Expressions logarithmiques. exemples! Résolution d'équations logarithmiques

1.1. Détermination du degré d'un exposant entier

X1 = X
X 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X *… * X - N fois

1.2. Zéro degré.

Par définition, il est généralement admis que la puissance zéro de tout nombre est 1 :

1.3. Degré négatif.

X -N = 1 / X N

1.4. Degré fractionnaire, racine.

X 1 / N = Nième racine de X.

Par exemple : X 1/2 = √X.

1.5. Formule pour ajouter des pouvoirs.

X (N + M) = X N * X M

1.6 Formule pour soustraire des puissances.

X (N-M) = X N / X M

1.7. La formule pour multiplier les degrés.

X N * M = (X N) M

1.8. Formule pour élever une fraction à une puissance.

(X / Y) N = X N / Y N

2. Numéro e.

La valeur du nombre e est égale à la limite suivante :

E = lim (1 + 1 / N), comme N → ∞.

Avec une précision de 17 chiffres, le nombre e est 2.71828182845904512.

3. Égalité d'Euler.

Cette égalité relie cinq nombres qui jouent un rôle particulier en mathématiques : 0, 1, nombre e, nombre pi, unité imaginaire.

E (i * pi) + 1 = 0

4. Fonction exponentielle exp (x)

exp (x) = e x

5. Dérivée de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle a une propriété remarquable : la dérivée de la fonction est égale à la fonction exponentielle elle-même :

(exp (x)) "= exp (x)

6. Logarithme.

6.1. Définition de la fonction logarithme

Si x = b y, alors le logarithme est la fonction

Y = Log b (x).

Le logarithme montre le degré auquel un nombre doit être élevé - la base du logarithme (b) pour obtenir un nombre donné (X). La fonction logarithme est définie pour X supérieur à zéro.

Par exemple : Log 10 (100) = 2.

6.2. Logarithme décimal

Il s'agit du journal de base 10 :

Y = Log 10 (x).

Dénoté par Log (x) : Log (x) = Log 10 (x).

Un exemple d'utilisation du logarithme décimal est le décibel.

6.3. Décibel

L'élément est mis en évidence dans une page séparée Décibel

6.4. Logarithme binaire

C'est le logarithme en base 2 :

Y = Log 2 (x).

Noté par Lg (x) : Lg (x) = Log 2 (X)

6.5. Un algorithme naturel

C'est la base du logarithme e :

Y = Log e (x).

Il est noté Ln (x) : Ln (x) = Log e (X)
Un algorithme naturel - fonction inverseà la fonction exponentielle exp (X).

6.6. Points caractéristiques

Log a (1) = 0
Log a (a) = 1

6.7. Formule du logarithme du produit

Log a (x * y) = Log a (x) + Log a (y)

6.8. La formule du logarithme du quotient

Log a (x / y) = Log a (x) - Log a (y)

6.9. Formule du logarithme de la puissance

Log a (x y) = y * Log a (x)

6.10. Formule pour convertir en logarithme avec une base différente

Log b (x) = (Log a (x)) / Log a (b)

Exemple:

Log 2 (8) = Log 10 (8) / Log 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formules utiles dans la vie

Il y a souvent des problèmes de conversion de volume en surface ou en longueur, et le problème inverse est de recalculer la surface en volume. Par exemple, les planches sont vendues en cubes (mètres cubes), mais nous devons calculer combien de surface de mur peut être gainée avec des planches contenues dans un certain volume, voir le calcul des planches, combien de planches il y a dans un cube. Ou, les dimensions du mur sont connues, il faut calculer le nombre de briques, voir le calcul de la brique.

Il est permis d'utiliser les éléments du site, à condition qu'un lien actif vers la source soit installé.

Le logarithme d'un nombre b positif en base a (a> 0, a n'est pas égal à 1) est un nombre c tel que ac = b : log ab = c ⇔ ac = b (a> 0, a ≠ 1, b > 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Attention : le logarithme d'un nombre non positif n'est pas défini. De plus, la base du logarithme doit être un nombre positif, différent de 1. Par exemple, si on carré -2, on obtient le nombre 4, mais cela ne veut pas dire que le logarithme à la base -2 de 4 est 2.

Identité logarithmique de base

a log a b = b (a> 0, a ≠ 1) (2)

Il est important que les domaines de définition des côtés droit et gauche de cette formule soient différents. Le membre de gauche est défini uniquement pour b> 0, a> 0 et a 1. Le membre de droite est défini pour tout b et ne dépend pas du tout de a. Ainsi, l'application de l'« identité » logarithmique de base dans la résolution d'équations et d'inéquations peut conduire à une modification de la GDV.

