Comment identifier les jambes adjacentes et opposées. Sinus, cosinus, tangente : qu'est-ce que c'est ? Comment trouver le sinus, le cosinus et la tangente

Nous allons commencer l'étude de la trigonométrie avec un triangle rectangle. Définir ce que sont le sinus et le cosinus, ainsi que la tangente et la cotangente angle aigu... Ce sont les bases de la trigonométrie.

Rappeler que angle droit est un angle de 90 degrés. En d'autres termes, la moitié d'un coin aplati.

Angle vif- moins de 90 degrés.

Angle obtus- supérieur à 90 degrés. Appliqué à un tel coin, "idiot" n'est pas une insulte, mais un terme mathématique :-)

Dessinons triangle rectangle... Un angle droit est généralement indiqué. Notez que le côté opposé au coin est désigné par la même lettre, seulement en petit. Ainsi, le côté opposé au coin A est noté.

L'angle est indiqué par la lettre grecque correspondante.

Hypoténuse un triangle rectangle est le côté opposé à l'angle droit.

Jambes- côtés opposés aux angles vifs.

La jambe qui se trouve en face du coin s'appelle opposé(par rapport au coin). Une autre jambe, qui se trouve d'un côté du coin, s'appelle adjacent.

Sinus un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse :

Cosinus un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :

Tangente un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente :

Autre définition (équivalente) : la tangente d'un angle aigu est le rapport du sinus d'un angle à son cosinus :

Cotangente un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'opposé (ou, ce qui est le même, le rapport du cosinus au sinus):

Notez les relations de base pour le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente ci-dessous. Ils nous seront utiles lors de la résolution de problèmes.

Prouvons-en quelques-uns.

D'accord, nous avons donné des définitions et écrit des formules. Et à quoi servent le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente ?

Nous savons que la somme des angles d'un triangle est.

Nous connaissons la relation entre des soirées triangle rectangle. C'est le théorème de Pythagore :.

Il s'avère que connaissant les deux angles du triangle, vous pouvez trouver le troisième. Connaissant les deux côtés d'un triangle rectangle, vous pouvez trouver le troisième. Cela signifie que pour les coins - son propre rapport, pour les côtés - le sien. Mais que se passe-t-il si dans un triangle rectangle un angle est connu (sauf le droit) et un côté, mais que vous devez trouver les autres côtés ?

C'est ce à quoi les gens ont été confrontés dans le passé, en faisant des cartes de la région et du ciel étoilé. Après tout, il n'est pas toujours possible de mesurer directement tous les côtés d'un triangle.

Sinus, cosinus et tangente - ils sont aussi appelés fonctions trigonométriques d'un angle- donner la relation entre des soirées et coins Triangle. Connaissant l'angle, vous pouvez trouver toutes ses fonctions trigonométriques à l'aide de tables spéciales. Et connaissant les sinus, les cosinus et les tangentes des angles d'un triangle et d'un de ses côtés, vous pouvez trouver le reste.

Nous allons également dessiner un tableau des valeurs sinus, cosinus, tangente et cotangente pour les "bons" angles de à.

Notez les deux tirets rouges dans le tableau. La tangente et la cotangente n'existent pas pour les angles correspondants.

Analysons quelques tâches de trigonométrie du Guichet emplois FIPI.

1. Dans un triangle, l'angle est,. Trouve.

Le problème est résolu en quatre secondes.

Dans la mesure où , .

2. Dans un triangle, l'angle est,,. Trouve.

Trouver par le théorème de Pythagore.

Le problème a été résolu.

Les triangles avec des coins et ou avec des coins et sont souvent rencontrés dans des problèmes. Mémorisez les ratios de base pour eux!

Pour un triangle avec des angles et une jambe opposée à l'angle b est égal à la moitié de l'hypoténuse.

Un triangle avec des coins et est isocèle. Dans celui-ci, l'hypoténuse est fois plus grande que la jambe.

Nous avons examiné le problème de la résolution des triangles rectangles, c'est-à-dire la recherche de côtés ou d'angles inconnus. Mais ce n'est pas tout! V variantes de l'examen en mathématiques, il existe de nombreux problèmes où apparaît le sinus, le cosinus, la tangente ou la cotangente du coin externe d'un triangle. Plus à ce sujet dans le prochain article.

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui étudie les fonctions trigonométriques et leur utilisation en géométrie. Le développement de la trigonométrie a commencé à l'époque de la Grèce antique. Au Moyen Âge, les scientifiques du Moyen-Orient et de l'Inde ont apporté une contribution importante au développement de cette science.

Cet article est consacré aux concepts et définitions de base de la trigonométrie. Il aborde les définitions des principaux fonctions trigonométriques: sinus, cosinus, tangente et cotangente. Leur signification est expliquée et illustrée dans le contexte de la géométrie.

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Initialement, les définitions des fonctions trigonométriques, dont l'argument est un angle, étaient exprimées en termes de rapports des côtés d'un triangle rectangle.

Définitions des fonctions trigonométriques

Le sinus de l'angle (sin α) est le rapport de la jambe opposée à cet angle à l'hypoténuse.

Le cosinus de l'angle (cos ) est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

La tangente de l'angle (t g α) est le rapport de la branche opposée à la branche adjacente.

Angle cotangent (c t g α) - le rapport de la jambe adjacente à l'opposé.

Ces définitions sont données pour un angle aigu d'un triangle rectangle !

Voici une illustration.

Dans le triangle ABC d'angle droit C, le sinus de l'angle A est égal au rapport de la jambe BC à l'hypoténuse AB.

Les définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente vous permettent de calculer les valeurs de ces fonctions à partir des longueurs connues des côtés d'un triangle.

Important à retenir !

