Trouver les racines d'une solution de trinôme carré. Leçon "le trinôme carré et ses racines"

La factorisation des trinômes carrés fait référence aux devoirs scolaires auxquels tout le monde est confronté tôt ou tard. Comment faites-vous? Quelle est la formule de factorisation d'un trinôme carré ? Voyons cela étape par étape à l'aide d'exemples.

Formule générale

La factorisation des trinômes quadratiques est réalisée en résolvant une équation quadratique. C'est une tâche simple qui peut être résolue par plusieurs méthodes - en trouvant le discriminant, en utilisant le théorème de Vieta, il existe également un moyen graphique de le résoudre. Les deux premiers sont enseignés au lycée.

La formule générale ressemble à ceci :lx 2 + kx + n = l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Algorithme pour la tâche

Afin de factoriser des trinômes carrés, vous devez connaître le théorème de Wit, disposer d'un programme de résolution, être capable de trouver une solution graphiquement ou rechercher les racines d'une équation du second degré à l'aide de la formule discriminante. Si un trinôme carré est donné et qu'il doit être factorisé, l'algorithme des actions est le suivant :

1) Définissez l'expression d'origine sur zéro pour obtenir l'équation.

2) plomb termes similaires(s'il y a un tel besoin).

3) Trouvez des racines de n'importe quelle manière connue. La méthode graphique est mieux utilisée si l'on sait à l'avance que les racines sont des entiers et des petits nombres. Il faut se rappeler que le nombre de racines est égal au degré maximum de l'équation, c'est-à-dire que l'équation quadratique a deux racines.

4) Valeur de substitution N.-É. en expression (1).

5) Écrivez la factorisation des trinômes carrés.

Exemples de

La pratique permet enfin de comprendre comment cette tâche est réalisée. Illustrez la factorisation d'un trinôme carré par des exemples :

il faut développer l'expression :

Revenons à notre algorithme :

1) x 2 -17x + 32 = 0

2) les termes similaires sont réduits

3) il est difficile de trouver les racines pour cet exemple en utilisant la formule de Vieta, il est donc préférable d'utiliser l'expression pour le discriminant :

D = 289-128 = 161 = (12,69) 2

4) Remplacez les racines que nous avons trouvées dans la formule de décomposition principale :

(x-2 155) * (x-14 845)

5) Alors la réponse sera comme ceci :

x 2 -17x + 32 = (x-2,155) (x-14,845)

Vérifions si les solutions trouvées par le discriminant correspondent aux formules de Vieta :

14,845 . 2,155=32

Pour ces racines, le théorème de Vieta est appliqué, elles ont été trouvées correctement, ce qui signifie que la factorisation que nous avons obtenue est également correcte.

Nous développons 12x 2 + 7x-6 de la même manière.

x 1 = -7 + (337) 1/2

x 2 = -7- (337) 1/2

Dans le cas précédent, les solutions étaient des nombres non entiers, mais réels, faciles à trouver avec une calculatrice devant vous. Considérez maintenant plus exemple complexe, dans laquelle les racines seront complexes : factoriser x 2 + 4x + 9. Selon la formule de Vieta, les racines sont introuvables et le discriminant est négatif. Les racines seront sur le plan complexe.

D = -20

Sur cette base, nous obtenons les racines qui nous intéressent -4 + 2i * 5 1/2 et -4-2i * 5 1/2 car (-20) 1/2 = 2i * 5 1/2.

Nous obtenons la décomposition requise en substituant les racines dans la formule générale.

Autre exemple : vous devez factoriser l'expression 23x 2 -14x + 7.

On a l'équation 23x 2 -14x + 7 =0

D = -448

Par conséquent, les racines sont 14 + 21 166i et 14-21 166i. La réponse serait :

23x 2 -14x + 7 = 23 (x- 14-21 166i )*(NS- 14 + 21.166i ).

Donnons un exemple, qui peut être résolu sans l'aide du discriminant.

Qu'il se décompose équation quadratique x 2 -32x + 255. Evidemment, il peut aussi être résolu par le discriminant, mais il est plus rapide dans ce cas de récupérer les racines.

x 1 = 15

x 2 = 17

Moyens x 2 -32x + 255 = (x-15) (x-17).

