Quelques propriétés du théorème des triangles rectangles. Tout sur les triangles rectangles
Triangle rectangle. Le guide illustré complet (2019)
TRIANGLE RECTANGLE. PREMIER NIVEAU.
Dans les tâches, un angle droit n'est pas du tout nécessaire - le coin inférieur gauche, vous devez donc apprendre à reconnaître un triangle rectangle sous cette forme,
et en tel,
et dans un tel 
A quoi bon un triangle rectangle ? Eh bien ... tout d'abord, il y a de jolis noms spéciaux pour ses fêtes.
Attention au dessin !
N'oubliez pas et ne confondez pas : jambes - deux, et l'hypoténuse - une seule(le seul et unique et le plus long) !
Eh bien, les noms ont été discutés, maintenant la chose la plus importante : le théorème de Pythagore.
Théorème de Pythagore.
Ce théorème est la clé pour résoudre de nombreux problèmes impliquant un triangle rectangle. Il a été prouvé par Pythagore dans des temps tout à fait immémoriaux, et depuis lors, il a apporté de nombreux avantages à ceux qui le connaissent. Et ce qu'il y a de mieux chez elle, c'est qu'elle est simple.
Alors, Théorème de Pythagore:
Vous vous souvenez de la blague : « Les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous les côtés ! » ?
Dessinons ce même pantalon pythagoricien et regardons-le. 
Cela ne ressemble-t-il pas à une sorte de short ? Eh bien, de quels côtés et où sont-ils égaux? Pourquoi et d'où vient la blague ? Et cette plaisanterie est liée précisément au théorème de Pythagore, plus précisément à la façon dont Pythagore lui-même a formulé son théorème. Et il l'a formulé comme suit :
"Somme carrés construit sur des jambes est égal à surface carrée construit sur l'hypoténuse ».
Cela ne semble-t-il pas un peu différent? Et ainsi, lorsque Pythagore a dessiné l'énoncé de son théorème, une telle image s'est avérée.
Sur cette image, la somme des aires des petits carrés est égale à l'aire du grand carré. Et pour que les enfants se souviennent mieux que la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse, quelqu'un d'esprit a inventé cette blague sur le pantalon de Pythagore.
Pourquoi formulons-nous maintenant le théorème de Pythagore
Pythagore a-t-il souffert et parlé de carrés ?
Vous voyez, dans les temps anciens il n'y avait pas... d'algèbre ! Il n'y avait pas de désignations et ainsi de suite. Il n'y avait aucune inscription. Pouvez-vous imaginer à quel point c'était horrible pour les pauvres anciens disciples de tout mémoriser avec des mots ??! Et nous pouvons nous réjouir d'avoir une formulation simple du théorème de Pythagore. Répétons-le encore pour mieux nous en souvenir :
Cela devrait être facile maintenant :
| Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes. |
Eh bien, le théorème le plus important sur un triangle rectangle a été discuté. Si vous êtes intéressé par la façon dont cela est prouvé, lisez les prochains niveaux de théorie, et maintenant allons plus loin... dans la forêt sombre... de la trigonométrie ! Aux mots terribles sinus, cosinus, tangente et cotangente.
Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle.
En fait, ce n'est pas si effrayant du tout. Bien sûr, les "vraies" définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente doivent être trouvées dans l'article. Mais je ne veux vraiment pas, non ? On peut se réjouir : pour résoudre des problèmes sur un triangle rectangle, vous pouvez simplement remplir les choses simples suivantes :
Pourquoi tout tourne-t-il dans le coin ? Où est le coin ? Pour comprendre cela, vous devez savoir comment les déclarations 1 à 4 sont écrites avec des mots. Regardez, comprenez et souvenez-vous!
1.
En fait, ça sonne comme ça :
Et qu'en est-il du coin? Y a-t-il un pied opposé au coin, c'est-à-dire le pied opposé (pour le coin) ? Bien sûr! C'est une jambe !
Mais qu'en est-il de l'angle ? Regarder attentivement. Quelle jambe est adjacente au coin ? Bien sûr, la jambe. Par conséquent, pour l'angle, la jambe est adjacente, et
Maintenant, attention ! Regardez ce que nous avons :
Tu vois comme c'est génial :
Passons maintenant à la tangente et à la cotangente.
Comment puis-je l'écrire avec des mots maintenant? Quelle est la jambe par rapport au coin? En face, bien sûr - il "se trouve" en face du coin. Et la jambe ? Adjacent au coin. Alors qu'est ce qu'on a fait?
Voir le numérateur et le dénominateur sont inversés ?