La plage de valeurs du sinus et du cosinus : de -1 à 1. En d'autres termes, le sinus et le cosinus prennent des valeurs de -1 à 1. La plage de valeurs de la tangente et de la cotangente est l'entier numérique ligne, c'est-à-dire que ces fonctions peuvent prendre n'importe quelle valeur.

Les définitions données ci-dessus concernent les angles vifs. En trigonométrie, le concept d'un angle de rotation est introduit, dont la valeur, contrairement à un angle aigu, n'est pas limitée à un repère de 0 à 90. L'angle de rotation en degrés ou en radians est exprimé par n'importe quel nombre réel de - à + ∞.

Dans ce contexte, il est possible de donner une définition de sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un angle de grandeur arbitraire. Imaginez le cercle unité centré à l'origine du système de coordonnées cartésiennes.

Le point de départ A avec les coordonnées (1, 0) tourne autour du centre du cercle unité d'un certain angle et va au point A 1. La définition est donnée par les coordonnées du point A 1 (x, y).

Sinus (sin) de l'angle de rotation

Le sinus de l'angle de rotation est l'ordonnée du point A 1 (x, y). sin = y

Le cosinus (cos) de l'angle de rotation

Le cosinus de l'angle de rotation est l'abscisse du point A 1 (x, y). cos = x

Tangente (tg) de l'angle de rotation

La tangente de l'angle de rotation est le rapport de l'ordonnée du point A 1 (x, y) à son abscisse. t g = y x

Cotangente (ctg) de l'angle de rotation

La cotangente de l'angle de rotation est le rapport de l'abscisse du point A 1 (x, y) à son ordonnée. c t g = x y

Le sinus et le cosinus sont définis pour tout angle de rotation. C'est logique, car l'abscisse et l'ordonnée d'un point après un virage peuvent être déterminées à n'importe quel angle. La situation est différente avec la tangente et la cotangente. La tangente n'est pas définie lorsque le point après virage se dirige vers le point d'abscisse nulle (0, 1) et (0, - 1). Dans de tels cas, l'expression de la tangente t g = y x n'a tout simplement pas de sens, car elle contient une division par zéro. La situation est similaire avec la cotangente. La différence est que la cotangente n'est pas définie lorsque l'ordonnée d'un point est nulle.

Important à retenir !

Le sinus et le cosinus sont définis pour tout angle α.

La tangente est définie pour tous les angles sauf α = 90 ° + 180 ° k, k Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

La cotangente est définie pour tous les angles sauf α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Lors de la résolution d'exemples pratiques, ne dites pas « sinus de l'angle de rotation ». Les mots "angle de rotation" sont simplement omis, ce qui implique qu'il ressort clairement du contexte de quoi il s'agit.

Les nombres

Qu'en est-il de la définition du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un nombre, et non de l'angle de rotation ?

Sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un nombre

Sinus, cosinus, tangente et cotangente d'un nombre t est appelé un nombre qui est, respectivement, égal au sinus, au cosinus, à la tangente et à la cotangente dans t radian.

Par exemple, le sinus de 10 est égal au sinus de l'angle de rotation de 10 rad.

Il existe une autre approche pour déterminer le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un nombre. Considérons-le plus en détail.

N'importe quel nombre réel t un point sur le cercle unité avec un centre à l'origine d'un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires est affecté. Sinus, cosinus, tangente et cotangente sont définis par les coordonnées de ce point.

Le point de départ du cercle est le point A de coordonnées (1, 0).

Nombre positif t

Nombre négatif t correspond au point où ira le point de départ s'il se déplace dans le sens antihoraire le long du cercle et parcourt le chemin t.

Maintenant que la connexion entre le nombre et le point sur le cercle est établie, nous procédons à la définition de sinus, cosinus, tangente et cotangente.

Le sinus (péché) de t

Sinus du nombre t est l'ordonnée du point du cercle unité correspondant au nombre t. sin t = y

Cosinus (cos) du nombre t

Nombre de cosinus t est l'abscisse du point du cercle unité correspondant au nombre t. cos t = x

La tangente (tg) du nombre t

Tangente de nombre t- le rapport de l'ordonnée à l'abscisse du point du cercle unité correspondant au nombre t. t g t = y x = sin t coût t

Ces dernières définitions sont cohérentes avec et ne contredisent pas la définition donnée au début de cette clause. Le point sur le cercle correspondant au nombre t, coïncide avec le point auquel se dirige le point de départ après rotation d'un angle t radian.

Fonctions trigonométriques d'argument angulaire et numérique

Chaque valeur de l'angle correspond à une certaine valeur du sinus et du cosinus de cet angle. A tous les angles α autres que α = 90 ° + 180 ° k, k Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) correspond une certaine valeur de la tangente. La cotangente, comme mentionné ci-dessus, est définie pour tout α, sauf pour α = 180 ° k, k Z (α = π k, k ∈ Z).

On peut dire que sin , cos α, t g α, c t g α sont des fonctions de l'angle alpha, ou des fonctions de l'argument angulaire.

De même, on peut parler de sinus, cosinus, tangente et cotangente en tant que fonctions d'un argument numérique. A chaque nombre réel t correspond à une valeur spécifique du sinus ou du cosinus d'un nombre t... Tous les nombres autres que π 2 + π · k, k Z, correspondent à la valeur de la tangente. La cotangente est définie de la même manière pour tous les nombres sauf π k, k Z.

Fonctions de base de la trigonométrie

Sinus, cosinus, tangente et cotangente sont des fonctions trigonométriques de base.

Il est généralement clair à partir du contexte à quel argument de la fonction trigonométrique (argument d'angle ou argument numérique) nous avons affaire.

Revenons aux données du tout début des définitions et à l'angle alpha, compris entre 0 et 90 degrés. Définitions trigonométriques sinus, cosinus, tangente et cotangente sont parfaitement compatibles avec les définitions géométriques données en utilisant les rapports d'aspect d'un triangle rectangle. Montrons-le.

