Dérivée x des racines de x. Dérivée de la fonction puissance (puissances et racines)

Sur lequel nous avons analysé les dérivés les plus simples, et nous nous sommes également familiarisés avec les règles de différenciation et certaines techniques de recherche de dérivés. Ainsi, si vous n'êtes pas très bon avec les dérivées de fonctions ou si certains points de cet article ne sont pas entièrement clairs, lisez d'abord la leçon ci-dessus. S'il vous plaît, accordez-vous une humeur sérieuse - le matériel n'est pas facile, mais je vais quand même essayer de le présenter simplement et clairement.

En pratique, on a affaire à la dérivée d'une fonction complexe très souvent, je dirais même presque toujours, lorsqu'on vous donne pour tâche de trouver des dérivées.

On regarde dans le tableau la règle (n°5) de différenciation d'une fonction complexe :

Nous comprenons. Tout d'abord, regardons la notation. Ici, nous avons deux fonctions - et , et la fonction, au sens figuré, est imbriquée dans la fonction . Une fonction de ce type (lorsqu'une fonction est imbriquée dans une autre) est appelée une fonction complexe.

je vais appeler la fonction fonction externe, et la fonction – fonction interne (ou imbriquée).

! Ces définitions ne sont pas théoriques et ne doivent pas figurer dans la conception finale des devoirs. J'utilise les expressions informelles "fonction externe", fonction "interne" uniquement pour vous faciliter la compréhension de la matière.

Pour clarifier la situation, pensez à :

Exemple 1

Trouver la dérivée d'une fonction

Sous le sinus, nous n'avons pas seulement la lettre "x", mais toute l'expression, donc trouver la dérivée immédiatement à partir de la table ne fonctionnera pas. On remarque aussi qu'il est impossible d'appliquer ici les quatre premières règles, il semble y avoir une différence, mais le fait est qu'il est impossible de "déchirer" le sinus :

Dans cet exemple, déjà d'après mes explications, il est intuitivement clair que la fonction est une fonction complexe, et le polynôme est une fonction interne (incorporation) et une fonction externe.

Premier pas, qui doit être effectuée lorsque la recherche de la dérivée d'une fonction complexe consiste à comprendre quelle fonction est interne et laquelle est externe.

Lorsque exemples simples il semble clair qu'un polynôme est imbriqué sous le sinus. Et si ce n'est pas évident ? Comment déterminer exactement quelle fonction est externe et laquelle est interne ? Pour ce faire, je vous propose d'utiliser la technique suivante, qui peut être réalisée mentalement ou sur un brouillon.

Imaginons que nous devions calculer la valeur de l'expression avec une calculatrice (au lieu d'une, il peut y avoir n'importe quel nombre).

Que calcule-t-on en premier ? D'abord vous devrez effectuer l'action suivante : , donc le polynôme sera une fonction interne :

en deuxième vous devrez trouver, donc le sinus - sera une fonction externe :

Après nous COMPRENDRE avec les fonctions internes et externes, il est temps d'appliquer la règle de différenciation des fonctions composées .

Nous commençons à décider. De la leçon Comment trouver la dérivée ? nous nous souvenons que la conception de la solution de toute dérivée commence toujours comme ceci - nous mettons l'expression entre parenthèses et mettons un trait en haut à droite :

D'abord on trouve la dérivée de la fonction externe (sinus), regarde le tableau des dérivées des fonctions élémentaires et remarque que . Toutes les formules tabulaires sont applicables même si "x" est remplacé par une expression complexe, dans ce cas:

Notez que la fonction interne n'a pas changé, on n'y touche pas.

