La racine impaire d'un nombre négatif. Propriétés des racines : formulations, preuves, exemples

Félicitations : aujourd'hui, nous allons examiner les racines - l'un des sujets les plus cérébraux de la 8e année. :)

Beaucoup de gens sont confus au sujet des racines, non pas parce qu'elles sont complexes (ce qui est si difficile - quelques définitions et quelques propriétés), mais parce que dans la plupart des manuels scolaires, les racines sont déterminées à travers une telle jungle que seuls les auteurs des les manuels eux-mêmes peuvent comprendre ce gribouillage. Et même alors seulement avec une bouteille de bon whisky. :)

Par conséquent, je vais maintenant donner la définition la plus correcte et la plus compétente de la racine - la seule dont vous devriez vraiment vous souvenir. Et alors seulement j'expliquerai : pourquoi tout cela est nécessaire et comment l'appliquer dans la pratique.

Mais d'abord, souviens-toi d'un point important, à propos duquel de nombreux compilateurs de manuels "oublient" pour une raison quelconque :

Les racines peuvent être de degré pair (notre $ \ sqrt (a) $ préféré, ainsi que toutes sortes de $ \ sqrt (a) $ et même $ \ sqrt (a) $) et de degrés impairs (toutes sortes de $ \ sqrt (a) $, $ \ sqrt (a) $ etc.). Et la définition d'une racine de degré impair est quelque peu différente d'une racine paire.

Ici, dans ce putain de "quelque peu différent" caché, probablement 95% de toutes les erreurs et malentendus liés aux racines. Par conséquent, traitons la terminologie une fois pour toutes :

Définition. Même racine m de $ à $ est quelconque non négatif un nombre $ b $ tel que $ ((b) ^ (n)) = a $. Et la racine impaire du même nombre $ a $ est généralement tout nombre $ b $ pour lequel la même égalité est vraie : $ ((b) ^ (n)) = a $.

Dans tous les cas, la racine est indiquée comme ceci :

\ (une) \]

Le nombre $ n $ dans un tel enregistrement est appelé exposant de la racine et le nombre $ a $ est appelé expression radicale. En particulier, pour $ n = 2 $ nous obtenons notre racine carrée "préférée" (en passant, c'est une racine paire), et pour $ n = 3 $ - cubique (degré impair), qui se retrouve aussi souvent dans les problèmes et équations.

Exemples. Exemples classiques racines carrées:

\ [\ begin (aligner) & \ sqrt (4) = 2; \\ & \ sqrt (81) = 9; \\ & \ carré (256) = 16. \\ \ fin (aligner) \]

Soit dit en passant, $ \ sqrt (0) = 0 $ et $ \ sqrt (1) = 1 $. C'est assez logique, puisque $ ((0) ^ (2)) = 0 $ et $ ((1) ^ (2)) = 1 $.

Les racines cubiques sont également courantes - n'ayez pas peur d'elles :

\ [\ begin (align) & \ sqrt (27) = 3; \\ & \ sqrt (-64) = - 4; \\ & \ sqrt (343) = 7. \\ \ fin (aligner) \]

Eh bien, et quelques "exemples exotiques":

\ [\ begin (align) & \ sqrt (81) = 3; \\ & \ sqrt (-32) = - 2. \\ \ fin (aligner) \]

Si vous ne comprenez pas quelle est la différence entre un degré pair et un degré impair, relisez la définition. Il est très important!

En attendant, nous examinerons une caractéristique désagréable des racines, à cause de laquelle nous avons dû introduire une définition distincte pour les indicateurs pairs et impairs.

Pourquoi avons-nous besoin de racines?

Après avoir lu la définition, de nombreux élèves demanderont : « Qu'est-ce que les mathématiciens ont fumé lorsqu'ils ont trouvé ça ? » En effet : pourquoi avons-nous besoin de toutes ces racines ?

Pour répondre à cette question, revenons un instant aux années du primaire. Souvenez-vous : à une époque lointaine, où les arbres étaient plus verts et les boulettes plus savoureuses, notre principale préoccupation était de multiplier les nombres correctement. Eh bien, quelque chose comme "cinq sur cinq - vingt-cinq", c'est tout. Mais vous pouvez multiplier les nombres non pas par paires, mais par des triples, des quatre et, en général, des ensembles entiers :

\ [\ begin (align) & 5 \ cdot 5 = 25; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 625; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 3125; \\ & 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 \ cdot 5 = 15 \ 625. \ fin (aligner) \]

Cependant, ce n'est pas le sujet. L'astuce est différente : les mathématiciens sont des paresseux, ils ont donc dû écrire la multiplication de dix cinq comme ceci :

Alors ils ont proposé des diplômes. Pourquoi ne pas exposer le nombre de facteurs au lieu d'une longue chaîne ? Comme ça:

C'est très pratique ! Tous les calculs sont parfois réduits et vous n'avez pas besoin de gaspiller un tas de feuilles de blocs-notes en parchemin pour en noter 5 183. Un tel record s'appelait le degré d'un nombre, ils y ont trouvé un tas de propriétés, mais le bonheur a été de courte durée.

Après une énorme beuverie, organisée à peu près sur la "découverte" des degrés, un mathématicien particulièrement têtu a soudainement demandé : "Et si nous connaissions le degré d'un nombre, mais que nous ne connaissions pas le nombre lui-même ?" Or, en effet, si l'on sait qu'un certain nombre $ b $, par exemple, à la puissance 5 donne 243, alors comment peut-on deviner à quoi est égal le nombre $ b $ ?

Ce problème s'est avéré beaucoup plus global qu'il n'y paraît à première vue. Parce qu'il s'est avéré que pour la plupart des diplômes "prêts", il n'y a pas de tels chiffres "initiaux". Jugez par vous-même :

\ [\ begin (align) & ((b) ^ (3)) = 27 \ Rightarrow b = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ Rightarrow b = 3; \\ & ((b) ^ (3)) = 64 \ Rightarrow b = 4 \ cdot 4 \ cdot 4 \ Rightarrow b = 4. \\ \ fin (aligner) \]

Et si $ ((b) ^ (3)) = 50 $ ? Il s'avère que vous devez trouver un certain nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, nous donnera 50. Mais quel est ce nombre ? Il est nettement supérieur à 3, puisque 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. C'est. ce nombre se situe quelque part entre trois et quatre, mais à quoi il est égal - des figues, vous comprendrez.

