Si les côtés sont perpendiculaires alors ils sont égaux. Angles à côtés parallèles entre eux, coins à côtés perpendiculaires entre eux

Enseignement de la planimétrie dans le cursus scolaire.

Numéro du lycée 000

Lycée numéro 000.

« Si une seule et même affaire est confiée

deux également ignorants

les gens et l'un d'eux est un mathématicien,

le mathématicien le fera mieux »,

introduction

Maîtriser presque toutes les professions modernes nécessite certaines connaissances mathématiques. Comprendre le rôle des mathématiques dans monde moderne, les connaissances mathématiques sont devenues composante essentielle culture générale. Pour la réalisation de soi dans la vie, la possibilité d'une activité productive dans le monde de l'information, une formation mathématique suffisamment solide est requise.

Le rôle et la place des mathématiques dans la science et la vie de la société, la valeur de l'enseignement des mathématiques, l'humanisation et l'humanisation de l'enseignement, la compréhension de la matière mathématique, la structure de la personnalité déterminent les objectifs de l'enseignement des mathématiques. Il existe trois groupes d'objectifs, en les corrélant avec des fonctions éducatives générales, éducatives et pratiques.

Ø L'enseignement des mathématiques comprend la maîtrise d'un système de connaissances, de compétences et d'aptitudes mathématiques qui donne une idée du sujet des mathématiques, de son langage et de ses symboles, des périodes de développement, de la modélisation mathématique, des techniques mathématiques spéciales, des méthodes scientifiques générales de base de la cognition.

Ø Formation de la vision du monde des étudiants, composantes logiques et heuristiques de la pensée, éducation à la morale, culture de la communication, indépendance, activité, éducation à l'assiduité, responsabilité dans la prise de décision, aspiration à la réalisation de soi.

Ø La spécification des objectifs constitutifs individuels est importante pour construire un ensemble d'objectifs de leçon, en adéquation avec le contenu du sujet du matériel pédagogique. La transformation des finalités de l'éducation en actions permettra de diagnostiquer et de gérer le processus d'assimilation des connaissances, des compétences, du développement et de l'éducation d'un étudiant.

Au niveau du processus éducatif réel, les objectifs d'apprentissage se forment en tenant compte des caractéristiques des élèves, des possibilités de différenciation de leurs apprentissages.

Dans le processus d'activité mathématique des étudiants, l'arsenal de techniques et de méthodes de pensée comprend l'induction et la déduction, la généralisation et la concrétisation, l'analyse et la synthèse, la classification et la systématisation, l'abstraction, l'analogie. Les objets des inférences mathématiques et les règles de leur conception révèlent le mécanisme des constructions logiques, développent la capacité de formuler, de justifier et de prouver des jugements, développant ainsi la pensée logique. Le rôle principal appartient aux mathématiques dans la formation de la pensée algorithmique, favorisant la capacité d'agir selon un algorithme donné et d'en construire de nouveaux au cours de la résolution de problèmes, base de l'activité éducative dans les cours de mathématiques. Les aspects créatifs et appliqués de la pensée sont en cours de développement.

objections à la réduction cours d'école mathématiques;

· Évaluation du programme de cours comme surchargé d'informations inutiles ou trop particulières (par exemple, beaucoup de formules à mémoriser) ;

Parler de l'insuffisance évidente des heures allouées aux mathématiques (en tant que principal outil de développement pensée logiqueécoliers, etc.);

les exigences des cours de mathématiques à l'école et les examens d'entrée; qualification des enseignants de mathématiques, pour toute réforme de l'enseignement, toute restructuration du programme n'est vouée à la réussite que si les enseignants y sont bien préparés en amont.

Actuellement, il y a pas mal de manuels dans l'arsenal de l'enseignant pour chaque parallèle. Lors du choix d'un système particulier, chaque enseignant procède naturellement de ses propres critères et des spécificités de l'établissement d'enseignement. Cependant, il est nécessaire de prendre en compte la possibilité de mettre en place des liens successifs entre les formations, ainsi que d'analyser la possibilité d'organiser des formations différenciées. L'enseignant, en fonction des conditions particulières de travail, du niveau de formation des élèves, peut organiser une formation à part entière processus d'étude... L'étudiant a une réelle opportunité, étudiant dans une classe et selon un programme, de choisir le niveau d'assimilation qui correspond à ses besoins, intérêts, capacités. Le minimum obligatoire en mathématiques détermine la liste des questions qui doivent être présentées dans le programme et les manuels de mathématiques, quels que soient leur niveau et leur orientation. En d'autres termes, des programmes et manuels spécifiques utilisés dans une institution particulière peuvent augmenter ce niveau, mais pas le réduire ou le réduire.

Sélection de niveau formation mathématique devrait être déterminé par les besoins des étudiants, par conséquent, dans les établissements d'enseignement profils humanitaires, juridiques et autres, il est conseillé d'utiliser un programme approfondi en mathématiques, car leurs diplômés vont également dans des universités techniques. En plus de cela, des études sérieuses en mathématiques sont nécessaires à la formation et au développement de la pensée logique.

L'essence de la géométrie est contradictoire : "... elle étudie directement des figures géométriques idéales qui n'existent pas dans la réalité, mais ses conclusions sont applicables à des choses réelles, à des problèmes pratiques." La tâche de tout enseignant est de rapprocher les élèves de leur compréhension, sans occulter la géométrie elle-même aux écoliers avec de nombreux sondages, contrôles, tests, permettant aux enfants de choisir leur propre niveau de connaissance de la géométrie. Chaque choix est digne de l'objectif auquel est confronté l'élève, déterminé parfois intuitivement, mais librement. Souvent, l'adhésion persistante à un objectif fixé, la persistance à l'atteindre n'ont aucun sens, surtout si l'objectif de l'enseignant n'est pas celui de l'élève. Probablement, cela vaut la peine d'essayer d'apprendre à organiser les activités des élèves des cours de géométrie afin qu'ils ne soient pas contraints par nos objectifs, nos questions, afin qu'ils soient ouverts à toutes les perceptions. L'enfant va à l'école avec beaucoup de questions, mais l'école elle-même l'a préparé plusieurs fois plus de questions... Elle répond également à ses propres questions, et se fâche même lorsque ses réponses sont mal perçues.

L'un des chemins de la cognition consiste en de telles étapes : la pensée, une chaîne de réflexions, et enfin, un résultat de recherche strictement logique et souhaité. La deuxième voie, plus ouverte, que j'aimerais mettre en œuvre à travers le généreux ensemble de tâches proposées pour chaque sujet. Lors de l'utilisation de ce chemin, la pensée ne ralentit pas l'imagination, ne ferme pas la recherche intuitive, il n'y a pas de poursuite des pensées, il n'y a pas de saut rapide vers le but, mais une perception calme et sans hâte, l'observation règne, la sensibilité apparaît, il semblerait un étranger, mais parfois c'est cet étranger qui enrichit la recherche, mène au but. Combien de fois dans la salle de classe nous pressons les enfants, nous les exhortons comme un fouet avec les mots : « Pensez. Pense. " Ou peut-être, en effet, celui qui cherche trop n'aura-t-il pas le temps de le trouver ?

Notre tâche avec vous est de rechercher des voies menant à la connaissance de la géométrie. Réfléchissons à la façon d'aider les enfants à découvrir les vérités, les vérités de la géométrie. Par quoi l'enseignant doit-il être guidé dans ce cas, quelle tactique et quelle stratégie doit-il choisir ? Que doit faire un enseignant en classe ? Que ce soit pour défendre les connaissances, les capacités, les compétences, en affirmant que la connaissance est le pouvoir, ou pour essayer de toutes nos forces d'organiser le processus éducatif de manière à ce que la connaissance n'éclipse pas la connaissance, ne détourne pas l'âme de l'enfant de la connaissance.

