Exemples de calcul de limites complexes. limites

La théorie des limites est l'une des sections analyse mathematique. La question de la résolution des limites est assez vaste, car il existe des dizaines de méthodes pour résoudre les limites diverses sortes. Il existe des dizaines de nuances et d'astuces qui vous permettent de résoudre l'une ou l'autre limite. Néanmoins, nous essaierons tout de même de comprendre les principaux types de limites que l'on rencontre le plus souvent en pratique.

Commençons par le concept même de limite. Mais d'abord, un bref rappel historique. Il était une fois un Français, Augustin Louis Cauchy, au XIXe siècle, qui posa les bases de l'analyse mathématique et donna des définitions strictes, notamment la définition de la limite. Il faut dire que ce même Cauchy a rêvé, rêve et rêvera dans des cauchemars de tous les étudiants des facultés physiques et mathématiques, puisqu'il a prouvé un grand nombre de théorèmes d'analyse mathématique, et un théorème est plus dégoûtant que l'autre. À cet égard, nous n'envisagerons pas une définition stricte de la limite, mais essaierons de faire deux choses :

1. Comprendre ce qu'est une limite.
2. Apprenez à résoudre les principaux types de limites.

Je m'excuse pour certaines explications non scientifiques, il est important que le matériel soit compréhensible même pour une théière, ce qui, en fait, est la tâche du projet.

Quelle est donc la limite ?

Et tout de suite un exemple de pourquoi baiser sa grand-mère....

Toute limite se compose de trois parties:

1) L'icône de limite bien connue.
2) Entrées sous l'icône de limite, dans ce cas . L'entrée se lit "x tend vers l'unité". Le plus souvent - exactement, bien qu'au lieu de "x" dans la pratique, il existe d'autres variables. Dans les tâches pratiques, à la place d'une unité, il peut y avoir absolument n'importe quel nombre, ainsi que l'infini ().
3) Fonctionne sous le signe limite, dans ce cas .

Le dossier lui-même se lit comme suit : "la limite de la fonction lorsque x tend vers l'unité".

Analysons ce qui suit question importante Que signifie l'expression "X" ? chercheà l'unité ? Et qu'est-ce que "s'efforcer" de toute façon ?
Le concept de limite est un concept, pour ainsi dire, dynamique. Construisons une suite : d'abord , puis , , …, , ….
Autrement dit, l'expression "x chercheà un" doit être compris comme suit - "x" prend systématiquement les valeurs qui sont infiniment proches de l'unité et coïncident pratiquement avec elle.

Comment résoudre l'exemple ci-dessus? Sur la base de ce qui précède, il vous suffit de remplacer l'unité dans la fonction sous le signe limite :

Donc la première règle est : Lorsqu'une limite est donnée, essayez d'abord de brancher le nombre dans la fonction.

Nous avons considéré la limite la plus simple, mais on en trouve aussi dans la pratique, et pas si rarement !

Exemple d'infini :

Comprendre ce que c'est ? C'est le cas lorsqu'il augmente indéfiniment, c'est-à-dire : d'abord, puis, puis, puis, et ainsi de suite à l'infini.

Et qu'advient-il de la fonction à ce moment?
, , , …

Donc : si , alors la fonction tend vers moins l'infini:

En gros, selon notre première règle, nous substituons l'infini dans la fonction au lieu de "x" et obtenons la réponse .

Autre exemple avec l'infini :

Encore une fois, nous commençons à augmenter jusqu'à l'infini et regardons le comportement de la fonction :

Conclusion : pour , la fonction croît indéfiniment:

Et une autre série d'exemples :

Veuillez essayer d'analyser mentalement ce qui suit par vous-même et rappelez-vous les types de limites les plus simples :

, , , , , , , , ,
En cas de doute quelque part, vous pouvez prendre une calculatrice et vous entraîner un peu.
Dans le cas où , essayez de construire la séquence , , . Si donc , , .

Remarque : à proprement parler, cette approche consistant à construire des séquences de plusieurs nombres est incorrecte, mais elle est tout à fait adaptée pour comprendre les exemples les plus simples.

Faites également attention à la chose suivante. Même si une limite est donnée avec un grand nombre en haut, ou au moins avec un million : , alors tout de même , car tôt ou tard "x" prendra des valeurs si gigantesques qu'un million par rapport à eux sera un véritable microbe.

Que faut-il retenir et comprendre de ce qui précède ?

1) Lorsqu'une limite est donnée, nous essayons d'abord simplement de substituer un nombre dans la fonction.

2) Vous devez comprendre et résoudre immédiatement les limites les plus simples, telles que , , etc.

Considérons maintenant le groupe de limites, quand , et la fonction est une fraction, dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes

Exemple:

Calculer la limite

Selon notre règle, nous allons essayer de substituer l'infini dans une fonction. Qu'obtenons-nous au sommet? Infini. Et que se passe-t-il en dessous ? L'infini aussi. Ainsi, nous avons ce qu'on appelle l'indétermination de la forme. On pourrait penser que , et la réponse est prête, mais dans le cas général ce n'est pas du tout le cas, et une solution doit être appliquée, que nous allons maintenant considérer.

Comment résoudre les limites de ce type ?

Nous regardons d'abord le numérateur et trouvons la puissance la plus élevée :

La puissance la plus élevée du numérateur est deux.

Maintenant, nous regardons le dénominateur et trouvons également le degré le plus élevé :

La plus grande puissance du dénominateur est deux.

Ensuite, nous choisissons la puissance la plus élevée du numérateur et du dénominateur : dans cet exemple, ils sont identiques et égaux à deux.

Ainsi, la méthode de résolution est la suivante : pour révéler l'incertitude, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par au degré le plus élevé.

La voici, la réponse, et pas l'infini du tout.

Qu'est-ce qui est essentiel pour prendre une décision ?

Tout d'abord, nous indiquons l'incertitude, le cas échéant.

