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Les fonctions trigonométriques sont tangentes. Trigonométrie

Si vous construisez un cercle unité centré à l'origine et spécifiez une valeur arbitraire pour l'argument x 0 et compter à partir de l'axe Bœuf injection X 0, alors cet angle sur le cercle unité correspond à un point UNE(Fig. 1) et sa projection sur l'axe Oh il y aura un point M. Longueur des segments OMégal à la valeur absolue de l'abscisse du point UNE. Cette valeur argument x 0 la valeur de la fonction est mappée oui= cos X 0 en abscisses d'un point UNE. En conséquence point V(X 0 ;à 0) appartient à la fonction graphe à= cos N.-É.(fig. 2). Si point UNE situé à droite de l'axe OU, la tocosine sera positive, si à gauche elle sera négative. Mais de toute façon le point UNE ne peut pas quitter le cercle. Par conséquent, le cosinus est compris entre –1 et 1 :

–1 = cos X = 1.

Rotation supplémentaire à n'importe quel angle, multiple de 2 p, point de retour UNE au même endroit. Donc la fonction y = car Xp:

cos ( X+ 2p) = cos X.

Si on prend deux valeurs d'arguments égales en valeur absolue mais opposées en signe, X et - X, trouver les points correspondants sur le cercle Un x et A -x. Comme on le voit sur la Fig. 3 leur projection sur l'axe Oh est le même point M. C'est pourquoi

cos (- X) = cos ( X),

celles. le cosinus est une fonction paire, F(–X) = F(X).

On peut donc étudier les propriétés de la fonction oui= cos N.-É. sur le segment , puis tenir compte de sa parité et de sa périodicité.

À N.-É.= 0 point UNE se trouve sur l'axe Oh, son abscisse est égale à 1, et donc cos 0 = 1.Avec une augmentation N.-É. point UNE se déplace le long du cercle vers le haut et vers la gauche, sa projection, bien sûr, uniquement vers la gauche, et à x = p/ 2 cosinus devient égal à 0. Point UNEà ce moment, il monte à la hauteur maximale, puis continue à se déplacer vers la gauche, mais déjà en diminuant. Son abscisse décroît jusqu'à atteindre plus petite valeurégal à –1 à N.-É.= p... Ainsi, sur le segment la fonction à= cos N.-É. diminue de façon monotone de 1 à –1 (Fig. 4, 5).

Puisque le cosinus est pair, il s'ensuit que sur le segment [- p, 0], la fonction augmente de façon monotone de –1 à 1, prenant la valeur zéro à x =–p/ 2. Si vous prenez plusieurs périodes, vous obtenez une courbe ondulée (Fig. 6).

Donc la fonction oui= cos X prend des valeurs nulles aux points N.-É.= p/2 + kp, où k - n'importe quel entier. Des sommets égaux à 1 sont atteints aux points N.-É.= 2kp, c'est à dire. avec l'étape 2 p, et des minima égaux à –1 aux points N.-É.= p + 2kp.

Fonction y = sin x.

Sur le coin du cercle de l'unité X 0 correspond à un point UNE(fig. 7), et sa projection sur l'axe OU il y aura un point N.Z valeur de la fonction y 0 = péché x 0 défini comme l'ordonnée d'un point UNE. Point V(injection X 0 ,à 0) appartient à la fonction graphe oui= péché X(fig. 8). Il est clair que la fonction y = péché X périodique, sa période est de 2 p:

péché ( X+ 2p) = péché ( X).

Pour deux valeurs d'argument, N.-É. et - , projections de leurs points correspondants Un x et A -x par axe OU sont situés symétriquement par rapport au point O... C'est pourquoi

péché (- X) = –Péché ( X),

celles. sinus est une fonction impaire, f (- X) = –F ( X) (fig. 9).

Si point UNE tourner autour d'un point O au coin p/ 2 dans le sens antihoraire (en d'autres termes, si l'angle N.-É. augmenté de p/ 2), alors son ordonnée dans la nouvelle position sera égale à l'abscisse dans l'ancienne. Donc,

péché ( X+ p/ 2) = cos X.

Sinon, le sinus est le cosinus, "retardé" par p/ 2, puisque toute valeur de cosinus se "répétera" en sinus lorsque l'argument augmentera de p/ 2. Et pour tracer le graphe des sinus, il suffit de décaler le graphe des cosinus de p/ 2 à droite (Fig. 10). Une propriété extrêmement importante du sinus est exprimée par l'égalité

La signification géométrique de l'égalité est vue sur la Fig. 11. Ici N.-É. - c'est un demi-arc UN B, et le péché N.-É. - moitié de l'accord correspondant. Évidemment, à mesure que les points se rapprochent UNE et V la longueur de la corde se rapproche de plus en plus de la longueur de l'arc. De la même figure, il est facile d'extraire l'inégalité

| péché X| x |, valable pour tout N.-É..

La formule (*) que les mathématiciens appellent merveilleuse limite... De là, en particulier, il s'ensuit que le péché N.-É.» N.-É.à petit N.-É..

Les fonctions à= tg x, y= ctg N.-É.. Les deux autres fonctions trigonométriques, tangente et cotangente, sont plus faciles à définir comme les rapports du sinus et du cosinus que nous connaissons déjà :

Comme le sinus et le cosinus, la tangente et la cotangente sont des fonctions périodiques, mais leurs périodes sont égales p, c'est à dire. ils sont la moitié de la taille du sinus et du cosinus. La raison en est claire : si le sinus et le cosinus changent tous les deux de signe, alors leur rapport ne changera pas.

Puisque le cosinus est au dénominateur de la tangente, la tangente n'est pas définie aux points où le cosinus est 0, lorsque N.-É.= p/2 + kp. À tous les autres points, il augmente de façon monotone. Direct N.-É.= p/2 + kp pour la tangente sont les asymptotes verticales. Aux points kp tangente et pente sont 0 et 1, respectivement (Fig. 12).

La cotangente est indéfinie où le sinus est 0 (quand x = kp). En d'autres points, il diminue de façon monotone, et les lignes droites x = kp – ses asymptotes verticales. Aux points x = p/2 + kp la cotangente s'annule et la pente en ces points est de –1 (Fig. 13).

Parité et fréquence.

Une fonction est appelée même si F(–X) = F(X). Les fonctions cosinus et sécante sont paires, et les fonctions sinus, tangente, cotangente et cosécante sont impaires :

sin (–α) = - sin α	tg (–α) = - tg α
cos (–α) = cos α	ctg (–α) = - ctg α
s (–α) = s α	cosec (–α) = - cosec α

Les propriétés de parité découlent de la symétrie des points P un et R- une (fig. 14) autour de l'axe N.-É.. Avec cette symétrie, l'ordonnée du point change de signe (( N.-É.;à) va à ( N.-É.; –Y)). Toutes les fonctions - périodique, sinus, cosinus, sécante et cosécante ont une période de 2 p, et tangente et cotangente - p:

péché (α + 2 k) = péché	cos (α + 2 k) = cos
tg (α + k) = tg	ctg (α + k) = ctg
s (α + 2 k) = s	cosec (α + 2 k) = cosec α

La périodicité du sinus et du cosinus résulte du fait que tous les points P un + 2 kp, où k= 0, ± 1, ± 2, ..., coïncident, et la périodicité de la tangente et de la cotangente vient du fait que les points P un + kp tombent alternativement en deux points diamétralement opposés du cercle, donnant le même point sur l'axe tangent.

