Comment calculer les limites des fonctions exemples. La première merveilleuse limite

Les fonctions élémentaires de base sont triées.

En passant à des fonctions d'un genre plus complexe, on rencontrera certainement l'apparition d'expressions dont le sens n'est pas défini. De telles expressions sont appelées incertitudes.

Nous listons tous principaux types d'incertitudes: zéro divisé par zéro (0 par 0), l'infini divisé par l'infini, zéro multiplié par l'infini, l'infini moins l'infini, un à la puissance infini, zéro à la puissance zéro, l'infini à la puissance zéro.

TOUTES LES AUTRES DÉCLARATIONS D'INCERTITUDE NE SONT PAS ET PRENENT DES VALEURS FINALES OU INFINIES.

Découvrir les incertitudes permet:

• simplification du type de fonction (transformation d'une expression à l'aide de formules de multiplication abrégées, formules trigonométriques, multiplication par des expressions conjuguées suivies d'une abréviation, etc.) ;
• utiliser de merveilleuses limites ;
• application de la règle de l'Hôpital ;
• en utilisant le remplacement d'une expression infinitésimale par son équivalent (en utilisant une table d'équivalents infinitésimales).

Regroupons les incertitudes en tableau d'incertitude... Chaque type d'incertitude est associé à la méthode de sa divulgation (la méthode de recherche de la limite).

Ce tableau, ainsi que le tableau des limites des fonctions élémentaires de base, seront vos principaux outils pour trouver des limites.

Donnons quelques exemples lorsque tout est obtenu immédiatement après substitution de la valeur et qu'il n'y a pas d'incertitudes.

Exemple.

Calculer la limite

Solution.

Remplacez la valeur :

Et a immédiatement reçu une réponse.

Réponse:

Exemple.

Calculer la limite

Solution.

Remplacez la valeur x = 0 à la base de notre fonction exponentielle :

C'est-à-dire que la limite peut être réécrite comme

Regardons maintenant l'indicateur. Il s'agit d'une fonction de puissance. Référons-nous au tableau des limites pour les fonctions puissance avec un exposant négatif. De là, nous avons et , on peut donc écrire .

Sur cette base, notre limite s'écrira :

Revenons au tableau des limites, mais déjà pour les fonctions exponentielles de base supérieure à un, d'où :

Réponse:

Jetons un coup d'œil à des exemples avec des solutions détaillées divulgation d'ambiguïtés par transformation d'expressions.

Très souvent, l'expression sous le signe limite doit être légèrement transformée pour se débarrasser des ambiguïtés.

Exemple.

Calculer la limite

Solution.

Remplacez la valeur :

Venu à l'incertitude. On regarde le tableau des incertitudes pour choisir une méthode de solution. Essayer de simplifier l'expression.

Réponse:

Exemple.

Calculer la limite

Solution.

Remplacez la valeur :

Nous sommes arrivés à l'incertitude (0 à 0). Nous regardons le tableau des incertitudes pour choisir une méthode de solution et essayons de simplifier l'expression. Multiplions à la fois le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée au dénominateur.

Pour le dénominateur, l'expression conjuguée est

Nous avons multiplié le dénominateur afin de pouvoir appliquer la formule de multiplication abrégée - la différence de carrés, puis de réduire l'expression résultante.

Après une série de transformations, l'incertitude a disparu.

Réponse:

COMMENTER: pour les limites de ce type, la méthode de multiplication par des expressions conjuguées est typique, alors n'hésitez pas à l'utiliser.

Exemple.

Calculer la limite

Solution.

Remplacez la valeur :

Venu à l'incertitude. Nous regardons le tableau des incertitudes pour choisir une méthode de solution et essayons de simplifier l'expression. Étant donné que le numérateur et le dénominateur disparaissent à x = 1, alors si ces expressions, il sera possible de réduire (x-1) et l'incertitude disparaîtra.

