Signes de fonctions croissantes et décroissantes. Signes d'augmentation et de diminution locales d'une fonction
Signes d'augmentation et de diminution locales de la fonction.
L'une des tâches principales de l'étude d'une fonction est de trouver les intervalles de son augmentation et de sa diminution. Une telle étude peut être facilement réalisée à l'aide d'un dérivé. Formulons les énoncés correspondants.
Signe suffisant de fonction croissante.
Si f'(x)> 0 en chaque point de l'intervalle I, alors la fonction f augmente de I.
Signe suffisant de fonction décroissante.
Si f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
La preuve de ces signes est effectuée sur la base de la formule de Lagrange (voir section 19). Prenez deux nombres x 1 et 2 de l'intervalle. Soit x 1
(1)
Le nombre c appartient à l'intervalle I, puisque les points x 1 et 2 appartiennent à I. Si f "(x)> 0 pour х∈I alors f’ (с)> 0, et donc F (x 1 )
La signification visuelle des signes ressort clairement du raisonnement physique (par souci de précision, considérons le signe d'augmentation).
Soit un point se déplaçant le long de l'ordonnée à l'instant t avec une ordonnée y = f (t). Alors la vitesse de ce point à l'instant t est égale à f"(t) (voir. Vitesse instantanée ). Si f '(t)> 0 à chaque instant à partir de l'intervalle t, alors le point se déplace dans le sens positif de l'axe des ordonnées, c'est-à-dire si t 1
Remarque 1.
Si la fonction f est continue à l'une des extrémités de l'intervalle croissant (décroissant), alors ce point est attaché à cet intervalle.
Remarque 2.
Pour résoudre les inégalités f "(x)> 0 et f" (x)<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.
Conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un extremum d'une fonction en un point.
Une condition nécessaire pour un extremum
La fonction g (x) en un point a un extremum (maximum ou minimum) si la fonction est définie dans un voisinage bilatéral du point et pour tous les points x d'une région :, l'inégalité
(dans le cas d'un maximum) ou (dans le cas d'un minimum).
L'extremum de la fonction se trouve à partir de la condition : si la dérivée existe, c'est-à-dire nous assimilons la dérivée première de la fonction à zéro.
Condition extrême suffisante
1) Première condition suffisante:
a) f (x) est une fonction continue et est définie dans un voisinage d'un point tel que la dérivée première en ce point est nulle ou n'existe pas.
b) f (x) a une dérivée finie dans un voisinage de spécification et de continuité de la fonction
c) la dérivée conserve un certain signe à droite du point et à gauche du même point, alors le point peut être caractérisé comme suit
Cette condition n'est pas très pratique, car il faut vérifier de nombreuses conditions et mémoriser le tableau, mais si rien n'est dit sur les dérivées d'ordre supérieur, alors c'est le seul moyen de trouver l'extremum de la fonction.
2) Deuxième condition suffisante
Si la fonction g (x) a une dérivée seconde et qu'à un moment donné, la dérivée première est égale à zéro et la dérivée seconde est non nulle. Puis le point fonction extrême g (x), et si, alors le point est le maximum ; si, alors le point est le minimum.
Soit f continue sur un segment et dérivable aux points intérieurs de ce segment. Alors il y a un point intérieur de ce segment tel que la tangente au graphe de la fonction, tracée en un point d'abscisse c, soit parallèle à la corde AB, où A (a; f (x)) et B (b; f (x)). Soit : sur un arc lisse AB il y a toujours un point c où la tangente est parallèle à la corde reliant les extrémités de l'arc.
Soit f continue sur un segment et dérivable aux points intérieurs de ce segment. Alors il y a un point intérieur de ce segment tel que
Corollaire 1 : si une fonction f est continue sur un segment, et que sa dérivée est égale à zéro à l'intérieur de ce segment, alors la fonction f est constante sur le segment.
Corollaire 2 : Si les fonctions f et g sont continues sur un segment et ont les mêmes dérivées à l'intérieur de ce segment, alors elles diffèrent par un terme constant.
2. Un signe suffisant d'une augmentation de la fonction :
Si f [/] (x) > 0 en chaque point de l'intervalle I, alors la fonction f croît sur l'intervalle I.
3. Un signe suffisant de fonction décroissante :
Si f [/] (x)
Démontrons ces critères à l'aide de la formule de Lagrange :
Prenez deux nombres quelconques et de l'intervalle. Laisser. D'après la formule de Lagrange, il existe un nombre tel que.
Le nombre c appartient à l'intervalle I, puisque les points et appartiennent à cet intervalle. Si f [/] (x)> 0 pour, alors f [/] (c)> 0, et donc - cela découle de la formule (1), puisque -> 0. Ceci prouve l'augmentation des fonctions f sur l'intervalle I. Mais si f [/] (x) 0. La diminution de la fonction f sur l'intervalle I.