Les principales propriétés des fonctions trigonométriques peuvent être résumées dans le tableau :

Fonction	Domaine	De nombreuses significations	Parité	Zones de monotonie ( k= 0, ± 1, ± 2, ...)
péché X	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	impair	augmente avec X((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p/ 2), diminue à mesure que X((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/2)
car X	–Ґ x Ґ	[–1, +1]	même	augmente à X((2 k – 1) p, 2kp), diminue à mesure que X O (2 kp, (2k + 1) p)
tg X	X № p/2 + paquet	(–Ґ , +Ґ )	impair	augmente avec X((2 k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)
ctg X	X № paquet	(–Ґ , +Ґ )	impair	diminue à X O ( kp, (k + 1) p)
seconde X	X № p/2 + paquet	(–Ґ, –1] ET [+1, + Ґ)	même	augmente à X O (2 kp, (2k + 1) p), diminue à mesure que X((2 k- 1) p, 2 kp)
cosec X	X № paquet	(–Ґ, –1] ET [+1, + Ґ)	impair	augmente avec X((4 k + 1) p /2, (4k + 3) p/ 2), diminue à mesure que X((4 k – 1) p /2, (4k + 1) p /2)

Formules de coulée.

D'après ces formules, la valeur de la fonction trigonométrique de l'argument a, où p/ 2 a p, peut être réduit à la valeur de la fonction de l'argument a, où 0 a p / 2, à la fois identique et complémentaire.

Argument b	- une	+ un	p- une	p+ un	+ un	+ un	2p- une
péché b	car un	car un	péché un	–Pécher un	–Cos un	–Cos un	–Pécher un
cos b	péché un	–Pécher un	–Cos un	–Cos un	–Pécher un	péché un	car un

Par conséquent, dans les tableaux des fonctions trigonométriques, les valeurs ne sont données que pour les angles aigus, et il suffit de se restreindre, par exemple, au sinus et à la tangente. Le tableau ne contient que les formules les plus courantes pour le sinus et le cosinus. Il est facile d'en tirer des formules pour la tangente et la cotangente. Lors du cast d'une fonction à partir d'un argument de la forme kp/ 2 ± a, où k- entier, à la fonction de l'argument a :

1) le nom de la fonction est conservé si k est pair, et devient "complémentaire" si k impair;

2) le signe du côté droit coïncide avec le signe de la fonction réduite au point kp/ 2 ± a si l'angle a est aigu.

Par exemple, lors du lancement de ctg (a - p/ 2) nous nous assurons qu'un - p/ 2 pour 0 a p / 2 se situe dans le quatrième quadrant, où la cotangente est négative, et, selon la règle 1, on change le nom de la fonction : ctg (a - p/ 2) = –tg a.

Formules d'addition.

Formules à angles multiples.

Ces formules sont dérivées directement des formules d'addition :

sin 2a = 2 sin a cos a;

cos 2a = cos 2 a - sin 2 a = 2 cos 2 a - 1 = 1 - 2 sin 2 a;

sin 3a = 3 sin a - 4 sin 3 a;

cos 3a = 4 cos 3 a - 3 cos a ;

La formule de cos 3a a été utilisée par François Viet lors de la résolution de l'équation cubique. Il a également d'abord trouvé des expressions pour cos m a et péché m a, qui ont ensuite été obtenus de manière plus simple à partir de la formule de Moivre.

Si vous remplacez a par a / 2 dans les formules du double argument, elles peuvent être converties en formules demi-angle :

Formules de substitution universelles.

En utilisant ces formules, une expression qui inclut différentes fonctions trigonométriques du même argument peut être réécrite comme une expression rationnelle d'une fonction tg (a/2), ceci est utile lors de la résolution de certaines équations :

Formules pour convertir des sommes en produits et des produits en sommes.

Avant l'avènement des ordinateurs, ces formules étaient utilisées pour simplifier les calculs. Les calculs ont été effectués à l'aide de tables logarithmiques, et plus tard - règle à calcul, puisque les logarithmes sont les mieux adaptés pour multiplier les nombres, donc toutes les expressions originales ont été réduites à une forme pratique pour prendre des logarithmes, c'est-à-dire aux travaux, par exemple :

2 péché une sin b = cos ( un B) - cos ( a + b);

2 car une car b= cos ( un B) + cos ( a + b);

2 péché une car b= péché ( un B) + péché ( a + b).

Les formules des fonctions tangente et cotangente peuvent être obtenues à partir de ce qui précède.

Formules de réduction de degré.

A partir des formules de l'argument multiple, les formules suivantes sont dérivées :

sin 2 a = (1 - cos 2a) / 2;	cos 2a = (1 + cos 2a) / 2 ;
sin 3 a = (3 sin a - sin 3a) / 4;	cos 3 a = (3 cos a + cos 3 a) / 4.

En utilisant ces formules, les équations trigonométriques peuvent être réduites à des équations de degrés inférieurs. De la même manière, on peut dériver des formules de réduction pour plus diplômes élevés sinus et cosinus.

Dérivées et intégrales de fonctions trigonométriques
(péché X) `= cos X;	(car X) `= –Péché X;
(tg X)` = ;	(ctg X)` = – ;
t péché x dx= –Cos X + C;	t cos x dx= péché X + C;
t tg x dx= –Ln \| cos X\| + C;	t ctg x dx = ln \| péché X\| + C;

Chaque fonction trigonométrique en chaque point de son domaine de définition est continue et dérivable à l'infini. De plus, les dérivées des fonctions trigonométriques sont des fonctions trigonométriques, et lorsqu'elles sont intégrées, des fonctions trigonométriques ou leurs logarithmes sont également obtenus. Les intégrales des combinaisons rationnelles de fonctions trigonométriques sont toujours des fonctions élémentaires.

Représentation de fonctions trigonométriques sous forme de séries entières et de produits infinis.

Toutes les fonctions trigonométriques peuvent être développées en séries entières. Dans ce cas, les fonctions sin X b cos X sont représentés par des lignes. convergent pour toutes les valeurs X:

Ces séries peuvent être utilisées pour obtenir des expressions approximatives pour le péché X et cos X aux petites valeurs X:

à | x | p/2 ;

à 0 x | p

(B n sont des nombres de Bernoulli).

Fonctions de péché X et cos X peut être présenté sous forme d'œuvres sans fin :

Système trigonométrique 1, cos X, péché X, cos 2 X, péché 2 X, , cos nx, péché nx, ¼, se forme sur le segment [- p, p] un système orthogonal de fonctions, qui permet de représenter des fonctions sous forme de séries trigonométriques.

sont définies comme la continuation analytique des fonctions trigonométriques correspondantes d'un argument réel dans le plan complexe. Alors, péché z et cos z peut être déterminé en utilisant la série pour le péché X et cos X, si au lieu de X mettre z:

Ces séries convergent sur tout le plan, donc sin z et cos z- des fonctions entières.