Deux conséquences évidentes de la définition d'un logarithme

log a a = 1 (a> 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a> 0, a ≠ 1) (4)

En effet, en élevant le nombre a à la première puissance, on obtient le même nombre, et en l'élevant à la puissance zéro, on en obtient un.

Logarithme du produit et logarithme du quotient

log a (b c) = log a b + log a c (a> 0, a 1, b> 0, c> 0) (5)

Log a b c = log a b - log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0) (6)

Je voudrais mettre en garde les écoliers contre l'utilisation inconsidérée de ces formules lors de la résolution d'équations et d'inéquations logarithmiques. Lorsqu'ils sont utilisés "de gauche à droite", l'ODZ se rétrécit, et lorsque vous passez de la somme ou de la différence de logarithmes au logarithme du produit ou du quotient, l'ODV s'élargit.

En effet, l'expression log a (f (x) g (x)) est définie dans deux cas : lorsque les deux fonctions sont strictement positives, ou lorsque f (x) et g (x) sont tous deux inférieurs à zéro.

En transformant cette expression en la somme log a f (x) + log a g (x), nous devons nous limiter uniquement au cas où f (x)> 0 et g (x)> 0. Il y a un rétrécissement de la plage de valeurs admissibles, ce qui est catégoriquement inacceptable, car cela peut entraîner la perte de solutions. Un problème similaire existe pour la formule (6).

Le degré peut s'exprimer en dehors du signe du logarithme

log a b p = p log a b (a> 0, a 1, b> 0) (7)

Et encore une fois, je voudrais appeler à la précision. Considérez l'exemple suivant :

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Le membre de gauche de l'égalité est défini, évidemment, pour toutes les valeurs de f (x), sauf zéro. Le côté droit est uniquement pour f (x)> 0 ! En retirant le degré du logarithme, nous réduisons à nouveau l'ODV. La procédure inverse étend la plage de valeurs valides. Toutes ces remarques s'appliquent non seulement au degré 2, mais aussi à tout degré pair.

La formule pour le passage à une nouvelle base

log a b = log c b log c a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0, c ≠ 1) (8)

C'est le cas rare où l'ODV ne change pas pendant la transformation. Si vous avez raisonnablement choisi une base c (positive et non égale à 1), la transition vers une nouvelle formule de base est totalement sûre.

Si nous choisissons le nombre b comme nouvelle base c, nous obtenons un cas particulier formules (8) :

Log a b = 1 log b a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1) (9)

Quelques exemples simples avec des logarithmes

Exemple 1. Calculez : lg2 + lg50.
Solution. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Nous avons utilisé la formule de la somme des logarithmes (5) et la définition du logarithme décimal.

Exemple 2. Calculez : lg125 / lg5.
Solution. lg125 / lg5 = log 5 125 = 3. Nous avons utilisé la formule de transition vers une nouvelle base (8).

Tableau des formules liées aux logarithmes

a log a b = b (a> 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a> 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a> 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0)

log a b c = log a b - log a c (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0)

log a b p = p log a b (a> 0, a ≠ 1, b> 0)

log a b = log c b log c a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, c> 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a> 0, a ≠ 1, b> 0, b ≠ 1)

Aujourd'hui, nous allons parler de formules logarithmiques et donner à titre indicatif exemples de solutions.

En eux-mêmes, ils impliquent des modèles de décision selon les propriétés de base des logarithmes. Avant d'appliquer les formules des logarithmes de la solution, nous rappelons pour vous d'abord toutes les propriétés :

Maintenant, sur la base de ces formules (propriétés), nous montrons exemples de résolution de logarithmes.

Exemples de résolution de logarithmes basés sur des formules.

Logarithme un nombre positif b en base a (noté log a b) est l'exposant auquel a doit être élevé pour obtenir b, tandis que b> 0, a> 0 et 1.

Selon la définition, log a b = x, ce qui équivaut à a x = b, donc log a a x = x.

Logarithmes, exemples:

log 2 8 = 3, car 2 3 = 8

log 7 49 = 2, car 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, car 5 -1 = 1/5

Logarithme décimal est le logarithme usuel, à la base duquel est 10. Il est noté lg.

log 10 100 = 2, car 10 2 = 100

Un algorithme naturel- aussi le logarithme usuel est le logarithme, mais avec la base e (e = 2,71828 ... est un nombre irrationnel). Il est désigné comme ln.

Il est conseillé de se souvenir des formules ou des propriétés des logarithmes, car nous en aurons besoin à l'avenir lors de la résolution de logarithmes, d'équations logarithmiques et d'inéquations. Essayons à nouveau chaque formule avec des exemples.