Peut-être que la sagesse de l'enseignant réside dans la connaissance des secrets de la découverte, les secrets de la connaissance et, en particulier, les secrets de la géométrie, dans la capacité de créer une atmosphère dans la classe qui contribue à la maîtrise de ces techniques de perception et de cognition. . Logique du professeur et logique de l'élève, dans quelles relations doivent-elles être dans la leçon ? De plus? Peut-être lorsque l'enseignant ne propose pas une série de questions clairement réfléchies, mais un enchaînement de tâches, de réflexion sur lesquelles l'élève, sa pensée fait tout le travail nécessaire pour l'instant avant l'ouverture. Alors la logique de l'enseignant est dans le rapport nécessaire avec la logique de l'élève. Ou peut-être que la base de la recherche est de choisir l'intuition, de la libérer, de la stimuler, de s'appuyer sur elle ? Ou autre chose?

Peut-être que parmi tous les manuels et parmi toutes les leçons, le manuel pour la 7e année est le plus important et la première leçon - c'est le plus responsable, car ce sont eux qui introduisent un cours systématique dans l'étude. Dès les premières leçons, dès la lecture des toutes premières pages du manuel, cela dépend si le processus d'apprentissage sera réussi, s'il sera possible de développer un intérêt soutenu pour la matière chez les écoliers. Pas un seul étudiant n'est placé sur la voie d'étudier un cours de géométrie à quelque niveau que ce soit. Le seul obstacle n'est peut-être pas la complexité du matériel, ni la difficulté de présentation, mais le manque d'intérêt pour la lecture des pages suivantes du manuel. Cependant, ayant étudié la théorie même au tout premier niveau (visuel), l'étudiant peut résoudre n'importe quel problème sur un sujet donné, car il aura suffisamment de connaissances pour le résoudre.

Passons à la caractérisation des niveaux de maîtrise du matériel pédagogique et expliquons à l'enseignant comment il peut trouver le matériel lié à chacun d'eux.

Le premier niveau est l'enseignement général, humanitaire. Il comprend un contenu que chaque étudiant doit maîtriser. En géométrie, l'étude d'un tel matériau se fait au niveau visuel, c'est pourquoi nous appelons le premier niveau visuel. Il comprend des définitions de concepts, accompagnées d'un grand nombre d'illustrations, la formulation de théorèmes, une explication de leur signification dans les dessins, les conclusions logiques les plus simples.

Au deuxième niveau, il y a une expansion du matériel du premier niveau., des problèmes de nature appliquée sont résolus, on montre comment la connaissance géométrique est appliquée à la connaissance du monde. Nous appelons ce niveau le niveau appliqué. À ce niveau, les étudiants doivent maîtriser les preuves de la plupart des théorèmes.

Enfin, le troisième niveau est un approfondissement important de la matière du premier niveau, sa justification suffisamment complète est donnée. Ce niveau avancé comprend les preuves théoriques les plus difficiles, les problèmes théoriques. Le troisième niveau est également problématique.

Nous avons mis en évidence le premier niveau d'assimilation - visuel - pratique, dans lequel les écoliers, en tant que physiciens, tirent des informations de l'expérience. L'élève doit imaginer un objet, le décrire, résoudre un problème simple le concernant. Et peu importe si en même temps il ne peut pas prononcer avec précision la définition. A ce niveau, la connaissance visuo-opérationnelle du sujet est essentielle, contenant des représentations visuelles et la capacité de les faire fonctionner correctement.

Lors de l'étude de la géométrie, il est nécessaire d'inviter les étudiants à formuler indépendamment la définition d'un concept. Cela ne se fait pas du tout pour que les gars le mémorisent plus tard, mais pour que, tout en participant à ce processus, ils approfondissent le sens du concept, apprennent la structure de la définition elle-même et plusieurs formulations de théorèmes. Cela contribuera à une meilleure assimilation du matériel pédagogique pertinent. Les découvertes des enfants sont un formidable stimulant pour l'apprentissage.

Il est généralement admis qu'un cours de géométrie doit enseigner la pensée logique. Cependant, de nombreux étudiants apprennent souvent moins la logique des formulations et des preuves qu'ils les mémorisent formellement. L'un des premiers moyens de surmonter ce danger est de réduire le nombre d'énoncés et de preuves que l'élève doit connaître (apprendre, se souvenir). Si nous voulons enseigner à penser logiquement, alors nous devons enseigner cela, et non la mémorisation mécanique d'un raisonnement tout fait. Par conséquent, les formulations doivent être considérées davantage comme des exercices pour le développement de la pensée logique, et non comme des postulats que vous devez absolument connaître par cœur. Il est utile pour les étudiants d'analyser, et non de mémoriser sans réfléchir, autant de preuves que possible et de résoudre autant de problèmes de preuve que possible : c'est beaucoup plus agréable et utile pour un étudiant s'il se comprend, fait au moins une petite conclusion sur son propre, et ne mémorise pas le raisonnement des autres (sans compter bien sûr ceux qui sont particulièrement instructifs, spirituels et gracieux).

La logique de la géométrie n'est pas seulement dans les formulations individuelles, mais dans l'ensemble de leur système dans son ensemble. Le sens de chaque définition, chaque théorème, preuve n'est finalement déterminé que par ce système. Ce qui fait de la géométrie une théorie intégrale, et non une collection de définitions et d'énoncés séparés. Par conséquent, nous suggérons à nos collègues d'essayer de ne pas demander aux étudiants d'évaluer des preuves de théorèmes pendant un certain temps, mais de mettre cette enquête à la fin d'un sujet assez vaste comme un test théorique, ce que nous faisons au Lycée. Les enfants doivent s'habituer aux concepts et termes mêmes «théorème», «donné», «prouver», «preuve», comprendre leur sens. Bien sûr, des théorèmes doivent être prouvés. Il peut être plus d'une fois de démonter leurs épreuves en classe : frontalement par paires, sur des dessins différents. Il est tout à fait possible que de notre point de vue, avant de prouver le théorème, immédiatement après avoir analysé sa formulation, on procède à la résolution de problèmes. Et lorsque les élèves s'habituent à la formulation, comprennent sa signification, vous pouvez commencer à analyser les preuves. A cette époque, les étudiants ont déjà, dans une certaine mesure, développé un goût pour la recherche de la vérité. Respect pour elle.

Bien sûr, si l'enseignement est complètement fermé uniquement sur la connaissance géométrique elle-même, alors le développement des compétences et des éléments de pensée logique perspectives scientifiques sera réalisée dans le cadre de cette seule science. Par conséquent, l'enseignant doit constamment attirer l'attention des étudiants sur le lien de la géométrie avec d'autres sciences et pratiques et montrer la valeur universelle (et non pour la géométrie seule) de l'exigence de preuve et d'exactitude dans l'établissement de la vérité. Ce point est particulièrement important pour les élèves qui n'ont pas une motivation suffisante pour étudier la géométrie en tant que science, contrairement aux enfants motivés et intéressés qui n'ont pas besoin d'être poussés et stimulés à nouveau pour résoudre des problèmes complexes et non standard, considérez différentes options solutions. La pratique montre également que les élèves aiment écouter les histoires de l'enseignant sur l'histoire de la matière. Lors de la première leçon, vous pouvez proposer aux étudiants plus forts qui sont intéressés de résoudre simplement des problèmes beaux, intéressants, inhabituels dans leur forme et leurs méthodes de résolution de problèmes. Tâches qui permettraient aux élèves de découvrir quelque chose de nouveau. Pour les élèves peu motivés, le processus est important, ils veulent construire, dessiner des formes géométriques de leurs propres mains, et il faut justifier leurs attentes, surtout dans les tout premiers cours, les inviter à dessiner des ornements qui incluent diverses formes géométriques, et ensuite le début émotionnel de ces leçons sera fourni. La première leçon est importante, comme un diapason, elle donne le ton à tous les travaux.

