Comment simplifier un radical complexe. Comment simplifier la racine carrée

Objectif de la simplification racine carrée est de le réécrire sous une forme plus facile à utiliser dans les calculs. Factoriser un nombre, c'est trouver deux nombres ou plus qui, une fois multipliés, donneront le nombre d'origine, par exemple 3 x 3 = 9. En trouvant les facteurs, vous pouvez simplifier la racine carrée ou vous en débarrasser complètement. Par exemple, √9 = √(3x3) = 3.

Si le nombre racine est pair, divisez-le par 2. Si le nombre racine est impair, essayez de le diviser par 3 (si le nombre n'est pas divisible par 3, divisez-le par 5, 7, et ainsi de suite dans la liste nombres premiers). Divisez le nombre radical exclusivement par des nombres premiers, car tout nombre peut être décomposé en facteurs premiers. Par exemple, vous n'avez pas besoin de diviser le nombre racine par 4 car 4 est divisible par 2 et vous avez déjà divisé le nombre racine par 2.

Réécrivez le problème comme la racine du produit de deux nombres. Par exemple, simplifions √98 : 98 ÷ 2 = 49, donc 98 = 2 x 49. Réécrivez le problème comme suit : √98 = √(2 x 49).

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L'expression racine est expression algébrique, qui est sous le signe de la racine (carré, cubique ou d'ordre supérieur). Parfois, les significations de différentes expressions peuvent être les mêmes, par exemple, 1/(√2 - 1) = √2 + 1. La simplification de l'expression radicale vise à l'amener à une notation canonique. Si deux expressions écrites sous forme canonique sont toujours différentes, leurs valeurs ne sont pas égales. En mathématiques, on pense que Forme canonique l'écriture d'expressions radicales (ainsi que d'expressions avec racine) respecte les règles suivantes :

• Si possible, supprimez la fraction sous le signe racine
• Débarrassez-vous de l'expression avec un exposant fractionnaire
• Si possible, supprimez les racines du dénominateur
• Débarrassez-vous de l'opération de multiplication racine
• Sous le signe de la racine, vous ne devez laisser que les membres dont il est impossible d'extraire une racine entière

Ces règles peuvent être appliquées à l'exécution des tâches de test. Par exemple, si vous avez résolu un problème, mais que le résultat ne correspond à aucune des réponses données, écrivez le résultat sous forme canonique. Gardez à l'esprit que les réponses aux éléments de test sont données sous forme canonique, donc si vous écrivez le résultat sous la même forme, vous pouvez facilement déterminer la bonne réponse. Si la tâche nécessite "simplifier la réponse" ou "simplifier les expressions radicales", vous devez écrire le résultat sous forme canonique. De plus, la forme canonique simplifie la résolution des équations, bien que certaines équations soient plus faciles à manipuler si vous oubliez un moment la notation canonique.

Pas

Se débarrasser des carrés pleins et des cubes pleins

Se débarrasser d'une expression avec un exposant fractionnaire

Convertissez l'expression avec un exposant fractionnaire en une expression radicale. Ou, si nécessaire, convertissez l'expression racine en une expression fractionnaire, mais ne mélangez jamais de telles expressions dans la même équation, comme ceci : √5 + 5^(3/2). Disons que vous décidez de travailler avec des racines ; la racine carrée de n sera notée √n, et la racine cubique de n comme le cube de √n.

Se débarrasser des fractions sous le signe de la racine

Selon la notation canonique, la racine d'une fraction doit être représentée comme une division des racines des nombres entiers.

Regardez l'expression racine. S'il s'agit d'une fraction, passez à l'étape suivante.

Remplacez la racine de la fraction par le rapport des deux racines selon l'identité suivante :√(a/b) = √a/√b.

• N'utilisez pas cette identité si le dénominateur est négatif ou inclut une variable qui pourrait être négative. Dans ce cas, simplifiez d'abord la fraction.