Tangente et cotangente sont définies par les formules :

Fonctions Tg z et ctg z- fonctions méromorphes. Pôles tg z et sec z- simples (1er ordre) et se situent aux points z = p/2 + pn, pôles ctg z et cosec z- aussi simple et sont en points z = p n, n = 0, ± 1, ± 2, ...

Toutes les formules valables pour les fonctions trigonométriques d'un argument réel sont également valables pour un argument complexe. En particulier,

péché (- z) = –Péché z,

cos (- z) = cos z,

tg (- z) = –Tg z,

ctg (- z) = –Ctg z,

celles. les parités paires et impaires sont conservées. Les formules sont également enregistrées

péché ( z + 2p) = péché z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

celles. la périodicité est également conservée, et les périodes sont les mêmes que pour les fonctions de l'argument réel.

Les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en fonction d'une fonction exponentielle d'un argument purement imaginaire :

Arrière, e iz exprimé en termes de cos z et le péché z selon la formule :

e iz= cos z + je péché z

Ces formules sont appelées formules d'Euler. Leonard Euler les fit sortir en 1743.

Les fonctions trigonométriques peuvent également être exprimées en termes de fonctions hyperboliques :

z = –je sh je suis, cos z = ch iz, z = –i th iz.

où sh, ch et th sont un sinus hyperbolique, un cosinus et une tangente.

Fonctions trigonométriques d'argument complexe z = x + iy, où X et oui- les nombres réels, peuvent être exprimés en termes de fonctions trigonométriques et hyperboliques d'arguments réels, par exemple :

péché ( x + iy) = péché X ch oui + je car X sh oui;

cos ( x + iy) = cos X ch oui + je péché X sh oui.

Le sinus et le cosinus d'un argument complexe peuvent prendre des valeurs réelles supérieures à 1 en valeur absolue. Par exemple:

Si l'angle inconnu entre dans l'équation en tant qu'argument des fonctions trigonométriques, alors l'équation est dite trigonométrique. De telles équations sont si courantes que leurs méthodes les solutions sont très détaillées et soigneusement conçues. AVEC en utilisant diverses techniques et formules, les équations trigonométriques sont réduites à des équations de la forme F(X)= un, où F- l'une des fonctions trigonométriques les plus simples : sinus, cosinus, tangente ou cotangente. Ensuite, ils expriment l'argument X cette fonction par sa valeur connue une.

Puisque les fonctions trigonométriques sont périodiques, la même uneà partir de la plage de valeurs correspondent une infinité de valeurs de l'argument, et la solution de l'équation ne peut pas être écrite comme une fonction unique de une. Ainsi, dans le domaine de définition de chacune des principales fonctions trigonométriques, on distingue une section dans laquelle elle prend toutes ses valeurs, chacune une seule fois, et on trouve une fonction qui lui est inverse dans cette section. De telles fonctions sont notées en attribuant le préfixe arc (arc) au nom de la fonction d'origine, et sont appelées trigonométriques inverses fonctions ou simplement des fonctions d'arc.

Fonctions trigonométriques inverses.

Pour le péché N.-É., car N.-É., tg N.-É. et ctg N.-É. peut être déterminé fonctions inverses... Ils sont notés respectivement arcsin N.-É.(lire "arcsin X»), Arcos X, arctg X et arcctg X... Par définition, arcsin N.-É. il y a un tel nombre oui, Quel

péché à = N.-É..

De même pour les autres fonctions trigonométriques inverses. Mais cette définition souffre d'une certaine imprécision.

Si vous reflétez le péché N.-É., car N.-É., tg N.-É. et ctg N.-É. par rapport à la bissectrice des premier et troisième quadrants du plan de coordonnées, alors les fonctions, du fait de leur périodicité, deviennent ambiguës : un même sinus (cosinus, tangente, cotangente) correspond à une infinité d'angles.

Pour lever l'ambiguïté, à partir du graphique de chaque fonction trigonométrique, une section de la courbe de largeur p, dans ce cas, il faut qu'une correspondance bijective soit observée entre l'argument et la valeur de la fonction. Zones sélectionnées près de l'origine. Pour le sinus dans le segment [- p/2, p/ 2], sur lequel le sinus augmente de façon monotone de –1 à 1, pour le cosinus - un segment, pour la tangente et la cotangente, respectivement, les intervalles (- p/2, p/ 2) et (0, p). Chaque courbe de l'intervalle est réfléchie par rapport à la bissectrice et vous pouvez maintenant définir des fonctions trigonométriques inverses. Par exemple, laissez la valeur de l'argument être donnée x 0, tel que 0 X 0 Ј 1. Ensuite, la valeur de la fonction oui 0 = arcsin X 0 sera le seul sens à 0 , tel que - p/ 2 à 0 Ј p/ 2 et X 0 = péché oui 0 .

Ainsi, l'arc sinus est la fonction arcsin une, défini sur le segment [-1, 1] et égal pour chaque une une telle valeur de a, - p/ 2 a p / 2 tel que sin a = une. Il est très pratique de le représenter à l'aide du cercle unité (Fig. 15). Quand | et | 1 sur le cercle il y a deux points avec une ordonnée une symétrique par rapport à l'axe à. L'un d'eux correspond à l'angle une= arcsin une, et l'autre est le coin p - a. AVEC compte tenu de la périodicité du sinus, la solution de l'équation sin X= une s'écrit comme suit :

x =(–1)m arcsin une + 2p n,

où m= 0, ± 1, ± 2, ...

D'autres équations trigonométriques simples sont également résolues :

car X = une, –1 =une= 1;

x =± arcos une + 2p n,

où N.-É.= 0, ± 1, ± 2, ... (Fig. 16) ;

tg N.-É. = une;

X= arctg une + p m,

où n = 0, ± 1, ± 2, ... (Fig. 17) ;

ctg N.-É.= une;

N.-É.= arcctg une + p m,

où n = 0, ± 1, ± 2, ... (Fig. 18).

Propriétés de base des fonctions trigonométriques inverses :

arcsin N.-É.(fig. 19) : zone de définition - segment [–1, 1] ; plage de valeurs - [- p/2, p/ 2], fonction monotone croissante ;

arccos N.-É.(fig. 20) : zone de définition - segment [–1, 1] ; plage de valeurs - ; fonction décroissante monotone;

arctg N.-É.(fig. 21) : portée - tous les nombres réels ; plage - intervalle (- p/2, p/ 2); fonction croissante monotone; droit à= –p/ 2 et y = p / 2 - asymptotes horizontales;

arcctg N.-É.(fig. 22) : portée - tous les nombres réels ; plage de valeurs - intervalle (0, p); fonction décroissante monotone; droit oui= 0 et y = p- asymptotes horizontales.

Pour tout le monde z = x + iy, où X et oui- nombres réels, les inégalités ont lieu

½| e \ e y–e-y| | péché z|≤½( e y + e-y),

½| euh–e-y| | cos z|≤½( e y + e -y),

dont à oui® Ґ impliquent des formules asymptotiques (uniformément par rapport à X)

| péché z| "1/2 e |y | ,

| cos z| "1/2 e |y | .

