Décomposition de la racine carrée en facteurs : insertion et suppression. Solution d'équations quadratiques, formule de racines, exemples

En 8e année, les écoliers des cours de mathématiques se familiarisent avec un concept tel que «radical» ou, tout simplement, «racine». Dans le même temps, ils ont d'abord rencontré un problème tel que la simplification des radicaux complexes. Les radicaux composés sont des expressions dans lesquelles une racine est sous une autre. Par conséquent, ils sont parfois aussi appelés radicaux imbriqués. Dans cet article, un tuteur en mathématiques et physique explique en détail comment comment simplifier un radical complexe.

Méthodes de simplification des radicaux complexes

Simplifier un radical complexe signifie se débarrasser de la racine externe. Il est préférable de commencer l'étude de ce sujet en simplifiant les radicaux doubles. Après tout, si nous apprenons à simplifier les radicaux doubles, nous pouvons également gérer des radicaux plus complexes.

Comment se débarrasser de la racine externe ? Il est clair que pour cela, vous devez transformer l'expression racine, en la présentant comme un carré complet. Pour ce faire, nous utilisons la formule bien connue "Carré de la différence":

Ici, comme vous pouvez le voir, le terme négatif a un multiplicateur à droite. Par conséquent, sous la racine, obtenons ce multiplicateur. Pour ce faire, nous représentons sous forme de produit sur :

Puis et . Il ne reste plus qu'à faire attention au fait que . Maintenant vous pouvez voir que sous la racine nous avons le carré de la différence :

Maintenant, on s'en souvient. C'est le module. Ceci est très important ici car Racine carrée est un nombre positif. Alors on obtient :

Eh bien, puisque title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="21" width="61" style="vertical-align: -3px;">, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:!}

Juste comme ça, nous avons réussi à simplifier ce radical. Mais il y a plus cas difficiles, lorsqu'il n'est pas immédiatement possible de deviner comment représenter l'expression radicale comme un carré plein. Par exemple, dans l'exemple suivant.

Afin de ne pas vous casser la tête pendant longtemps, vous pouvez utiliser la méthode suivante.

Je vous rappelle que notre but est de représenter l'expression sous la racine comme un carré parfait. Plus précisément dans cet exemple sous forme de somme au carré :

Eh bien, le carré de la somme se révèle selon la formule bien connue, que nous avons déjà écrite aujourd'hui :

Donc, l'idée, en fait, c'est de prendre la part irrationnelle expression radicale, et pour - rationnel. On obtient alors le système d'équations suivant :

Il est clair que et Sinon, la deuxième équation du système n'est pas satisfaite. Ensuite, nous exprimons le coefficient de la deuxième équation :

Le dénominateur de cette fraction n'est pas égal à zéro, donc son numérateur est égal à zéro. Nous obtenons une équation biquadratique, qui est résolue de manière standard (pour plus de détails, voir la vidéo jointe). En le résolvant, nous obtenons jusqu'à 4 racines. Vous pouvez en prendre n'importe lequel. Je l'aime plus. Puis . Donc, on obtient finalement :

Voici une façon de simplifier un radical complexe. Il y en a un de plus. Pour ceux qui aiment mémoriser des formules complexes, ce que je ne suis pas. Mais pour l'exhaustivité de la description, je vais en parler aussi.

Formule de radicaux complexes

Voici à quoi ressemble la formule :

Assez effrayant, n'est-ce pas? Mais n'ayez crainte, il peut en effet être appliqué avec succès dans certains cas. Regardons un exemple :

Remplacez les valeurs correspondantes dans la formule :

Voici la réponse.

Donc, aujourd'hui en classe, j'ai parlé de la façon de simplifier un radical complexe. Si vous ne connaissiez pas les méthodes discutées aujourd'hui, vous avez probablement encore besoin d'apprendre beaucoup pour vous sentir en confiance lors de l'examen ou de l'examen d'entrée en mathématiques. Mais ne vous inquiétez pas, je peux vous apprendre tout cela. Toutes les informations nécessaires sur mes cours sont sur. Bonne chance à toi!

Préparé par Sergey Valerievich

À première vue, il peut sembler que la procédure de factorisation d'une racine carrée en facteurs est complexe et imprenable. Mais ce n'est pas. Dans cet article, nous allons vous montrer comment approcher la racine carrée et les facteurs, et comment étendre facilement et simplement la racine carrée en utilisant deux méthodes éprouvées.

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Factorisation de la racine

Pour commencer, nous définissons le but de la procédure de factorisation de la racine carrée en facteurs. Cibler- simplifier la racine carrée et l'écrire sous une forme pratique pour les calculs.

Définition 1

Décomposition d'une racine carrée en facteurs - trouver deux nombres ou plus qui, s'ils sont multipliés l'un par l'autre, donneront un nombre égal à celui d'origine. Par exemple : 4×4 = 16.