Et maintenant encore les coins et fait l'échange :
Résumé
Écrivons brièvement tout ce que nous avons appris.
 |
Théorème de Pythagore: |
Le théorème principal sur un triangle rectangle est le théorème de Pythagore.
théorème de Pythagore
Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse ? Sinon, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances
Il est possible que vous ayez déjà utilisé le théorème de Pythagore plusieurs fois, mais vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un tel théorème est vrai ? Comment puis-je le prouver? Faisons comme les anciens Grecs. Dessinons un carré avec un côté.
Vous voyez comme nous avons intelligemment divisé ses côtés en longueurs et !
Relions maintenant les points marqués
Ici, cependant, nous avons noté autre chose, mais vous regardez vous-même le dessin et réfléchissez à la raison pour laquelle il en est ainsi.
Quelle est l'aire du plus grand carré ? À droite, . Une zone plus petite ? Assurément, . La superficie totale des quatre coins reste. Imaginez que nous les prenions deux à la fois et les appuyions l'un contre l'autre avec des hypoténuses. Que s'est-il passé? Deux rectangles. Cela signifie que la surface des "restes" est égale à.
Rassemblons le tout maintenant.
Transformons :
Nous avons donc visité Pythagore - nous avons prouvé son théorème d'une manière ancienne.
Triangle rectangle et trigonométrie
Pour un triangle rectangle, les relations suivantes sont vérifiées :
Le sinus d'un angle aigu est égal au rapport jambe opposéeà l'hypoténuse
Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.
La tangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente.
La cotangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe adjacente à la jambe opposée.
Et encore une fois, tout cela se présente sous forme d'assiette :
C'est très confortable !
Tests d'égalité pour les triangles rectangles
I. Sur deux pattes
II. Sur la jambe et l'hypoténuse
III. Par hypoténuse et angle aigu
IV. Sur une jambe et un coin pointu
une) 
b) 
Attention! Il est très important ici que les jambes soient "appropriées". Par exemple, si c'est comme ça :
ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils aient le même angle aigu.
Besoin de dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux triangles, opposée.
Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes d'égalité habituels des triangles ? Jetez un œil au sujet « et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles« ordinaires », vous avez besoin de l'égalité de leurs trois éléments : deux côtés et un angle entre eux, deux angles et un côté entre eux ou trois côtés. Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. Super, n'est-ce pas ?
La situation est approximativement la même avec les signes de similitude des triangles rectangles.
Signes de similitude des triangles rectangles
I. Dans un virage serré
II. Sur deux pattes
III. Sur la jambe et l'hypoténuse
Médiane dans un triangle rectangle
Pourquoi cela est-il ainsi?
Considérons un rectangle entier au lieu d'un triangle rectangle.
Dessinons une diagonale et considérons un point - le point d'intersection des diagonales. Que sait-on des diagonales d'un rectangle ?
Et qu'est-ce qui en découle ?
Il s'est donc avéré que
- - médiane :
Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !
Ce qui est encore plus surprenant, c'est que l'inverse est également vrai.
A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée de l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons l'image
Regarder attentivement. Nous avons : c'est-à-dire que les distances entre le point et les trois sommets du triangle se sont avérées égales. Mais dans un triangle, il n'y a qu'un seul point, les distances à partir desquelles les trois sommets du triangle sont égaux, et c'est le CENTRE du CERCLE DÉCRIT. Alors, qu'est-ce-qu'il s'est passé?
Commençons par ce "d'ailleurs..."
Regardons et.
Mais dans de tels triangles tous les angles sont égaux !
On peut en dire autant de et
Maintenant, dessinons ensemble :
Quel bénéfice peut-on tirer de cette « triple » similitude.
Eh bien, par exemple - deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.
Écrivons la relation des parties respectives:
Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons la première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":
Alors, appliquons la similitude :.
Que se passe-t-il maintenant ?
Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule :
Ces deux formules doivent être très bien mémorisées et celle qui est la plus pratique à appliquer. Écrivons-les à nouveau
Théorème de Pythagore:
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes :.
Signes d'égalité des triangles rectangles :
- sur deux pattes :
- sur la jambe et l'hypoténuse : ou
- le long de la jambe et de l'angle aigu adjacent : ou
- le long de la jambe et de l'angle aigu opposé : ou
- par hypoténuse et angle aigu : ou.
Signes de similitude des triangles rectangles :
- un coin pointu : ou
- de la proportionnalité des deux jambes :
- de la proportionnalité de la jambe et de l'hypoténuse : ou.
Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle
- Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse :
- Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
- La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente :
- La cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'opposée :.
Hauteur d'un triangle rectangle : ou.