C'est pour cela que les mathématiciens ont inventé les racines du $ n $ -ième degré. C'est pourquoi le symbole radical $ \ sqrt (*) $ a été introduit. Pour désigner le nombre même $ b $, qui, au degré spécifié, nous donnera une valeur préalablement connue

\ [\ sqrt [n] (a) = b \ Rightarrow ((b) ^ (n)) = a \]

Je ne discute pas : ces racines sont souvent facilement comptées - nous en avons vu plusieurs exemples ci-dessus. Mais encore, dans la plupart des cas, si vous devinez un nombre arbitraire, puis essayez d'en extraire une racine arbitraire, vous êtes dans une déception cruelle.

Qu'est-ce qu'il y a ! Même le $ \ sqrt (2) $ le plus simple et le plus familier ne peut pas être représenté sous notre forme habituelle - comme un entier ou une fraction. Et si vous tapez ce nombre dans une calculatrice, vous verrez ceci :

\ [\ sqrt (2) = 1.414213562 ... \]

Comme vous pouvez le voir, après la virgule, il y a une suite infinie de nombres qui n'obéissent à aucune logique. Vous pouvez, bien sûr, arrondir ce nombre afin de comparer rapidement avec d'autres nombres. Par exemple:

\ [\ sqrt (2) = 1,4142 ... \ environ 1,4 \ lt 1,5 \]

Ou voici un autre exemple :

\ [\ sqrt (3) = 1.73205 ... \ environ 1.7 \ gt 1.5 \]

Mais tous ces arrondis, d'abord, sont assez grossiers ; et deuxièmement, vous devez également être capable de travailler avec des valeurs approximatives, sinon vous pouvez attraper un tas d'erreurs non évidentes (d'ailleurs, la compétence de comparaison et d'arrondi est obligatoirement vérifiée lors de l'examen de profil).

Par conséquent, en mathématiques sérieuses, vous ne pouvez pas vous passer de racines - ce sont les mêmes représentants égaux de l'ensemble de tous les nombres réels $ \ mathbb (R) $, ainsi que des fractions et des entiers qui nous sont depuis longtemps familiers.

L'impossibilité de représenter une racine comme une fraction de la forme $ \ frac (p) (q) $ signifie que cette racine n'est pas nombre rationnel... De tels nombres sont appelés irrationnels et ne peuvent être représentés avec précision qu'à l'aide d'un radical ou d'autres constructions spécialement conçues (logarithmes, degrés, limites, etc.). Mais plus à ce sujet une autre fois.

Considérez quelques exemples où, après tous les calculs, des nombres irrationnels resteront toujours dans la réponse.

\ [\ begin (align) & \ sqrt (2+ \ sqrt (27)) = \ sqrt (2 + 3) = \ sqrt (5) \ approx 2 236 ... \\ & \ sqrt (\ sqrt (-32 )) = \ sqrt (-2) \ approx -1.2599 ... \\ \ end (align) \]

Naturellement, selon apparence root, il est presque impossible de deviner quels nombres viendront après la virgule décimale. Cependant, vous pouvez compter sur une calculatrice, mais même la calculatrice de date la plus parfaite ne nous donne que les premiers chiffres d'un nombre irrationnel. Par conséquent, il est beaucoup plus correct d'écrire les réponses sous la forme $ \ sqrt (5) $ et $ \ sqrt (-2) $.

C'est pourquoi ils ont été inventés. Pour enregistrer facilement les réponses.

Pourquoi deux définitions sont-elles nécessaires ?

Le lecteur attentif a probablement déjà remarqué que toutes les racines carrées données dans les exemples sont dérivées de nombres positifs. Eh bien, en dernier recours à partir de zéro. Mais les racines cubiques sont extraites calmement d'absolument n'importe quel nombre - qu'il soit positif ou négatif.

Pourquoi ça arrive ? Regardez le graphique de la fonction $ y = ((x) ^ (2)) $ :

Le tracé d'une fonction quadratique donne deux racines : positive et négative

Essayons de calculer $ \ sqrt (4) $ en utilisant ce graphique. Pour cela, une ligne horizontale $ y = 4 $ est tracée sur la carte (marquée en rouge), qui coupe la parabole en deux points : $ ((x) _ (1)) = 2 $ et $ ((x) _ (2)) = -2 $. C'est assez logique puisque

Tout est clair avec le premier nombre - il est positif, donc c'est la racine :

Mais alors que faire du deuxième point ? Comme si les quatre avaient deux racines à la fois ? Après tout, si on carré le nombre −2, on obtient aussi 4. Pourquoi ne pas écrire $ \ sqrt (4) = - 2 $ ? Et pourquoi les professeurs regardent de tels disques comme s'ils voulaient vous dévorer ? :)

Le problème, c'est que si vous n'imposez aucun conditions additionnelles, alors les quatre auront deux racines carrées - positive et négative. Et tout nombre positif en aura également deux. Mais les nombres négatifs n'auront aucune racine - cela peut être vu sur le même graphique, car la parabole ne tombe jamais en dessous de l'axe oui, c'est à dire. n'accepte pas les valeurs négatives.

Un problème similaire se produit pour toutes les racines avec un exposant pair :

1. A strictement parler, chaque nombre positif aura deux racines avec un exposant pair $ n $ ;
2. A partir de nombres négatifs, la racine avec $ n $ pair n'est pas extraite du tout.

C'est pourquoi dans la définition de la racine d'une puissance paire de $ n $ il est spécialement stipulé que la réponse doit être un nombre non négatif. C'est ainsi que nous nous débarrassons de l'ambiguïté.

Mais pour les $ n $ impairs, ce problème n'existe pas. Pour le vérifier, regardons le graphe de la fonction $ y = ((x) ^ (3)) $ :

La parabole cubique prend toutes les valeurs, donc la racine cubique est extraite de n'importe quel nombre

Deux conclusions peuvent être tirées de ce graphique :

1. Les branches d'une parabole cubique, contrairement à l'habituelle, vont à l'infini dans les deux sens - vers le haut et vers le bas. Par conséquent, quelle que soit la hauteur à laquelle nous traçons une ligne horizontale, cette ligne croisera nécessairement notre graphique. Par conséquent, la racine cubique peut toujours être extraite d'absolument n'importe quel nombre ;
2. De plus, une telle intersection sera toujours la seule, il n'est donc pas nécessaire de penser à quel nombre considérer la racine "correcte", et laquelle marquer. C'est pourquoi la définition des racines pour un degré impair est plus simple que pour un degré pair (il n'y a pas d'exigence de non-négativité).

