Racine carrée. Guide complet (2019)

Le but de la simplification racine carrée Est de le réécrire sous une forme plus facile à utiliser dans les calculs. Factoriser un nombre consiste à trouver deux nombres ou plus qui, une fois multipliés, donneront le nombre d'origine, par exemple, 3 x 3 = 9. Après avoir trouvé les facteurs, vous pouvez simplifier la racine carrée ou vous en débarrasser complètement. Par exemple, 9 = (3x3) = 3.

Si le nombre radical est pair, divisez-le par 2. Si le nombre radical est impair, essayez de le diviser par 3 (si le nombre n'est pas divisible par 3, divisez-le par 5, 7, et ainsi de suite le long de la liste nombres premiers). Divisez le nombre radical exclusivement par des nombres premiers, car tout nombre peut être décomposé en facteurs premiers. Par exemple, vous n'avez pas besoin de diviser le nombre radical par 4, puisque 4 est divisible par 2, et vous avez déjà divisé le nombre radical par 2.

Réécrivez le problème comme la racine du produit de deux nombres. Par exemple, simplifiez √98 : 98 ÷ 2 = 49, donc 98 = 2 x 49. Réécrivez le problème comme ceci : √98 = √ (2 x 49).

Continuez à décomposer les nombres jusqu'à ce que le produit de deux reste sous la racine numéros identiques et d'autres nombres. Cela a du sens quand on pense à la signification de la racine carrée : √ (2 x 2) est égal au nombre qui, multiplié par lui-même, sera égal à 2 x 2. Évidemment, ce nombre est 2 ! Répétez les étapes ci-dessus pour notre exemple : √ (2 x 49).

• 2 a déjà été simplifié au maximum, puisqu'il s'agit d'un nombre premier (voir la liste des nombres premiers ci-dessus). Donc facteur 49.
• 49 n'est pas divisible par 2, 3, 5. Passez donc au prochain nombre premier - 7.
• 49 7 = 7, donc 49 = 7 x 7.
• Réécrivez le problème comme ceci : (2 x 49) = √ (2 x 7 x 7).

Simplifier la racine carrée. Puisque sous la racine se trouve le produit de 2 et de deux nombres identiques (7), vous pouvez déplacer un tel nombre en dehors du signe racine. Dans notre exemple : (2 x 7 x 7) = √ (2) √ (7 x 7) = √ (2) x 7 = 7√ (2).

• Une fois que vous obtenez deux nombres identiques sous la racine, vous pouvez arrêter de factoriser les nombres (si vous pouvez toujours les factoriser). Par exemple, √ (16) = √ (4 x 4) = 4. Si vous continuez à factoriser les nombres, vous obtenez la même réponse, mais faites plus de calculs : √ (16) = √ (4 x 4) = √ (2 x 2 x 2 x 2) = (2 x 2) (2 x 2) = 2 x 2 = 4.

Certaines racines peuvent être simplifiées plusieurs fois. Dans ce cas, les nombres retirés du signe racine et les nombres devant la racine sont multipliés. Par exemple:

• 180 = (2 x 90)
• 180 = (2 x 2 x 45)
• √180 = 2√45, mais 45 peut être factorisé et simplifié à nouveau la racine.
• 180 = 2√ (3 x 15)
• 180 = 2√ (3 x 3 x 5)
• √180 = (2)(3√5)
• √180 = 6√5

Si vous ne pouvez pas obtenir deux nombres identiques sous le signe racine, une telle racine ne peut pas être simplifiée. Si vous avez développé l'expression radicale dans le produit de facteurs premiers, et qu'il n'y a pas deux nombres identiques parmi eux, alors une telle racine ne peut pas être simplifiée. Par exemple, essayons de simplifier √70 :

• 70 = 35 x 2, donc √70 = √ (35 x 2)
• 35 = 7 x 5, donc (35 x 2) = √ (7 x 5 x 2)
• Les trois facteurs sont simples, ils ne peuvent donc plus être factorisés. Les trois facteurs sont différents, vous ne pouvez donc pas déplacer un entier hors du signe racine. Par conséquent, √70 ne peut pas être simplifié.

À première vue, il peut sembler que la procédure de factorisation de la racine carrée en facteurs est complexe et imprenable. Mais ce n'est pas le cas. Dans cet article, nous allons vous montrer comment accéder à la racine carrée et aux facteurs, et décomposer facilement et facilement la racine carrée à l'aide de deux méthodes éprouvées.

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Factorisation d'une racine

Tout d'abord, définissons le but de la procédure de factorisation en racine carrée. Cible- pour simplifier la racine carrée et l'écrire sous une forme pratique pour les calculs.

Définition 1

Factorisation de la racine carrée - trouver deux nombres ou plus qui, s'ils sont multipliés les uns par les autres, donneront un nombre égal à l'original. Par exemple : 4 × 4 = 16.