Une chose que je veux souligner : maintenant, quand il n'y a pas d'examen obligatoire en géométrie, peut-être que cela ne vaut pas la peine de poursuivre la connaissance pour détourner un enfant d'une science aussi merveilleuse et indiciblement utile, qu'est-ce que la géométrie ? Peut-être une fois dans sa vie pour travailler tranquillement. Pour que l'épée de Damoclès ne pèse pas sur vous des marques, des appréciations. De sorte que dans la leçon, l'enseignant et l'élève étaient égaux en connaissances, en opportunités potentielles. Avoir une GEOMETRIE.

Quels sont les problèmes les plus difficiles en mathématiques élémentaires ? La plupart des lecteurs répondront probablement : géométrique. Pourquoi? Oui, car en algèbre, trigonométrie, débuts analyse mathematique toute une série d'algorithmes de résolution de problèmes typiques ont été développés. S'il y a un algorithme, cela signifie qu'il y a un programme d'actions, et donc les difficultés, s'il y en a, sont le plus souvent de nature technique plutôt que fondamentale.

Les problèmes géométriques sont une autre affaire. En règle générale, il n'y a pas d'algorithmes pour leur solution, et il n'est pas facile de choisir le théorème le plus approprié pour un cas donné à partir d'une longue liste de théorèmes. Par conséquent, la recette principale est de nature plus philosophique que didactique : si vous voulez apprendre à résoudre des problèmes géométriques, résolvez-les ! Néanmoins, il existe quelques dispositions générales qu'il est utile de connaître lors de la résolution de problèmes géométriques. Nous aimerions parler de ces dispositions générales.

Lors de la résolution de problèmes géométriques, trois méthodes principales sont généralement utilisées : géométrique- lorsque l'énoncé requis est dérivé à l'aide d'un raisonnement logique d'un certain nombre de théorèmes bien connus ; algèbresracé- lorsque la valeur géométrique souhaitée est calculée en fonction de diverses dépendances entre les éléments de figures géométriques directement ou à l'aide d'équations ; combiné- lorsqu'à certaines étapes la solution est effectuée par la méthode géométrique, et à d'autres - par la méthode algébrique.

Quelle que soit la voie de solution choisie, le succès de son utilisation dépend, bien entendu, de la connaissance des théorèmes et de la capacité à les appliquer. Sans considérer ici tous les théorèmes de planimétrie, prêtons attention à ceux d'entre eux qui, d'une part, sont activement utilisés dans la résolution de problèmes, mais, d'autre part, comme le montre l'expérience, ne sont pas toujours « au premier niveau de la mémoire" chez les élèves. Vous devez aimer ces théorèmes, en faire vos assistants, pour que les étudiants leur donnent la préférence.

Nous allons exprimer ces théorèmes et montrer comment ils fonctionnent sur des problèmes spécifiques.

Lors de la résolution de problèmes, en règle générale, des étapes de raisonnement distinctes sont enregistrées. Ceci est fait pour plus de commodité, pour faciliter le suivi du raisonnement. Et je voudrais aussi noter : les tâches seront de différentes difficultés, mais celles qui sont les plus utiles à l'enseignant en termes méthodologiques.

TRIANGLES ET TETRAGONES.

En résolvant des problèmes sur les triangles et les quadrangles, nous prêtons attention aux théorèmes suivants :

THÉORÈME 1. Égalité des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires :

Si les deux sont pointus ou les deux sont émoussés et, alors .

THÉORÈME 2. Propriétés de la ligne médiane d'un trapèze :

A) la ligne médiane du trapèze est parallèle aux bases du trapèze ;

B) la ligne médiane est égale à la demi-somme des bases du trapèze ;

B) la ligne médiane (et seulement elle) divise en deux tout segment compris entre les bases du trapèze.

Ces propriétés sont également valables pour la ligne médiane d'un triangle, si le triangle est considéré comme un trapèze « dégénéré », dont l'une des bases a une longueur égale à zéro.

THÉORÈME 3. Sur les points d'intersection des médianes, bissectrices, hauteurs du triangle :

A) les trois médianes du triangle se coupent en un point (c'est ce qu'on appelle le centre de gravité du triangle) et sont divisées en ce point dans un rapport de 2 : 1, à partir du sommet ;

B) trois bissectrices du triangle se coupent en un point;

C) trois hauteurs se coupent en un point (on l'appelle l'orthocentre du triangle).

THÉORÈME 4. Propriété de la médiane dans un triangle rectangle :

dans un triangle rectangle, la médiane tracée à l'hypoténuse est égale à sa moitié.

Le théorème inverse est également vrai : si dans un triangle l'une des médianes est égale à la moitié du côté auquel elle est dessinée, alors ce triangle est rectangle

THÉORÈME 5.Propriété de la bissectrice de l'angle interne d'un triangle :

La bissectrice du coin intérieur d'un triangle divise le côté auquel il est dessiné en parties proportionnelles aux côtés opposés :

THÉORÈME 6. Relations métriques dans un triangle rectangle :

Siun etb - les jambes,c - hypoténuse,h - hauteur, et - projection des jambes sur l'hypoténuse, puis : a) ; b); v) ; G) ; e)

THÉORÈME 7. Définition de la forme d'un triangle par ses côtés :

Laisser êtreune,b,c - côtés du triangle, avec c - le plus grand côté; alors:

A) si, alors le triangle est à angle aigu;

B) si, alors le triangle est rectangulaire;

C) si, alors le triangle est obtus.

THÉORÈME 8. Rapports métriques dans un parallélogramme :

La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de tous ses côtés :

.

Lors de la résolution de problèmes géométriques, il est souvent nécessaire d'établir l'égalité de deux segments (ou angles). Nous indiquons Il existe trois manières principales de prouver l'égalité de deux segments en termes géométriques :

1) considérer les segments comme les côtés de deux triangles et prouver que ces triangles sont égaux ;

2) représenter les segments comme les côtés d'un triangle et prouver que ce triangle est isocèle ;

3) remplacer le segment une un segment égal https://pandia.ru/text/78/456/images/image008_12.gif "width =" 17 "height =" 19 src = "> et prouver l'égalité des segments et.

Objectif 1.Deux droites perpendiculaires entre elles coupent les côtésUN B,AVANT JC,CD,Carré ADABCD en pointsE,F,K,L respectivement. Prouve-leCE =FL (voir fig. Au problème n° 1).

Solution: 1. En utilisant le premier des chemins d'égalité ci-dessus de deux segments, nous dessinons des segments et - ensuite les segments qui nous intéressent CE et Floride devenir les côtés de deux triangles rectangles EPK et Fml(voir fig. au problème №1).

2 ... Nous avons: PC =FM(plus de détails: PC =UN D,DA =UN B,AB =FM signifiePC =FM),(comme des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires, théorème 1). Par conséquent, (sur la jambe et angle vif). L'égalité des triangles rectangles implique l'égalité de leurs hypoténuses, c'est-à-dire les segments CE et Floride. ■

Notez que lors de la résolution de problèmes géométriques, vous devez souvent faire des constructions supplémentaires, par exemple les suivantes : tracer une ligne droite, parallèle ou perpendiculaire à l'une de celles de la figure (comme nous l'avons fait dans le problème 1); doubler la médiane du triangle pour compléter le triangle en parallélogramme (comme nous le ferons au problème 2), tracer une bissectrice auxiliaire. Il existe des constructions supplémentaires utiles liées au cercle.

Objectif 2.Les côtés sont égauxune,b,c. Calculez la médiane tracée vers le côté C. (Voir fig. Au problème 2).

Solution: On double la médiane en complétant l'ACVR au parallélogramme, et on applique à ce parallélogramme le théorème 8. On obtient :, c'est-à-dire : , d'où l'on trouve :

Objectif 3.Montrer que dans tout triangle, la somme des médianes est supérieure à ¾ du périmètre, mais inférieure au périmètre.

Solution: 1. Considérez https://pandia.ru/text/78/456/images/image036_6.gif "width =" 131 "height =" 41 "> ; ... Parce que AM + MS> AC, alors

https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif "alt =" (! LANG : Signature :" align="left" width="148" height="32">Проведя аналогичные рассуждения для треугольников АМВ и ВМС, получим:!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image041_3.gif "width =" 111 "height =" 41 src = "> (3)

En additionnant les inégalités (1), (2), (3), on obtient : ,

c'est-à-dire que nous avons prouvé que la somme des médianes est supérieure à ¾ du périmètre.

