) = 0 $ et $ ((1) ^ (2)) = 1 $.

Les racines cubiques sont également courantes - n'ayez pas peur d'elles :

\ [\ begin (align) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7. \\ \ fin (aligner) \]

Eh bien, et quelques "exemples exotiques":

\ [\ begin (align) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ fin (aligner) \]

Si vous ne comprenez pas quelle est la différence entre un degré pair et un degré impair, relisez la définition. Il est très important!

En attendant, nous examinerons une caractéristique désagréable des racines, à cause de laquelle nous avons dû introduire une définition distincte pour les indicateurs pairs et impairs.

Pourquoi avons-nous besoin de racines?

Après avoir lu la définition, de nombreux élèves demanderont : « Qu'est-ce que les mathématiciens ont fumé lorsqu'ils ont trouvé ça ? » En effet : pourquoi avons-nous besoin de toutes ces racines ?

Pour répondre à cette question, revenons un instant aux années du primaire. Souvenez-vous : à une époque lointaine, où les arbres étaient plus verts et les boulettes plus savoureuses, notre principale préoccupation était de multiplier les nombres correctement. Eh bien, quelque chose comme "cinq sur cinq - vingt-cinq", c'est tout. Mais vous pouvez multiplier les nombres non pas par paires, mais par des triples, des quatre et, en général, des ensembles entiers :

\ [\ begin (align) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ fin (aligner) \]

Cependant, ce n'est pas le sujet. L'astuce est différente : les mathématiciens sont des paresseux, ils ont donc dû écrire la multiplication de dix cinq comme ceci :

Alors ils ont proposé des diplômes. Pourquoi ne pas exposer le nombre de facteurs au lieu d'une longue chaîne ? Comme ça:

C'est très pratique ! Tous les calculs sont parfois réduits et vous n'avez pas besoin de gaspiller un tas de feuilles de blocs-notes en parchemin pour en écrire 5 183. Un tel record s'appelait le degré d'un nombre, ils y ont trouvé un tas de propriétés, mais le bonheur a été de courte durée.

Après une énorme beuverie, organisée à peu près sur la "découverte" des degrés, un mathématicien particulièrement têtu a soudainement demandé : "Et si nous connaissions le degré d'un nombre, mais que nous ne connaissions pas le nombre lui-même ?" Or, en effet, si l'on sait qu'un certain nombre $ b $, par exemple, à la puissance 5 donne 243, alors comment peut-on deviner à quoi est égal le nombre $ b $ ?

Ce problème s'est avéré beaucoup plus global qu'il n'y paraît à première vue. Parce qu'il s'est avéré qu'il n'y a pas de tels nombres « initiaux » pour la plupart des degrés « prêts ». Jugez par vous-même :

\ [\ begin (align) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Rightarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Rightarrow b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Rightarrow b = 4. \\ \ fin (aligner) \]

Et si $ ((b) ^ (3)) = 50 $ ? Il s'avère que vous devez trouver un certain nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, nous donnera 50. Mais quel est ce nombre ? Il est nettement supérieur à 3, puisque 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. C'est. ce nombre se situe quelque part entre trois et quatre, mais à quoi il est égal - des figues, vous comprendrez.

C'est pour cela que les mathématiciens ont inventé les racines du $ n $ -ième degré. C'est pourquoi le symbole radical $ \ sqrt (*) $ a été introduit. Pour désigner le nombre même $ b $, qui, au degré spécifié, nous donnera une valeur préalablement connue

\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Rightarrow ((b) ^ (n)) = a \]

Je ne discute pas : ces racines sont souvent facilement comptées - nous avons vu plusieurs exemples de ce type ci-dessus. Mais encore, dans la plupart des cas, si vous devinez un nombre arbitraire, puis essayez d'en extraire une racine arbitraire, vous êtes dans une cruelle déception.

Qu'est-ce qu'il y a ! Même le $ \ sqrt (2) $ le plus simple et le plus familier ne peut pas être représenté sous notre forme habituelle - comme un entier ou une fraction. Et si vous tapez ce nombre dans une calculatrice, vous verrez ceci :

\ [\ sqrt (2) = 1.414213562 ... \]

Comme vous pouvez le voir, après la virgule, il y a une suite infinie de nombres qui n'obéissent à aucune logique. Vous pouvez, bien sûr, arrondir ce nombre afin de comparer rapidement avec d'autres nombres. Par exemple:

\ [\ sqrt (2) = 1,4142 ... \ environ 1,4 \ lt 1,5 \]

Ou voici un autre exemple :

\ [\ sqrt (3) = 1.73205 ... \ environ 1.7 \ gt 1.5 \]

Mais tous ces arrondis, d'abord, sont assez grossiers ; et deuxièmement, vous devez également être capable de travailler avec des valeurs approximatives, sinon vous pouvez attraper un tas d'erreurs non évidentes (d'ailleurs, la compétence de comparaison et d'arrondi est obligatoirement vérifiée lors de l'examen de profil).