Il est dommage que ces choses simples ne soient pas expliquées dans la plupart des manuels. Au lieu de cela, le cerveau commence à flotter vers nous avec toutes sortes de racines arithmétiques et leurs propriétés.

Oui, je ne discute pas: qu'est-ce qu'une racine arithmétique - vous devez également le savoir. Et je couvrirai cela en détail dans un tutoriel séparé. Aujourd'hui, nous en parlerons également, car sans cela, toutes les réflexions sur les racines de la multiplicité $ n $ -ème seraient incomplètes.

Mais vous devez d'abord comprendre clairement la définition que j'ai donnée ci-dessus. Sinon, en raison de l'abondance des termes, un tel gâchis commencera dans votre tête qu'à la fin vous ne comprendrez rien du tout.

Tout ce que vous avez à faire est de comprendre la différence entre les indicateurs pairs et impairs. Alors encore une fois, rassemblons tout ce que vous devez vraiment savoir sur les racines :

1. Une racine paire n'existe qu'à partir de non nombre négatif et lui-même est toujours un nombre non négatif. Pour les nombres négatifs, une telle racine n'est pas définie.
2. Mais la racine d'un degré impair existe à partir de n'importe quel nombre et elle-même peut être n'importe quel nombre : pour les nombres positifs, elle est positive, et pour les nombres négatifs, comme l'indique le plafond, négative.

C'est difficile? Non, pas difficile. Dégager? Oui, en général, c'est évident ! Alors maintenant, nous allons pratiquer quelques calculs.

Propriétés de base et limitations

Les racines ont de nombreuses propriétés et limitations étranges - il y aura une leçon séparée à ce sujet. Par conséquent, nous ne considérerons maintenant que le "truc" le plus important, qui ne s'applique qu'aux racines avec un exposant pair. Écrivons cette propriété sous la forme d'une formule :

\ [\ sqrt (((x) ^ (2n))) = \ gauche | x \ à droite | \]

En d'autres termes, si vous élevez un nombre à une puissance paire, puis en extrayez la racine de la même puissance, nous obtenons non pas le nombre d'origine, mais son module. ce théorème simple, ce qui est facile à prouver (il suffit de considérer séparément les $ x $ non négatifs, puis séparément - les négatifs). Les enseignants en parlent constamment, ils le donnent dans tous les manuels scolaires. Mais dès qu'il s'agit d'une solution équations irrationnelles(c'est-à-dire des équations contenant le signe radical), les élèves oublient amicalement cette formule.

Pour comprendre la question en détail, oublions une minute toutes les formules et essayons de compter deux nombres tout de suite :

\ [\ sqrt (((3) ^ (4))) =? \ quad \ sqrt (((\ left (-3 \ right)) ^ (4))) =? \]

C'est très exemples simples... Le premier exemple sera résolu par la plupart des gens, mais sur le second, beaucoup resteront. Pour résoudre de telles conneries sans problème, tenez toujours compte de l'ordre des actions :

1. Tout d'abord, le nombre est élevé à la quatrième puissance. Eh bien, c'est assez facile. Vous obtiendrez un nouveau nombre, qui peut être trouvé même dans la table de multiplication ;
2. Et maintenant, à partir de ce nouveau nombre, il faut extraire la quatrième racine. Celles. aucune "réduction" des racines et des degrés ne se produit - ce sont des actions séquentielles.

On travaille avec la première expression : $ \ sqrt (((3) ^ (4))) $. Évidemment, vous devez d'abord calculer l'expression sous la racine :

\ [((3) ^ (4)) = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 = 81 \]

Puis on extrait la quatrième racine du nombre 81 :

Faisons maintenant la même chose avec la deuxième expression. Tout d'abord, nous élevons le nombre -3 à la puissance quatrième, pour laquelle nous devons le multiplier par lui-même 4 fois :

\ [((\gauche (-3\droite)) ^ (4)) =\gauche (-3\droite)\cdot\gauche (-3\droite)\cdot\gauche (-3\droite)\cdot\ gauche (-3 \ droite) = 81 \]

Nous avons un nombre positif car montant total il y a 4 moins dans le travail, et ils seront tous mutuellement détruits (après tout, un moins par un moins donne un plus). Ensuite, nous extrayons à nouveau la racine :

En principe, cette ligne n'aurait pas pu être écrite, car il va de soi que la réponse sera la même. Celles. une racine paire de la même puissance paire "brûle" les moins, et en ce sens le résultat est indiscernable du module habituel :

\ [\ begin (align) & \ sqrt (((3) ^ (4))) = \ left | 3 \ droite | = 3; \\ & \ sqrt (((\ gauche (-3 \ droite)) ^ (4))) = \ gauche | -3 \ droite | = 3. \\ \ fin (aligner) \]

Ces calculs sont en bon accord avec la définition d'une racine paire : le résultat est toujours non négatif, et sous le signe radical il y a toujours un nombre non négatif. Sinon, la racine n'est pas définie.

Note de procédure

1. La notation $ \ sqrt (((a) ^ (2))) $ signifie que nous aurons d'abord le carré du nombre $ a $, puis que nous extrayons la racine carrée de la valeur résultante. Par conséquent, nous pouvons être sûrs qu'un nombre non négatif se trouve toujours sous le signe racine, puisque $ ((a) ^ (2)) \ ge 0 $ dans tous les cas;
2. Mais l'enregistrement $ ((\ left (\ sqrt (a) \ right)) ^ (2)) $, au contraire, signifie que nous extrayons d'abord la racine d'un certain nombre $ a $ et ensuite seulement carré le résultat. Par conséquent, le nombre $ a $ ne peut en aucun cas être négatif - il est exigence obligatoire dans la définition.

