La génératrice de la surface d'un cylindre circulaire droit est. Cylindre comme figure géométrique

Le nom de la science « géométrie » se traduit par « mesure de la terre ». Elle est née des efforts des tout premiers arpenteurs-géomètres de l'Antiquité. Et c'était comme ça : lors des crues du Nil sacré, les courants d'eau emportaient parfois les limites des parcelles des agriculteurs, et les nouvelles limites pouvaient ne pas coïncider avec les anciennes. Les impôts étaient payés par les paysans au trésor du pharaon au prorata de la taille de l'attribution des terres. Des personnes spéciales ont été impliquées dans la mesure des terres arables dans les nouvelles frontières après le déversement. C'est grâce à leurs activités que nouvelle science développé en La Grèce ancienne... Là, elle reçut le nom et acquit pratiquement aspect moderne... Plus tard, le terme est devenu le nom international de la science des figures plates et volumétriques.

La planimétrie est une branche de la géométrie qui traite de l'étude des figures planes. Une autre branche de la science est la stéréométrie, qui examine les propriétés des figures spatiales (volumétriques). Le cylindre décrit dans cet article appartient également à de telles formes.

Exemples de présence d'objets cylindriques dans Vie courante assez. Presque toutes les parties de la rotation - arbres, bagues, tourillons, essieux, etc. ont une forme cylindrique (beaucoup moins souvent - conique). Le cylindre est largement utilisé dans la construction : tours, support, colonnes décoratives. Et en plus, de la vaisselle, certains types d'emballages, des tuyaux de tous les diamètres possibles. Et enfin - les célèbres chapeaux, qui sont devenus depuis longtemps un symbole de l'élégance masculine. La liste est interminable.

Définition d'un cylindre en tant que forme géométrique

Il est d'usage d'appeler un cylindre (cylindre circulaire) une figure composée de deux cercles, qui, si désiré, sont combinés à l'aide d'un transfert parallèle. Ce sont ces cercles qui sont les bases du cylindre. Mais les lignes (segments de droites) reliant les points correspondants sont appelées "générateurs".

Il est important que les bases du cylindre soient toujours égales (si cette condition n'est pas remplie, alors on a - fruste, autre chose, mais pas un cylindre) et sont dans des plans parallèles. Les segments reliant les points correspondants sur les cercles sont parallèles et égaux.

L'ensemble d'un ensemble infini de générateurs n'est rien de plus que la surface latérale du cylindre - l'un des éléments de cette figure géométrique. Son autre élément important sont les cercles discutés ci-dessus. On les appelle des bases.

Types de cylindres

Le type de cylindre le plus simple et le plus courant est circulaire. Il est formé de deux cercles réguliers qui servent de bases. Mais à la place d'eux, il peut y avoir d'autres chiffres.

Les bases des cylindres peuvent former (à l'exception des cercles) des ellipses, autres formes fermées. Mais le cylindre n'a pas nécessairement une forme fermée. Par exemple, la base d'un cylindre peut être une parabole, une hyperbole ou une autre fonction ouverte. Un tel cylindre sera ouvert ou dilaté.

En termes d'angle d'inclinaison des génératrices sur les bases, les cylindres peuvent être droits ou inclinés. Pour un cylindre droit, les génératrices sont strictement perpendiculaires au plan de base. Si l'angle donné diffère de 90°, le cylindre est incliné.

Qu'est-ce qu'une surface de révolution

Le cylindre circulaire droit est sans aucun doute la surface de révolution la plus couramment utilisée en ingénierie. Parfois, pour des raisons techniques, coniques, sphériques, d'autres types de surfaces sont utilisés, mais 99% de tous les arbres rotatifs, essieux, etc. fait précisément sous la forme de cylindres. Afin de mieux comprendre ce qu'est une surface de révolution, on peut considérer comment se forme le cylindre lui-même.

Disons qu'il y a une certaine ligne droite une situé verticalement. ABCD - un rectangle dont l'un des côtés (segment AB) se trouve sur une ligne droite une... Si vous faites pivoter un rectangle autour d'une ligne droite, comme indiqué sur la figure, le volume qu'il occupera pendant la rotation sera notre corps de révolution - un cylindre circulaire droit de hauteur H = AB = DC et de rayon R = AD = BC.

Dans ce cas, à la suite de la rotation de la forme - le rectangle - un cylindre est obtenu. En faisant tourner un triangle, vous pouvez obtenir un cône, faire tourner un demi-cercle - une boule, etc.