Deuxièmement, il est souhaitable d'interrompre la solution pour des explications intermédiaires. J'utilise habituellement le signe, il n'a aucune signification mathématique, mais signifie que la solution est interrompue pour une explication intermédiaire.

Troisièmement, à la limite, il est souhaitable de marquer quoi et où il tend. Lorsque le travail est rédigé à la main, il est plus pratique de le faire comme ceci:

Pour les notes, il est préférable d'utiliser un simple crayon.

Bien sûr, vous ne pouvez rien faire de cela, mais alors, peut-être que l'enseignant notera les lacunes de la solution ou commencera à poser des questions supplémentaires sur le devoir. Et en avez-vous besoin ?

Exemple 2

Trouver la limite
Toujours au numérateur et au dénominateur on retrouve au plus haut degré :

Degré maximum au numérateur : 3
Degré maximum au dénominateur : 4
Choisir le plus grand valeur, dans ce cas quatre.
Selon notre algorithme, pour révéler l'incertitude, nous divisons le numérateur et le dénominateur par .
Conception complète les emplois pourraient ressembler à ceci :

Diviser le numérateur et le dénominateur par

Exemple 3

Trouver la limite
Le degré maximum de "x" au numérateur : 2
La puissance maximale de "x" au dénominateur : 1 (peut s'écrire)
Pour révéler l'incertitude, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par . Une solution propre pourrait ressembler à ceci :

Diviser le numérateur et le dénominateur par

Le record ne signifie pas division par zéro (il est impossible de diviser par zéro), mais division par un nombre infiniment petit.

Ainsi, en révélant l'indétermination de la forme, on peut obtenir nombre fini, zéro ou infini.

Limites avec incertitude de type et une méthode pour leur solution

Le groupe de limites suivant est quelque peu similaire aux limites que nous venons de considérer : il y a des polynômes au numérateur et au dénominateur, mais "x" ne tend plus vers l'infini, mais vers nombre final.

Exemple 4

Résoudre la limite
Essayons d'abord de substituer -1 dans une fraction :

Dans ce cas, la soi-disant incertitude est obtenue.

Règle générale : s'il y a des polynômes dans le numérateur et le dénominateur, et il y a une incertitude de la forme , alors pour sa divulgation factoriser le numérateur et le dénominateur.

Pour ce faire, il faut souvent décider équation quadratique et/ou utiliser des formules de multiplication abrégées. Si ces choses sont oubliées, alors visitez la page Formules et tableaux mathématiques et vérifier matériel méthodologique Formules chaudes cours d'école mathématiques. Soit dit en passant, il est préférable de l'imprimer, il est nécessaire très souvent et les informations sur papier sont mieux absorbées.

Alors résolvons notre limite

Factoriser le numérateur et le dénominateur

Pour factoriser le numérateur, vous devez résoudre l'équation quadratique :

On trouve d'abord le discriminant :

Et sa racine carrée : .

Si le discriminant est grand, par exemple 361, on utilise une calculatrice, la fonction d'extraction racine carrée est sur la calculatrice la plus simple.

! Si la racine n'est pas complètement extraite (il s'avère nombre fractionnaire avec un point-virgule), il est fort probable que le discriminant soit mal calculé ou qu'il y ait une faute de frappe dans la tâche.

Ensuite, nous trouvons les racines:

De cette façon:

Tout. Le numérateur est factorisé.

Dénominateur. Le dénominateur est déjà le facteur le plus simple, et il n'y a aucun moyen de le simplifier.

Évidemment, il peut être raccourci en :

Maintenant, nous substituons -1 dans l'expression qui reste sous le signe limite :

Naturellement, dans un test, sur un test, un examen, la solution n'est jamais peinte avec autant de détails. Dans la version finale, le design devrait ressembler à ceci :

Factorisons le numérateur.

Exemple 5

Calculer la limite

D'abord une solution "propre"

Factorisons le numérateur et le dénominateur.

Numérateur:
Dénominateur:



,

Qu'est-ce qui est important dans cet exemple ?
Tout d'abord, vous devez bien comprendre comment le numérateur est révélé, d'abord nous avons mis 2 entre parenthèses, puis nous avons utilisé la formule de la différence des carrés. C'est la formule que vous devez connaître et voir.