L'étude de nombreuses lois physiques et géométriques conduit souvent à la résolution de problèmes paramétriques. Certaines universités incluent également des équations, des inégalités et leurs systèmes sur les tickets d'examen, qui sont souvent très complexes et nécessitent une approche de résolution non standard. À l'école, c'est l'une des sections les plus difficiles. cours d'école l'algèbre n'est couverte que dans quelques cours au choix ou matières.
À mon avis, la méthode fonctionnelle-graphique est pratique et manière rapide résoudre des équations avec un paramètre.
Comme vous le savez, en ce qui concerne les équations à paramètres, il existe deux formulations du problème.

1. Résoudre l'équation (pour chaque valeur du paramètre, trouver toutes les solutions de l'équation).
2. Trouvez toutes les valeurs du paramètre pour chacune desquelles les solutions de l'équation satisfont aux conditions données.

Dans cet article, nous considérons et étudions un problème du deuxième type appliqué aux racines d'un trinôme quadratique, dont la découverte se réduit à résoudre une équation quadratique.
L'auteur espère que ce travail aidera les enseignants à développer les leçons et à préparer les étudiants à l'examen.

1. Qu'est-ce qu'un paramètre

Expression de la forme un 2 + bx + c dans le cours scolaire, l'algèbre est appelée un trinôme carré par rapport à N.-É., où un B, c - étant donné des nombres réels, et, une= / = 0. Les valeurs de la variable x auxquelles l'expression s'annule sont appelées les racines du trinôme carré. Pour trouver les racines d'un trinôme quadratique, vous devez résoudre l'équation quadratique un 2 + bx + c = 0.
Rappelons les équations de base du cours d'algèbre scolaire hache + b = 0;
ax2 + bx + c = 0. Lors de la recherche de leurs racines, les valeurs des variables a, b, c, inclus dans l'équation sont considérés comme fixes et donnés. Les variables elles-mêmes sont appelées un paramètre. Comme il n'y a pas de définition du paramètre dans les manuels scolaires, je propose de me baser sur sa prochaine version la plus simple.

Définition.Un paramètre est une variable indépendante dont la valeur dans le problème est considérée comme un nombre réel donné, fixe ou arbitraire, ou un nombre appartenant à un ensemble prédéterminé.

2. Types et méthodes de base pour résoudre des problèmes avec des paramètres

Parmi les tâches paramétrées, on peut distinguer les principaux types de tâches suivants.

1. Équations qui doivent être résolues soit pour n'importe quelle valeur du ou des paramètres, soit pour les valeurs du paramètre appartenant à un ensemble prédéterminé. Par exemple. Résoudre des équations : hache = 1, (une - 2)x = un 2 – 4.
2. Equations pour lesquelles vous souhaitez déterminer le nombre de solutions en fonction de la valeur du ou des paramètre(s). Par exemple. A quelles valeurs du paramètre une l'équation 4N.-É. 2 – 4hache + 1 = 0 a une seule racine ?
3. Équations pour lesquelles, pour les valeurs recherchées du paramètre, l'ensemble des solutions satisfait aux conditions spécifiées dans le domaine de définition.

Par exemple, trouvez les valeurs de paramètres pour lesquelles les racines de l'équation ( une - 2)N.-É. 2 – 2aх + a + 3 = 0 positif.
Les principales méthodes de résolution de problèmes avec un paramètre : analytique et graphique.

Analytique Est une méthode dite de solution directe, répétant les procédures standard pour trouver une réponse dans des problèmes sans paramètre. Considérons un exemple d'une telle tâche.

Problème numéro 1

Pour quelles valeurs du paramètre a l'équation N.-É. 2 – 2aх + a 2 - 1 = 0 a deux racines différentes appartenant à l'intervalle (1; 5) ?

Solution

N.-É. 2 – 2aх + a 2 – 1 = 0.
Selon la condition du problème, l'équation doit avoir deux racines différentes, et cela n'est possible que sous la condition : D> 0.
On a : D = 4 une 2 – 2(une 2 - 1) = 4. Comme vous pouvez le voir, le discriminant ne dépend pas de a, par conséquent, l'équation a deux racines différentes pour toutes les valeurs du paramètre a. Trouver les racines de l'équation : N.-É. 1 = une + 1, N.-É. 2 = une – 1
Les racines de l'équation doivent appartenir à l'intervalle (1; 5), c'est-à-dire
Ainsi, à 2<une < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Réponse : 2<une < 4.
Une telle approche pour résoudre des problèmes du type considéré est possible et rationnelle dans les cas où le discriminant de l'équation quadratique est « bon », c'est-à-dire est le carré exact de n'importe quel nombre ou expression ou les racines de l'équation peuvent être trouvées par l'inverse du théorème de T. Vieta. Ensuite, et les racines ne représentent pas des expressions irrationnelles. Sinon, la résolution de problèmes de ce type est associée à des procédures assez compliquées d'un point de vue technique. Et la solution des inégalités irrationnelles nécessite de nouvelles connaissances de la part de l'élève.

