Travail de mesure. Leçon "mesurer le travail"

Au début de son développement, la géométrie était un ensemble de règles et de formules utiles, mais sans rapport, pour résoudre les problèmes auxquels les gens étaient confrontés dans la vie de tous les jours. Seulement plusieurs siècles plus tard, les scientifiques de la Grèce antique ont créé la base théorique de la géométrie.

Dans les temps anciens, les Égyptiens, commençant à construire une pyramide, un palais ou une maison ordinaire, marquaient d'abord les directions des côtés de l'horizon (cela est très important, car l'éclairage d'un bâtiment dépend de la position de ses fenêtres et de ses portes dans rapport au Soleil). Ils ont agi comme ça. Ils ont collé un bâton à la verticale et ont observé son ombre. Lorsque cette ombre est devenue la plus courte, son extrémité indiquait la direction exacte vers le nord.

Triangle égyptien

Pour mesurer la superficie, les anciens Égyptiens utilisaient un triangle spécial, qui avait des longueurs de côté fixes. Les mesures ont été effectuées par des spécialistes spéciaux, appelés « tireurs de corde » (harpedonaptai). Ils ont pris une longue corde, l'ont divisée en 12 parties égales avec des nœuds et ont attaché les extrémités de la corde. Dans le sens nord-sud, ils ont placé deux piquets à une distance de quatre parties marqués sur la corde. Ensuite, à l'aide d'un troisième pieu, ils ont tiré la corde attachée de manière à former un triangle dans lequel un côté avait trois parties, l'autre quatre et le troisième cinq parties. Il s'est avéré un triangle rectangle, dont la surface a été prise comme standard.

Détermination des distances inaccessibles

L'histoire de la géométrie contient de nombreuses techniques pour résoudre les problèmes de distance. L'une de ces tâches consiste à déterminer la distance aux navires en mer.

La première méthode est basée sur l'un des signes d'égalité des triangles

Que le vaisseau soit au point K et l'observateur au point A. Il est nécessaire de déterminer la distance de l'engin spatial. Ayant construit un angle droit au point A, il faut reporter deux segments égaux sur le rivage :

AB = BC. Au point C, construisez à nouveau un angle droit, et l'observateur doit marcher le long de la perpendiculaire jusqu'à ce qu'il atteigne le point D, à partir duquel le navire K et le point B seraient visibles se trouvant sur la même ligne droite. Les triangles rectangulaires BCD et BAK sont égaux, donc CD = AK, et le segment CD peut être mesuré directement.

La deuxième façon est la triangulation

Il a été utilisé pour mesurer les distances aux corps célestes. Cette méthode comprend trois étapes :

□ Mesurer les angles α, β et la distance AB ;

□ Construire un triangle A1 B1K1 d'angles α et aux sommets A1 et B1, respectivement ;

Considérant la similitude des triangles ABK et A1 B1K1 et l'égalité

AK : AB = A1K1 : A1 B1, d'après les longueurs connues des segments AB, A1K1 et, A1 B1, il est facile de trouver la longueur du segment AK.

La technique utilisée dans l'instruction militaire russe du début du XVIIe siècle.

Tâche. Trouvez la distance entre le point A et le point B.

Au point A, vous devez choisir une baguette de la taille d'un homme. L'extrémité supérieure de la tige doit être alignée avec le haut de l'angle droit du carré de manière à ce que l'extension d'une des pattes passe par le point B. Ensuite, le point C de l'intersection de l'extension de l'autre patte avec le sol doit être marqué. Ensuite, en utilisant la proportion

AB : AD = AD : AC, il est facile de calculer la longueur de AB ; AB = AD2 / CA. Afin de simplifier les calculs et les mesures, il est recommandé de diviser la baguette en 100 ou 1000 parties égales.

Une ancienne technique chinoise pour mesurer la hauteur d'un objet inaccessible.

Le plus grand mathématicien chinois du IIIe siècle, Liu Hui, a énormément contribué au développement de la géométrie appliquée. Il possède le traité "Mathématiques de l'île de la mer", qui apporte des solutions à divers problèmes pour déterminer les distances à des objets situés sur une île éloignée, et le calcul des hauteurs inaccessibles. Ces tâches sont assez complexes. Mais ils ont une valeur pratique, ils sont donc largement utilisés non seulement en Chine, mais aussi à l'étranger.

Regarder l'île de la mer. Pour cela, une paire de poteaux de même hauteur, 3 zhang, ont été installés à une distance de 1000 bu. Les bases des deux pôles sont alignées avec l'île. Si vous vous déplacez en ligne droite du premier pôle à 123 bu, l'œil d'une personne allongée sur le sol observera l'extrémité supérieure du pôle coïncidant avec le sommet de l'île. La même image se produira si vous vous déplacez de 127 bu du deuxième pôle.

Quelle est la hauteur de l'île ?