2. Doubler la médiane BD, compléter le triangle au parallélogramme (voir la figure pour le problème 3) .. gif "width =" 80 "height =" 24 src = "> (4)

De même : https://pandia.ru/text/78/456/images/image039_4.gif "alt =" (! LANG : Signature : Fig. Vers problème n°3" align="left hspace=12" width="148" height="32"> (6)!}

En ajoutant les inégalités (4), (5), (6), on obtient : https://pandia.ru/text/78/456/images/image049_2.gif "align =" left "width =" 159 "height =" 93 "> Solution: Soit ASB un triangle rectangle, https://pandia.ru/text/78/456/images/image051_2.gif "width =" 233 "height =" 21 "> (voir la figure du problème 4).

1. comme des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires (https://pandia.ru/text/78/456/images/image054_2.gif "alt =" (! LANG : Signature :" align="left" width="148" height="33">!} 2. Puisque (voir théorème 4), alors CM = MV, et d'où nous concluons que So,

3. Puisque et (après tout, CD est une bissectrice), c'est ce qu'il fallait prouver. ■

Tâche 5. Dans un parallélogramme à côtésune etb les bissectrices sont tracées coins intérieurs(voir la figure du problème 5). Trouvez les longueurs des diagonales du quadrilatère formé à l'intersection des bissectrices.

Solution: 1 ..gif "largeur =" 27 hauteur = 17 "hauteur =" 17 "> (voir fig.). comme dans le parallélogramme c'est-à-dire que dans le triangle ABK la somme des angles A et B est de 900, alors l'angle K est de 900, c'est-à-dire que les bissectrices AE et BP sont mutuellement perpendiculaires.

La perpendicularité mutuelle des bissectrices AE et DQ, BP et CF, CF et DQ est prouvée de la même manière.

CONCLUSION : KLMN est un rectangle à angles droits, c'est-à-dire un rectangle. Pour un rectangle, les diagonales sont égales, il suffit donc de trouver la longueur de l'une d'elles, par exemple KM.

2. Considérez qu'Il a AK - à la fois la bissectrice et la hauteur. Cela signifie, premièrement, que le triangle ABP est isocèle, c'est-à-dire AB = AR = b, et, d'autre part, que le segment AK est simultanément la médiane du triangle ABP, c'est-à-dire que K est le milieu de la bissectrice BP.

On prouve de même que M est le milieu de la bissectrice DQ.

3. Considérez le segment CM. Il divise par deux BP et DQ. Mais aussi la ligne médiane du parallélogramme (notez que le parallélogramme est cas particulier trapèze; si on peut parler de la ligne médiane d'un trapèze, alors on peut aussi bien parler de la ligne médiane d'un parallélogramme, qui a les mêmes propriétés) passe par les points K et M (voir Théorème 2). Cela signifie que KM est un segment sur la ligne médiane, et donc.

4. Puisque et, alors KMDP est un parallélogramme, et donc

Réponse: ■

En fait, dans le processus de résolution du problème (aux étapes 1 et 2), nous avons prouvé une propriété assez importante : les bissectrices des angles adjacents au côté latéral du trapèze se coupent à angle droit en un point situé sur la ligne médiane de le trapèze.

Il convient de noter que la principale méthode d'élaboration des équations dans les problèmes géométriques est méthode élément de support, qui consiste en ce qui suit : un même élément (côté, angle, aire, rayon, etc.) est exprimé en termes de quantités connues et inconnues par deux différentes façons et les expressions résultantes sont assimilées.

Assez souvent, une zone est choisie comme élément de support Les figures. Ensuite, ils disent que pour composer l'équation est utilisé méthode des zones.

Il est nécessaire d'enseigner aux écoliers comment résoudre les problèmes de base, c'est-à-dire ceux. Qui sont inclus en tant que blocs de construction dans de nombreuses autres tâches. Ce sont, par exemple, le problème de trouver les éléments de base d'un triangle : médiane, hauteur, bissectrice, rayons inscrits et circonscrits, et aire.

Tâche 6. Dans le triangle ABC, les côtés AB et BC sont égaux, BH est la hauteur. Le point est pris sur le côté de l'avionD pour que (voir la figure pour le problème 6). En quoi le segmentAD divise la hauteur HV?

Solution: 1. On met BD = une, alors CD = 4 une, AB = 5a.

2. Dessinons un segment (voir la figure du problème 6) Puisque NC est la ligne médiane du triangle ACD DK = KC = 2 une .

3. Considérez le triangle OWK. On a : BD = une,

NSP = 2une et https://pandia.ru/text/78/456/images/image080_2.gif "width =" 84 "height =" 41 "> mais Par conséquent, et ■

Si, dans un problème, il est nécessaire de trouver le rapport de certaines quantités, alors, en règle générale, le problème est résolu en utilisant la méthode des paramètres auxiliaires. Cela signifie qu'au début de la résolution du problème, nous déclarons toute quantité linéaire connue, en la désignant, par exemple, par la lettre une, puis exprimer à travers une ces quantités dont il faut trouver le rapport. Lorsque la relation requise est compilée, le paramètre auxiliaire une se rétrécit. C'est ainsi que nous avons agi dans la tâche ... Notre conseil : lors de la résolution de problèmes dans lesquels il est nécessaire de trouver le rapport des quantités (en particulier, dans les problèmes pour déterminer l'angle - après tout, en règle générale, lors du calcul de l'angle, nous parlons de trouver son fonction trigonométrique, c'est-à-dire sur la relation des parties triangle rectangle), les étudiants devraient apprendre à mettre en évidence l'introduction d'un paramètre auxiliaire comme première étape de la solution. La méthode des paramètres auxiliaires est également utilisée dans les problèmes où figure géométrique défini jusqu'à la similitude.

Tâche 7. Dans un triangle dont les côtés sont égaux à 10, 17 et 21 cm, un rectangle est inscrit de telle sorte que ses deux sommets soient d'un côté du triangle, et les deux autres sommets soient des deux autres côtés du triangle. Trouve les côtés d'un rectangle si l'on sait que son périmètre est de 22,5 cm.

Solution. 1. Tout d'abord, définissons la forme du triangle. Nous avons : 102 = 100 ; 172 = 289 ; 212 = 441. Puisque 212> 102 + 172, alors le triangle est obtus (voir Théorème 7), ce qui signifie qu'il n'y a qu'une seule façon d'y inscrire un rectangle : en plaçant ses deux sommets sur le plus grand côté du triangle ABC (voir Fig. Au Problème 7 ), où AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm.

2. Trouvez la hauteur BH du triangle ABC. BH = 8 cm.

3. Mettez ED =X... Puis FE = 11,25 -X(puisque le périmètre du rectangle DEFKégal à 22,5 cm), TA = 8 - x. Les triangles BEF et ABC sont similaires, ce qui signifie (dans des triangles similaires, le rapport des hauteurs respectives est égal au coefficient de similitude), c'est-à-dire d'où on trouve x = 6.

Réponse : 6 cm, 5,25 cm ■

Lors de la résolution du problème, nous avons utilisé l'affirmation selon laquelle dans de tels triangles, non seulement les côtés, mais également les hauteurs correspondantes sont proportionnels. Suite facteur commun est le suivant, qui est, pour ainsi dire, un théorème de similarité généralisé :

Si deux triangles sont similaires, alors tout élément de ligne (ou la somme des éléments de ligne) d'un triangle fait référence à l'élément de ligne correspondant (ou la somme des éléments de ligne correspondants) de l'autre triangle en tant que côtés correspondants.

En particulier, les rayons des cercles circonscrits ou inscrits, les périmètres, les hauteurs respectives, les médianes, les bissectrices de deux triangles semblables sont appelés côtés respectifs.