Graphique Est une méthode dans laquelle les tracés sont utilisés dans le plan de coordonnées (x; y) ou (x; a). La clarté et la beauté de cette méthode de solution aident à trouver un moyen rapide de résoudre le problème. Résolvons graphiquement le problème numéro 1.
Comme vous le savez d'après le cours d'algèbre, les racines d'une équation quadratique (trinôme quadratique) sont des zéros de la fonction quadratique correspondante : Y = N.-É. 2 – 2Oh + une 2 - 1. Le graphe de la fonction est une parabole, les branches sont dirigées vers le haut (le premier coefficient est 1). Un modèle géométrique qui répond à toutes les exigences du problème ressemble à ceci.

Reste maintenant à "fixer" la parabole dans la position souhaitée avec les conditions nécessaires.

1. Puisque la parabole a deux points d'intersection avec l'axe N.-É., puis D> 0.
2. Le sommet de la parabole est entre les lignes verticales N.-É.= 1 et N.-É.= 5, donc l'abscisse du sommet de la parabole x o appartient à l'intervalle (1; 5), c'est-à-dire
   1 <N.-É. O< 5.
3. Noter que à(1) > 0, à(5) > 0.

Ainsi, en passant du modèle géométrique du problème au modèle analytique, on obtient un système d'inégalités.

Réponse : 2<une < 4.

Comme le montre l'exemple, une méthode graphique de résolution de problèmes du type considéré est possible dans le cas où les racines sont "mauvaises", c'est-à-dire. contiennent un paramètre sous le signe radical (dans ce cas, le discriminant de l'équation n'est pas un carré parfait).
Dans la deuxième solution, nous avons travaillé avec les coefficients de l'équation et la plage de valeurs de la fonction à = N.-É. 2 – 2Oh + une 2 – 1.
Cette solution ne peut pas être appelée uniquement graphique, puisque il s'agit ici de résoudre un système d'inégalités. Au contraire, cette méthode est combinée : fonctionnelle et graphique. De ces deux méthodes, la dernière est non seulement élégante, mais aussi la plus importante, puisqu'elle montre la relation entre tous les types d'un modèle mathématique : une description verbale du problème, un modèle géométrique - un graphique d'un trinôme carré, un modèle analytique - une description d'un modèle géométrique par un système d'inégalités.
Ainsi, nous avons considéré un problème dans lequel les racines d'un trinôme carré satisfont aux conditions spécifiées dans le domaine de définition pour les valeurs souhaitées du paramètre.

Et quelles autres conditions possibles les racines d'un trinôme carré peuvent-elles satisfaire pour les valeurs souhaitées du paramètre ?

Enseignant de la catégorie la plus élevée : Minaichenko N.S., gymnase №24, Sébastopol

Leçon en 8e année : "Trinôme carré et ses racines"

Type de cours : leçon de nouvelles connaissances.

Le but de la leçon :

organiser les activités des étudiants pour consolider et développer les connaissances sur la décomposition d'un trinôme carré en facteurs linéaires, la réduction de fractions;

développer des compétences dans l'application des connaissances de toutes les méthodes de factorisation : parenthèses, en utilisant les formules de multiplication abrégées et la méthode de regroupement afin de préparer la réussite de l'examen d'algèbre ;

créer des conditions pour le développement d'un intérêt cognitif pour le sujet, la formation d'une pensée logique et la maîtrise de soi lors de l'utilisation de la factorisation.

Équipement: projecteur multimédia, écran, présentation : "Les racines d'un trinôme carré", mots croisés, test, polycopiés.

Concepts de base . Factorisation d'un trinôme carré.

Activité indépendante des élèves. Application du théorème sur la factorisation d'un trinôme carré à la résolution de problèmes.

Plan de cours

Résoudre les problèmes.

Réponses aux questions des étudiants

IV. Contrôle primaire de l'assimilation des connaissances. Réflexion

Message du professeur.

