Exemples avec des pouvoirs négatifs. Comment élever un nombre à une puissance négative - exemples avec description dans Excel

La calculatrice permet d'élever rapidement un nombre à une puissance en ligne. La base du degré peut être n'importe quels nombres (entiers et réels). L'exposant peut également être entier ou réel, et aussi à la fois positif et négatif. Il ne faut pas oublier que l'exponentiation non entière n'est pas définie pour les nombres négatifs et donc la calculatrice rapportera une erreur si vous essayez toujours de le faire.

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Quelle est la puissance naturelle d'un nombre ?

Le nombre p est appelé la puissance n du nombre a si p est égal au nombre a multiplié par lui-même n fois : p = a n = a ... a
n - appelé exposant, et le nombre a - diplôme de base.

Comment élever un nombre à une puissance naturelle ?

Pour comprendre comment ériger nombres différents en degrés naturels, considérons quelques exemples :

Exemple 1... Élevez le nombre trois à la quatrième puissance. C'est-à-dire qu'il faut calculer 3 4
Solution: comme mentionné ci-dessus, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Réponse: 3 4 = 81 .

Exemple 2... Élevez le nombre cinq à la cinquième puissance. C'est-à-dire qu'il faut calculer 5 5
Solution: de même, 5 5 = 5 5 5 5 5 5 = 3125.
Réponse: 5 5 = 3125 .

Ainsi, pour élever un nombre à une puissance naturelle, il suffit de le multiplier par lui-même n fois.

Quelle est la puissance négative d'un nombre ?

Degré négatif-n du nombre a est l'unité divisée par a à la puissance n : a -n =.

Dans ce cas, la puissance négative n'existe que pour les nombres non nuls, car sinon la division par zéro se produirait.

Comment élever un nombre à une puissance entière négative ?

Pour élever un nombre différent de zéro à une puissance négative, vous devez calculer la valeur de ce nombre à la même puissance positive et diviser un par le résultat.

Exemple 1... Augmentez le nombre deux à moins la quatrième puissance. C'est-à-dire qu'il est nécessaire de calculer 2 -4

Solution: comme mentionné ci-dessus, 2 -4 = = = 0,0625.

Réponse: 2 -4 = 0.0625 .

Dans le cadre de ce matériel, nous analyserons ce qu'est le degré d'un nombre. En plus des définitions de base, nous formulerons quels degrés sont les exposants naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Comme toujours, tous les concepts seront illustrés par des exemples de tâches.

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Premièrement, nous formulons une définition de base d'un degré avec un exposant naturel. Pour ce faire, nous devons nous rappeler les règles de base de la multiplication. Précisons à l'avance que pour le moment nous prendrons un nombre réel comme base (notons-le par la lettre a), et comme indicateur - un nombre naturel (notons-le par la lettre n).

Définition 1

La puissance d'un nombre a d'exposant naturel n est le produit du n-ième nombre de facteurs, dont chacun est égal au nombre a. Le diplôme s'écrit ainsi : une, et sous forme de formule, sa composition peut être représentée comme suit :

Par exemple, si l'exposant est 1 et la base est a, alors la première puissance de a s'écrit sous la forme un 1... Étant donné que a est la valeur du facteur et 1 est le nombre de facteurs, nous pouvons conclure que un 1 = un.

En général, on peut dire que le degré est une forme de notation commode un grand nombre facteurs égaux. Ainsi, une entrée de la forme 8 8 8 8 peut être réduit à 8 4 ... De la même manière, le produit nous aide à éviter d'écrire un grand nombre de termes (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4) ; nous l'avons déjà examiné dans l'article consacré à la multiplication des nombres naturels.

Comment lire correctement le relevé de diplôme ? L'option généralement acceptée est « a à la puissance n ». Ou vous pouvez dire "n-ème degré d'un" ou "un n-ème degré". Si, disons, l'exemple contient l'entrée 8 12 , on peut lire "8 au 12e degré", "8 au 12e degré" ou "12e degré par 8e".

Les deuxième et troisième puissances du nombre ont leurs noms bien établis : carré et cube. Si nous voyons le deuxième degré, par exemple, le chiffre 7 (7 2), alors nous pouvons dire « 7 au carré » ou « le carré du chiffre 7 ». De même, le troisième degré se lit ainsi : 5 3 Est un "cube du nombre 5" ou "5 dans un cube". Cependant, il est également possible d'utiliser la formulation standard « au deuxième/troisième degré », ce ne sera pas une erreur.

Exemple 1

Analysons un exemple de diplôme à indicateur naturel : pour 5 7 cinq seront la base et sept seront l'indicateur.

La base n'a pas besoin d'être un nombre entier : pour le degré (4 , 32) 9 la base est la fraction 4, 32, et l'exposant est neuf. Faites attention aux parenthèses : une telle entrée est faite pour tous les degrés dont les bases diffèrent des nombres naturels.

Par exemple : 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

A quoi servent les parenthèses ? Ils permettent d'éviter les erreurs de calcul. Disons que nous avons deux entrées : (− 2) 3 et − 2 3 ... Le premier d'entre eux signifie un nombre négatif moins deux, élevé à une puissance avec un exposant naturel trois ; le second est le nombre correspondant à la valeur opposée du degré 2 3 .

Parfois, dans les livres, vous pouvez trouver une orthographe légèrement différente du degré de nombre - un ^ n(où a est la base et n est l'exposant). C'est-à-dire que 4 ^ 9 est le même que 4 9 ... Si n est un nombre à plusieurs chiffres, il est mis entre parenthèses. Par exemple, 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Mais on utilisera la notation une comme plus commun.

Il est facile de deviner comment calculer la valeur d'un degré avec un exposant naturel à partir de sa définition : il suffit de multiplier un n-ième nombre de fois. Nous avons écrit plus à ce sujet dans un autre article.

Le concept de degré est l'opposé d'un autre concept mathématique - la racine d'un nombre. Si nous connaissons la valeur du degré et de l'exposant, nous pouvons calculer sa base. Le diplôme a des propriétés spécifiques qui sont utiles pour résoudre des problèmes que nous avons analysés dans un matériau séparé.

Dans les exposants, non seulement les nombres naturels peuvent être conservés, mais en général toutes les valeurs entières, y compris les valeurs négatives et les zéros, car elles appartiennent également à l'ensemble des entiers.

Définition 2

La puissance d'un nombre avec un entier positif peut être affichée sous forme de formule : .

