Comment comprendre les nombres premiers. Comment vérifier si un nombre est premier

Liste des diviseurs. Par définition, le nombre n est premier seulement s'il n'est pas divisible par 2 et tout entier autre que 1 et lui-même. La formule ci-dessus supprime les étapes inutiles et fait gagner du temps : par exemple, après avoir vérifié si un nombre est divisible par 3, il n'est pas nécessaire de vérifier s'il est divisible par 9.

• La fonction floor(x) arrondit x à l'entier le plus proche inférieur ou égal à x.

En savoir plus sur l'arithmétique modulaire. L'opération "x mod y" (mod est l'abréviation de mot latin"modulo", c'est-à-dire "module") signifie "diviser x par y et trouver le reste". En d'autres termes, en arithmétique modulaire, en atteignant une certaine valeur, qui s'appelle module, les nombres "reviennent" à zéro. Par exemple, une horloge mesure le temps en module 12 : elle indique 10, 11 et 12 heures puis revient à 1.

• De nombreuses calculatrices ont une touche mod. La fin de cette section montre comment calculer manuellement cette fonction pour les grands nombres.

Découvrez les pièges du petit théorème de Fermat. Tous les nombres pour lesquels les conditions de test ne sont pas remplies sont composites, mais les nombres restants ne sont que Probablement sont considérés comme simples. Si vous voulez éviter des résultats incorrects, recherchez n dans la liste des "nombres de Carmichael" (nombres composés qui satisfont à ce test) et des "nombres de Fermat pseudo-premiers" (ces nombres ne remplissent les conditions du test que pour certaines valeurs une).

Si cela vous convient, utilisez le test de Miller-Rabin. Bien que cette méthode soit assez lourde pour les calculs manuels, elle est souvent utilisée dans logiciels d'ordinateur. Elle fournit une vitesse acceptable et donne moins d'erreurs que la méthode de Fermat. Un nombre composé ne sera pas considéré comme un nombre premier si les calculs sont effectués pour plus de ¼ de valeurs une. Si vous choisissez au hasard diverses significations une et pour tous le test donnera un résultat positif, nous pouvons supposer avec un degré de confiance assez élevé que n est un nombre premier.

Pour les grands nombres, utilisez l'arithmétique modulaire. Si vous n'avez pas de calculatrice mod à portée de main, ou si votre calculatrice n'est pas conçue pour gérer des nombres aussi grands, utilisez les propriétés de puissance et l'arithmétique modulaire pour faciliter vos calculs. Ci-dessous un exemple pour 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mode 50 :

• Réécrivez l'expression sous une forme plus pratique : mod 50. Lors d'un calcul manuel, d'autres simplifications peuvent être nécessaires.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Ici nous avons pris en compte la propriété de multiplication modulaire.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mode 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mode 50) mode 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mode 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849) mode 50.
• = 49 (\displaystyle=49).

Tous les autres nombres naturels sont dits composés. Le nombre naturel 1 n'est ni premier ni composé.

Exemple

La tâche. Lequel des suivants nombres naturels sont simples :

Répondre.

Factoriser un nombre

La représentation d'un nombre naturel comme un produit de nombres naturels s'appelle factorisation. Si dans la factorisation d'un nombre naturel tous les facteurs sont des nombres premiers, alors une telle factorisation est appelée factorisation première.

Théorème

(Théorème de base de l'arithmétique)

Tout entier naturel autre que 1 peut être décomposé en facteurs premiers, et, qui plus est, de façon unique (si on identifie les décompositions et , où et sont des nombres premiers).

En combinant des facteurs premiers identiques dans la décomposition d'un nombre, on obtient la décomposition dite canonique d'un nombre :

où , sont des nombres premiers différents et sont des nombres naturels.

Exemple

La tâche. Trouvez le développement canonique des nombres :

Solution. Pour trouver le développement canonique des nombres, il faut d'abord les décomposer en facteurs premiers, puis combiner les mêmes facteurs et écrire leur produit en degré avec un exposant naturel :

Répondre.

Référence historique

Comment déterminer quel nombre est premier et lequel ne l'est pas ? La méthode la plus courante pour trouver tous les nombres premiers dans n'importe quel intervalle numérique a été proposée au 3ème siècle. avant JC e. Eratosthène (la méthode s'appelle le "tamis d'Eratosthène"). Supposons que nous ayons besoin de déterminer lesquels des nombres sont premiers. Nous les écrivons dans une rangée et barrons un nombre sur deux à partir de ceux qui suivent le nombre 2 - ils sont tous composés, car ils sont des multiples du nombre 2. Le premier des nombres non barrés restants - 3 - est premier. Biffez chaque troisième chiffre parmi ceux qui suivent le chiffre 3; le prochain des nombres non croisés - 5 - sera également premier. Par le même principe, on raye chaque cinquième chiffre de ceux qui suivent le chiffre 5 et, en général, chaque -e de ceux qui suivent le chiffre . Tous les nombres non barrés restants seront premiers.

À mesure que les nombres premiers augmentent, ils deviennent de moins en moins courants. Cependant, déjà les anciens étaient bien conscients du fait qu'il en existe un nombre infini. Sa preuve est donnée dans les Éléments d'Euclide.