• Identité logarithmique de base
  un journal a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4

• Le logarithme du quotient est égal à la différence des logarithmes
  log a (b / c) = log a b - log a c

  9 log 5 50/9 log 5 2 = 9 log 5 50 log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Propriétés de la puissance d'un logarithme et de la base d'un logarithme

  L'exposant du logarithme du nombre log a b m = mlog a b

  L'exposant de la base du logarithme log a n b = 1 / n * log a b

  log a n b m = m / n * log a b,

  si m = n, on obtient log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Déménager dans une nouvelle fondation
  log a b = log c b / log c a,

  si c = b, on obtient log b b = 1

  alors log a b = 1 / log b a

  log 0,8 3 * log 3 1,25 = log 0,8 3 * log 0,8 1,25 / log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Comme vous pouvez le voir, les formules des logarithmes ne sont pas aussi compliquées qu'il y paraît. Maintenant, après avoir examiné des exemples de résolution de logarithmes, nous pouvons passer aux équations logarithmiques. Nous examinerons plus en détail des exemples de résolution d'équations logarithmiques dans l'article : "". Ne manquez pas!

Si vous avez encore des questions sur la solution, écrivez-les dans les commentaires de l'article.

Remarque : nous avons décidé de nous former dans une autre classe, d'étudier à l'étranger comme option pour le développement d'événements.

(du grec λόγος - "mot", "relation" et ἀριθμός - "nombre") nombres b par raisonnement une(log b) est appelé un tel nombre c, et b= un c, c'est-à-dire log α b=c et b = unc sont équivalents. Le logarithme a un sens si a> 0, et ≠ 1, b> 0.

En d'autres termes logarithme les nombres b par raisonnement une est formulé comme un indicateur du degré auquel le nombre doit être augmenté une pour obtenir le numéro b(Seuls les nombres positifs ont un logarithme).

Cette formulation implique que le calcul x = log α b, équivaut à résoudre l'équation a x = b.

Par exemple:

log 2 8 = 3 car 8 = 2 3.

Nous soulignons que la formulation indiquée du logarithme permet de déterminer immédiatement valeur du logarithme, lorsque le nombre sous le signe du logarithme est un certain degré de la base. Et en vérité, la formulation du logarithme permet de prouver que si b = un c, puis le logarithme du nombre b par raisonnement une est égal à avec... Il est également clair que le sujet du logarithme est étroitement lié au sujet degré de nombre.

Le calcul du logarithme est appelé en prenant le logarithme... Prendre le logarithme est l'opération mathématique de prendre le logarithme. En prenant le logarithme, les produits des facteurs sont transformés en sommes des termes.

potentialisation est une opération mathématique inverse au logarithme. Dans la potentialisation, la base donnée est élevée à la puissance de l'expression sur laquelle la potentialisation est effectuée. Dans ce cas, les sommes des membres sont transformées en le produit des facteurs.

Les vrais logarithmes de base 2 (binaire), le nombre d'Euler e 2,718 (logarithme népérien) et 10 (décimal) sont assez souvent utilisés.

A ce stade, il convient de considérer exemples de logarithmes bûche 7 2 , dans √ 5, lg0.0001.

Et les entrées lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4,3 n'ont pas de sens, car dans la première d'entre elles un nombre négatif est placé sous le signe du logarithme, dans la seconde - un nombre négatifà la base et dans le troisième - à la fois un nombre négatif sous le signe du logarithme et un à la base.

Conditions de détermination du logarithme.

Il convient de considérer séparément les conditions a> 0, a ≠ 1, b> 0 sous lesquelles définition du logarithme. Voyons pourquoi ces restrictions sont prises. Une égalité de la forme x = log α b, appelée l'identité logarithmique de base, qui découle directement de la définition d'un logarithme donnée ci-dessus.

Prenons la condition un 1... Puisque un est égal à un à n'importe quel degré, l'égalité x = log α b ne peut exister que lorsque b = 1 mais log 1 1 sera n'importe quel nombre réel. Pour lever cette ambiguïté, on prend un 1.

Démontrons la nécessité de la condition a> 0... À a = 0 selon la formulation du logarithme, il ne peut exister que pour b = 0... Et en conséquence alors journal 0 0 peut être n'importe quel nombre réel non nul, puisque zéro dans n'importe quel degré non nul est zéro. Exclure cette ambiguïté est donnée par la condition un 0... Et quand une<0 il faudrait rejeter l'analyse des valeurs rationnelles et irrationnelles du logarithme, puisqu'un degré avec un exposant rationnel et irrationnel n'est défini que pour des motifs non négatifs. C'est pour cette raison que la condition est stipulée a> 0.