De plus, n est un entier positif quelconque.

Intéressons-nous au concept de zéro degré. Pour ce faire, nous utilisons une approche qui prend en compte la propriété du quotient pour les degrés de bases égales. Il est formulé comme suit :

Définition 3

Égalité un m : un n = un m - n sera vrai sous les conditions : m et n sont des nombres naturels, m< n , a ≠ 0 .

La dernière condition est importante car elle évite la division par zéro. Si les valeurs de m et n sont égales, alors on obtient le résultat suivant : un n : un n = un n - n = un 0

Mais en même temps a n : a n = 1 est le quotient de nombres égaux une et a. Il s'avère que le degré zéro de tout nombre différent de zéro est égal à un.

Cependant, une telle preuve ne s'applique pas de zéro au degré zéro. Pour ce faire, nous avons besoin d'une autre propriété des degrés - la propriété des produits de degrés avec des bases égales. Cela ressemble à ceci : un m un n = un m + n .

Si nous avons n égal à 0, alors un m un 0 = un m(cette égalité nous prouve aussi que un 0 = 1). Mais si a est également égal à zéro, notre égalité prend la forme 0 m 0 0 = 0 m, Ce sera vrai pour toute valeur naturelle de n, et peu importe quelle est exactement la valeur du degré 0 0 , c'est-à-dire qu'il peut être égal à n'importe quel nombre, et cela n'affectera pas la fidélité de l'égalité. Par conséquent, une notation de la forme 0 0 n'a pas de sens particulier, et nous ne le lui attribuerons pas.

Si vous le souhaitez, il est facile de vérifier que un 0 = 1 converge avec la propriété de degré (un m) n = un m nà condition que la base du degré ne soit pas nulle. Ainsi, le degré de tout nombre non nul avec un exposant nul est égal à un.

Exemple 2

Regardons un exemple avec des nombres spécifiques : 5 0 - unité, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1, et la valeur 0 0 indéfini.

Après le degré zéro, il nous reste à déterminer quel est le degré négatif. Pour ce faire, nous avons besoin de la même propriété du produit des degrés de bases égales, que nous avons déjà utilisée plus haut : a m · a n = a m + n.

Introduisons la condition : m = - n, alors a ne doit pas être égal à zéro. Il s'ensuit que a - n a n = a - n + n = a 0 = 1... Il s'avère qu'un n et une nous avons des nombres mutuellement inverses.

En conséquence, une puissance négative entière n'est rien d'autre qu'une fraction 1 a n.

Cette formulation confirme que pour un degré avec un exposant entier négatif, toutes les mêmes propriétés sont valables comme degré avec un exposant naturel (à condition que la base ne soit pas nulle).

Exemple 3

La puissance de a avec un entier négatif n peut être représentée comme une fraction 1 a n. Ainsi, a - n = 1 a n sous la condition un 0 et n - tout entier naturel.

Illustrons notre réflexion par des exemples précis :

Exemple 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Dans la dernière partie du paragraphe, nous essaierons de décrire tout ce qui a été dit clairement dans une formule :

Définition 4

La puissance du nombre a d'exposant naturel z est : az = az, e avec l et z - entier positif 1, z = 0 et a 0, (pour and z = 0 et a = 0, on obtient 0 0, les valeurs de l'expression sont 0 0 pas ( si z est un entier et a = 0 donne 0 z, ego z n in n n e n d e d e n t)

Quels sont les degrés d'exposant rationnel

Nous avons analysé les cas où l'exposant contient un entier. Cependant, vous pouvez également élever un nombre à une puissance lorsqu'il y a un nombre fractionnaire dans son exposant. C'est ce qu'on appelle un degré d'exposant rationnel. Dans cette sous-section, nous allons prouver qu'il a les mêmes propriétés que les autres degrés.

Que s'est il passé nombres rationnels? Leur ensemble comprend à la fois entier et nombres fractionnaires, tandis que les nombres fractionnaires peuvent être représentés comme des fractions ordinaires (à la fois positives et négatives). Formulons la définition du degré d'un nombre a avec un exposant fractionnaire m / n, où n est un nombre naturel et m est un entier.

Nous avons un certain degré avec l'exposant fractionnaire a m n. Pour que la propriété de degré à degré soit remplie, l'égalité a m n n = a m n · n = a m doit être vraie.

Étant donné la définition de la racine nième et que a m n n = a m, on peut accepter la condition a m n = a m n si a m n a un sens pour les valeurs données de m, n et a.

Les propriétés ci-dessus d'un degré avec un exposant entier seront correctes à condition que a m n = a m n.

La conclusion principale de notre raisonnement est la suivante : la puissance d'un nombre a d'exposant fractionnaire m / n est la racine nième du nombre a à la puissance m. Ceci est vrai si, pour les valeurs données de m, n et a, l'expression a m n reste significative.

1. On peut limiter la valeur de la base du degré : prendre a, qui pour des valeurs positives de m sera supérieure ou égale à 0, et pour des valeurs négatives strictement inférieures (puisque pour m 0 on obtient 0 m, mais ce degré n'est pas défini). Dans ce cas, la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire ressemblera à ceci :

L'exposant d'exposant fractionnaire m / n pour un nombre positif a est la racine nième de a élevée à la puissance m. Sous la forme d'une formule, cela peut être représenté comme suit :

Pour un degré de base zéro, cette position convient également, mais seulement si son exposant est un nombre positif.

Un degré avec une base zéro et un exposant positif fractionnaire m / n peut être exprimé sous la forme

0 m n = 0 m n = 0 sous la condition d'entier positif m et de n naturel.

À attitude négative m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Notons un point. Depuis que nous avons introduit la condition selon laquelle a est supérieur ou égal à zéro, nous avons supprimé certains cas.

L'expression a m n a parfois un sens pour certaines valeurs négatives de a et certains m. Ainsi, les entrées correctes sont (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, dans lesquelles la base est négative.

2. La seconde approche consiste à considérer séparément la racine a m n avec des exposants pairs et impairs. Ensuite, nous devons introduire une condition supplémentaire : la puissance de a, dans l'exposant de laquelle il y a une fraction ordinaire annulable, est considérée comme la puissance de a, dans l'exposant de laquelle il y a la fraction irréductible correspondante. Plus tard, nous expliquerons pourquoi nous avons besoin de cette condition et pourquoi elle est si importante. Ainsi, si nous avons un enregistrement a m k n k, alors nous pouvons le réduire à a m n et simplifier les calculs.