appendice

Limites en ligne sur le site pour la consolidation complète du matériel couvert par les étudiants et les écoliers. Comment trouver la limite en ligne en utilisant notre ressource? C'est très facile à faire, il vous suffit d'écrire correctement la fonction d'origine avec la variable x, de sélectionner l'infini souhaité dans le sélecteur et de cliquer sur le bouton "Solution". Dans le cas où la limite de la fonction doit être calculée à un certain point x, alors vous devez spécifier la valeur numérique de ce point même. Vous recevrez la réponse à la décision de la limite en quelques secondes, en d'autres termes - instantanément. Cependant, si vous entrez des données incorrectes, le service vous avertira automatiquement d'une erreur. Corrigez la fonction précédemment introduite et obtenez la bonne décision limite. Pour résoudre les limites, toutes les techniques possibles sont utilisées, la méthode de L'Hôpital est surtout souvent utilisée, car elle est universelle et conduit à une réponse plus rapide que les autres méthodes de calcul de la limite d'une fonction. Il est intéressant de considérer des exemples dans lesquels le module est présent. Soit dit en passant, selon les règles de notre ressource, le module est désigné par la barre verticale classique en mathématiques "|" ou Abs(f(x)) du latin absolu. Souvent, une solution à une limite est nécessaire pour calculer la somme d'une suite de nombres. Comme tout le monde le sait, il suffit d'exprimer correctement la somme partielle de la suite étudiée, puis tout est beaucoup plus facile grâce à notre service de site Web gratuit, puisque le calcul de la limite à partir de la somme partielle est la somme finale de la suite numérique . D'une manière générale, la théorie du passage à la limite est le concept de base de toute analyse mathématique. Tout est basé précisément sur les transitions limites, c'est-à-dire que la solution des limites est la base de la science de l'analyse mathématique. L'intégration utilise aussi le passage à la limite, lorsque l'intégrale est théoriquement représentée comme la somme d'un nombre illimité de domaines. Là où il y a un nombre illimité de quelque chose, c'est-à-dire la tendance du nombre d'objets à l'infini, alors la théorie des transitions limites entre toujours en vigueur, et sous la forme généralement acceptée, c'est la solution des limites familières à tout le monde . La résolution des limites en ligne sur le site du site est un service unique permettant d'obtenir une réponse précise et instantanée en temps réel. La limite d'une fonction (la valeur limite d'une fonction) en un point donné, limite du domaine de définition d'une fonction, est la valeur vers laquelle tend la valeur de la fonction considérée lorsque son argument tend vers un point donné . Il n'est pas rare, et nous dirions même très souvent, que les étudiants se posent la question de résoudre des limites en ligne lorsqu'ils étudient le calcul. Vous vous demandez comment résoudre la limite en ligne avec une solution détaillée exclusivement dans occasions spéciales, il devient clair qu'il est impossible de faire face à une tâche difficile sans l'utilisation d'un calculateur de limite de calcul. La résolution des limites par notre service est un gage de précision et de simplicité La limite d'une fonction est une généralisation de la notion de limite d'une suite : initialement, la limite d'une fonction en un point était comprise comme la limite de une séquence d'éléments du domaine d'une fonction, composée d'images de points d'une séquence d'éléments du domaine d'une fonction convergeant vers un point donné (limite à laquelle on considère) ; si une telle limite existe, on dit que la fonction converge vers la valeur spécifiée ; si une telle limite n'existe pas, alors la fonction est dite divergente. Résoudre les limites en ligne devient une réponse facile pour les utilisateurs, à condition qu'ils sachent comment résoudre la limite en ligne à l'aide du site. Soyons concentrés et ne laissons pas les erreurs nous causer des problèmes sous la forme de notes insatisfaisantes. Comme toute solution aux limites en ligne, votre tâche sera présentée sous une forme pratique et compréhensible, avec une solution détaillée, dans le respect de toutes les règles et réglementations pour obtenir une solution. La définition de la limite d'une fonction est le plus souvent formulée dans le langage des voisinages. Ici, les limites de la fonction ne sont considérées qu'aux points limitant pour le domaine de la fonction, ce qui signifie que dans chaque voisinage d'un point donné, il y a des points du domaine de la définition de cette même fonction. Cela nous permet de parler de la tendance de l'argument de la fonction à un point donné. Mais le point limite du domaine de définition n'a pas à appartenir au domaine lui-même, et cela se prouve en résolvant la limite : par exemple, on peut considérer la limite d'une fonction aux extrémités d'un intervalle ouvert sur lequel la fonction est défini. Dans ce cas, les frontières de l'intervalle elles-mêmes ne sont pas incluses dans le domaine de définition. En ce sens, le système des voisinages poinçonnés d'un point donné est cas particulier une telle base d'ensembles. La résolution des limites en ligne avec une solution détaillée se fait en temps réel et en appliquant des formules sous une forme explicite. Vous pouvez gagner du temps, et surtout de l'argent, car nous ne demandons pas de récompense pour cela. S'il y a une limite à un certain point du domaine de la fonction et que la solution à cette limite est égale à la valeur de la fonction au point donné, alors la fonction est continue à ce point. Sur notre site, la solution des limites est disponible en ligne 24 heures sur 24, tous les jours et toutes les minutes. Il est très important d'utiliser le calculateur de limites et l'essentiel est de l'utiliser à chaque fois que vous avez besoin de vérifier vos connaissances. . Les étudiants bénéficient clairement de toutes ces fonctionnalités. Calculer la limite, en utilisant et en appliquant uniquement la théorie, n'est pas toujours aussi facile que le disent les étudiants expérimentés des départements de mathématiques des universités du pays. Un fait reste un fait en présence d'un but. Habituellement, la solution trouvée des limites n'est pas applicable localement pour les problèmes de réglage. L'étudiant se réjouira dès qu'il découvrira le calculateur de limites en ligne sur Internet et en accès libre, et pas seulement pour lui, mais pour tout le monde. La nomination doit être considérée comme les mathématiques, en général, sa compréhension. Si vous demandez sur Internet comment trouver la limite en ligne en détail, la masse de sites qui apparaissent à la suite de la demande n'aidera pas comme nous le faisons. La différence des côtés est multipliée par l'équivalence de l'occurrence. La limite primordialement