Dans notre notation habituelle, la solution de ce problème est basée sur les propriétés de similarité.

Soit EF = KD = 3 zhang = 5 bu, ED = 1000 bu, EM = 123 bu, CD = 127 bu.

Déterminer AB et AE.

Les triangles ABM et EFM, ABC et DKS sont similaires. Par conséquent, EF : AB = EM : AM et KD : AB = DC : AC. On obtient : EM : AM = DC : AC, ou EM : (AE + EM) = CD : (AE + ED + DC). En conséquence, nous trouvons AE = 123 1000 : (127 - 123) = 30750 (bu). Les triangles A1BF et EFM sont similaires et AB = A1B + A1A. Donc AB = 5 1000 (127 - 123) + 5 = 1255 (bu)

Comment puis-je trouver la hauteur de l'île?

□ La hauteur du poteau est multipliée par la distance entre les poteaux - c'est le dividende.

La différence entre les chiffres sera le diviseur, divisé par celui-ci.

Que se passe-t-il, ajoutez la hauteur du poteau.

Prenons la hauteur de l'île.

La recette suggérée par Liu Hui.

Distance au point inaccessible.

❖ L'écart par rapport au pôle précédent multiplié par la distance entre les pôles est le dividende.

❖ La différence entre les déchets sera le diviseur, divisé par celui-ci.

On obtient la distance à laquelle l'île est éloignée du pôle.

La géométrie appliquée était indispensable pour l'arpentage, la navigation et la construction. Ainsi, la géométrie a accompagné l'humanité tout au long de l'histoire de son existence. La solution de problèmes anciens individuels de nature appliquée peut trouver une application à l'heure actuelle et mérite donc l'attention aujourd'hui.

Ministère de l'Éducation et des Sciences de la République de Khakassie

Établissement d'enseignement municipal

École secondaire Ustino-Kopyevskaya.

Section de mathématiques.

TRAVAUX DE MESURE DE SURFACE

VILLAGE USTINKINO

Superviseur: Romanova

Hélène Alexandrovna,

professeur de mathématiques

Ustinkino, 2010

Présentation ……………………………………………………………………………… 3

1. L'émergence des dimensions dans l'Antiquité

1.1 Unités de mesure des différents peuples ………………………………… ..4

1.2 Méthodes de mesures dans la Russie ancienne .................................................. .. 5

1.3 La géométrie dans les problèmes pratiques anciens ………………………… ..7

1.4 Outils de mesure au sol …………………………… 7

2. Mesurer le travail au sol

2.1 Construire une ligne droite au sol (fixation

ligne droite) …………………………………………………………… ... 8

2.2 Mesure de la longueur de foulée moyenne ……………………………………… ..9

2.3 Construire des angles droits au sol ……………………………… 9

2.4 Construction et mesure des angles à l'aide d'un astrolabe ... ... ... ... ... ... 10

2.5 Création d'un cercle au sol ....................................................... ................... dix

2.6 Mesurer la hauteur des arbres ……………………………………… ....... 11

3. Résultats des mesures au sol ………………………………………… ..

3.1 Aménagement du site de l'école

3.2 Les arbres sont une menace pour la vie

3.3 Aide - proposition au Conseil Villageois p. Ustinkino

Conclusion ………………………………………………………………………… 21

Littérature …………………………………………………………………………… .22

introduction

Pour réaliser le modèle des figurines, j'ai dû effectuer plus de 20 opérations différentes. Et près de la moitié d'entre eux sont liés aux mesures. Je me demande s'il y a des professions dans lesquelles rien n'a besoin d'être mesuré avec des instruments du tout. Je n'ai pas trouvé de tel. J'étais également incapable de trouver une matière scolaire dans l'étude de laquelle il n'y aurait pas besoin de mesures.

« La science commence depuis

Comment ils commencent à mesurer

La science exacte est impensable

sans mesure".

En effet, le rôle des mesures dans la vie d'une personne moderne est très grand.

Le dictionnaire encyclopédique populaire définit la mesure. Les mesures sont des actions entreprises afin de trouver des valeurs numériques, une valeur quantitative dans les unités de mesure acceptées. ??

Vous pouvez mesurer la valeur à l'aide d'instruments. Au quotidien, on ne peut plus se passer d'une montre, d'une règle, d'un mètre ruban, d'un gobelet doseur, d'un thermomètre, d'un compteur électrique. Nous pouvons dire que nous rencontrons des appareils à chaque étape.

Objet : étude des mesures géométriques au sol avec. Ustinkino.

· Étudier l'histoire de l'origine des mesures ;

· Se familiariser et fabriquer des instruments de mesure au sol;

· Prendre des mesures au sol;

· Tirer des conclusions et formuler leurs propositions.

Hypothèse : à l'heure actuelle, mesurer le travail au sol joue un rôle important, car sans prendre de mesures, vous pouvez payer de votre vie.

Objet de recherche : mesures au sol.