Si vous pouvez trouver les facteurs, vous pouvez facilement simplifier ou éliminer l'expression de la racine carrée :

Exemple 1

Divisez le nombre radical par 2 s'il est pair.

Le nombre radical doit toujours être divisé par des nombres premiers, car toute valeur d'un nombre premier peut être décomposée en facteurs premiers. Si tu as nombre impair, puis essayez de le diviser par 3. Pas divisible par 3 ? Divisez encore par 5, 7, 9, etc.

Écrivez l'expression comme la racine du produit de deux nombres.

Par exemple, vous pouvez simplifier de cette manière 98 : = 98 2 = 49. Il en résulte que 2 × 49 = 98, donc le problème peut être réécrit comme suit : 98 = (2 × 49).

Continuez à développer les nombres jusqu'à ce que le produit de deux nombres identiques et d'autres nombres reste sous la racine.

Prenons notre exemple (2x49) :

Puisque 2 est déjà simplifié au maximum, il est nécessaire de simplifier 49. Nous recherchons un nombre premier qui peut être divisé par 49. De toute évidence, ni 3 ni 5 n'est approprié. Il reste 7 : 49 ÷ 7 = 7, donc 7 × 7 = 49.

Réécrivez un exemple comme suit : (2 × 49) = (2 × 7 × 7).

Simplifiez l'expression de la racine carrée.

Comme entre parenthèses nous avons le produit de 2 et de deux nombres identiques (7), nous pouvons prendre le nombre 7 en dehors du signe racine.

Exemple 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2).

Au moment où il y a deux nombres identiques sous la racine, arrêtez de factoriser les nombres. Bien sûr, si vous utilisiez toutes les possibilités au maximum.

N'oubliez pas qu'il existe des racines qui peuvent être simplifiées plusieurs fois.

Dans ce cas, les nombres que nous retirons sous la racine et les nombres qui se trouvent devant elle sont multipliés.

Exemple 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

mais 45 peut être factorisé et la racine peut être à nouveau simplifiée.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Lorsqu'il est impossible d'obtenir deux nombres identiques sous le signe racine, cela signifie qu'une telle racine ne peut pas être simplifiée.

Si, après avoir décomposé l'expression radicale en produit de nombres premiers, vous n'êtes pas parvenu à obtenir deux nombres identiques, alors une telle racine ne peut pas être simplifiée.

Exemple 4

70 = 35 × 2, donc 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5, donc (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Comme vous pouvez le voir, les trois facteurs sont des nombres premiers qui ne peuvent pas être factorisés. Il n'y a pas de nombres identiques parmi eux, il n'est donc pas possible de retirer un entier sous la racine. Simplifier 70 c'est interdit.

Carré plein

Mémorisez quelques carrés de nombres premiers.

Le carré d'un nombre s'obtient en le multipliant par lui-même, c'est-à-dire lors de la mise au carré. Si vous mémorisez une douzaine de carrés de nombres premiers, cela vous simplifiera grandement la vie en simplifiant davantage les racines.

Exemple 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

S'il y a un carré complet sous le signe racine carrée, vous devez supprimer le signe racine et noter la racine carrée de ce carré complet.

Dur? Non:

Exemple 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Essayez de décomposer le nombre sous le signe racine en le produit d'un carré parfait et d'un autre nombre.

Si vous voyez que l'expression radicale est décomposée en le produit d'un carré complet et d'un nombre, alors, en vous rappelant quelques exemples, vous gagnerez considérablement du temps et des nerfs :

Exemple 7

50 = (25 × 2) = 5 2. Si le nombre radical se termine par 25, 50 ou 75, vous pouvez toujours le développer en le produit de 25 et d'un certain nombre.

1700 = (100 × 17) = 10 17. Si le nombre radical se termine par 00, vous pouvez toujours le développer en le produit de 100 et d'un certain nombre.

72 = (9 × 8) = 3 8. Si la somme des chiffres du nombre radical est 9, vous pouvez toujours la décomposer en le produit de 9 et d'un certain nombre.

Essayez de décomposer le nombre radical en le produit de plusieurs carrés complets : retirez-les sous le signe racine et multipliez-les.

Exemple 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

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Au début de la leçon, nous passerons en revue les propriétés de base des racines carrées, puis nous examinerons quelques exemples complexes pour simplifier les expressions contenant des racines carrées.

Thème:Fonction... Propriétés de la racine carrée

Cours:Convertir et simplifier davantage expressions complexes avec des racines

1. Répétition des propriétés des racines carrées

Reprenons brièvement la théorie et rappelons les principales propriétés des racines carrées.

Propriétés des racines carrées :

1., donc;

3. ;

4. .

2. Exemples de simplification d'expressions avec des racines

Passons aux exemples d'utilisation de ces propriétés.