Tâche 8.Dans le triangle ABC, l'angle A est 2 fois plus grand que l'angle C, le côté BC est 2 cm plus grand que le côté AB et AC = 5 cm Trouvez AB et BC.

Solution. 1. Traçons la bissectrice AD ​​de l'angle А..gif "alt =" (! LANG: Signature:" align="left" width="148" height="33">!} 3. Les triangles AED et ABC sont similaires, puisque l'angle B est commun à ces triangles. De la similitude des triangles, nous concluons que c'est à dire.

4. Pour trouver N.-É. et à on obtient un système de deux équations à deux inconnues : où

En soustrayant la deuxième équation de la première, nous obtenons 5y - 10 = 2y, c'est-à-dire y =. Cela signifie que x = 4.

Réponse : AB = 4 cm ; BC = 6 cm ■

Très souvent, lors de l'établissement des relations des côtés respectifs dans des triangles similaires dans des cas non triviaux (il y avait des cas triviaux de similitude dans les problèmes 6 et 7 - le triangle était coupé de la dernière ligne droite parallèle à l'un de ses côtés) , ceux qui résolvent le problème. Ils commettent des erreurs purement techniques : soit ils confondent l'ordre des triangles (lequel d'entre eux est le premier qui est le second), soit ils choisissent sans succès des paires de côtés comme correspondantes. Notre conseil : si la similitude des triangles ABC et DEF est établie, alors nous recommandons de procéder comme suit : « enfoncer » les côtés d'un triangle dans les numérateurs, par exemple : considérant que les côtés correspondants dans de tels triangles sont ceux qui sont opposés à des angles égaux, trouvez le plus couples simples les parties respectives ; si c'est AB et DE, BC et DF, alors écrivez : https://pandia.ru/text/78/456/images/image100_1.gif "align =" left "width =" 121 "height =" 96 src = " > b) de sorte que dans le quadrilatère vous pouvez écrire okIl est nécessaire et suffisant que les sommes des longueurs de ses côtés opposés soient égales.

THÉORÈME 5. Rapports métriques dans un cercle :

https://pandia.ru/text/78/456/images/image103_2.gif "alt =" (! LANG : Signature : Fig.2" align="left" width="76" height="29">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image105_2.gif "alt =" (! LANG : Signature : Fig.3" align="left" width="76" height="28">!}

https://pandia.ru/text/78/456/images/image107_1.gif "width =" 13 height = 19 "height =" 19 ">, hypoténuse - c (voir fig.). Calculer le rayon r du cercle inscrit.

Solution. 1. A partir du centre O du cercle inscrit, tracer les rayons jusqu'aux points de sa tangence avec les côtés du triangle ; en tenant compte du fait qu'ils sont perpendiculaires aux côtés correspondants (voir Théorème 1, a), et, en utilisant alors le Théorème 1, b, nous marquons des paires de segments égaux : CD= CE, AE= UN F,BD =petit ami(voir fig.).

2. Parce que EODC - carré (coins E,D, C - droit et L'UE= CD), alors OE =OD= CD = CE= r... Puis BD= une -r, AE =b -r et , respectivement, BF =BD = un– r,AF =AE =b–r.

3. Depuis UN B= AF +FB, alors c = (b -r) + (un -r), d'où.

Notez que si le problème concerne un cercle inscrit dans un triangle (ou quadrangle), alors il est presque toujours conseillé de tracer les rayons aux points de tangence du cercle avec les côtés, étant donné que les rayons seront perpendiculaires au côtés, et marquer immédiatement sur le dessin des paires de segments égaux (pour deux tangentes tracées au cercle à partir d'un point donné). C'est ce que nous avons fait lors de la résolution du problème ci-dessus.

Faisons attention à la formule https://pandia.ru/text/78/456/images/image110_1.gif "width =" 43 "height =" 44 ">, où S est l'aire, R- demi-périmètre d'un triangle.

Quant au rayon R circonscrit à un triangle d'un cercle, puis pour un triangle rectangle (l'hypoténuse est le diamètre d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle), pour un triangle non rectangulaire utilisez généralement la formule https://pandia.ru /text/78/456/images/image114_1.gif "width =" 59 "height =" 41 src = ">.

Problème 10. Un secteur circulaire rectangulaire est donné.Un cercle de même rayon avec le centre à la fin de l'arc du secteur est tracé ; il divise le secteur en deux triangles curvilignes. Un cercle est inscrit dans le plus petit de ces triangles (voir fig.). Trouvez le rapport des rayons du cercle inscrit et du secteur.

Solution. 1. Effectuons les constructions supplémentaires nécessaires, qui sont généralement effectuées lorsqu'il s'agit de tangence interne ou externe de cercles ou de tangence d'un cercle et d'une droite : О2О3- ligne médiane ; V- point de contact; O1O3- ligne médiane ; UNE- point de contact; O3C O1C; AVEC- point de contact (voir fig.).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image119_1.gif "width =" 43 "height =" 41 ">. Alors,.

Réponse: . ■

Nous présentons deux autres ajouts sur des constructions supplémentaires utiles : 1) si deux cercles se touchent (intérieurement ou extérieurement), alors il est impératif de tracer une ligne de centres, c'est-à-dire une droite passant par les centres des cercles qui se touchent, et de prendre compte tenu du fait que le point de tangence se situe sur la ligne des centres (c'est ce que nous avons fait en résolvant le problème ci-dessus, qui était la clé du succès) ; 2) parfois, il est utile (en tant que constructions supplémentaires) de faire un dessin dit "de détail", c'est-à-dire de retirer séparément un fragment d'un dessin assez complexe existant pour une étude spéciale (par exemple, pour résoudre le problème, nous avons pris un fragment séparé contenant ∆ О1О2О3- voir fig.).

Problème 11. Rayon du cercleR passe par deux sommets adjacents A etCarré D (voir fig.). Le segment BM de la tangente au cercle tiré du troisième sommet B du carré est le double du côté de ce dernier. Trouvez le côté du carré.

Solution. Introduisons la notation Virginie= x, BM = 2x. Continuons le segment Virginie avant intersection avec un cercle en un point À. Puis VK VA = VM2(voir Théorème 5, c), c'est-à-dire VK x= 4x2, où l'on trouve : CV= 4x- moyens, AK= Zx. Plus loin, KAD = = 90°, donc KD Est le diamètre du cercle. D'un triangle rectangle ADK trouver : AD2 + AK2= KD2, c'est à dire. x2 + 9x2 = 4R 2, d'où N.-É.= https://pandia.ru/text/78/456/images/image125_0.gif "width =" 45 "height =" 45 src = ">. ■

L'orthocentre, c'est-à-dire le point d'intersection des hauteurs d'un triangle a un certain nombre de propriétés intéressantes : l'orthocentre d'un triangle à angle aigu coïncide avec le centre d'un cercle inscrit dans un triangle dont les sommets sont les bases des hauteurs d'un triangle donné ; dans un triangle ABC non rectangulaire, la distance de l'orthocentre au sommet B est le double de la distance du centre du cercle décrit autour du triangle au côté de AC. Nous utilisons la dernière propriété pour introduire le concept de la droite d'Euler. Pour des raisons évidentes, nous nous limiterons à un triangle à angle aigu.

Alors laisse H- orthocentre, - centre du cercle circonscrit, OD CA,OD║BH,UN D= CC(voir fig.).

Traçons une médiane BD et segmenter IL. Triangles VNM et MOD sont similaires, donc https://pandia.ru/text/78/456/images/image128_0.gif "width =" 56 "height =" 41 src = ">. gif" width = "17" height = "16 src = "> С = 90°, alors la droite d'Euler est une droite passant par le sommet С angle droit et le milieu O hypoténuse UN B, c'est-à-dire la médiane.

Continuons à parler de la résolution des problèmes planimétriques. Passons à la résolution des problèmes liés au concept d'aire d'une figure plate.

Commençons, comme dans les cas précédents, par mettre en évidence les théorèmes « fonctionnels ». Il existe deux théorèmes de ce type sur le calcul des aires.

THÉORÈME 1. Le rapport des aires de figures similaires est égal au carré du coefficient de similitude.