Eh bien, il est bien évident que

Le résultat de l'application de la formule propre ressemble à ceci :

Le facteur constant est généralement placé au début de l'expression :

En cas de malentendu, écrivez la décision sur papier et relisez les explications.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction

Comme toujours, nous écrivons :

Nous déterminons où nous avons une fonction externe et où est une fonction interne. Pour ce faire, nous essayons (mentalement ou sur un brouillon) de calculer la valeur de l'expression pour . Que faut-il faire en premier ? Tout d'abord, vous devez calculer à quoi la base est égale :, ce qui signifie que le polynôme est la fonction interne :

Et, alors seulement l'exponentiation est effectuée, par conséquent, la fonction puissance est une fonction externe :

Selon la formule , vous devez d'abord trouver la dérivée de la fonction externe, dans ce cas, le degré. Nous recherchons la formule souhaitée dans le tableau :. Nous répétons encore : toute formule tabulaire est valable non seulement pour "x", mais aussi pour une expression complexe. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différenciation d'une fonction complexe suivant:

Je souligne à nouveau que lorsque nous prenons la dérivée de la fonction externe, la fonction interne ne change pas :

Reste maintenant à trouver une dérivée très simple de la fonction interne et à « peigner » un peu le résultat :

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple pour décision indépendante(réponse à la fin de la leçon).

Pour consolider la compréhension de la dérivée d'une fonction complexe, je vais donner un exemple sans commentaires, essayez de le comprendre par vous-même, raison, où est la fonction externe et où est la fonction interne, pourquoi les tâches sont-elles résolues de cette façon ?

Exemple 5

a) Trouver la dérivée d'une fonction

b) Trouver la dérivée de la fonction

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, nous avons une racine, et pour différencier la racine, il faut la représenter comme un degré. Ainsi, nous mettons d'abord la fonction dans la forme appropriée pour la différenciation:

En analysant la fonction, nous arrivons à la conclusion que la somme de trois termes est une fonction interne et que l'exponentiation est une fonction externe. On applique la règle de différentiation d'une fonction complexe :

Le degré est à nouveau représenté par un radical (racine), et pour la dérivée de la fonction interne, on applique une règle simple pour différencier la somme :

Prêt. Vous pouvez également amener l'expression à un dénominateur commun entre parenthèses et écrire tout comme une fraction. C'est beau, bien sûr, mais lorsque des dérivées longues encombrantes sont obtenues, il vaut mieux ne pas le faire (c'est facile de s'embrouiller, de faire une erreur inutile, et ce sera gênant pour l'enseignant de vérifier).

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple d'auto-résolution (réponse à la fin de la leçon).

Il est intéressant de noter que parfois, au lieu de la règle de différentiation d'une fonction complexe, on peut utiliser la règle de différentiation d'un quotient , mais une telle solution ressemblera à une perversion inhabituelle. Voici un exemple typique:

Exemple 8

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, vous pouvez utiliser la règle de différenciation du quotient , mais il est bien plus profitable de trouver la dérivée par la règle de différentiation d'une fonction complexe :

Nous préparons la fonction pour la différenciation - nous retirons le signe moins de la dérivée et élevons le cosinus au numérateur:

Le cosinus est une fonction interne, l'exponentiation est une fonction externe.
Utilisons notre règle :

Nous trouvons la dérivée de la fonction interne, réinitialisons le cosinus :

Prêt. Dans l'exemple considéré, il est important de ne pas se tromper dans les signes. Au fait, essayez de le résoudre avec la règle , les réponses doivent correspondre.

Exemple 9

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple d'auto-résolution (réponse à la fin de la leçon).

Jusqu'à présent, nous avons considéré des cas où nous n'avions qu'une seule imbrication dans une fonction complexe. Dans les tâches pratiques, vous pouvez souvent trouver des dérivés, où, comme des poupées imbriquées, les unes dans les autres, 3 ou même 4-5 fonctions sont imbriquées à la fois.

Exemple 10

Trouver la dérivée d'une fonction

Nous comprenons les pièces jointes de cette fonction. Nous essayons d'évaluer l'expression en utilisant la valeur expérimentale . Comment compterions-nous sur une calculatrice?