Les fonctions trigonométriques sont apparues pour la première fois dans le cadre des recherches en astronomie et en géométrie. Les rapports des segments de droite dans un triangle et un cercle, qui sont essentiellement des fonctions trigonométriques, se trouvent déjà au IIIe siècle. avant JC NS. dans les travaux des mathématiciens de la Grèce antique – Euclide, Archimède, Apollonius de Perge et d'autres, cependant, ces relations n'étaient pas un objet d'étude indépendant, de sorte que les fonctions trigonométriques en tant que telles n'étaient pas étudiées par eux. Ils étaient initialement considérés comme des segments et ont été utilisés sous cette forme par Aristarque (fin IVe - IIe moitié du IIIe siècle av. J.-C.), Hipparque (IIe siècle av. J.-C.), Ménélas (Ier siècle après J. triangles sphériques. Ptolémée a compilé le premier tableau des accords pour les angles aigus tous les 30" avec une précision de 10 -6. Ce fut le premier tableau des sinus. En tant que rapport, la fonction sin a se trouve déjà à Ariabhata (fin du 5ème siècle). Les fonctions tg a et ctg a se retrouvent chez al-Battani (IIe moitié du IXe - début Xe siècles) et Abul-Vefa (Xe siècle), qui utilise aussi sec a et cosec a. Aryabhata connaissait déjà la formule (sin 2 a + cos 2 a) = 1, ainsi que des formules pour sin et cos d'un demi-angle, à l'aide desquelles il a construit des tables de sinus pour les angles jusqu'à 3 ° 45 " ; basé valeurs connues fonctions trigonométriques pour les arguments les plus simples. Bhaskara (12ème siècle) a donné une méthode pour construire des tables en 1 unités en utilisant des formules d'addition. Des formules pour convertir la somme et la différence des fonctions trigonométriques de divers arguments en un produit ont été dérivées par Regiomontanus (XVe siècle) et J. Napier dans le cadre de l'invention de ce dernier des logarithmes (1614). Regiomontanus a donné un tableau des valeurs sinusoïdales jusqu'à 1 ". Le développement des fonctions trigonométriques en séries entières a été obtenu par I. Newton (1669). forme moderne la théorie des fonctions trigonométriques a été introduite par L. Euler (XVIIIe siècle). Il possède leur définition d'arguments réels et complexes, le symbolisme actuellement accepté, l'établissement d'une connexion avec fonction exponentielle et l'orthogonalité du système des sinus et des cosinus.

Définitions

Les fonctions trigonométriques sont définies en utilisant cercle trigonométrique, qui est compris comme un cercle de rayon unitaire centré à l'origine.

Considérons deux rayons de ce cercle : fixe (où se trouve le point) et mobile (où se trouve le point). Que le rayon mobile forme un angle avec le rayon fixe.

Un nombre égal à l'ordonnée de l'extrémité d'un rayon unitaire formant un angle à rayon fixe est appelé angle sinus : .

Un nombre égal à l'abscisse de la fin d'un rayon unitaire formant un angle à rayon fixe est appelé cosinus d'un angle : .

Ainsi, le point qui est la fin du rayon mobile qui forme le coin a des coordonnées.

Tangente d'angle appelé le rapport du sinus de cet angle à son cosinus :,.

Angle cotangent appelé le rapport du cosinus de cet angle à son sinus :,.

Signification géométrique des fonctions trigonométriques

La signification géométrique du sinus et du cosinus sur un cercle trigonométrique ressort clairement de la définition : c'est l'abscisse et l'ordonnée du point d'intersection du rayon mobile, faisant un angle avec le rayon fixe, et le cercle trigonométrique. C'est-à-dire, .

Considérons maintenant la signification géométrique de la tangente et de la cotangente. Les triangles sont similaires sous trois angles (,), alors la relation est vraie. D'autre part, dans, donc.

Également similaire sous trois angles (,), alors la relation est vraie. D'autre part, dans, donc.

Compte tenu de la signification géométrique de la tangente et de la cotangente, la notion d'axe des tangentes et d'axe des cotangentes est introduite.

Les axes des tangentes sont appelés axes, dont l'un touche le cercle trigonométrique en un point et est dirigé vers le haut, le second touche le cercle en un point et est dirigé vers le bas.

Les axes de cotangentes sont appelés axes, dont l'un touche le cercle trigonométrique en un point et est dirigé vers la droite, le second touche le cercle en un point et est dirigé vers la gauche.

Propriétés des fonctions trigonométriques

Considérons quelques propriétés de base des fonctions trigonométriques. Le reste des propriétés sera discuté dans la section sur les graphes de fonctions trigonométriques.

Portée et portée

Comme mentionné précédemment, le sinus et le cosinus existent pour n'importe quel angle, c'est-à-dire le domaine de ces fonctions est l'ensemble des nombres réels. Par définition, la tangente n'existe pas pour les angles, et la cotangente pour les angles,.

Puisque le sinus et le cosinus sont l'ordonnée et l'abscisse d'un point sur un cercle trigonométrique, leurs valeurs se situent entre les deux. La plage de valeurs de tangente et de cotangente est l'ensemble des nombres réels (il est facile de le vérifier en regardant les axes de tangente et de cotangente).

Même bizarre

Considérons les fonctions trigonométriques de deux angles (qui correspondent au rayon de déplacement) et (qui correspond au rayon de déplacement). Depuis, alors le point a des coordonnées. Par conséquent, c'est-à-dire sinus - fonction impaire ; , c'est à dire. cosinus - même fonction; , c'est à dire. la tangente est impaire ; , c'est à dire. la cotangente est également impaire.

Intervalles de constance

Les signes des fonctions trigonométriques pour les différents quartiers de coordonnées découlent de la définition de ces fonctions. Il est à noter que tangente et cotangente étant des rapports sinus et cosinus, ils sont positifs lorsque le sinus et le cosinus d'un angle ont les mêmes signes et négatifs lorsqu'ils sont différents.

Périodicité

La périodicité du sinus et du cosinus est basée sur le fait que les angles qui diffèrent d'un nombre entier de tours complets correspondent au même disposition mutuelle faisceaux mobiles et fixes. En conséquence, les coordonnées du point d'intersection du faisceau mobile et du cercle trigonométrique seront les mêmes pour des angles qui diffèrent d'un nombre entier de tours complets. Ainsi, la période du sinus et du cosinus est et, où.

Évidemment, c'est aussi la période pour la tangente et la cotangente. Mais y a-t-il une période plus courte pour ces fonctions ? Montrons que la plus petite période pour la tangente et la cotangente est.

Considérez deux coins et. Sur la signification géométrique de la tangente et de la cotangente. Sur le côté et les coins adjacents, les triangles sont égaux et, par conséquent, leurs côtés sont égaux, ce qui signifie et. De même, vous pouvez prouver, alors, où. Ainsi, la période de tangente et de cotangente est.

Fonctions trigonométriques des angles de base

Formules de trigonométrie

Pour résoudre avec succès des problèmes trigonométriques, vous devez posséder de nombreuses formules trigonométriques. Cependant, il n'est pas nécessaire de mémoriser toutes les formules. Vous n'avez besoin de connaître par cœur que les plus élémentaires, et vous devez être capable d'en déduire le reste des formules si nécessaire.