légitime d'une fonction doit être déterminée par leur formulation du problème mathématique lui-même. Hamilton avait raison, mais cela vaut la peine de considérer les déclarations de ses contemporains. En aucun cas, calculer des limites en ligne n'est pas une tâche aussi difficile que cela puisse paraître à première vue.. Afin de ne pas briser la vérité des théories inébranlables. Pour en revenir à la situation initiale, il est nécessaire de calculer la limite rapidement, efficacement et sous une forme bien formatée. Aurait-il été possible de faire autrement ? Cette approche est évidente et justifiée. Le calculateur de limite a été créé pour augmenter les connaissances, améliorer la qualité de l'écriture devoirs et élever l'humeur générale parmi les étudiants, donc ce sera bon pour eux. Vous avez juste besoin de penser aussi vite que possible et l'esprit triomphera. Parler explicitement des limites en ligne en termes d'interpolation est un exercice très raffiné pour les professionnels dans leur métier. Nous prédisons le rapport du système de différences non programmées en des points de l'espace. Et encore une fois, le problème est réduit à l'incertitude, basée sur le fait que la limite de la fonction existe à l'infini et dans un certain voisinage d'un point local sur un axe des abscisses donné après une transformation affine de l'expression initiale. Il sera plus facile d'analyser l'ascension des points sur le plan et sur le dessus de l'espace. Dans l'état général des choses, il n'est pas dit de dériver une formule mathématique, à la fois dans la nature et en théorie, de sorte que le calculateur de limite en ligne est utilisé aux fins prévues dans ce sens. Sans définir la limite en ligne, je trouve qu'il est difficile d'approfondir les calculs dans le domaine de l'étude de l'espace curviligne. Il ne serait pas plus facile de trouver la vraie réponse correcte. N'est-il pas possible de calculer la limite si un point donné de l'espace est indéfini au préalable ? Réfutons la présence de réponses en dehors du domaine d'études. Du point de vue de l'analyse mathématique, on peut argumenter sur la solution des limites comme le début de l'étude d'une suite de points sur un axe. Il peut être inapproprié du fait même de l'opération de calculs. Les nombres sont représentés comme une séquence infinie et sont identifiés avec l'enregistrement initial après avoir résolu la limite en ligne en détail selon la théorie. justifié en faveur de meilleure valeur. Le résultat de la limite de fonction, en tant qu'erreur manifeste d'un problème mal formulé, peut déformer l'idée du processus mécanique réel d'un système instable. La capacité d'exprimer le sens directement dans la fenêtre d'affichage. Après avoir comparé la limite en ligne avec un enregistrement similaire d'une valeur limite unilatérale, il vaut mieux éviter de l'exprimer explicitement à l'aide de formules de réduction. En plus du début de l'exécution proportionnelle de la tâche. Nous développons le polynôme après avoir réussi à calculer la limite unilatérale et à l'écrire à l'infini. De simples réflexions conduisent dans l'analyse mathématique au vrai résultat. Une solution simple de limites se résume souvent à un degré différent d'égalité d'illustrations mathématiques opposées exécutables. Les lignes et les nombres de Fibonacci ont déchiffré le calculateur de limite en ligne, en fonction de cela, vous pouvez commander un calcul sans limite et la complexité peut reculer en arrière-plan. Il y a un processus de dépliage du graphe sur un plan dans une tranche d'espace tridimensionnel. Cela a inculqué la nécessité d'avoir des points de vue différents sur un problème mathématique complexe. Cependant, le résultat ne vous fera pas attendre. Cependant, le processus continu de réalisation du produit ascendant déforme l'espace des lignes et écrit la limite en ligne pour se familiariser avec l'énoncé du problème. Le caractère naturel du flux du processus d'accumulation de problèmes détermine le besoin de connaissance de tous les domaines des disciplines mathématiques. Un excellent calculateur de limites deviendra un outil indispensable entre les mains d'étudiants expérimentés, et ils apprécieront tous ses avantages par rapport aux analogues du progrès numérique. Dans les écoles, pour une raison quelconque, les limites en ligne sont appelées différemment que dans les instituts. La valeur de la fonction augmentera en changeant l'argument. Même Lopital a dit - pour trouver la limite de la fonction n'est que la moitié de la bataille, il est nécessaire d'amener la tâche à sa conclusion logique et de présenter la réponse sous une forme développée. La réalité est adéquate à la présence des faits dans l'affaire. Historiquement lié à la limite en ligne aspects importants disciplines mathématiques et forment la base de l'étude de la théorie des nombres. Encodage de page en formules mathématiques disponible dans la langue du client dans le navigateur. Comment calculeriez-vous la limite par une méthode légale acceptable, sans forcer la fonction à changer dans la direction de l'axe des x. En général, la réalité de l'espace ne dépend pas seulement de la convexité d'une fonction ou de sa concavité. Éliminez toutes les inconnues du problème, et la solution des limites réduira au moindre coût les ressources mathématiques dont vous disposez. La solution de la tâche définie corrigera la fonctionnalité à cent pour cent. L'attente qui se produit exploitera la limite en ligne en détail en ce qui concerne l'écart par rapport au rapport singulier le moins significatif. Trois jours se sont écoulés depuis solution mathématique en faveur des sciences. C'est vraiment activité utile. Sans raison de ne pas avoir de limite, en ligne signifierait une divergence dans l'approche globale de résolution des problèmes situationnels. meilleur titre une limite unilatérale avec une incertitude de 0/0 sera nécessaire à l'avenir. Une ressource peut être non seulement belle et bonne, mais aussi utile lorsqu'elle peut calculer la limite pour vous. Le grand scientifique, en tant qu'étudiant, a exploré les fonctions de l'écriture travail scientifique. Dix ans ont passé. Avant diverses nuances, il convient de commenter sans ambiguïté l'espérance mathématique en faveur du fait que la limite de la fonction emprunte la divergence des principes. Ils ont répondu aux travaux de contrôle commandés. En mathématiques, une position exceptionnelle dans l'enseignement est, curieusement, l'étude de la limite en ligne avec des relations de tiers réciproques. Comme cela arrive habituellement. Vous ne pouvez rien jouer. Après avoir analysé les approches des étudiants qui étudient les théories mathématiques, nous laisserons complètement la décision des limites à l'étape finale. C'est le sens de ce qui suit, examinez le texte. La réfraction définit de manière unique une expression mathématique comme l'essence