Exemple 1.trouver les intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction
2. Trouvons la dérivée de la fonction et ses points critiques : ou
3. Marquons les points d'extrema sur l'axe numérique et trouvons les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction
Réponse : - la fonction augmente
La fonction est décroissante
Exemple 2. Explorez la fonction croissante (décroissante) :
2. Trouvez la dérivée et les points extrêmes de la fonction :
3. Marquons le point critique sur l'axe numérique et trouvons les intervalles d'augmentation (diminution) de la fonction :
Réponse : - la fonction est décroissante
La fonction augmente
II. Points critiques. Signes de trouver le maximum et le minimum de la fonction.
1. Points critiques
Définition : les points critiques d'une fonction sont les points intérieurs du domaine de la fonction, auxquels sa dérivée est nulle ou n'existe pas.
# 1. Trouver les points critiques de la fonction f : a) g (x) =
Réponse : où ; , où b) g (x) =
2. Signes de trouver le maximum et le minimum de la fonction.
Signe de fonctions maximales :
Si la fonction f est continue au point x0, et f [/] (x)> 0 sur l'intervalle (a; x0) et f [/] (x)
Ou : si au point x0 la dérivée change de signe de plus à moins, alors x0 est un point maximum.
Preuve:
La dérivée f [/] (x)> 0 sur l'intervalle (a; x0), et la fonction est continue au point x0, donc la fonction f augmente sur l'intervalle (a; x0], et donc f (x)
Sur l'intervalle [x0; c) la fonction décroît, et donc f (x)
Signes d'une fonction minimale :
Si la fonction f est continue au point x0, et f [/] (x) 0 sur l'intervalle (x0; c), alors le point x0 est le point minimum de la fonction f.
Ou : si au point x0 la dérivée change de signe du moins au plus, alors x0 est un point minimum.
Preuve:
La dérivée f [/] (x) f (x0) pour tout x de l'intervalle (a; x0).
Sur l'intervalle [x0; c), la fonction f augmente, et donc f (x)> f (x0) pour tout à partir de l'intervalle (a; b), c'est-à-dire que x0 est un point minimum de f.
III. Dérivée seconde. Signes de convexité et de concavité.
Que la dérivée seconde existe également au point. Alors, si, alors le point est le point minimum, et si, alors le point est le point maximum de la fonction.
Si, alors le renflement est dirigé vers le bas. Si, alors le renflement est dirigé vers le haut.
IV. Asymptote oblique
Définition : Une droite est une asymptote oblique du graphique d'une fonction, où et
Équation asymptote oblique
Asymptotes verticales équation asymptote oblique
V. Plan de recherche de la fonction
1. Trouvons le domaine de définition de la fonction.
2. Examinez la fonction pour la parité (impairs).
3. Trouvez les points d'intersection du graphique avec les axes de coordonnées et déterminez les intervalles de signe constant de la fonction.
4. Trouvez la dérivée.
5. Trouvez les points extrêmes de la fonction et les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.
6. Faites un tableau.
7. Trouvez la dérivée seconde.
8. Trouvez les points d'inflexion du graphique de la fonction et définissez les intervalles de convexité et de concavité de ce graphique.
9. Trouvez les asymptotes du graphe de la fonction, si nécessaire.
10. Tracez un croquis du graphique de cette fonction.
11. Trouvez l'ensemble des valeurs de la fonction.
Vi. Exemples de recherche de fonction
2). Il est impossible de parler de la parité de la fonction.
5) Trouver les points extremum de la fonction et les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction :
La fonction augmente
La fonction est décroissante
6) Faisons un tableau x
7) Trouver la dérivée seconde
8) Trouvez les points d'inflexion : ou
gonfler
Renflement vers le bas
9) Trouver des asymptotes obliques n'existe pas. il n'y a pas d'asymptote oblique.
10) Graphique
; x = 2 - asymptote verticale
2). Il est impossible de parler de la parité de la fonction
3) Trouver les points d'intersection du graphique avec l'axe OX.
Trouvons les points d'intersection du graphique avec l'axe O-Y.
4) Trouver la dérivée de la fonction :
5) Trouver les points extremum de la fonction et les points d'augmentation et de diminution de la fonction :
La fonction augmente
La fonction est décroissante
6) Faisons un tableau x
7) Trouvez la dérivée seconde :
8) Trouver les points d'inflexion : il n'y a pas de points d'inflexion
Renflement vers le bas
gonfler
Équation asymptote oblique
10) Graphique
Asymptote verticale
2) il est impossible de parler de parité de la fonction
Il n'y a pas d'intersections avec l'axe OX.