Sujet de recherche : méthodes de mesures au sol.

___________________________________

21. Dictionnaire encyclopédique populaire. Maison d'édition scientifique "La Grande Encyclopédie Russe". Maison d'édition "ONYX 21e siècle", 2002, p. 485

1. L'émergence des dimensions dans l'Antiquité

Dans les temps anciens, une personne devait progressivement comprendre non seulement l'art de compter, mais aussi les mesures. Lorsqu'un homme ancien, pensant déjà, essaya de trouver une grotte pour lui-même, il fut obligé de mesurer la longueur, la largeur et la hauteur de sa future demeure avec sa propre croissance. Mais c'est la dimension. Fabriquer les outils les plus simples, construire des maisons, se procurer de la nourriture, il devient nécessaire de mesurer des distances, puis des superficies, des capacités, des masses, du temps. Notre ancêtre n'avait que sa propre taille, la longueur de ses bras et de ses jambes. Si une personne utilisait les doigts et les orteils pour compter, alors les mains et les pieds étaient utilisés pour mesurer les distances. Il n'y a pas eu de peuple qui n'ait inventé ses propres unités de mesure.

1.1 Unités de mesure des différents peuples

Les constructeurs des pyramides égyptiennes considéraient le coude comme la norme de longueur (la distance du coude à l'extrémité du majeur), les anciens Arabes - les cheveux du museau d'un âne, les Britanniques utilisent encore le pied royal (traduit de "foot" anglais signifie "jambe"), égal à la longueur du pied du roi... La longueur du pied a été affinée avec l'introduction d'une crosse. C'est "la longueur des pieds de 16 personnes quittant le temple des Matines dimanche". En divisant la longueur de la tige en 16 parties égales, nous avons reçu la longueur moyenne du pied, car des personnes de différentes hauteurs sortaient de l'église. La longueur d'un pied est devenue égale à 30,48 cm.La cour anglaise est également associée à la taille du corps humain. Cette mesure de longueur a été introduite par le roi Edgar et était égale à la distance entre le bout du nez de Sa Majesté et le bout du majeur de sa main tendue. Dès que le roi a été remplacé, la cour s'est allongée, car le nouveau monarque était de plus grande taille. De tels changements de longueur ont introduit beaucoup de confusion, alors le roi Henri Ier a légalisé une cour permanente et a ordonné qu'une norme soit faite d'orme. Ce chantier est encore utilisé en Angleterre (sa longueur est de 0,9144 m). Pour mesurer de courtes distances, la longueur de l'articulation du pouce a été utilisée (traduit du néerlandais "pouce" signifie "pouce"). La longueur d'un pouce en Angleterre était spécifiée comme étant égale à la longueur de trois grains d'orge, pris au milieu de l'épi et placés l'un à côté de l'autre à leurs extrémités. On sait d'après les histoires et les histoires anglaises que les paysans déterminaient souvent la hauteur des chevaux avec leurs paumes.

Pour mesurer de longues distances dans l'Antiquité, une mesure appelée champ a été introduite, puis un jalon apparaît à la place. Ce nom vient du mot "tourbillon", qui signifiait d'abord un tour de charrue, puis - une rangée, la distance de l'un à l'autre tour de charrue lors du labour. La longueur d'un mile à différents moments était différente - de 500 à 750 brasses. Oui, et il y avait deux verstes : la piste - elle servait à mesurer la distance du chemin et la limite - pour les parcelles de terrain.

La distance était mesurée en pas pour presque tous les peuples, mais pour mesurer les champs et autres grandes distances, le pas était une mesure trop petite, donc une canne, ou un double pas, a été introduite, puis une double canne, ou perchoir. Dans le commerce maritime, la canne s'appelait un stock. En Angleterre, il y avait aussi une mesure telle qu'un bon bâton de laboureur, dont la longueur était de 12 à 16 pieds. À Rome, une mesure égale à mille pas doubles est introduite, qui s'appelle un mile (du mot "mille", "milia" - "mille").

Les Slaves avaient une longueur telle que "lancer une pierre" - lancer une pierre, "tirer" - la distance parcourue par une flèche tirée d'un arc. Les distances étaient mesurées comme suit : « La Péchenegie était à cinq jours de voyage des Khazars, six jours des Alains, un jour de la Russie, quatre jours des Magyars et une demi-journée des Bulgares du Danube. Dans les vieilles lettres sur la concession de terres, on peut lire : « Du cimetière dans toutes les directions jusqu'au rugissement du taureau. Cela signifiait - à une distance d'où le rugissement du taureau se faisait encore entendre. D'autres peuples avaient des mesures similaires - "vache cri", "coq chant". Le temps a également servi de mesure - "jusqu'à ce que la chaudière d'eau bout". Les marins estoniens ont dit qu'il y avait encore « trois pipes » sur le rivage (le temps passé à fumer la pipe). Le "coup de canon" est aussi une mesure de distance. Lorsqu'au Japon, ils ne connaissaient pas encore les fers à cheval pour chevaux et les feraient avec des semelles de paille, la mesure du «sabot de paille» est apparue - la distance à laquelle ce fer était usé. En Espagne, la mesure de distance "cigare" est connue - le chemin qu'une personne peut parcourir en fumant un cigare. En Sibérie, dans les temps anciens, la mesure de distance "hêtre" était utilisée - c'est la distance à laquelle une personne cesse de voir séparément les cornes d'un taureau.