Par conséquent, en mathématiques sérieuses, vous ne pouvez pas vous passer de racines - ce sont les mêmes représentants égaux de l'ensemble de tous les nombres réels $ \ mathbb (R) $, ainsi que des fractions et des nombres entiers qui nous sont depuis longtemps familiers.

L'impossibilité de représenter une racine comme une fraction de la forme $ \ frac (p) (q) $ signifie que cette racine n'est pas nombre rationnel... De tels nombres sont appelés irrationnels et ne peuvent être représentés avec précision qu'à l'aide d'un radical ou d'autres constructions spécialement conçues (logarithmes, degrés, limites, etc.). Mais plus à ce sujet une autre fois.

Considérez quelques exemples où, après tous les calculs, des nombres irrationnels resteront toujours dans la réponse.

\ [\ begin (align) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ approx 2 236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32 )) = \ sqrt (-2) \ approx -1.2599 ... \\ \ end (align) \]

Naturellement, selon apparence root, il est presque impossible de deviner quels nombres viendront après la virgule décimale. Cependant, vous pouvez compter sur une calculatrice, mais même la calculatrice de date la plus parfaite ne nous donne que les premiers chiffres d'un nombre irrationnel. Par conséquent, il est beaucoup plus correct d'écrire les réponses sous la forme $ \ sqrt (5) $ et $ \ sqrt (-2) $.

C'est pourquoi ils ont été inventés. Pour enregistrer facilement vos réponses.

Pourquoi deux définitions sont-elles nécessaires ?

Le lecteur attentif a probablement déjà remarqué que toutes les racines carrées données dans les exemples sont dérivées de nombres positifs. Eh bien, en dernier recours à partir de zéro. Mais les racines cubiques sont extraites calmement d'absolument n'importe quel nombre - qu'il soit positif ou négatif.

Pourquoi ça arrive ? Regardez le graphique de la fonction $ y = ((x) ^ (2)) $ :

Le tracé d'une fonction quadratique donne deux racines : positive et négative

Essayons de calculer $ \ sqrt (4) $ en utilisant ce graphique. Pour cela, une ligne horizontale $ y = 4 $ est tracée sur la carte (marquée en rouge), qui coupe la parabole en deux points : $ ((x) _ (1)) = 2 $ et $ ((x) _ (2)) = -2 $. C'est assez logique puisque

Tout est clair avec le premier nombre - il est positif, donc c'est la racine :

Mais alors que faire du deuxième point ? Comme si les quatre avaient deux racines à la fois ? Après tout, si on carré le nombre −2, on obtient aussi 4. Pourquoi ne pas écrire $ \ sqrt (4) = - 2 $ ? Et pourquoi les professeurs regardent-ils de tels disques comme s'ils voulaient vous dévorer ? :)

Le problème, c'est que si vous n'imposez aucun conditions additionnelles, alors les quatre auront deux racines carrées - positive et négative. Et tout nombre positif en aura également deux. Mais les nombres négatifs n'auront aucune racine - cela peut être vu sur le même graphique, car la parabole ne tombe jamais en dessous de l'axe oui, c'est à dire. n'accepte pas les valeurs négatives.

Un problème similaire se produit pour toutes les racines avec un exposant pair :

1. A strictement parler, chaque nombre positif aura deux racines avec un exposant pair $ n $ ;
2. A partir de nombres négatifs, la racine avec $ n $ pair n'est pas extraite du tout.

C'est pourquoi dans la définition de la racine d'une puissance paire de $ n $ il est spécialement stipulé que la réponse doit être un nombre non négatif. C'est ainsi que nous nous débarrassons de l'ambiguïté.

Mais pour les $ n $ impairs, ce problème n'existe pas. Pour le vérifier, regardons le graphe de la fonction $ y = ((x) ^ (3)) $ :

La parabole cubique prend toutes les valeurs, donc racine cubique extrait de n'importe quel nombre

Deux conclusions peuvent être tirées de ce graphique :

1. Les branches d'une parabole cubique, contrairement à l'habituelle, vont à l'infini dans les deux sens - vers le haut et vers le bas. Par conséquent, quelle que soit la hauteur à laquelle nous traçons une ligne horizontale, cette ligne croisera nécessairement notre graphique. Par conséquent, la racine cubique peut toujours être extraite d'absolument n'importe quel nombre ;
2. De plus, une telle intersection sera toujours la seule, il n'est donc pas nécessaire de penser à quel nombre considérer la racine "correcte", et laquelle marquer. C'est pourquoi la définition des racines pour un degré impair est plus simple que pour un degré pair (il n'y a pas d'exigence de non-négativité).