Factorisons le numérateur :

Factorisons le dénominateur :

Notre limite prendra la forme :

Après la transformation, l'incertitude a été révélée.

Réponse:

Considérez les limites à l'infini des expressions de puissance. Si les exposants de l'expression exponentielle sont positifs, alors la limite à l'infini est infinie. De plus, l'importance principale est le plus grand degré, le reste peut être rejeté.

Exemple.

Exemple.

Si l'expression sous le signe limite est une fraction et que le numérateur et le dénominateur sont des expressions exponentielles (m est le degré du numérateur et n est le degré du dénominateur), alors quand il y a une incertitude de la forme infini à l'infini, dans ce cas l'incertitude est révélée division et numérateur et dénominateur par

Exemple.

Calculer la limite

Théorie des limites- une des sections d'analyse mathématique, que l'on peut maîtriser, d'autres en calculent à peine les limites. La question de trouver les limites est assez générale, puisqu'il existe des dizaines de techniques. limites des solutions de divers types. On retrouve les mêmes limites à la fois selon la règle de L'Hôpital et sans elle. Il arrive qu'un planning en une série de fonctions infiniment petites permette d'obtenir rapidement le résultat souhaité. Il existe un certain nombre de trucs et astuces qui vous permettent de trouver la limite d'une fonction de n'importe quelle complexité. Dans cet article, nous allons essayer de comprendre les principaux types de limites que l'on rencontre le plus souvent en pratique. Nous ne donnerons pas ici la théorie et la définition de la limite, il existe de nombreuses ressources sur Internet où cela est mâché. Passons donc aux calculs pratiques, c'est ici que "Je ne sais pas ! Je ne sais pas comment ! On ne nous a pas appris !"

Calcul des limites à l'aide de la substitution

Exemple 1. Trouver la limite d'une fonction
Lim ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x = 3).
Solution : Des exemples de ce genre sont théoriquement calculés par la substitution habituelle

La limite est le 18/11.
Il n'y a rien de compliqué et de sage dans de telles limites - ils ont substitué la valeur, calculé, écrit la limite en réponse. Cependant, sur la base de telles limites, chacun apprend que la première chose à faire est de substituer une valeur à une fonction. De plus, les limites sont compliquées, elles introduisent le concept d'infini, d'incertitude, etc.

Divisez la limite à l'indéfini du type infini par l'infini. Techniques de divulgation des incertitudes

Exemple 2. Trouver la limite d'une fonction
Lim ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x = infini).
Solution : une limite de la forme d'un polynôme est fixée, divisée par un polynôme, et la variable tend vers l'infini

Une simple substitution de la valeur à laquelle la variable doit être trouvée pour trouver les limites n'aidera pas, nous obtenons une incertitude de la forme infini divisé par l'infini.
Théorie de la limite de sueur L'algorithme de calcul de la limite consiste à trouver la plus grande puissance de « x » dans le numérateur ou le dénominateur. De plus, le numérateur et le dénominateur en sont simplifiés et la limite de la fonction est trouvée

Puisque la valeur tend vers zéro avec une variable à l'infini, alors elles sont négligées, ou écrites dans l'expression finale sous forme de zéros

Immédiatement après la pratique, vous pouvez obtenir deux conclusions qui sont un indice dans les calculs. Si la variable tend vers l'infini et que le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, alors la limite est égale à l'infini. Sinon, si le polynôme du dénominateur est d'ordre supérieur à celui du numérateur, la limite est zéro.
La limite peut être écrite par des formules comme suit

Si nous avons une fonction de la forme d'un journal ordinaire sans fractions, alors sa limite est égale à l'infini

Le prochain type de limite concerne le comportement des fonctions proches de zéro.