THÉORÈME 2. une) Si deux triangles sont égauxbases, alors leurs surfaces sont appelées hauteurs.

b) Si deux triangles ont des hauteurs égales, alors leurles zones sont traitées comme des bases.

Et, bien sûr, il est logique de donner les formules de base pour calculer les aires des figures plates.

1. Formules pour l'aire d'un triangle :

a) https://pandia.ru/text/78/456/images/image131_0.gif "width =" 84 "height =" 41 src = ">; c);

d) S = Rr, où R=; R- le rayon du cercle circonscrit ; r- rayon du cercle inscrit ;

e) S = https://pandia.ru/text/78/456/images/image136_0.gif "align =" left hspace = 12 "width =" 159 "height =" 139 "> a) S= CA∙ BDsin;

Le théorème sur la propriété des angles avec des côtés parallèles correspondants doit être considéré pour les cas où les angles donnés sont soit à la fois aigus, soit à la fois obtus, ou l'un d'eux est aigu et l'autre est obtus.

Le théorème trouve une large application dans l'étude des propriétés de diverses figures et, en particulier, un quadrilatère.

L'indication que les côtés des coins avec des côtés parallèles correspondants peuvent avoir la même direction ou la direction opposée, qui est parfois rencontrée dans la formulation des théorèmes, est considérée comme inutile. Si nous utilisons le terme "direction", alors il serait nécessaire de clarifier ce qu'il faut entendre par ce mot. Il suffit d'attirer l'attention des élèves sur le fait que les angles avec des côtés parallèles correspondants sont égaux s'ils sont tous deux aigus ou tous les deux obtus, mais si l'un des angles est obtus et l'autre aigu, alors ils s'additionnent à 2d .

Le théorème sur les angles avec des côtés perpendiculaires correspondants peut être donné immédiatement après le théorème sur la propriété des angles avec des côtés parallèles correspondants. Les élèves reçoivent des exemples d'utilisation des propriétés des angles à côtés respectivement parallèles et perpendiculaires dans des appareils et des pièces de machines.

La somme des angles d'un triangle

Lors de la dérivation du théorème sur la somme des angles d'un triangle, vous pouvez utiliser des aides visuelles. Un triangle ABC est découpé, ses coins sont numérotés, puis ils sont découpés et appliqués les uns aux autres. Il s'avère que l + 2 + 3 = 2d. Dessinez la hauteur CD à partir du sommet C du triangle ABC et pliez le triangle de sorte que la hauteur soit divisée en deux, c'est-à-dire le sommet C est tombé au point D - la base de la hauteur. La ligne d'inflexion MN est la ligne médiane du triangle ABC. Ensuite, les triangles isocèles AMD et DNB sont courbés le long de leurs hauteurs, tandis que les sommets A et B coïncident avec le point D et l + 2 + 3 = 2d.

Il faut se rappeler que l'utilisation d'aides visuelles dans un cours de géométrie systématique n'est en aucun cas la tâche de remplacer la preuve logique d'une proposition par un test expérimental de celle-ci. Les aides visuelles doivent seulement aider les élèves à comprendre tel ou tel fait géométrique, les propriétés de telle ou telle figure géométrique et l'arrangement mutuel de ses éléments individuels. Lors de la détermination de la valeur de l'angle d'un triangle, il faut rappeler aux élèves le théorème précédemment considéré sur l'angle externe d'un triangle et indiquer que le théorème sur la somme des angles d'un triangle permet à la fois la construction et le calcul d'établir une relation entre les angles externes et internes qui ne leur sont pas adjacents.

En conséquence du théorème sur la somme des angles d'un triangle, il est prouvé que dans un triangle rectangle, une jambe opposée à un angle de 30 degrés est égale à la moitié de l'hypoténuse.

Au cours de la présentation du matériel, les étudiants doivent poser des questions et des tâches simples pour les aider à mieux assimiler le nouveau matériel. Par exemple, quelles lignes sont appelées parallèles ?

A quelle position de la sécante tous les angles formés par deux droites parallèles et cette sécante sont-ils égaux ?

Une ligne droite tracée dans un triangle parallèle à la base en coupe un petit triangle. Montrer que le triangle coupé et celui donné sont conformes.

Calculez tous les angles formés par deux parallèles et sécants, si l'un des angles est connu pour être de 72 degrés.

Les angles internes unilatéraux sont respectivement égaux à 540 et 1230. De combien de degrés une des droites doit-elle être tournée autour de son point d'intersection avec la sécante pour rendre les droites parallèles ?

Montrer que les bissectrices de : a) deux angles égaux mais non opposés formés par deux droites parallèles et une sécante sont parallèles, b) deux angles inégaux avec les mêmes droites et une sécante sont perpendiculaires.

Deux droites parallèles AB et CD et une sécante EF sont données, coupant ces droites aux points K et L. Les bissectrices tracées KM et KN des angles AKL et BKL coupent le segment MN sur la droite CD. Trouver la longueur de MN si l'on sait que la section KL de la sécante entre les parallèles est égale à a.

Quelle est la forme d'un triangle dans lequel : a) la somme de deux angles quelconques est supérieure à d, b) la somme de deux angles est d, c) la somme de deux angles est inférieure à d ? Réponse : a) à angle aigu, b) rectangulaire, c) obtus. Combien de fois est la somme des angles extérieurs du triangle plus de montant ses coins intérieurs ? Réponse : 2 fois.

Tous les angles externes d'un triangle peuvent-ils être : a) aigus, b) obtus, c) droits ? Réponse : a) non, b) oui, c) non.

Dans quel triangle est chacun coin extérieur deux fois la taille de chacun des coins intérieurs ? Réponse : équilatéral.

Pour étudier la technique des lignes parallèles, il est nécessaire d'utiliser des éléments historiques, théoriques et littérature méthodologique pour la formation complète du concept de lignes parallèles.

L'angle est la partie du plan délimitée par deux rayons émanant d'un point. Les rayons entourant un angle sont appelés les côtés de l'angle. Le point d'où sortent les rayons s'appelle le sommet de l'angle.

Désignation de l'angle Prenons l'exemple de l'angle illustré à la figure 1.

L'angle représenté sur la figure 1 peut être désigné de trois manières :

Les angles sont appelés angles égaux s'ils peuvent être combinés.

Si à l'intersection de deux droites quatre angles égaux , alors ces angles sont appelés angles droits (Fig. 2). Les droites sécantes formant des angles droits sont appelées droites perpendiculaires.

Si une ligne droite passe par un point A qui ne se trouve pas sur la ligne l et qui est perpendiculaire à la ligne l et coupant la ligne l au point B, alors on dit qu'à partir du point B a abaissé la perpendiculaire AB à la ligne l(fig. 3). Le point B est appelé base de la perpendiculaire AB.

Remarque. La longueur du segment AB est appelée distance du point A à la ligne l.

1° angle (un degré) appelé l'angle faisant un quatre-vingt-dixième angle droit.

Un angle k fois supérieur à un angle de 1° est appelé angle à k° (k degrés).

Les angles sont également mesurés en radians. Vous pouvez en savoir plus sur les radians dans la section de notre manuel «Mesure des angles. Degrés et radians".