Si vous pouvez trouver les facteurs, vous pouvez facilement simplifier ou éliminer l'expression de la racine carrée :

Exemple 1

Divisez le nombre racine par 2 s'il est pair.

Le nombre racine doit toujours être divisé par des nombres premiers, car toute valeur d'un nombre premier peut être factorisée en facteurs premiers. Si tu as nombre impair, puis essayez de le diviser par 3. Non divisible par 3 ? Diviser davantage par 5, 7, 9, etc.

Écrivez l'expression comme la racine du produit de deux nombres.

Par exemple, vous pouvez simplifier 98 de cette façon : = 98 ÷ 2 = 49 . Il en découle que 2 × 49 = 98 , on peut donc réécrire le problème comme suit : 98 = (2 × 49) .

Continuez à développer les nombres jusqu'à ce que le produit de deux reste sous la racine mêmes numéros et d'autres numéros.

Prenons notre exemple (2 × 49) :

Puisque 2 est déjà simplifié au maximum, nous devons simplifier 49 . Nous cherchons un nombre premier par lequel 49 peut être divisé. Évidemment, ni 3 ni 5 ajustements. Il en reste 7 : 49 ÷ 7 = 7 , donc 7 × 7 = 49 .

Nous écrivons l'exemple sous la forme suivante : (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .

Simplifiez l'expression de la racine carrée.

Puisque nous avons entre parenthèses le produit de 2 et de deux nombres identiques (7), nous pouvons alors retirer le nombre 7 du signe racine.

Exemple 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7(2) .

Au moment où il y a deux nombres identiques sous la racine, arrêtez de factoriser les nombres. Bien sûr, si vous avez utilisé toutes les possibilités au maximum.

Rappelez-vous : il y a des racines qui peuvent être simplifiées plusieurs fois.

Dans ce cas, les nombres que nous retirons sous la racine et les nombres qui se tiennent devant elle sont multipliés.

Exemple 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

mais 45 peut être factorisé et la racine simplifiée une fois de plus.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Lorsqu'il est impossible d'obtenir deux nombres identiques sous le signe racine, cela signifie qu'une telle racine ne peut pas être simplifiée.

Si, après décomposition de l'expression radicale en un produit nombres premiers, vous n'avez pas réussi à obtenir deux nombres identiques, alors une telle racine ne peut pas être simplifiée.

Exemple 4

70 = 35 × 2, donc 70 = (35 × 2)

35 = 7 x 5 donc (35 x 2) = (7 x 5 x 2)

Comme vous pouvez le voir, les trois facteurs sont des nombres premiers qui ne peuvent pas être factorisés. Il n'y a pas de nombres identiques entre eux, il n'est donc pas possible de retirer un entier sous la racine. Simplifier 70 c'est interdit.

carré plein

Mémorisez quelques carrés de nombres premiers.

Le carré d'un nombre s'obtient en le multipliant par lui-même, c'est-à-dire lors de la mise au carré. Si vous mémorisez une douzaine de carrés de nombres premiers, cela vous simplifiera grandement la vie en simplifiant davantage les racines.

Exemple 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

S'il y a un carré plein sous le signe de la racine carrée, cela vaut la peine de supprimer le signe de la racine et d'écrire la racine carrée de ce carré plein.

Compliqué? Pas:

Exemple 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Essayez de décomposer le nombre sous le signe racine en le produit d'un carré plein et d'un autre nombre.

Si vous voyez que l'expression racine est décomposée en produit d'un carré complet et d'un certain nombre, alors en vous souvenant de quelques exemples, vous économiserez considérablement du temps et des nerfs :

Exemple 7

50 = (25 × 2) = 5 2 . Si le nombre racine se termine par 25, 50 ou 75, vous pouvez toujours le factoriser en le produit de 25 et d'un autre nombre.

1700 \u003d (100 × 17) \u003d 10 17. Si le nombre racine se termine par 00, vous pouvez toujours le décomposer en le produit de 100 et d'un certain nombre.

72 = (9 × 8) = 3 8 . Si la somme des chiffres d'un nombre racine est 9, vous pouvez toujours le décomposer en le produit de 9 et d'un certain nombre.

Essayez de décomposer le nombre racine en produit de plusieurs carrés pleins : sortez-les de sous le signe racine et multipliez.

Exemple 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

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Nous continuons à étudier le sujet solution d'équations". Nous nous sommes déjà familiarisés avec les équations linéaires et maintenant nous allons nous familiariser avec équations du second degré.

Dans un premier temps, nous allons analyser ce qu'est une équation quadratique, comment elle s'écrit vue générale, et donner les définitions associées. Après cela, à l'aide d'exemples, nous analyserons en détail comment les équations quadratiques incomplètes sont résolues. Passons à la solution. équations complètes, nous obtenons la formule des racines, nous familiarisons avec le discriminant de l'équation quadratique et considérons les solutions d'exemples typiques. Enfin, nous traçons les liens entre les racines et les coefficients.