Exemple 1. Simplifier une expression .

Solution. Pour simplifier, le nombre 120 doit être développé en facteurs premiers :

On ouvrira le carré de la somme selon la formule correspondante :

Exemple 2. Simplifier une expression .

Solution. Tenons compte du fait que cette expression n'a pas de sens pour toutes les valeurs possibles de la variable, car cette expression contient des racines carrées et des fractions, ce qui conduit à un "rétrécissement" de la plage de valeurs admissibles. ODZ : ().

Ramenons l'expression entre parenthèses à un dénominateur commun et écrivons le numérateur de la dernière fraction comme différence de carrés :

Réponse. à.

Exemple 3. Simplifier une expression .

Solution. On voit que la deuxième parenthèse du numérateur a une forme peu pratique et doit être simplifiée, essayons de la factoriser en facteurs en utilisant la méthode de regroupement.

Pour pouvoir factoriser le facteur commun, nous avons simplifié les racines en les factorisant. Remplacez l'expression résultante dans la fraction d'origine :

Après avoir réduit la fraction, nous appliquons la formule de la différence des carrés.

3. Un exemple pour se débarrasser de l'irrationalité

Exemple 4. Débarrassez-vous de l'irrationalité (racines) dans le dénominateur : a) ; b).

Solution. a) Afin de se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur, la méthode standard consistant à multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur de la fraction par le multiplicateur conjugué au dénominateur est utilisée (la même expression, mais avec le signe opposé). Ceci est fait pour compléter le dénominateur de la fraction à la différence des carrés, ce qui permet de se débarrasser des racines dans le dénominateur. Exécutons cette technique dans notre cas :

b) effectuer des actions similaires :

4. Un exemple pour la preuve et la sélection d'un carré complet dans un radical complexe

Exemple 5. Démontrer l'égalité .

Preuve. Utilisons la définition d'une racine carrée, d'où il découle que le carré de l'expression juste doit être égal à l'expression radicale :

... Ouvrons les parenthèses selon la formule du carré de la somme :

, a obtenu la bonne égalité.

Éprouvé.

Exemple 6. Simplifiez l'expression.

Solution. Cette expression est généralement appelée radical complexe(racine sous racine). Dans cet exemple, vous devez deviner comment sélectionner un carré complet à partir de l'expression radicale. Pour ce faire, notons que des deux termes est un candidat pour le rôle du produit doublé dans la formule du carré de la différence (différence, puisqu'il y a un moins). Écrivons-le sous la forme d'un tel produit :, alors 1 revendique le rôle d'un des termes du carré complet, et 1.

Remplaçons cette expression sous la racine.

Formules racines. Propriétés des racines carrées.

Attention!
Il y a d'autres
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui ne sont "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Dans la leçon précédente, nous avons compris ce qu'est une racine carrée. Il est temps de découvrir lesquels existent formules de racine quels sont propriétés racine, et ce que vous pouvez faire avec tout cela.

Formules de racine, propriétés de racine et règles pour les actions avec des racines sont essentiellement la même chose. Il existe étonnamment peu de formules pour les racines carrées. Ce qui, bien sûr, fait plaisir ! Au contraire, vous pouvez écrire beaucoup de toutes sortes de formules, mais pour un travail pratique et confiant avec les racines, seulement trois suffisent. Tout le reste de ces trois flux. Bien que beaucoup de gens se perdent dans les trois formules de racines, oui ...

Commençons par le plus simple. Elle est là:

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Nous continuons à étudier le sujet " résoudre des équations". Nous avons déjà rencontré des équations linéaires et nous allons nous familiariser avec équations du second degré.

Dans un premier temps, nous analyserons ce qu'est une équation quadratique, comment elle s'écrit dans vue générale, et donner des définitions connexes. Après cela, à l'aide d'exemples, nous analyserons en détail comment les équations quadratiques incomplètes sont résolues. Ensuite, passons à la solution équations complètes, on obtient la formule racine, on se familiarise avec le discriminant équation quadratique et envisager des solutions d'exemples typiques. Enfin, traçons la relation entre les racines et les coefficients.

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Qu'est-ce qu'une équation quadratique ? Leurs types

Vous devez d'abord comprendre clairement ce qu'est une équation quadratique. Par conséquent, il est logique de commencer à parler d'équations quadratiques avec la définition d'une équation quadratique, ainsi que des définitions associées. Après cela, vous pouvez considérer les principaux types d'équations quadratiques : les équations réduites et non réduites, ainsi que les équations complètes et incomplètes.

Définition et exemples d'équations quadratiques

Définition.

Équation quadratique est une équation de la forme a x 2 + b x + c = 0, où x est une variable, a, b et c sont des nombres et a est différent de zéro.