Identité trigonométrique de base et conséquences de celle-ci

Toutes les fonctions trigonométriques d'un angle arbitraire sont liées les unes aux autres, c'est-à-dire connaissant une fonction, vous pouvez toujours trouver le reste. Cette relation est donnée par les formules considérées dans cette section.

Théorème 1 (Identité trigonométrique de base)... Pour tout, l'identité

La démonstration consiste à appliquer le théorème de Pythagore pour un triangle rectangle avec des jambes et une hypoténuse.

Un théorème plus général est également valable.

Théorème 2... Pour que deux nombres soient pris comme cosinus et sinus du même angle réel, il est nécessaire et suffisant que la somme de leurs carrés soit égale à un :

Considérez les conséquences de l'identité trigonométrique de base.

Exprimons le sinus en termes de cosinus et le cosinus en termes de sinus :

Dans ces formules, le signe plus ou moins devant la racine est choisi en fonction du quartier dans lequel se situe le coin.

En remplaçant les formules ci-dessus dans les formules qui déterminent la tangente et la cotangente, nous obtenons :

En divisant l'identité trigonométrique de base terme par terme par ou on obtient respectivement :

Ces rapports peuvent être réécrits comme :

Les formules suivantes donnent une relation entre tangente et cotangente. Puisque à, et à, alors l'égalité a lieu :

Formules de coulée

En utilisant les formules de réduction, nous pouvons exprimer les valeurs des fonctions trigonométriques d'angles arbitraires en fonction des valeurs des fonctions angle aigu... Toutes les formules de réduction peuvent être généralisées en utilisant la règle suivante.

Toute fonction trigonométrique de l'angle, en valeur absolue, est égale à la même fonction de l'angle, si le nombre est pair, et la co-fonction de l'angle, si le nombre est impair. De plus, si la fonction de l'angle est positive, quand est un angle positif aigu, alors les signes des deux fonctions sont les mêmes, si négatif, alors ils sont différents.

Formules de somme et différence d'angle

Théorème 3 ... Pour tout réel et les formules suivantes sont valables :

La preuve du reste des formules est basée sur les formules des fonctions trigonométriques de réduction et paires/impaires.

C.Q.D.

Théorème 4... Pour tout réel et tel que

1., les formules suivantes sont valables

2., les formules suivantes sont valables

Preuve. Par définition de tangente

La dernière transformation est obtenue en divisant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par.

De même pour la cotangente (le numérateur et le dénominateur dans ce cas sont divisibles par) :

C.Q.D.

Il faut faire attention au fait que les côtés droit et gauche des dernières égalités ont des plages de valeurs admissibles différentes. Par conséquent, appliquer ces formules sans limiter les valeurs possibles des angles peut conduire à des résultats incorrects.

Formules à double et demi-angle

Les formules à double angle vous permettent d'exprimer des fonctions trigonométriques d'un angle arbitraire en termes de fonctions d'un angle deux fois plus petit que l'original. Ces formules sont des conséquences des formules pour la somme de deux angles, si nous mettons les angles en eux égaux les uns aux autres.

La dernière formule peut être transformée en utilisant l'identité trigonométrique de base :

Ainsi, il existe trois formules pour le cosinus d'un angle double :

Il est à noter que cette formule n'est valable que pour

La dernière formule est valable pour,.

Similaire aux fonctions à double angle, les fonctions à triple angle peuvent être obtenues. Ici ces formules sont données sans preuve :

Les formules des demi-angles sont des conséquences des formules des doubles angles et vous permettent d'exprimer les fonctions trigonométriques d'un certain angle en termes de fonctions de l'angle deux fois l'original.

Fonctions trigonométriques sont des fonctions élémentaires dont l'argument est injection... Les fonctions trigonométriques sont utilisées pour décrire la relation entre les côtés et les angles aigus dans triangle rectangle... Les domaines d'application des fonctions trigonométriques sont extrêmement divers. Ainsi, par exemple, tout processus périodique peut être représenté comme une somme de fonctions trigonométriques (). Ces fonctions apparaissent souvent lors de la résolution d'équations fonctionnelles.

Les fonctions trigonométriques comprennent les 6 fonctions suivantes : sinus , cosinus , tangente , cotangente , sécante et cosécante... Pour chacune des fonctions ci-dessus, il y a fonction trigonométrique inverse .

Il est commode d'introduire la définition géométrique des fonctions trigonométriques en utilisant cercle unitaire ... La figure ci-dessous montre un cercle de rayon \ (r = 1 \). Le point \ (M \ gauche ((x, y) \ droite) \) est marqué sur le cercle. L'angle entre le rayon vecteur \ (OM \) et la direction positive de l'axe \ (Ox \) est \ (\ alpha \).

Sinus l'angle \ (\ alpha \) est le rapport de l'ordonnée \ (y \) du point \ (M \ gauche ((x, y) \ droite) \) au rayon \ (r \) :
\ (\ sin \ alpha = y / r \).
Puisque \ (r = 1 \), le sinus est égal à l'ordonnée du point \ (M \ gauche ((x, y) \ droite) \).

Cosinus l'angle \ (\ alpha \) est le rapport de l'abscisse \ (x \) du point \ (M \ gauche ((x, y) \ droite) \) au rayon \ (r \) :
\ (\ cos \ alpha = x / r \)

Tangente l'angle \ (\ alpha \) est le rapport de l'ordonnée \ (y \) du point \ (M \ gauche ((x, y) \ droite) \) à ee abscisse \ (x \) :
\ (\ tan \ alpha = y / x, \; \; x \ ne 0 \)

Cotangente l'angle \ (\ alpha \) est le rapport de l'abscisse \ (x \) du point \ (M \ gauche ((x, y) \ droite) \) à son ordonnée \ (y \) :
\ (\ cot \ alpha = x / y, \; \; y \ ne 0 \)

Sécante l'angle \ (\ alpha \) est le rapport du rayon \ (r \) à l'abscisse \ (x \) du point \ (M \ gauche ((x, y) \ droite) \) :
\ (\ sec \ alpha = r / x = 1 / x, \; \; x \ ne 0 \)

Cosécante l'angle \ (\ alpha \) est le rapport du rayon \ (r \) à l'ordonnée \ (y \) du point \ (M \ gauche ((x, y) \ droite) \) :
\ (\ csc \ alpha = r / y = 1 / y, \; \; y \ ne 0 \)

Dans le cercle unité, les projections \ (x \), \ (y \) points \ (M \ gauche ((x, y) \ droite) \) et rayon \ (r \) forment un triangle rectangle dans lequel \ (x, y \) sont des jambes, et \ (r \) est une hypoténuse. Par conséquent, les définitions ci-dessus des fonctions trigonométriques dans l'application à un triangle rectangle sont formulées comme suit :
Sinus l'angle \ (\ alpha \) est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse.
Cosinus l'angle \ (\ alpha \) est appelé le rapport jambe adjacenteà l'hypoténuse.
Tangente l'angle \ (\ alpha \) est appelé la jambe opposée à la jambe adjacente.
Cotangente l'angle \ (\ alpha \) s'appelle la jambe adjacente à l'opposée.
Sécante l'angle \ (\ alpha \) représente le rapport de l'hypoténuse à la jambe adjacente.
Cosécante L'angle \ (\ alpha \) est le rapport de l'hypoténuse à la jambe opposée.