N'existe pas. Il n'y a pas de tels points.
4) Trouvez la dérivée :
La fonction est décroissante
La fonction augmente
6) Faisons un tableau :
7) Construisons un graphe de la fonction :
Asymptote verticale
2) - il est impossible de parler de la parité de la fonction
3) Trouvez les points d'intersection du graphique avec l'axe OX.
Cherchons les points d'intersection du graphique avec l'axe OY.
4) Trouvez la dérivée :
5) Trouvez les points extremum de la fonction et les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.
Il n'y a pas de points critiques.
Il n'y a pas de points max et min.
6) Faisons un tableau :
↘ 7) Trouvez la dérivée seconde :
8) Trouvez les points d'inflexion du graphe de fonction et définissez les intervalles de convexité et de concavité :
Il n'y a pas de points d'inflexion.
gonfler
Renflement vers le bas
9) Trouvez les asymptotes obliques :
L'équation de l'asymptote horizontale, puisque k = 0.
10) Construisons un graphe de la fonction :
; - asymptotes verticales
2) est une fonction impaire, puisque. Le graphique est symétrique par rapport à l'origine.
3) Trouvez les points d'intersection du graphique avec l'axe OX.
Cherchons les points d'intersection du graphique avec l'axe OY.
4) Trouvez la dérivée :
5) Trouvez les points extremum et les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction :
Il n'y a pas de décision.
La fonction est décroissante
La fonction augmente
6) Faisons un tableau :
Pas n.
↗ 7) Trouvez les asymptotes obliques :
Il n'y a pas d'asymptote oblique.
8) Trouvez la dérivée seconde :
9) Trouver les points d'inflexion : ou ou
Renflement vers le bas
gonfler
10) Construisons un graphique
VII. Référence historique.
La fin était très différente Le chemin de la vie un autre créateur d'analyse mathématique - Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716). Mais tout d'abord.
Ses ancêtres venaient de Pologne et portaient le nom de famille Lubenitz. Après avoir déménagé à Leipzig, « leur nom de famille a commencé à se prononcer à la manière allemande. Il est intéressant de noter que le nom même de cette ville est aussi slave, cela signifie>. Leibniz est né dans la famille d'un professeur de philosophie à Université de Leipzig Il a perdu ses parents prématurément: à l'âge de 6 ans, il s'est retrouvé sans père et à 17 ans - sans mère. années scolaires Leibniz a étonné ses professeurs par sa capacité à composer de la poésie en latin et en grec, sa passion pour la philosophie et les mathématiques. Il se distinguait par une grande curiosité, il étudia de nombreuses matières par lui-même, avant de les rencontrer à l'école. Sa mémoire était inégale : il mémorisait facilement des choses complexes et pires, des choses simples ; ne pouvait pas effectuer de calculs pendant longtemps, mais gravitait vers les généralisations et les abstractions. Et une telle mémoire et mentalité sont restées avec Leibniz pour le reste de sa vie.
À l'âge de 15 ans. Leibniz est étudiant à la Faculté de philosophie de l'Université de Leipzig. Cette faculté était préparatoire au droit et à la théologie. Diplômé de la faculté de philosophie puis de droit avec brio, Leibniz, 20 ans, n'a pas pu obtenir le poste souhaité dans sa ville natale. L'ordre conservateur à l'université a posé des obstacles matériels à l'obtention d'un doctorat. Il se rend à Nuremberg et défend sa thèse de doctorat à l'université locale avec un succès sans précédent. Le talent extraordinaire du jeune scientifique a été remarqué. Il est invité au service diplomatique par l'électeur (prince qui a le droit de choisir le roi) de la ville de Mayence, puis par le duc de Hanovre.
En voyage d'affaires pour l'Electeur à Paris, Leibniz rencontre de nombreux scientifiques célèbres. Les discussions sur divers problèmes éveillent en lui un intérêt pour les mathématiques. Plus tard, dans une lettre à I. Bernoulli, il rappelle :>. Après avoir été diplômé de l'université (1666), Leibniz a publié un ouvrage philosophique et mathématique>, donc, parlant de son>, il voulait dire l'ignorance des dernières réalisations des mathématiques. Pour se familiariser avec les nouveaux résultats et idées qui surgissaient à cette époque en mathématiques, il se tourna vers Huygens pour obtenir de l'aide. Il lui conseille d'étudier attentivement nombre d'ouvrages, et Leibniz se met au travail avec un zèle enviable : il étudie les ouvrages de Saint-Vincent et Wallis, Descartes et Pascal, et se livre à ses propres recherches.