Prenez le cercle unité centré dans un système de coordonnées cartésiennes rectangulaires. Faisons pivoter le point de départ A (1, 0) d'un angle allant jusqu'à 90 degrés et dessinons une perpendiculaire à l'axe des abscisses à partir du point résultant A 1 (x, y). Dans le triangle rectangle résultant, l'angle A 1 O H égal à l'angle rotation α, la longueur de la jambe O H est égale à l'abscisse du point A 1 (x, y). La longueur de la jambe opposée au coin est égale à l'ordonnée du point A 1 (x, y), et la longueur de l'hypoténuse est égale à un, puisque c'est le rayon du cercle unité.

Selon la définition de la géométrie, le sinus de l'angle est égal au rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse.

sin = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Cela signifie que déterminer le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle à travers le rapport hauteur/largeur équivaut à déterminer le sinus de l'angle de rotation , avec alpha compris entre 0 et 90 degrés.

De même, la correspondance des définitions peut être montrée pour le cosinus, la tangente et la cotangente.

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Instructions

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Remarque

Lors du calcul des côtés d'un triangle rectangle, la connaissance de ses caractéristiques peut jouer un rôle :
1) Si la jambe d'un angle droit est opposée à un angle de 30 degrés, alors elle est égale à la moitié de l'hypoténuse ;
2) L'hypoténuse est toujours plus longue que n'importe laquelle des jambes ;
3) Si un cercle est décrit autour d'un triangle rectangle, son centre doit se trouver au milieu de l'hypoténuse.

L'hypoténuse est le côté d'un triangle rectangle opposé à un angle de 90 degrés. Pour calculer sa longueur, il suffit de connaître la longueur d'une des jambes et la taille d'un des angles aigus du triangle.

Instructions

Faites-nous savoir l'une des jambes et le coin adjacent. Pour plus de précision, que ce soit la jambe | AB | et l'angle . Ensuite, nous pouvons utiliser la formule du rapport trigonométrique cosinus - cosinus de la jambe adjacente à. Celles. dans notre notation cos = |AB | / | CA |. De là on obtient la longueur de l'hypoténuse |AC | = |AB | / cos .
Si nous connaissons la jambe | BC | et l'angle α, alors nous utiliserons la formule pour calculer le sinus de l'angle - le sinus de l'angle est égal au rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse : sin α = | BC | / | CA |. Nous obtenons que la longueur de l'hypoténuse est trouvée comme |AC | = | C.-B. | / cos .

Pour plus de clarté, prenons un exemple. Soit la longueur de la jambe |AB | = 15. Et l'angle = 60 °. Nous obtenons |AC | = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Considérez comment vous pouvez vérifier votre résultat en utilisant le théorème de Pythagore. Pour ce faire, nous devons calculer la longueur de la deuxième étape | BC |. En utilisant la formule de la tangente de l'angle tan = |BC | / | AC |, on obtient | BC | = |AB | * tan = 15 * tan 60 ° = 15 * √3. Ensuite on applique le théorème de Pythagore, on obtient 15 ^ 2 + (15 * √3) ^ 2 = 30 ^ 2 => 225 + 675 = 900. La vérification est terminée.

Conseil utile

Après avoir calculé l'hypoténuse, vérifiez si la valeur résultante satisfait le théorème de Pythagore.

Sources:

• table nombres premiers de 1 à 10000

Jambes appelons les deux petits côtés d'un triangle rectangle qui forment ce sommet dont la valeur est de 90°. Le troisième côté d'un tel triangle s'appelle l'hypoténuse. Tous ces côtés et angles du triangle sont liés les uns aux autres par certains rapports, qui permettent de calculer la longueur de la jambe, si plusieurs autres paramètres sont connus.

Instructions

Utilisez le théorème de Pythagore pour la jambe (A) si vous connaissez la longueur des deux autres côtés (B et C) d'un triangle rectangle. Ce théorème stipule que la somme des longueurs des jambes au carré est égale au carré de l'hypoténuse. Il en résulte que la longueur de chacune des jambes est égale à racine carrée des longueurs de l'hypoténuse et de la deuxième jambe : A = √ (C²-B²).

Utilisez la définition de la fonction trigonométrique directe « sinus » pour un angle aigu, si vous connaissez la valeur de l'angle (α), qui se trouve en face de la jambe calculée, et la longueur de l'hypoténuse (C). Cela indique que le sinus de ce connu est le rapport de la longueur de la jambe souhaitée à la longueur de l'hypoténuse. C'est que la longueur de la jambe désirée est égale au produit de la longueur de l'hypoténuse et du sinus de l'angle connu : A = C sin (α). Pour les mêmes valeurs connues, vous pouvez utiliser la cosécante et calculer la longueur requise en divisant la longueur de l'hypoténuse par la cosécante de l'angle connu A = C / cosec (α).

Utilisez la définition de la fonction cosinus trigonométrique directe si, en plus de la longueur de l'hypoténuse (C), la valeur de l'angle aigu (β) adjacent à celui souhaité est également connue. Le cosinus de cet angle comme le rapport des longueurs de la jambe désirée et de l'hypoténuse, et de là on peut conclure que la longueur de la jambe est égale au produit de la longueur de l'hypoténuse par le cosinus de l'angle connu : A = C cos (β). Vous pouvez utiliser la définition de la fonction sécante et calculer Valeur souhaitée en divisant la longueur de l'hypoténuse par la sécante de l'angle connu A = C / sec (β).