Ainsi, vous ne devez en aucun cas réduire inconsidérément les racines et les degrés, prétendument ainsi "simplifier" l'expression originale. Parce que s'il y a un nombre négatif sous la racine et que son exposant est pair, nous avons un tas de problèmes.

Cependant, tous ces problèmes ne sont pertinents que pour les indicateurs pairs.

Supprimer le signe moins du signe racine

Naturellement, les racines avec des indicateurs impairs ont aussi leur propre compteur, qui, en principe, n'existe pas pour les paires. À savoir:

\ [\ carré (-a) = - \ carré (a) \]

Bref, vous pouvez sortir le moins sous le signe des racines d'un degré impair. C'est très propriété utile, ce qui vous permet de "jeter" tous les inconvénients :

\ [\ begin (align) & \ sqrt (-8) = - \ sqrt (8) = - 2; \\ & \ sqrt (-27) \ cdot \ sqrt (-32) = - \ sqrt (27) \ cdot \ left (- \ sqrt (32) \ right) = \\ & = \ sqrt (27) \ cdot \ sqrt (32) = \\ & = 3 \ cdot 2 = 6. \ fin (aligner) \]

Cette propriété simple simplifie grandement de nombreux calculs. Maintenant, il n'y a pas lieu de s'inquiéter : que se passe-t-il si une expression négative s'est glissée sous la racine et que le degré à la racine s'avère être pair ? Il suffit de "jeter" tous les inconvénients en dehors des racines, après quoi ils peuvent être multipliés les uns par les autres, divisés et généralement faire beaucoup de choses suspectes qui, dans le cas des racines "classiques", sont garanties de nous conduire à une erreur.

Et ici une autre définition entre en jeu - celle-là même avec laquelle la plupart des écoles commencent à étudier expressions irrationnelles... Et sans quoi notre raisonnement serait incomplet. S'il vous plaît bienvenue!

Racine arithmétique

Supposons un instant qu'il ne puisse y avoir que des nombres positifs sous le signe racine, ou au plus zéro. Oublions les indicateurs pairs/impairs, oublions toutes les définitions données ci-dessus - nous ne travaillerons qu'avec des nombres non négatifs. Quoi alors ?

Et puis nous obtenons la racine arithmétique - elle chevauche partiellement nos définitions "standard", mais en diffère toujours.

Définition. Une racine arithmétique du $ n $ ième degré d'un nombre non négatif $ a $ est un nombre non négatif $ b $ tel que $ ((b) ^ (n)) = a $.

Comme vous pouvez le voir, nous ne sommes plus intéressés par la parité. Au lieu de cela, une nouvelle restriction est apparue : expression racine est désormais toujours non négatif, et la racine elle-même est également non négative.

Pour mieux comprendre en quoi la racine arithmétique diffère de la racine habituelle, jetez un œil aux graphiques de parabole carrée et cubique déjà familiers :

Zone de recherche de racine arithmétique - nombres non négatifs

Comme vous pouvez le voir, à partir de maintenant, nous ne nous intéressons qu'aux parties des graphiques situées dans le premier quart de coordonnées - où les coordonnées $ x $ et $ y $ sont positives (ou au moins nulles). Plus besoin de regarder l'indicateur pour comprendre si on a le droit d'enraciner un nombre négatif ou non. Parce que les nombres négatifs ne sont plus considérés en principe.

Vous pouvez demander : « Eh bien, pourquoi avons-nous besoin d'une telle définition castrée ? » Ou : « Pourquoi ne pouvez-vous pas vous en tirer avec la définition standard donnée ci-dessus ? »

Eh bien, je donnerai juste une propriété, à cause de laquelle la nouvelle définition devient appropriée. Par exemple, la règle d'exponentiation est :

\ [\ carré [n] (a) = \ carré (((a) ^ (k))) \]

Veuillez noter : nous pouvons élever l'expression radicale à n'importe quelle puissance et en même temps multiplier l'exposant racine par la même puissance - et le résultat sera le même nombre ! Voici quelques exemples:

\ [\ begin (align) & \ sqrt (5) = \ sqrt (((5) ^ (2))) = \ sqrt (25) \\ & \ sqrt (2) = \ sqrt (((2) ^ (4))) = \ sqrt (16) \\ \ fin (aligner) \]

Alors, quel est le problème ? Pourquoi n'aurions-nous pas pu le faire plus tôt ? Voici pourquoi. Considérons une expression simple : $ \ sqrt (-2) $ - ce nombre est tout à fait normal dans notre compréhension classique, mais absolument inacceptable du point de vue de la racine arithmétique. Essayons de le transformer :

$ \ begin (align) & \ sqrt (-2) = - \ sqrt (2) = - \ sqrt (((2) ^ (2))) = - \ sqrt (4) \ lt 0; \\ & \ sqrt (-2) = \ sqrt (((\ left (-2 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (4) \ gt 0. \\ \ end (align) $

Comme vous pouvez le voir, dans le premier cas, nous avons retiré le moins sous le radical (nous avons tous les droits, puisque l'indicateur est impair), et dans le second, nous avons utilisé la formule ci-dessus. Celles. du point de vue des mathématiques, tout se fait selon les règles.

WTF ?! Comment un même nombre peut-il être à la fois positif et négatif ? Certainement pas. C'est juste que la formule d'exponentiation, qui fonctionne très bien pour les nombres positifs et zéro, commence à être une hérésie lorsqu'il s'agit de nombres négatifs.

Afin de se débarrasser d'une telle ambiguïté, ils ont proposé des racines arithmétiques. Une grande leçon séparée leur est consacrée, où nous examinons en détail toutes leurs propriétés. Alors maintenant, nous ne nous attarderons pas sur eux - la leçon s'est déjà avérée trop longue.

Racine algébrique : pour ceux qui veulent en savoir plus

J'ai longtemps pensé s'il fallait mettre ce sujet dans un paragraphe séparé ou non. Finalement, j'ai décidé de partir d'ici. Ce materiel s'adresse à ceux qui veulent encore mieux comprendre les racines - non pas au niveau "scolaire" moyen, mais à un niveau proche du niveau de l'Olympiade.

Donc: en plus de la définition "classique" de la $ n $ -ième racine d'un nombre et de la division associée en indicateurs pairs et impairs, il existe une définition plus "adulte" qui ne dépend pas du tout de la parité et d'autres subtilités . C'est ce qu'on appelle une racine algébrique.