Si n - nombre impair, et la valeur m est positive, a est n'importe quel nombre non négatif, alors a m n a du sens. La condition pour un a non négatif est nécessaire, car une racine paire d'un nombre négatif n'est pas extraite. Si la valeur de m est positive, alors a peut être négatif ou nul, puisque une racine impaire peut être extraite de n'importe quel nombre réel.

Combinons toutes les données ci-dessus définition dans un seul enregistrement :

Ici, m / n signifie une fraction irréductible, m est un nombre entier et n est un nombre naturel.

Définition 5

Pour toute fraction annulable ordinaire m · k n · k, l'exposant peut être remplacé par un m n.

La puissance d'un nombre à exposant fractionnaire irréductible m / n - peut s'exprimer sous la forme a m n dans les cas suivants : - pour tout réel a, entiers valeurs positives m et valeurs naturelles impaires n. Exemple : 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Pour tout réel a non nul, entier négatif m et n impair, par exemple, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Pour tout a non négatif, entier positif m et même n, par exemple, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Pour tout a positif, entier négatif m et même n, par exemple 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.

Pour les autres valeurs, l'exposant fractionnaire n'est pas défini. Exemples de tels diplômes : - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Expliquons maintenant l'importance de la condition évoquée plus haut : pourquoi remplacer la fraction par un exposant annulable par une fraction par un irréductible. Si nous n'avions pas fait cela, nous aurions eu de telles situations, disons, 6/10 = 3/5. Alors cela devrait être vrai (- 1) 6 10 = - 1 3 5, mais - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, et (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.

La définition du degré avec un exposant fractionnaire, que nous avons donnée au premier, est plus pratique à utiliser en pratique que le second, nous continuerons donc à l'utiliser.

Définition 6

Ainsi, le degré d'un nombre positif a avec un exposant fractionnaire m / n est défini comme 0 m n = 0 m n = 0. En cas de négatif une la notation a m n n'a pas de sens. Puissance de zéro pour les exposants fractionnaires positifs m/n est défini comme 0 m n = 0 m n = 0, pour les exposants fractionnaires négatifs, nous ne définissons pas le degré de zéro.

Dans les conclusions, on note que tout indicateur fractionnaire peut s'écrire sous la forme nombre mixte, et sous forme de fraction décimale : 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Lors du calcul, il est préférable de remplacer l'exposant par une fraction ordinaire, puis d'utiliser la définition d'un exposant par un exposant fractionnaire. Pour les exemples ci-dessus, on obtient :

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Que sont les degrés avec un exposant irrationnel et valide

Que sont les vrais nombres ? Leur ensemble comprend à la fois des nombres rationnels et irrationnels. Par conséquent, afin de comprendre ce qu'est un diplôme avec un indicateur réel, nous devons définir des degrés avec des indicateurs rationnels et irrationnels. Nous avons déjà mentionné les rationnels ci-dessus. Traitons les indicateurs irrationnels étape par étape.

Exemple 5

Supposons que nous ayons un nombre irrationnel a et une séquence de ses approximations décimales a 0, a 1, a 2,. ... ... ... Par exemple, prenons la valeur a = 1.67175331. ... ... , ensuite

un 0 = 1,6, un 1 = 1,67, un 2 = 1,671,. ... ... , un 0 = 1,67, un 1 = 1,6717, un 2 = 1,671753,. ... ...

On peut associer une suite d'approximations à une suite de degrés a a 0, a a 1, a a 2,. ... ... ... Si nous nous souvenons de ce que nous avons dit plus tôt sur l'élévation des nombres à une puissance rationnelle, nous pouvons alors calculer nous-mêmes les valeurs de ces puissances.

Prends pour exemple a = 3, alors a a 0 = 31,67, a a 1 = 31,6717, a a 2 = 31,671753,. ... ... etc.

La séquence de degrés peut être réduite à un nombre, qui sera la valeur du degré avec une base a et un exposant irrationnel a. Résultat : un degré avec un exposant irrationnel comme 3 1, 67175331. ... peut être réduit au nombre 6, 27.

Définition 7

La puissance d'un nombre positif a avec un exposant irrationnel a s'écrit a. Sa valeur est la limite de la séquence a a 0, a a 1, a a 2,. ... ... , où un 0, un 1, un 2,. ... ... sont des approximations décimales successives du nombre irrationnel a. Le degré avec une base zéro peut également être déterminé pour des indicateurs irrationnels positifs, tandis que 0 a = 0 Donc, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Et pour les négatifs, cela ne peut pas être fait, car, par exemple, la valeur 0 - 5, 0 - 2 n'est pas définie. Un élevé à n'importe quelle puissance irrationnelle reste un, par exemple, et 1 2, 1 5 en 2 et 1 - 5 sera égal à 1.

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Poursuivant la conversation sur le degré d'un nombre, il est logique de comprendre comment trouver la signification du degré. Ce processus a été nommé exponentiation... Dans cet article, nous allons juste étudier comment s'effectue l'exponentiation, en abordant tous les exposants possibles - naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Et selon la tradition, nous examinerons en détail les solutions d'exemples d'élévation des nombres à diverses puissances.

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Que signifie « exponentiation » ?

Vous devriez commencer par expliquer ce qu'on appelle l'exponentiation. Voici la définition appropriée.

Définition.

Exponentiation- c'est trouver la valeur de la puissance d'un nombre.

Ainsi, trouver la valeur de la puissance d'un nombre a avec l'exposant r et élever le nombre a à la puissance r sont la même chose. Par exemple, si le problème est « calculer la valeur du degré (0,5) 5 », alors il peut être reformulé comme suit : « Élever le nombre 0,5 à la puissance 5 ».

Vous pouvez maintenant accéder directement aux règles selon lesquelles l'exponentiation est effectuée.

Élever un nombre à une puissance naturelle

Dans la pratique, l'égalité sur la base est généralement appliquée dans la forme. C'est-à-dire que lors de l'élévation du nombre a à une puissance fractionnaire m / n, la racine nième du nombre a est d'abord extraite, après quoi le résultat est élevé à une puissance entière m.

Considérez des solutions à des exemples d'élévation à une puissance fractionnaire.

Exemple.

Calculer la valeur de l'exposant.

Solution.

Nous allons montrer deux façons de le résoudre.

La première façon. Par définition, un exposant fractionnaire. Nous calculons la valeur du degré sous le signe racine, après quoi nous extrayons racine cubique: .