Tableau 1 - Types d'angles en fonction de la valeur en degrés

Dessin	Types d'angles	Propriétés d'angle
	Angle droit	L'angle droit est de 90 °
	Angle vif	Angle aigu inférieur à 90 °
	Angle obtus	Angle obtus supérieur à 90° mais inférieur à 180°
	Coin déplié	L'angle déplié est de 180°
		Cet angle est supérieur à 180°, mais inférieur à 360°
	Plein angle	Le plein angle est de 360 ​​°
	Angle zéro	Cet angle est de 0°

Angle droit

Biens: L'angle droit est de 90 °

Angle vif

Biens: Angle aigu inférieur à 90 °

Angle obtus

Biens: Angle obtus supérieur à 90° mais inférieur à 180°

Coin déplié

Biens: L'angle déplié est de 180°

Angle plus grand que déplié

Biens: Cet angle est supérieur à 180°, mais inférieur à 360°

Plein angle

Biens: Le plein angle est de 360 ​​°

Angle zéro

Biens: Cet angle est de 0°

Tableau 2 - Types d'angles en fonction de l'emplacement des côtés

Dessin	Types d'angles	Propriétés d'angle
	Coins verticaux	Les angles verticaux sont égaux
	Coins adjacents	La somme des angles adjacents est de 180°
		Les angles avec des côtés convenablement parallèles sont égaux si les deux sont aigus ou les deux sont obtus
		La somme des angles avec des côtés parallèles correspondants est de 180 ° si l'un d'eux est aigu et l'autre obtus
		Les angles avec des côtés convenablement perpendiculaires sont égaux si les deux sont aigus ou les deux sont obtus
		La somme des angles avec des côtés perpendiculaires correspondants est de 180 ° si l'un d'eux est aigu et l'autre obtus

Coins verticaux

Propriété des angles verticaux : Les angles verticaux sont égaux

Coins adjacents

Propriété des coins adjacents : La somme des angles adjacents est de 180°

Angles avec des côtés parallèles correspondants

Les angles avec des côtés convenablement parallèles sont égaux si les deux sont aigus ou les deux sont obtus

Propriété des coins avec des côtés parallèles correspondants : La somme des angles avec des côtés parallèles correspondants est de 180 ° si l'un d'eux est aigu et l'autre obtus

Angles avec des côtés perpendiculaires correspondants

Les angles avec des côtés convenablement perpendiculaires sont égaux si les deux sont aigus ou les deux sont obtus

Propriété des angles dont les côtés sont perpendiculaires : La somme des angles avec des côtés perpendiculaires correspondants est de 180 ° si l'un d'eux est aigu et l'autre obtus

Définition. La bissectrice d'un angle est un rayon divisant un angle en deux.

Tâche . Montrer que les bissectrices des angles adjacents sont perpendiculaires.

Solution . Considérez la figure 4.

Sur cette figure, les angles AOB et BOC sont adjacents, et les rayons OE et OD sont les bissectrices de ces angles. Dans la mesure où

2α + 2β = 180°.

C.Q.D.

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THÉORÈME 1.Égalité des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires :Si
à la fois tranchants ou à la fois émoussés et
,
, alors
. THÉORÈME 2. Propriétés de la ligne médiane d'un trapèze :A) la ligne médiane du trapèze est parallèle aux bases du trapèze ;B) la ligne médiane est égale à la demi-somme des bases du trapèze ;B) la ligne médiane (et seulement elle) divise en deux tout segment compris entre les bases du trapèze. Ces propriétés sont également valables pour la ligne médiane d'un triangle, si le triangle est considéré comme un trapèze « dégénéré », dont l'une des bases a une longueur égale à zéro. THÉORÈME 3. Sur les points d'intersection des médianes, bissectrices, hauteurs du triangle :A) les trois médianes du triangle se coupent en un point (c'est ce qu'on appelle le centre de gravité du triangle) et sont divisées en ce point dans un rapport de 2 : 1, à partir du sommet ;B) trois bissectrices du triangle se coupent en un point;C) trois hauteurs se coupent en un point (on l'appelle l'orthocentre du triangle).THÉORÈME 4. Propriété de la médiane dans un triangle rectangle :dans un triangle rectangle, la médiane tracée à l'hypoténuse est égale à sa moitié. Le théorème inverse est également vrai : si dans un triangle l'une des médianes est égale à la moitié du côté auquel elle est dessinée, alors ce triangle est rectangleTHÉORÈME 5.Propriété de la bissectrice de l'angle interne d'un triangle :La bissectrice du coin intérieur d'un triangle divise le côté auquel il est dessiné en parties proportionnelles aux côtés opposés :
THÉORÈME 6. Relations métriques dans un triangle rectangle :Siuneetb- jambes,c- hypoténuse,h- la taille, et - projection des jambes vers l'hypoténuse, puis : a)
; b)
; v)
; G)
; e)
THÉORÈME 7. Définition de la forme d'un triangle par ses côtés :Laisser êtreune, b, c- côtés du triangle, avec c - le plus grand côté; alors:Et qu'est-ce qui se passerait si
, alors le triangle est à angle aigu ;B) si
, alors le triangle est rectangulaire ;C) si
, alors le triangle est obtus.THÉORÈME 8. Rapports métriques dans un parallélogramme :La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de tous ses côtés :
. Lors de la résolution de problèmes géométriques, il est souvent nécessaire d'établir l'égalité de deux segments (ou angles). Nous indiquons Il existe trois manières principales de prouver l'égalité de deux segments en termes géométriques : 1) considérer les segments comme les côtés de deux triangles et prouver que ces triangles sont égaux ; 2) représenter les segments comme les côtés d'un triangle et prouver que ce triangle est isocèle ; 3 ) remplacer le segment une segment égal , et le segment b – un segment égal et prouver l'égalité des segments et. Objectif 1.Deux droites perpendiculaires entre elles coupent les côtésUN B, avant JC, CD, UN DcarréA B C Den pointsE, F, K, Lrespectivement. Prouve-leCE = Floride(voir fig. au problème №1).R

Riz. au problème numéro 1

Manger: 1. En utilisant le premier des chemins d'égalité ci-dessus de deux segments, nous dessinons les segments
et
- puis les segments qui nous intéressent CE et Floride devenir les côtés de deux triangles rectangles EPK et Fml(voir fig. au problème №1). 2

Riz. au problème numéro 1

Nous avons: paquet = FM(plus de détails: paquet = UN D, UN D = UN B, UN B = FM, moyens,paquet = FM), (comme des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires, théorème 1). Cela signifie (le long de la jambe et du coin pointu). L'égalité des triangles rectangles implique l'égalité de leurs hypoténuses, c'est-à-dire segments CE et Floride... ■ Notez que lors de la résolution de problèmes géométriques, vous devez souvent faire des constructions supplémentaires, par exemple, les suivantes : tracer une ligne droite, parallèle ou perpendiculaire à l'une de celles de la figure (nous l'avons fait au problème 1) ; doubler la médiane du triangle pour compléter le triangle en parallélogramme (comme nous le ferons au problème 2), tracer une bissectrice auxiliaire. Il existe des constructions supplémentaires utiles liées au cercle. Objectif 2.Des soirées
sont égauxune, b, c... Calculer la médiane tiré vers le côté C. (voir fig. du problème 2).R

Riz. au problème numéro 2

Solution : doublez la médiane en complétant
au parallélogramme ACVR, et appliquer le théorème 8 à ce parallélogramme.
, d'où l'on trouve :
Objectif 3.Montrer que dans tout triangle, la somme des médianes est supérieure à ¾ du périmètre, mais inférieure au périmètre.R
Solution: 1. Envisager
(voir fig. au problème 3) On a :
;
... Parce que AM + MS> AC, alors
(1) P

Riz. au problème numéro 3

En conduisant un raisonnement similaire pour les triangles AMB et BMC, on obtient :
(2)
(3) En additionnant les inégalités (1), (2), (3), on obtient :
, T
.e. nous avons prouvé que la somme des médianes est supérieure à ¾ du périmètre. 2. Doubler la médiane BD en complétant le triangle au parallélogramme (voir la figure du problème 3). Puis de
on a: BK < avant JC + CK, celles.
(4) De la même manière:
(5)

Riz. au problème numéro 3

(6) En additionnant les inégalités (4), (5), (6), on obtient :, c'est-à-dire la somme des médianes est inférieure au périmètre. ■ Tâche 4.Montrer que dans un triangle rectangle non isocèle, la bissectrice de l'angle droit coupe l'angle entre la médiane et la hauteur tirée du même sommet.R
Solution: Soit ASB un triangle rectangle,
, CH - hauteur, CD - bissectrice, CM - médiane. Introduisons la notation : (voir Fig. Au problème 4). 1.
comme des angles avec des côtés mutuellement perpendiculaires (). 2