Mais lorsqu'il arrive à Londres pour des affaires diplomatiques et rapporte ses résultats aux mathématiciens anglais, il est surpris d'apprendre que nombre de ces résultats leur sont déjà connus grâce au manuscrit de Newton, conservé à la Royal Society. Leibniz, par l'intermédiaire du secrétaire de cette société, Oldenburg (1615-1677), écrit à Newton au sujet de ses œuvres. Dans la même lettre, il demande à Newton de communiquer ses résultats. En réponse, il reçoit (toujours par Oldenburg) deux lettres dans lesquelles Newton explique les opérations de différenciation et d'intégration à l'aide de séries.
Leibniz n'était pas pressé de publier ses résultats dans le domaine du nouveau calcul, en attendant peut-être les publications de Newton. Mais en 1683, Chirnhaus publia un article sur la quadrature des courbes algébriques. Il ne mentionne pas le nom de Leibniz, bien que Chirnhaus lui soit redevable pour la solution de ces problèmes. Pour garder la palme dans ce domaine, Leibniz publiera un article> l'année prochaine, et un an plus tard ->. Le premier d'entre eux contenait les bases du calcul différentiel, le second - l'intégrale.
La base nouvelle science il a posé le concept d'un différentiel. Maintenant, le différentiel df (x0) de la fonction y = f (x) au point x0 est donné par la formule df (xo) = f "(xo) dx, où f" (xb) est la dérivée calculée au point xo, leur est l'incrément de l'argument. Leibniz définit le différentiel comme l'une des branches du triangle caractéristique, qui a été discuté dans le chapitre précédent (item 9). La figure 46 montre que ces définitions sont équivalentes.
Leibniz donne des règles pour calculer la différentielle d'une somme, d'une différence, d'un produit, d'un quotient, d'un degré et résout les équations différentielles. Il définit l'intégrale comme la somme des différentielles, en insistant sur l'inverse mutuel des opérations de différenciation et d'intégration :>. D'où découlent les propriétés des intégrales et les méthodes de leur calcul. Dans les articles suivants, Leibniz a développé une nouvelle analyse. Il a prouvé que toute fonction intégrable est bornée (une condition nécessaire à l'intégrabilité), a développé un algorithme pour calculer certains types d'intégrales, en particulier une méthode d'intégration des fonctions rationnelles. L'importance de cette méthode ne peut pas être surestimée, car à l'aide de diverses substitutions, de nombreuses intégrales diverses sont réduites à des intégrales de fonctions rationnelles. Attardons-nous sur cette méthode plus en détail.
Pour la solution graphique du problème de l'intégration de fonctions arbitraires, Leibniz a inventé (1693) un dispositif mécanique - un intégrateur. Si vous déplacez une broche de cet appareil le long du graphique de la fonction, l'autre trace le graphique de la primitive.
Nous utilisons les algorithmes et les désignations développés par Leibniz à ce jour, ainsi que la plupart des termes mathématiques qu'il a introduits : fonction, variable, constante, coordonnées, abscisse, algorithme, différentiel, etc. pas le sens spécifique que leur a donné Leibniz.
Au début du siècle suivant, il y eut un débat houleux sur la priorité de l'invention de l'analyse. La raison en était la revue de Leibniz (1704) du travail de Newton, où il a souligné la communauté idéologique de l'interprétation de Newton et Fabry de l'infinitésimal. Une telle comparaison du grand Anglais avec le mathématicien français peu connu Oh n o -re Fabry (1607-1688) a suscité l'indignation des scientifiques anglais. (Et Leibniz n'avait pas d'arrière-pensées ; c'était juste que le livre de Fabry était l'un des rares qui l'ont aidé à liquider dans la période parisienne>.) Ils ont vu là une dépréciation des mérites de Newton, et cela a commencé. Dans ce conflit, les droits de Newton étaient défendus par des scientifiques anglais, et ceux de Leibniz - par des scientifiques continentaux. Le soutien de Leibniz par la majorité des mathématiciens continentaux s'expliquait par le fait que ses désignations se sont avérées si parfaites, et la doctrine elle-même était si accessible qu'ils ont immédiatement trouvé des partisans parmi de nombreux scientifiques européens, ce qui est extrêmement rare lorsqu'une nouvelle théorie apparaît.
Apparemment, c'était cette dispute que le remarquable poète russe Valery Bryusov avait à l'esprit lorsqu'il a écrit les lignes suivantes :
Leibniz, ô sage, créateur de livres prophétiques ! Tu étais plus haut que le monde, comme les anciens prophètes. Ton siècle, s'émerveillant de toi, n'a pas atteint les prophéties Et mêlé de flatteries folles de reproches.