de l'information reçue. limite en ligne est l'essence même de la détermination de la véritable position du système mathématique de la relativité des vecteurs multidirectionnels. En ce sens, je veux dire exprimer ma propre opinion. Comme dans la tâche précédente. La limite distinctive en ligne prolonge en détail son influence sur la vision mathématique de l'étude séquentielle de l'analyse de programme dans le domaine d'études. Dans le contexte de la théorie, les mathématiques sont quelque chose de plus élevé que la simple science. La loyauté est confirmée par les actions. Il n'est pas possible de rompre délibérément la chaîne de nombres consécutifs qui commencent leur mouvement ascendant si la limite est mal calculée. La surface à deux faces est exprimée en en nature en pleine grandeur. Derrière l'opportunité d'explorer l'analyse mathématique, la limite d'une fonction enferme une séquence de séries fonctionnelles comme un voisinage epsilon en un point donné. Contrairement à la théorie des fonctions, les erreurs de calcul ne sont pas exclues, mais cela est prévu par la situation. En divisant par la limite du problème en ligne, vous pouvez écrire la fonction de divergence variable pour le produit rapide d'un système non linéaire d'espace tridimensionnel. Le cas trivial est la base de l'opération. Pas besoin d'être étudiant pour analyser ce cas. L'ensemble des instants du calcul en cours, initialement la solution des limites, détermine comment le fonctionnement de l'ensemble système complet progresser le long de l'axe des ordonnées sur plusieurs valeurs de nombres. Nous prenons pour valeur de base la plus petite valeur mathématique possible. La conclusion est évidente. La distance entre les plans aidera à se développer dans la théorie des limites en ligne, car l'utilisation de la méthode de calcul divergent de l'aspect circumpolaire de la signification ne porte pas le sens inhérent. Bon choix, si le calculateur de limite est situé sur le serveur, il peut être pris tel quel sans déformer l'importance du changement de surface dans les zones, sinon le problème de linéarité deviendra plus important. Une analyse mathématique complète a révélé l'instabilité du système ainsi que sa description dans la région du plus petit voisinage du point. Comme toute limite de la fonction le long de l'axe d'intersection des ordonnées et des abscisses, il est possible d'enfermer les valeurs numériques des objets dans un voisinage minimum selon la distribution de la fonctionnalité du processus de recherche. Écrivons la tâche point par point. Il y a une division en étapes d'écriture. Les déclarations académiques selon lesquelles il est vraiment difficile ou pas du tout facile de calculer la limite sont étayées par une analyse des points de vue mathématiques de tous les étudiants et étudiants diplômés sans exception. Les éventuels résultats intermédiaires ne vous feront pas attendre pendant longtemps . La limite ci-dessus en ligne explore en détail le minimum absolu de la différence de système des objets, au-delà de laquelle la linéarité de l'espace des mathématiques est faussée. La segmentation de grande surface de la zone n'est pas utilisée par les élèves pour calculer l'écart multiple après avoir écrit le calculateur de limite de soustraction en ligne. Après le début, nous interdirons aux élèves de réviser des problèmes pour l'étude de l'environnement spatial en mathématiques. Puisque nous avons déjà trouvé la limite de la fonction, construisons un graphe de son étude sur le plan. Mettons en surbrillance l'axe y avec une couleur spéciale et montrons la direction des lignes. Il y a de la stabilité. L'incertitude est présente longtemps lors de la rédaction de la réponse. Calculer la limite d'une fonction en un point simplement en analysant la différence des bornes à l'infini dans les conditions initiales. Cette méthode n'est pas connue de tous les utilisateurs. Nous avons besoin d'une analyse mathématique. La solution des limites accumule l'expérience dans l'esprit des générations pour de nombreuses années à venir. Il est impossible de ne pas compliquer le processus. Les étudiants de toutes les générations sont responsables de sa conclusion. Tout ce qui précède peut commencer à changer en l'absence d'un argument de fixation en termes de position des fonctions près d'un certain point en retard sur les calculateurs de limite en termes de différence de puissance de calcul. Étudions la fonction pour obtenir la réponse résultante. La conclusion n'est pas évidente. Après avoir exclu du nombre total de fonctions définies implicitement après la transformation des expressions mathématiques, la dernière étape reste à trouver correctement et avec une grande précision les limites en ligne. Il est nécessaire de vérifier l'acceptabilité de la décision rendue. Le processus se poursuit. Localisez la séquence indépendamment des fonctions et, en appliquant leur vaste expérience, les mathématiciens doivent calculer la limite derrière la justification de la direction correcte dans l'étude. Un tel résultat n'a pas besoin d'une élévation théorique. Modifiez la proportion de nombres à l'intérieur d'un voisinage d'un point non nul sur l'axe des x à l'angle d'inclinaison spatiale variable en ligne du calculateur de limite latérale sous une tâche écrite en mathématiques. Relions deux zones dans l'espace. Les désaccords des solveurs sur la façon dont la limite d'une fonction acquiert les propriétés des valeurs unilatérales dans l'espace ne peuvent passer inaperçus par les performances contrôlées renforcées des étudiants. La direction de la limite en ligne des mathématiques a pris l'une des positions les plus contestées sur l'incertitude dans les calculs de ces mêmes limites. À un stade précoce de la science, un étudiant apprendra par cœur un calculateur de limite en ligne pour la hauteur des triangles isocèles et des cubes avec un côté de trois rayons de cercle. Laissons à la conscience des étudiants le soin de résoudre les limites dans l'étude d'un système mathématique affaibli fonctionnant du côté du plan de recherche. Le point de vue de l'étudiant sur la théorie des nombres est ambigu. Tout le monde a sa propre opinion. La bonne direction dans l'étude des mathématiques aidera à calculer la limite dans vrai sens, comme il est d'usage dans les universités des pays avancés. La cotangente en mathématiques est calculée comme un calculateur de limites et est le rapport de deux autres éléments élémentaires fonctions trigonométriques, à savoir le cosinus et le sinus de l'argument. Ceci conclut la solution en demi-segments. Il est peu probable qu'une autre approche résolve la situation en faveur du moment passé. Vous pouvez parler longtemps de la difficulté et de l'inutilité de résoudre la limite en ligne en détail sans comprendre, mais cette approche est susceptible de renforcer la discipline interne des étudiants pour le mieux.