La division des nombres naturels en nombres premiers et composés est attribuée au mathématicien grec ancien Pythagore. Et si vous suivez Pythagore, l'ensemble des nombres naturels peut être divisé en trois classes: (1) - un ensemble composé d'un nombre - un; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) est l'ensemble des nombres premiers ; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) est l'ensemble des nombres composés.

De nombreux mystères différents cachent le deuxième ensemble. Mais d'abord, voyons ce qu'est un nombre premier. Nous ouvrons le «Dictionnaire encyclopédique mathématique» (Yu. V. Prokhorov, maison d'édition «Encyclopédie soviétique», 1988) et lisons:

« Un nombre premier est un entier positif supérieur à un qui n'a pas d'autres diviseurs que lui-même et un : 2,3,5,7,11,13,

Le concept de nombre premier est fondamental dans l'étude de la divisibilité des nombres naturels ; à savoir, le théorème fondamental de l'arithmétique stipule que tout entier positif, à l'exception de 1, peut être décomposé de manière unique en un produit de nombres premiers (l'ordre des facteurs n'est pas pris en compte). Il existe une infinité de nombres premiers (cette proposition, appelée théorème d'Euclide, était déjà connue des mathématiciens grecs anciens, sa preuve se trouve dans le livre 9 des Eléments d'Euclide). P. Dirichlet (1837) a établi que dans une progression arithmétique a+bx en x=1. ,2,с avec des entiers premiers entre eux a et b contient également une infinité de nombres premiers.

Pour trouver les nombres premiers de 1 à x, le bien connu du 3ème siècle est utilisé. avant JC e. crible d'Ératosthène. Considérant la séquence (*) des nombres premiers de 1 à x montre que lorsque x augmente, il devient plus rare en moyenne. Il existe des segments arbitrairement longs d'une série de nombres naturels, parmi lesquels il n'y a pas un seul nombre premier (Théorème 4). En même temps, il existe de tels nombres premiers, dont la différence est égale à 2 (les soi-disant jumeaux). Jusqu'à présent (1987), on ignore si l'ensemble de tels jumeaux est fini ou infini. Les tableaux des nombres premiers dans les 11 premiers millions de nombres naturels montrent de très grands jumeaux (par exemple, 10 006 427 et 10 006 429).

L'élucidation de la distribution des nombres premiers dans la série naturelle des nombres est un problème très difficile en théorie des nombres. Elle se pose comme l'étude du comportement asymptotique d'une fonction dénotant le nombre de nombres premiers ne dépassant pas un nombre positif x. Il ressort du théorème d'Euclide que at. L. Euler a introduit la fonction zêta en 1737.

Il a également prouvé que

Où la sommation est effectuée sur tous les nombres naturels et le produit est pris sur tous les nombres premiers. Cette identité et ses généralisations jouent un rôle fondamental dans la théorie de la distribution des nombres premiers. Partant de là, L. Euler a prouvé que la série et le produit en premier p divergent. De plus, L. Euler a établi qu'il existe "plusieurs" nombres premiers, car

Et en même temps, presque tous les nombres naturels sont composés, puisque à.

et, pour tout (c'est-à-dire ce qui croît en fonction). Chronologiquement, le résultat significatif suivant qui affine le théorème de Chebyshev est le soi-disant. la loi asymptotique de distribution des nombres premiers (J. Hadamard, 1896, Ch. La Vallée Poussin, 1896), qui consistait dans le fait que la limite du rapport à est égale à 1. Par la suite, des efforts importants des mathématiciens se sont dirigés vers clarifier la loi asymptotique de distribution des nombres premiers. Les questions de distribution des nombres premiers sont étudiées à la fois par des méthodes élémentaires et par des méthodes d'analyse mathématique.

Ici, il est logique de prouver certains des théorèmes donnés dans l'article.

Lemme 1. Si pgcd(a, b)=1, alors il existe des entiers x, y tels que.

Preuve. Soient a et b des nombres relativement premiers. Considérez l'ensemble J de tous les nombres naturels z, représentables sous la forme, et choisissez-y le plus petit nombre d.

Montrons que a est divisible par d. Diviser a par d avec reste : et laisser. Puisqu'il a la forme, donc,

On voit ça.

Puisque nous avons supposé que d est le plus petit nombre de J, nous avons une contradiction. Donc a est divisible par d.

De la même manière, on montre que b est divisible par d. Donc d=1. Le lemme est prouvé.

Théorème 1. Si les nombres a et b sont premiers entre eux et que le produit bx est divisible par a, alors x est divisible par a.

Preuve 1. Nous devons prouver que ax est divisible par b et pgcd(a,b)=1, alors x est divisible par b.

D'après le lemme 1, il existe x, y tels que. Alors, évidemment, est divisible par b.

Preuve 2. Considérons l'ensemble J de tous les nombres naturels z tels que zc est divisible par b. Soit d le plus petit nombre de J. C'est facile à voir. De manière similaire à la preuve du lemme 1, nous prouvons que a est divisible par d et b est divisible par d

Lemme 2. Si les nombres q,p1,p2,pn sont premiers et que le produit est divisible par q, alors un des nombres pi est égal à q.

Preuve. Tout d'abord, notez que si un nombre premier p est divisible par q, alors p=q. Ceci implique immédiatement l'assertion du lemme pour n=1. Pour n=2, cela découle directement du théorème 1 : si p1p2 est divisible par un nombre premier q u, alors p2 est divisible par q (c'est-à-dire).