Définition. La racine algébrique du $ n $ ième degré de tout $ a $ est l'ensemble de tous les nombres $ b $ tels que $ ((b) ^ (n)) = a $. Il n'y a pas de désignation bien établie pour de telles racines, nous mettons donc juste un tiret dessus :

\ [\ overline (\ sqrt [n] (a)) = \ left \ (b \ left | b \ in \ mathbb (R); ((b) ^ (n)) = a \ right. \ right \) \]

La différence fondamentale avec Définition standard, donnée au début de la leçon, est que racine algébrique N'est pas un nombre spécifique, mais un ensemble. Et comme on travaille avec des nombres réels, il n'y a que trois types de cet ensemble :

1. Ensemble vide. Se produit lorsqu'il est nécessaire de trouver une racine algébrique d'un degré pair à partir d'un nombre négatif ;
2. Un ensemble constitué d'un seul élément. Toutes les racines de degrés impairs, ainsi que les racines de degrés pairs à partir de zéro, entrent dans cette catégorie ;
3. Enfin, l'ensemble peut comprendre deux nombres - le même $ ((x) _ (1)) $ et $ ((x) _ (2)) = - ((x) _ (1)) $, que nous avons vu sur la fonction quadratique du graphe. Par conséquent, un tel alignement n'est possible que lors de l'extraction d'une racine paire à partir d'un nombre positif.

Ce dernier cas mérite un examen plus détaillé. Comptons quelques exemples pour comprendre la différence.

Exemple. Évaluer les expressions :

\ [\ overline (\ sqrt (4)); \ quad \ overline (\ sqrt (-27)); \ quad \ overline (\ sqrt (-16)). \]

Solution. La première expression est simple :

\ [\ overline (\ sqrt (4)) = \ left \ (2; -2 \ right \) \]

Ce sont deux nombres qui composent l'ensemble. Parce que chacun d'eux dans le carré donne un quatre.

\ [\ overline (\ sqrt (-27)) = \ left \ (-3 \ right \) \]

Ici, nous voyons un ensemble composé d'un seul nombre. C'est assez logique, puisque l'exposant racine est impair.

Enfin, la dernière expression :

\ [\ overline (\ sqrt (-16)) = \ varnothing \]

Eu ensemble vide... Parce qu'il n'y a pas un seul nombre réel qui, lorsqu'il est élevé au quatrième (c'est-à-dire pair !) Degré, nous donnera un nombre négatif −16.

Remarque finale. Attention : ce n'est pas par hasard que j'ai constaté partout que l'on travaille avec des nombres réels. Parce qu'il y a aussi des nombres complexes - il est tout à fait possible de compter $ \ sqrt (-16) $, et bien d'autres choses étranges.

Cependant, dans la modernité cours d'école les nombres complexes ne sont presque jamais rencontrés en mathématiques. Ils ont été supprimés de la plupart des manuels scolaires car nos responsables considèrent ce sujet « trop difficile à comprendre ».

DIPLME À INDICATEUR RATIONNEL,

DIPLME FONCTION IV

§ 78. Racine N.-É.-ième puissance d'un nombre négatif-une

Théorème 1.

En d'autres termes, l'équation

N.-É. 2k = - un (une > 0)

n'a pas de racines valides.

Nous invitons les élèves à prouver ce théorème par eux-mêmes.

Théorème 2. Il n'y a et d'ailleurs qu'une seule racine de degré impair de nombres négatifs, cette racine est négative.

En d'autres termes, l'équation

N.-É. 2k + 1 = - un (une > 0)

a une seule racine. Cette racine est négative.

Preuve. Montrons tout d'abord qu'une racine de degré impair 2 k une ne peut pas être positif. Si cette racine (nous la désignons par b ) était positif, alors dans l'égalité b 2k + 1 = - un le côté gauche serait positif et le côté droit négatif.

Nous allons maintenant montrer que la racine négative de degré impair 2 k + 1 du nombre négatif - une existe.

Nombre une est positif, et a donc une racine positive de degré 2 k + 1 (Théorème 1, § 76). Nous le désignons par b .

b 2k + 1 = un .

Il s'ensuit donc que

(-b ) 2k + 1 = -b 2k + 1 = -une .

Mais cela signifie également qu'un nombre négatif - b est une racine de degré 2 k + 1 du nombre négatif - une .

Il ne reste plus qu'à montrer qu'il existe au plus une racine négative de degré impair 2 k + 1 parmi - une .

Pour la preuve, nous supposons le contraire, c'est-à-dire qu'il existe plusieurs de ces racines. Laisser être - b et - avec sont deux de ces racines. Puis

(-b ) 2k + 1 = -une , (-c ) 2k + 1 = -une . (1)

Mais depuis le numéro 2 k + 1 est impair, alors (- b ) 2k + 1 = -b 2k + 1 ; (-c ) 2k + 1 = -c 2k + 1 . Il résulte donc de (1) que

b 2k + 1 = une , c 2k + 1 = une .

Et ceci, à son tour, signifie qu'un nombre positif une a deux racines positives distinctes de degré 2 k + 1: b et avec ; mais cela contredit le théorème 2, § 76.

Le théorème est complètement démontré. En combinant les théorèmes 1 et 2, nous arrivons à la conclusion suivante.

Même les racines d'un nombre négatif n'existent pas.

Il y a exactement une racine impaire d'un nombre négatif. Cette racine est négative.

Racines 4 -81; 100 √-25 n'existe pas ; 5 - 32 = -2; 3 -125 = -5.

Des exercices

552. (Ustn.) Laquelle des expressions données n'a pas de sens :

√-9 ; 3 √-8 ; √-0,25 ; 4 √-81 ; 7 √- 2 ?

553. Trouvez les domaines des fonctions suivantes :

une) à = √X -1 ; G) à = 8 √(N.-É. + 2)(N.-É. - 7) ;

b) à = 5 √X -1 j) à = 6 √N.-É. 2 + N.-É. + 1 ;

v) à = 12 √3N.-É. 2 +5N.-É. -2 e) à = 3 √3-X + 4 √5N.-É. -5 .