Disons tout de suite que les équations du second degré sont souvent appelées équations du second degré. C'est parce que l'équation quadratique est équation algébrique second degré.

La définition sonore nous permet de donner des exemples d'équations quadratiques. Donc 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0, etc. Sont des équations quadratiques.

Définition.

Les nombres a, b et c sont appelés coefficients de l'équation quadratique a x 2 + b x + c = 0, et le coefficient a est appelé le premier, ou le plus élevé, ou le coefficient en x 2, b est le deuxième coefficient, ou le coefficient en x, et c est le terme libre.

Par exemple, prenons une équation quadratique de la forme 5x2 −2x − 3 = 0, ici le coefficient dominant est 5, le deuxième coefficient est −2 et l'interception est −3. A noter que lorsque les coefficients b et/ou c sont négatifs, comme dans l'exemple qui vient d'être donné, la forme courte de l'équation quadratique est 5 x 2 −2 x − 3 = 0, pas 5 x 2 + (- 2 ) X + (-3) = 0.

Il est à noter que lorsque les coefficients a et/ou b sont égaux à 1 ou -1, alors ils ne sont généralement pas explicitement présents dans l'équation quadratique, ce qui est dû aux particularités de l'écriture de telles. Par exemple, dans une équation quadratique y 2 -y + 3 = 0, le coefficient dominant est un et le coefficient en y est -1.

Équations quadratiques réduites et non réduites

On distingue les équations quadratiques réduites et non réduites en fonction de la valeur du coefficient dominant. Donnons les définitions correspondantes.

Définition.

Une équation quadratique dans laquelle le coefficient dominant est 1 est appelée équation quadratique réduite... Sinon, l'équation quadratique est non réduit.

Selon cette définition, équations quadratiques x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0, etc. - étant donné, dans chacun d'eux le premier coefficient est égal à un. Et 5 x 2 −x − 1 = 0, etc. - équations quadratiques non réduites, leurs coefficients dominants sont différents de 1.

A partir de n'importe quelle équation quadratique non réduite en divisant les deux parties par le coefficient dominant, vous pouvez passer à la réduite. Cette action est une transformation équivalente, c'est-à-dire que l'équation quadratique réduite obtenue de cette manière a les mêmes racines que l'équation quadratique non réduite d'origine, ou, comme elle, n'a pas de racines.

Analysons par exemple comment s'effectue le passage d'une équation quadratique non réduite à une équation réduite.

Exemple.

A partir de l'équation 3 x 2 + 12 x − 7 = 0, passez à l'équation quadratique réduite correspondante.

Solution.

Il nous suffit de diviser les deux côtés de l'équation d'origine par le facteur dominant 3, il est différent de zéro, nous pouvons donc effectuer cette action. On a (3 x 2 + 12 x − 7) : 3 = 0 : 3, ce qui est le même, (3 x 2) : 3+ (12 x) : 3−7 : 3 = 0, et au-delà (3 : 3) x 2 + (12 : 3) x − 7 : 3 = 0, d'où. Nous avons donc obtenu l'équation quadratique réduite, qui est équivalente à l'originale.

Réponse:

Équations quadratiques complètes et incomplètes

La définition d'une équation quadratique contient la condition a ≠ 0. Cette condition est nécessaire pour que l'équation a x 2 + b x + c = 0 soit exactement quadratique, car à a = 0, elle devient en fait une équation linéaire de la forme b x + c = 0.

Quant aux coefficients b et c, ils peuvent être égaux à zéro, à la fois séparément et ensemble. Dans ces cas, l'équation quadratique est dite incomplète.

Définition.

L'équation quadratique a x 2 + b x + c = 0 est appelée incomplet si au moins un des coefficients b, c est égal à zéro.

À son tour

Définition.

Équation quadratique complète Est une équation dans laquelle tous les coefficients sont non nuls.

De tels noms ne sont pas donnés par hasard. Cela deviendra clair à partir des considérations suivantes.

Si le coefficient b est égal à zéro, alors l'équation quadratique prend la forme a x 2 + 0 x + c = 0, et elle est équivalente à l'équation a x 2 + c = 0. Si c = 0, c'est-à-dire que l'équation quadratique a la forme a x 2 + b x + 0 = 0, alors elle peut être réécrite comme a x 2 + b x = 0. Et avec b = 0 et c = 0, on obtient l'équation quadratique a x 2 = 0. Les équations résultantes diffèrent de l'équation quadratique complète en ce que leurs côtés gauches ne contiennent ni un terme avec la variable x, ni un terme libre, ni les deux. D'où leur nom - équations quadratiques incomplètes.

Ainsi les équations x 2 + x + 1 = 0 et −2 x 2 −5 x + 0.2 = 0 sont des exemples d'équations quadratiques complètes, et x 2 = 0, −2 x 2 = 0.5 x 2 + 3 = 0, − x 2 −5 · x = 0 sont des équations quadratiques incomplètes.