Surface du cylindre

Afin de calculer la surface d'un cylindre circulaire droit ordinaire, il est nécessaire de calculer les surfaces des bases et de la surface latérale.

Voyons d'abord comment la surface latérale est calculée. C'est le produit de la circonférence et de la hauteur du cylindre. La circonférence, à son tour, est égale à deux fois le produit du nombre universel N.-É. par le rayon du cercle.

L'aire d'un cercle, comme vous le savez, est égale au produit N.-É. par carré de rayon. Ainsi, en additionnant les formules pour l'aire de détermination de la surface latérale avec une expression doublée pour l'aire de la base (il y en a deux) et en effectuant des transformations algébriques simples, nous obtenons l'expression finale pour déterminer la surface aire d'un cylindre.

Déterminer le volume d'une figure

Le volume d'un cylindre est déterminé selon le schéma standard: la surface de la base est multipliée par la hauteur.

Ainsi, la formule finale ressemble à ceci : celui désiré est défini comme le produit de la taille du corps par le nombre universel N.-É. et par le carré du rayon de la base.

La formule qui en résulte, je dois le dire, est applicable à la résolution des problèmes les plus inattendus. De la même manière que le volume d'un cylindre par exemple, le volume du câblage électrique est déterminé. Ceci est parfois nécessaire pour calculer la masse des fils.

Les seules différences dans la formule sont qu'au lieu du rayon d'un cylindre, le diamètre du noyau du fil est divisé par deux et le nombre de noyaux dans le fil apparaît dans l'expression N... De plus, la longueur du fil est utilisée au lieu de la hauteur. Ainsi, le volume du "cylindre" est calculé non pas par un, mais par le nombre de fils tressés.

De tels calculs sont souvent nécessaires dans la pratique. Après tout, une partie importante des réservoirs d'eau est réalisée sous la forme d'un tuyau. Et il est souvent nécessaire de calculer le volume d'un cylindre même dans un ménage.

Cependant, comme déjà mentionné, la forme du cylindre peut être différente. Et dans certains cas, il est nécessaire de calculer à quoi est égal le volume d'un cylindre incliné.

La différence est que la surface de la base est multipliée non par la longueur de la génératrice, comme dans le cas d'un cylindre droit, mais par la distance entre les plans - un segment perpendiculaire construit entre eux.

Comme on peut le voir sur la figure, un tel segment est égal au produit de la longueur de la génératrice par le sinus de l'angle d'inclinaison de la génératrice par rapport au plan.

Comment construire un cylindre déplié

Dans certains cas, il est nécessaire de découper un balayage du cylindre. La figure ci-dessous montre les règles selon lesquelles une ébauche est construite pour la fabrication d'un cylindre d'une hauteur et d'un diamètre donnés.

Il convient de garder à l'esprit que la figure est indiquée sans tenir compte des coutures.

Différences de cylindre biseauté

Imaginons un certain cylindre droit borné d'un côté par un plan perpendiculaire à la génératrice. Mais le plan qui délimite le cylindre en revanche n'est pas perpendiculaire à la génératrice et n'est pas parallèle au premier plan.

La figure montre un cylindre biseauté. Avion uneà un certain angle autre que 90 ° par rapport aux générateurs, il coupe la figure.

Tel Forme géométrique plus courant dans la pratique sous la forme de raccords de tuyaux (coudes). Mais il existe même des bâtiments construits en forme de cylindre biseauté.

Géométrie du cylindre biseauté

L'inclinaison de l'un des plans du cylindre biseauté modifie légèrement l'ordre de calcul à la fois de la surface d'une telle figure et de son volume.

Délimité par une surface cylindrique et deux plans parallèles qui la coupent.

Définitions associées

Surface cylindrique- la surface obtenue en déplaçant une droite (génératrice), parallèle à une quelconque donnée, coupant une ligne courbe (guide), située dans un plan droit donné non parallèle. Les figures planes formées par l'intersection d'une surface cylindrique avec deux plans parallèles sont appelées bases de cylindre... La surface cylindrique entre les plans des bases est appelée surface latérale cylindre. Si le plan de la base et le plan du guide sont parallèles, la frontière de la base coïncidera en forme avec le guide.

Les types

Dans la plupart des cas, un cylindre signifie un cylindre circulaire droit, dans lequel le guide est un cercle et les bases sont perpendiculaires à la génératrice. Un tel cylindre a un axe de symétrie.