Deuxième voie. Par la définition d'un degré avec un exposant fractionnaire et sur la base des propriétés des racines, les égalités sont vraies ... Maintenant, nous extrayons la racine enfin, élever à une puissance entière .

De toute évidence, les résultats obtenus de l'élévation à une puissance fractionnaire coïncident.

Réponse:

Notez qu'un exposant fractionnaire peut être écrit sous la forme d'une fraction décimale ou d'un nombre mixte, dans ces cas, il doit être remplacé par la fraction ordinaire correspondante, après quoi l'exponentiation doit être effectuée.

Exemple.

Calculer (44,89) 2.5.

Solution.

Écrivons l'exposant sous la forme fraction commune(voir article si besoin) : ... Maintenant, nous effectuons l'exponentiation fractionnaire:

Réponse:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Il convient également de dire que l'élévation des nombres à des puissances rationnelles est un processus assez laborieux (surtout lorsque des nombres suffisamment grands sont trouvés dans le numérateur et le dénominateur de l'exposant fractionnaire), qui est généralement effectué en utilisant technologie informatique.

En conclusion de ce point, attardons-nous sur l'élévation du nombre zéro à une puissance fractionnaire. Nous avons donné le sens suivant au degré fractionnaire de zéro de la forme : car, nous avons , et à zéro à la puissance m / n est indéfini. Ainsi, zéro dans une puissance fractionnaire positive est égal à zéro, par exemple, ... Et zéro dans une puissance négative fractionnaire n'a pas de sens, par exemple, les expressions et 0 -4,3 n'ont pas de sens.

Exponentiation irrationnelle

Parfois, il devient nécessaire de connaître la valeur de la puissance d'un nombre avec un exposant irrationnel. Dans ce cas, pour des raisons pratiques, il suffit généralement d'obtenir la valeur du degré précise à un certain signe. On remarque d'emblée que cette valeur est calculée en pratique à l'aide de calculateurs électroniques, car élever manuellement à une puissance irrationnelle nécessite de nombreux calculs lourds. Mais nous allons quand même décrire dans Plan général essence de l'action.

Pour obtenir une valeur approximative de la puissance du nombre a avec un exposant irrationnel, une approximation décimale de l'exposant est prise et la valeur de l'exposant est calculée. Cette valeur est une valeur approximative de la puissance du nombre a avec un exposant irrationnel. Plus l'approximation décimale du nombre sera prise au départ, plus la valeur du degré sera précise.

A titre d'exemple, calculons la valeur approximative de la puissance de 2 1,174367 .... Prenons l'approximation décimale suivante de l'exposant irrationnel :. Maintenant, nous élevons 2 à la puissance rationnelle de 1,17 (nous avons décrit l'essence de ce processus dans le paragraphe précédent), nous obtenons 2 1,17 ≈2,250116. De cette façon, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 ... Si nous prenons une approximation décimale plus précise d'un exposant irrationnel, par exemple, nous obtenons une valeur plus précise de l'exposant d'origine : 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliographie.

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• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathématiques (un guide pour les candidats aux écoles techniques).

Premier niveau

Le degré et ses propriétés. Guide complet (2019)

Pourquoi faut-il des diplômes ? Où vous seront-ils utiles ? Pourquoi faut-il prendre le temps de les étudier ?

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Et, bien sûr, la connaissance des diplômes vous rapprochera d'une réussite réussir l'examen ou l'examen d'État unifié et l'admission à l'université de vos rêves.

Allons-y allons-y!)

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PREMIER NIVEAU

L'exponentiation est la même opération mathématique que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

je vais tout expliquer maintenant langage humain sur très exemples simples... Faites attention. Les exemples sont élémentaires, mais ils expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Chacun a deux bouteilles de cola. Combien y a-t-il de coca ? C'est vrai - 16 bouteilles.

Maintenant la multiplication.

Le même exemple de cola peut être écrit différemment :. Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d'abord certains modèles, puis trouvent un moyen de les "compter" rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes avait le même nombre de bouteilles de cola et ont mis au point une technique appelée multiplication. D'accord, il est considéré comme plus facile et plus rapide que.

Alors, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreurs, il suffit de se souvenir table de multiplication... Vous pouvez, bien sûr, tout faire plus lentement, plus fort et avec des erreurs ! Mais…

Voici la table de multiplication. Répéter.

Et un autre, plus beau :

Quelles autres astuces de comptage astucieuses les mathématiciens paresseux ont-ils trouvé ? À droite - élever un nombre à une puissance.

Élever un nombre à une puissance

Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, alors les mathématiciens disent que vous devez élever ce nombre à la puissance cinquième. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux au cinquième degré est. Et ils résolvent ces problèmes dans leur tête - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.

Tout ce que vous devez faire est rappelez-vous ce qui est mis en évidence dans le tableau des puissances des nombres... Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.

Au fait, pourquoi s'appelle le deuxième degré carré nombres, et le troisième - cube? Qu'est-ce que ça veut dire? Très bonne question... Maintenant, vous aurez à la fois des carrés et des cubes.

Exemple de vie #1

Commençons par un carré ou la seconde puissance d'un nombre.

Imaginez une piscine au mètre carré. La piscine est dans votre maison de campagne. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... une piscine sans fond ! Il est nécessaire de couvrir le fond de la piscine avec des tuiles. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Pour le déterminer, vous devez connaître la superficie du fond de la piscine.

Vous pouvez simplement compter, en poussant votre doigt, que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vous avez un carreau mètre par mètre, vous aurez besoin de pièces. C'est facile... Mais où as-tu vu de telles tuiles ? Le carreau est plus susceptible d'être cm par cm et vous serez alors torturé par le "compte des doigts". Ensuite, il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine, on posera des tuiles (pièces) et de l'autre aussi, des tuiles. En multipliant par, vous obtenez des tuiles ().

Avez-vous remarqué que nous avons multiplié le même nombre par nous-mêmes pour déterminer la surface du fond de la piscine ? Qu'est-ce que ça veut dire? Une fois le même nombre multiplié, on peut utiliser la technique de "l'exponentiation". (Bien sûr, quand vous n'avez que deux nombres, vous les multipliez toujours ou les augmentez à une puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors augmenter à une puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs dans les calculs. C'est très important pour l'examen).
Ainsi, trente au second degré seront (). Ou vous pouvez dire que trente au carré le sera. En d'autres termes, la seconde puissance d'un nombre peut toujours être représentée par un carré. A l'inverse, si vous voyez un carré, c'est TOUJOURS la seconde puissance d'un nombre. Un carré est une représentation de la seconde puissance d'un nombre.