3.3 Aide - proposition au Conseil Villageois p. Ustinkino

Président de la SS p. Ustinkino

élèves de 10e

Le salé d'Alena

Suggestion d'aide

J'ai fait des mesures de la hauteur des poteaux électriques, dont la hauteur est toujours exactement de 17 m. En mesurant la hauteur des arbres, des résultats inattendus ont été obtenus. La hauteur des arbres varie de 19 m à 56 m.

Je crois qu'il faut faire attention à la hauteur des arbres et couper les arbres à une hauteur de 19 m au printemps.

___________________ __________________

CONCLUSION

Cet essai examine les problèmes les plus urgents associés aux constructions géométriques au sol - lignes droites suspendues, divisions de segments et d'angles, mesure de la hauteur d'un arbre. Un grand nombre de problèmes sont donnés et leurs solutions sont données. Ces problèmes présentent un intérêt pratique important, renforcent les connaissances acquises en géométrie et peuvent être utilisés pour des travaux pratiques.

Ainsi, je pense que l'objectif de l'essai a été atteint, les tâches définies ont été accomplies. J'espère pour mon aide - la proposition sera prise en compte et remplie selon l'exigence.

Littérature

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Au cours de l'étude de la géométrie de l'école de base, des problèmes liés à l'application pratique des connaissances acquises sont envisagés : travaux de mesure au sol, instruments de mesure. Le travail pratique sur le terrain est l'une des formes les plus actives de communication entre l'apprentissage et la vie, la théorie avec la pratique. Les étudiants apprennent à utiliser des ouvrages de référence, à appliquer les formules nécessaires, à maîtriser les techniques pratiques de mesures et de constructions géométriques.

Les travaux pratiques utilisant des instruments de mesure augmentent l'intérêt des élèves pour les mathématiques, et la résolution de problèmes sur la mesure de la largeur d'une rivière, la hauteur d'un objet et la détermination de la distance à un point inaccessible permettent de les appliquer en pratique, de voir l'échelle d'application des mathématiques dans la vie humaine.

Au fur et à mesure que vous étudiez le matériel, les façons de résoudre ces problèmes changent, le même problème peut être résolu de plusieurs manières. Dans ce cas, les questions de géométrie suivantes sont utilisées : égalité et similitude des triangles, relations dans un triangle rectangle, théorème des sinus et théorème des cosinus, théorème de Pythagore, propriétés des triangles rectangles, etc.

Objectifs des cours "Mesure sur le terrain" :

Tâches:

• caractère scientifique;
• visibilité;
• approche différenciée;

Critères d'évaluation de l'atteinte des résultats attendus :

• activité étudiante;

La préparation et la conduite de telles leçons permettent, en conséquence :

• apprendre à appliquer les connaissances mathématiques dans la vie pratique quotidienne.

L'une des formes les plus actives de connexion entre l'apprentissage et la vie, la théorie avec la pratique, est la mise en œuvre par les étudiants en cours de géométrie de travaux pratiques liés à la mesure, la construction et l'image. Au cours de l'étude de la géométrie de l'école de base, des tâches liées à l'application pratique des connaissances acquises sont envisagées : travail de mesure au sol, instruments de mesure. Dans les cours de mathématiques, parallèlement à l'étude de la matière théorique, les étudiants doivent apprendre à prendre des mesures, à utiliser des livres et des tableaux de référence et à maîtriser les outils de dessin et de mesure. Le travail est effectué à la fois sur le terrain et en résolvant des problèmes en classe de diverses manières pour trouver la hauteur d'un objet et déterminer la distance jusqu'à un point inaccessible. Selon le programme du cours de géométrie, les questions suivantes sont considérées :

7e année

• « Suspendre une ligne droite au sol » (article 2),
• « Instruments de mesure » ​​(article 8),
• "Mesure des angles au sol" (p.10),
• "Construire des angles droits au sol" (p.13),
• « Tâches de construction. Cercle »(p.21),
• « Manières pratiques de construire des lignes parallèles » (p.26),
• "Réflecteur d'angle" (item 36),
• "Distance entre lignes parallèles" (p.37 - jauge d'épaisseur),
• "Construction d'un triangle par trois éléments" (p.38)

8e année.

• "Applications pratiques de la similitude des triangles" (p. 64 - déterminer la hauteur d'un objet, déterminer la distance à un point inaccessible)

9e année.