En fait, les prétentions des deux parties n'étaient pas fondées. Les deux scientifiques sont parvenus indépendamment à la création du calcul différentiel et intégral, et leurs approches étaient complètement différentes. Newton a utilisé l'appareil des séries entières et Leibniz a utilisé le concept de différentiel. La controverse qui en a résulté a conduit au fait que les mathématiciens anglais ont ignoré tout ce qui venait de Leibniz et de son école, et continental - le travail des Britanniques. Puisque le continent s'appuyait sur plus de perfection que le newtonien, la symbolique de Leibniz et des scientifiques se sont unis idées générales, publié et accessible à tous, les mathématiciens continentaux de l'époque post-newtonienne ont alors pris une longueur d'avance par rapport à l'anglais.
Cependant, dans le sort de Leibniz, l'inimitié entre les mathématiciens anglais et continentaux a joué un rôle fatal. Le duc, pour qui il servit comme bibliothécaire, historien et biographe, devenu (1714) roi d'Angleterre, partit pour Londres. Po - le suivre Leibniz ne pouvait pas à cause des relations gâchées avec les mathématiciens anglais. De plus, le duc était mécontent de son historiographe, estimant qu'il ne prêtait pas assez d'attention à ses fonctions officielles directes. Leibniz a dû rester et travailler dans la bibliothèque du duc. La défaveur du roi anglais nouvellement cuit a conduit au fait que l'entourage du scientifique a été considérablement éclairci. Deux ans plus tard, il mourut, accompagné dans son dernier voyage uniquement par le secrétaire et les fossoyeurs. Une injustice offensante du sort vis-à-vis du grand savant, qui a fait beaucoup.
Malgré l'énorme travail de compilation de l'histoire de la maison ducale, devenue histoire Europe de l'Ouest, et d'autres devoirs distrayant de la science, Leibniz a laissé de nombreux ouvrages en mathématiques, philosophie, biologie, théorie de la connaissance, politique, droit, linguistique. Scientifique polyvalent et talentueux, il a apporté une contribution inestimable à chacun de ces domaines. Les idées jaillissaient de lui comme une corne d'abondance : chaque lettre, chaque note ou article contenait quelque chose de fondamentalement nouveau dans le domaine scientifique considéré, déterminant parfois son développement ultérieur. Beaucoup a été fait avec sa participation directe. À Berlin, il organise une société scientifique, transformée plus tard en Académie des sciences de Berlin, et en devient le premier président. Il fut le premier membre étranger de l'Académie des sciences de Paris. Leibniz a rencontré à plusieurs reprises à Berlin Peter I, pour qui il a développé un certain nombre de projets pour le développement de l'éducation et du gouvernement en Russie, ainsi que la création de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg.
Mais le plus important fut sa contribution aux mathématiques. En y entrant>, il a pu le transformer complètement. Après son travail et les travaux de ses plus proches collaborateurs, non seulement est apparu analyse mathematique, mais toutes les mathématiques sont entrées dans une nouvelle ère.
Détermination d'une fonction croissante.
Une fonction y = f (x) augmente dans l'intervalle X si pour tout et 
l'inégalité tient. En d'autres termes, plus la valeur de l'argument est grande, plus la valeur de la fonction est grande.
Détermination d'une fonction décroissante.
Une fonction y = f (x) diminue dans l'intervalle X si pour tout et 
l'inégalité tient 
... En d'autres termes, plus la valeur de l'argument est grande, plus la valeur de la fonction est petite.
NOTA : si la fonction est définie et continue aux extrémités de l'intervalle croissant ou décroissant (un B), c'est-à-dire pour x = un et x = b, alors ces points sont inclus dans l'intervalle d'augmentation ou de diminution. Cela ne contredit pas les définitions d'une fonction croissante et décroissante sur l'intervalle X.
Par exemple, à partir des propriétés des fonctions élémentaires de base, nous savons que y = sinx est défini et continu pour toutes les valeurs valides de l'argument. Par conséquent, à partir de l'augmentation de la fonction sinus sur l'intervalle, nous pouvons affirmer l'augmentation sur l'intervalle.
Points extremums, extremums de la fonction.
Le point s'appelle point maximal les fonctions y = f (x) si pour tout X l'inégalité est vraie à partir de son voisinage. La valeur de la fonction au point maximum est appelée fonction maximale et dénoter.
Le point s'appelle point minimum les fonctions y = f (x) si pour tout X l'inégalité est vraie à partir de son voisinage. La valeur de la fonction au point minimum est appelée fonction minimale et dénoter.
Le voisinage d'un point s'entend comme l'intervalle 
, où est un nombre positif suffisamment petit.
Les points minimum et maximum sont appelés points extrêmes, et les valeurs de la fonction correspondant aux points extremum sont appelées extrema de la fonction.
Ne pas confondre les extrema de la fonction avec le plus grand et la plus petite valeur les fonctions.