Exemple concret n°2

Voici une tâche pour vous, comptez combien de cases il y a sur l'échiquier en utilisant la case du nombre... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour compter leur nombre, vous devez multiplier huit par huit ou ... si vous remarquez que l'échiquier est un carré avec un côté, alors vous pouvez carré huit. Vous obtiendrez des cellules. () Alors?

Exemple de vie n°3

Maintenant le cube ou la troisième puissance du nombre. La même piscine. Mais maintenant, vous devez savoir combien d'eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Soit dit en passant, les volumes et les liquides sont mesurés en mètres cubes... Inattendu, non ?) Dessinez une piscine : le fond mesure un mètre et un mètre de profondeur et essayez de calculer combien de cubes au mètre par mètre iront dans votre piscine.

Pointez du doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre... vingt-deux, vingt-trois... Combien cela s'est-il passé ? Pas perdu? Est-ce difficile de compter avec le doigt ? De sorte que! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, ils ont donc remarqué que pour calculer le volume de la piscine, vous devez multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal aux cubes... Plus facile, non ?

Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens sont paresseux et rusés s'ils simplifiaient cela aussi. Ils ont tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Qu'est-ce que ça veut dire ? Cela signifie que vous pouvez profiter du diplôme. Ainsi, ce que vous avez compté une fois avec votre doigt, ils le font en une seule action : trois dans un cube sont égaux. C'est écrit comme ça :.

Il ne reste que rappelez-vous la table des degrés... À moins, bien sûr, que vous soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.

Eh bien, afin de vous convaincre enfin que les diplômes ont été inventés par des paresseux et des gens rusés pour résoudre leurs problèmes de vie, et non pour vous créer des problèmes, voici quelques autres exemples tirés de la vie.

Exemple de vie n°4

Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, vous gagnez un autre million sur chaque million. C'est-à-dire que chaque million d'entre vous au début de chaque année double. Combien d'argent aurez-vous dans des années ? Si vous êtes maintenant assis et "comptez avec votre doigt", alors vous êtes une personne très travailleuse et .. stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Ainsi, la première année - deux fois deux... la deuxième année - il s'est passé deux fois de plus, la troisième année... Stop ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même une fois. Donc deux puissances cinq font un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que ces millions seront reçus par celui qui calcule le plus rapidement... Cela vaut-il la peine de se rappeler les degrés des nombres, qu'en pensez-vous ?

Exemple concret n°5

Vous avez un million. Au début de chaque année, vous gagnez deux de plus sur chaque million. Super, n'est-ce pas ? Chaque million triple. Combien d'argent aurez-vous dans des années ? Comptons. La première année - multipliez par, puis le résultat par une autre... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris : trois fois c'est multiplié par lui-même. Donc la quatrième puissance est égale à un million. Vous avez juste besoin de vous rappeler que trois à la quatrième puissance est ou.

Vous savez maintenant qu'en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Voyons ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.

Termes et concepts ... pour ne pas se tromper

Alors, d'abord, définissons les concepts. Qu'en penses-tu, qu'est-ce qu'un exposant? C'est très simple - c'est le nombre qui est "au sommet" de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais compréhensible et facile à retenir...

Eh bien, en même temps que une telle base de diplôme? C'est encore plus simple - c'est le nombre qui est en dessous, à la base.

Voici un dessin pour être sûr.

Eh bien, dans vue générale, afin de résumer et mieux mémoriser... Un degré avec une base "" et un exposant "" se lit "en degré" et s'écrit comme suit :

Degré du nombre avec exposant naturel

Vous l'avez probablement deviné maintenant : parce que l'exposant est un nombre naturel. Oui, mais qu'est-ce que entier naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont ceux qui sont utilisés pour compter lors de la liste des objets : un, deux, trois... Quand on compte des objets, on ne dit pas : « moins cinq », « moins six », « moins sept ». Nous ne disons pas non plus : « un tiers », ou « zéro, cinq dixièmes ». Ce ne sont pas des nombres naturels. A votre avis, quels sont les chiffres ?

Des nombres comme « moins cinq », « moins six », « moins sept » se réfèrent à nombres entiers. En général, les nombres entiers incluent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et un nombre. Zéro est facile à comprendre - c'est quand il n'y a rien. Que signifient les nombres négatifs ("moins") ? Mais ils ont été inventés avant tout pour indiquer des dettes : si vous avez des roubles sur votre téléphone, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.

Toutes les fractions sont des nombres rationnels. Comment pensez-vous qu'ils sont arrivés? Très simple. Il y a plusieurs milliers d'années, nos ancêtres ont découvert qu'il leur manquait des nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, la superficie, etc. Et ils sont venus avec nombres rationnels... Intéressant, n'est-ce pas ?

Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? Bref, interminable décimal... Par exemple, si vous divisez la circonférence d'un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.

Résumé:

Définissons la notion de degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire un entier et positif).

1. Tout nombre de la première puissance est égal à lui-même :
2. Mettre un nombre au carré, c'est le multiplier par lui-même :
3. Cuber un nombre, c'est le multiplier par lui-même trois fois :

Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle signifie multiplier le nombre par lui-même par :
.

Propriétés de puissance

D'où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.

Voyons : qu'est-ce que et ?

Par définition:

Combien y a-t-il de facteurs au total ?

C'est très simple : nous avons ajouté des multiplicateurs aux multiplicateurs, et le total est des multiplicateurs.

Mais par définition, c'est le degré d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire comme il faut le prouver.

Exemple: Simplifier l'expression.

Solution:

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution: Il est important de noter que dans notre règle nécessairement doit avoir les mêmes bases !
Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais cela reste un facteur distinct :

juste pour le produit des degrés !

Vous ne pouvez en aucun cas écrire cela.

2. c'est -ième puissance d'un nombre

Comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la ième puissance du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « encadrer l'indicateur ». Mais vous ne devriez jamais faire cela au total :

Rappelons-nous les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ?

Mais ce n'est pas vrai, après tout.

Diplôme avec base négative

Jusqu'à présent, nous n'avons discuté que de ce que devrait être l'exposant.

Mais quelle devrait être la base?

En degrés avec taux naturel la base peut être n'importe quel chiffre... En effet, nous pouvons multiplier n'importe quels nombres les uns par les autres, qu'ils soient positifs, négatifs ou même.