Résolution d'équations quadratiques incomplètes

D'après les informations du paragraphe précédent, il s'ensuit qu'il n'y a trois types d'équations quadratiques incomplètes:

• a · x 2 = 0, les coefficients b = 0 et c = 0 lui correspondent ;
• a x 2 + c = 0 lorsque b = 0 ;
• et a x 2 + b x = 0 lorsque c = 0.

Analysons dans l'ordre comment sont résolues les équations quadratiques incomplètes de chacun de ces types.

un x 2 = 0

Commençons par résoudre des équations quadratiques incomplètes dans lesquelles les coefficients b et c sont égaux à zéro, c'est-à-dire avec des équations de la forme a · x 2 = 0. L'équation a · x 2 = 0 est équivalente à l'équation x 2 = 0, qui est obtenue à partir de l'original en divisant ses deux parties par un nombre non nul a. Évidemment, la racine de l'équation x 2 = 0 est nulle, puisque 0 2 = 0. Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui s'explique, en effet, pour tout nombre p non nul, l'inégalité p 2 > 0 est vraie, d'où il suit que pour p 0 l'égalité p 2 = 0 n'est jamais atteinte.

Ainsi, l'équation quadratique incomplète a · x 2 = 0 a une seule racine x = 0.

A titre d'exemple, donnons la solution de l'équation quadratique incomplète −4 · x 2 = 0. Elle est équivalente à l'équation x 2 = 0, sa seule racine est x = 0, par conséquent, l'équation d'origine a également une racine zéro unique.

Une solution courte dans ce cas peut être formulée comme suit :
-4x2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Voyons maintenant comment sont résolues les équations quadratiques incomplètes, dans lesquelles le coefficient b est nul et c 0, c'est-à-dire des équations de la forme a · x 2 + c = 0. Nous savons que le transfert d'un terme d'un côté de l'équation à un autre de signe opposé, ainsi que la division des deux côtés de l'équation par un nombre non nul, donnent une équation équivalente. Par conséquent, il est possible d'effectuer les transformations équivalentes suivantes de l'équation quadratique incomplète a x 2 + c = 0 :

• déplacer c vers la droite, ce qui donne l'équation a x 2 = −c,
• et diviser ses deux parties par a, nous obtenons.

L'équation résultante nous permet de tirer des conclusions sur ses racines. Selon les valeurs de a et c, la valeur de l'expression peut être négative (par exemple, si a = 1 et c = 2, alors) ou positive, (par exemple, si a = −2 et c = 6 , alors), il n'est pas égal à zéro , puisque par hypothèse c 0. Examinons séparément les cas et.

Si, alors l'équation n'a pas de racines. Cette affirmation découle du fait que le carré de tout nombre est un nombre non négatif. Il s'ensuit que lorsque, alors pour tout nombre p, l'égalité ne peut pas être vraie.

Si, alors la situation avec les racines de l'équation est différente. Dans ce cas, si vous vous en souvenez, alors la racine de l'équation devient immédiatement évidente, c'est un nombre, car. Il est facile de deviner que le nombre est aussi la racine de l'équation, en effet,. Cette équation n'a pas d'autres racines, ce qui peut être démontré, par exemple, par la méthode contradictoire. Faisons le.

Notons les racines de l'équation qui vient d'être émise par x 1 et −x 1. Supposons que l'équation ait une autre racine x 2 différente des racines indiquées x 1 et −x 1. On sait que la substitution de ses racines dans une équation au lieu de x transforme l'équation en une véritable égalité numérique. Pour x 1 et −x 1 nous avons, et pour x 2 nous avons. Les propriétés des égalités numériques nous permettent d'effectuer une soustraction terme à terme des vraies égalités numériques, donc la soustraction des parties correspondantes des égalités donne x 1 2 −x 2 2 = 0. Les propriétés des actions avec des nombres vous permettent de réécrire l'égalité résultante sous la forme (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. On sait que le produit de deux nombres est nul si et seulement si au moins l'un d'eux est nul. Par conséquent, il résulte de l'égalité obtenue que x 1 - x 2 = 0 et/ou x 1 + x 2 = 0, ce qui est le même, x 2 = x 1 et/ou x 2 = −x 1. C'est ainsi que nous sommes arrivés à une contradiction, puisqu'au début nous avons dit que la racine de l'équation x 2 est différente de x 1 et −x 1. Cela prouve que l'équation n'a pas de racines autres que et.

Résumons les informations de cet élément. L'équation quadratique incomplète a x 2 + c = 0 est équivalente à l'équation qui

• n'a pas de racines si,
• a deux racines et si.

Considérons des exemples de résolution d'équations quadratiques incomplètes de la forme a · x 2 + c = 0.