Dans la première figure, la plus grande valeur de la fonction sur le segment est atteint au point maximum et est égal au maximum de la fonction, et dans le deuxième chiffre - la valeur maximum de la fonction est atteinte au point x = b, ce qui n'est pas le point maximum.
Des conditions suffisantes pour l'augmentation et la diminution de la fonction.
Sur la base de conditions suffisantes (signes) d'augmentation et de diminution de la fonction, les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction sont trouvés.
Voici les formulations des signes croissants et décroissants d'une fonction sur un intervalle :
si la dérivée de la fonction y = f (x) positif pour tout X de l'intervalle X, alors la fonction augmente de X;
si la dérivée de la fonction y = f (x) négatif pour tout X de l'intervalle X, alors la fonction décroît de X.
Ainsi, afin de déterminer les intervalles de croissance et de diminution de la fonction, il faut :
Considérons un exemple de recherche des intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction pour expliquer l'algorithme.
Exemple.
Trouver les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.
Solution.
La première étape consiste à trouver un domaine de la définition de la fonction. Dans notre exemple, l'expression au dénominateur ne doit donc pas disparaître.
Passons à la recherche de la dérivée de la fonction : 
Pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction par un critère suffisant, nous résolvons les inégalités et sur le domaine de définition. Utilisons une généralisation de la méthode des intervalles. La seule racine valide du numérateur est x = 2, et le dénominateur s'annule à x = 0... Ces points divisent le domaine de définition en intervalles dans lesquels la dérivée de la fonction conserve son signe. Marquons ces points sur la droite numérique. Par plus et moins on désigne classiquement les intervalles sur lesquels la dérivée est positive ou négative. Les flèches ci-dessous montrent schématiquement l'augmentation ou la diminution de la fonction sur l'intervalle correspondant. 
Pendant les cours :
Activité de l'enseignantActivités des élèves
Ressources
2 minutes
I. Moment d'organisation.
Accueille les étudiants,vérifie l'état de préparation pour la leçon, souhaite du succès.
Ils comprennent l'objectif fixé.
Des cahiers
5 min
II. Contrôle des devoirs : nbh. pour résoudre des tâches non résolues, pour expliquer.
Démontrer leurs connaissances.
les tables
10 minutes
II. Étude de nouveau sujet
Si la dérivée de cette fonction est positive pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle ( une;v), c'est à dire. f "(x)> 0, alors la fonction augmente dans cet intervalle.
Si la dérivée d'une fonction donnée est négative pour toutes les valeurs X dans l'intervalle ( une;v), c'est à dire. F "(X) < 0, то функция в этом интервале убывает.
L'ordre de trouver des intervalles de monotonie:
Trouvez le domaine de la fonction.
Trouvez la dérivée première de la fonction.
Trouvez des points critiques, étudiez le signe de la dérivée première dans les intervalles dans lesquels les points critiques trouvés divisent le domaine de la fonction.
Trouver des intervalles de monotonie des fonctions.
Cherchons le signe de la dérivée dans les intervalles obtenus, et présentons la solution sous forme de tableau.
Une condition suffisante pour l'existence d'un maximum consiste en un changement de signe de la dérivée lors du passage par le point critique de "+" à "-", et pour un minimum de "-" à "+". Si la dérivée ne change pas de signe lors du passage par le point critique, alors il n'y a pas d'extremum à ce point.
Considérons plusieurs exemples d'étude d'une fonction croissante et décroissante.
Trouver les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction
1) f (x) = 3- 0,5x,
2) f(x) = -x2 + 2x-3,
3) f(x) = 4x-5,
4) f (x) = 5x 2- 3x + 1.
(-∞; 1) -augmente, (1; + ∞) -diminue
(-∞; + ∞) -augmente
(-∞; 0,3) -augmente, (0,3; + ∞) -diminue
(-∞; + ∞) -décroissant
Démontrer des compétences.
Affiches
Formules
Cahier de texte
min
IV. Consolidation des connaissances Travailler avec le manuel n° 258, n° 261
F). 2. Trouvez f "( X).3. Trouver des points fixes, c'est-à-dire points où f "( X) = 0 ou f "( X) n'existe pas.
(La dérivée est 0 aux zéros du numérateur, la dérivée n'existe pas aux zéros du dénominateur)
4. Disposer D ( F) et ces points sur la ligne de coordonnées.
5. Déterminer les signes de la dérivée sur chacun des intervalles
6. Appliquer des signes. 7. Écrivez votre réponse.
3 minutes
V. Résumé de la leçon.auto-évaluation par les étudiants des résultats de leurs activités éducatives.Conduit la réflexion.
Qu'avez-vous appris de nouveau dans la leçon ?
Y a-t-il eu des moments intéressants pour vous ?