Message étudiant

V. Devoirs

Écrire au tableau

Commentaire méthodique :

Ce sujet est fondamental dans la section "Transformations identiques d'expressions algébriques". Par conséquent, il est important que les élèves soient automatiquement capables non seulement de voir des formules de factorisation dans des exemples, mais aussi de les appliquer à d'autres tâches : comme la résolution d'équations, la transformation d'expressions, la preuve d'identités.

Ce sujet se concentre sur la factorisation d'un trinôme carré :

hache+ bx + c = a (x - x) (x - x),

où x et x - les racines de l'équation quadratique ax + bx + c = 0.

Cela vous permet d'élargir le champ de vision de l'élève, de lui apprendre à penser dans une situation non standard, en utilisant le matériel étudié, c'est-à-dire en utilisant la formule de factorisation d'un trinôme carré :

la capacité de réduire les fractions algébriques;

la capacité de simplifier les expressions algébriques ;

la capacité de résoudre des équations ;

la capacité de prouver des identités.

Le contenu principal de la leçon :

a) 3x + 5x - 2 ;

b) –x + 16x - 15 ;

c) x - 12x + 24 ;

d) –5x + 6x - 1.

№2. Réduire la fraction :

№3. Simplifiez l'expression :

№4. Résolvez l'équation :

b)

Pendant les cours :

I. L'étape de mise à jour des connaissances.

Motivation pour les activités d'apprentissage.

a) de l'histoire :

b) mots croisés:

Entraînement mental d'échauffement - mots croisés :

Horizontalement :

1) La racine du second degré s'appelle…. (carré)

2) Les valeurs de la variable à laquelle l'équation devient une véritable égalité (racines)

3) L'égalité contenant l'inconnu s'appelle ... (équation)

4) scientifique indienqui a posé la règle générale pour résoudre les équations du second degré (Brahmagupta)

5) Les coefficients de l'équation quadratique sont ... (nombres)

6) Scientifique grec ancien qui a inventé une méthode géométrique pour résoudre des équations (Euclide)

7) Un théorème liant les coefficients et les racines d'une équation quadratique (Vieta)

8) "discriminant", déterminer les racines de l'équation quadratique est ... (discriminant)

En outre:

Si D> 0, combien de racines ? (deux)

Si D = 0, combien de racines ? (une)

Si D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Sujet de leçon horizontal et vertical : "Trinôme carré"

b) motivation :

Ce sujet est fondamental dans la section "Transformations identiques d'expressions algébriques". Par conséquent, il est important que vous puissiez automatiquement non seulement voir les formules de factorisation dans les exemples, mais aussi les appliquer à d'autres tâches : comme réduire des fractions, résoudre des équations, transformer des expressions, prouver des identités.

Aujourd'hui, nous allons nous concentrer sur la factorisation d'un trinôme carré :

II. Apprentissage de nouveau matériel.

Sujet : Le triterme quadratique et ses racines.

La théorie générale des polynômes de nombreuses variables dépasse largement le cadre du cours scolaire. Par conséquent, nous nous limitons à étudier les polynômes d'une variable réelle, et même dans les cas les plus simples. Considérons les polynômes d'une variable réduits à la forme standard.

La racine du polynôme est la valeur d'une variable à laquelle la valeur du polynôme est égale à zéro. Par conséquent, pour trouver les racines d'un polynôme, il est nécessaire de l'égaler à zéro, c'est-à-dire résous l'équation.

Racine polynomiale de degré 1
facile à trouver
... Examen:
.

Les racines d'un trinôme quadratique peuvent être trouvées en résolvant l'équation :
.

En utilisant la formule pour les racines de l'équation quadratique, nous trouvons:

;

Théorème (sur la factorisation d'un trinôme carré ):

Si et -racines d'un trinôme carré
, où ≠ 0,

alors .

Preuve:

Effectuons les transformations suivantes du trinôme carré :

=
=
=

=
=
=

=
=

Puisque le discriminant
, on a:

=
=

On applique la formule de la différence des carrés entre parenthèses et on obtient :

=
=
,

car
;
... Le théorème est démontré.

La formule résultante est appelée la formulefactorisation d'un trinôme carré.

III. Formation de compétences et de capacités.

№1. Factoriser le carré à trois termes :

a) 3x + 5x - 2 ;

Solution:

Réponse : 3x + 5x – 2 = 3 (x + 2) (x -) = (x + 2) (3x-1)

Sur le bureau:

b) –5x + 6x - 1 ;

En outre:

c) x - 12x + 24 ;

d) –x + 16x - 15.