1. Simplifiez les carrés pleins (le cas échéant). Par exemple, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Se débarrasser de l'opération de multiplication racine

Se débarrasser des facteurs qui sont des carrés parfaits

Factoriser le nombre racine. Les facteurs sont des nombres, une fois multipliés, le nombre original est obtenu. Par exemple, 5 et 4 sont deux facteurs du nombre 20. Si vous ne pouvez pas extraire une racine entière d'un nombre radical, décomposez ce nombre en facteurs possibles et trouvez un carré parfait entre eux.

• Par exemple, notez tous les facteurs de 45 : 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 est un facteur de 45 (9 x 5 = 45) et un carré parfait (9 = 3^2).

1. Sortez le multiplicateur qui est un carré parfait à l'extérieur du signe racine. 9 est un carré parfait car 3 x 3 = 9. Débarrassez-vous du 9 sous le signe racine et écrivez un 3 devant le signe racine ; 5 restera sous le signe racine. Si vous entrez le nombre 3 sous le signe racine, il sera multiplié par lui-même et par le nombre 5, soit 3 x 3 x 5 \u003d 9 x 5 \u003d 45. Ainsi, 3 √ 5 est une forme simplifiée d'écriture √45.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Trouver le carré complet dans l'expression radicale avec une variable. Rappelez-vous : √(a^2) = |a|. Une telle expression peut être simplifiée en "a", mais seulement si la variable prend valeurs positives. √(a^3) peut être décomposé en √a * √(a^2), car en multipliant les mêmes variables, leurs exposants s'additionnent (a * a^2 = a^3).

   • Ainsi, dans l'expression a^3, a^2 est un carré parfait.

3. Supprimez le signe racine d'une variable qui est un carré parfait. Débarrassez-vous du a^2 sous le signe racine et écrivez un "a" avant le signe racine. Ainsi, √(a^3) = a√a.

   Donnez des termes semblables et simplifiez toutes les expressions rationnelles.

Se débarrasser des racines au dénominateur (rationalisation du dénominateur)

1. Selon la forme canonique, le dénominateur, si possible, ne doit comprendre que des nombres entiers (ou un polynôme si une variable est présente).