Commençons par l'équation quadratique 9 x 2 + 7 = 0. Après avoir transféré le terme libre au membre de droite de l'équation, il prendra la forme 9 · x 2 = -7. En divisant les deux côtés de l'équation résultante par 9, nous arrivons à. Puisqu'il y a un nombre négatif du côté droit, cette équation n'a pas de racines, par conséquent, l'équation quadratique incomplète d'origine 9 · x 2 + 7 = 0 n'a pas de racines.

Résoudre une autre équation quadratique incomplète −x 2 + 9 = 0. Déplacez le neuf vers la droite : −x 2 = −9. Maintenant, nous divisons les deux côtés par −1, nous obtenons x 2 = 9. Sur le côté droit, il y a un nombre positif, à partir duquel nous concluons que ou. Ensuite, nous écrivons la réponse finale : l'équation quadratique incomplète −x 2 + 9 = 0 a deux racines x = 3 ou x = −3.

a x 2 + b x = 0

Il reste à traiter la solution du dernier type d'équations quadratiques incomplètes pour c = 0. Les équations quadratiques incomplètes de la forme a x 2 + b x = 0 permettent de résoudre méthode de factorisation... Évidemment, nous pouvons, situé sur le côté gauche de l'équation, pour lequel il suffit de factoriser le facteur commun x. Cela nous permet de passer de l'équation quadratique incomplète originale à une équation équivalente de la forme x · (a · x + b) = 0. Et cette équation est équivalente à la combinaison de deux équations x = 0 et a x + b = 0, dont la dernière est linéaire et a pour racine x = −b / a.

Ainsi, l'équation quadratique incomplète a x 2 + b x = 0 a deux racines x = 0 et x = −b / a.

Pour consolider le matériel, nous analyserons la solution d'un exemple spécifique.

Exemple.

Résous l'équation.

Solution.

Déplacer x hors des parenthèses donne l'équation. Cela équivaut à deux équations x = 0 et. Nous résolvons le reçu équation linéaire:, et la division performante nombre mixte au fraction commune, nous trouvons. Par conséquent, les racines de l'équation d'origine sont x = 0 et.

Après avoir reçu pratique nécessaire, les solutions de telles équations peuvent s'écrire brièvement :

Réponse:

x = 0,.

Discriminant, la formule pour les racines d'une équation quadratique

Il existe une formule racine pour résoudre les équations quadratiques. Écrivons formule quadratique: , où D = b 2 −4 a c- soi-disant discriminant quadratique... La notation signifie essentiellement cela.

Il est utile de savoir comment la formule racine a été obtenue et comment elle est appliquée lors de la recherche des racines des équations quadratiques. Trouvons-le.

Dérivation de la formule pour les racines d'une équation quadratique

Supposons que nous ayons besoin de résoudre l'équation quadratique a x 2 + b x + c = 0. Effectuons quelques transformations équivalentes :

• Nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par un nombre non nul a, en résultat nous obtenons l'équation quadratique réduite.
• Maintenant sélectionnez un carré complet sur son côté gauche :. Après cela, l'équation prendra la forme.
• A ce stade, il est possible d'effectuer le transfert des deux derniers termes à droite avec le signe opposé, nous avons.
• Et nous transformons également l'expression sur le côté droit :.

En conséquence, nous arrivons à une équation équivalente à l'équation quadratique originale a x 2 + b x + c = 0.

Nous avons déjà résolu des équations de forme similaire dans les paragraphes précédents lorsque nous les avons analysées. Cela nous permet de tirer les conclusions suivantes concernant les racines de l'équation :

• si, alors l'équation n'a pas de solutions réelles ;
• si, alors l'équation a la forme, donc, d'où sa seule racine est visible ;
• si, alors ou, qui est le même ou, c'est-à-dire que l'équation a deux racines.

Ainsi, la présence ou l'absence des racines de l'équation, et donc de l'équation quadratique d'origine, dépend du signe de l'expression du côté droit. À son tour, le signe de cette expression est déterminé par le signe du numérateur, puisque le dénominateur 4 · a 2 est toujours positif, c'est-à-dire le signe de l'expression b 2 −4 · a · c. Cette expression b 2 −4 a c a été appelée le discriminant d'une équation quadratique et marqué de la lettre ré... De là, l'essence du discriminant est claire - par sa valeur et son signe, on conclut si l'équation quadratique a des racines réelles, et si oui, quel est leur nombre - un ou deux.

De retour à l'équation, réécrivez-la en utilisant la notation discriminante :. Et nous tirons des conclusions :

• si D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• si D = 0, alors cette équation a une racine unique ;
• enfin, si D > 0, alors l'équation a deux racines ou, qui, grâce à elle, peuvent être réécrites sous la forme ou, et après avoir développé et réduit les fractions à un dénominateur commun, on obtient.