Nous prouvons le lemme pour n=3 comme suit. Soit p1 p2 p3 divisible par q. Si p3 = q, alors tout est prouvé. Si, d'après le théorème 1, p1 p2 est divisible par q. Ainsi, nous avons réduit le cas n=3 au cas déjà considéré n=2.

De même, à partir de n=3 on peut passer à n=4, puis à n=5, et en général, en supposant que n=k l'assertion du lemme est prouvée, on peut facilement la prouver pour n=k+1. Ceci nous convainc que le lemme est vrai pour tout n.

Théorème fondamental de l'arithmétique. Chaque nombre naturel peut être décomposé en facteurs premiers d'une manière unique.

Preuve. Supposons qu'il existe deux factorisations du nombre a en facteurs premiers :

Puisque le côté droit est divisible par q1, le côté gauche de l'égalité doit également être divisible par q1. D'après le lemme 2, un des nombres est égal à q1. Annulons les deux côtés de l'égalité par q1.

Faisons le même raisonnement pour q2, puis pour q3, pour qi. En fin de compte, tous les facteurs à droite seront réduits et il restera 1. Naturellement, il ne restera rien à gauche sauf un. Nous concluons donc que les deux développements et ne peuvent différer que par l'ordre des facteurs. Le théorème a été démontré.

Théorème d'Euclide. Le nombre de nombres premiers est infini.

Preuve. Supposons que la série de nombres premiers est finie et notons le dernier nombre premier par la lettre N. Compose le produit

Ajoutons-y 1. Nous obtenons :

Ce nombre, étant un nombre entier, doit contenir au moins un facteur premier, c'est-à-dire qu'il doit être divisible par au moins un nombre premier. Mais tous les nombres premiers, par hypothèse, ne dépassent pas N, tandis que le nombre M + 1 n'est divisible sans reste par aucun des nombres premiers inférieur ou égal à N - chaque fois que le reste est 1. Le théorème est prouvé.

Théorème 4. Les sections de nombres composés entre nombres premiers peuvent être de n'importe quelle longueur. Nous allons maintenant prouver que la série est constituée de n nombres composés consécutifs.

Ces nombres vont directement les uns après les autres dans la série naturelle, puisque chacun suivant vaut 1 de plus que le précédent. Il reste à prouver qu'ils sont tous composites.

Premier numéro

Pair, puisque ses deux termes contiennent un facteur de 2. Et tout nombre pair supérieur à 2 est composé.

Le deuxième nombre est composé de deux termes, dont chacun est un multiple de 3. Par conséquent, ce nombre est composé.

De même, on établit que le nombre suivant est un multiple de 4, etc.. Autrement dit, chaque nombre de notre série contient un facteur différent de 1 et de lui-même ; il est donc composé. Le théorème a été démontré.

Après avoir étudié les preuves des théorèmes, nous continuons l'examen de l'article. Dans son texte, le crible d'Eratosthène était mentionné comme un moyen de trouver des nombres premiers. Lisons à propos de cette méthode dans le même dictionnaire :

« Le crible d'Eratosthène est une méthode développée par Eratosthène qui permet de filtrer les nombres composés de la série naturelle. L'essence du crible d'Eratosthène est la suivante. L'unité est barrée. Le numéro deux est simple. Tous les nombres naturels divisibles par 2 sont barrés Nombre 3 - le premier nombre non croisé sera premier. De plus, tous les nombres naturels divisibles par 3 sont barrés.Le nombre 5 - le prochain nombre non croisé - sera simple. En poursuivant des calculs similaires, on peut trouver un segment arbitrairement long d'une séquence de nombres premiers. Le crible d'Eratosthène en tant que méthode théorique d'étude de la théorie des nombres a été développé par W. Brun (1919).

Voici le plus grand nombre actuellement connu pour être premier :

Ce nombre a environ sept cents décimales. Les calculs par lesquels il a été trouvé que ce nombre est premier ont été effectués sur des ordinateurs modernes.

« La fonction zêta de Riemann, -fonction, est une fonction analytique d'une variable complexe, pour σ>1, déterminée par une série de Dirichlet absolument et uniformément convergente :

Pour σ>1, la représentation sous la forme du produit d'Euler est valide :

(2) où p parcourt tous les nombres premiers.

L'identité de la série (1) et du produit (2) est l'une des principales propriétés de la fonction zêta. Il permet d'obtenir diverses relations qui relient la fonction zêta aux fonctions les plus importantes de la théorie des nombres. Par conséquent, la fonction zêta joue un rôle important dans la théorie des nombres.

La fonction zêta a été introduite en fonction d'une variable réelle par L. Euler (1737, publ. 1744), qui a indiqué sa place dans le produit (2). Ensuite, la fonction zêta a été considérée par P. Dirichlet et surtout avec succès par P. L. Chebyshev dans le cadre de l'étude de la loi de distribution des nombres premiers. Cependant, les propriétés les plus profondes de la fonction zêta ont été découvertes après les travaux de B. Riemann, qui pour la première fois en 1859 a considéré la fonction zêta comme une fonction d'une variable complexe, il a également introduit le nom de "fonction zêta" et le la désignation """.