   • Si le dénominateur est un monôme sous le signe racine, tel que [numérateur]/√5, multipliez le numérateur et le dénominateur par cette racine : ([numérateur] * √5)/(√5 * √5) = ([numérateur] * √5 )/5.
     • Lorsque racine cubique ou racine supérieure, multiplier le numérateur et le dénominateur par la racine radicale par la puissance appropriée pour rationaliser le dénominateur. Si, par exemple, le dénominateur est le cube de √5, multipliez le numérateur et le dénominateur par le cube de √(5^2).
   • Si le dénominateur est une somme ou une différence de racines carrées, comme √2 + √6, multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué, c'est-à-dire l'expression avec le signe opposé entre ses termes. Par exemple : [numérateur]/(√2 + √6) = ([numérateur] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Utilisez ensuite la formule de la différence des carrés ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2) pour rationaliser le dénominateur : (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2 )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
     • La formule de la différence des carrés peut également être appliquée à une expression comme 5 + √3 car tout entier est la racine carrée d'un autre entier. Par exemple : 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
     • Cette méthode peut être appliquée à la somme de racines carrées telles que √5 - √6 + √7. Si vous regroupez cette expression sous la forme (√5 - √6) + √7 et que vous la multipliez par (√5 - √6) - √7, vous ne vous débarrasserez pas des racines, mais obtiendrez une expression de la forme a + b * √30, où " a " et " b " sont des monômes sans racine. Ensuite, l'expression résultante peut être multipliée par le conjugué : (a + b * √30) (a - b * √30) pour se débarrasser des racines. Autrement dit, si l'expression conjuguée peut être utilisée une fois pour se débarrasser d'un certain nombre de racines, alors elle peut être utilisée un nombre quelconque de fois pour se débarrasser de toutes les racines.
     • Cette méthode est également applicable aux racines sur hauts degrés, par exemple, à l'expression "racine 4 de 3 plus racine 7 de 9". Dans ce cas, multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué de l'expression au dénominateur. Mais ici l'expression adjointe sera légèrement différente de celles décrites ci-dessus. Vous pouvez lire sur ce cas dans les manuels d'algèbre.
2. Pour certains problèmes simples, les méthodes décrites ne peuvent pas être appliquées. Pour certaines tâches complexes, ces méthodes doivent être appliquées plusieurs fois. Simplifiez pas à pas les expressions résultantes, puis vérifiez si la réponse finale est écrite sous forme canonique, dont les critères sont donnés au tout début de cet article. Si la réponse est présentée sous forme canonique, le problème est résolu ; sinon, utilisez à nouveau l'une des méthodes décrites.
3. En règle générale, la notation canonique s'étend aux nombres complexes (i = √(-1)). Même si le nombre complexe s'écrit comme i et non comme racine, il vaut mieux se débarrasser de i au dénominateur.
4. Certaines des méthodes décrites ici impliquent de travailler avec des racines carrées. Principes généraux sont les mêmes pour les racines cubiques ou les racines de degrés supérieurs, mais il est assez difficile de leur appliquer certaines méthodes (en particulier, la méthode de rationalisation du dénominateur). De plus, demandez à l'enseignant l'enregistrement correct des racines (cube √4 ou cube √ (2 ^ 2)).
5. Dans certaines sections de cet article, le concept de « forme canonique » est utilisé de manière incorrecte ; nous devrions vraiment parler d'une "forme standard" de notation. La différence est que la forme canonique vous oblige à écrire soit 1 + √2 soit √2 +1 ; la forme standard implique que les deux expressions (1 + √2 et √2 + 1) sont indéniablement égales, même si elles sont écrites différemment. Ici, par "sans aucun doute", nous entendons l'arithmétique (l'addition est commutative), et non les propriétés algébriques (√2 ​​​​est une racine non négative de x^2-2).
6. Si les méthodes décrites semblent ambiguës ou se contredisent, suivez des instructions cohérentes et non ambiguës. opérations mathématiques, et écrivez la réponse comme l'exige l'enseignant ou comme il est d'usage dans le manuel.

À première vue, il peut sembler que la procédure de factorisation d'une racine carrée en facteurs est complexe et imprenable. Mais ce n'est pas. Dans cet article, nous allons vous montrer comment approcher la racine carrée et les facteurs, et comment étendre facilement et simplement la racine carrée en utilisant deux méthodes éprouvées.

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Factorisation de la racine

Pour commencer, nous définissons le but de la procédure de factorisation de la racine carrée en facteurs. Cibler- simplifier la racine carrée et l'écrire sous une forme pratique pour les calculs.

Définition 1

Décomposition d'une racine carrée en facteurs - trouver deux nombres ou plus qui, s'ils sont multipliés l'un par l'autre, donneront un nombre égal à celui d'origine. Par exemple : 4×4 = 16.

Si vous pouvez trouver les facteurs, vous pouvez facilement simplifier ou éliminer l'expression de la racine carrée :

Exemple 1

Divisez le nombre racine par 2 s'il est pair.

Le nombre racine doit toujours être divisé par des nombres premiers, car toute valeur d'un nombre premier peut être factorisée en facteurs premiers. Si tu as nombre impair, puis essayez de le diviser par 3. Non divisible par 3 ? Diviser davantage par 5, 7, 9, etc.

Écrivez l'expression comme la racine du produit de deux nombres.

Par exemple, vous pouvez simplifier 98 de cette façon : = 98 ÷ 2 = 49 . Il en découle que 2 × 49 = 98 , on peut donc réécrire le problème comme suit : 98 = (2 × 49) .

Continuez à développer les nombres jusqu'à ce que le produit de deux nombres identiques et d'autres nombres reste sous la racine.

Prenons notre exemple (2 × 49) :

Puisque 2 est déjà simplifié au maximum, nous devons simplifier 49 . Nous cherchons un nombre premier par lequel 49 peut être divisé. Évidemment, ni 3 ni 5 ne correspondent. Il en reste 7 : 49 ÷ 7 = 7 , donc 7 × 7 = 49 .