Exemple 3. Trouver la limite d'une fonction
Lim ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x = 0).
Solution : Il n'est pas nécessaire de retirer ici le facteur le plus élevé du polynôme. Exactement le contraire, il faut trouver le plus petit degré du numérateur et du dénominateur et calculer la limite

valeur X ^ 2 ; x tendent vers zéro lorsque la variable tend vers zéro Par conséquent, ils sont négligés, nous obtenons ainsi

que la limite est de 2,5.

Maintenant tu sais comment trouver la limite d'une fonction de la forme polynôme divisé par un polynôme si la variable tend vers l'infini ou vers 0. Mais ce n'est qu'une petite et facile partie des exemples. À partir du matériel suivant, vous apprendrez comment divulguer les incertitudes des limites d'une fonction.

Limite avec incertitude de type 0/0 et méthodes de son calcul

Tout le monde se souvient immédiatement de la règle selon laquelle il est impossible de diviser par zéro. Cependant, la théorie des limites dans ce contexte signifie des fonctions infinitésimales.
Regardons quelques exemples pour plus de clarté.

Exemple 4. Trouver la limite d'une fonction
Lim ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x = -1).
Solution : En remplaçant la valeur de la variable x = -1 dans le dénominateur, nous obtenons zéro, le même que nous obtenons dans le numérateur. Nous avons donc incertitude de la forme 0/0.
Faire face à une telle incertitude est simple : vous devez factoriser le polynôme, ou plutôt, sélectionner le facteur qui met la fonction à zéro.

Après décomposition, la limite de la fonction peut être écrite comme

C'est toute la technique pour calculer la limite d'une fonction. On fait de même s'il y a une limite de la forme d'un polynôme divisé par un polynôme.

Exemple 5. Trouver la limite d'une fonction
Lim ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x = 2).
Solution : la substitution vers l'avant montre
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
Ce que nous avons type d'incertitude 0/0.
On divise les polynômes par un facteur qui introduit la singularité


Il y a des enseignants qui enseignent que les polynômes du 2ème ordre, c'est-à-dire de la forme "équations quadratiques" doivent être résolus par le discriminant. Mais la pratique réelle montre que c'est plus long et plus déroutant, alors débarrassez-vous des fonctionnalités de l'algorithme spécifié. Ainsi, nous écrivons la fonction sous forme de facteurs premiers et énumérons dans la limite

Comme vous pouvez le voir, il n'y a rien de difficile à calculer de telles limites. Au moment d'étudier les limites, vous savez diviser des polynômes, du moins selon le programme que vous auriez déjà dû réussir.
Parmi les tâches de type d'incertitude 0/0 il y a ceux dans lesquels vous devez appliquer les formules de multiplication abrégées. Mais si vous ne les connaissez pas, alors en divisant un polynôme par un monôme, vous pouvez obtenir la formule souhaitée.

Exemple 6. Trouver la limite d'une fonction
Lim ((x ^ 2-9) / (x-3), x = 3).
Solution : Nous avons une incertitude de type 0/0. Au numérateur, on applique la formule de multiplication abrégée

et calculer la limite requise

La méthode de divulgation de l'incertitude en multipliant par le conjugué

La méthode est appliquée aux limites dans lesquelles les incertitudes génèrent des fonctions irrationnelles. Le numérateur ou le dénominateur devient nul au moment du calcul et on ne sait pas comment trouver la frontière.

Exemple 7. Trouver la limite d'une fonction
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x = 2).
Solution: Nous représentons la variable dans la formule limite

La substitution donne une incertitude de type 0/0.
Selon la théorie des limites, le schéma pour contourner cette caractéristique est de multiplier l'expression irrationnelle par le conjugué. Pour que l'expression ne change pas, le dénominateur doit être divisé par la même valeur.

Par la règle de la différence des carrés, on simplifie le numérateur et on calcule la limite de la fonction

Nous simplifions les termes qui créent une singularité dans la limite et effectuons la substitution

Exemple 8. Trouver la limite d'une fonction
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x = 3).
Solution : La substitution directe montre que la limite a une caractéristique de la forme 0/0.