Des autocollants écrivent leurs opinions sur la leçon.
Cartes
2 minutes
Vi.Devoirs. Explique les fonctionnalités devoirs № 259, № 257
consignés dans des journaux.
Journal de bord
Très une information important sur le comportement de la fonction fournissent des intervalles d'augmentation et de diminution. Les trouver fait partie du processus de recherche de fonction et de traçage. De plus, les points d'extremum, auxquels il y a un changement de croissant à décroissant ou de décroissant à croissant, sont donnés Attention particulière lors de la recherche des valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction sur un certain intervalle.
Dans cet article, nous allons donner les définitions nécessaires, formuler un critère suffisant pour une augmentation et une diminution d'une fonction sur un intervalle et des conditions suffisantes pour l'existence d'un extremum, et appliquer toute cette théorie à la résolution d'exemples et de problèmes.
Navigation dans les pages.
Augmentation et diminution d'une fonction sur un intervalle.
Détermination d'une fonction croissante.
La fonction y = f (x) augmente sur l'intervalle X si pour tout et 
l'inégalité tient. En d'autres termes, plus la valeur de l'argument est grande, plus la valeur de la fonction est grande.
Détermination d'une fonction décroissante.
La fonction y = f (x) décroît sur l'intervalle X si pour tout et l'inégalité tient 
... En d'autres termes, plus la valeur de l'argument est grande, plus la valeur de la fonction est petite.
REMARQUE : si la fonction est définie et continue aux extrémités de l'intervalle croissant ou décroissant (a; b), c'est-à-dire pour x = a et x = b, alors ces points sont inclus dans l'intervalle croissant ou décroissant. Cela ne contredit pas les définitions d'une fonction croissante et décroissante sur l'intervalle X.
Par exemple, à partir des propriétés des fonctions élémentaires de base, nous savons que y = sinx est défini et continu pour toutes les valeurs réelles de l'argument. Par conséquent, à partir de l'augmentation de la fonction sinus sur l'intervalle, nous pouvons affirmer l'augmentation sur l'intervalle.
Points extremums, extremums de la fonction.
Le point s'appelle point maximal fonction y = f (x) si l'inégalité est vraie pour tout x de son voisinage. La valeur de la fonction au point maximum est appelée fonction maximale et dénoter.
Le point s'appelle point minimum fonction y = f (x) si l'inégalité est vraie pour tout x de son voisinage. La valeur de la fonction au point minimum est appelée fonction minimale et dénoter.
Le voisinage d'un point s'entend comme l'intervalle 
, où est un nombre positif suffisamment petit.
Les points minimum et maximum sont appelés points extrêmes, et les valeurs de la fonction correspondant aux points extremum sont appelées extrema de la fonction.
Ne confondez pas les extrema d'une fonction avec la plus grande et la plus petite valeur d'une fonction.
Dans la première figure, la valeur maximale de la fonction sur le segment est atteinte au point maximum et est égale au maximum de la fonction, et dans la deuxième figure, la valeur maximale de la fonction est atteinte au point x = b , ce qui n'est pas un point maximum.
Des conditions suffisantes pour l'augmentation et la diminution de la fonction.
Sur la base de conditions suffisantes (signes) d'augmentation et de diminution de la fonction, les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction sont trouvés.
Voici les formulations des signes croissants et décroissants d'une fonction sur un intervalle :
- si la dérivée de la fonction y = f (x) est positive pour tout x de l'intervalle X, alors la fonction augmente de X ;
- si la dérivée de la fonction y = f (x) est négative pour tout x de l'intervalle X, alors la fonction décroît sur X.
Ainsi, afin de déterminer les intervalles de croissance et de diminution de la fonction, il faut :
Considérons un exemple de recherche des intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction pour expliquer l'algorithme.
Exemple.
Trouver les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.
Solution.
La première étape consiste à trouver la portée de la fonction. Dans notre exemple, l'expression au dénominateur ne doit donc pas disparaître.
Passons à la recherche de la dérivée de la fonction : 
Pour déterminer les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction par un critère suffisant, nous résolvons les inégalités et sur le domaine de définition. Utilisons une généralisation de la méthode des intervalles. La seule racine valide du numérateur est x = 2, et le dénominateur s'annule à x = 0. Ces points divisent le domaine de définition en intervalles dans lesquels la dérivée de la fonction conserve son signe. Marquons ces points sur la droite numérique. Par plus et moins on désigne classiquement les intervalles sur lesquels la dérivée est positive ou négative. Les flèches ci-dessous montrent schématiquement l'augmentation ou la diminution de la fonction sur l'intervalle correspondant. 
De cette façon, 
et 
.