Pensons à quels signes ("" ou "") auront des pouvoirs de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? UNE? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe combien de nombres positifs nous multiplions les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais le négatif est un peu plus intéressant. Après tout, nous nous souvenons d'une règle simple de la 6e année: "moins par moins donne un plus". C'est, ou. Mais si on multiplie par, ça marche.

Décidez vous-même du signe que les expressions suivantes auront :

1)	2)	3)
4)	5)	6)

as-tu réussi ?

Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l'exposant et appliquons la règle appropriée.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans l'exemple 5), tout n'est pas aussi effrayant qu'il n'y paraît : peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif.

Eh bien, à moins que la base ne soit zéro. La fondation n'est pas égale, n'est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

Exemple 6) n'est plus si facile !

6 exemples pour s'entraîner

Analyser la solution 6 exemples

Si nous ignorons le huitième degré, que voyons-nous ici ? Nous rappelons le programme de 7e année. Alors souviens-toi? C'est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence de carrés ! On a:

Regardons de près le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des multiplicateurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? Mauvais ordre des termes. Si elles devaient être inversées, la règle pourrait être appliquée.

Mais comment faire ça ? Cela s'avère très simple : ici le degré pair du dénominateur nous aide.

Les termes sont magiquement inversés. Ce "phénomène" est applicable à toute expression à degré pair : on peut librement changer les signes entre parenthèses.

Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps!

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Ensemble nous appelons les nombres naturels opposés à eux (c'est-à-dire pris avec le signe "") et le nombre.

entier positif, mais ce n'est pas différent de naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.

Voyons maintenant quelques nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.

Tout nombre dans le degré zéro est égal à un:

Comme toujours, posons-nous la question : pourquoi en est-il ainsi ?

Considérons un diplôme avec une base. Prenez, par exemple, et multipliez par :

Donc, nous avons multiplié le nombre par et avons obtenu le même que c'était -. Et quel nombre doit-on multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, sur. Veux dire.

On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :

Répétons la règle :

Tout nombre dans le degré zéro est égal à un.

Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).

D'une part, il devrait être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez par vous-même, vous obtiendrez toujours zéro, c'est clair. Mais d'un autre côté, comme tout nombre au degré zéro, il doit être égal. Alors qu'est-ce qui est vrai ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s'impliquer et ont refusé d'élever de zéro à zéro. C'est-à-dire que maintenant nous ne pouvons pas seulement diviser par zéro, mais aussi l'élever à une puissance nulle.

Allons plus loin. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres négatifs appartiennent aux entiers. Pour comprendre ce qu'est une puissance négative, faisons comme la dernière fois : multiplions un nombre normal par la même puissance négative :

À partir de là, il est déjà facile d'exprimer ce que vous recherchez :

Nous allons maintenant étendre la règle résultante à un degré arbitraire :

Alors, formulons une règle :

Un nombre à la puissance négative est l'inverse du même nombre à la puissance positive. Mais en même temps la base ne peut pas être nulle :(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Résumons :

I. Expression non précisée en cas. Si donc.

II. Tout nombre au degré zéro est égal à un :.

III. Un nombre différent de zéro est en puissance négative inverse du même nombre en puissance positive :.

Tâches pour une solution indépendante :

Eh bien, et, comme d'habitude, des exemples pour une solution indépendante :

Analyse des tâches pour une solution indépendante :

Je sais, je sais, les chiffres sont terribles, mais à l'examen, il faut être prêt à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leur solution si vous n'y parvenez pas et vous apprendrez à les gérer facilement à l'examen !

Continuons à élargir le cercle des nombres « appropriés » en tant qu'exposant.

Considérez maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont dits rationnels ?

Réponse : tout ce qui peut être représenté sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers d'ailleurs.

Pour comprendre ce qu'est Degré fractionnaire, considérons la fraction :

Élevons les deux côtés de l'équation à la puissance :

Rappelons maintenant la règle concernant "Degré à degré":

Quel nombre doit être élevé à une puissance pour obtenir ?

Cette formulation est la définition de la racine ième.

Permettez-moi de vous rappeler : la racine de la ième puissance d'un nombre () est un nombre qui, lorsqu'il est élevé à une puissance, est égal à.

C'est-à-dire que la racine de la ième puissance est l'opération inverse de l'exponentiation :.

Il se trouve que. Evidemment ce cas particulier peut être étendu :.

Ajoutons maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facilement obtenue en utilisant la règle de degré à degré :

Mais la base peut-elle être n'importe quel nombre ? Après tout, la racine ne peut pas être extraite de tous les nombres.

Rien!

Rappelez-vous la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. C'est-à-dire que vous ne pouvez pas extraire des racines de degré pair à partir de nombres négatifs !

Et cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a pas de sens.

Qu'en est-il de l'expression ?

Mais c'est là que le problème se pose.

Le nombre peut être représenté par d'autres fractions annulables, par exemple, ou.

Et il s'avère que cela existe, mais n'existe pas, mais ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.

Ou un autre exemple : une fois, alors vous pouvez écrire. Mais si nous écrivons l'indicateur d'une manière différente, et encore une fois, nous obtenons une nuisance : (c'est-à-dire que nous avons un résultat complètement différent !).

Pour éviter de tels paradoxes, nous considérons seule base positive avec exposant fractionnaire.

Donc si:

• - entier naturel;
• - un nombre entier;

Exemples:

Les exposants rationnels sont très utiles pour convertir des expressions enracinées, par exemple :

5 exemples pour s'entraîner

Analyse de 5 exemples pour la formation

Et maintenant le plus dur. Nous allons maintenant analyser degré irrationnel.

Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception de

En effet, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels à l'exception des nombres rationnels).

Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, global et rationnel, nous avons à chaque fois inventé une sorte d'"image", d'"analogie" ou de description en termes plus familiers.

Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;

...nombre à zéro degré- c'est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à se multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas apparu - donc, le résultat n'est qu'une sorte de " nombre blanc ", à savoir le numéro ;

...exposant entier négatif- c'était comme si une sorte de "processus inverse" avait eu lieu, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

À propos, en sciences, un diplôme avec un indicateur complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'indicateur n'est même pas un nombre réel.

Mais à l'école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.