Théorie des limites- une des sections de l'analyse mathématique, que l'on peut maîtriser, d'autres calculent à peine les limites. La question de trouver des limites est assez générale, puisqu'il existe des dizaines d'astuces solutions limites divers types. Les mêmes limites peuvent être trouvées à la fois par la règle de L'Hôpital et sans elle. Il arrive que le calendrier dans une série de fonctions infinitésimales vous permette d'obtenir rapidement le résultat souhaité. Il existe un ensemble de trucs et astuces qui vous permettent de trouver la limite d'une fonction de toute complexité. Dans cet article, nous allons essayer de comprendre les principaux types de limites que l'on rencontre le plus souvent en pratique. Nous ne donnerons pas la théorie et la définition de la limite ici, il existe de nombreuses ressources sur Internet où cela est mâché. Alors, faisons des calculs pratiques, c'est là que vous commencez "Je ne sais pas ! Je ne sais pas comment ! On n'a pas appris !"

Calcul des limites par la méthode de substitution

Exemple 1 Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Solution : En théorie, les exemples de ce type sont calculés par la substitution habituelle

La limite est le 18/11.
Il n'y a rien de compliqué et de sage dans de telles limites - ils ont remplacé la valeur, calculé, noté la limite en réponse. Cependant, sur la base de telles limites, tout le monde apprend qu'il faut d'abord substituer une valeur à la fonction. De plus, les limites compliquent, introduisent le concept d'infini, d'incertitude, etc.

Limite avec incertitude de type infini divisé par l'infini. Méthodes de divulgation des incertitudes

Exemple 2 Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infini).
Solution : Une limite de la forme polynôme divisé par un polynôme est donnée, et la variable tend vers l'infini

Une simple substitution de la valeur à laquelle la variable doit trouver les limites n'aidera pas, nous obtenons l'incertitude de la forme infini divisé par l'infini.
Théorie du pot des limites L'algorithme de calcul de la limite consiste à trouver le plus grand degré de "x" dans le numérateur ou le dénominateur. Ensuite, le numérateur et le dénominateur sont simplifiés et la limite de la fonction est trouvée

Comme la valeur tend vers zéro lorsque la variable tend vers l'infini, elles sont négligées ou écrites dans l'expression finale sous forme de zéros

Immédiatement à partir de la pratique, vous pouvez obtenir deux conclusions qui sont un indice dans les calculs. Si la variable tend vers l'infini et que le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, alors la limite est égale à l'infini. Sinon, si le polynôme au dénominateur est d'ordre supérieur à celui du numérateur, la limite est zéro.
La formule limite peut s'écrire

Si nous avons une fonction de la forme d'un journal ordinaire sans fractions, alors sa limite est égale à l'infini

type suivant limites concerne le comportement des fonctions proches de zéro.

Exemple 3 Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Solution : Ici, il n'est pas nécessaire de retirer le multiplicateur principal du polynôme. Exactement le contraire, il faut trouver la plus petite puissance du numérateur et du dénominateur et calculer la limite

valeur x^2 ; x tend vers zéro lorsque la variable tend vers zéro Par conséquent, ils sont négligés, donc on obtient

que la limite est de 2,5.

Maintenant tu sais comment trouver la limite d'une fonction sorte de polynôme divisé par un polynôme si la variable tend vers l'infini ou 0. Mais ce n'est qu'une petite partie facile des exemples. À partir du matériel suivant, vous apprendrez comment découvrir les incertitudes des limites d'une fonction.

Limite avec incertitude de type 0/0 et méthodes de calcul

Tout le monde se souvient immédiatement de la règle selon laquelle vous ne pouvez pas diviser par zéro. Cependant, la théorie des limites dans ce contexte signifie des fonctions infinitésimales.
Prenons quelques exemples pour illustrer.

Exemple 4 Trouver la limite d'une fonction
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Solution : En substituant la valeur de la variable x = -1 au dénominateur, on obtient zéro, on obtient la même chose au numérateur. Nous avons donc incertitude de la forme 0/0.
Il est facile de gérer une telle incertitude : vous devez factoriser le polynôme, ou plutôt sélectionner un facteur qui transforme la fonction en zéro.

Après décomposition, la limite de la fonction peut s'écrire

C'est toute la technique pour calculer la limite d'une fonction. On fait de même s'il existe une limite de la forme d'un polynôme divisé par un polynôme.

Exemple 5 Trouver la limite d'une fonction
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Solution : La substitution directe montre
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
qu'avons-nous incertitude de type 0/0.
Diviser les polynômes par le facteur qui introduit la singularité


Il y a des enseignants qui enseignent que les polynômes du 2ème ordre, c'est-à-dire le type des "équations quadratiques", doivent être résolus par le discriminant. Mais la pratique réelle montre que c'est plus long et plus compliqué, alors débarrassez-vous des fonctionnalités dans les limites selon l'algorithme spécifié. Ainsi, nous écrivons la fonction sous forme de facteurs simples et calculons à la limite

Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de compliqué à calculer de telles limites. Vous savez diviser des polynômes au moment d'étudier les limites, du moins selon le programme, vous devriez déjà réussir.
Parmi les tâches de incertitude de type 0/0 il y a ceux où il faut appliquer les formules de multiplication abrégée. Mais si vous ne les connaissez pas, alors en divisant le polynôme par le monôme, vous pouvez obtenir la formule souhaitée.

Exemple 6 Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Solution : Nous avons une incertitude de type 0/0 . Au numérateur, nous utilisons la formule de multiplication abrégée

et calculer la limite souhaitée

Méthode de divulgation des incertitudes par multiplication par le conjugué

La méthode est appliquée aux limites dans lesquelles les fonctions irrationnelles génèrent de l'incertitude. Le numérateur ou le dénominateur devient zéro au point de calcul et on ne sait pas comment trouver la limite.

Exemple 7 Trouver la limite d'une fonction
Lim((carré(x+2)-carré(7x-10))/(3x-6), x=2).
Solution: Représentons la variable dans la formule limite

Lors de la substitution, on obtient une incertitude de type 0/0.
Selon la théorie des limites, le schéma pour contourner cette singularité consiste à multiplier expression irrationnelle au conjugué. Pour garder l'expression inchangée, le dénominateur doit être divisé par la même valeur

Par la règle de la différence des carrés, nous simplifions le numérateur et calculons la limite de la fonction

Nous simplifions les termes qui créent une singularité dans la limite et effectuons la substitution

Exemple 8 Trouver la limite d'une fonction
Lim((carré(x-2)-carré(2x-5))/(3-x), x=3).
Solution : La substitution directe montre que la limite a une singularité de la forme 0/0.