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Qu'est-ce qu'une équation quadratique ? Leurs genres

Vous devez d'abord comprendre clairement ce qu'est une équation quadratique. Par conséquent, il est logique de commencer à parler d'équations quadratiques avec la définition d'une équation quadratique, ainsi que les définitions qui s'y rapportent. Après cela, vous pouvez considérer les principaux types équations du second degré: équations réduites et non réduites, ainsi que des équations complètes et incomplètes.

Définition et exemples d'équations quadratiques

Définition.

Équation quadratique est une équation de la forme une x 2 +b x+c=0, où x est une variable, a , b et c sont des nombres et a est différent de zéro.

Disons tout de suite que les équations quadratiques sont souvent appelées équations du second degré. C'est parce que l'équation quadratique est équation algébrique second degré.

La définition sonore permet de donner des exemples d'équations quadratiques. Donc 2x2 +6x+1=0, 0,2x2 +2,5x+0,03=0, etc. sont des équations quadratiques.

Définition.

Nombres a , b et c sont appelés coefficients de l'équation quadratique a x 2 + b x + c \u003d 0, et le coefficient a est appelé le premier, ou senior, ou coefficient en x 2, b est le deuxième coefficient, ou coefficient en x, et c est un membre libre.

Par exemple, prenons une équation quadratique de la forme 5 x 2 −2 x−3=0, ici le premier coefficient est 5, le second coefficient est −2, et le terme libre est −3. Notez que lorsque les coefficients b et/ou c sont négatifs, comme dans l'exemple qui vient d'être donné, la forme abrégée de l'équation quadratique de la forme 5 x 2 −2 x−3=0 est utilisée, et non 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Il convient de noter que lorsque les coefficients a et / ou b sont égaux à 1 ou -1, alors ils ne sont généralement pas explicitement présents dans la notation de l'équation quadratique, ce qui est dû aux particularités de la notation de tel . Par exemple, dans l'équation quadratique y 2 −y+3=0, le coefficient directeur est un et le coefficient en y est −1.

Équations quadratiques réduites et non réduites

Selon la valeur du coefficient directeur, on distingue les équations quadratiques réduites et non réduites. Donnons les définitions correspondantes.

Définition.

Une équation quadratique dans laquelle le coefficient directeur est 1 est appelée équation quadratique réduite. Sinon, l'équation quadratique est non réduit.

Selon cette définition, équations quadratiques x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, etc. - réduit, dans chacun d'eux le premier coefficient est égal à un. Et 5 x 2 −x−1=0 , etc. - équations quadratiques non réduites, leurs coefficients directeurs sont différents de 1 .

À partir de n'importe quelle équation quadratique non réduite, en divisant ses deux parties par le coefficient directeur, vous pouvez passer à l'équation réduite. Cette action est une transformation équivalente, c'est-à-dire que l'équation quadratique réduite ainsi obtenue a les mêmes racines que l'équation quadratique non réduite d'origine, ou, comme elle, n'a pas de racines.

Prenons un exemple de la façon dont la transition d'une équation quadratique non réduite à une équation réduite est effectuée.

Exemple.

A partir de l'équation 3 x 2 +12 x−7=0, passer à l'équation quadratique réduite correspondante.

Décision.

Il nous suffit d'effectuer la division des deux parties de l'équation d'origine par le coefficient directeur 3, il est non nul, nous pouvons donc effectuer cette action. On a (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , qui est identique à (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , et ainsi de suite (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , d'où . Nous avons donc obtenu l'équation quadratique réduite, qui est équivalente à celle d'origine.

Répondre:

Équations quadratiques complètes et incomplètes

Il y a une condition a≠0 dans la définition d'une équation quadratique. Cette condition est nécessaire pour que l'équation a x 2 +b x+c=0 soit exactement carrée, puisqu'avec a=0 elle devient en fait une équation linéaire de la forme b x+c=0 .

Quant aux coefficients b et c, ils peuvent être égaux à zéro, à la fois séparément et ensemble. Dans ces cas, l'équation quadratique est dite incomplète.

Définition.

L'équation quadratique a x 2 +b x+c=0 est appelée incomplet, si au moins un des coefficients b , c est égal à zéro.

À son tour

Définition.

Équation quadratique complète est une équation dans laquelle tous les coefficients sont différents de zéro.

Ces noms ne sont pas donnés par hasard. Cela ressortira clairement de la discussion suivante.