Pour développer, on multiplie et on divise par le conjugué au numérateur

Écrire la différence des carrés

On simplifie les termes qui introduisent la singularité et on trouve la limite de la fonction

Exemple 9. Trouver la limite d'une fonction
Lim ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x = 2).
Solution : Remplacer 2 dans la formule

On a incertitude 0/0.
Le dénominateur doit être multiplié par l'expression conjuguée, et l'équation quadratique doit être résolue au numérateur ou factorisée, en tenant compte de la singularité. Comme on sait que 2 est une racine, on trouve la seconde racine par le théorème de Vieta

Ainsi, nous écrivons le numérateur sous la forme

et substituer à la limite

En réduisant la différence des carrés, on se débarrasse des singularités au numérateur et au dénominateur

De cette façon, vous pouvez vous débarrasser de la singularité dans de nombreux exemples, et l'application doit être remarquée chaque fois que la différence de racine donnée devient nulle lors de la substitution. D'autres types de limites concernent les fonctions exponentielles, les fonctions infinitésimales, les logarithmes, les limites spéciales et d'autres techniques. Mais vous pouvez lire à ce sujet dans les articles ci-dessous sur les limites.

Pour ceux qui veulent apprendre à trouver les limites dans cet article, nous allons vous en parler. Nous n'approfondirons pas la théorie, généralement les enseignants la donnent lors de cours magistraux. Ainsi, la "théorie ennuyeuse" devrait être décrite dans vos cahiers. Si ce n'est pas le cas, vous pouvez lire des manuels tirés de la bibliothèque de l'établissement d'enseignement ou sur d'autres ressources Internet.

Ainsi, le concept de limite est assez important dans l'étude d'un cours de mathématiques supérieures, en particulier lorsque vous rencontrez le calcul intégral et que vous comprenez la relation entre la limite et l'intégrale. Le présent article examinera des exemples simples, ainsi que des moyens de les résoudre.

Exemples de solutions

Exemple 1

Calculer a) $ \ lim_ (x \ à 0) \ frac (1) (x) $; b) $ \ lim_ (x \ à \ infty) \ frac (1) (x) $

Solution

a) $$ \ lim \limits_ (x \ à 0) \ frac (1) (x) = \ infty $$ b) $$ \ lim_ (x \ à \ infty) \ frac (1) (x) = 0 $$ On nous envoie souvent ces limites avec une demande d'aide pour les résoudre. Nous avons décidé de les mettre en évidence comme un exemple séparé et d'expliquer que ces limites doivent être simplement rappelées, en règle générale. Si vous ne pouvez pas résoudre votre problème, envoyez-le nous. Nous vous fournirons une solution détaillée. Vous pourrez vous familiariser avec le déroulement du calcul et obtenir des informations. Cela vous aidera à obtenir le crédit de votre professeur en temps opportun!

Réponse

$$\text (a))\lim\limits_ (x\to 0)\frac (1) (x)=\infty\text (b))\lim\limits_ (x\to\infty)\frac (1 ) (x) = 0 $$

Que faire avec l'incertitude comme : $ \ bigg [\ frac (0) (0) \ bigg] $

Exemple 3

Résoudre $\lim\limites_ (x\à -1)\frac (x^2-1) (x+1)$

Solution

Comme toujours, nous commençons par substituer la valeur de $ x $ dans l'expression sous le signe limite. $$ \ lim \limites_ (x \ à -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ frac ((- 1) ^ 2-1) (- 1 + 1) = \ frac ( 0) (0) $$ Et après? Quel devrait être le résultat ? Comme il s'agit d'incertitude, ce n'est pas encore une réponse et nous continuons le calcul. Puisque nous avons un polynôme dans les numérateurs, nous le factorisons en facteurs, en utilisant la formule familière à tout le monde depuis l'école $$ a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b) $$. Te souviens tu? Amende! Maintenant, vas-y et applique-le avec la chanson :) On obtient que le numérateur $ x ^ 2-1 = (x-1) (x + 1) $ Nous continuons à résoudre étant donné la transformation ci-dessus : $$\lim\limites_ (x\à -1)\frac (x^2-1) (x+1) =\lim\limites_ (x\à -1)\frac ((x-1) (x+ 1)) (x + 1) = $$ $$ = \ lim \limites_ (x \ à -1) (x-1) = - 1-1 = -2 $$