Il est dommage que ces choses simples ne soient pas expliquées dans la plupart des manuels. Au lieu de cela, le cerveau commence à flotter vers nous avec toutes sortes de racines arithmétiques et leurs propriétés.

Oui, je ne discute pas: qu'est-ce qu'une racine arithmétique - vous devez également le savoir. Et je couvrirai cela en détail dans un tutoriel séparé. Aujourd'hui, nous en parlerons également, car sans cela, toutes les réflexions sur les racines de la multiplicité $ n $ -ème seraient incomplètes.

Mais vous devez d'abord comprendre clairement la définition que j'ai donnée ci-dessus. Sinon, en raison de l'abondance des termes, un tel gâchis commencera dans votre tête qu'à la fin vous ne comprendrez rien du tout.

Tout ce que vous avez à faire est de comprendre la différence entre les indicateurs pairs et impairs. Alors encore une fois, rassemblons tout ce que vous devez vraiment savoir sur les racines :

1. Une racine paire n'existe qu'à partir d'un nombre non négatif et est elle-même toujours un nombre non négatif. Pour les nombres négatifs, une telle racine n'est pas définie.
2. Mais la racine d'un degré impair existe à partir de n'importe quel nombre et elle-même peut être n'importe quel nombre : pour les nombres positifs, elle est positive, et pour les nombres négatifs, comme l'indique le plafond, négative.

C'est difficile? Non, pas difficile. Dégager? Oui, en général, c'est évident ! Alors maintenant, nous allons pratiquer quelques calculs.

Propriétés de base et limitations

Les racines ont de nombreuses propriétés et limitations étranges - il y aura une leçon séparée à ce sujet. Par conséquent, nous ne considérerons maintenant que le "truc" le plus important, qui ne s'applique qu'aux racines avec un exposant pair. Écrivons cette propriété sous la forme d'une formule :

\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ gauche | x \ à droite | \]

En d'autres termes, si vous élevez un nombre à une puissance paire, puis en extrayez la racine de la même puissance, nous obtenons non pas le nombre d'origine, mais son module. ce théorème simple, ce qui est facile à prouver (il suffit de considérer séparément les $ x $ non négatifs, puis séparément - les négatifs). Les enseignants en parlent constamment, ils le donnent dans tous les manuels scolaires. Mais dès qu'il s'agit d'une solution équations irrationnelles(c'est-à-dire des équations contenant le signe radical), les élèves oublient amicalement cette formule.

Pour comprendre la question en détail, oublions une minute toutes les formules et essayons de compter deux nombres d'emblée :

\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ left (-3 \ right)) ^ (4))) =? \]

C'est très exemples simples... Le premier exemple sera résolu par la plupart des gens, mais sur le second, beaucoup resteront. Pour résoudre de telles conneries sans problème, tenez toujours compte de l'ordre des actions :

1. Tout d'abord, le nombre est élevé à la quatrième puissance. Eh bien, c'est assez facile. Vous obtiendrez un nouveau nombre, qui peut être trouvé même dans la table de multiplication ;
2. Et maintenant, à partir de ce nouveau nombre, il faut extraire la quatrième racine. Celles. aucune "réduction" des racines et des degrés ne se produit - ce sont des actions séquentielles.

On travaille avec la première expression : $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Évidemment, vous devez d'abord calculer l'expression sous la racine :

\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]

Puis on extrait la quatrième racine du nombre 81 :

Faisons maintenant la même chose avec la deuxième expression. Tout d'abord, nous élevons le nombre -3 à la puissance quatrième, pour laquelle nous devons le multiplier par lui-même 4 fois :

\ [((\gauche (-3\droite)) ^ (4)) =\gauche (-3\droite)\cdot\gauche (-3\droite)\cdot\gauche (-3\droite)\cdot\ gauche (-3 \ droite) = 81 \]

Nous avons un nombre positif car montant total il y a 4 moins dans le travail, et ils seront tous mutuellement détruits (après tout, un moins par un moins donne un plus). Ensuite, nous extrayons à nouveau la racine :

En principe, cette ligne n'aurait pas pu être écrite, car il va de soi que la réponse sera la même. Celles. une racine paire de la même puissance paire « brûle » les moins, et en ce sens le résultat est indiscernable du module habituel :

\ [\ begin (align) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ left | 3 \ droite | = 3; \\ & \ sqrt (((\ gauche (-3 \ droite)) ^ (4))) = \ gauche | -3 \ à droite | = 3. \\ \ fin (aligner) \]

Ces calculs sont en bon accord avec la définition d'une racine paire : le résultat est toujours non négatif, et même sous le signe radical il n'y a toujours pas un nombre négatif... Sinon, la racine n'est pas définie.