Mais la question se pose : qu'est-ce utilisation pratique existe pour tout ce travail sur les nombres premiers ? En effet, ils ne sont presque pas utilisés, mais il existe un domaine où les nombres premiers et leurs propriétés sont appliqués à ce jour. C'est la cryptographie. Ici, les nombres premiers sont utilisés dans les systèmes de cryptage sans transfert de clés.

Malheureusement, c'est tout ce que l'on sait sur les nombres premiers. Il reste encore beaucoup de mystères. Par exemple, on ne sait pas si l'ensemble des nombres premiers représentables par deux carrés est infini.

"NOMBRE PREMIERS NON SIMPLES".

J'ai décidé de faire une petite recherche afin de trouver des réponses à certaines questions sur les nombres premiers. Tout d'abord, j'ai compilé un programme qui imprime tous les nombres premiers consécutifs inférieurs à 1 000 000 000. De plus, j'ai compilé un programme qui détermine si le nombre entré est premier. Pour étudier les problèmes des nombres premiers, j'ai construit un graphique qui marque la dépendance de la valeur d'un nombre premier sur le nombre ordinal. Comme plan de recherche supplémentaire, j'ai décidé d'utiliser l'article de IS Zeltser et BA Kordemsky "Amusing flocks of nombres premiers." Les auteurs ont identifié les pistes de recherche suivantes :

1. 168 places des mille premiers nombres naturels sont occupées par des nombres premiers. Parmi ceux-ci, 16 nombres sont palindromiques - chacun est égal à l'inverse : 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Il n'y a que 1061 nombres premiers à quatre chiffres, et aucun d'entre eux n'est palindromique.

Il existe de nombreux nombres palindromiques simples à cinq chiffres. Ils comprennent de telles beautés: 13331, 15551, 16661, 19991. Sans aucun doute, il existe des troupeaux de ce type: ,. Mais combien y a-t-il d'exemplaires dans chacun de ces troupeaux ?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

On peut voir que la somme des chiffres des nombres et est divisible par 3, donc ces nombres eux-mêmes sont également divisibles par 3.

Quant aux nombres du formulaire, parmi eux les nombres 72227, 75557, 76667, 78887, 79997 sont premiers.

2. Dans les mille premiers nombres, il y a cinq "quatuors" constitués de nombres premiers consécutifs, dont les derniers chiffres forment la séquence 1, 3, 7, 9 : (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Combien y a-t-il de tels quatuors parmi les nombres premiers à n chiffres pour n>3 ?

En utilisant le programme que j'ai écrit, j'ai trouvé le quatuor manqué par les auteurs : (479, 467, 463, 461) et les quatuors pour n = 4, 5, 6. Pour n = 4, il y a 11 quatuors

3. Un groupe de neuf nombres premiers : 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - est attrayant non seulement parce qu'il s'agit d'une progression arithmétique avec une différence de 210, mais aussi parce qu'il peut tenir dans neuf cellules de telle sorte qu'un carré magique se forme avec une constante égale à la différence de deux nombres premiers : 3119 - 2 :

Le dixième membre suivant de la progression considérée, 2089, est également un nombre premier. Si vous supprimez le nombre 199 du troupeau, mais incluez 2089, alors dans cette composition, le troupeau peut former un carré magique - un sujet de recherche.

A noter qu'il existe d'autres carrés magiques constitués de nombres premiers :

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Le carré proposé est curieux car

1. C'est un carré magique 7x7 ;

2. Il contient un carré magique 5x5 ;

3. Un carré magique 5x5 contient un carré magique 3x3 ;

4. Tous ces carrés ont un nombre central commun - 3407 ;

5. Tous les 49 numéros inclus dans le carré 7x7 se terminent par le numéro 7 ;

6. Les 49 nombres inclus dans le carré 7x7 sont des nombres premiers ;

7. Chacun des 49 nombres inclus dans un carré 7x7 peut être représenté par 30n + 17.

Les programmes utilisés ont été écrits par mes soins dans le langage de programmation Dev-C++ et je fournis leurs textes en annexe (voir les fichiers avec l'extension .cpp). En plus de tout ce qui précède, j'ai écrit un programme qui décompose les nombres naturels consécutifs en facteurs premiers (voir Diviseurs 1. cpp) et un programme qui décompose uniquement le nombre saisi en facteurs premiers (voir Diviseurs 2. cpp). Comme ces programmes sous forme compilée prennent trop de place, seuls leurs textes sont donnés. Cependant, n'importe qui peut les compiler s'il a le bon programme.

BIOGRAPHIES DES SCIENTIFIQUES IMPLIQUÉS DANS LE PROBLÈME DES NOMBRES PREMIERS

EUCLIDE

(environ 330 avant JC - environ 272 avant JC)

Très peu d'informations fiables ont été conservées sur la vie du plus célèbre mathématicien de l'Antiquité. On pense qu'il a étudié à Athènes, ce qui explique sa brillante maîtrise de la géométrie développée par l'école de Platon. Cependant, apparemment, il n'était pas familier avec les écrits d'Aristote. Il a enseigné à Alexandrie, où il a reçu des éloges pour ses activités d'enseignement sous le règne de Ptolémée I Soter. Il y a une légende selon laquelle ce roi a demandé de lui révéler un moyen d'obtenir un succès rapide en mathématiques, à laquelle Euclide a répondu qu'il n'y avait pas de voies royales en géométrie (une histoire similaire, cependant, est également racontée à propos de Menchem, à qui on aurait demandé à peu près le même par Alexandre le Grand). La tradition a conservé le souvenir d'Euclide comme d'un personnage bienveillant et modeste. Euclide - auteur de traités sur divers thèmes, mais son nom est principalement associé à l'un des traités intitulé "Les débuts". Il s'agit d'un ensemble d'ouvrages de mathématiciens qui ont travaillé avant lui (le plus célèbre d'entre eux étant Hippocrate de Kos), dont il a perfectionné les résultats grâce à sa faculté de généralisation et sa diligence.