Si le coefficient b est égal à zéro, alors l'équation quadratique prend la forme a x 2 +0 x+c=0 , et elle est équivalente à l'équation a x 2 +c=0 . Si c=0 , c'est-à-dire que l'équation quadratique a la forme a x 2 +b x+0=0 , alors elle peut être réécrite comme a x 2 +b x=0 . Et avec b=0 et c=0 on obtient l'équation quadratique a·x 2 =0. Les équations résultantes diffèrent de l'équation quadratique complète en ce que leurs membres gauches ne contiennent ni un terme avec la variable x, ni un terme libre, ou les deux. D'où leur nom - équations quadratiques incomplètes.

Ainsi les équations x 2 +x+1=0 et −2 x 2 −5 x+0,2=0 sont des exemples d'équations quadratiques complètes, et x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 sont des équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

Il ressort des informations du paragraphe précédent qu'il existe trois types d'équations quadratiques incomplètes:

• a x 2 =0 , les coefficients b=0 et c=0 lui correspondent ;
• a x 2 +c=0 quand b=0 ;
• et a x 2 + b x = 0 lorsque c = 0 .

Analysons dans l'ordre comment sont résolues les équations quadratiques incomplètes de chacun de ces types.

un x 2 \u003d 0

Commençons par résoudre des équations quadratiques incomplètes dans lesquelles les coefficients b et c sont égaux à zéro, c'est-à-dire avec des équations de la forme a x 2 =0. L'équation a·x 2 =0 est équivalente à l'équation x 2 =0, qui est obtenue à partir de l'original en divisant ses deux parties par un nombre non nul a. De toute évidence, la racine de l'équation x 2 \u003d 0 est nulle, puisque 0 2 \u003d 0. Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui s'explique, en effet, pour tout nombre p non nul, l'inégalité p 2 >0 a lieu, ce qui implique que pour p≠0, l'égalité p 2 =0 n'est jamais atteinte.

Ainsi, l'équation quadratique incomplète a x 2 \u003d 0 a une seule racine x \u003d 0.

A titre d'exemple, nous donnons la solution d'une équation quadratique incomplète −4·x 2 =0. Elle équivaut à l'équation x 2 \u003d 0, sa seule racine est x \u003d 0, par conséquent, l'équation d'origine a une seule racine zéro.

Une solution courte dans ce cas peut être émise comme suit :
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

une x 2 +c=0

Considérons maintenant comment sont résolues les équations quadratiques incomplètes, dans lesquelles le coefficient b est égal à zéro, et c≠0, c'est-à-dire les équations de la forme a x 2 +c=0. On sait que le transfert d'un terme d'un côté de l'équation à l'autre de signe opposé, ainsi que la division des deux côtés de l'équation par un nombre non nul, donnent une équation équivalente. Par conséquent, les transformations équivalentes suivantes de l'équation quadratique incomplète a x 2 +c=0 peuvent être effectuées :

• déplacer c vers la droite, ce qui donne l'équation a x 2 =−c,
• et divisons ses deux parties par a , nous obtenons .

L'équation résultante nous permet de tirer des conclusions sur ses racines. Selon les valeurs de a et c, la valeur de l'expression peut être négative (par exemple, si a=1 et c=2 , alors ) ou positive, (par exemple, si a=−2 et c=6 , alors ), il n'est pas égal à zéro , car par condition c≠0 . Nous analyserons séparément les cas et .

Si , alors l'équation n'a pas de racines. Cette affirmation découle du fait que le carré de tout nombre est un nombre non négatif. Il s'ensuit que lorsque , alors pour tout nombre p l'égalité ne peut pas être vraie.

Si , alors la situation avec les racines de l'équation est différente. Dans ce cas, si nous rappelons environ, alors la racine de l'équation devient immédiatement évidente, c'est le nombre, puisque. Il est facile de deviner que le nombre est aussi la racine de l'équation , en effet, . Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui peut être montré, par exemple, par contradiction. Faisons le.

Notons les racines juste exprimées de l'équation par x 1 et −x 1 . Supposons que l'équation ait une autre racine x 2 différente des racines indiquées x 1 et −x 1 . On sait que la substitution dans l'équation au lieu de x de ses racines transforme l'équation en une véritable égalité numérique. Pour x 1 et −x 1 nous avons , et pour x 2 nous avons . Les propriétés des égalités numériques nous permettent d'effectuer une soustraction terme à terme des vraies égalités numériques, donc la soustraction des parties correspondantes des égalités donne x 1 2 − x 2 2 =0. Les propriétés des opérations sur les nombres nous permettent de réécrire l'égalité résultante sous la forme (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . On sait que le produit de deux nombres est égal à zéro si et seulement si au moins l'un d'entre eux est égal à zéro. Il résulte donc de l'égalité obtenue que x 1 -x 2 =0 et/ou x 1 +x 2 =0 , ce qui revient au même, x 2 =x 1 et/ou x 2 = -x 1 . On est donc arrivé à une contradiction, puisqu'au début on a dit que la racine de l'équation x 2 est différente de x 1 et −x 1 . Cela prouve que l'équation n'a pas d'autres racines que et .