№2. Réduire la fraction :

une)

№4. Résolvez l'équation :

b)

IV. Contrôle primaire de l'assimilation des connaissances.

une) Test.

Option 1.

1. Trouvez les racines d'un trinôme carré :2x 2 -9x-5

Réponse:

2. Quel polynôme doit être substitué à l'ellipse pour que l'égalité soit vraie :

b) Vérification mutuelle par options (réponses et les paramètres d'estimation sont illustrés).

c) Réflexion.

V. Devoirs.

Calculatrice en ligne.
Sélection d'un carré d'un binôme et factorisation d'un trinôme carré.

Ce programme de mathématiques extrait un binôme carré d'un trinôme carré, c'est à dire. fait une conversion comme :
\ (ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + p) ^ 2 + q \) et factorise un trinôme carré: \ (ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + n) (x + m) \)

Celles. les problèmes se réduisent à trouver les nombres \ (p, q \) et \ (n, m \)

Le programme donne non seulement la réponse au problème, mais affiche également le processus de solution.

Ce programme peut être utile aux élèves de terminale des écoles secondaires en préparation aux tests et aux examens, lors de la vérification des connaissances avant l'examen, aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être est-ce trop cher pour vous d'engager un tuteur ou d'acheter de nouveaux manuels ? Ou voulez-vous simplement faire vos devoirs de mathématiques ou d'algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec une solution détaillée.

De cette façon, vous pouvez mener votre propre enseignement et/ou enseigner à vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine des problèmes à résoudre augmente.

Si vous ne connaissez pas les règles de saisie d'un trinôme carré, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie d'un polynôme carré

N'importe quelle lettre latine peut être utilisée comme variable.
Par exemple : \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Les nombres peuvent être saisis sous forme de nombres entiers ou fractionnaires.
De plus, les nombres fractionnaires peuvent être saisis non seulement sous la forme d'un nombre décimal, mais également sous la forme d'une fraction ordinaire.

Règles de saisie des fractions décimales.
Dans les fractions décimales, la partie fractionnaire du tout peut être séparée par un point ou une virgule.
Par exemple, vous pouvez saisir des décimales comme ceci : 2,5x - 3,5x ^ 2

Règles de saisie des fractions ordinaires.
Seul un entier peut être utilisé comme numérateur, dénominateur et partie entière d'une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif.

Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
La partie entière est séparée de la fraction par une esperluette : &
Entrée : 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
Résultat : \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) x + \ frac (1) (7) x ^ 2 \)

Lors de la saisie d'une expression les parenthèses peuvent être utilisées... Dans ce cas, lors de la résolution, l'expression saisie est d'abord simplifiée.
Par exemple : 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 & 1/2)

Exemple de solution détaillée

Sélection d'un carré d'un binôme.$$ ax ^ 2 + bx + c \ rightarrow a (x + p) ^ 2 + q $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$ $$ 2x ^ 2 + 2 \ cdot 2 \ cdot \ left ( \ frac (1) (2) \ droite) \ cdot x + 2 \ cdot \ gauche (\ frac (1) (2) \ droite) ^ 2- \ frac (9) (2) = $$ $$ 2 \ gauche (x ^ 2 + 2 \ cdot \ gauche (\ frac (1) (2) \ droite) \ cdot x + \ gauche (\ frac (1) (2) \ droite) ^ 2 \ droite) - \ frac ( 9 ) (2) = $$ $$ 2 \ gauche (x + \ frac (1) (2) \ droite) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ Réponse:$$ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ gauche (x + \ frac (1) (2) \ droite) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ Factorisation.$$ hache ^ 2 + bx + c \ flèche droite a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$
$$ 2 \ gauche (x ^ 2 + x-2 \ droite) = $$
$$ 2 \ gauche (x ^ 2 + 2x-1x-1 \ cdot 2 \ droite) = $$ $$ 2 \ gauche (x \ gauche (x +2 \ droite) -1 \ gauche (x +2 \ droite ) \ droite) = $$ $$ 2 \ gauche (x -1 \ droite) \ gauche (x +2 \ droite) $$ Réponse:$$ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ gauche (x -1 \ droite) \ gauche (x +2 \ droite) $$

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Un peu de théorie.

Extraction d'un binôme carré à partir d'un trinôme carré

Si le trinôme carré axe 2 + bx + c est représenté sous la forme a (x + p) 2 + q, où p et q sont des nombres réels, alors ils disent que de trinôme carré le binôme carré.