Déduire la formule désirée d'une définition similaire pour la dérivée de la fonction trigonométrique de la tangente, si, en plus de l'angle aigu (α), qui se trouve en face de la jambe désirée (A), la longueur de la deuxième jambe (B) est connu. La tangente de l'angle opposé à la jambe désirée est le rapport de la longueur de cette jambe sur la longueur de la deuxième jambe. Cela signifie que la valeur requise sera égale au produit de la longueur de la jambe connue et de la tangente de l'angle connu : A = B tg (α). Une autre formule peut être dérivée des mêmes quantités connues si nous utilisons la définition de la fonction cotangente. Dans ce cas, pour calculer la longueur de la jambe, il faudra trouver le rapport de la longueur de la jambe connue sur la cotangente de l'angle connu : A = B / ctg (α).

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Le mot "cathet" est venu en russe du grec. En traduction exacte, cela signifie un fil à plomb, c'est-à-dire une perpendiculaire à la surface de la terre. En mathématiques, les jambes sont appelées côtés qui forment un angle droit d'un triangle rectangle. Le côté opposé à ce coin s'appelle l'hypoténuse. Le terme "cathetus" est également utilisé dans l'architecture et la technologie travaux de soudure.

La sécante d'un angle donné est obtenue en divisant l'hypoténuse par la jambe adjacente, c'est-à-dire secCAB = c / b. Il s'avère que l'inverse du cosinus, c'est-à-dire qu'il peut être exprimé par la formule secCAB = 1 / cosSAB.
La cosécante est égale au quotient de la division de l'hypoténuse par la jambe opposée et c'est l'inverse du sinus. Il peut être calculé en utilisant la formule cosecCAB = 1 / sinCAB

Les deux jambes sont reliées l'une à l'autre et à la cotangente. Dans ce cas, la tangente sera le rapport du côté a au côté b, c'est-à-dire la jambe opposée à la jambe adjacente. Ce rapport peut être exprimé par la formule tgCAB = a/b. En conséquence, la relation inverse sera la cotangente : ctgCAB = b / a.

Le rapport entre les dimensions de l'hypoténuse et des deux jambes a été déterminé par l'ancien grec Pythagore. Les gens utilisent encore le théorème, son nom. Il dit que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes, c'est-à-dire c2 = a2 + b2. En conséquence, chaque jambe sera égale à la racine carrée de la différence entre les carrés de l'hypoténuse et de l'autre jambe. Cette formule peut être écrite comme b = (c2-a2).

La longueur de la jambe peut aussi s'exprimer à travers les relations que vous connaissez. D'après les théorèmes des sinus et des cosinus, la jambe est égale au produit de l'hypoténuse et de l'une de ces fonctions. Vous pouvez l'exprimer et ou cotangent. La jambe a peut être trouvée, par exemple, par la formule a = b * tan CAB. De la même manière, en fonction de la tangente ou spécifiée, la deuxième jambe est également déterminée.

Le terme "jambe" est également utilisé en architecture. Il est appliqué sur le chapiteau ionique et descend au milieu de son dos. C'est-à-dire, dans ce cas, ce terme est une perpendiculaire à une ligne donnée.

Dans la technologie du soudage, il existe une "jambe de soudure d'angle". Comme dans d'autres cas, c'est la distance la plus courte. On parle ici de l'écart entre l'une des pièces à souder au bord du joint situé à la surface de l'autre pièce.

Vidéos connexes

Sources:

• qu'est-ce que la jambe et l'hypoténuse en 2019

Niveau moyen

Triangle rectangle. Le guide illustré complet (2019)

TRIANGLE RECTANGLE. PREMIER NIVEAU.

Dans les tâches, un angle droit n'est pas du tout nécessaire - le coin inférieur gauche, vous devez donc apprendre à reconnaître un triangle rectangle sous cette forme,

et en tel,

et dans un tel

A quoi bon un triangle rectangle ? Eh bien ... tout d'abord, il y a de jolis noms spéciaux pour ses fêtes.

Attention au dessin !

N'oubliez pas et ne confondez pas : jambes - deux, et l'hypoténuse - une seule(le seul et unique et le plus long) !

Eh bien, les noms ont été discutés, maintenant la chose la plus importante : le théorème de Pythagore.

Théorème de Pythagore.

Ce théorème est la clé pour résoudre de nombreux problèmes impliquant un triangle rectangle. Il a été prouvé par Pythagore dans des temps tout à fait immémoriaux, et depuis lors, il a apporté de nombreux avantages à ceux qui le connaissent. Et la meilleure chose à son sujet, c'est qu'elle est simple.

Donc, Théorème de Pythagore:

Vous vous souvenez de la blague : « Les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous les côtés ! » ?

Dessinons ce même pantalon pythagoricien et regardons-le.

Cela ne ressemble-t-il pas à une sorte de short ? Eh bien, de quels côtés et où sont-ils égaux? Pourquoi et d'où vient la blague ? Et cette plaisanterie est liée précisément au théorème de Pythagore, plus précisément à la façon dont Pythagore lui-même a formulé son théorème. Et il l'a formulé comme suit :

"Somme carrés construit sur les jambes est égal à surface carrée construit sur l'hypoténuse ».

Cela ne semble-t-il pas un peu différent? Et ainsi, lorsque Pythagore a dessiné l'énoncé de son théorème, une telle image s'est avérée.

Sur cette image, la somme des aires des petits carrés est égale à l'aire du grand carré. Et pour que les enfants se souviennent mieux que la somme des carrés des jambes est égale au carré de l'hypoténuse, quelqu'un d'esprit et a inventé cette blague sur le pantalon pythagoricien.

Pourquoi formulons-nous maintenant le théorème de Pythagore

Pythagore a-t-il souffert et parlé de carrés ?

Vous voyez, dans les temps anciens il n'y avait pas... d'algèbre ! Il n'y avait pas de désignations et ainsi de suite. Il n'y avait aucune inscription. Pouvez-vous imaginer à quel point c'était horrible pour les pauvres anciens disciples de tout mémoriser avec des mots ??! Et nous pouvons nous réjouir d'avoir une formulation simple du théorème de Pythagore. Répétons-le encore pour mieux s'en souvenir :

Cela devrait être facile maintenant :

Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes.