Nous avons donc dérivé des formules pour les racines d'une équation quadratique, elles ont la forme, où le discriminant D est calculé par la formule D = b 2 −4 · a · c.

Avec leur aide, avec un discriminant positif, vous pouvez calculer les deux racines réelles de l'équation quadratique. Lorsque le discriminant est égal à zéro, les deux formules donnent la même valeur de racine correspondant à une solution unique de l'équation quadratique. Et avec un discriminant négatif, en essayant d'utiliser la formule pour les racines d'une équation quadratique, nous sommes confrontés à l'extraction de la racine carrée de nombre négatif qui nous emmène au-delà et programme scolaire... Avec un discriminant négatif, l'équation quadratique n'a pas de racines réelles, mais a une paire Conjugaison compliquée racines, qui peuvent être trouvées par les mêmes formules de racines que nous avons obtenues.

Algorithme de résolution d'équations quadratiques à l'aide de formules de racine

En pratique, lors de la résolution d'équations quadratiques, vous pouvez immédiatement utiliser la formule racine, avec laquelle vous pouvez calculer leurs valeurs. Mais il s'agit plus de trouver des racines complexes.

Cependant, dans cours d'école l'algèbre ne concerne généralement pas le complexe, mais les racines réelles d'une équation quadratique. Dans ce cas, il est conseillé de trouver d'abord le discriminant avant d'utiliser les formules pour les racines de l'équation quadratique, de s'assurer qu'il est non négatif (sinon, on peut conclure que l'équation n'a pas de racines réelles), et seulement après qui calculent les valeurs des racines.

Le raisonnement ci-dessus nous permet d'écrire solveur d'équation quadratique... Pour résoudre l'équation quadratique a x 2 + b x + c = 0, il vous faut :

• par la formule discriminante D = b 2 -4 · a · c calculer sa valeur ;
• conclure que l'équation quadratique n'a pas de racines réelles si le discriminant est négatif ;
• calculer la seule racine de l'équation par la formule si D = 0;
• trouver deux racines réelles d'une équation quadratique en utilisant la formule de racine si le discriminant est positif.

Ici, nous notons juste que lorsque le discriminant est égal à zéro, la formule peut également être utilisée, elle donnera la même valeur que.

Vous pouvez passer à des exemples d'utilisation de l'algorithme pour résoudre des équations quadratiques.

Exemples de résolution d'équations quadratiques

Considérez les solutions de trois équations quadratiques avec des discriminants positifs, négatifs et nuls. Après avoir traité leur solution, par analogie, il sera possible de résoudre toute autre équation quadratique. Commençons.

Exemple.

Trouvez les racines de l'équation x 2 + 2 x − 6 = 0.

Solution.

Dans ce cas, nous avons les coefficients suivants de l'équation quadratique : a = 1, b = 2 et c = -6. Selon l'algorithme, vous devez d'abord calculer le discriminant, pour cela nous substituons les a, b et c indiqués dans la formule discriminante, nous avons D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... Puisque 28> 0, c'est-à-dire que le discriminant est supérieur à zéro, alors l'équation quadratique a deux racines réelles. On les trouve en utilisant la formule racine, on obtient, ici vous pouvez simplifier les expressions obtenues en faisant factoriser le signe de la racine avec la réduction ultérieure de la fraction :

Réponse:

Passons au prochain exemple typique.

Exemple.

Résoudre l'équation quadratique −4x2 + 28x − 49 = 0.

Solution.

On commence par trouver le discriminant : D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Par conséquent, cette équation quadratique a une racine unique, que nous trouvons comme, c'est-à-dire,

Réponse:

x = 3,5.

Il reste à considérer la solution des équations quadratiques à discriminant négatif.

Exemple.

Résoudre l'équation 5 y 2 + 6 y + 2 = 0.

Solution.

Voici les coefficients de l'équation quadratique : a = 5, b = 6 et c = 2. En substituant ces valeurs dans la formule discriminante, on a D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... Le discriminant est négatif, donc cette équation quadratique n'a pas de racines réelles.

Si vous devez indiquer des racines complexes, nous appliquons la formule bien connue pour les racines de l'équation quadratique et effectuons opérations sur les nombres complexes:

Réponse:

il n'y a pas de vraies racines, les racines complexes sont les suivantes :.

Encore une fois, nous notons que si le discriminant de l'équation quadratique est négatif, alors à l'école, ils écrivent généralement immédiatement une réponse dans laquelle ils indiquent qu'il n'y a pas de racines réelles et que des racines complexes ne sont pas trouvées.

Formule racine pour les deuxièmes coefficients pairs

La formule pour les racines d'une équation quadratique, où D = b 2 −4 ln5 = 2 7 ln5). Sortons-le.