Réponse

$$ \ lim \limites_ (x \ à -1) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = -2 $$

Poussons la limite dans les deux derniers exemples à l'infini et considérons l'incertitude : $ \ bigg [\ frac (\ infty) (\ infty) \ bigg] $

Exemple 5

Évaluer $\lim\limits_ (x\à\infty)\frac (x^2-1) (x+1)$

Solution

$ \ lim \limites_ (x \ à \ infty) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ frac (\ infty) (\ infty) $ Que faire? Comment être? Pas de panique, car l'impossible est possible. Il est nécessaire de mettre le x en dehors des parenthèses au numérateur et au dénominateur, puis de le réduire. Essayez ensuite de calculer la limite. En essayant ... $$\lim\limites_ (x\à\infty)\frac (x^2-1) (x+1) =\lim\limites_ (x\à\infty)\frac (x^2 (1-\frac (1) (x ^ 2))) (x (1+ \ frac (1) (x))) = $$ $$ = \ lim \limits_ (x \ to \ infty) \ frac (x (1- \ frac (1) (x ^ 2))) ((1+ \ frac (1) (x))) = $$ En utilisant la définition de l'exemple 2 et en substituant l'infini à x, nous obtenons : $$ = \ frac (\ infty (1- \ frac (1) (\ infty))) ((1+ \ frac (1) (\ infty))) = \ frac (\ infty \ cdot 1) (1+ 0) = \ frac (\ infty) (1) = \ infty $$

Réponse

$$ \ lim \limites_ (x \ à \ infty) \ frac (x ^ 2-1) (x + 1) = \ infty $$

Algorithme de calcul des limites

Alors, résumons brièvement les exemples analysés et composons un algorithme pour résoudre les limites :

1. Remplacez le point x dans l'expression suivant le signe limite. Si vous obtenez un certain nombre, ou l'infini, alors la limite est complètement résolue. Sinon, nous avons l'ambiguïté : « diviser zéro par zéro » ou « diviser l'infini par l'infini » et passer aux paragraphes suivants de l'instruction.
2. Pour éliminer l'ambiguïté "zéro divisé par zéro", vous devez factoriser le numérateur et le dénominateur en facteurs. Réduire les semblables. Remplacez le point x dans l'expression sous le signe limite.
3. Si l'incertitude est "l'infini divisé par l'infini", alors nous supprimons à la fois le numérateur et le dénominateur de x au plus haut degré. Réduire les x. Remplacez les valeurs x sous la limite dans l'expression restante.

Dans cet article, vous avez appris les bases de la résolution des limites couramment utilisées dans le cours d'analyse mathématique. Bien sûr, ce ne sont pas tous les types de problèmes proposés par les examinateurs, mais seulement les limites les plus simples. Dans les articles suivants, nous parlerons d'autres types de tâches, mais vous devez d'abord apprendre cette leçon pour pouvoir passer à autre chose. Nous discuterons de ce qu'il faut faire s'il y a des racines, des degrés, nous étudierons des fonctions équivalentes infinitésimales, des limites merveilleuses, la règle de L'Hôpital.

Si vous ne pouvez pas déterminer les limites par vous-même, alors ne paniquez pas. Nous sommes toujours heureux d'aider!

Lors du calcul des limites, tenez compte suivant les règles de base:

1. La limite de la somme (différence) des fonctions est égale à la somme (différence) des limites des termes :

2. La limite du produit des fonctions est égale au produit des limites des facteurs :

3. La limite du rapport de deux fonctions est égale au rapport des limites de ces fonctions :

.