553. a) N.-É. > 1; b) l'ensemble de tous les nombres réels ; v) N.-É. < - 2 et N.-É. > 1 / 3 ;

G) N.-É. < -2 et N.-É. > 7; e) l'ensemble de tous les nombres réels ; e) N.-É. > 1.

Les principales propriétés sont données fonction de puissance, y compris les formules et les propriétés des racines. La dérivée, l'intégrale, le développement en séries entières et la représentation au moyen de nombres complexes d'une fonction puissance sont présentées.

Définition

Définition
Fonction puissance avec exposant p est la fonction f (x) = xp, dont la valeur au point x est égale à la valeur de la fonction exponentielle de base x au point p.
De plus, f (0) = 0 p = 0 pour p> 0 .

Pour les valeurs naturelles de l'exposant, la fonction puissance est le produit de n nombres égaux à x :
.
Il est défini pour tous les valides.

Pour les valeurs rationnelles positives de l'exposant, la fonction exponentielle est le produit de n racines de degré m par le nombre x :
.
Pour m impair, il est défini pour tout réel x. Pour m pair, la fonction puissance est définie pour les non-négatifs.

Pour les négatifs, la fonction exponentielle est déterminée par la formule :
.
Par conséquent, il n'est pas défini au point.

Pour les valeurs irrationnelles de l'exposant p, la fonction puissance est déterminée par la formule :
,
où a est un nombre positif arbitraire, différent de un :.
Quand, il est défini pour.
Pour, la fonction puissance est définie pour.

Continuité... La fonction puissance est continue dans son domaine de définition.

Propriétés et formules d'une fonction puissance pour x 0

Ici, nous considérons les propriétés de la fonction puissance pour les valeurs non négatives de l'argument x. Comme indiqué ci-dessus, pour certaines valeurs de l'exposant p, la fonction puissance est également définie pour des valeurs négatives de x. Dans ce cas, ses propriétés peuvent être obtenues à partir de propriétés à, en utilisant une parité paire ou impaire. Ces cas sont détaillés et illustrés à la page "".

La fonction puissance, y = x p, avec l'exposant p a les propriétés suivantes :
(1.1) est défini et continu sur l'ensemble
à ,
à ;
(1.2) a plusieurs significations
à ,
à ;
(1.3) augmente strictement à,
diminue strictement à;
(1.4) à ;
à ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

La preuve des propriétés est donnée sur la page "Fonction puissance (preuve de continuité et propriétés)"

Racines - définition, formules, propriétés

Définition
Racine d'un nombre x de degré n est le nombre élevé à la puissance n donne x :
.
Ici n = 2, 3, 4, ... - un entier naturel supérieur à un.

Vous pouvez également dire que la racine nième de x est la racine (c'est-à-dire la solution) de l'équation
.
Notez que la fonction est l'inverse de la fonction.

Racine carrée de x est la racine du pouvoir 2:.

Racine cubique du nombre x est la racine du pouvoir 3:.

Degré pair

Pour les degrés pairs n = 2 mètres, la racine est définie pour x ≥ 0 ... Souvent, une formule est utilisée qui est valable à la fois pour x positif et négatif :
.
Pour la racine carrée :
.

L'ordre dans lequel les opérations sont effectuées est important ici - c'est-à-dire que d'abord la mise au carré est effectuée, à la suite de laquelle un nombre non négatif est obtenu, puis la racine en est extraite (à partir d'un nombre non négatif, vous pouvez extraire la racine carrée). Si nous changions l'ordre de :, alors pour x négatif, la racine serait indéfinie, et avec elle l'expression entière est indéfinie.

Degré impair

Pour les puissances impaires, la racine est définie pour tout x :
;
.

Propriétés et formules des racines

La racine de x est une fonction puissance :
.
Pour x 0 les formules suivantes tiennent :
;
;
, ;
.

Ces formules peuvent également être appliquées avec des valeurs négatives des variables. Il suffit de s'assurer que l'expression radicale des degrés pairs n'est pas négative.

Valeurs privées

La racine de 0 est 0 :.
La racine de 1 est 1:.
La racine carrée de 0 est 0 :.
La racine carrée de 1 est 1:.

Exemple. Racine à partir de racines

Prenons un exemple de racine carrée de racines :
.
Convertissez la racine carrée interne en utilisant les formules ci-dessus :
.
Transformons maintenant la racine d'origine :
.
Donc,
.

y = x p pour différentes valeurs de l'exposant p.

Voici les graphiques de la fonction pour les valeurs non négatives de l'argument x. Les tracés de la fonction puissance définis pour les valeurs x négatives sont donnés sur la page "La fonction puissance, ses propriétés et ses tracés"

Fonction inverse

L'inverse d'une fonction puissance d'exposant p est une fonction puissance d'exposant 1 / p.

Si donc.

Dérivée d'une fonction puissance

Dérivée du nième ordre :
;

Dérivation des formules>>>

Intégrale de la fonction de puissance

P - 1 ;
.

Extension de la série de puissance

À - 1 < x < 1 la décomposition suivante a lieu :

Expressions en termes de nombres complexes

Considérons une fonction d'une variable complexe z :
F (z) = z t.
Exprimons la variable complexe z en fonction du module r et de l'argument φ (r = | z |) :
z = r e je .
Nous représentons le nombre complexe t sous forme de parties réelle et imaginaire :
t = p + je q.
Nous avons:

De plus, nous tiendrons compte du fait que l'argument φ n'est pas défini de manière unique :
,

Considérons le cas où q = 0 , c'est-à-dire que l'exposant est un nombre réel, t = p. Puis
.

Si p est un entier, alors kp est également un entier. Alors, du fait de la périodicité des fonctions trigonométriques :
.
C'est-à-dire fonction exponentielle pour un exposant entier, pour un z donné, il n'a qu'une valeur et est donc univoque.

Si p est irrationnel, alors les produits de kp ne donnent aucun entier pour aucun k. Puisque k parcourt une série infinie de valeurs k = 0, 1, 2, 3, ..., alors la fonction z p a une infinité de valeurs. Chaque fois que l'argument z est incrémenté 2(un tour), nous passons à une nouvelle branche de la fonction.