Riz. au problème numéro 4

Parce que
(voir Théorème 4), alors CM = MB, et puis de
nous concluons que
Donc, 3. Puisque et (après tout, CD est une bissectrice), c'est ce qu'il fallait prouver. ■ Tâche 5.Dans un parallélogramme à côtésune etbles bissectrices des angles intérieurs sont tracées (voir la figure du problème 5). Trouvez les longueurs des diagonales du quadrilatère formé à l'intersection des bissectrices.Solution: 1 ... AE - bissectrice
, - bissectrice
(voir fig.). puisque dans le parallélogramme
celles. alors Cela signifie que dans le triangle ABK la somme des angles A et B est égale à 90 0, alors l'angle K est à 90 0, c'est-à-dire que les bissectrices AE et BP sont perpendiculaires entre elles. UNE
La perpendicularité mutuelle des bissectrices AE et DQ, BP et CF, CF et DQ est fiscalement prouvée. CONCLUSION : KLMN est un rectangle à angles droits, c'est-à-dire rectangle. Pour un rectangle, les diagonales sont égales, il suffit donc de trouver la longueur de l'une d'elles, par exemple KM. 2

Riz. au problème numéro 5

Envisager
Il a AK - à la fois la bissectrice et la hauteur. Cela signifie, premièrement, que le triangle ABP est isocèle, c'est-à-dire AB = AP = b, et, d'autre part, que le segment AK est simultanément la médiane du triangle ABP, c'est-à-dire K est le milieu de la bissectrice BP. On prouve de même que M est le milieu de la bissectrice DQ. 3. Considérez le segment CM. Il divise par deux BP et DQ. Mais la ligne médiane d'un parallélogramme (n'oubliez pas qu'un parallélogramme est un cas particulier de trapèze ; si nous pouvons parler de la ligne médiane d'un trapèze, alors nous pouvons également parler de la ligne médiane d'un parallélogramme, qui a mêmes propriétés) passe par les points K et M (voir théorème 2). Cela signifie que KM est un segment sur la ligne médiane, et donc
.4. Parce que
et
, alors KMDP est un parallélogramme, et donc. Réponse:
■ En fait, dans le processus de résolution du problème (aux étapes 1 et 2), nous avons prouvé une propriété assez importante : les bissectrices des angles adjacents au côté latéral du trapèze se coupent à angle droit en un point situé sur la ligne médiane du trapèze. Il convient de noter que la principale méthode d'élaboration des équations dans les problèmes géométriques est méthodeélément de support, qui est la suivante : le même élément (côté, angle, aire, rayon, etc.) est exprimé en termes de quantités connues et inconnues de deux manières différentes et les expressions résultantes sont assimilées. Assez souvent, une zone est choisie comme élément de supportLes figures. Ensuite, ils disent que pour composer l'équation est utilisé méthode des zones. Il est nécessaire d'enseigner aux écoliers comment résoudre les problèmes de base, c'est-à-dire celles. Qui sont inclus en tant que blocs de construction dans de nombreuses autres tâches. Ce sont, par exemple, le problème de trouver les éléments de base d'un triangle : médiane, hauteur, bissectrice, rayons inscrits et circonscrits, et aire. Z défi 6.Dans le triangle ABC, les côtés AB et BC sont égaux, BH est la hauteur. Le point est pris sur le côté de l'avionrédonc
(voir la figure pour la tâche 6). En quoi le segmentUN Ddivise la hauteur HV?Solution: 1. On met BD = une, alors CD = 4 une, AB = 5a.2

Riz. au problème numéro 6

Dessinons un segment
(voir la figure de la tâche 6) Puisque NC est la ligne médiane du triangle ACD DK = KC = 2 une .3. Considérez le triangle OWK. On a : BD = une,NSP = 2 une et
... Par le théorème de Thales
mais
Par conséquent, et
■ Si, dans un problème, il est nécessaire de trouver le rapport de certaines quantités, alors, en règle générale, le problème est résolu en utilisant la méthode des paramètres auxiliaires. Cela signifie qu'au début de la résolution du problème, nous déclarons toute quantité linéaire connue, en la désignant, par exemple, par la lettre une, puis exprimer à travers une ces quantités dont il faut trouver le rapport. Lorsque la relation requise est compilée, le paramètre auxiliaire une se rétrécit. C'est ainsi que nous avons agi dans la tâche ... Notre conseil : lors de la résolution de problèmes dans lesquels il est nécessaire de trouver le rapport des quantités (en particulier, dans les problèmes pour déterminer l'angle - après tout, en règle générale, lors du calcul d'un angle, nous parlons de trouver sa fonction trigonométrique, c'est-à-dire du rapport des côtés d'un triangle rectangle), les étudiants devraient être enseignés comme première étape de la solution, en particulier l'introduction d'un paramètre auxiliaire. La méthode des paramètres auxiliaires est également utilisée dans les problèmes où la figure géométrique est définie à similarité près. Tâche 7.Dans un triangle dont les côtés sont égaux à 10, 17 et 21 cm, un rectangle est inscrit de telle sorte que ses deux sommets soient d'un côté du triangle, et les deux autres sommets soient des deux autres côtés du triangle. Trouve les côtés d'un rectangle si l'on sait que son périmètre est de 22,5 cm.R
Solution . 1. Tout d'abord, définissons la forme du triangle. On a : 10 2 = 100 ; 17 2 = 289 ; 21 2 = 441. Puisque 21 2> 10 2 + 17 2, alors le triangle est obtus (voir Théorème 7), ce qui signifie qu'il n'y a qu'une seule façon d'y inscrire un rectangle : en plaçant ses deux sommets sur le plus grand côté du triangle ABC (voir Fig. . au problème 7), où AC = 21 cm, AB = 10 cm, BC = 17 cm. 2

Pour les coins avec des côtés parallèles correspondants, les phrases suivantes sont valables :

1. Si les côtés a et b d'un coin sont respectivement parallèles aux côtés a et b de l'autre coin et sont également dirigés avec eux, alors les angles sont égaux.

2. Si, sous la même condition de parallélisme, les côtés a et b sont corrigés en regard des côtés a et b, alors les angles sont également égaux.

3. Si, enfin, les côtés a et sont parallèles et également dirigés, et les côtés sont parallèles et dirigés de manière opposée, alors les angles se complètent jusqu'à ce qu'ils soient dépliés.

Preuve. Démontrons la première de ces propositions. Laissez les côtés des coins et être parallèles et également dirigés (Fig. 191). Nous connectons les sommets des coins avec une ligne droite.

Dans ce cas, deux cas sont possibles : la droite passe à l'intérieur des coins ou à l'extérieur de ces coins (Fig. 191, b). Dans les deux cas, la preuve est évidente : par exemple, dans le premier cas

mais d'où nous obtenons. Dans le second cas, on a

et le résultat découle à nouveau des égalités

Nous laissons au lecteur les démonstrations des propositions 2 et 3. On peut dire que si les côtés des coins sont respectivement parallèles, alors les angles sont soit égaux, soit s'additionnent au déplié.

Évidemment, ils sont égaux si les deux sont aigus simultanément ou les deux sont émoussés, et leur somme est égale si l'un d'eux est aigu et l'autre est émoussé.

Les angles avec des côtés perpendiculaires correspondants sont égaux ou se complètent jusqu'à l'angle étendu.

Preuve. Soit a - un certain angle (Fig. 192), et O - le sommet de l'angle formé par les droites, respectivement perpendiculaire à k peut être l'un des quatre angles formés par ces deux droites). Tournons l'angle (c'est-à-dire les deux côtés de celui-ci) autour de son sommet O d'un angle droit ; nous obtenons un angle égal à celui-ci, mais tel, dont les côtés sont perpendiculaires aux côtés des côtés du coin tourné sont indiqués sur la Fig. 192 à Ils sont parallèles au type droit formant un angle donné a. Par conséquent, les angles signifient et les angles sont soit égaux, soit forment un angle total déplié.