Dans un triangle rectangle, la médiane tirée du sommet angle droit, est égal à la moitié de l'hypoténuse :.
Aire d'un triangle rectangle :
- par les jambes :
Rectangulaire
Triangles
Géométrie, 7e année
Au manuel de L.S. Atanasyan
professeur de mathématiques de la catégorie la plus élevée
MOU "École secondaire de base Upshinskaya"
District d'Orsha de la République de Mari El
AC, BC - jambes
AB - hypoténuse
Propriété 1 0 . Somme coins pointus un triangle rectangle vaut 90 0.
Objectif 1. Trouver l'angle A d'un triangle rectangle ABC avec un angle droit C si : a) ے B = 32 0; b) ے B est 2 fois inférieur à l'angle A; c) ے B est 20 0 inférieur à l'angle A.
Objectif 2.
Objectif 3.
Angle A :
BC - jambe allongée à l'opposé de l'angle A
AC - pied adjacent au coin A
Angle B :
AC - jambe, ...
BC - jambe, ...
Nommez les jambes opposées aux coins N et K
Nommez les jambes adjacentes aux coins N et K
0
Tâche. Prouve-le 0 , est égal à la moitié de l'hypoténuse.
Propriété 2 0 . Jambe d'un triangle rectangle, faisant face à un angle de 30 0 , est égal à la moitié de l'hypoténuse.
Triangle rectangle avec un angle de 30 0
Tâche. Prouve-le 0 .
Propriété 3 0 . Si la jambe d'un triangle rectangle est la moitié de l'hypoténuse, alors l'angle opposé à cette jambe est de 30 0 .
Triangle rectangle avec un angle de 30 0
Problème 4 .
AB = 12 cm Trouver BC
Tâche 5.
BC = 7,5 cm Trouvez AB
Tâche 6.
AB + BC = 15 cm.
Trouver AB et BC
Triangle rectangle avec un angle de 30 0
Tâche 7.
AC = 4 cm Trouver AB
Problème 8.
AB - AC = 15 cm.
Trouver AB et AC
Triangle rectangle avec un angle de 30 0
Problème 9 .
Trouvez les angles aigus d'un triangle rectangle ABC si AB = 12 cm, BC = 6 cm.
Triangle rectangle avec un angle de 30 0
Problème 10 .
Trouvez les coins aigus d'un triangle rectangle si l'angle entre la bissectrice et la hauteur tirée du sommet de l'angle droit est de 15 0.
SC - bissectrice
CM - hauteur
Triangle rectangle avec un angle de 30 0
Devoir 11 .
Dans un triangle isocèle, l'un des coins est à 120 0 et la base à 4 cm. Trouvez la hauteur dessinée sur le côté.
AM - hauteur
Triangle rectangle avec un angle de 30 0
Devoir 12 .
La hauteur tracée sur le côté d'un triangle isocèle coupe l'angle entre la base et la bissectrice. Trouvez les coins du triangle isocèle.
AK - bissectrice de l'angle A
AM - hauteur
Triangle rectangle avec un angle de 30 0
Devoir 14 .
Montrer que si le triangle est rectangle, alors la médiane tirée du sommet de l'angle droit est la moitié de l'hypoténuse.
Propriété 4 0 .
ΔАВС - rectangulaire
CM - médiane
Vous avez une contradiction !
Triangle rectangle avec un angle de 30 0
Devoir 13 .
Démontrer que si la médiane d'un triangle est la moitié du côté sur lequel il est dessiné, alors le triangle est rectangle.
VM - médiane
Démontrer : ΔАВС - rectangulaire
Propriété 5 0 .
Quelques propriétés des triangles rectangles
Propriété 1 0 . La somme des angles aigus d'un triangle rectangle est de 90 0 .
Propriété 2 0 . Jambe d'un triangle rectangle, faisant face à un angle de 30 0 , égal à la moitié de l'hypoténuse .
Propriété 3 0 . Si la jambe d'un triangle rectangle est la moitié de l'hypoténuse, alors l'angle opposé à cette jambe est de 30 0 .
Propriété 4 0 . Dans un triangle rectangle, la médiane tirée du sommet de l'angle droit est la moitié de l'hypoténuse.
Propriété 5 0 . Si la médiane d'un triangle est la moitié du côté sur lequel il est dessiné, alors ce triangle est rectangle.
Niveau moyen
Triangle rectangle. Le guide illustré complet (2019)
TRIANGLE RECTANGLE. PREMIER NIVEAU.