EULER (EULER) LÉONARD

(Bâle, Suisse 1707 - Saint-Pétersbourg, 1783)

Mathématicien, mécanicien et physicien. Né dans la famille d'un pauvre pasteur Paul Euler. Il a d'abord reçu son éducation de son père, et en 1720-1724 à l'Université de Bâle, où il a assisté à des conférences sur les mathématiques par I. Bernoulli.

À la fin de 1726, Euler est invité à l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg et en mai 1727 arrive à Saint-Pétersbourg. Dans l'académie nouvellement organisée, Euler a trouvé des conditions favorables pour activité scientifique, ce qui lui a permis de commencer immédiatement à étudier les mathématiques et la mécanique. Au cours des 14 années de la première période pétersbourgeoise de sa vie, Euler a préparé environ 80 ouvrages pour publication et en a publié plus de 50. À Saint-Pétersbourg, il a étudié le russe.

Euler a participé à de nombreuses activités de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg. Il a donné des conférences aux étudiants de l'université universitaire, a participé à divers examens techniques, a travaillé à la compilation de cartes de la Russie et a écrit le "Guide d'arithmétique" accessible au public (1738-1740). Sur instructions spéciales de l'Académie, Euler prépara pour publication Naval Science (1749), un ouvrage fondamental sur la théorie de la construction navale et de la navigation.

En 1741, Euler accepta l'offre du roi prussien Frédéric II de s'installer à Berlin, où devait avoir lieu la réorganisation de l'Académie des sciences. À l'Académie des sciences de Berlin, Euler a pris le poste de directeur de la classe de mathématiques et de membre du conseil d'administration, et après la mort de son premier président, P. Maupertuis, pendant plusieurs années (depuis 1759), il a effectivement dirigé l'académie. Pendant 25 ans de sa vie à Berlin, il a préparé environ 300 ouvrages, dont un certain nombre de grandes monographies.

Pendant son séjour à Berlin, Euler n'a pas cessé de travailler intensivement pour l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg, conservant le titre de membre honoraire. Il a mené une vaste correspondance scientifique et scientifique-organisationnelle, en particulier, il a correspondu avec M. Lomonosov, qu'il appréciait beaucoup. Euler a édité le département de mathématiques d'un corps scientifique universitaire russe, où pendant ce temps il a publié presque autant d'articles que dans les "Mémoires" de l'Académie des sciences de Berlin. Il a participé activement à la formation des mathématiciens russes ; les futurs académiciens S. Kotelnikov, S. Rumovsky et M. Sofronov ont été envoyés à Berlin pour étudier sous sa direction. Euler a apporté une grande aide à l'Académie des sciences de Pétersbourg, acquérant pour elle littérature scientifique et de l'équipement, négociation avec les candidats aux postes de l'académie, etc.

Le 17 (28) juillet 1766, Euler et sa famille retournèrent à Saint-Pétersbourg. Malgré son âge avancé et la cécité presque complète qui l'a frappé, il a travaillé de manière productive jusqu'à la fin de sa vie. Au cours des 17 années de son second séjour à Saint-Pétersbourg, il prépare environ 400 ouvrages, dont plusieurs grands livres. Euler a continué à participer au travail d'organisation de l'académie. En 1776, il était l'un des experts du projet d'un pont à une seule arche sur la Neva, proposé par I. Kulibin, et de toute la commission, lui seul a largement soutenu le projet.

Les mérites d'Euler en tant que plus grand scientifique et organisateur recherche scientifique ont été très appréciés de son vivant. Outre les académies de Saint-Pétersbourg et de Berlin, il a été membre des plus grandes institutions scientifiques : l'Académie des sciences de Paris, la Royal Society de Londres et autres.

L'une des caractéristiques du travail d'Euler est sa productivité exceptionnelle. Seulement de son vivant, environ 550 de ses livres et articles ont été publiés (la liste des œuvres d'Euler contient environ 850 titres). En 1909, la Société suisse des sciences naturelles a commencé à publier les œuvres complètes d'Euler, qui ont été achevées en 1975; il se compose de 72 volumes. D'un grand intérêt est la correspondance scientifique colossale d'Euler (environ 3 000 lettres), qui n'a jusqu'à présent été publiée que partiellement.