Note de procédure

1. La notation $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ signifie que nous aurons d'abord le carré du nombre $ a $, puis que nous extrairons la racine carrée de la valeur résultante. Par conséquent, nous pouvons être sûrs qu'un nombre non négatif se trouve toujours sous le signe racine, puisque $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ dans tous les cas;
2. Mais l'enregistrement $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $, au contraire, signifie que nous extrayons d'abord la racine d'un certain nombre $ a $ et ensuite seulement carré le résultat. Par conséquent, le nombre $ a $ ne peut en aucun cas être négatif - il est exigence obligatoire dans la définition.

Ainsi, vous ne devez en aucun cas réduire inconsidérément les racines et les degrés, prétendument ainsi "simplifier" l'expression originale. Parce que s'il y a un nombre négatif sous la racine et que son exposant est pair, nous avons un tas de problèmes.

Cependant, tous ces problèmes ne sont pertinents que pour les indicateurs pairs.

Supprimer le signe moins du signe racine

Naturellement, les racines avec des indicateurs impairs ont aussi leur propre compteur, qui, en principe, n'existe pas pour les paires. À savoir:

\ [\ carré (-a) = - \ carré (a) \]

Bref, vous pouvez sortir le moins sous le signe des racines d'un degré impair. C'est très propriété utile, ce qui vous permet de "jeter" tous les inconvénients :

\ [\ begin (align) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ left (- \ sqrt (32) \ right) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ fin (aligner) \]

Cette propriété simple simplifie grandement de nombreux calculs. Maintenant, il n'y a pas lieu de s'inquiéter : que se passe-t-il si une expression négative s'est glissée sous la racine et que le degré à la racine s'avère être pair ? Il suffit de "jeter" tous les inconvénients en dehors des racines, après quoi ils peuvent être multipliés les uns par les autres, divisés et généralement faire beaucoup de choses suspectes qui, dans le cas des racines "classiques", sont garanties de nous conduire à une erreur.

Et ici une autre définition entre en jeu - celle-là même avec laquelle la plupart des écoles commencent à étudier expressions irrationnelles... Et sans quoi notre raisonnement serait incomplet. S'il vous plaît bienvenue!

Racine arithmétique

Supposons un instant qu'il ne puisse y avoir que des nombres positifs sous le signe racine, ou au plus zéro. Oublions les indicateurs pairs/impairs, oublions toutes les définitions données ci-dessus - nous ne travaillerons qu'avec des nombres non négatifs. Quoi alors ?

Et puis nous obtenons la racine arithmétique - elle chevauche partiellement nos définitions "standard", mais en diffère toujours.

Définition. Une racine arithmétique du $ n $ ième degré d'un nombre non négatif $ a $ est un nombre non négatif $ b $ tel que $ ((b) ^ (n)) = a $.

Comme vous pouvez le voir, nous ne sommes plus intéressés par la parité. Au lieu de cela, une nouvelle restriction est apparue : expression racine est maintenant toujours non négatif, et la racine elle-même est également non négative.

Pour mieux comprendre en quoi la racine arithmétique diffère de la racine habituelle, jetez un œil aux graphiques de parabole carrée et cubique déjà familiers :

Zone de recherche de racine arithmétique - nombres non négatifs

Comme vous pouvez le voir, à partir de maintenant, nous ne nous intéressons qu'aux parties des graphiques situées dans le premier quart de coordonnées - où les coordonnées $ x $ et $ y $ sont positives (ou au moins nulles). Plus besoin de regarder l'indicateur pour comprendre si on a le droit d'enraciner un nombre négatif ou non. Parce que les nombres négatifs ne sont plus considérés en principe.