Dans les tâches, un angle droit n'est pas du tout nécessaire - le coin inférieur gauche, vous devez donc apprendre à reconnaître un triangle rectangle sous cette forme,
et en tel,
et dans un tel
A quoi bon un triangle rectangle ? Eh bien ... tout d'abord, il y a de jolis noms spéciaux pour ses fêtes.
Attention au dessin !
N'oubliez pas et ne confondez pas : jambes - deux, et l'hypoténuse - une seule(le seul et unique et le plus long) !
Eh bien, les noms ont été discutés, maintenant la chose la plus importante : le théorème de Pythagore.
Théorème de Pythagore.
Ce théorème est la clé pour résoudre de nombreux problèmes impliquant un triangle rectangle. Il a été prouvé par Pythagore dans des temps tout à fait immémoriaux, et depuis lors, il a apporté de nombreux avantages à ceux qui le connaissent. Et ce qu'il y a de mieux chez elle, c'est qu'elle est simple.
Alors, Théorème de Pythagore:
Vous vous souvenez de la blague : « Les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous les côtés ! » ?
Dessinons ce même pantalon pythagoricien et regardons-le.
Cela ne ressemble-t-il pas à une sorte de short ? Eh bien, de quels côtés et où sont-ils égaux? Pourquoi et d'où vient la blague ? Et cette plaisanterie est liée précisément au théorème de Pythagore, plus précisément à la façon dont Pythagore lui-même a formulé son théorème. Et il l'a formulé comme suit :
"Somme carrés construit sur des jambes est égal à surface carrée construit sur l'hypoténuse ».
Cela ne semble-t-il pas un peu différent? Et ainsi, lorsque Pythagore a dessiné l'énoncé de son théorème, une telle image s'est avérée.
Sur cette image, la somme des aires des petits carrés est égale à l'aire du grand carré. Et pour que les enfants se souviennent mieux que la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse, quelqu'un d'esprit a inventé cette blague sur le pantalon de Pythagore.
Pourquoi formulons-nous maintenant le théorème de Pythagore
Pythagore a-t-il souffert et parlé de carrés ?
Vous voyez, dans les temps anciens il n'y avait pas... d'algèbre ! Il n'y avait pas de désignations et ainsi de suite. Il n'y avait aucune inscription. Pouvez-vous imaginer à quel point c'était horrible pour les pauvres anciens disciples de tout mémoriser avec des mots ??! Et nous pouvons nous réjouir d'avoir une formulation simple du théorème de Pythagore. Répétons-le encore pour mieux nous en souvenir :
Cela devrait être facile maintenant :
| Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes. |
Eh bien, le théorème le plus important sur un triangle rectangle a été discuté. Si vous êtes intéressé par la façon dont cela est prouvé, lisez les prochains niveaux de théorie, et maintenant allons plus loin... dans la forêt sombre... de la trigonométrie ! Aux mots terribles sinus, cosinus, tangente et cotangente.
Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle.
En fait, ce n'est pas si effrayant du tout. Bien sûr, les "vraies" définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente doivent être trouvées dans l'article. Mais je ne veux vraiment pas, non ? On peut se réjouir : pour résoudre des problèmes sur un triangle rectangle, vous pouvez simplement remplir les choses simples suivantes :
Pourquoi tout tourne-t-il dans le coin ? Où est le coin ? Pour comprendre cela, vous devez savoir comment les déclarations 1 à 4 sont écrites avec des mots. Regardez, comprenez et souvenez-vous!
1.
En fait, ça sonne comme ça :
Et qu'en est-il du coin? Y a-t-il un pied opposé au coin, c'est-à-dire le pied opposé (pour le coin) ? Bien sûr! C'est une jambe !
Mais qu'en est-il de l'angle ? Regarder attentivement. Quelle jambe est adjacente au coin ? Bien sûr, la jambe. Par conséquent, pour l'angle, la jambe est adjacente, et
Maintenant, attention ! Regardez ce que nous avons :
Tu vois comme c'est génial :
Passons maintenant à la tangente et à la cotangente.
Comment puis-je l'écrire avec des mots maintenant? Quelle est la jambe par rapport au coin? En face, bien sûr - il "se trouve" en face du coin. Et la jambe ? Adjacent au coin. Alors qu'est ce qu'on a fait?
Voir le numérateur et le dénominateur sont inversés ?
Et maintenant encore les coins et fait l'échange :
Résumé
Écrivons brièvement tout ce que nous avons appris.
|
Théorème de Pythagore: |
Le théorème principal sur un triangle rectangle est le théorème de Pythagore.
théorème de Pythagore
Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse ? Sinon, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances
Il est possible que vous ayez déjà utilisé le théorème de Pythagore plusieurs fois, mais vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un tel théorème est vrai ? Comment puis-je le prouver? Faisons comme les anciens Grecs. Dessinons un carré avec un côté.