Eh bien, le théorème le plus important sur un triangle rectangle a été discuté. Si vous êtes intéressé par la façon dont cela est prouvé, lisez les prochains niveaux de théorie, et maintenant allons plus loin... dans la forêt sombre... de la trigonométrie ! Aux mots terribles sinus, cosinus, tangente et cotangente.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle.

En fait, ce n'est pas du tout effrayant. Bien sûr, les définitions "réelles" de sinus, cosinus, tangente et cotangente doivent être trouvées dans l'article. Mais tu ne veux vraiment pas, non ? On peut se réjouir : pour résoudre des problèmes sur un triangle rectangle, vous pouvez simplement remplir les choses simples suivantes :

Pourquoi tout tourne-t-il dans le coin ? Où est le coin ? Pour comprendre cela, vous devez savoir comment les énoncés 1 à 4 sont écrits avec des mots. Regardez, comprenez et souvenez-vous!

1.
En fait ça sonne comme ça :

Et le coin ? Y a-t-il une jambe opposée au coin, c'est-à-dire la jambe opposée (pour le coin) ? Bien sûr! C'est une jambe !

Mais qu'en est-il de l'angle ? Regarder attentivement. Quelle jambe est adjacente au coin ? Bien sûr, la jambe. Par conséquent, pour l'angle, la jambe est adjacente, et

Maintenant, attention ! Regardez ce que nous avons :

Tu vois comme c'est génial :

Passons maintenant à la tangente et à la cotangente.

Comment puis-je l'écrire avec des mots maintenant? Quelle est la jambe par rapport au coin? En face, bien sûr - il "se trouve" en face du coin. Et la jambe ? Adjacent au coin. Alors qu'est ce qu'on a fait?

Voir le numérateur et le dénominateur sont inversés ?

Et maintenant encore les coins et fait l'échange :

Sommaire

Écrivons brièvement tout ce que nous avons appris.

Théorème de Pythagore:

Le théorème principal sur un triangle rectangle est le théorème de Pythagore.

théorème de Pythagore

Au fait, vous souvenez-vous bien de ce que sont les jambes et l'hypoténuse? Sinon, regardez l'image - rafraîchissez vos connaissances

Il est possible que vous ayez déjà utilisé le théorème de Pythagore plusieurs fois, mais vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un tel théorème est vrai ? Comment puis-je le prouver? Faisons comme les anciens Grecs. Dessinons un carré avec un côté.

Vous voyez comme nous avons intelligemment divisé ses côtés en longueurs et !

Relions maintenant les points marqués

Ici, cependant, nous avons noté autre chose, mais vous regardez vous-même le dessin et réfléchissez à la raison pour laquelle il en est ainsi.

Quelle est l'aire du plus grand carré ? Droit, . Une zone plus petite ? Bien sûr, . La superficie totale des quatre coins reste. Imaginez que nous les prenions deux à la fois et les appuyions l'un contre l'autre avec des hypoténuses. Que s'est-il passé? Deux rectangles. Cela signifie que la surface des "restes" est égale à.

Rassemblons le tout maintenant.

Transformons :

Nous avons donc visité Pythagore - nous avons prouvé son théorème d'une manière ancienne.

Triangle rectangle et trigonométrie

Pour un triangle rectangle, les relations suivantes sont remplies :

Le sinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse

Le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse.

La tangente d'un angle aigu est égale au rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente.

La cotangente d'un angle aigu est égale au rapport de la branche adjacente à la branche opposée.

Et encore une fois, tout cela se présente sous forme d'assiette :

C'est très pratique!

Tests d'égalité pour les triangles rectangles

I. Sur deux pattes

II. Sur la jambe et l'hypoténuse

III. Par hypoténuse et angle aigu

IV. Sur une jambe et un coin pointu

une)

b)

Attention! Il est très important ici que les jambes soient "appropriées". Par exemple, si c'est comme ça :

ALORS LES TRIANGLES NE SONT PAS ÉGAUX, malgré le fait qu'ils aient le même angle aigu.

Besoin de dans les deux triangles, la jambe était adjacente, ou dans les deux triangles, opposée.

Avez-vous remarqué à quel point les signes d'égalité des triangles rectangles diffèrent des signes d'égalité habituels des triangles ? Regardez le sujet "et faites attention au fait que pour l'égalité des triangles" ordinaires ", l'égalité de leurs trois éléments est nécessaire: deux côtés et un angle entre eux, deux angles et un côté entre eux, ou trois côtés . Mais pour l'égalité des triangles rectangles, seuls deux éléments correspondants suffisent. Super, n'est-ce pas ?

La situation est approximativement la même avec les signes de similitude des triangles rectangles.

Signes de similitude des triangles rectangles

I. Dans un virage serré

II. Sur deux pattes

III. Sur la jambe et l'hypoténuse

Médiane dans un triangle rectangle

Pourquoi cela est-il ainsi?

Considérons un rectangle entier au lieu d'un triangle rectangle.

Dessinons une diagonale et considérons un point - le point d'intersection des diagonales. Que sait-on des diagonales d'un rectangle ?

Et qu'est-ce qui en découle ?

Il s'est donc avéré que

1. - médiane :

Souvenez-vous de ce fait ! Aide beaucoup !

Ce qui est encore plus surprenant, c'est que l'inverse est également vrai.

A quoi bon tirer du fait que la médiane tirée de l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse ? Regardons la photo

Regarder attentivement. Nous avons : c'est-à-dire que les distances du point aux trois sommets du triangle se sont avérées égales. Mais dans un triangle, il n'y a qu'un seul point, les distances à partir desquelles les trois sommets du triangle sont égaux, et c'est le CENTRE DU CERCLE DÉCRIT. Alors, qu'est-ce-qu'il s'est passé?