Résumons les informations contenues dans ce paragraphe. L'équation quadratique incomplète a x 2 +c=0 est équivalente à l'équation , qui

• n'a pas de racines si ,
• a deux racines et si .

Considérons des exemples de résolution d'équations quadratiques incomplètes de la forme a·x 2 +c=0 .

Commençons par l'équation quadratique 9 x 2 +7=0 . Après avoir transféré le terme libre au côté droit de l'équation, il prendra la forme 9·x 2 =−7. En divisant les deux côtés de l'équation résultante par 9 , nous arrivons à . Puisqu'un nombre négatif est obtenu sur le côté droit, cette équation n'a pas de racines, par conséquent, l'équation quadratique incomplète d'origine 9 x 2 + 7 = 0 n'a pas de racines.

Résolvons une autre équation quadratique incomplète −x 2 +9=0. Nous transférons le neuf sur le côté droit: -x 2 \u003d -9. Maintenant, nous divisons les deux parties par −1, nous obtenons x 2 =9. Le côté droit contient un nombre positif, à partir duquel nous concluons que ou . Après avoir noté la réponse finale : l'équation quadratique incomplète −x 2 +9=0 a deux racines x=3 ou x=−3.

une x 2 +b x=0

Il reste à traiter la solution du dernier type d'équations quadratiques incomplètes pour c=0 . Les équations quadratiques incomplètes de la forme a x 2 +b x=0 permettent de résoudre méthode de factorisation. Évidemment, on peut, situé sur le côté gauche de l'équation, pour lequel il suffit de prendre le facteur commun x entre parenthèses. Cela nous permet de passer de l'équation quadratique incomplète d'origine à une équation équivalente de la forme x·(a·x+b)=0 . Et cette équation est équivalente à l'ensemble des deux équations x=0 et a x+b=0 , dont la dernière est linéaire et a pour racine x=-b/a .

Ainsi, l'équation quadratique incomplète a x 2 +b x=0 a deux racines x=0 et x=−b/a.

Pour consolider le matériel, nous allons analyser la solution d'un exemple précis.

Exemple.

Résous l'équation.

Décision.

Nous prenons x entre parenthèses, cela donne l'équation. Elle est équivalente à deux équations x=0 et . Nous résolvons le reçu équation linéaire: , et en divisant nombre mixte sur le fraction commune, nous trouvons . Par conséquent, les racines de l'équation originale sont x=0 et .

Après avoir reçu pratique nécessaire, les solutions de ces équations peuvent s'écrire brièvement :

Répondre:

x=0 , .

Discriminant, formule des racines d'une équation quadratique

Pour résoudre des équations quadratiques, il existe une formule racine. Écrivons la formule des racines de l'équation quadratique: , où D=b 2 −4 une c- soi-disant discriminant d'une équation quadratique. La notation signifie essentiellement que .

Il est utile de savoir comment la formule racine a été obtenue et comment elle est appliquée pour trouver les racines des équations quadratiques. Traitons cela.

Dérivation de la formule des racines d'une équation quadratique

Nous devons résoudre l'équation quadratique a·x 2 +b·x+c=0 . Effectuons quelques transformations équivalentes :

• Nous pouvons diviser les deux parties de cette équation par un nombre non nul a, nous obtenons ainsi l'équation quadratique réduite.
• À présent sélectionner un carré complet sur son côté gauche : . Après cela, l'équation prendra la forme .
• A ce stade, il est possible d'effectuer le transfert des deux derniers termes vers la droite avec le signe opposé, on a .
• Et transformons aussi l'expression du côté droit : .

En conséquence, nous arrivons à l'équation , qui est équivalente à l'équation quadratique originale a·x 2 +b·x+c=0 .

Nous avons déjà résolu des équations de forme similaire dans les paragraphes précédents lorsque nous avons analysé . Cela nous permet de tirer les conclusions suivantes concernant les racines de l'équation :

• si , alors l'équation n'a pas de solutions réelles ;
• si , alors l'équation a la forme , donc , d'où sa seule racine est visible ;
• si , alors ou , qui est identique à ou , c'est-à-dire que l'équation a deux racines.

Ainsi, la présence ou l'absence des racines de l'équation, et donc de l'équation quadratique d'origine, dépend du signe de l'expression du côté droit. A son tour, le signe de cette expression est déterminé par le signe du numérateur, puisque le dénominateur 4 a 2 est toujours positif, c'est-à-dire le signe de l'expression b 2 -4 a c . Cette expression b 2 −4 a c est appelée discriminant d'une équation quadratique et marqué de la lettre ré. À partir de là, l'essence du discriminant est claire - par sa valeur et son signe, on conclut si l'équation quadratique a de vraies racines, et si oui, quel est leur nombre - un ou deux.