O NOUS SOMMES SRS QUE VOUS ALLEZ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))

Par exemple:

Décider vous-même:

Analyse des solutions :

1. Commençons par la règle déjà habituelle pour élever une puissance à une puissance :

Regardez maintenant l'indicateur. Il vous rappelle quelque chose ? On rappelle la formule de multiplication abrégée, la différence des carrés :

Dans ce cas,

Il se trouve que:

Réponse: .

2. On ramène les fractions en exposants à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. Prenons par exemple :

Réponse : 16

3. Rien de spécial, on applique les propriétés habituelles des degrés :

NIVEAU AVANCÉ

Détermination du diplôme

Un diplôme est une expression de la forme :, où :

• — base du diplôme;
• - exposant.

Degré avec exposant naturel (n = 1, 2, 3, ...)

Élever un nombre à une puissance naturelle n signifie multiplier le nombre par lui-même par :

Degré entier (0, ± 1, ± 2, ...)

Si l'exposant est tout positif numéro:

Érection à zéro degré:

L'expression est indéfinie, car, d'une part, à tout degré - ceci, et d'autre part - tout nombre au ième degré - ceci.

Si l'exposant est négatif entier numéro:

(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Encore une fois à propos des zéros : l'expression n'est pas définie en cas. Si donc.

Exemples:

Note rationnelle

• - entier naturel;
• - un nombre entier;

Exemples:

Propriétés de puissance

Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d'où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.

Voyons : qu'est-ce que et ?

Par définition:

Ainsi, du côté droit de cette expression, nous obtenons le produit suivant :

Mais par définition, c'est la puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :

C.Q.D.

Exemple : Simplifier l'expression.

Solution : .

Exemple : Simplifier l'expression.

Solution : Il est important de noter que dans notre règle nécessairement doit avoir les mêmes bases. Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais cela reste un facteur distinct :

Une autre remarque importante : cette règle est - pour le produit des degrés seulement!

Je ne devrais en aucun cas écrire cela.

Comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Réorganisons cette pièce comme ceci :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la ième puissance du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « encadrer l'indicateur ». Mais vous ne devriez jamais faire cela au total : !

Rappelons-nous les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ? Mais ce n'est pas vrai, après tout.

Un diplôme avec une base négative.

Jusqu'à présent, nous avons seulement discuté de la façon dont il devrait être indicateur diplôme. Mais quelle devrait être la base? En degrés avec Naturel indicateur la base peut être n'importe quel chiffre .

En effet, nous pouvons multiplier n'importe quels nombres les uns par les autres, qu'ils soient positifs, négatifs ou même. Pensons à quels signes ("" ou "") auront des pouvoirs de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? UNE? ?

Avec le premier, tout est clair : peu importe combien de nombres positifs nous multiplions les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais le négatif est un peu plus intéressant. Après tout, nous nous souvenons d'une règle simple de la 6e année: "moins par moins donne un plus". C'est, ou. Mais si nous multiplions par (), nous obtenons -.

Et ainsi de suite jusqu'à l'infini : à chaque multiplication ultérieure, le signe changera. On peut formuler une telle règles simples:

1. même degré, - nombre positif.
2. Nombre négatif porté à impair degré, - nombre négatif.
3. Un nombre positif à n'importe quel degré est un nombre positif.
4. Zéro à n'importe quelle puissance est égal à zéro.

Décidez vous-même du signe que les expressions suivantes auront :

1.	2.	3.
4.	5.	6.

as-tu réussi ? Voici les réponses :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l'exposant et appliquons la règle appropriée.

Dans l'exemple 5), tout n'est pas aussi effrayant qu'il n'y paraît : peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Eh bien, à moins que la base ne soit zéro. La fondation n'est pas égale, n'est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

Exemple 6) n'est plus si simple. Ici, vous devez découvrir ce qui est le moins : ou ? Si vous vous en souvenez, cela devient clair, ce qui signifie que la base est inférieure à zéro. C'est-à-dire que nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.

Et encore une fois, nous utilisons la définition de degré :

Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des degrés et, les divisons les uns dans les autres, les divisons en paires et obtenons :

Avant d'examiner la dernière règle, résolvons quelques exemples.

Calculez les valeurs des expressions :

Solutions :

Si nous ignorons le huitième degré, que voyons-nous ici ? Nous rappelons le programme de 7e année. Alors souviens-toi? C'est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence de carrés !

On a:

Regardons de près le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des multiplicateurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? Mauvais ordre des termes. Si elles étaient inversées, on pourrait appliquer la règle 3. Mais comment faire ? Cela s'avère très simple : ici le degré pair du dénominateur nous aide.

Si vous le multipliez par, rien ne change, n'est-ce pas ? Mais maintenant il s'avère ce qui suit :

Les termes sont magiquement inversés. Ce "phénomène" est applicable à toute expression à degré pair : on peut librement changer les signes entre parenthèses. Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps ! On ne peut pas le remplacer en changeant un seul inconvénient dont on ne veut pas !

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Alors maintenant la dernière règle :

Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d'habitude : développons la notion de diplôme et simplifions :

Ouvrons maintenant les crochets. Combien de lettres y aura-t-il ? fois par multiplicateurs - à quoi cela ressemble-t-il ? Ce n'est rien de plus qu'une définition d'une opération multiplication: il n'y avait que des multiplicateurs. C'est, par définition, le degré d'un nombre avec un exposant :

Exemple:

Note irrationnelle

En plus des informations sur les degrés pour le niveau intermédiaire, nous analyserons le degré avec un exposant irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés comme une fraction, où et sont des nombres entiers (qui c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf rationnels).

Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, global et rationnel, nous avons à chaque fois inventé une sorte d'"image", d'"analogie" ou de description en termes plus familiers. Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre au degré zéro est, pour ainsi dire, un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à être multiplié, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas apparu - par conséquent, le résultat n'est qu'une sorte de « numéro vierge », à savoir le numéro ; un degré avec un exposant entier négatif est comme si un certain "processus inverse" avait eu lieu, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Il est extrêmement difficile d'imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d'imaginer un espace à 4 dimensions). C'est plutôt un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre le concept de degré à tout l'espace des nombres.

À propos, en sciences, un diplôme avec un indicateur complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'indicateur n'est même pas un nombre réel. Mais à l'école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.