Vous devez d'abord trouver, ce qui signifie que l'arc sinus est l'imbrication la plus profonde :

Cet arcsinus de l'unité doit alors être élevé au carré :

Et enfin, nous élevons les sept à la puissance :

Autrement dit, dans cet exemple, nous avons trois fonctions différentes et deux imbrications, tandis que la fonction la plus interne est l'arc sinus et la fonction la plus externe est la fonction exponentielle.

Nous commençons à décider

Selon la règle vous devez d'abord prendre la dérivée de la fonction externe. Nous regardons dans le tableau des dérivées et trouvons la dérivée fonction exponentielle: La seule différence est qu'au lieu de "x" nous avons expression complexe, ce qui n'invalide pas la validité de cette formule. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différenciation d'une fonction complexe suivant.

Dérivation de la formule dérivée fonction de puissance(x à la puissance a). Les dérivés des racines de x sont considérés. La formule de la dérivée d'une fonction puissance d'ordre supérieur. Exemples de calcul de dérivées.

La dérivée de x à la puissance a est a fois x à la puissance a moins un :
(1) .

La dérivée de la nième racine de x à la mième puissance est :
(2) .

Dérivation de la formule de la dérivée d'une fonction puissance

Cas x > 0

Considérons une fonction puissance de la variable x d'exposant a :
(3) .
Ici a est un nombre réel arbitraire. Considérons d'abord le cas.

Pour trouver la dérivée de la fonction (3), nous utilisons les propriétés de la fonction puissance et la transformons sous la forme suivante :
.

On trouve maintenant la dérivée en appliquant :
;
.
Ici .

La formule (1) est démontrée.

Dérivation de la formule de la dérivée de la racine du degré n de x au degré m

Considérons maintenant une fonction qui est la racine de la forme suivante :
(4) .

Pour trouver la dérivée, nous convertissons la racine en une fonction puissance :
.
En comparant avec la formule (3), on voit que
.
Puis
.

Par la formule (1) on trouve la dérivée :
(1) ;
;
(2) .

En pratique, il n'est pas nécessaire de mémoriser la formule (2). Il est beaucoup plus pratique de convertir d'abord les racines en fonctions puissances, puis de trouver leurs dérivées à l'aide de la formule (1) (voir exemples en fin de page).

Cas x = 0

Si , alors la fonction exponentielle est également définie pour la valeur de la variable x = 0 . Trouvons la dérivée de la fonction (3) pour x = 0 . Pour ce faire, nous utilisons la définition d'une dérivée :
.

Remplacer x = 0 :
.
Dans ce cas, par dérivée, nous entendons la limite de droite pour laquelle .

Nous avons donc trouvé :
.
De cela, on peut voir qu'à , .
À , .
À , .
Ce résultat est également obtenu par la formule (1) :
(1) .
Par conséquent, la formule (1) est également valable pour x = 0 .

cas x< 0

Considérons à nouveau la fonction (3) :
(3) .
Pour certaines valeurs de la constante a , elle est également définie pour les valeurs négatives de la variable x . À savoir, laissez un être nombre rationnel. Elle peut alors être représentée par une fraction irréductible :
,
où m et n sont des entiers sans diviseur commun.

Si n est impair, alors la fonction exponentielle est également définie pour les valeurs négatives de la variable x. Par exemple, pour n = 3 et m = 1 on a racine cubique de x :
.
Il est également défini pour les valeurs négatives de x .

Trouvons la dérivée de la fonction puissance (3) pour et pour les valeurs rationnelles de la constante a , pour lesquelles elle est définie. Pour ce faire, nous représentons x sous la forme suivante :
.
Puis ,
.
On trouve la dérivée en retirant la constante du signe de la dérivée et en appliquant la règle de différenciation d'une fonction complexe :

.
Ici . Mais
.
Parce qu'alors
.
Puis
.
Autrement dit, la formule (1) est également valable pour :
(1) .