4. Le facteur constant peut être retiré du signe limite :

.

5. La limite de la constante est égale à la plus constante :

6. Pour les fonctions continues, les symboles de limite et de fonction peuvent être intervertis :

.

La recherche de la limite d'une fonction doit commencer par substituer une valeur dans l'expression à la fonction. De plus, si une valeur numérique de 0 ou est obtenue, alors la limite recherchée est trouvée.

Exemple 2.1. Calculer la limite.

Solution.

.

Les expressions de la forme ,,,,, sont appelées incertitudes.

Si une incertitude de la forme est obtenue, alors pour trouver la limite, il faut transformer la fonction de façon à faire apparaître cette incertitude.

L'incertitude de nature est généralement obtenue lorsque la limite du rapport de deux polynômes est donnée. Dans ce cas, il est recommandé de factoriser les polynômes et de les annuler par un facteur commun pour calculer la limite. Ce facteur est égal à zéro à la valeur limite X .

Exemple 2.2. Calculer la limite.

Solution.

En remplaçant, on obtient l'incertitude :

.

Factorisons le numérateur et le dénominateur :

;

Réduisez par un facteur commun et obtenez

L'incertitude de la forme est obtenue lorsque la limite du rapport de deux polynômes est donnée à. Dans ce cas, pour le calcul, il est recommandé de diviser les deux polynômes par X dans le degré supérieur.

Exemple 2.3. Calculer la limite.

Solution. La substitution ∞ donne une incertitude de la forme, nous divisons donc tous les termes de l'expression par x 3.

.

On en tient compte.

Lors du calcul des limites d'une fonction contenant des racines, il est recommandé de multiplier et de diviser la fonction par son expression conjuguée.

Exemple 2.4. Calculer la limite

Solution.

Lors du calcul des limites de divulgation d'une incertitude de la forme ou (1) ∞, les première et deuxième limites remarquables sont souvent utilisées :

De nombreux problèmes associés à la croissance continue de n'importe quelle quantité conduisent à la deuxième limite remarquable.

Considérons l'exemple de Ya.I. Perelman, qui donne une interprétation du nombre e dans le problème des intérêts composés. Dans les caisses d'épargne, les intérêts sont ajoutés au capital fixe chaque année. Si la connexion est établie plus souvent, le capital augmente plus rapidement, car une grande quantité est impliquée dans la formation des intérêts. Prenons un exemple purement théorique, très simplifié.

Laissez la banque mettre 100 den. unités au taux de 100 % par an. Si l'argent des intérêts ne sera ajouté au capital fixe qu'après un an, alors à cette date 100 den. unités se transformera en 200 unités monétaires.

Voyons maintenant ce qui deviendra 100 den. unités, si des intérêts sont ajoutés au capital fixe tous les six mois. Après six mois, 100 den. unités passera à 100 × 1,5 = 150, et après encore six mois - à 150 × 1,5 = 225 (unités monétaires). Si la connexion se fait tous les 1/3 de l'année, puis au bout d'un an, 100 den. unités se transformera en 100 × (1 +1/3) 3 "237 (unités monétaires).

Nous accélérerons les conditions d'adhésion de l'argent portant intérêt à 0,1 an, à 0,01 an, à 0,001 an, etc. Puis sur 100 den. unités après un an, il s'avérera:

100 × (1 +1/10) 10 "259 (unités monétaires),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (unités monétaires),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (unités monétaires).

Avec une réduction illimitée des conditions de saisie des intérêts, le capital accumulé ne croît pas à l'infini, mais se rapproche d'une certaine limite, égale à environ 271. Le capital alloué à 100 % par an ne peut augmenter de plus de 2,71 fois, même si le capital accumulé des intérêts étaient ajoutés au capital chaque seconde parce que

Exemple 2.5. Calculer la limite d'une fonction

Solution.