Nous écrivons l'exemple sous la forme suivante : (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .

Simplifiez l'expression de la racine carrée.

Étant donné que nous avons entre parenthèses le produit de 2 et de deux nombres identiques (7), nous pouvons alors retirer le nombre 7 du signe racine.

Exemple 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7(2) .

Au moment où il y a deux nombres identiques sous la racine, arrêtez de factoriser les nombres. Bien sûr, si vous avez utilisé toutes les possibilités au maximum.

Rappelez-vous : il y a des racines qui peuvent être simplifiées plusieurs fois.

Dans ce cas, les nombres que nous retirons sous la racine et les nombres qui se tiennent devant elle sont multipliés.

Exemple 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

mais 45 peut être factorisé et la racine simplifiée une fois de plus.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Lorsqu'il est impossible d'obtenir deux nombres identiques sous le signe racine, cela signifie qu'une telle racine ne peut pas être simplifiée.

Si, après avoir décomposé l'expression racine en un produit de nombres premiers, vous n'avez pas réussi à obtenir deux nombres identiques, alors une telle racine ne peut pas être simplifiée.

Exemple 4

70 = 35 × 2, donc 70 = (35 × 2)

35 = 7 x 5 donc (35 x 2) = (7 x 5 x 2)

Comme vous pouvez le voir, les trois facteurs sont des nombres premiers qui ne peuvent pas être factorisés. Il n'y a pas de nombres identiques entre eux, il n'est donc pas possible de retirer un entier sous la racine. Simplifier 70 c'est interdit.

carré plein

Mémorisez quelques carrés de nombres premiers.

Le carré d'un nombre s'obtient en le multipliant par lui-même, c'est-à-dire lors de la mise au carré. Si vous mémorisez une douzaine de carrés de nombres premiers, cela vous simplifiera grandement la vie dans la simplification supplémentaire des racines.

Exemple 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

S'il y a un carré plein sous le signe de la racine carrée, cela vaut la peine de supprimer le signe de la racine et d'écrire la racine carrée de ce carré plein.

Dur? Pas:

Exemple 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Essayez de décomposer le nombre sous le signe racine en le produit d'un carré plein et d'un autre nombre.

Si vous voyez que l'expression racine est décomposée en produit d'un carré complet et de n'importe quel nombre, alors en vous souvenant de quelques exemples, vous économiserez considérablement du temps et des nerfs :

Exemple 7

50 = (25 × 2) = 5 2 . Si le nombre racine se termine par 25, 50 ou 75, vous pouvez toujours le factoriser en le produit de 25 et d'un autre nombre.

1700 \u003d (100 × 17) \u003d 10 17. Si le nombre racine se termine par 00, vous pouvez toujours le décomposer en le produit de 100 et d'un certain nombre.

72 = (9 × 8) = 3 8 . Si la somme des chiffres d'un nombre racine est 9, vous pouvez toujours le décomposer en le produit de 9 et d'un certain nombre.

Essayez de décomposer le nombre racine en produit de plusieurs carrés pleins : sortez-les de sous le signe racine et multipliez.

Exemple 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

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Formules racines. propriétés des racines carrées.

Attention!
Il y a d'autres
matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Dans la leçon précédente, nous avons compris ce qu'est une racine carrée. Il est temps de comprendre ce que sont formules pour les racines, quels sont propriétés racine et que peut-on faire pour tout cela.

Formules racine, propriétés racine et règles pour les actions avec racines- c'est essentiellement la même chose. Il existe étonnamment peu de formules pour les racines carrées. Ce qui, bien sûr, plaît! Au contraire, vous pouvez écrire beaucoup de formules de toutes sortes, mais seulement trois suffisent pour un travail pratique et confiant avec les racines. Tout le reste découle de ces trois. Bien que beaucoup s'égarent dans les trois formules des racines, oui...

Commençons par le plus simple. Elle est là:

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