Dérivés d'ordres supérieurs

Maintenant, nous trouvons les dérivées d'ordre supérieur de la fonction puissance
(3) .
Nous avons déjà trouvé la dérivée du premier ordre :
.

En retirant la constante a du signe de la dérivée, on trouve la dérivée du second ordre :
.
De même, on trouve des dérivées des troisième et quatrième ordres :
;

.

De là, il est clair que dérivée d'un nième ordre arbitraire a la forme suivante :
.

remarquerez que si un est entier naturel , , alors la dérivée n est constante :
.
Alors toutes les dérivées suivantes sont égales à zéro :
,
à .

Exemples dérivés

Exemple

Trouver la dérivée de la fonction :
.

Solution

Convertissons les racines en puissances :
;
.
Alors la fonction originale prend la forme :
.

On trouve des dérivées de degrés :
;
.
La dérivée d'une constante est nulle :
.

L'opération consistant à trouver une dérivée s'appelle la différenciation.

À la suite de la résolution de problèmes de recherche de dérivées des fonctions les plus simples (et pas très simples) en définissant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, un tableau des dérivées et des règles de différenciation définies avec précision est apparu . Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ont été les premiers à travailler dans le domaine de la recherche de dérivés.

Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée d'une fonction, il n'est pas nécessaire de calculer la limite susmentionnée du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, mais il suffit d'utiliser le tableau des dérivés et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.

Pour trouver la dérivée, vous avez besoin d'une expression sous le signe du trait décomposer des fonctions simples et déterminer quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. De plus, nous trouvons les dérivées des fonctions élémentaires dans le tableau des dérivées et les formules des dérivées du produit, de la somme et du quotient - dans les règles de différenciation. Le tableau des dérivées et les règles de différenciation sont donnés après les deux premiers exemples.

Exemple 1 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. D'après les règles de différenciation, nous découvrons que la dérivée de la somme des fonctions est la somme des dérivées des fonctions, c'est-à-dire

À partir du tableau des dérivées, nous découvrons que la dérivée de "X" est égale à un et que la dérivée du sinus est le cosinus. Nous substituons ces valeurs dans la somme des dérivées et trouvons la dérivée requise par la condition du problème :

Exemple 2 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous différencions comme une dérivée de la somme, dans laquelle le second terme avec un facteur constant peut être retiré du signe de la dérivée :

S'il y a encore des questions sur l'origine de quelque chose, elles deviennent généralement claires après avoir lu le tableau des dérivés et les règles de différenciation les plus simples. Nous allons vers eux en ce moment.

Tableau des dérivées de fonctions simples

1. Dérivée d'une constante (nombre). Tout nombre (1, 2, 5, 200...) qui se trouve dans l'expression de la fonction. Toujours zéro. Ceci est très important à retenir, car il est très souvent nécessaire
2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent "x". Toujours égal à un. Ceci est également important à retenir
3. Dérivé du degré. Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez convertir des racines non carrées en une puissance.
4. Dérivée d'une variable à la puissance -1
5. Dérivé racine carrée
6. Dérivée sinusoïdale
7. Dérivée du cosinus
8. Dérivée tangente
9. Dérivée de la cotangente
10. Dérivée de l'arc sinus
11. Dérivée de l'arc cosinus
12. Dérivée de l'arc tangente
13. Dérivée de la tangente inverse
14. Dérivée du logarithme naturel
15. Dérivée d'une fonction logarithmique
16. Dérivée de l'exposant
17. Dérivée de la fonction exponentielle

Règles de différenciation

1. Dérivée de la somme ou de la différence
2. Dérivé d'un produit
2a. Dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant
3. Dérivée du quotient
4. Dérivée d'une fonction complexe

Règle 1Si les fonctions

sont dérivables en un point , alors au même point les fonctions

et

celles. la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions.

Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent par une constante, alors leurs dérivées sont, c'est à dire.

Règle 2Si les fonctions

sont dérivables à un moment donné, alors leur produit est également dérivable au même point

et

celles. la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et la dérivée de l'autre.

Conséquence 1. Le facteur constant peut être extrait du signe de la dérivée:

Conséquence 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions différentiables est égale à la somme des produits de la dérivée de chacun des facteurs et de tous les autres.

Par exemple, pour trois multiplicateurs :

Règle 3Si les fonctions

différenciable à un moment donné et , alors, à ce stade, leur quotient est également différentiable.u/v , et

celles. la dérivée d'un quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et du numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur .

Où chercher sur d'autres pages

Lors de la recherche de la dérivée du produit et du quotient dans des problèmes réels, il est toujours nécessaire d'appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, donc plus d'exemples sur ces dérivées sont dans l'article."La dérivée d'un produit et d'un quotient".

Commenter. Il ne faut pas confondre une constante (c'est-à-dire un nombre) avec un terme de la somme et avec un facteur constant ! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas d'un facteur constant, elle est retirée du signe des dérivées. Cette erreur typique, qui se produit le stade initial l'apprentissage des dérivés, mais comme ils résolvent plusieurs exemples à un ou deux composants, l'étudiant moyen ne commet plus cette erreur.

Et si, pour différencier un produit ou un quotient, vous avez un terme tu"v, dans lequel tu- un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et, par conséquent, le terme entier sera égal à zéro (un tel cas est analysé dans l'exemple 10) .

Autre erreur commune- solution mécanique de la dérivée d'une fonction complexe en dérivée d'une fonction simple. Alors dérivée d'une fonction complexe consacrée à un article séparé. Mais d'abord, nous allons apprendre à trouver des dérivées de fonctions simples.

En cours de route, vous ne pouvez pas vous passer des transformations d'expressions. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir de nouveaux manuels Windows Actions avec des pouvoirs et des racines et Actions avec fractions .

Si vous recherchez des solutions aux dérivées avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , puis suivez la leçon " Dérivée de la somme de fractions avec puissances et racines".

Si vous avez une tâche comme , alors vous êtes dans la leçon "Dérivées de fonctions trigonométriques simples".

Exemples étape par étape - comment trouver la dérivée

Exemple 3 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. On détermine les parties de l'expression de la fonction : l'expression entière représente le produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde desquelles l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits : la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions et la dérivée de l'autre :

Ensuite, on applique la règle de différenciation de la somme : la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, dans chaque somme, le second terme avec un signe moins. Dans chaque somme, on voit à la fois une variable indépendante dont la dérivée est égale à un et une constante (nombre) dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, "x" se transforme en un et moins 5 - en zéro. Dans la deuxième expression, "x" est multiplié par 2, nous multiplions donc deux par la même unité que la dérivée de "x". On obtient les valeurs de dérivées suivantes :

Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition du problème :

Exemple 4 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. On est obligé de trouver la dérivée du quotient. On applique la formule de différentiation d'un quotient : la dérivée d'un quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et du numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de l'ancien numérateur. On a:

Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oublions pas non plus que le produit, qui est le deuxième facteur au numérateur, est pris avec un signe moins dans l'exemple actuel :

Si vous cherchez des solutions à de tels problèmes dans lesquels vous devez trouver la dérivée d'une fonction, où il y a un tas continu de racines et de degrés, comme, par exemple, alors bienvenue en classe "La dérivée de la somme des fractions avec des puissances et des racines" .

Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , alors vous avez une leçon "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .

Exemple 5 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction, on voit un produit dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous nous sommes familiarisés avec la dérivée dans le tableau des dérivées. D'après la règle de différenciation des produits et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, on obtient :

Exemple 6 Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction, on voit le quotient dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. D'après la règle de différenciation du quotient, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, on obtient :

Pour supprimer la fraction du numérateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par .