• « Mesure du travail » (p.100 - mesurer la hauteur d'un objet, mesurer la distance à un point inaccessible).

Les travaux pratiques en cours de géométrie permettent de résoudre des problèmes pédagogiques : poser aux élèves un problème de mathématiques cognitives, mettre à jour leurs connaissances et se préparer à l'assimilation de nouvelles matières, former concrètement des compétences et aptitudes à manipuler divers appareils, outils, matériel informatique , ouvrages de référence et tableaux .. Ils permettent de mettre en œuvre dans l'enseignement les principes les plus importants de la relation entre théorie et pratique : la pratique agit comme un maillon initial dans l'élaboration de la théorie et sert de stimulus le plus important pour son étude par les étudiants, elle est un moyen de tester la théorie et son domaine d'application.

Le système de conduite des cours « Mesure sur le terrain » fixe des objectifs :

• application pratique des connaissances théoriques des étudiants;
• l'amélioration de l'activité cognitive des élèves ;

Fournit les tâches suivantes :

• élargir les horizons des étudiants;
• intérêt croissant pour le sujet;
• développement de l'ingéniosité, de la curiosité, de la pensée logique et créative;
• la formation des qualités de pensée caractéristiques de l'activité mathématique et nécessaires à une vie productive en société.

Lors de la sélection du contenu de chaque leçon sur un sujet donné et des formes d'activité des élèves, les principes suivants sont utilisés :

• la relation entre la théorie et la pratique ;
• caractère scientifique;
• visibilité;
• la prise en compte de l'âge et des caractéristiques individuelles des élèves ;
• combinaisons d'activités collectives et individuelles des participants;
• approche différenciée;

Critères d'évaluation de l'atteinte des résultats attendus :

• activité étudiante;
• l'indépendance des étudiants dans la réalisation des travaux ;
• applications pratiques des connaissances mathématiques;
• le niveau de créativité des participants.

La préparation et la conduite de telles leçons permettent, en conséquence :

• connecter, éveiller et développer les capacités potentielles des élèves ;
• identifier les participants les plus actifs et les plus compétents ;
• éduquer les qualités morales d'une personne : travail acharné, persévérance dans la réalisation des objectifs, responsabilité et indépendance.
• enseigner à appliquer les connaissances mathématiques dans la vie pratique quotidienne;
• manipuler divers appareils, outils, ordinateurs, ouvrages de référence et tableaux.

Outils de mesure utilisés lors de la mesure au sol :

• Roulette - un ruban avec des marques dessus, conçu pour mesurer la distance au sol.
• Ecker est un appareil permettant de tracer des angles droits sur le sol.
• L'Astrolabe est un appareil de mesure d'angles au sol.
• Jalons (points de repère) - piquets enfoncés dans le sol.
• Un compas d'arpentage (compas de terrain - brasse) est un outil en forme de lettre A de 1,37 m de haut et 2 m de large. Pour mesurer la distance au sol, pour les élèves il est plus pratique de prendre la distance entre les jambes 1 mètre .

Ecker

Ecker se compose de deux barres situées à angle droit et fixées sur un trépied. Aux extrémités des barres, des clous sont enfoncés de manière à ce que les droites qui les traversent soient perpendiculaires entre elles.

Astrolabe

Dispositif : un astrolabe se compose de deux parties : un disque (membre), divisé en degrés, et une règle tournant autour du centre (alidade). Lorsqu'il mesure un angle au sol, il vise les objets couchés sur le côté. Le pointage alidada s'appelle l'observation. Les dioptries sont utilisées pour l'observation. Ce sont des plaques métalliques avec des fentes. Il existe deux dioptries : l'une avec une fente en forme de fente étroite, l'autre avec une fente large, au milieu de laquelle un cheveu est tendu. Lors de la visée, l'œil de l'observateur est appliqué sur une fente étroite, c'est pourquoi une dioptrie avec une telle fente est appelée dioptrie oculaire. Une dioptrie avec un cheveu est dirigée vers un objet couché sur le côté de celui mesuré; cela s'appelle objectif. Une boussole y est attachée au milieu de l'alidada.

astrolabe

Travaux pratiques

1. Construire une ligne droite au sol (suspendre une ligne droite)

Les sections au sol sont désignées à l'aide de jalons. Pour faire tenir le poteau droit, un fil à plomb est utilisé (une sorte de poids suspendu à un fil). Une rangée de points de repère enfoncés dans le sol et désigne un segment de ligne droite sur le sol. Dans la direction choisie, deux points de repère sont placés à distance l'un de l'autre, entre eux il y a d'autres points de repère, de sorte qu'en regardant à travers l'un, les autres se recouvrent l'un de l'autre.

Travaux pratiques : construire une ligne droite au sol.

Affectation : marquez dessus un segment de 20 m, 36 m, 42 m.