Si p est rationnel, alors il peut être représenté par :
, où m, n- les entiers qui ne contiennent pas de diviseurs communs. Puis
.
Les n premières quantités, pour k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1étant donné significations différentes kp :
.
Cependant, les valeurs suivantes donnent des valeurs qui diffèrent des précédentes par un entier. Par exemple, pour k = k 0 + n on a:
.
Fonctions trigonométriques dont les arguments diffèrent par des multiples 2, ont des valeurs égales. Par conséquent, avec une nouvelle augmentation de k, nous obtenons les mêmes valeurs de z p que pour k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Ainsi, une fonction exponentielle avec un exposant rationnel est multivaluée et possède n valeurs (branches). Chaque fois que l'argument z est incrémenté 2(un tour), nous passons à une nouvelle branche de la fonction. Après n telles révolutions, nous revenons à la première branche à partir de laquelle le comptage a commencé.

En particulier, une racine de degré n a n valeurs. A titre d'exemple, considérons la racine nième d'un nombre réel positif z = x. Dans ce cas 0 = 0, z = r = |z | = x, .
.
Donc, pour une racine carrée, n = 2 ,
.
Pour même k, (- 1) k = 1... Pour k impair, (- 1) k = - 1.
C'est-à-dire que la racine carrée a deux significations : + et -.

Les références:
DANS. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements techniques, "Lan", 2009.

Cet article est une collection d'informations détaillées qui traitent du sujet des propriétés racine. Compte tenu du sujet, nous allons commencer par les propriétés, étudier toutes les formulations et fournir des preuves. Pour renforcer le sujet, nous considérerons les propriétés du n-ième degré.

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Propriétés de la racine

Nous parlerons de propriétés.

1. Biens nombres multipliés une et b, qui est représentée par l'égalité a · b = a · b. Il peut être représenté sous forme de facteurs, positifs ou égaux à zéro un 1, un 2,…, un k comme a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k;
2. à partir du quotient a : b = a : b, a ≥ 0, b> 0, on peut aussi l'écrire sous cette forme a b = a b ;
3. Propriété de la puissance d'un nombre une avec un exposant pair a 2 m = a m pour tout nombre une, par exemple, une propriété du carré du nombre a 2 = a.

Dans n'importe laquelle des équations présentées, vous pouvez échanger les parties avant et après le tiret par endroits, par exemple, l'égalité a b = a b est transformée en a b = a b. Les propriétés d'égalité sont souvent utilisées pour simplifier des équations complexes.

La preuve des premières propriétés est basée sur la définition de la racine carrée et des propriétés des degrés à exposants naturels. Pour justifier la troisième propriété, il faut se référer à la définition du module d'un nombre.

La première étape consiste à prouver les propriétés de la racine carrée a b = a b. Selon la définition, il faut considérer que a b est un nombre, positif ou égal à zéro, qui sera égal à un B lors de l'érection dans un carré. La valeur de l'expression a b est positive ou égale à zéro en tant que produit de nombres non négatifs. La propriété du degré des nombres multipliés permet de représenter l'égalité sous la forme (a b) 2 = a 2 b 2. Par la définition de la racine carrée a 2 = a et b 2 = b, alors a b = a 2 b 2 = a b.

De la même manière, on peut prouver qu'à partir du produit k multiplicateurs un 1, un 2,…, un k sera égal au produit des racines carrées de ces facteurs. En effet, a 1 · a 2 ·… · a k 2 = a 1 2 · a 2 2 ·… · a k 2 = a 1 · a 2 ·… · a k.

Cette égalité implique que a 1 · a 2 ·… · a k = a 1 · a 2 ·… · a k.

Regardons quelques exemples pour solidifier le sujet.

Exemple 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5, 4, 2 13 1 2 = 4, 2 13 1 2 et 2, 7 4 12 17 0, 2 (1) = 2, 7 4 12 17 0, 2 (1).

Il faut prouver la propriété de la racine carrée arithmétique du quotient : a : b = a : b, a ≥ 0, b> 0. La propriété permet d'écrire l'égalité a : b 2 = a 2 : b 2, et a 2 : b 2 = a : b, avec a : b étant un nombre positif ou égal à zéro. Cette expression deviendra la preuve.

Par exemple, 0 : 16 = 0 : 16, 80 : 5 = 80 : 5 et 3 0, 121 = 3 0, 121.

Considérons la propriété de la racine carrée du carré d'un nombre. Il peut être écrit comme une égalité comme a 2 = a Pour prouver cette propriété, il est nécessaire de considérer en détail plusieurs égalités pour un 0 et à une< 0 .

Évidemment, pour a ≥ 0, l'égalité a 2 = a est vraie. À une< 0 l'égalité a 2 = - a sera vraie. En effet, dans ce cas - a> 0 et (-a) 2 = a 2. On peut conclure que a 2 = a, a ≥ 0 - a, a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Regardons quelques exemples.

Exemple 2

5 2 = 5 = 5 et - 0,36 2 = - 0,36 = 0,36.

La propriété prouvée aidera à justifier a 2 m = a m, où une- réel, et m-entier naturel. En effet, la propriété d'élever une puissance permet de remplacer la puissance un 2m expression (un m) 2, alors un 2 m = (un m) 2 = un m.

Exemple 3

3 8 = 3 4 = 3 4 et (- 8, 3) 14 = - 8, 3 7 = (8, 3) 7.

Propriétés de la racine nième

Tout d'abord, vous devez considérer les principales propriétés des racines du n-ième degré:

1. Propriété du produit de nombres une et b, qui sont positifs ou égaux à zéro, peut être exprimé comme l'égalité a b n = a n b n, cette propriété est valable pour le produit k Nombres un 1, un 2,…, un k comme a 1 · a 2 ·… · a k n = a 1 n · a 2 n ·… · a k n;
2. de nombre fractionnaire possède la propriété a b n = a n b n, où une- tout nombre réel positif ou égal à zéro, et b- nombre réel positif ;
3. Pour toute une et même des indicateurs n = 2 m a 2 m 2 m = a, et pour impair n = 2 m - 1 l'égalité a 2 m - 1 2 m - 1 = a est vérifiée.
4. Propriété d'extraction de a m n = a n m, où une- tout nombre, positif ou égal à zéro, m et m – entiers, cette propriété peut également être représentée par. ... ... un n k n 2 n 1 = un n 1 n 2. ... ... · Nk ;
5. Pour tout a non négatif et arbitraire m et m, qui sont naturels, il est également possible de déterminer la juste égalité a m n · m = a n;
6. Diplôme de propriété m de la puissance du nombre une, qui est positif ou égal à zéro, en degré naturel m défini par l'égalité a m n = a n m;
7. Propriété de comparaison ayant les mêmes indicateurs : pour tous les nombres positifs une et b tel que une< b , l'inégalité a n< b n ;
8. Propriété de comparaison qui ont les mêmes chiffres sous la racine : si m et n- nombres naturels qui m> n, puis à 0 < a < 1 l'inégalité a m > a n est vraie, et pour a> 1 suis< a n .