Vous voyez comme nous avons intelligemment divisé ses côtés en longueurs et !
Relions maintenant les points marqués
Ici, cependant, nous avons noté autre chose, mais vous regardez vous-même le dessin et réfléchissez à la raison pour laquelle il en est ainsi.
Quelle est l'aire du plus grand carré ? À droite, . Une zone plus petite ? Assurément, . La superficie totale des quatre coins reste. Imaginez que nous les prenions deux à la fois et les appuyions l'un contre l'autre avec des hypoténuses. Que s'est-il passé? Deux rectangles. Cela signifie que la surface des "restes" est égale à.
Rassemblons le tout maintenant.
Transformons :
Nous avons donc visité Pythagore - nous avons prouvé son théorème d'une manière ancienne.
Triangle rectangle et trigonométrie
Pour un triangle rectangle, les relations suivantes sont vérifiées :
Le sinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse
Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.
La tangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente.
La cotangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe adjacente à la jambe opposée.
Et encore une fois, tout cela se présente sous forme d'assiette :
C'est très confortable !
Tests d'égalité pour les triangles rectangles
I. Sur deux pattes
II. Sur la jambe et l'hypoténuse
III. Par hypoténuse et angle aigu
IV. Sur une jambe et un coin pointu
une)
b)
Attention! Il est très important ici que les jambes soient "appropriées". Par exemple, si c'est comme ça :
ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils aient le même angle aigu.
Besoin de dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux triangles, opposée.
Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes d'égalité habituels des triangles ? Jetez un œil au sujet « et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles« ordinaires », vous avez besoin de l'égalité de leurs trois éléments : deux côtés et un angle entre eux, deux angles et un côté entre eux ou trois côtés. Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. Super, n'est-ce pas ?
La situation est approximativement la même avec les signes de similitude des triangles rectangles.
Signes de similitude des triangles rectangles
I. Dans un virage serré
II. Sur deux pattes
III. Sur la jambe et l'hypoténuse
Médiane dans un triangle rectangle
Pourquoi cela est-il ainsi?
Considérons un rectangle entier au lieu d'un triangle rectangle.
Dessinons une diagonale et considérons un point - le point d'intersection des diagonales. Que sait-on des diagonales d'un rectangle ?
Et qu'est-ce qui en découle ?
Il s'est donc avéré que
- - médiane :
Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !
Ce qui est encore plus surprenant, c'est que l'inverse est également vrai.
A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée de l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons l'image
Regarder attentivement. Nous avons : c'est-à-dire que les distances entre le point et les trois sommets du triangle se sont avérées égales. Mais dans un triangle, il n'y a qu'un seul point, les distances à partir desquelles les trois sommets du triangle sont égaux, et c'est le CENTRE du CERCLE DÉCRIT. Alors, qu'est-ce-qu'il s'est passé?
Commençons par ce "d'ailleurs..."
Regardons et.
Mais dans de tels triangles tous les angles sont égaux !
On peut en dire autant de et
Maintenant, dessinons ensemble :
Quel bénéfice peut-on tirer de cette « triple » similitude.
Eh bien, par exemple - deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.
Écrivons la relation des parties respectives:
Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons la première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":
Alors, appliquons la similitude :.
Que se passe-t-il maintenant ?
Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule :
Ces deux formules doivent être très bien mémorisées et celle qui est la plus pratique à appliquer. Écrivons-les à nouveau
Théorème de Pythagore:
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes :.
Signes d'égalité des triangles rectangles :
- sur deux pattes :
- sur la jambe et l'hypoténuse : ou
- le long de la jambe et de l'angle aigu adjacent : ou
- le long de la jambe et de l'angle aigu opposé : ou
- par hypoténuse et angle aigu : ou.
Signes de similitude des triangles rectangles :
- un coin pointu : ou
- de la proportionnalité des deux jambes :
- de la proportionnalité de la jambe et de l'hypoténuse : ou.
Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle
- Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse :
- Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
- La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente :
- La cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'opposée :.
Hauteur d'un triangle rectangle : ou.
Dans un triangle rectangle, la médiane tirée du sommet de l'angle droit est la moitié de l'hypoténuse :.
Aire d'un triangle rectangle :
- par les jambes :
Définition.Triangle rectangle - un triangle dont l'un des coins est une droite (égale à).
Triangle rectangle - cas particulier un triangle ordinaire. Par conséquent, toutes les propriétés des triangles ordinaires pour les rectangles sont conservées. Mais il y a aussi quelques propriétés particulières dues à la présence d'un angle droit.