Revenons à l'équation , réécrivons-la en utilisant la notation du discriminant : . Et nous concluons :

• si D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• si D = 0, alors cette équation a une racine unique ;
• enfin, si D>0, alors l'équation a deux racines ou , qui peuvent être réécrites sous la forme ou , et après expansion et réduction des fractions à un dénominateur commun, on obtient .

Nous avons donc dérivé les formules pour les racines de l'équation quadratique, elles ressemblent à , où le discriminant D est calculé par la formule D=b 2 −4 a c .

Avec leur aide, avec un discriminant positif, vous pouvez calculer les deux racines réelles d'une équation quadratique. Lorsque le discriminant est égal à zéro, les deux formules donnent la même valeur racine correspondant à la seule solution de l'équation quadratique. Et avec un discriminant négatif, en essayant d'utiliser la formule des racines d'une équation quadratique, nous sommes confrontés à l'extraction de la racine carrée de nombre négatif qui nous sort des limites et programme scolaire. Avec un discriminant négatif, l'équation quadratique n'a pas de racines réelles, mais a une paire Conjugaison compliquée racines, qui peuvent être trouvées en utilisant les mêmes formules de racine que nous avons obtenues.

Algorithme de résolution d'équations quadratiques à l'aide de formules racine

En pratique, lors de la résolution d'une équation quadratique, vous pouvez immédiatement utiliser la formule racine, avec laquelle calculer leurs valeurs. Mais il s'agit davantage de trouver des racines complexes.

Cependant, dans cours d'école l'algèbre ne concerne généralement pas le complexe, mais les racines réelles d'une équation quadratique. Dans ce cas, il est conseillé de trouver d'abord le discriminant avant d'utiliser les formules des racines de l'équation quadratique, de s'assurer qu'il est non négatif (sinon, on peut conclure que l'équation n'a pas de racines réelles), et après cela calculer les valeurs des racines.

Le raisonnement ci-dessus permet d'écrire algorithme pour résoudre une équation quadratique. Pour résoudre l'équation quadratique a x 2 + b x + c \u003d 0, il vous faut :

• à l'aide de la formule discriminante D=b 2 -4 a c calculer sa valeur ;
• conclure que l'équation quadratique n'a pas de racines réelles si le discriminant est négatif ;
• calculer la racine unique de l'équation à l'aide de la formule si D=0 ;
• trouver deux racines réelles d'une équation quadratique en utilisant la formule racine si le discriminant est positif.

Notons seulement ici que si le discriminant est égal à zéro, la formule peut également être utilisée, elle donnera la même valeur que .

Vous pouvez passer à des exemples d'application de l'algorithme pour résoudre des équations quadratiques.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Considérez les solutions de trois équations quadratiques avec un discriminant positif, négatif et nul. Après avoir traité leur solution, par analogie, il sera possible de résoudre toute autre équation quadratique. Commençons.

Exemple.

Trouver les racines de l'équation x 2 +2 x−6=0 .

Décision.

Dans ce cas, nous avons les coefficients suivants de l'équation quadratique : a=1 , b=2 et c=−6 . Selon l'algorithme, vous devez d'abord calculer le discriminant, pour cela nous substituons les a, b et c indiqués dans la formule discriminante, nous avons ré=b 2 −4 une c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Puisque 28>0, c'est-à-dire que le discriminant est supérieur à zéro, l'équation quadratique a deux racines réelles. Trouvons-les par la formule des racines , on obtient , ici on peut simplifier les expressions obtenues en faisant factoriser le signe de la racine suivi d'une réduction de fraction :

Répondre:

Passons au prochain exemple typique.

Exemple.

Résolvez l'équation quadratique −4 x 2 +28 x−49=0 .

Décision.

On commence par trouver le discriminant : D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Par conséquent, cette équation quadratique a une racine unique, que nous trouvons sous la forme , c'est-à-dire

Répondre:

x=3,5 .

Il reste à considérer la solution des équations quadratiques à discriminant négatif.

Exemple.

Résolvez l'équation 5 y 2 +6 y+2=0 .

Décision.

Voici les coefficients de l'équation quadratique : a=5 , b=6 et c=2 . En substituant ces valeurs dans la formule discriminante, nous avons ré=b 2 −4 une c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Le discriminant est négatif, donc cette équation quadratique n'a pas de racines réelles.

Si vous devez spécifier des racines complexes, nous utilisons la formule bien connue pour les racines de l'équation quadratique et effectuons opérations avec des nombres complexes:

Répondre:

il n'y a pas de racines réelles, les racines complexes sont : .

Encore une fois, nous notons que si le discriminant de l'équation quadratique est négatif, l'école écrit généralement immédiatement la réponse, dans laquelle elle indique qu'il n'y a pas de racines réelles et qu'elle ne trouve pas de racines complexes.