Le cercle d'études d'Euler était exceptionnellement large, couvrant tous les départements des mathématiques et de la mécanique contemporaines, la théorie de l'élasticité, la physique mathématique, l'optique, la théorie musicale, la théorie des machines, la balistique, les sciences marines, les affaires d'assurance, etc. Environ 3/5 des travaux d'Euler appartiennent aux mathématiques, les 2/5 restants principalement à ses applications. Le scientifique a systématisé ses résultats et les résultats obtenus par d'autres dans un certain nombre de monographies classiques, écrites avec une clarté étonnante et accompagnées d'exemples précieux. Ce sont, par exemple, « La mécanique ou la science du mouvement, énoncée analytiquement » (1736), « Introduction à l'analyse » (1748), « Calcul différentiel » (1755), « Théorie du mouvement corps solide"(1765), "Universal Arithmetic" (1768-69), qui connut une trentaine d'éditions en 6 langues, "Integral Calculus" (1768-94), etc. Au XVIIIe siècle. et en partie au XIXe siècle. Les Lettres sur diverses questions physiques et philosophiques, accessibles au public, écrites à une certaine princesse allemande, ont acquis une immense popularité. (1768-1774), qui connut plus de 40 éditions en 10 langues. La plupart de le contenu des monographies d'Euler a ensuite été inclus dans les manuels pour les études supérieures et partiellement lycée. Il est impossible de lister tous les théorèmes, méthodes et formules d'Euler utilisés jusqu'ici, dont seuls quelques-uns apparaissent dans la littérature sous son nom [par exemple, la méthode de la ligne brisée d'Euler, les substitutions d'Euler, la constante d'Euler, les équations d'Euler, les formules d'Euler, Fonction d'Euler, Nombres d'Euler, Formule d'Euler - Maclaurin, Formules d'Euler-Fourier, Caractéristique d'Euler, Intégrales d'Euler, Angles d'Euler].

Dans "Mécanique", Euler a d'abord exposé la dynamique d'un point à l'aide de l'analyse mathématique : le libre mouvement d'un point sous l'action de diverses forces à la fois dans le vide et dans un milieu résistant ; mouvement d'un point le long d'une ligne donnée ou le long d'une surface donnée ; mouvement sous l'influence des forces centrales. En 1744, il a d'abord formulé correctement principe mécanique moindre action et a montré ses premières applications. Dans La théorie du mouvement d'un corps rigide, Euler a développé la cinématique et la dynamique d'un corps rigide et a donné les équations de sa rotation autour d'un point fixe, jetant les bases de la théorie des gyroscopes. Dans sa théorie du navire, Euler a apporté une contribution précieuse à la théorie de la stabilité. Les découvertes d'Euler en mécanique céleste (par exemple, dans la théorie du mouvement de la lune) et en mécanique du continuum (les équations de base du mouvement d'un fluide idéal sous la forme d'Euler et dans les soi-disant variables de Lagrange, gaz oscillations dans les tuyaux, etc.). En optique, Euler (1747) donne la formule d'une lentille biconvexe et propose une méthode de calcul de l'indice de réfraction d'un milieu. Euler a adhéré à la théorie ondulatoire de la lumière. Il croyait que Couleurs variées correspondent à différentes longueurs d'onde de la lumière. Euler a proposé des moyens d'éliminer les aberrations chromatiques des lentilles et a donné des méthodes de calcul des composants optiques d'un microscope. Euler consacra une longue série d'ouvrages, commencés en 1748, à la physique mathématique : problèmes de la vibration d'une corde, d'une plaque, d'une membrane, etc. Toutes ces études stimulèrent le développement de la théorie des équations différentielles, des méthodes approchées d'analyse et des . fonctions, géométrie différentielle, etc. De nombreuses découvertes mathématiques d'Euler sont précisément contenues dans ces travaux.

Le travail principal d'Euler en tant que mathématicien était le développement de l'analyse mathématique. Il a jeté les bases de plusieurs disciplines mathématiques qui n'en étaient qu'à leurs balbutiements ou étaient totalement absentes du calcul infinitésimal d'I. Newton, G. Leibniz et des frères Bernoulli. Ainsi, Euler a été le premier à introduire les fonctions d'un argument complexe et à étudier les propriétés des fonctions élémentaires de base d'une variable complexe (fonctions exponentielles, logarithmiques et trigonométriques) ; en particulier, il a dérivé des formules relatives fonctions trigonométriques avec une démonstration. Les travaux d'Euler dans cette direction ont marqué le début de la théorie des fonctions d'une variable complexe.

Euler était le créateur du calcul des variations, décrit dans l'ouvrage «Méthode pour trouver des lignes courbes avec des propriétés maximales ou minimales. » (1744). La méthode par laquelle Euler en 1744 a dérivé condition nécessaire extremum de la fonctionnelle - l'équation d'Euler, était le prototype des méthodes directes du calcul des variations du XXe siècle. Euler a créé la théorie des équations différentielles ordinaires en tant que discipline indépendante et a jeté les bases de la théorie des équations aux dérivées partielles. Ici, il possède un grand nombre de découvertes: manière classique solutions équations linéairesà coefficients constants, la méthode de variation des constantes arbitraires, l'élucidation des propriétés de base de l'équation de Riccati, l'intégration des équations linéaires à coefficients variables à l'aide de séries infinies, les critères de solutions spéciales, la doctrine du facteur d'intégration, diverses méthodes approchées et une nombre de méthodes de résolution d'équations aux dérivées partielles. Euler a compilé une partie importante de ces résultats dans son "Integral Calculus".