Choisissez parmi le trinôme 2x 2 + 12x + 14 le carré du binôme.

\ (2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \)

Pour ce faire, nous représentons 6x comme un produit de 2 * 3 * x, puis nous additionnons et soustrayons 3 2. On a:
$$ 2 (x ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) = 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) = $$ $$ = 2 ((x + 3) ^ 2-2) = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Cette. nous a distingué le binôme carré du trinôme carré, et montrer que :
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Factorisation d'un trinôme carré

Si le trinôme carré ax 2 + bx + c est représenté sous la forme a (x + n) (x + m), où n et m sont des nombres réels, alors l'opération est dite effectuée factorisation trinôme carré.

Montrons avec un exemple comment cette transformation est effectuée.

Factoriser le trinôme carré 2x 2 + 4x-6.

Retirons le coefficient a des parenthèses, c'est-à-dire 2:
\ (2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x ^ 2 + 2x-3) \)

Nous transformons l'expression entre parenthèses.
Pour ce faire, nous représentons 2x comme la différence 3x-1x, et -3 comme -1 * 3. On a:
$$ = 2 (x ^ 2 + 3 \ cdot x -1 \ cdot x -1 \ cdot 3) = 2 (x (x + 3) -1 \ cdot (x + 3)) = $$
$$ = 2 (x-1) (x + 3) $$

Cette. nous factorisé le trinôme carré, et montrer que :
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x-1) (x + 3) $$

Notons que la factorisation d'un trinôme quadratique n'est possible que lorsque l'équation quadratique correspondant à ce trinôme a des racines.
Celles. dans notre cas, la factorisation du trinôme 2x 2 + 4x-6 est possible si l'équation quadratique 2x 2 + 4x-6 = 0 a des racines. Dans le processus de factorisation, nous avons constaté que l'équation 2x 2 + 4x-6 = 0 a deux racines 1 et -3, car pour ces valeurs, l'équation 2 (x-1) (x + 3) = 0 devient une vraie égalité.

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Trinôme carré appelé un trinôme de la forme a * x 2 + b * x + c, où a, b, c sont des nombres réels (réels) arbitraires, et x est une variable. De plus, le nombre a ne doit pas être nul.

Les nombres a, b, c sont appelés coefficients. Le nombre a est appelé le coefficient dominant, le nombre b est le coefficient en x et le nombre c est appelé le terme libre.

Par la racine d'un trinôme carré a * x 2 + b * x + c appelle n'importe quelle valeur de la variable x telle que le trinôme carré a * x 2 + b * x + c s'annule.

Afin de trouver les racines d'un trinôme quadratique, vous devez résoudre une équation quadratique de la forme a * x 2 + b * x + c = 0.

Comment trouver les racines d'un trinôme carré

Pour la solution, vous pouvez utiliser l'une des méthodes connues.

• 1 voie.

Trouver les racines d'un trinôme carré en utilisant la formule.

1. Trouvez la valeur du discriminant par la formule D = b 2 -4 * a * c.

2. En fonction de la valeur du discriminant, calculez les racines par les formules :

Si D> 0, alors le trinôme carré a deux racines.

x = -b ± D / 2 * a

Si D< 0, alors le trinôme carré a une racine.

Si le discriminant est négatif, alors le trinôme carré n'a pas de racine.

• Méthode 2.

Trouver les racines d'un trinôme carré en sélectionnant un carré complet. Prenons l'exemple du trinôme carré réduit. Équation quadratique réduite, dont l'équation du coefficient dominant est égale à un.

Trouvez les racines du trinôme carré x 2 + 2 * x-3. Pour ce faire, résolvez l'équation quadratique suivante : x 2 + 2 * x-3 = 0 ;

Transformons cette équation :

Sur le côté gauche de l'équation il y a un polynôme x 2 + 2 * x, pour le représenter comme un carré de la somme, nous avons besoin d'un autre coefficient égal à 1. Ajoutez et soustrayez 1 de cette expression, nous obtenons :

(x 2 + 2 * x + 1) -1 = 3

Qu'est-ce qui peut être représenté entre parenthèses comme un binôme carré

Cette équation se divise en deux cas soit x + 1 = 2, soit x + 1 = -2.

Dans le premier cas, on obtient la réponse x = 1, et dans le second, x = -3.

Réponse : x = 1, x = -3.

À la suite des transformations, nous devons obtenir le carré du binôme du côté gauche et un certain nombre du côté droit. Le côté droit ne doit pas contenir de variable.