Commençons par ce "d'ailleurs...".

Regardons et.

Mais dans de tels triangles tous les angles sont égaux !

On peut en dire autant de et

Maintenant, dessinons ensemble :

Quel bénéfice peut-on tirer de cette « triple » similitude.

Eh bien, par exemple - deux formules pour la hauteur d'un triangle rectangle.

Écrivons la relation des parties respectives:

Pour trouver la hauteur, nous résolvons la proportion et obtenons la première formule "Hauteur dans un triangle rectangle":

Alors, appliquons la similitude :.

Que se passe-t-il maintenant ?

Encore une fois, nous résolvons la proportion et obtenons la deuxième formule :

Ces deux formules doivent être très bien mémorisées et celle qui est la plus pratique à appliquer. Écrivons-les à nouveau

Théorème de Pythagore:

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes :.

Signes d'égalité des triangles rectangles :

• sur deux pattes :
• sur la jambe et l'hypoténuse : ou
• le long de la jambe et de l'angle aigu adjacent : ou
• le long de la jambe et de l'angle aigu opposé : ou
• par hypoténuse et angle aigu : ou.

Signes de similitude des triangles rectangles :

• un coin pointu : ou
• de la proportionnalité des deux jambes :
• de la proportionnalité de la jambe et de l'hypoténuse : ou.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente dans un triangle rectangle

• Le sinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse :
• Le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :
• La tangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente :
• La cotangente d'un angle aigu d'un triangle rectangle est le rapport de la jambe adjacente à l'opposée :.

Hauteur d'un triangle rectangle : ou.

Dans un triangle rectangle, la médiane tirée du sommet de l'angle droit est la moitié de l'hypoténuse :.

Aire d'un triangle rectangle :

• par les jambes :

Les notions de sinus (), cosinus (), tangente (), cotangente () sont inextricablement liées à la notion d'angle. Pour bien les comprendre, à première vue, notions complexes(qui provoquent un état d'horreur chez de nombreux écoliers), et pour être sûr que "le diable n'est pas si terrible qu'il est peint", commençons par le tout début et comprenons la notion d'angle.

Notion d'angle : radian, degré

Jetons un coup d'oeil à l'image. Le vecteur a "tourné" par rapport au point d'une certaine quantité. Ainsi, la mesure de cette rotation par rapport à la position initiale sera injection.

Que devez-vous savoir d'autre sur le concept d'angle? Eh bien, bien sûr, les unités d'angle !

L'angle, en géométrie et en trigonométrie, peut être mesuré en degrés et en radians.

L'angle (un degré) est appelé l'angle central dans un cercle, reposant sur un arc de cercle égal à une partie du cercle. Ainsi, tout le cercle est constitué de "morceaux" d'arcs de cercle, ou l'angle décrit par le cercle est égal à.

C'est-à-dire que la figure ci-dessus montre un angle égal, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle avec la taille de la circonférence.

Un angle en radians est l'angle au centre d'un cercle reposant sur un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle. Eh bien, compris? Sinon, découvrons-le en dessinant.

Ainsi, la figure montre un angle égal à un radian, c'est-à-dire que cet angle repose sur un arc de cercle dont la longueur est égale au rayon du cercle (la longueur est égale à la longueur ou le rayon est égal au longueur de l'arc). Ainsi, la longueur de l'arc est calculée par la formule :

Où est l'angle au centre en radians.

Eh bien, pouvez-vous, sachant cela, répondre combien de radians contient l'angle décrit par le cercle ? Oui, pour cela, vous devez vous rappeler la formule de la circonférence. Elle est là:

Eh bien, relions maintenant ces deux formules et obtenons que l'angle décrit par le cercle est égal. Autrement dit, en corrélant la valeur en degrés et en radians, nous obtenons cela. Respectivement, . Comme vous pouvez le voir, contrairement aux « degrés », le mot « radian » est omis car l'unité est généralement claire du contexte.

Combien y a-t-il de radians ? C'est exact!

J'ai compris? Ensuite, corrigez en avant :

Des difficultés ? Alors regarde les réponses:

Triangle rectangle : sinus, cosinus, tangente, cotangente d'un angle

Donc, nous avons compris le concept d'un angle. Mais qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente d'un angle après tout ? Trouvons-le. Pour cela, un triangle rectangle nous aidera.

Comment s'appellent les côtés d'un triangle rectangle ? C'est vrai, l'hypoténuse et les jambes : l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (dans notre exemple, c'est le côté) ; les jambes sont les deux côtés restants et (ceux qui sont adjacents à angle droit), de plus, si l'on considère les jambes par rapport à l'angle, alors la jambe est la jambe adjacente et la jambe est la jambe opposée. Alors maintenant, répondons à la question : quels sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle ?

Angle sinus est le rapport de la jambe opposée (éloignée) à l'hypoténuse.

Dans notre triangle.

Cosinus d'un angle est le rapport de la jambe adjacente (proche) à l'hypoténuse.

Dans notre triangle.

Tangente angulaire est le rapport de la jambe opposée (lointaine) à la jambe adjacente (proche).

Dans notre triangle.

Angle cotangent est le rapport entre la branche adjacente (proche) et la branche opposée (lointaine).

Dans notre triangle.

Ces définitions sont nécessaires rappelles toi! Pour qu'il soit plus facile de se rappeler quelle jambe diviser en quoi, vous devez clairement comprendre que dans tangente et cotangense seules les jambes sont assises et l'hypoténuse n'apparaît que dans sinus et cosinus... Et puis vous pouvez créer une chaîne d'associations. Par exemple, celui-ci :

Cosinus → toucher → toucher → adjacent ;

Cotangente → toucher → toucher → adjacent.