Euler a également enrichi le calcul différentiel et intégral au sens étroit du terme (par exemple, la théorie du changement de variables, le théorème sur les fonctions homogènes, le concept de la double intégrale et le calcul de nombreuses intégrales spéciales). Dans le "Calcul Différentiel", Euler exprime et appuie par des exemples sa conviction dans l'opportunité d'utiliser des séries divergentes et propose des méthodes pour la sommation généralisée des séries, anticipant les idées de la théorie moderne rigoureuse des séries divergentes, créée au tournant de la XIXe et XXe siècles. De plus, Euler a obtenu de nombreux résultats concrets en théorie des séries. Il a ouvert le soi-disant. la formule de sommation d'Euler-Maclaurin, proposa la transformation des séries qui porte son nom, détermina les sommes d'un grand nombre de séries et introduisit de nouveaux types importants de séries en mathématiques (par exemple, les séries trigonométriques). Les études d'Euler sur la théorie des fractions continues et d'autres processus infinis se rejoignent ici.

Euler est le fondateur de la théorie des fonctions spéciales. Il a d'abord commencé à considérer le sinus et le cosinus comme des fonctions et non comme des segments de cercle. Il a obtenu presque tous les développements classiques des fonctions élémentaires en séries et produits infinis. Dans ses travaux, la théorie de la fonction γ a été créée. Il a étudié les propriétés des intégrales elliptiques, des fonctions hyperboliques et cylindriques, la fonction ζ, certaines fonctions θ, le logarithme intégral et d'importantes classes de polynômes spéciaux.

Selon P. Chebyshev, Euler a jeté les bases de toutes les recherches qui constituent la partie générale de la théorie des nombres. Ainsi, Euler a prouvé un certain nombre d'affirmations de P. Fermat (par exemple, le petit théorème de Fermat), a développé les fondements de la théorie des résidus de puissance et de la théorie formes quadratiques, a découvert (mais n'a pas prouvé) la loi de réciprocité quadratique et a étudié un certain nombre de problèmes dans l'analyse diophantienne. Dans les travaux sur la division des nombres en termes et sur la théorie des nombres premiers, Euler fut le premier à utiliser les méthodes d'analyse, étant ainsi le créateur de la théorie analytique des nombres. En particulier, il a introduit la fonction ζ et prouvé la soi-disant. Identité d'Euler reliant les nombres premiers à tous les nombres naturels.

Les mérites d'Euler sont également grands dans d'autres domaines des mathématiques. En algèbre, il possède des travaux sur la solution en radicaux des équations degrés supérieurs et sur les équations à deux inconnues, ainsi que les soi-disant. Identité à quatre carrés d'Euler. Euler a fait des progrès significatifs en géométrie analytique, en particulier dans la théorie des surfaces du second ordre. En géométrie différentielle, il étudie en détail les propriétés des lignes géodésiques, applique pour la première fois les équations naturelles des courbes, et surtout, il pose les bases de la théorie des surfaces. Il a introduit le concept de directions principales en un point d'une surface, prouvé leur orthogonalité, dérivé une formule pour la courbure de toute section normale, commencé à étudier les surfaces développables, etc.; dans un ouvrage publié à titre posthume (1862), il anticipe en partie les recherches de K. Gauss sur la géométrie intrinsèque des surfaces. Euler a également traité des questions individuelles de topologie et a prouvé, par exemple, un théorème important sur les polyèdres convexes. Euler le mathématicien est souvent décrit comme un brillant "calculateur". En effet, il était un maître inégalé des calculs formels et des transformations, dans ses œuvres de nombreux formules mathématiques et symboles reçus aspect moderne(par exemple, il possède les désignations pour e et π). Cependant, Euler a également introduit un certain nombre d'idées profondes dans la science, qui sont maintenant strictement étayées et servent de modèle pour la profondeur de pénétration dans le sujet de la recherche.

Selon P. Laplace, Euler était un professeur de mathématiciens de la seconde moitié du XVIII dans.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, aujourd'hui Allemagne, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)

Il étudie à Paris, entretient des relations amicales avec d'éminents mathématiciens, notamment avec Fourier. dès réception diplôme fut professeur aux universités de Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) et Göttingen, où il devint chef du département de mathématiques après la mort du scientifique Carl Friedrich Gauss. Sa contribution la plus remarquable à la science concerne la théorie des nombres, principalement l'étude des séries. Cela lui a permis de développer la théorie des séries proposée par Fourier. A créé sa propre version de la preuve du théorème de Fermat, utilisé des fonctions analytiques pour résoudre des problèmes arithmétiques et introduit des critères de convergence pour les séries. Dans le domaine de l'analyse mathématique, il a amélioré la définition et le concept d'une fonction, dans le domaine de la mécanique théorique, il s'est concentré sur l'étude de la stabilité des systèmes et sur le concept newtonien de potentiel.

TCHEBYCHEV PAFNUTIY LVOVYCH

Mathématicien russe, fondateur de l'école scientifique de Saint-Pétersbourg, académicien de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg (1856). Les travaux de Chebyshev ont jeté les bases du développement de nombreuses nouvelles branches des mathématiques.