Graphique de la fonction sinus
\ (y = \ sin x \), domaine : \ (x \ in \ mathbb (R) \), plage : \ (- 1 \ le \ sin x \ le 1 \)

Graphique de la fonction cosinus
\ (y = \ cos x \), domaine : \ (x \ in \ mathbb (R) \), plage : \ (- 1 \ le \ cos x \ le 1 \)

Les relations entre les principales fonctions trigonométriques - sinus, cosinus, tangente et cotangente - sont définies formules trigonométriques... Et comme il y a beaucoup de connexions entre les fonctions trigonométriques, cela explique l'abondance des formules trigonométriques. Certaines formules relient des fonctions trigonométriques du même angle, d'autres - fonctions d'un angle multiple, d'autres - permettent d'abaisser le degré, quatrième - expriment toutes les fonctions par la tangente d'un demi-angle, etc.

Dans cet article, nous allons lister dans l'ordre toutes les formules trigonométriques de base, qui suffisent à résoudre la grande majorité des problèmes de trigonométrie. Pour faciliter leur mémorisation et leur utilisation, nous les regrouperons par objectif et les saisirons dans des tableaux.

Navigation dans les pages.

Identités trigonométriques de base

Identités trigonométriques de base définir la relation entre sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un angle. Ils découlent des définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente, ainsi que du concept de cercle unité. Ils vous permettent d'exprimer une fonction trigonométrique en fonction d'une autre.

Pour une description détaillée de ces formules de trigonométrie, leur dérivation et des exemples d'application, voir l'article.

Formules de coulée

Formules de coulée découlent des propriétés du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente, c'est-à-dire qu'elles reflètent la propriété de périodicité des fonctions trigonométriques, la propriété de symétrie, ainsi que la propriété de se déplacer d'un angle donné. Ces formules trigonométriques vous permettent de passer du travail avec des angles arbitraires au travail avec des angles allant de zéro à 90 degrés.

La justification de ces formules, la règle mnémonique pour les mémoriser et des exemples de leur application peuvent être étudiés dans l'article.

Formules d'addition

Formules d'addition trigonométriques montrer comment les fonctions trigonométriques de la somme ou de la différence de deux angles sont exprimées en fonction des fonctions trigonométriques de ces angles. Ces formules servent de base pour dériver les formules trigonométriques suivantes.

Formules pour double, triple, etc. coin

Formules pour double, triple, etc. angle (également appelée formules à angles multiples) montre comment les fonctions trigonométriques de double, triple, etc. les angles () sont exprimés en termes de fonctions trigonométriques d'un seul angle. Leur dérivation est basée sur des formules d'addition.

Des informations plus détaillées sont collectées dans l'article formules pour double, triple, etc. coin.

Formules demi-angle

Formules demi-angle montrer comment les fonctions trigonométriques d'un demi-angle sont exprimées en fonction du cosinus d'un angle entier. Ces formules trigonométriques découlent des formules à double angle.

Leur conclusion et des exemples d'application peuvent être trouvés dans l'article.

Formules de réduction de degré

Formules de réduction des degrés trigonométriques sont conçus pour faciliter la transition des degrés naturels des fonctions trigonométriques aux sinus et cosinus du premier degré, mais aux angles multiples. En d'autres termes, ils permettent d'abaisser les degrés des fonctions trigonométriques au premier.

Formules de somme et de différence pour les fonctions trigonométriques

destination principale formules pour la somme et la différence des fonctions trigonométriques est d'aller au produit de fonctions, ce qui est très utile pour simplifier des expressions trigonométriques. Ces formules sont également largement utilisées dans la résolution d'équations trigonométriques, car elles vous permettent de factoriser la somme et la différence des sinus et des cosinus.

Formules pour le produit de sinus, cosinus et sinus par cosinus

Le passage du produit des fonctions trigonométriques à la somme ou à la différence s'effectue à l'aide des formules du produit des sinus, cosinus et sinus par cosinus.

Bashmakov M.I. Algèbre et début d'analyse : Manuel. pour 10-11cl. Mercredi shk. - 3e éd. - M. : Education, 1993.-- 351 p. : ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algèbre et le début de l'analyse : Manuel. pour 10-11cl. enseignement général. institutions / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn et autres; Éd. A. N. Kolmogorov. - 14e éd. - M. : Education, 2004. - 384 p. : ill. - ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (manuel pour les candidats aux écoles techniques): Manuel. manuel. - M.; Plus haut. shk., 1984.-351 p., ill.

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Examen d'État unifié pour 4 ? N'éclateras-tu pas de bonheur ?

La question, comme on dit, est intéressante... Tu peux, tu peux passer à 4 ! Et en même temps de ne pas craquer... La condition principale est de pratiquer régulièrement. Voici la préparation de base à l'examen de mathématiques. Avec tous les secrets et secrets de l'examen d'État unifié, que vous ne lirez pas dans les manuels ... Étudiez cette section, résolvez plus de tâches à partir de diverses sources - et tout ira bien! Il est supposé que la section de base « Vous en avez assez du triple ! » ne vous cause aucune difficulté. Mais si du coup... Suivez les liens, ne soyez pas paresseux !

Et nous allons commencer par un sujet formidable et terrible.

Trigonométrie

Attention!
Il y a d'autres
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui sont "très égaux...")

Ce sujet présente beaucoup de problèmes pour les étudiants. Il est considéré comme l'un des plus graves. Que sont le sinus et le cosinus ? Que sont la tangente et la cotangente ? Quoi cercle de nombres? Cela vaut la peine de poser ces questions inoffensives, car une personne pâlit et essaie de détourner la conversation ... Mais en vain. Ce sont des notions simples. Et ce sujet n'est pas plus compliqué que d'autres. Vous avez juste besoin de comprendre clairement les réponses à ces questions dès le début. Il est très important. Si vous comprenez, vous aimerez la trigonométrie. Donc,

Que sont le sinus et le cosinus ? Que sont la tangente et la cotangente ?

Commençons par l'antiquité profonde. Ne vous inquiétez pas, nous couvrirons les 20 siècles de trigonométrie en 15 minutes et, imperceptiblement pour nous-mêmes, nous répéterons un morceau de géométrie de la 8e année.

Dessinons un triangle rectangle avec des côtés a, b, c et l'angle N.-É.... En voici un.

Permettez-moi de vous rappeler que les côtés qui forment un angle droit sont appelés jambes. a et b- jambes. Il y a deux d'entre eux. Le côté restant s'appelle l'hypoténuse. avec- hypoténuse.

Triangle et triangle, pensez-y ! Que faire de lui ? Mais les anciens savaient quoi faire ! Répétons leurs actions. Mesurer le côté v... Dans la figure, les cellules sont spécialement dessinées, comme dans tâches de l'examença arrive. Côté v est égal à quatre cellules. D'ACCORD. Mesurer le côté une. Trois cellules.