Autres types de cylindre - (par l'inclinaison de la génératrice) oblique ou incliné (si la génératrice ne touche pas la base à angle droit); (sous forme de base) elliptique, hyperbolique, parabolique.

Un prisme est aussi un type de cylindre - avec une base polygonale.

Surface du cylindre

Surface latérale

L'aire de la surface latérale du cylindre est égale à la longueur de la génératrice multipliée par le périmètre de la section du cylindre par le plan perpendiculaire à la génératrice.

La surface latérale d'un cylindre droit est calculée à partir de son balayage. Le cylindre déplié est un rectangle de hauteur $h$ et longueur $P$égal au périmètre de la base. Par conséquent, l'aire de la surface latérale du cylindre est égale à l'aire de son balayage et est calculée par la formule :

$S\_b\; =\; P\; h$

En particulier, pour un cylindre circulaire droit :

$P\; =\; 2\; \backslash \; pi\; R$, et $S\_b\; =\; 2\; \backslash \; pi\; R\; h$

Pour un cylindre incliné, la surface latérale est égale à la longueur de la génératrice multipliée par le périmètre de la section perpendiculaire à la génératrice :

$S\_b\; =\; P\; \_\; (\backslash \; perp)\; h$

Contrairement au volume, il n'existe pas de formule simple exprimant la surface latérale d'un cylindre oblique à travers les paramètres de la base et de la hauteur. Pour un cylindre circulaire oblique, vous pouvez utiliser les formules approximatives pour le périmètre d'une ellipse, puis multiplier la valeur résultante par la longueur de la génératrice.

Superficie totale

La surface totale du cylindre est égale à la somme des surfaces de sa surface latérale et de ses bases.

Pour un cylindre circulaire droit : $S\_\; (p)\; =\; 2\; \backslash \; pi\; R\; h\; +2\; \backslash \; pi\; R\; ^\; 2\; =\; 2\; \backslash \; pi\; R\; (h\; +\; R)$

Volume du cylindre

Il existe deux formules pour un cylindre incliné :

• Le volume est égal à la longueur de la génératrice multipliée par la section transversale du cylindre par le plan perpendiculaire à la génératrice. $V\; =\; S\; \_\; (\backslash \; perp)\; l$,
• Le volume est égal à la surface de la base multipliée par la hauteur (la distance entre les plans dans lesquels se trouvent les bases): $V\; =\; Sh\; =\; Sl\; \backslash \; sin\; (\backslash \; varphi)$,

où $je$ est la longueur de la génératrice, et $\backslash \; varphi$- l'angle entre la génératrice et le plan de la base. Pour cylindre droit $h\; =\; l$.

Pour cylindre droit $\backslash \; sin\; (\backslash \; varphi)\; =\; 1$, $l\; =\; h$ et $S\; \_\; (\backslash \; perp)\; =\; S$, et le volume est :

• $V\; =\; Sl\; =\; Sh$

Pour un cylindre circulaire :

$V\; =\; \backslash \; pi\; R\; ^\; (2)\; h\; =\; \backslash \; pi\; \backslash \; frac\; (d\; ^\; (2))\; (4)\; h$

où ré- diamètre de base.

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Remarques (modifier)