Tout d'abord, il faut se rappeler que sinus, cosinus, tangente et cotangente en tant que rapports des côtés d'un triangle ne dépendent pas de la longueur de ces côtés (à un angle). Ne crois pas? Ensuite, assurez-vous en regardant l'image:

Considérons, par exemple, le cosinus d'un angle. Par définition, à partir d'un triangle :, mais on peut calculer le cosinus d'un angle à partir d'un triangle :. Vous voyez, les longueurs des côtés sont différentes, mais la valeur du cosinus d'un angle est la même. Ainsi, les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente dépendent uniquement de la grandeur de l'angle.

Si vous avez compris les définitions, alors allez-y et corrigez-les !

Pour le triangle illustré dans la figure ci-dessous, recherchez.

Eh bien, compris ? Alors essayez-le vous-même : comptez la même chose pour le coin.

Cercle unitaire (trigonométrique)

Comprenant les concepts de degrés et de radians, nous avons considéré un cercle de rayon égal à. Un tel cercle s'appelle Célibataire... C'est très pratique pour apprendre la trigonométrie. Par conséquent, attardons-nous là-dessus un peu plus en détail.

Comme vous pouvez le voir, ce cercle est construit dans un système de coordonnées cartésiennes. Le rayon du cercle est égal à un, alors que le centre du cercle se trouve à l'origine, la position initiale du rayon vecteur est fixée suivant la direction positive de l'axe (dans notre exemple, il s'agit du rayon).

Chaque point du cercle correspond à deux nombres : la coordonnée le long de l'axe et la coordonnée le long de l'axe. Et quels sont ces nombres-coordonnées ? Et en général, qu'ont-ils à voir avec le sujet à l'étude ? Pour ce faire, vous devez vous souvenir du triangle rectangle considéré. Dans l'image ci-dessus, vous pouvez voir deux triangles rectangles entiers. Considérons un triangle. Il est rectangulaire puisqu'il est perpendiculaire à l'axe.

A quoi est égal un triangle ? C'est d'accord. De plus, nous savons que - est le rayon du cercle unité, et donc,. Remplacez cette valeur dans notre formule de cosinus. Voici ce qui se passe :

Et qu'est-ce qui est égal à du triangle? Oui bien sur, ! Remplacez la valeur du rayon dans cette formule et obtenez :

Alors, pouvez-vous nous dire quelles sont les coordonnées d'un point appartenant à un cercle ? Eh bien, pas moyen ? Et si vous vous en rendiez compte et que vous n'êtes que des chiffres ? A quelle coordonnée correspond-il ? Eh bien, bien sûr, la coordonnée! Et à quelle coordonnée correspond-il ? C'est vrai, coordonnez-vous! Donc le point.

Et alors qu'est-ce qui est égal à et ? C'est vrai, utilisons les définitions correspondantes de tangente et cotangente et obtenons cela, a.

Et si l'angle est plus grand ? Par exemple, comme sur cette image :

Qu'est-ce qui a changé dans cet exemple ? Trouvons-le. Pour ce faire, tournez-vous à nouveau vers un triangle rectangle. Considérons un triangle rectangle : coin (comme adjacent au coin). Quelle est la valeur du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente pour un angle ? C'est vrai, nous adhérons aux définitions correspondantes des fonctions trigonométriques :

Eh bien, comme vous pouvez le voir, la valeur du sinus de l'angle correspond toujours à la coordonnée ; la valeur du cosinus de l'angle - coordonnée; et les valeurs de la tangente et de la cotangente aux rapports correspondants. Ainsi, ces relations s'appliquent à toutes les rotations du rayon vecteur.

Il a déjà été mentionné que la position initiale du rayon vecteur est selon la direction positive de l'axe. Jusqu'à présent, nous avons fait pivoter ce vecteur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, mais que se passe-t-il si nous le faisons pivoter dans le sens des aiguilles d'une montre ? Rien d'extraordinaire, un angle d'une certaine ampleur se révélera également, mais seulement il sera négatif. Ainsi, lorsque vous faites pivoter le rayon vecteur dans le sens antihoraire, vous obtenez angles positifs, et en tournant dans le sens horaire - négatif.

Ainsi, nous savons que toute la révolution du rayon vecteur dans un cercle est ou. Est-il possible de faire pivoter le rayon vecteur de ou de ? Bien sûr vous pouvez! Dans le premier cas, donc, le rayon vecteur fera un tour complet et s'arrêtera à la position ou.

Dans le second cas, c'est-à-dire que le rayon vecteur fera trois tours complets et s'arrêtera à la position ou.

Ainsi, à partir des exemples ci-dessus, nous pouvons conclure que les angles qui diffèrent de ou (où est un nombre entier) correspondent à la même position du rayon vecteur.

L'image ci-dessous montre l'angle. La même image correspond au coin, etc. La liste se rallonge de plus en plus. Tous ces angles peuvent être écrits par la formule générale ou (où est un nombre entier)

Maintenant, connaissant les définitions des fonctions trigonométriques de base et en utilisant le cercle unité, essayez de répondre à quoi les valeurs sont égales:

Voici un cercle d'unité pour vous aider :

Des difficultés ? Alors découvrons-le. Alors, on sait que :

A partir de là, on détermine les coordonnées des points correspondant à certaines mesures de l'angle. Bon, commençons dans l'ordre : le coin correspond à un point avec des coordonnées, donc :

N'existe pas;

De plus, en adhérant à la même logique, nous découvrons que les coins correspondent à des points avec des coordonnées, respectivement. Sachant cela, il est facile de déterminer les valeurs des fonctions trigonométriques aux points correspondants. Essayez-le vous-même d'abord, puis vérifiez les réponses.