Divisons maintenant la longueur du côté une par longueur de côté v... Ou, comme on dit, adoptez l'attitude uneÀ v. un B= 3/4.

Au contraire, vous pouvez diviser v au une. On obtient 4/3. Pouvez v diviser en avec. Hypoténuse avec ne peut pas être compté par cellules, mais il est égal à 5. On obtient a/c= 4/5. En bref, vous pouvez diviser les longueurs des côtés les unes par les autres et obtenir des nombres.

Et alors? Quel est l'intérêt de cette activité intéressante ? Aucun encore. Occupation stupide, franchement.)

Faisons maintenant ceci. Agrandissons le triangle. Étendre les côtés dans et avec, mais pour que le triangle reste rectangulaire. Injection N.-É. ne change naturellement pas. Pour le voir, déplacez le curseur de la souris sur l'image ou appuyez dessus (si vous avez une tablette). Des soirées a, b et c changer en m, n, k, et, bien sûr, les longueurs des côtés changeront.

Mais leur relation ne l'est pas !

Attitude un B C'était: un B= 3/4, maintenant m/n= 6/8 = 3/4. La relation avec les autres parties concernées est également ne changera pas ... Vous pouvez modifier la longueur des côtés comme bon vous semble. triangle rectangle, augmentation Diminution, sans changer l'angle x – la relation des parties concernées ne changera pas ... Vous pouvez vérifier, mais vous pouvez prendre les anciens au mot.

Mais c'est déjà très important ! Les rapports des côtés d'un triangle rectangle ne dépendent en aucun cas des longueurs des côtés (pour un même angle). Ceci est si important que la relation entre les parties a gagné ses noms spéciaux. Leurs noms, pour ainsi dire.) Rendez-vous.

Quel est le sinus de l'angle x ? C'est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse :

sinx = a / s

Quel est le cosinus de l'angle x ? C'est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :

avecosx= a/c

Quelle est la tangente de l'angle x ? C'est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente :

tgx =un B

Quelle est la cotangente de l'angle x ? C'est le rapport de la jambe adjacente à l'opposée :

ctgx = dans / a

Tout est très simple. Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont quelques-uns des nombres. Adimensionnelle. Juste des chiffres. Chaque coin a le sien.

Pourquoi est-ce que je répète tout si ennuyeux ? Alors qu'est-ce que c'est besoin de se souvenir... C'est difficile à retenir. La mémorisation peut être facilitée. L'expression "Commençons de loin..." vous semble familière ? Alors commencez de loin.

Sinus l'angle est le rapport loin de l'angle de la jambe à l'hypoténuse. Cosinus- le rapport du voisin à l'hypoténuse.

Tangente l'angle est le rapport loin du coin de la jambe au plus proche. Cotangente- vice versa.

C'est déjà plus facile, non ?

Eh bien, si vous vous souvenez que seules les jambes sont assises dans la tangente et la cotangente et que l'hypoténuse apparaît dans le sinus et le cosinus, alors tout deviendra assez simple.

Toute cette famille glorieuse - sinus, cosinus, tangente et cotangente est aussi appelée fonctions trigonométriques.

Et maintenant une question à considérer.

Pourquoi dit-on sinus, cosinus, tangente et cotangente coin? Il s'agit de la relation des parties, comme ... Qu'est-ce que cela a à voir avec injection?

Nous regardons la deuxième image. Exactement le même que le premier.

Déplacez la souris sur l'image. j'ai changé d'angle N.-É.... l'a augmenté de x à x. Toutes les relations ont changé ! Attitude un Bétait de 3/4, et le rapport correspondant t / dans est devenu 6/4.

Et toutes les autres relations sont devenues différentes !

Par conséquent, le rapport des côtés ne dépend en aucune façon de leurs longueurs (à un angle x), mais dépend fortement de cet angle même ! Et seulement de lui. Par conséquent, les termes sinus, cosinus, tangente et cotangente se réfèrent à coin. Le coin ici est le principal.

Il faut bien comprendre que l'angle est inextricablement lié à ses fonctions trigonométriques. Chaque angle a son propre sinus et cosinus. Et presque tout le monde a sa propre tangente et cotangente. C'est important. On pense que si on nous donne un angle, alors son sinus, son cosinus, sa tangente et sa cotangente nous savons ! Et vice versa. Étant donné un sinus, ou toute autre fonction trigonométrique, cela signifie que nous connaissons l'angle.

Il existe des tableaux spéciaux où les fonctions trigonométriques sont décrites pour chaque angle. Les tables Bradis sont nommées. Ils ont été rédigés il y a longtemps. Avant il n'y avait pas de calculatrices ni d'ordinateurs...

Bien entendu, les fonctions trigonométriques de tous les angles ne peuvent pas être mémorisées. Vous n'êtes obligé de les connaître que sous quelques angles, nous y reviendrons plus tard. Mais le sort " Je connais l'angle - cela veut dire que je connais ses fonctions trigonométriques "- fonctionne toujours !

Nous avons donc répété un morceau de géométrie de la 8e année. En avons-nous besoin pour l'examen ? Nécessaire. Voici un examen typique de l'examen. Pour résoudre lequel la 8e année suffit. Étant donné une image :

Tout. Il n'y a plus de données disponibles. Il est nécessaire de trouver la longueur de la jambe BC.

Les cellules n'aident pas beaucoup, le triangle est en quelque sorte mal positionné.... Surtout, allez... D'après les informations il y a la longueur de l'hypoténuse. 8 cellules. Pour une raison quelconque, un angle est donné.

Ici, vous devez immédiatement vous souvenir de la trigonométrie. Il y a un angle, ce qui signifie que nous connaissons toutes ses fonctions trigonométriques. Laquelle des quatre fonctions devez-vous utiliser ? Voyons ce que nous savons? On connaît l'hypoténuse, l'angle, mais il faut trouver adjacentà ce coin jambes! Il est clair que le cosinus doit être mis en œuvre ! Alors on le lance. On écrit juste, selon la définition du cosinus (le rapport adjacent jambe à l'hypoténuse):

cosC = BC / 8

L'angle C est de 60 degrés, son cosinus est de 1/2. Il faut le savoir, sans table ! C'est-à-dire:

1/2 = BC / 8

Élémentaire équation linéaire... Inconnu - soleil... Si vous avez oublié comment résoudre des équations, suivez le lien, les autres décident :

BC = 4

Lorsque les peuples anciens ont réalisé que chaque angle a son propre ensemble de fonctions trigonométriques, ils ont eu une question raisonnable. Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente ne sont-ils pas liés d'une manière ou d'une autre ? Pour que connaissant une fonction de l'angle, tu puisses trouver le reste ? Sans calculer l'angle lui-même ?

Ils étaient si agités ...)

Relation entre les fonctions trigonométriques d'un angle.