Désignations courantes (Fig. 1) :
- angle droit;
- hypoténuse;
- jambes;
Riz. un.
AVECpropriétés d'un triangle rectangle.
Propriété 1... La somme des angles et d'un triangle rectangle est.
Preuve... Rappelons que la somme des angles de tout triangle est. Compte tenu du fait que, nous obtenons que la somme des deux angles restants est
Propriété 2... Dans un triangle rectangle hypoténuse plus que n'importe lequel de jambes(est le plus grand côté).
Preuve... Rappelez-vous que dans un triangle opposé au plus grand angle se trouve le plus grand côté (et vice versa). La propriété 1 prouvée ci-dessus implique que la somme des angles et d'un triangle rectangle est égale à. Puisque l'angle d'un triangle ne peut pas être égal à 0, alors chacun d'eux est plus petit. Cela signifie qu'il est le plus grand, ce qui signifie que le plus grand côté du triangle se trouve en face de lui. Cela signifie que l'hypoténuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle, c'est-à-dire :.
Propriété 3... Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est inférieure à la somme des jambes.
Preuve... Cette propriété devient évidente si l'on se souvient inégalité triangulaire.
Inégalité triangulaire
Dans tout triangle, la somme de deux côtés est supérieure au troisième côté.
La propriété 3 découle immédiatement de cette inégalité.
Noter: malgré le fait que chacune des jambes individuellement est inférieure à l'hypoténuse, leur somme est supérieure. Dans un exemple numérique, cela ressemble à ceci : mais.
v :
1er signe (sur les 2 côtés et l'angle entre eux) : si les triangles ont deux côtés et l'angle entre eux, alors ces triangles sont égaux les uns aux autres.
2e enseigne (le long du côté et dans deux coins adjacents) : si les triangles ont un côté égal et deux angles adjacents à ce côté, alors ces triangles sont égaux les uns aux autres. Noter: en utilisant le fait que la somme des angles d'un triangle est constante et égale, il est facile de prouver que la condition d'"ajustement" des angles n'est pas nécessaire, c'est-à-dire que le signe sera vrai dans la formulation suivante : ". .. le côté et les deux angles sont égaux, alors ...".
3ème signe (sur 3 côtés) : si les triangles ont les trois côtés égaux, alors ces triangles sont égaux les uns aux autres.
Naturellement, tous ces signes restent vrais pour les triangles rectangles. Cependant, les triangles rectangles ont une caractéristique importante : ils ont toujours une paire d'angles droits égaux. Par conséquent, ces caractéristiques sont simplifiées pour eux. Alors, formulons les critères d'égalité des triangles rectangles :
1er signe (sur deux pattes) : si les triangles rectangles ont des jambes par paires égales, alors ces triangles sont égaux les uns aux autres (Fig. 2).
Donné:
Riz. 2. Illustration du premier signe d'égalité des triangles rectangles
Prouver:
Preuve: dans les triangles rectangles :. Cela signifie que nous pouvons utiliser le premier signe d'égalité des triangles (sur 2 côtés et l'angle entre eux) et obtenir :.
2-ième signe (par jambe et angle): si une jambe et un angle aigu d'un triangle rectangle sont égaux à la jambe et à un angle aigu d'un autre triangle rectangle, alors ces triangles sont égaux l'un à l'autre (Fig. 3).
Donné:
Riz. 3. Illustration du deuxième signe d'égalité des triangles rectangles
Prouver:
Preuve: on remarque tout de suite que le fait que les angles adjacents à des jambes égales soient égaux n'est pas fondamental. En effet, la somme des angles aigus d'un triangle rectangle (par la propriété 1) est égale à. Cela signifie que si une paire de ces angles est égale, alors l'autre est également égale (puisque leurs sommes sont les mêmes).
La preuve de cette fonctionnalité se réduit à l'utilisation le deuxième signe d'égalité des triangles(2 coins et côté). En effet, par condition, les pattes et une paire de coins adjacents sont égales. Mais la deuxième paire de coins adjacents est constituée de coins. Ainsi, nous pouvons utiliser le deuxième signe d'égalité des triangles et obtenir :.
3ème signe (par hypoténuse et angle) : si l'hypoténuse et l'angle aigu d'un triangle rectangle sont égaux à l'hypoténuse et à l'angle aigu d'un autre triangle rectangle, alors ces triangles sont égaux (Fig. 4).