Exemple 2.6. Calculer la limite d'une fonction .

Solution. En substituant, nous obtenons l'incertitude :

.

En utilisant la formule trigonométrique, convertissez le numérateur en produit :

En conséquence, nous obtenons

Ici, une seconde limite remarquable est prise en compte.

Exemple 2.7. Calculer la limite d'une fonction

Solution.

.

Pour divulguer l'incertitude de la forme ou, vous pouvez utiliser la règle de L'Hôpital, qui est basée sur le théorème suivant.

Théorème. La limite du rapport de deux fonctions infinitésimales ou infiniment grandes est égale à la limite du rapport de leurs dérivées

Notez que cette règle peut être appliquée plusieurs fois de suite.

Exemple 2.8. Trouver

Solution. Lors de la substitution, nous avons une incertitude de la forme. En appliquant la règle de L'Hôpital, on obtient

Continuité de fonction

La continuité est une propriété importante d'une fonction.

Définition. La fonction est considérée continu si un petit changement dans la valeur de l'argument entraîne un petit changement dans la valeur de la fonction.

Mathématiquement, il s'écrit comme suit : pour

Par et est compris l'incrément des variables, c'est-à-dire la différence entre les valeurs suivantes et précédentes :, (Figure 2.3)

Figure 2.3 - Incrément des variables

Il résulte de la définition d'une fonction continue en un point que ... Cette égalité signifie la réalisation de trois conditions :

Solution. Pour la fonction le point est suspect d'une rupture, vérifiez-le, trouvez des limites unilatérales

D'où, , veux dire - point de discontinuité amovible

Dérivée d'une fonction

Méthodes pour résoudre les limites. Incertitudes.
L'ordre de croissance de la fonction. Méthode de remplacement

Exemple 4

Trouver la limite

Ceci est un exemple plus simple pour une solution de bricolage. Dans l'exemple proposé, il y a encore une incertitude (d'un ordre de croissance supérieur à la racine).

Si "x" tend vers "moins l'infini"

Le fantôme de "moins l'infini" est dans cet article depuis longtemps. Considérons les limites des polynômes dans lesquels. Les principes et méthodes de résolution seront exactement les mêmes que dans la première partie de la leçon, à quelques nuances près.

Considérez 4 puces qui seront nécessaires pour résoudre des tâches pratiques :

1) Calculer la limite

La valeur de la limite ne dépend que du terme, puisqu'il a l'ordre de croissance le plus élevé. Si donc modulo infiniment grand nombre négatif à la puissance PAIRE, dans ce cas - dans le quatrième, égal à "plus l'infini":. Constant ("deux") positif, Voilà pourquoi:

2) Calculer la limite

Ici encore le diplôme supérieur même, Voilà pourquoi: . Mais devant le "moins" ( négatif constante -1), donc :

3) Calculer la limite

La valeur limite dépend uniquement de. Comme vous vous en souvenez de l'école, le "moins" "saute" sous le degré impair, donc modulo infiniment grand nombre négatif à puissance impaire est égal à "moins l'infini", dans ce cas :.
Constant ("quatre") positif, veux dire:

4) Calculer la limite

Le premier gars du village a encore impair degré, d'ailleurs, dans le sein négatif constante, ce qui signifie : Ainsi :
.

Exemple 5

Trouver la limite

En utilisant les points ci-dessus, nous arrivons à la conclusion qu'il existe une incertitude. Le numérateur et le dénominateur sont du même ordre de croissance, ce qui signifie qu'à la limite vous obtenez un nombre fini. Découvrons la réponse, en rejetant tous les alevins :

La solution est triviale :

Exemple 6

Trouver la limite

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même. Solution complète et réponse à la fin du tutoriel.