2. Mesure de la longueur de foulée moyenne.

Un certain nombre de pas sont comptés (par exemple, 50), la distance donnée est mesurée et la longueur moyenne des pas est calculée. Il est plus pratique d'effectuer l'expérience plusieurs fois et de calculer la moyenne arithmétique.

Travaux pratiques : mesure de la longueur de foulée moyenne.

Devoir : connaissant la longueur de foulée moyenne, réserver un segment de 20 m au sol, vérifier avec un mètre ruban.

3. Construction d'angles droits au sol.

Pour construire un AOB à angle droit au sol avec un côté OA donné, un trépied avec un ecker est installé de manière à ce que le fil à plomb soit exactement au-dessus du point O et que la direction d'une barre coïncide avec la direction du faisceau OA. L'alignement de ces directions peut être réalisé à l'aide d'une borne placée sur la poutre. Puis accrochez une ligne droite en direction de l'autre barre (OB).

Travaux pratiques : construction d'un angle droit au sol, rectangle, carré.

Devoir : mesurer le périmètre et l'aire d'un rectangle, carré.

4. Construction et mesure d'angles à l'aide d'un astrolabe.

L'astrolabe est installé au sommet de l'angle de mesure de sorte que son membre soit situé dans le plan horizontal, et le fil à plomb, suspendu sous le centre du membre, serait projeté en un point pris comme sommet de l'angle sur le la surface de la terre. Ensuite, l'alidade est visée dans la direction d'un côté de l'angle mesuré et les divisions en degrés sont comptées sur le cadran par rapport à la marque de la dioptrie objet. Tournez l'alidade dans le sens des aiguilles d'une montre vers le deuxième côté du coin et faites un deuxième compte. L'angle souhaité est égal à la différence entre les lectures de la deuxième et de la première lecture.

Travaux pratiques:

• mesure d'angles spécifiés,
• construction d'angles d'une mesure de degré donnée,
• construction d'un triangle par trois éléments - le long d'un côté et de deux coins adjacents, le long de deux côtés et d'un angle entre eux.

Tâche : mesurer les mesures en degrés des angles donnés.

5. Construction d'un cercle au sol.

Un piquet est installé au sol, auquel la corde est attachée. En vous tenant à l'extrémité libre de la corde, en vous déplaçant autour de la cheville, vous pouvez tracer un cercle.

Travaux pratiques : construire un cercle.

Tâche : mesure du rayon, du diamètre ; calcul de l'aire d'un cercle, circonférence.

6. Détermination de la hauteur de l'objet.

a) À l'aide d'une barre rotative.

Supposons que nous ayons besoin de déterminer la hauteur d'un objet, par exemple la hauteur de la colonne A 1 C 1 (problème n° 579). Pour ce faire, placez un poteau AC avec une barre rotative à une certaine distance du poteau et dirigez la barre vers le point haut C 1 du poteau. Marquons le point B à la surface de la terre, auquel la droite А 1 А coupe la surface de la terre. Les triangles rectangulaires А 1 С 1 В et АСВ sont similaires dans le premier signe de similitude des triangles (angle А 1 = angle А = 90 о, angle - commun). Il résulte de la similitude des triangles ;

Après avoir mesuré les distances BA 1 et BA (la distance du point B à la base du pilier et la distance au poteau avec une barre rotative), connaissant la longueur de l'AS du poteau, à l'aide de la formule obtenue, on détermine la hauteur A 1 C 1 du pilier.

b) Utiliser l'ombre.

La mesure doit être prise par temps ensoleillé. Mesurons la longueur de l'ombre de l'arbre et la longueur de l'ombre de la personne. Construisons deux triangles rectangles, ils sont similaires. En utilisant la similitude des triangles, nous composerons la proportion (le rapport des côtés respectifs), à partir de laquelle nous trouverons la hauteur de l'arbre (problème n° 580). Vous pouvez ainsi déterminer la hauteur de l'arbre et en 6 cases, en utilisant la construction de triangles rectangles à l'échelle choisie.

c) Utiliser un miroir.

Pour déterminer la hauteur d'un objet, vous pouvez utiliser un miroir situé horizontalement sur le sol (tâche #581). Un rayon de lumière, réfléchi par le miroir, pénètre dans l'œil humain. En utilisant la similitude des triangles, vous pouvez trouver la hauteur d'un objet, connaître la hauteur d'une personne (aux yeux), la distance des yeux à la couronne de la personne et mesurer la distance de la personne au miroir, la distance du miroir à l'objet (en tenant compte du fait que l'angle d'incidence du faisceau est égal à l'angle de réflexion).

d) Utiliser un triangle rectangle.