Bien sûr, sinus, cosinus, tangente et cotangente du même angle sont liés. Toute connexion entre les expressions est spécifiée en mathématiques par des formules. En trigonométrie, il existe une quantité colossale de formules. Mais ici, nous allons examiner les plus élémentaires. Ces formules sont appelées : identités trigonométriques de base. Les voici:

Ces formules doivent être connues ironiquement. Sans eux, il n'y a rien à faire en trigonométrie. Trois autres identités auxiliaires découlent de ces identités de base :

Je vous préviens tout de suite que les trois dernières formules tombent vite en panne de mémoire. Pour une raison quelconque.) Vous pouvez, bien sûr, dériver ces formules de Trois premiers... Mais, dans les moments difficiles... vous comprenez.)

Dans les devoirs standard tels que ceux ci-dessous, il existe un moyen de se passer de ces formules oubliables. ET réduire considérablement les erreurs pour l'oubli, et dans les calculs aussi. Cette pratique se trouve dans la section 555, leçon « Relation entre les fonctions trigonométriques du même angle. »

Dans quelles tâches et comment les identités trigonométriques de base sont-elles utilisées ? La tâche la plus courante est de trouver une fonction d'un angle si une autre est donnée. Dans l'examen, une telle tâche est présente d'année en année.) Par exemple :

Trouvez la valeur de sinx si x est un angle aigu et cosx = 0,8.

La tâche est presque élémentaire. Nous recherchons une formule où il y a sinus et cosinus. C'est la formule :

sin 2 x + cos 2 x = 1

On substitue ici la valeur connue, à savoir 0,8 au lieu du cosinus :

péché 2 x + 0,8 2 = 1

Bon, on compte, comme d'habitude :

péché 2 x + 0,64 = 1

péché 2 x = 1 - 0,64

C'est pratiquement tout. Nous avons calculé le carré du sinus, il reste à extraire la racine carrée et la réponse est prête ! La racine de 0,36 est 0,6.

La tâche est presque élémentaire. Mais le mot "presque" n'est pas vain ici... Le fait est que la réponse sinx = - 0.6 convient aussi... (-0.6) 2 sera aussi 0.36.

Deux réponses différentes sont obtenues. Et vous en avez besoin d'un. La seconde est fausse. Comment être !? Oui, comme d'habitude.) Lisez attentivement le devoir. Pour une raison quelconque, il est dit là : ... si x est un angle aigu... Et dans les tâches, chaque mot a un sens, oui... Cette phrase - et il y a des informations supplémentaires à la solution.

Un angle aigu est un angle inférieur à 90°. Et dans de tels coins tous fonctions trigonométriques - à la fois sinus et cosinus, et tangente avec cotangente - positif. Celles. nous rejetons simplement la réponse négative ici. Nous avons le droit.

En fait, les élèves de huitième année n'ont pas besoin de telles subtilités. Ils ne fonctionnent qu'avec des triangles rectangles, où les coins ne peuvent être que vifs. Et ils ne savent pas, les heureux, qu'il y a des angles négatifs et des angles de 1000°... Et tous ces horribles angles ont leurs propres fonctions trigonométriques avec plus et moins...

Mais les lycéens sans tenir compte du signe - en aucune façon. Beaucoup de connaissances multiplient les peines, oui...) Et pour bonne décision la tâche doit contenir des informations supplémentaires (si nécessaire). Par exemple, il peut être donné par une telle entrée :

Ou autre chose. Vous verrez dans les exemples ci-dessous.) Pour résoudre de tels exemples, vous devez savoir dans quel quartier tombe l'angle x donné et quel signe a la fonction trigonométrique désirée dans ce quartier.

Ces bases de la trigonométrie sont discutées dans les leçons sur ce qu'est un cercle trigonométrique, en comptant les angles sur ce cercle, la mesure en radians d'un angle. Parfois, vous avez également besoin de connaître la table des sinus cosinus des tangentes et des cotangentes.

Alors, soulignons la chose la plus importante:

Conseils pratiques:

1. Mémorisez les définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente. Très utile.

2. Nous apprenons clairement : sinus, cosinus, tangente et cotangente sont fermement liés aux angles. Nous savons une chose - cela signifie que nous en savons une autre.

3. Nous apprenons clairement : le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle sont reliés les uns aux autres par des identités trigonométriques de base. Nous connaissons une fonction, ce qui signifie que nous pouvons (si nous avons les informations complémentaires nécessaires) calculer toutes les autres.

Et maintenant, nous allons le résoudre, comme d'habitude. Tout d'abord, les devoirs dans le cadre de la 8e année. Mais les lycéens peuvent aussi...)

1. Calculer la valeur tgА si ctgА = 0,4.

2. est l'angle dans un triangle rectangle. Trouvez la valeur de tgβ si sinβ = 12/13.

3. Déterminer le sinus d'un angle aigu x si tgx = 4/3.

4. Trouver la valeur d'une expression :

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Trouver la valeur d'une expression :

(1-cosx) (1 + cosx) si sinx = 0,3

Réponses (séparées par des points-virgules, en désordre) :

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Passé? Amende! Les élèves de huitième année peuvent déjà dépasser leur A.)

Tout n'a pas fonctionné ? Les tâches 2 et 3 ne sont pas très bonnes...? Aucun problème! Il existe une astuce intéressante pour de telles tâches. Tout est résolu, pratiquement, sans formules du tout ! Eh bien, et donc pas d'erreurs. Cette technique dans la leçon : "Relation entre les fonctions trigonométriques du même angle" dans la section 555 est décrite. Toutes les autres tâches y sont également triées.

Il s'agissait de tâches comme l'examen d'État unifié, mais dans une version tronquée. Examen d'État unifié - léger). Et maintenant, presque les mêmes tâches, mais sous une forme de test à part entière. Pour les lycéens chargés de connaissances.)

6. Trouver la valeur de tgβ si sinβ = 12/13, et

7. Déterminer sinx si tgx = 4/3, et x appartient à l'intervalle (- 540° ; - 450°).

8. Trouver la valeur de l'expression sinβ · cosβ, si ctgβ = 1.

Réponses (dans le désarroi) :

0,8; 0,5; -2,4.

Ici, dans le problème 6, l'angle n'est en quelque sorte pas très univoque... Et dans le problème 8, ce n'est pas du tout précisé ! C'est exprès). Information additionnelle il est pris non seulement de la tâche, mais aussi de la tête.) Mais si vous décidez - une tâche correcte est garantie !

Et si vous n'avez pas décidé ? Euh ... Eh bien, la section 555 aidera ici. Là, les solutions à toutes ces tâches sont détaillées, il est difficile de ne pas comprendre.

Cette leçon présente un concept très limité de fonctions trigonométriques. Au sein de la 8e année. Et les anciens se posent encore des questions...

Par exemple, si l'angle N.-É.(voir la deuxième photo sur cette page) - rends ça stupide !? Le triangle va s'effondrer complètement ! Et comment être ? Il n'y aura pas de jambe, pas d'hypoténuse... Le sinus est parti...

Si les peuples anciens ne trouvaient pas d'issue à cette situation, nous n'aurions plus de téléphones portables, de télévision ou d'électricité maintenant. Oui oui! Base théorique toutes ces choses sans fonctions trigonométriques - zéro sans baguette. Mais les peuples anciens n'ont pas déçu. Comment ils sont sortis - dans la prochaine leçon.