Et la dernière condition b> 0 découle de l'inégalité a> 0 puisque x = log α b, et la valeur du degré avec une base positive une toujours positif.

Caractéristiques des logarithmes.

Logarithmes caractérisé par distinctif caractéristiques, ce qui a conduit à leur utilisation généralisée pour faciliter considérablement les calculs minutieux. Dans la transition « vers le monde des logarithmes », la multiplication se transforme en une addition beaucoup plus facile, la division en soustraction, et l'exponentiation et l'extraction de racine sont transformées, respectivement, en multiplication et division par un exposant.

Formulation de logarithmes et d'un tableau de leurs valeurs (par fonctions trigonométriques) a été publié pour la première fois en 1614 par le mathématicien écossais John Napier. Les tables logarithmiques, agrandies et détaillées par d'autres scientifiques, ont été largement utilisées dans les calculs scientifiques et techniques et sont restées pertinentes jusqu'à ce que les calculatrices électroniques et les ordinateurs soient utilisés.

FONCTIONS INDICATIVES ET LOGARITHMIQUES VIII

§ 184. Logarithme de puissance et racine

Théorème 1. Le logarithme de la puissance d'un nombre positif est égal au produit de l'exposant de cette puissance par le logarithme de sa base.

En d'autres termes, si une et N.-É. positif et une = / = 1, alors pour tout nombre réel k

Journal un x k = k Journal un x . (1)

Pour prouver cette formule, il suffit de montrer que

= une k Journal un x . (2)

= X k

une k Journal un x = (une Journal un x ) k = X k .

Ceci implique la validité de la formule (2), et donc, également (1).

Notez que si le nombre k est naturel ( k = n ), alors la formule (1) est un cas particulier de la formule

Journal une (X 1 X 2 X 3 ... X m ) = journal un x 1 + journal un x 2 + journal un x 3 + ... journal un x m .

prouvé dans la section précédente. En effet, mettre dans cette formule

X 1 = X 2 = ... = X m = X ,

on a:

Journal un x m = m Journal un x .

1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;

2) log 3 2 3 = √3 log 3 2.

Avec des valeurs négatives N.-É. la formule (1) perd son sens. Par exemple, vous ne pouvez pas écrire log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4) car l'expression log 2 (-4) n'est pas définie. Notez que l'expression sur le côté gauche de cette formule est logique :

log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.

En général, si le nombre N.-É. est négatif, alors l'expression log un x 2k = 2k Journal un x défini parce que X 2k > 0. L'expression 2 k Journal un x n'a aucun sens dans ce cas. Alors écris

Enregistrer un x 2k = 2k Journal un x

c'est interdit. Cependant, on peut écrire

Journal un x 2k = 2k Journal un | X | (3)

Cette formule s'obtient facilement à partir de (1) si l'on tient compte du fait que

X 2k = | X | 2k

Par exemple,

log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.

Théorème 2. Le logarithme de la racine d'un nombre positif est égal au logarithme expression radicale divisé par l'exposant racine.

En d'autres termes, si les nombres une et N.-É. positif, une = / = 1 et N.-É. - entier naturel, alors

Journal une m √X = 1 / m Journal un x

Vraiment, m √X =. Par conséquent, d'après le théorème 1

Journal une m √X = journal une = 1 / m Journal un x .

1) log 3 8 = 1/2 log 3 8 ; 2) log 2 5 27 = 1/5 log 2 27.

Des exercices

1408. Comment le logarithme d'un nombre changera-t-il, si, sans changer la base :

a) carré le nombre;

b) extrait du numéro Racine carrée?

1409. Comment la différence log 2 va changer une - bûche 2 b si les nombres une et b remplacer en conséquence par :

une) une 3 et b 3 ; b) 3 une et 3 b ?

1410. Sachant que log 10 2 0,3010, log 10 3 0,4771, trouvez les logarithmes en base 10 des nombres :

8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9

1411. Démontrer que les logarithmes des termes consécutifs d'une progression géométrique forment une progression arithmétique.

1412. Les fonctions diffèrent-elles les unes des autres

à = bûche 3 N.-É. 2 et à = 2 log 3 N.-É.

Tracez ces fonctions.

1413. Trouvez l'erreur dans les transformations suivantes :

log 2 1/3 = log 2 1/3

2log 2 1/3> log 2 1/3 ;

log 2 (1/3) 2> log 2 1/3

(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;