Les égalités données ci-dessus sont valables si les parties avant et après le signe égal sont interverties. Ils peuvent être utilisés comme tels. Ceci est souvent utilisé lors de la simplification ou de la conversion d'expressions.

La preuve des propriétés ci-dessus de la racine est basée sur la définition, les propriétés du degré et la définition du module d'un nombre. Ces propriétés doivent être prouvées. Mais tout est en ordre.

1. Tout d'abord, nous prouvons les propriétés de la racine nième du produit a b n = a n b n. Pour une et b qui sommes positif ou égal à zéro , la valeur a n · b n est également positive ou égale à zéro, puisqu'elle est une conséquence de la multiplication de nombres non négatifs. La propriété du produit en degré naturel permet d'écrire l'égalité a n b n n = a n n b n n. Par définition de la racine m-ième degré a n n = a et b n n = b, donc a n b n n = a b. L'égalité résultante est exactement ce qu'il fallait prouver.

Cette propriété est prouvée de la même manière pour le produit k facteurs : pour les nombres non négatifs a 1, a 2,…, a n, a 1 n · a 2 n ·… · a k n ≥ 0.

Voici quelques exemples d'utilisation de la propriété root m-ième degré du produit : 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 et 8, 3 4 17, (21) 4 3 4 5 7 4 = 8, 3 17, (21) 3 5 7 4.

1. Démontrons la propriété de la racine du quotient a b n = a n b n. À un 0 et b> 0 la condition a n b n ≥ 0 est satisfaite, et a n b n n = a n n b n n = a b.

Montrons des exemples :

Exemple 4

8 27 3 = 8 3 27 3 et 2, 3 10 : 2 3 10 = 2, 3 : 2 3 10.

1. Pour l'étape suivante, il faut prouver les propriétés du nième degré du nombre au degré m... Nous représentons cela comme l'égalité a 2 m 2 m = a et a 2 m - 1 2 m - 1 = a pour tout réel une et naturel m... À un 0 on obtient a = a et a 2 m = a 2 m, ce qui prouve l'égalité a 2 m 2 m = a, et l'égalité a 2 m - 1 2 m - 1 = a est évidente. À une< 0 on obtient respectivement a = - a et a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m. La dernière transformation du nombre est valable selon la propriété du degré. C'est ce qui prouve l'égalité a 2 m 2 m = a, et a 2 m - 1 2 m - 1 = a sera vraie, puisque pour un degré impair on considère - c 2 m - 1 = - c 2 m - 1 pour n'importe quel nombre c, positif ou égal à zéro.

Afin de consolider les informations reçues, considérons plusieurs exemples utilisant la propriété :

Exemple 5

7 4 4 = 7 = 7, (- 5) 12 12 = - 5 = 5, 0 8 8 = 0 = 0, 6 3 3 = 6 et (- 3, 39) 5 5 = - 3, 39.

1. Démontrons l'égalité suivante a m n = a n · m. Pour ce faire, vous devez modifier les nombres avant le signe égal et après celui-ci par endroits a n · m = a m n. Cela signifiera l'entrée correcte. Pour une, ce qui est positif ou égal à zéro , de la forme a m n est un nombre positif ou égal à zéro. Passons à la propriété d'élever un degré à un exposant et à une définition. Ils peuvent être utilisés pour transformer des égalités sous la forme a m n n · m = a m n n m = a m m = a. Cela prouve la propriété considérée d'une racine à partir d'une racine.

D'autres propriétés sont prouvées de la même manière. Vraiment, . ... ... un n k n 2 n 1 n 1 n 2 ... ... · Nk =. ... ... un n k n 3 n 2 n 2 n 3 ... ... · Nk =. ... ... un n k n 4 n 3 n 3 n 4 ... ... · Nk =. ... ... = a n k n k = a.

Par exemple, 7 3 5 = 7 5 3 et 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

1. Démontrons la propriété suivante a m n · m = a n. Pour ce faire, il faut montrer que a n est un nombre, positif ou égal à zéro. Lorsqu'il est élevé à la puissance n m est suis... Si le nombre une est positif ou égal à zéro, alors m-ème degré parmi une est un nombre positif ou égal à zéro Dans ce cas, a n · m n = a n n m, selon les besoins.

Afin de consolider les connaissances acquises, considérons quelques exemples.

1. Démontrons la propriété suivante - la propriété d'une racine d'un degré de la forme a m n = a n m. Évidemment, pour un 0 le degré a n m est un nombre non négatif. De plus, son m-ème degré est suis en effet, un n m n = un n m n = un n n m = un m. Cela prouve la propriété du diplôme considéré.

Par exemple, 2 3 5 3 = 2 3 3 5.

1. Il faut prouver que pour tout nombre positif une et b la condition une< b ... Considérons l'inégalité a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию une< b ... Par conséquent, un n< b n при une< b .

Par exemple, donnons 12 4< 15 2 3 4 .

1. Considérez la propriété racine m-ème degré. Il faut commencer par la première partie de l'inégalité. À m> n et 0 < a < 1 vrai un m> un n. Supposons a m a n. Les propriétés simplifieront l'expression en a n m · n a m m · n. Alors, d'après les propriétés d'un degré à exposant naturel, l'inégalité a n m n m n a m m n m n est satisfaite, c'est-à-dire un n ≤ un m... La valeur obtenue à m> n et 0 < a < 1 ne correspond pas aux propriétés ci-dessus.

De la même manière, on peut prouver que pour m> n et a> 1 la condition un m< a n .

Afin de consolider les propriétés ci-dessus, nous allons considérer plusieurs exemples spécifiques. Considérez les inégalités en utilisant des nombres spécifiques.

Exemple 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

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