Donné:
Riz. 4. Illustration du troisième signe d'égalité des triangles rectangles
Prouver:
Preuve: pour prouver cette fonctionnalité, vous pouvez immédiatement utiliser le deuxième signe d'égalité des triangles- sur le côté et deux coins (plus précisément, une conséquence, qui indique que les coins ne doivent pas nécessairement être adjacents au côté). En effet, par la condition :,, et des propriétés des triangles rectangles, il en résulte que. Par conséquent, nous pouvons utiliser le deuxième signe d'égalité des triangles et obtenir :.
4ème signe (par hypoténuse et jambe) : si l'hypoténuse et la jambe d'un triangle rectangle sont égales respectivement à l'hypoténuse et à la jambe de l'autre triangle rectangle, alors ces triangles sont égaux l'un à l'autre (Fig. 5).
Donné:
Riz. 5. Illustration du quatrième signe d'égalité des triangles rectangles
Prouver:
Preuve: pour prouver ce signe, nous utiliserons le signe d'égalité des triangles, que nous avons formulé et prouvé dans la dernière leçon, à savoir : si les triangles ont deux côtés égaux et un angle plus grand, alors ces triangles sont égaux. En effet, par condition on a deux côtés égaux... De plus, par la propriété des triangles rectangles :. Il reste à prouver que l'angle droit est le plus grand du triangle. Supposons que ce ne soit pas le cas, ce qui signifie qu'il doit y avoir au moins un angle plus grand. Mais alors la somme des angles du triangle sera déjà plus grande. Mais c'est impossible, ce qui veut dire qu'il ne peut pas y avoir un tel angle dans un triangle. Cela signifie que l'angle droit est le plus grand dans un triangle rectangle. Ainsi, vous pouvez utiliser la fonctionnalité formulée ci-dessus et obtenir :
Formulons maintenant une autre propriété qui n'est caractéristique que des triangles rectangles.
Propriété
La jambe, située à l'opposé de l'angle b, est 2 fois plus petite que l'hypoténuse(Fig. 6).
Donné:
Riz. 6.
Prouver:UN B
Preuve: nous allons effectuer une construction supplémentaire : nous allons prolonger la droite au-delà du point d'un segment égal à. Faisons un point. Puisque les angles et sont adjacents, leur somme est égale. Depuis, alors l'angle.
Cela signifie que les triangles rectangles (le long de deux jambes : - commun, - par construction) sont le premier signe d'égalité des triangles rectangles.
L'égalité des triangles implique l'égalité de tous les éléments correspondants. Veux dire, . Où: . De plus, (à partir de l'égalité de tous les mêmes triangles). Cela signifie que le triangle est isocèle (puisqu'il a des angles égaux à la base), mais un triangle isocèle, dont l'un des angles est égal, est équilatéral. Cela implique notamment que 
.
La propriété d'une jambe située en face d'un angle à
Il convient de noter que l'affirmation inverse est également vraie : si dans un triangle rectangle l'hypoténuse est deux fois plus grande que l'une des jambes, alors l'angle aigu situé en face de cette jambe est égal.
Noter: signe signifie que si une affirmation est vraie, alors le triangle est rectangle. C'est-à-dire que la fonction vous permet d'identifier un triangle rectangle.
Il est important de ne pas confondre le signe avec propriété- c'est-à-dire que si un triangle est rectangulaire, alors il a de telles propriétés ... Souvent, les signes et les propriétés sont mutuellement inverses, mais pas toujours. Par exemple, la propriété d'un triangle équilatéral : un triangle équilatéral a un angle... Mais ce ne sera pas le signe d'un triangle équilatéral, car tous les triangles qui ont un angle, est équilatéral.
Propriétés du triangle rectangle
Chers élèves de septième année, vous savez déjà ce que figures géométriques s'appellent des triangles, vous savez prouver des signes de leur égalité. Vous connaissez aussi des cas particuliers de triangles : isocèles et rectangulaires. Les propriétés des triangles isocèles vous sont bien connues.
Mais les triangles rectangles ont aussi de nombreuses propriétés. Une chose qui est évidente est liée au théorème de la somme coins intérieurs Triangle : Dans un triangle rectangle, la somme des angles aigus est de 90°. Le plus propriété incroyable Vous reconnaîtrez un triangle rectangle en 8e année lorsque vous apprendrez le célèbre théorème de Pythagore.
Nous allons maintenant parler de deux propriétés plus importantes. L'un d'eux fait référence à des triangles rectangles à 30 ° et l'autre à des triangles rectangles arbitraires. Formulons et démontrons ces propriétés.
Vous savez bien qu'en géométrie il est d'usage de formuler des assertions inverses de celles prouvées, lorsque la condition et la conclusion de l'assertion sont inversées. Les déclarations inverses sont loin d'être toujours vraies. Dans notre cas, les deux affirmations inverses sont vraies.