Vous pouvez demander : « Eh bien, pourquoi avons-nous besoin d'une telle définition castrée ? » Ou : « Pourquoi ne pouvez-vous pas vous en tirer avec la définition standard donnée ci-dessus ? »

Eh bien, je donnerai juste une propriété, à cause de laquelle la nouvelle définition devient appropriée. Par exemple, la règle d'exponentiation est :

\ [\ carré [n] (a) = \ carré (((a) ^ (k))) \]

Veuillez noter : nous pouvons élever l'expression radicale à n'importe quelle puissance et en même temps multiplier l'exposant racine par la même puissance - et le résultat sera le même nombre ! Voici quelques exemples:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ fin (aligner) \]

Alors, quel est le problème ? Pourquoi n'aurions-nous pas pu le faire plus tôt ? Voici pourquoi. Considérons une expression simple : $ \ sqrt (-2) $ - ce nombre est tout à fait normal dans notre compréhension classique, mais absolument inacceptable du point de vue de la racine arithmétique. Essayons de le transformer :

$ \ begin (align) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ left (-2 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ end (align) $

Comme vous pouvez le voir, dans le premier cas, nous avons retiré le moins sous le radical (nous avons tous les droits, puisque l'indicateur est impair), et dans le second, nous avons utilisé la formule ci-dessus. Celles. du point de vue des mathématiques, tout se fait selon les règles.

WTF ?! Comment un même nombre peut-il être à la fois positif et négatif ? Certainement pas. C'est juste que la formule d'exponentiation, qui fonctionne très bien pour les nombres positifs et zéro, commence à être une hérésie lorsqu'il s'agit de nombres négatifs.

Afin de se débarrasser d'une telle ambiguïté, ils ont proposé des racines arithmétiques. Une grande leçon séparée leur est consacrée, où nous examinons en détail toutes leurs propriétés. Alors maintenant, nous ne nous attarderons pas sur eux - la leçon s'est déjà avérée trop longue.

Racine algébrique : pour ceux qui veulent en savoir plus

J'ai longtemps pensé s'il fallait mettre ce sujet dans un paragraphe séparé ou non. Finalement, j'ai décidé de partir d'ici. Ce materiel destiné à ceux qui veulent encore mieux comprendre les racines - non pas au niveau "scolaire" moyen, mais à un niveau proche du niveau de l'Olympiade.

Donc : en plus de la définition "classique" de la racine du $ n $ -ième degré d'un nombre et de la division associée en indicateurs pairs et impairs, il existe une définition plus "adulte" qui ne dépend pas de la parité et autre subtilités du tout. C'est ce qu'on appelle une racine algébrique.

Définition. La racine algébrique du $ n $ ième degré de tout $ a $ est l'ensemble de tous les nombres $ b $ tels que $ ((b) ^ (n)) = a $. Il n'y a pas de désignation bien établie pour de telles racines, nous mettons donc juste un tiret dessus :

\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ left \ (b \ left | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ right. \ right \) \]

La différence fondamentale avec Définition standard, donnée au début de la leçon, est qu'une racine algébrique n'est pas un nombre spécifique, mais un ensemble. Et comme on travaille avec des nombres réels, il n'y a que trois types de cet ensemble :

1. Ensemble vide. Se produit lorsqu'il est nécessaire de trouver une racine algébrique d'un degré pair à partir d'un nombre négatif ;
2. Un ensemble constitué d'un seul élément. Toutes les racines de degrés impairs, ainsi que les racines de degrés pairs à partir de zéro, entrent dans cette catégorie ;
3. Enfin, l'ensemble peut comprendre deux nombres - le même $ ((x) _ (1)) $ et $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, que nous avons vu sur la fonction quadratique du graphe. En conséquence, un tel alignement n'est possible que lors de l'extraction d'une racine paire à partir d'un nombre positif.

Ce dernier cas mérite un examen plus approfondi. Comptons quelques exemples pour comprendre la différence.

Exemple. Évaluer les expressions :

\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]

Solution. La première expression est simple :

\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ left \ (2; -2 \ right \) \]

Ce sont deux nombres qui composent l'ensemble. Parce que chacun d'eux dans le carré donne un quatre.

\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ left \ (-3 \ right \) \]

Ici, nous voyons un ensemble composé d'un seul nombre. C'est assez logique, puisque l'exposant racine est impair.

Enfin, la dernière expression :

\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]

Eu ensemble vide... Parce qu'il n'y a pas un seul nombre réel qui, lorsqu'il est élevé au quatrième (c'est-à-dire pair !) Degré, nous donnera un nombre négatif −16.

Remarque finale. Attention : ce n'est pas par hasard que j'ai remarqué partout que l'on travaille avec des nombres réels. Parce qu'il y a aussi des nombres complexes - il est tout à fait possible de calculer $ \ sqrt (-16) $, et bien d'autres choses étranges.

Cependant, dans la modernité cours d'école les nombres complexes ne sont presque jamais rencontrés en mathématiques. Ils ont été supprimés de la plupart des manuels scolaires parce que nos responsables considèrent ce sujet « trop difficile à comprendre ».