À ce point x = 2, la fonction est définie et continue, elle doit donc être ajoutée aux intervalles croissants et décroissants. Au point x = 0, la fonction n'est pas définie, nous n'incluons donc pas ce point dans les intervalles recherchés.
Nous donnons un graphique de la fonction pour comparer les résultats obtenus avec elle.
Réponse:
La fonction augmente avec 
, diminue sur l'intervalle (0; 2].
Conditions suffisantes pour l'extremum d'une fonction.
Pour trouver les maxima et les minima d'une fonction, vous pouvez utiliser l'un des trois signes d'un extremum, bien sûr, si la fonction satisfait leurs conditions. Le plus courant et le plus pratique est le premier.
La première condition suffisante pour un extremum.
Soit la fonction y = f (x) dérivable au voisinage du point, et continue au point lui-même.
En d'autres termes:
Algorithme pour trouver des points extremum basé sur la première caractéristique de l'extremum d'une fonction.
- Trouvez le domaine de la fonction.
- Trouver la dérivée de la fonction sur le domaine de définition.
- On détermine les zéros du numérateur, les zéros du dénominateur de la dérivée et les points du domaine de définition dans lesquels la dérivée n'existe pas (tous les points listés sont appelés points d'extremum possibles passant par ces points, la dérivée peut juste changer de signe).
- Ces points divisent le domaine de la fonction en intervalles dans lesquels la dérivée conserve son signe. Déterminer les signes de la dérivée sur chacun des intervalles (par exemple, calculer la valeur de la dérivée de la fonction à n'importe quel point d'un intervalle particulier).
- Nous choisissons les points auxquels la fonction est continue et, en passant par lesquels, la dérivée change de signe - ce sont les points extremum.
Trop de mots, considérons plutôt plusieurs exemples de recherche des points extremum et extrema d'une fonction en utilisant la première condition suffisante pour l'extremum d'une fonction.
Exemple.
Trouvez les extrema de la fonction.
Solution.
Le domaine d'une fonction est l'ensemble des nombres réels, à l'exception de x = 2.
Trouvez la dérivée : 
Les zéros du numérateur sont les points x = -1 et x = 5, le dénominateur s'annule en x = 2. Nous marquons ces points sur l'axe numérique 
Déterminer les signes de la dérivée sur chaque intervalle, pour cela nous calculons la valeur de la dérivée à l'un des points de chaque intervalle, par exemple, aux points x = -2, x = 0, x = 3 et x = 6 .
Par conséquent, sur l'intervalle, la dérivée est positive (sur la figure, nous mettons un signe plus au-dessus de cet intervalle). également 
Par conséquent, nous mettons un moins au-dessus du deuxième intervalle, un moins au-dessus du troisième et un plus au-dessus du quatrième.
Il reste à choisir les points auxquels la fonction est continue et sa dérivée change de signe. Ce sont les points extrêmes.
À ce point x = -1 la fonction est continue et la dérivée change de signe du plus au moins, donc, selon le premier signe d'un extremum, x = -1 est un point maximum, il correspond au maximum de la fonction 
.
À ce point x = 5 la fonction est continue et la dérivée change de signe du moins au plus, donc x = -1 est un point minimum, il correspond au minimum de la fonction 
.
Illustration graphique.
Réponse:
ATTENTION : le premier critère suffisant pour un extremum n'exige pas que la fonction soit dérivable au point lui-même.
Exemple.
Trouver les points extremum et les extrema de la fonction 
.
Solution.
Le domaine d'une fonction est l'ensemble des nombres réels. La fonction elle-même peut s'écrire : 
Trouvons la dérivée de la fonction : 
À ce point x = 0, la dérivée n'existe pas, car les valeurs des limites unilatérales ne coïncident pas lorsque l'argument tend vers zéro : 
En même temps, la fonction d'origine est continue au point x = 0 (voir la section sur l'étude d'une fonction pour la continuité) : 
Trouvons les valeurs de l'argument auxquelles la dérivée s'annule : 
Nous marquons tous les points obtenus sur la droite numérique et déterminons le signe de la dérivée sur chacun des intervalles. Pour ce faire, nous calculons les valeurs de la dérivée à des points arbitraires de chaque intervalle, par exemple, à x = -6, x = -4, x = -1, x = 1, x = 4, x = 6.
C'est-à-dire, 
Ainsi, selon le premier signe d'un extremum, les points minimaux sont 
, les points maximum sont 
.
On calcule les minima correspondants de la fonction 
On calcule les maxima correspondants de la fonction 
Illustration graphique.
Réponse:
.
Le deuxième signe de l'extremum de la fonction.
Comme vous pouvez le voir, cette caractéristique de l'extremum d'une fonction nécessite l'existence d'une dérivée au moins jusqu'au second ordre en un point.