Extrait du cylindre

- Paris la capitale du monde... [Paris est la capitale du monde...] - dit Pierre en terminant son discours.
Le capitaine regarda Pierre. Il avait l'habitude au milieu d'une conversation de s'arrêter et de regarder avec des yeux intensément riants et affectueux.
- Eh bien, si vous ne m'aviez pas dit que vous etes Russe, j'aurai parie que vous etes Parisien. Vous avez ce je ne sais, quoi, ce ... [Eh bien, si vous ne m'aviez pas dit que vous êtes russe, j'aurais parié que vous étiez parisien. Il y a quelque chose en toi, ce ...] - et, après avoir dit ce compliment, il regarda à nouveau en silence.
- J "ai ete a Paris, j" y ai passe des annees, [J'etais a Paris, j'y ai passe des annees entieres,] - dit Pierre.
- Oh ça se voit bien. Paris! .. Un homme qui ne connait pas Paris, est un sauvage. Un Parisien, ca se envoya a deux lieux. Paris, s'est Talma, la Duschenois, Potier, la Sorbonne, les boulevards, - et constatant que la conclusion est plus faible que la précédente, il ajouta précipitamment : - Il n'y a qu'un Paris au monde. Vous avez ete a Paris et vous etes reste Busse. Eh bien, je ne vous en estime pas moins. . Paris c'est Talma, Duchenois, Potier, Sorbonne, boulevards... Il y a un Paris partout dans le monde. Tu étais à Paris et tu es resté russe. Eh bien, je ne te respecte pas moins pour ça.]
Sous l'influence du vin qu'il avait bu et après des jours passés dans la solitude avec ses pensées sombres, Pierre éprouva un plaisir involontaire à causer avec cette personne enjouée et bon enfant.
- Pour en revenir à vos dames, sur les dit bien belles. Quelle fichue idee d "aller s" enterrer dans les steppes, quand l "armee francaise est a Moscou. Quelle chance elles ont manque celles la. Vos moujiks c" est autre choose, mais voua autres gens civilises vous devriez nous connaitre mieux que ca ... Nous avons pris Vienne, Berlin, Madrid, Naples, Rome, Varsovie, toutes les capitales du monde ... On nous craint, mais on nous aime. Nous sommes bons à connaitre. Et puis l "Empereur ! [Mais revenons à vos dames : elles disent qu'elles sont très belles. Quelle idée stupide d'aller s'enterrer dans la steppe quand l'armée française est à Moscou ! magnifique cas... Vos hommes, je comprends, mais vous - les gens instruits - auriez dû nous connaître mieux que cela. Nous avons pris Vienne, Berlin, Madrid, Naples, Rome, Varsovie, toutes les capitales du monde. Ils ont peur de nous, mais ils nous aiment. Il n'est pas nuisible de mieux nous connaître. Et puis l'empereur...] - commença-t-il, mais Pierre l'interrompit.
- L "Empereur", répéta Pierre, et son visage prit soudain une expression triste et gênée. - Est ce que l "Empereur ? .. [Empereur... Qu'est-ce que l'empereur ? ..]
- L "Empereur ? C" est la generosite, la clemence, la justice, l "ordre, le genie, voila l" Empereur ! C "est moi, Ram ball, qui vous le dit. Tel que vous me see, j" etais son ennemi il y a encore huit ans. Mon pere a ete comte emigre ... Mais il m "a vaincu, cet homme. Il m" a empoigne. Je n "ai pas pu resister au spectacle de grandeur et de gloire dont il couvrait la France. Quand j" ai compris ce qu "il voulait, quand j" ai vu qu "il nous faisait une litiere de lauriers, see vous, je me suis dit: voila un souverain, et je me suis donne a lui. Eh voila! Oh, oui, mon cher, c "est le plus grand homme des siecles passe et a venir. [Empereur? Cette générosité, cette miséricorde, cette justice, cet ordre, ce génie, voilà ce qu'est un empereur ! C'est moi, Rambal, je te le dis. Comme vous me voyez, j'étais son ennemi il y a huit ans. Mon père était comte et émigré. Mais il m'a vaincu, cet homme. Il a pris possession de moi. Je n'ai pu résister au spectacle de grandeur et de gloire dont il couvrait la France. Quand j'ai compris ce qu'il voulait, quand j'ai vu qu'il nous préparait un lit de lauriers, je me suis dit : voici le souverain, et je me suis rendu à lui. Et donc! Oh oui, ma chérie, c'est le plus bonne personne siècles passés et futurs.]

Cylindre (cylindre circulaire) - un corps composé de deux cercles, combinés par une translation parallèle, et de tous les segments reliant les points correspondants de ces cercles. Les cercles sont appelés les bases du cylindre et les segments de droite reliant les points correspondants des cercles des cercles sont appelés les génératrices du cylindre.

Les bases du cylindre sont égales et se situent dans des plans parallèles, et les génératrices du cylindre sont parallèles et égales. La surface du cylindre se compose de bases et d'une surface latérale. La surface latérale est formée par des génératrices.

Un cylindre est dit droit si ses génératrices sont perpendiculaires aux plans de base. Un cylindre peut être considéré comme un solide obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés comme un axe. Il existe d'autres types de cylindres - elliptiques, hyperboliques, paraboliques. Un prisme est également considéré comme un type de cylindre.

La figure 2 montre un cylindre incliné. Les cercles de centres O et O 1 sont ses bases.

Rayon du cylindre - rayon de sa base. La hauteur du cylindre est la distance entre les plans des bases. L'axe du cylindre est une droite passant par les centres des bases. Il est parallèle à la génératrice. La section d'un cylindre par un plan passant par l'axe du cylindre est appelée section axiale. Le plan passant par la génératrice d'un cylindre droit et perpendiculaire à la section axiale tracée par cette génératrice est appelé le plan tangent du cylindre.