Alors, que faisons-nous lorsque nous voyons un exposant irrationnel ? Nous essayons de toutes nos forces de nous en débarrasser ! :)

Par exemple:

Décider vous-même:

1)

2)

3)

Réponses:

1. On rappelle la formule de la différence des carrés. Réponse: .
2. Nous ramenons les fractions sous la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple :.
3. Rien de spécial, nous appliquons les propriétés de degré habituelles :

RÉSUMÉ DE LA SECTION ET DES FORMULES DE BASE

Diplôme est appelée une expression de la forme :, où :

Degré entier

degré, dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire entier et positif).

Note rationnelle

degré, dont l'exposant est un nombre négatif et fractionnaire.

Note irrationnelle

degré, dont l'exposant est une fraction ou racine décimale infinie.

Propriétés de puissance

Caractéristiques des diplômes.

• Nombre négatif porté à même degré, - nombre positif.
• Nombre négatif porté à impair degré, - nombre négatif.
• Un nombre positif à n'importe quel degré est un nombre positif.
• Zéro est égal à n'importe quelle puissance.
• Tout nombre au degré zéro est égal à.

MAINTENANT VOTRE PAROLE...

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Et bonne chance pour tes examens !

Évidemment, des nombres avec des puissances peuvent être ajoutés, comme d'autres quantités , en les ajoutant un à un avec leurs signes.

Ainsi, la somme de a 3 et b 2 est a 3 + b 2.
La somme de a 3 - b n et h 5 -d 4 est a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chances degrés égaux variables identiques peut être ajouté ou soustrait.

Ainsi, la somme de 2a 2 et 3a 2 est 5a 2.

Il est également évident que si vous prenez deux carrés a, ou trois carrés a, ou cinq carrés a.

Mais les diplômes différentes variables et divers degrés variables identiques, doivent être ajoutés par leur addition avec leurs signes.

Ainsi, la somme d'un 2 et d'un 3 est la somme d'un 2 + un 3.

Il est évident que le carré de a, et le cube de a, n'est pas égal au double du carré de a, mais au double du cube de a.

La somme de a 3 b n et 3a 5 b 6 est a 3 b n + 3a 5 b 6.

Soustraction degrés s'effectue de la même manière que l'addition, sauf que les signes de la soustraction doivent être modifiés en conséquence.

Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Multiplication de degrés

Les nombres avec des puissances peuvent être multipliés, comme d'autres quantités, en les écrivant l'un après l'autre, avec ou sans un signe de multiplication entre eux.

Ainsi, le résultat de la multiplication de a 3 par b 2 est a 3 b 2 ou aaabb.

Ou:
x -3 ⋅ un m = un m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Le résultat du dernier exemple peut être ordonné en ajoutant les mêmes variables.
L'expression prendra la forme : a 5 b 5 y 3.

En comparant plusieurs nombres (variables) avec des puissances, nous pouvons voir que si deux d'entre eux sont multipliés, le résultat est un nombre (variable) avec une puissance égale à la somme degrés de termes.

Donc, un 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = un 5.

Ici 5 est la puissance du résultat de la multiplication, égale à 2 + 3, la somme des puissances des termes.

Donc, un n .a m = un m + n.

Pour a n, a est pris comme facteur autant de fois que la puissance de n est égale ;

Et a m, est pris comme facteur autant de fois que l'est la puissance de m ;

Alors, degrés avec les mêmes tiges peuvent être multipliés en ajoutant les exposants.

Donc, un 2 .a 6 = un 2 + 6 = un 8. Et x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Ou:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Multiplier (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Réponse : x 4 - y 4.
Multiplier (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Cette règle est également vraie pour les nombres dont les exposants sont - négatif.

1. Donc, un -2 .a -3 = un -5. Cela peut être écrit comme (1 / aa). (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Si a + b est multiplié par a - b, le résultat est a 2 - b 2 : c'est

Le résultat de la multiplication de la somme ou de la différence de deux nombres est égal à la somme ou à la différence de leurs carrés.

Si la somme et la différence de deux nombres portés à carré, le résultat sera égal à la somme ou à la différence de ces nombres dans Quatrième diplôme.

Donc, (a - y) (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Division des diplômes

Les nombres de puissance peuvent être divisés, comme les autres nombres, en soustrayant du diviseur ou en les plaçant sous forme fractionnaire.

Donc a 3 b 2 divisé par b 2 est égal à 3.

Ou:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

Un 5 divisé par un 3 ressemble à $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Mais cela équivaut à un 2. Dans une série de nombres
un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.
n'importe quel nombre peut être divisé par un autre, et l'exposant sera égal à différence exposants de nombres divisibles.

Lors de la répartition des pouvoirs avec sur la même base leurs valeurs sont déduites..

Donc, y 3 : y 2 = y 3-2 = y 1. C'est-à-dire que $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

Et un n + 1 : a = un n + 1-1 = un n. Autrement dit, $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

Ou:
y 2m : y m = y m
8a n + m : 4a m = 2a n
12 (b + y) n : 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

La règle est également vraie pour les nombres avec négatif les valeurs des degrés.
Le résultat de la division d'un -5 par un -3 est un -2.
Aussi, $ \ frac (1) (aaaaa) : \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (a) $.

h 2 : h -1 = h 2 + 1 = h 3 ou $ h ^ 2 : \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

Il est nécessaire de très bien maîtriser la multiplication et la division des puissances, car de telles opérations sont très largement utilisées en algèbre.

Exemples d'exemples de résolution avec des fractions contenant des nombres avec des puissances

1. Diminuer les exposants en $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Réponse : $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. Diminuer les exposants en $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Réponse : $ \ frac (2x) (1) $ ou 2x.

3. Diminuer les exposants a 2 / a 3 et a -3 / a -4 et les ramener au dénominateur commun.
a 2 .a -4 est un -2 premier numérateur.
a 3 .a -3 est un 0 = 1, le deuxième numérateur.
a 3 .a -4 est un -1, le numérateur commun.
Après simplification : a -2 / a -1 et 1 / a -1.

4. Diminuer les exposants 2a 4 / 5a 3 et 2 / a 4 et les ramener au dénominateur commun.
Réponse : 2a 3 / 5a 7 et 5a 5 / 5a 7 ou 2a 3 / 5a 2 et 5 / 5a 2.

5. Multiplier (a 3 + b) / b 4 par (a - b) / 3.

6. Multipliez (a 5 + 1) / x 2 par (b 2 - 1) / (x + a).

7. Multipliez b 4 / a -2 par h -3 / x et a n / y -3.

8. Divisez un 4 / y 3 par un 3 / y 2. Réponse : a / y.

9. Divisez (h 3 - 1) / d 4 par (d n + 1) / h.