Réponses:

N'existe pas

N'existe pas

N'existe pas

N'existe pas

Ainsi, nous pouvons dresser le tableau suivant :

Il n'est pas nécessaire de se souvenir de toutes ces significations. Il suffit de rappeler la correspondance entre les coordonnées des points sur le cercle unité et les valeurs des fonctions trigonométriques :

Mais les valeurs des fonctions trigonométriques des angles en et, données dans le tableau ci-dessous, besoin de se souvenir:

N'ayez pas peur, nous allons maintenant montrer l'un des exemples. mémorisation assez simple des valeurs correspondantes:

Pour utiliser cette méthode, il est vital de se rappeler les valeurs du sinus pour les trois mesures de l'angle (), ainsi que la valeur de la tangente de l'angle en. Connaissant ces valeurs, il est assez facile de restituer l'ensemble du tableau dans son ensemble - les valeurs de cosinus sont transférées conformément aux flèches, c'est-à-dire :

Sachant cela, vous pouvez restaurer les valeurs pour. Le numérateur "" correspondra, et le dénominateur "" correspondra. Les valeurs cotangentes sont reportées selon les flèches représentées sur la figure. Si vous comprenez cela et que vous vous souvenez du diagramme avec des flèches, il suffira de mémoriser toutes les valeurs du tableau.

Coordonnées des points sur un cercle

Est-il possible de trouver un point (ses coordonnées) sur un cercle, connaître les coordonnées du centre du cercle, son rayon et son angle de rotation?

Bien sûr que tu peux! Amenons formule générale pour trouver les coordonnées d'un point.

Par exemple, nous avons un tel cercle devant nous :

On nous donne que le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est. Il faut trouver les coordonnées du point obtenu en tournant le point par degrés.

Comme vous pouvez le voir sur la figure, la longueur du segment correspond à la coordonnée du point. La longueur du segment correspond à la coordonnée du centre du cercle, c'est-à-dire qu'elle est égale à. La longueur d'un segment peut être exprimée en utilisant la définition du cosinus :

Ensuite, nous avons pour le point la coordonnée.

En utilisant la même logique, nous trouvons la valeur de la coordonnée y pour le point. Ainsi,

Donc dans vue générale les coordonnées des points sont déterminées par les formules :

Les coordonnées du centre du cercle,

Rayon du cercle,

L'angle de rotation du rayon du vecteur.

Comme vous pouvez le voir, pour le cercle unité que nous considérons, ces formules sont considérablement réduites, car les coordonnées du centre sont égales à zéro et le rayon est égal à un :

Bon, allons-nous goûter à ces formules en s'entraînant à trouver des points sur un cercle ?

1. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en tournant le point de.

2. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en tournant le point de.

3. Trouvez les coordonnées d'un point sur le cercle unité obtenu en tournant le point de.

4. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est. Il faut trouver les coordonnées du point obtenu en faisant pivoter le vecteur rayon initial de.

5. Le point est le centre du cercle. Le rayon du cercle est. Il faut trouver les coordonnées du point obtenu en faisant pivoter le vecteur rayon initial de.

Vous avez du mal à trouver les coordonnées d'un point sur un cercle ?

Résolvez ces cinq exemples (ou trouvez bien la solution) et vous apprendrez à les trouver !

1.

Tu peux voir ça. Mais on sait ce qui correspond à une révolution complète du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors de la rotation. Sachant cela, nous allons trouver les coordonnées requises du point :

2. Le cercle est unité avec un centre en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :

Tu peux voir ça. On sait ce qui correspond à deux révolutions complètes du point de départ. Ainsi, le point souhaité sera dans la même position que lors de la rotation. Sachant cela, nous allons trouver les coordonnées requises du point :

Le sinus et le cosinus sont des valeurs tabulaires. Nous nous souvenons de leur signification et obtenons :

Ainsi, le point requis a des coordonnées.

3. Le cercle est unité avec un centre en un point, ce qui signifie que nous pouvons utiliser des formules simplifiées :

Tu peux voir ça. Représentons l'exemple considéré dans la figure :

Le rayon fait des angles avec l'axe égaux à et. Sachant que les valeurs tabulaires du cosinus et du sinus sont égales, et ayant déterminé que le cosinus prend ici une valeur négative, et que le sinus est positif, on a :

Plus de détails exemples similaires comprendre en étudiant les formules de réduction des fonctions trigonométriques dans le sujet.

Ainsi, le point requis a des coordonnées.

4.

L'angle de rotation du rayon du vecteur (par condition,)

Pour déterminer les signes correspondants du sinus et du cosinus, on construit un cercle unité et un angle :

Comme vous pouvez le voir, la valeur, c'est-à-dire positive, et la valeur, c'est-à-dire négative. Connaissant les valeurs tabulaires des fonctions trigonométriques correspondantes, on obtient que :

Substituez les valeurs obtenues dans notre formule et trouvez les coordonnées :

Ainsi, le point requis a des coordonnées.

5. Pour résoudre ce problème, nous utiliserons des formules sous forme générale, où

Les coordonnées du centre du cercle (dans notre exemple,

Rayon du cercle (par condition,)

L'angle de rotation du rayon du vecteur (par condition,).

Remplacez toutes les valeurs de la formule et obtenez :

et - valeurs tabulaires. Nous les rappelons et les substituons dans la formule :

Ainsi, le point requis a des coordonnées.

FORMULES SOMMAIRE ET DE BASE

Le sinus de l'angle est le rapport de la jambe opposée (lointaine) à l'hypoténuse.

Le cosinus de l'angle est le rapport de la jambe adjacente (proche) à l'hypoténuse.

La tangente de l'angle est le rapport de la jambe opposée (loin) à la jambe adjacente (proche).

La cotangente d'un angle est le rapport de la branche adjacente (proche) à la branche opposée (lointaine).