Pour développer, multiplier et diviser par le conjugué au numérateur

Notez la différence des carrés

On simplifie les termes qui introduisent une singularité et on trouve la limite de la fonction

Exemple 9 Trouver la limite d'une fonction
Lim((x^2+x-6)/(carré(3x-2)-2), x=2).
Solution : remplacer le deux dans la formule

Avoir incertitude 0/0.
Le dénominateur doit être multiplié par l'expression conjuguée, et au numérateur, résoudre l'équation quadratique ou factoriser en tenant compte de la singularité. Comme on sait que 2 est une racine, alors la deuxième racine est trouvée par le théorème de Vieta

Ainsi, nous écrivons le numérateur sous la forme

et mis à la limite

Après avoir réduit la différence de carrés, nous nous débarrassons des caractéristiques du numérateur et du dénominateur

De la manière ci-dessus, vous pouvez vous débarrasser de la singularité dans de nombreux exemples, et l'application doit être remarquée partout où la différence donnée des racines se transforme en zéro lors de la substitution. D'autres types de limites concernent fonctions exponentielles, fonctions infinitésimales, logarithmes, limites singulières et autres techniques. Mais vous pouvez lire à ce sujet dans les articles ci-dessous sur les limites.

Méthodes de résolution des limites. Incertitudes.
Ordre de croissance des fonctions. Méthode de remplacement

Exemple 4

Trouver la limite

Ceci est un exemple plus simple pour solution indépendante. Dans l'exemple proposé, encore une fois, incertitude (d'un ordre de croissance supérieur à la racine).

Si "x" tend vers "moins l'infini"

Le fantôme de "moins l'infini" plane depuis longtemps dans cet article. Considérons les limites avec des polynômes dans lesquels . Les principes et les méthodes de résolution seront exactement les mêmes que dans la première partie de la leçon, à l'exception d'un certain nombre de nuances.

Considérez 4 puces qui seront nécessaires pour résoudre des tâches pratiques :

1) Calculer la limite

La valeur de la limite ne dépend que du terme car elle a l'ordre de croissance le plus élevé. Si donc modulo infiniment grand nombre négatifà un degré PAIR, dans ce cas - dans le quatrième, est égal à "plus l'infini": . Constante ("deux") positif, Voilà pourquoi:

2) Calculer la limite

Voici à nouveau le diplôme supérieur même, Voilà pourquoi: . Mais il y a un "moins" devant ( négatif constante –1), donc :

3) Calculez la limite

La valeur de la limite ne dépend que de . Comme vous vous en souvenez à l'école, "moins" "sort" sous le degré impair, donc modulo infiniment grand nombre négatif à une puissance impaire est égal à "moins l'infini", dans ce cas : .
Constante ("quatre") positif, veux dire:

4) Calculez la limite

Le premier gars du village a encore impair degré, d'ailleurs, dans le sein négatif constante, ce qui signifie : Ainsi :
.

Exemple 5

Trouver la limite

En utilisant les points ci-dessus, nous concluons qu'il y a ici une incertitude. Le numérateur et le dénominateur sont du même ordre de croissance, ce qui signifie qu'à la limite on obtiendra un nombre fini. Nous apprenons la réponse en jetant tous les alevins :

La solution est triviale :

Exemple 6

Trouver la limite

Ceci est un exemple à faire soi-même. Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

Et maintenant, peut-être le plus subtil des cas :

Exemple 7

Trouver la limite

Considérant les termes supérieurs, nous arrivons à la conclusion qu'il y a ici une incertitude. Le numérateur est d'un ordre de croissance supérieur au dénominateur, nous pouvons donc dire immédiatement que la limite est l'infini. Mais quel genre d'infini, « plus » ou « moins » ? La réception est la même - au numérateur et au dénominateur, nous nous débarrasserons des petites choses:

Nous décidons:

Diviser le numérateur et le dénominateur par

Exemple 15

Trouver la limite

Ceci est un exemple à faire soi-même. Un échantillon approximatif de finition à la fin de la leçon.

Quelques exemples plus intéressants sur le sujet de la substitution de variables :

Exemple 16

Trouver la limite

Remplacer un dans la limite entraîne une incertitude. Le remplacement de la variable est déjà suggéré, mais nous convertissons d'abord la tangente à l'aide de la formule. En effet, pourquoi avons-nous besoin d'une tangente ?

Notez que , donc . Si ce n'est pas tout à fait clair, regardez les valeurs sinusoïdales \u200b\u200bin table trigonométrique. Ainsi, nous nous débarrassons immédiatement du facteur , en plus, nous obtenons l'incertitude plus familière 0:0. Ce serait bien si notre limite tendait également vers zéro.

Remplaçons :

Si donc

Sous le cosinus, nous avons "x", qui doit également être exprimé par "te".
Du remplacement nous exprimons : .

Nous complétons la solution :

(1) Effectuer le remplacement

(2) Développez les crochets sous le cosinus.

(4) Organiser première merveilleuse limite, multiplier artificiellement le numérateur par et l'inverse de .

Tâche pour une solution indépendante :

Exemple 17

Trouver la limite

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Il s'agissait de tâches simples dans leur classe ; en pratique, tout est pire, et, en plus de formules de réduction, il faut utiliser différents formules trigonométriques, ainsi que d'autres astuces. Dans l'article Complex Limits, j'ai analysé quelques exemples réels =)

A la veille des vacances, nous allons enfin clarifier la situation avec une incertitude commune de plus :

Élimination de l'incertitude "un à la puissance de l'infini"

Cette incertitude est « servie » deuxième merveilleuse limite, et dans la deuxième partie de cette leçon, nous avons examiné en détail des exemples standard de solutions que l'on trouve dans la pratique dans la plupart des cas. Maintenant, la photo avec les exposants sera terminée, de plus, les tâches finales de la leçon seront consacrées aux limites-"astuces" dans lesquelles il semble qu'il soit nécessaire d'appliquer la 2ème limite merveilleuse, bien que ce ne soit pas du tout la Cas.