Disons que nous devons résoudre une équation quadratique de la forme a x 2 + 2 n x + c = 0. Trouvons ses racines en utilisant la formule que nous connaissons. Pour ce faire, calculez le discriminant D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), puis nous utilisons la formule pour les racines :

Notons l'expression n 2 −a · c par D 1 (elle est parfois notée D "). Alors la formule pour les racines de l'équation quadratique considérée avec le deuxième coefficient 2 n prend la forme , où D 1 = n 2 - a · c.

Il est facile de voir que D = 4 · D 1, ou D 1 = D / 4. En d'autres termes, D 1 est la quatrième partie du discriminant. Il est clair que le signe de D 1 est le même que le signe de D. C'est-à-dire que le signe de D 1 est également un indicateur de la présence ou de l'absence des racines d'une équation quadratique.

Donc, pour résoudre l'équation quadratique avec le deuxième coefficient 2 n, vous avez besoin

• Calculer D 1 = n 2 −a · c;
• Si D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Si D 1 = 0, calculez la seule racine de l'équation par la formule ;
• Si D 1> 0, alors trouvez deux racines réelles par la formule.

Envisagez de résoudre un exemple en utilisant la formule racine obtenue dans ce paragraphe.

Exemple.

Résoudre l'équation quadratique 5x2 −6x − 32 = 0.

Solution.

Le deuxième coefficient de cette équation peut être représenté par 2 · (−3). C'est-à-dire que vous pouvez réécrire l'équation quadratique d'origine sous la forme 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0, ici a = 5, n = −3 et c = −32, et calculer la quatrième partie de la discriminant: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Comme sa valeur est positive, l'équation a deux racines réelles. Trouvons-les en utilisant la formule racine correspondante :

Notez qu'il était possible d'utiliser la formule habituelle pour les racines d'une équation quadratique, mais dans ce cas, plus de travail de calcul devrait être fait.

Réponse:

Simplifier la vue des équations quadratiques

Parfois, avant de se lancer dans le calcul des racines d'une équation quadratique par des formules, il ne fait pas de mal de se poser la question : « Est-il possible de simplifier la forme de cette équation ? Convenez qu'en termes de calculs, il sera plus facile de résoudre l'équation quadratique 11 x 2 −4 x − 6 = 0 que 1100 x 2 −400 x − 600 = 0.

Habituellement, une simplification de la forme d'une équation quadratique est obtenue en multipliant ou en divisant les deux parties par un certain nombre. Par exemple, dans le paragraphe précédent, nous avons réussi à simplifier l'équation 1100x2 −400x − 600 = 0 en divisant les deux côtés par 100.

Une transformation similaire est effectuée avec des équations quadratiques dont les coefficients ne le sont pas. Dans ce cas, les deux côtés de l'équation sont généralement divisés par les valeurs absolues de ses coefficients. Par exemple, prenons l'équation quadratique 12 x 2 −42 x + 48 = 0. les valeurs absolues de ses coefficients : PGCD (12, 42, 48) = PGCD (GCD (12, 42), 48) = PGCD (6, 48) = 6. En divisant les deux côtés de l'équation quadratique originale par 6, nous arrivons à l'équation quadratique équivalente 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

Et la multiplication des deux côtés de l'équation quadratique est généralement effectuée pour se débarrasser des coefficients fractionnaires. Dans ce cas, la multiplication est effectuée par les dénominateurs de ses coefficients. Par exemple, si les deux côtés de l'équation quadratique sont multipliés par le LCM (6, 3, 1) = 6, alors il prendra une forme plus simple x 2 + 4 x − 18 = 0.

En conclusion de ce paragraphe, notons que l'on supprime presque toujours le moins au coefficient dominant de l'équation quadratique en changeant les signes de tous les termes, ce qui correspond à multiplier (ou diviser) les deux parties par -1. Par exemple, généralement à partir de l'équation quadratique −2x2 −3x + 7 = 0, on passe à la solution 2x2 + 3x − 7 = 0.

Relation entre les racines et les coefficients d'une équation quadratique

La formule pour les racines d'une équation quadratique exprime les racines d'une équation en termes de ses coefficients. Sur la base de la formule de racine, vous pouvez obtenir d'autres dépendances entre les racines et les coefficients.

Les formules les plus connues et les plus applicables sont celles du théorème de Vieta de la forme et. En particulier, pour l'équation quadratique donnée, la somme des racines est égale au deuxième coefficient de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre. Par exemple, sous la forme de l'équation quadratique 3 x 2 -7 x + 22 = 0, vous pouvez immédiatement dire que la somme de ses racines est 7/3 et que le produit des racines est 22/3.

En utilisant les formules déjà écrites, vous pouvez obtenir un certain nombre d'autres relations entre les racines et les coefficients de l'équation quadratique. Par exemple, vous pouvez exprimer la somme des carrés des racines d'une équation quadratique à travers ses coefficients :.

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