Formule racine pour les deuxièmes coefficients pairs

La formule des racines d'une équation quadratique , où D=b 2 −4 a c permet d'obtenir une formule plus compacte qui permet de résoudre des équations quadratiques avec un coefficient pair en x (ou simplement avec un coefficient qui ressemble à 2 n , par exemple, ou 14 ln5=2 7 ln5 ). Sortons-la.

Disons que nous devons résoudre une équation quadratique de la forme a x 2 +2 n x + c=0 . Trouvons ses racines en utilisant la formule que nous connaissons. Pour cela, on calcule le discriminant ré=(2 n) 2 −4 une c=4 n 2 −4 une c=4 (n 2 −a c), puis nous utilisons la formule racine :

Notons l'expression n 2 −a c comme D 1 (elle est parfois notée D "). Alors la formule des racines de l'équation quadratique considérée avec le second coefficient 2 n prend la forme , où D 1 =n 2 -a c .

Il est facile de voir que D=4·D 1 , soit D 1 =D/4 . En d'autres termes, D 1 est la quatrième partie du discriminant. Il est clair que le signe de D 1 est le même que le signe de D . C'est-à-dire que le signe D1 est également un indicateur de la présence ou de l'absence des racines de l'équation quadratique.

Donc, pour résoudre une équation quadratique avec le second coefficient 2 n, il faut

• Calculer D 1 =n 2 −a·c ;
• Si J 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Si D 1 =0, alors calculez la racine unique de l'équation à l'aide de la formule ;
• Si D 1 >0, alors trouvez deux racines réelles en utilisant la formule.

Considérez la solution de l'exemple en utilisant la formule racine obtenue dans ce paragraphe.

Exemple.

Résolvez l'équation quadratique 5 x 2 −6 x−32=0 .

Décision.

Le deuxième coefficient de cette équation peut être représenté par 2·(−3) . Autrement dit, vous pouvez réécrire l'équation quadratique d'origine sous la forme 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , ici a=5 , n=−3 et c=−32 , et calculer la quatrième partie de la discriminant: ré 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Comme sa valeur est positive, l'équation a deux racines réelles. Nous les trouvons en utilisant la formule racine correspondante :

Notez qu'il était possible d'utiliser la formule habituelle pour les racines d'une équation quadratique, mais dans ce cas, il faudrait faire plus de travail de calcul.

Répondre:

Simplification de la forme des équations quadratiques

Parfois, avant de se lancer dans le calcul des racines d'une équation quadratique à l'aide de formules, il ne fait pas de mal de se poser la question : « Est-il possible de simplifier la forme de cette équation » ? Convenez qu'en termes de calculs, il sera plus facile de résoudre l'équation quadratique 11 x 2 −4 x −6=0 que 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Habituellement, une simplification de la forme d'une équation quadratique est obtenue en multipliant ou en divisant les deux côtés de celle-ci par un certain nombre. Par exemple, dans le paragraphe précédent, nous avons réussi à réaliser une simplification de l'équation 1100 x 2 −400 x −600=0 en divisant les deux côtés par 100 .

Une transformation similaire est effectuée avec des équations quadratiques dont les coefficients ne sont pas . Dans ce cas, les deux parties de l'équation sont généralement divisées par les valeurs absolues de ses coefficients. Par exemple, prenons l'équation quadratique 12 x 2 −42 x+48=0. valeurs absolues de ses coefficients : pgcd(12, 42, 48)= pgcd(gcd(12, 42), 48)= pgcd(6, 48)=6 . En divisant les deux parties de l'équation quadratique originale par 6 , nous arrivons à l'équation quadratique équivalente 2 x 2 −7 x+8=0 .

Et la multiplication des deux parties de l'équation quadratique est généralement effectuée pour se débarrasser des coefficients fractionnaires. Dans ce cas, la multiplication est effectuée sur les dénominateurs de ses coefficients. Par exemple, si les deux parties d'une équation quadratique sont multipliées par LCM(6, 3, 1)=6 , alors elle prendra une forme plus simple x 2 +4 x−18=0 .

En conclusion de ce paragraphe, notons que l'on se débarrasse presque toujours du moins au coefficient le plus élevé de l'équation quadratique en changeant les signes de tous les termes, ce qui correspond à multiplier (ou diviser) les deux parties par −1. Par exemple, généralement à partir de l'équation quadratique −2·x 2 −3·x+7=0 aller à la solution 2·x 2 +3·x−7=0 .

Relation entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique

La formule des racines d'une équation quadratique exprime les racines d'une équation en fonction de ses coefficients. Sur la base de la formule des racines, vous pouvez obtenir d'autres relations entre les racines et les coefficients.

Les formules les plus connues et applicables du théorème de Vieta de la forme et . En particulier, pour l'équation quadratique donnée, la somme des racines est égale au second coefficient de signe opposé, et le produit des racines est le terme libre. Par exemple, par la forme de l'équation quadratique 3 x 2 −7 x+22=0, on peut immédiatement dire que la somme de ses racines est 7/3, et le produit des racines est 22/3.