Propriété 1.1 Dans un triangle rectangle, la jambe opposée à un angle de 30° est égale à la moitié de l'hypoténuse.
Preuve : Considérons un ABC rectangulaire, dans lequel ÐA = 90 °, ÐB = 30 °, alors ÐC = 60 ° .. gif "width =" 167 "height =" 41 ">, donc, ce qu'il fallait prouver.
Propriété 1.2 (inverse de la propriété 1.1) Si dans un triangle rectangle la jambe est la moitié de l'hypoténuse, alors l'angle opposé est de 30°.
Propriété 2.1 Dans un triangle rectangle, la médiane tracée à l'hypoténuse est la moitié de l'hypoténuse.
Considérons un rectangle ∆ ABC, dans lequel LB = 90°.
BD-médiane, c'est-à-dire AD = DC. Prouvons-le.
Pour le prouver, faisons une construction supplémentaire : continuez BD au-delà du point D pour que BD = DN et reliez N avec A et C..gif "width =" 616 "height =" 372 src = ">
Soit : ∆ABC, ÐC = 90o, ÐA = 30o, ÐBEC = 60o, EC = 7cm
1.РEBC = 30o, car dans le rectangle ∆BCE la somme des angles aigus est de 90o
2. BE = 14cm (propriété 1)
3.РABE = 30o, puisque РA + РABE = РBEC (propriété coin extérieur triangle) donc ∆AEB- isocèle AE = EB = 14cm.
BC = 2AN = 20 cm (propriété 2).
Objectif 3. Démontrer que la hauteur et la médiane d'un triangle rectangle, dessinés à l'hypoténuse, forment un angle égal à la différence entre les angles aigus du triangle.
Soit : ∆ ABC, ÐBAC = 90 °, AM-médiane, AH-hauteur.
Démontrer que lMAN = lC-lB.
Preuve:
1) РМАС = РС (par propriété 2 ∆ АМС-isocèle, АМ = СМ)
2) LMAN = LMAC-LNAC = LC-LNAC.
Il reste à prouver que lHAC = lB. Ceci résulte du fait que lB + lC = 90 ° (dans ABC) et lHAC + lC = 90 ° (à partir de ∆ ANS).
Ainsi, lMAN = lC-lB, comme requis.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif "width =" 194 "height =" 184 "> Donné : ∆ABS, ÐBAC = 90 °, AH-height,.
Trouver : РВ, .
Solution : tracer la médiane AM. Soit AH = x, alors BC = 4x et
BM = MC = AM = 2x.
Dans un AMN rectangulaire, l'hypoténuse AM est 2 fois plus grande que la jambe AH, donc LAMH = 30°. Puisque VM = AM,
= РВАМ100% ">
Prolongeons AC au-delà du point A de sorte que AD = AC. Alors ∆ABC = ∆ABD (pour 2 jambes). BD = BC = 2AC = CD, donc ∆DBC est équilatéral, ÐC = 60 ° et ÐABC = 30 °.
Problème 5
Dans un triangle isocèle, l'un des angles est de 120o, la base est de 10 cm Trouvez la hauteur dessinée sur le côté.
Solution : pour commencer, notez que l'angle de 120° ne peut être qu'au sommet du triangle et que la hauteur tirée sur le côté tombera sur son prolongement.
AB - escaliers, K - chaton.
À n'importe quelle position de l'échelle, jusqu'à ce qu'elle tombe finalement au sol, - rectangulaire. SC est le ∆ABS médian.
Par propriété 2, SC = 1 / 2AB. C'est-à-dire qu'à tout moment, la longueur du segment CS est constante.
Réponse : le point K se déplacera le long d'un arc de cercle de centre C et de rayon CK = 1 / 2AB.
Tâches pour une solution indépendante.
L'un des coins d'un triangle rectangle est à 60 ° et la différence entre l'hypoténuse et la plus petite jambe est de 4 cm. trouver la longueur de l'hypoténuse. Dans le rectangle ABC d'hypoténuse BC et d'angle B égal à 60°, la hauteur AD est tracée. Trouvez DC si DB = 2cm. В ∆АВС ÐС = 90о, СD - hauteurs, ВС = 2ВD. Démontrez que AD = 3BD. La hauteur d'un triangle rectangle divise l'hypoténuse en parties de 3 cm et 9 cm. Trouvez les angles du triangle et la distance entre le milieu de l'hypoténuse et la jambe la plus large. La bissectrice divise un triangle en deux triangles isocèles. Trouvez les coins du triangle d'origine. La médiane divise le triangle en deux isocèles. Peut-on trouver les coins
Le triangle d'origine ?