Au niveau des yeux, placez un triangle rectangle, en dirigeant une jambe horizontalement vers la surface de la terre, en dirigeant l'autre jambe vers l'objet dont la hauteur est mesurée. Nous nous éloignons de l'objet à une distance telle que la deuxième jambe « couvre » l'arbre. Si le triangle est également isocèle, alors la hauteur de l'objet est égale à la distance de la personne à la base de l'objet (en ajoutant la taille de la personne). Si le triangle n'est pas isocèle, la similitude des triangles est à nouveau utilisée, en mesurant les jambes du triangle et la distance entre la personne et l'objet (la construction de triangles rectangles à l'échelle sélectionnée est également utilisée). Si le triangle a un angle de 30 0, alors la propriété d'un triangle rectangle est utilisée : en face de l'angle de 30 0 se trouve la jambe moitié de la taille de l'hypoténuse.

e) Pendant le jeu « Zarnitsa », les élèves ne sont pas autorisés à utiliser des appareils de mesure, la méthode suivante peut donc être proposée :

l'un se couche sur le sol et dirige ses yeux vers la couronne de l'autre, qui est à une distance de sa propre hauteur de lui, de sorte que la ligne droite passe par la couronne de son camarade et le sommet de l'objet. Ensuite, le triangle s'avère être isocèle et la hauteur de l'objet est égale à la distance entre l'objet se trouvant à la base, qui est mesurée, connaissant la longueur moyenne des pas de l'élève. Si le triangle n'est pas isocèle, alors connaissant la longueur moyenne de la foulée, la distance de celui couché au sol à celui qui était debout et à l'objet, la hauteur de celui qui était connu, est mesurée. Et puis, en fonction de la similitude des triangles, la hauteur de l'objet est calculée (ou la construction de triangles rectangles à l'échelle sélectionnée).

7. Détermination de la distance à un point inaccessible.

a) Supposons que nous ayons besoin de trouver la distance entre le point A et le point inaccessible B. Pour cela, sélectionnez le point C au sol, fixez le segment AC et mesurez-le. Ensuite, à l'aide de l'astrolabe, nous mesurons les angles A et C. Sur une feuille de papier, nous construisons une sorte de triangle A 1 B 1 C 1, dans lequel l'angle A 1 = angle A, angle C ! = angle C et mesurer les longueurs des côtés A 1 B 1 et A 1 C 1 de ce triangle. Puisque le triangle ABC est semblable au triangle A 1 B 1 C 1, alors AB : A 1 B 1 = AC : A 1 C 1, d'où on trouve AB selon les distances connues AC, A 1 C 1, A 1 B 1.. Pour la commodité des calculs, il est commode de construire un triangle A 1 B 1 C 1 de sorte que A 1 C 1 : AC = 1 : 1000

b) Pour mesurer la largeur de la rivière sur la berge, on mesure la distance AC, on utilise l'astrolabe pour régler l'angle A = 90 0 (pointant vers l'objet B sur la berge opposée), on mesure l'angle C. Sur un morceau de papier, nous construisons un triangle similaire (c'est plus pratique à une échelle de 1: 1000) et calculons AB (largeur de la rivière).

c) La largeur de la rivière peut être déterminée comme suit : en considérant deux triangles semblables ABC et AB 1 C 1. Le point A est choisi sur la berge, B 1 et C au bord de la surface de l'eau, BB 1 est la largeur de la rivière (dos n° 583, fig. 204 du manuel), en mesurant AC, AC 1, AB1.

Travaux pratiques : déterminer la hauteur de l'arbre, la largeur de la rivière.

En 9e année, au paragraphe 100, le travail de mesure au sol est également envisagé, mais le sujet "Résoudre des triangles" est utilisé, tandis que le théorème des sinus et le théorème des cosinus sont appliqués. Des tâches avec des données spécifiques sont envisagées, en résolvant lesquelles vous pouvez voir différentes manières de trouver et la hauteur d'un objet et déterminer la distance jusqu'à un point inaccessible, ce qui peut être appliqué pratiquement à l'avenir.

1... Mesurer la hauteur d'un objet.

Supposons qu'il soit nécessaire de déterminer la hauteur AH d'un objet. Pour ce faire, marquez le point B à une certaine distance a de la base H de l'objet et mesurez l'angle AVN. D'après ces données, à partir du triangle rectangle ANV, on trouve la hauteur de l'objet : AH = HB tgAVN.

Si la base de l'objet n'est pas disponible, alors vous pouvez procéder comme suit : sur une droite passant par la base H de l'objet, nous marquons deux points B et C à une certaine distance a l'un de l'autre et mesurons les angles AVN et ASB : angle AVN = une, angle = b, angle BAC = un B... Ces données permettent de déterminer tous les éléments du triangle ABC ; par le théorème des sinus on trouve AB :

AB = péché ( un B). A partir du triangle rectangle ABN on trouve la hauteur AH de l'objet :

AH = AB sin une.