Un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre coupe sa surface latérale en un cercle, circonférence égale terrains.

Un prisme inscrit dans un cylindre est un prisme dont les bases sont des polygones égaux inscrits dans les bases du cylindre. Ses nervures latérales sont génératrices du cylindre. Un prisme est dit circonscrit à un cylindre si ses bases sont des polygones égaux circonscrits aux bases du cylindre. Les plans de ses faces touchent la surface latérale du cylindre.

L'aire de la surface latérale du cylindre peut être calculée en multipliant la longueur de la génératrice par le périmètre de la section du cylindre par un plan perpendiculaire à la génératrice.

La surface latérale d'un cylindre droit peut être trouvée par son balayage. Le cylindre déplié est un rectangle de hauteur h et de longueur P, qui est égal au périmètre de base. Par conséquent, l'aire de la surface latérale du cylindre est égale à l'aire de son balayage et est calculée par la formule :

En particulier, pour un cylindre circulaire droit :

P = 2πR, et S b = 2πRh.

La surface totale du cylindre est égale à la somme des surfaces de sa surface latérale et de ses bases.

Pour un cylindre circulaire droit :

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR (h + R)

Il existe deux formules pour trouver le volume d'un cylindre incliné.

Vous pouvez trouver le volume en multipliant la longueur de la génératrice par la section transversale du cylindre par le plan perpendiculaire à la génératrice.

Le volume du cylindre incliné est égal au produit de la surface de la base par la hauteur (la distance entre les plans dans lesquels se trouvent les bases):

V = Sh = S l sin ,

où l est la longueur de la génératrice, et est l'angle entre la génératrice et le plan de la base. Pour un cylindre droit h = l.

La formule pour trouver le volume d'un cylindre circulaire est la suivante :

V = R 2 h = (d 2/4) h,

où d est le diamètre de la base.

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kýlindros, rouleau, rouleau) - un corps géométrique délimité par une surface cylindrique (appelée surface latérale du cylindre) et pas plus de deux surfaces (bases de cylindre); de plus, s'il y a deux bases, alors l'une est obtenue de l'autre par transfert parallèle le long de la génératrice de la surface latérale du cylindre ; et la base coupe exactement une fois chaque génératrice de la surface latérale.

Un corps infini délimité par une surface cylindrique infinie fermée est appelé cylindre sans fin limité par un rayon cylindrique fermé et sa base est appelée cylindre ouvert... La base et les génératrices d'une poutre cylindrique sont appelées respectivement la base et les génératrices d'un cylindre ouvert.

Un corps fini, délimité par une surface cylindrique finie fermée et deux sections qui la distinguent, est appelé cylindre d'extrémité, ou en fait cylindre... Les sections sont appelées les bases du cylindre. Par définition d'une surface cylindrique finie, les bases du cylindre sont égales.

Évidemment, les génératrices de la surface latérale du cylindre sont de longueur égale (appelée la taille cylindre) segments se trouvant sur des droites parallèles, et leurs extrémités se trouvant sur les bases du cylindre. Les curiosités mathématiques incluent la définition de toute surface tridimensionnelle finie sans auto-intersections comme un cylindre de hauteur nulle (cette surface est considérée simultanément comme les deux bases du cylindre final). Les bases du cylindre ont un effet qualitatif sur le cylindre.

Si les bases du cylindre sont plates (et, par conséquent, les plans qui les contiennent sont parallèles), alors le cylindre est appelé debout dans un avion... Si les bases d'un cylindre placé sur un plan sont perpendiculaires à la génératrice, alors le cylindre est dit droit.

En particulier, si la base d'un cylindre placé sur un plan est un cercle, alors on parle de cylindre circulaire (rond) ; si l'ellipse est elliptique.

Le volume du cylindre final est égal à l'intégrale de l'aire de base le long de la génératrice. En particulier, le volume d'un cylindre circulaire droit est

,

(où est le rayon de la base, est la hauteur).

La surface latérale du cylindre est calculée à l'aide de la formule suivante :

.

La surface totale du cylindre est la somme de la surface latérale et de la surface de base. Pour un cylindre circulaire droit :

.

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Voyez ce qu'est « Cylindre (géométrie) » dans d'autres dictionnaires :

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