En utilisant les formules déjà écrites, vous pouvez obtenir un certain nombre d'autres relations entre les racines et les coefficients de l'équation quadratique. Par exemple, vous pouvez exprimer la somme des carrés des racines d'une équation quadratique en fonction de ses coefficients : .

Bibliographie.

• Algèbre: cahier de texte pour 8 cellules. enseignement général institutions / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; éd. S.A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Éducation, 2008. - 271 p. : malade. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitch A.G. Algèbre. 8e année. A 14h Partie 1. Manuel pour les élèves en général les établissements d'enseignement/ A. G. Mordkovitch. - 11e éd., effacé. - M. : Mnemozina, 2009. - 215 p. : ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Formules racine. propriétés des racines carrées.

Attention!
Il y a d'autres
matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Dans la leçon précédente, nous avons compris ce qu'est une racine carrée. Il est temps de comprendre ce que sont formules pour les racines, quels sont propriétés racine et que peut-on faire pour tout cela.

Formules racine, propriétés racine et règles pour les actions avec racines- c'est essentiellement la même chose. Formules pour racines carréesétonnamment peu. Ce qui, bien sûr, plaît! Au contraire, vous pouvez écrire beaucoup de formules de toutes sortes, mais seulement trois suffisent pour un travail pratique et confiant avec les racines. Tout le reste découle de ces trois. Bien que beaucoup s'égarent dans les trois formules des racines, oui...

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Au début de la leçon, nous passerons en revue les propriétés de base des racines carrées, puis nous examinerons quelques exemples difficiles pour simplifier les expressions contenant des racines carrées.

Matière:Une fonction. Propriétés de la racine carrée

Cours:Conversion et simplification d'expressions plus complexes avec des racines

1. Répétition des propriétés des racines carrées

Répétons brièvement la théorie et rappelons les principales propriétés des racines carrées.

Propriétés des racines carrées :

1. , donc, ;

3. ;

4. .

2. Exemples de simplification d'expressions avec des racines

Passons aux exemples d'utilisation de ces propriétés.

Exemple 1 : Simplifier une expression .

Décision. Pour simplifier, le nombre 120 doit être décomposé en facteurs premiers :

Nous allons ouvrir le carré de la somme selon la formule correspondante :

Exemple 2 : Simplifier une expression .

Décision. Nous tenons compte du fait que cette expression n'a pas de sens pour toutes les valeurs possibles de la variable, puisque cette expression contient des racines carrées et des fractions, ce qui conduit à un "rétrécissement" de la plage des valeurs acceptables. ODZ : ().

Nous apportons l'expression entre parenthèses à un dénominateur commun et écrivons le numérateur de la dernière fraction comme la différence des carrés :

Répondre. à.

Exemple 3 : Simplifier une expression .

Décision. On peut voir que la deuxième parenthèse du numérateur a une forme maladroite et doit être simplifiée, essayons de la factoriser en utilisant la méthode de regroupement.

Pour pouvoir sortir le facteur commun, nous avons simplifié les racines en les factorisant. Remplacez l'expression résultante dans la fraction d'origine :

Après avoir réduit la fraction, nous appliquons la formule de la différence des carrés.

3. Un exemple pour se débarrasser de l'irrationalité

Exemple 4. Débarrassez-vous de l'irrationalité (racines) dans le dénominateur : a) ; b) .

Décision. a) Afin de se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur, la méthode standard consistant à multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le facteur conjugué au dénominateur est utilisée (la même expression, mais avec le signe opposé). Ceci est fait pour compléter le dénominateur de la fraction à la différence des carrés, ce qui vous permet de vous débarrasser des racines du dénominateur. Faisons ceci dans notre cas :

b) effectuer des actions similaires :

4. Un exemple pour la preuve et la sélection d'un carré complet dans un radical complexe

Exemple 5. Démontrer l'égalité .

Preuve. Utilisons la définition de la racine carrée, d'où il résulte que le carré de l'expression droite doit être égal à l'expression racine :

. Ouvrons les parenthèses selon la formule du carré de la somme :

, on obtient la bonne équation.

Éprouvé.

Exemple 6. Simplifiez l'expression.

Décision. Cette expression est appelée radical complexe(racine sous racine). Dans cet exemple, vous devez deviner pour sélectionner le carré complet de l'expression radicale. Pour ce faire, nous remarquons que des deux termes c'est un prétendant au rôle de produit double dans la formule du carré de la différence (différence, puisqu'il y a un moins). On l'écrit sous la forme d'un tel produit : , alors , prétend être l'un des termes du carré plein, et 1 jouer le rôle du second.

Remplaçons cette expression sous la racine.