№ 1036

L'observateur est à une distance de 50 m de la tour dont il veut déterminer la hauteur. Il voit la base de la tour à un angle de 10 0 par rapport à l'horizon, et le sommet à un angle de 45 0 par rapport à l'horizon. Quelle est la hauteur de la tour ? (fig. 298 du manuel)

Solution

Considérons un triangle ABC - rectangulaire et isocèle, car l'angle CBA = 45 0, puis l'angle BCA = 45 0, ce qui signifie CA = 50m.

Considérons un triangle ABN - rectangulaire, tg (ABN) = AN / AB, d'où

AH = AB tg (AVN), soit AH = 50tg 10 0, donc AH = 9m. CH = CA + AH = 50 + 9 = 59 (m)

№ 1038

Il y a une tour sur la montagne, dont la hauteur est de 100 m. Un objet A au pied de la montagne est observé d'abord du sommet de la tour B à un angle de 60 0 par rapport à l'horizon, puis de sa base C à un angle de 30 0. Trouvez la hauteur H de la montagne (image 299 du manuel).

Solution:

angle EVA = 60 0

angle KSA = 30 0

Trouvez CP.

Solution:

Angle SVK = 30 0, car l'angle EBC = 90 0 et l'angle EBA = 60 0, d'où l'angle SKA = 60 0, ce qui signifie l'angle SKA = 180 0 - 60 0 = 120 0.

Dans le triangle SKA on voit que l'angle ACA = 30 0, l'angle SKA = 120 0, puis l'angle SKA = 30 0, on obtient que le triangle BCA est isocèle de base AB, puisque angle SVK = 30 0 et angle BAC = 30 0, ce qui signifie AC = 100m (BC = AC).

Considérons un triangle ACP, rectangulaire avec un angle aigu de 30 0 (RAS = ACK, angles d'entrecroisement à l'intersection des droites parallèles SK et AP de la sécante AC), et en face de l'angle de 30 0 se trouve la jambe la moitié de l'hypoténuse , donc PC = 50m.

2. Mesurer la distance jusqu'à un point inaccessible (mesurer la largeur de la rivière).

Cas 1. Mesure de la distance entre les points A et B, séparés par un obstacle (rivière).

Choisissons deux points accessibles A et B sur la rive du fleuve, dont la distance peut être mesurée. Du point A, le point B et le point C, pris sur la rive opposée, sont visibles. On mesure la distance AB, à l'aide de l'astrolabe on mesure les angles A et B, angle ACB = 180 0 - angle A - angle B

Connaissant un côté du triangle et tous les angles, par le théorème des sinus, on trouve la distance requise.

2 cas.

Mesure de la distance entre les points A et B, séparés par un obstacle (lac). Les points A et B sont disponibles.

Le troisième point C est sélectionné, à partir duquel les points A et B sont visibles et les distances qui les séparent peuvent être directement mesurées. Il s'avère un triangle, pour lequel l'angle ACB (mesuré avec un astrolabe) et les côtés AC et BC sont donnés. Sur la base de ces données, selon le théorème du cosinus, il est possible de déterminer la taille du côté AB - la distance requise. AB 2 = AC 2 + BC 2 - 2 AC * BC angle cos C.

3 cas :

Mesure de la distance entre les points A et B, séparés par un obstacle (forêt) et inaccessibles à la distance déterminante (les points sont de l'autre côté de la rivière).

Deux points accessibles C et K sont sélectionnés, dont la distance peut être mesurée et à partir desquels à la fois le point A et le point B sont visibles.

Installez l'astrolabe au point C et mesurez les angles ACK et ACK. Ensuite, la distance SC est mesurée et l'astrolabe est transféré au point K, à partir duquel les angles AKS et AKV sont mesurés. Sur le papier, le long du côté du SC, pris sur une certaine échelle et deux coins adjacents, les triangles ACK et BCK sont construits et les éléments de ces triangles sont calculés. Après avoir tracé la ligne AB dans le dessin, déterminez sa longueur directement à partir du dessin ou par calcul (ils résolvent les triangles ABC et AVK, qui incluent la ligne déterminée AB).

Travaux pratiques en 9 années en cours de géométrie :

• mesurer la hauteur de l'objet;
• distance au point inaccessible (largeur de la rivière).

Réalisez le travail à la fois à travers la similitude des triangles et à travers le sujet «Résoudre des triangles».

Tâche : comparer les résultats.

À la suite d'une série de leçons sur la considération de l'application pratique de la géométrie, les étudiants sont convaincus de l'application directe des mathématiques dans la vie pratique d'une personne (mesurer la distance à un point inaccessible, déterminer la hauteur d'un objet dans diverses façons d'ici la fin de l'école primaire, à l'aide d'appareils de mesure). La résolution de problèmes de ce type suscite l'intérêt des étudiants, qui attendent avec impatience les cours liés à la mesure directe au sol. Et les tâches proposées dans le manuel vous présentent différentes manières de résoudre ces problèmes.

Littérature:

1. Atanasyan L.S. Géométrie 7 -9. - Moscou : Éducation, 2000

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