Et maintenant, peut-être le plus subtil des cas :

Exemple 7

Trouver la limite

Considérant les termes principaux, nous arrivons à la conclusion qu'il y a incertitude. Le numérateur est d'un ordre de croissance plus élevé que le dénominateur, vous pouvez donc dire immédiatement que la limite est l'infini. Mais quel infini, plus ou moins ? La technique est la même - au numérateur et au dénominateur, on se débarrasse des petites choses :

Nous décidons:

Divisez le numérateur et le dénominateur par

Exemple 15

Trouver la limite

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même. Un exemple approximatif de finition à la fin de la leçon.

Quelques exemples plus intéressants sur le remplacement de variables :

Exemple 16

Trouver la limite

Lors de la substitution d'une unité dans la limite, une incertitude est obtenue. Le remplacement de variable est déjà évident, mais nous transformons d'abord la tangente à l'aide de la formule. En effet, pourquoi avons-nous besoin d'une tangente ?

Notez que, donc. Si ce n'est pas tout à fait clair, regardez les valeurs sinus dans table trigonométrique... Ainsi, nous nous débarrassons immédiatement du multiplicateur, de plus, nous obtenons l'incertitude 0: 0 plus familière. Ce serait bien si notre limite tend vers zéro.

Remplaçons :

Si donc

Sous le cosinus, nous avons "x", qui doit également être exprimé par "te".
Du remplacement nous exprimons :.

Nous complétons la solution :

(1) Nous effectuons la substitution

(2) Développez les crochets sous le cosinus.

(4) Pour organiser première limite merveilleuse, multiplier artificiellement le numérateur par et l'inverse.

Mission pour solution indépendante :

Exemple 17

Trouver la limite

Solution complète et réponse à la fin du tutoriel.

Ce n'étaient pas des tâches difficiles dans leur classe, en pratique tout peut être pire, et, en plus de formules de réduction, vous devez utiliser une variété de formules trigonométriques, ainsi que d'autres astuces. Dans l'article Limites difficiles, j'ai démonté quelques exemples réels =)

A la veille des vacances, clarifions enfin la situation avec une incertitude plus généralisée :

Élimination de l'incertitude "un au degré de l'infini"

Cette incertitude est "servie" deuxième limite merveilleuse, et dans la deuxième partie de cette leçon, nous avons examiné en détail les exemples types de solutions que l'on rencontre dans la plupart des cas dans la pratique. Maintenant, le tableau avec les exposants sera terminé. De plus, les tâches finales de la leçon seront consacrées aux limites - "truc", dans lesquelles il SEMBLE qu'il est nécessaire d'appliquer la 2ème limite merveilleuse, bien que ce ne soit pas à tout le cas.

L'inconvénient des deux formules de travail de la 2ème limite remarquable est que l'argument doit tendre vers "plus l'infini" ou vers zéro. Mais que se passe-t-il si l'argument tend vers un nombre différent ?

Une formule universelle vient à la rescousse (qui est en fait une conséquence de la deuxième limite remarquable) :

L'incertitude peut être éliminée par la formule :

Quelque part comme déjà expliqué ce que signifient les crochets. Rien de spécial, les parenthèses sont comme les parenthèses. Ils sont généralement utilisés pour faire ressortir une notation mathématique plus clairement.

Soulignons les points essentiels de la formule :

1) C'est seulement sur l'incertitude et pas d'autre.

2) L'argument « x » peut avoir tendance à valeur arbitraire(et pas seulement à zéro ou), en particulier, à "moins l'infini" ou à quelconque un nombre fini.

En utilisant cette formule, vous pouvez résoudre tous les exemples de la leçon. Merveilleuses limites qui appartiennent à la 2ème limite remarquable. Par exemple, calculons la limite :

Dans ce cas , et par la formule :

Certes, je ne vous conseille pas de faire cela, dans la tradition c'est encore d'utiliser la conception "habituelle" de la solution, si elle peut être appliquée. mais l'utilisation d'une formule est très pratique pour vérifier Exemples "classiques" à la 2ème limite remarquable.