L'inconvénient des deux formules de travail de la 2ème limite merveilleuse est que l'argument doit tendre vers "plus l'infini" ou vers zéro. Mais que se passe-t-il si l'argument tend vers un nombre différent ?

La formule universelle vient à la rescousse (ce qui est en fait une conséquence de la seconde limite remarquable) :

L'incertitude peut être éliminée par la formule :

Quelque part comme j'ai déjà expliqué ce que signifient les crochets. Rien de spécial, les parenthèses ne sont que des parenthèses. Habituellement, ils sont utilisés pour mettre clairement en évidence une notation mathématique.

Soulignons les points essentiels de la formule :

1) Il s'agit seulement sur l'incertitude et rien d'autre.

2) L'argument "x" peut avoir tendance à valeur arbitraire(et pas seulement à zéro ou ), en particulier, à "moins l'infini" ou à n'importe qui nombre définitif.

En utilisant cette formule, vous pouvez résoudre tous les exemples de la leçon Limites remarquables, qui appartiennent au 2ème merveilleuse limite. Par exemple, calculons la limite :

Dans ce cas , et selon la formule :

Certes, je ne vous conseille pas de le faire, dans la tradition, vous utilisez toujours la conception "habituelle" de la solution, si elle peut être appliquée. mais l'utilisation de la formule est très pratique pour vérifier exemples "classiques" à la 2ème merveilleuse limite.

Résolution de problèmes de recherche de limites Lors de la résolution de problèmes de recherche de limites, certaines limites doivent être rappelées afin qu'elles ne soient pas recalculées à chaque fois. En combinant ces limites connues, nous utiliserons les propriétés indiquées au § 4 pour trouver de nouvelles limites. Par commodité, nous présentons les limites les plus courantes : Limites l X -o X 6 lim f(x) = f(a), si f (x) est continue xa Si on sait que la fonction est continue, alors au lieu de trouver la limite, on calcule la valeur de la fonction. Exemple 1. Trouver lim (x * -6n : + 8). Puisque la fonction membre many-X->2 est continue, alors lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Exemple 2. Trouver lim -G. . Premièrement, nous trouvons les parties du dénominateur pré-X-+1 x ~rx : lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6 ; il n'est pas égal à X-Y1 zéro, ce qui signifie que la propriété 4 du § 4 peut être appliquée, alors x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Le limite du dénominateur XX est zéro, par conséquent, la propriété 4 du § 4 ne peut pas être appliquée. Puisque le numérateur est un nombre constant, et le dénominateur [x2x) -> -0 comme x - - 1, alors la fraction entière augmente en valeur absolue valeur sans limite, c'est-à-dire lim " 1 X - * - - 1 x * + x Exemple 4. Trouver lim \-ll * "!" "" La limite du dénominateur est zéro : lim (xr-6lg + 8) \u003d 2 * -6-2 + 8 \u003d 0, donc propriété X 4 § 4 non applicable. Mais la limite du numérateur est également égale à zéro : lim (х2 - 5d ; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Ainsi, les limites du numérateur et du dénominateur sont simultanément égales à zéro. Cependant, le nombre 2 est la racine du numérateur et du dénominateur, de sorte que la fraction peut être réduite par la différence x-2 (par le théorème de Bezout). En effet, x * -5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x "-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" donc, xr- -f - 6 r x-3 -1 1 Exemple 5. Trouver lim xn (n est un entier, positif). X avec Nous avons xn \u003d X * X. . X, n fois Comme chaque facteur croît indéfiniment, le produit croît également indéfiniment, c'est-à-dire lim xn = oo. x oo Exemple 6. Trouver lim xn(n est un entier positif). X -> - CO On a xn = x x... x. Puisque chaque facteur croît en valeur absolue, en restant négatif, alors dans le cas d'un degré pair, le produit croîtra indéfiniment, en restant positif, c'est-à-dire lim *n = + oo (pour n pair). *-* -co Dans le cas d'un degré impair, la valeur absolue du produit augmente, mais elle reste négative, soit lim xn = - oo (pour n impair). n -- 00 Exemple 7. Trouver lim . x x - * - co * Si m> ny alors on peut écrire : m = n + kt où k>0. Donc xm b lim -=- = lim -=-= lim x . yP Yn x -x> A x u Venu à l'exemple 6. Si ty uTL xm I lim lim lim m. X - O x - * u LX -\u003e w Ici, le numérateur reste constant et le dénominateur augmente en valeur absolue, donc lim -b \u003d 0. X - * oo X * Il est recommandé de se souvenir du résultat de cet exemple sous la forme suivante : plus vite, plus l'exposant est grand. $ xv_3xg + 7 c'est-à-dire xv, puis 3 7_ Exemple 9. Trouver lire En effectuant des transformations, on obtient lire ... ^ = lim X CO + 3 7 3 Puisque lim -5 \u003d 0, lim -, \u003d 0 , alors la limite du dénominateur est égale à zéro, tandis que la limite du numérateur est 1. Par conséquent, toute la fraction augmente indéfiniment, c'est-à-dire lim Calculer la limite S du dénominateur, en se rappelant que la fonction cos* est continue : lire (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Alors x->- S lim (l-fsin*) Exemple 15. Trouver lim *<*-e>2 et lim e "(X" a) \ Nous fixons X-+ ± co X ± CO nous appuyons sur (l: - a) 2 \u003d z; puisque (x - a)2 croît toujours non négativement et indéfiniment avec x, alors comme x - ± oo la nouvelle variable z - * oc. Par conséquent, nous vous obtenons £<*-«)* = X ->± 00 s=lim eg = oo (voir remarque au §5). r -** co. De même, lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, puisque x ± oo r m - (x-a)r décroît sans borne lorsque x -> ± oo (voir la remarque au §