Les travaux les plus nombreux de Chebyshev sont dans le domaine de l'analyse mathématique. Il a notamment fait l'objet d'une thèse sur le droit de donner des conférences, dans laquelle Chebyshev a étudié l'intégrabilité de certains expressions irrationnelles dans les fonctions algébriques et les logarithmes. Chebyshev a également consacré un certain nombre d'autres travaux à l'intégration des fonctions algébriques. Dans l'un d'eux (1853), un théorème bien connu sur les conditions d'intégrabilité dans les fonctions élémentaires d'un binôme différentiel a été obtenu. Un important axe de recherche sur analyse mathematique constituent ses travaux sur la construction d'une théorie générale des polynômes orthogonaux. La raison de sa création était l'interpolation parabolique par la méthode moindres carrés. Les recherches de Tchebychev sur le problème des moments et sur les formules de quadrature se rattachent au même cercle d'idées. Avec la réduction des calculs à l'esprit, Chebyshev a proposé (1873) de considérer des formules de quadrature avec des coefficients égaux (intégration approchée). Les recherches sur les formules de quadrature et sur la théorie de l'interpolation étaient étroitement liées aux tâches confiées à Chebyshev dans le département d'artillerie du comité scientifique militaire.

Dans la théorie des probabilités, Chebyshev est crédité de l'introduction systématique à la prise en compte des variables aléatoires et de la création d'une nouvelle technique pour prouver les théorèmes limites de la théorie des probabilités - la soi-disant. méthode des moments (1845, 1846, 1867, 1887). Il a prouvé la loi des grands nombres de manière très Forme générale; En même temps, sa démonstration frappe par sa simplicité et son élémentarité. Etude des conditions de convergence des fonctions de distribution des sommes de variables aléatoires indépendantes vers loi normale Chebyshev n'a pas mené à son terme. Cependant, A. A. Markov a réussi à le faire avec quelques ajouts aux méthodes de Chebyshev. Sans dérivations rigoureuses, Chebyshev a également esquissé la possibilité de raffinements de ce théorème limite sous la forme d'expansions asymptotiques de la fonction de distribution de la somme des termes indépendants en puissances de n21/2, où n est le nombre de termes. Les travaux de Chebyshev sur la théorie des probabilités sont Étape importante dans son développement ; en outre, ils ont été la base sur laquelle s'est développée l'école russe de théorie des probabilités, qui se composait d'abord d'étudiants directs de Chebyshev.

Riemann Georg Friedrich Bernhard

(Breselenz, Basse-Saxe, 1826 - Selaska, près d'Intra, Italie 66)

mathématicien allemand. En 1846, il entra à l'Université de Göttingen : il écouta les cours de K. Gauss, dont il développera plus tard nombre d'idées. En 1847–1849, il suivit des cours à l'université de Berlin ; en 1849, il retourna à Göttingen, où il se lia d'amitié avec le collaborateur de Gauss, le physicien W. Weber, qui suscita en lui un profond intérêt pour les questions de sciences naturelles mathématiques.

En 1851, il soutient sa thèse de doctorat "Principes fondamentaux de la théorie générale des fonctions d'une variable complexe". A partir de 1854 Privatdozent, à partir de 1857 professeur à l'Université de Göttingen.

Les travaux de Riemann ont eu une grande influence sur le développement des mathématiques du 2e moitié du XIX dans. et au 20ème siècle. Dans sa thèse de doctorat, Riemann a jeté les bases de la direction géométrique de la théorie des fonctions analytiques ; il a introduit les surfaces dites de Riemann, qui sont importantes dans l'étude des fonctions à plusieurs valeurs, a développé la théorie des applications conformes et, en relation avec cela, a donné les idées de base de la topologie, a étudié les conditions d'existence des fonctions analytiques à l'intérieur des domaines différentes sortes(le principe dit de Dirichlet), etc. Les méthodes développées par Riemann ont été largement utilisées dans ses travaux ultérieurs sur la théorie des fonctions et intégrales algébriques, sur la théorie analytique des équations différentielles (en particulier, les équations qui définissent les fonctions hypergéométriques), sur la théorie analytique des nombres (par exemple, , Riemann a indiqué le lien entre la distribution des nombres premiers et les propriétés de la fonction ζ, en particulier, avec la distribution de ses zéros dans le domaine complexe - la soi-disant hypothèse de Riemann, la dont la validité n'a pas encore été prouvée), etc.

Dans un certain nombre d'articles, Riemann a étudié l'expansion des fonctions en séries trigonométriques et, à cet égard, a déterminé les conditions nécessaires et suffisantes pour l'intégrabilité au sens de Riemann, ce qui était important pour la théorie des ensembles et des fonctions d'une variable réelle. . Riemann a également proposé des méthodes d'intégration des équations aux dérivées partielles (par exemple, en utilisant les soi-disant invariants de Riemann et la fonction de Riemann).

Dans sa célèbre conférence de 1854 "Sur les hypothèses sous-jacentes à la géométrie" (1867), Riemann a donné idée générale l'espace mathématique (selon ses termes, "les variétés"), y compris les espaces fonctionnels et topologiques. Ici, il considérait la géométrie au sens large comme la doctrine des variétés continues à n dimensions , c'est-à-dire des collections d'objets homogènes, et, généralisant les résultats de Gauss sur la géométrie intrinsèque d'une surface, a donné concept généralélément linéaire (le différentiel de la distance entre les points de la variété), définissant ainsi ce qu'on appelle les espaces de Finsler. Plus en détail, Riemann a considéré les espaces dits riemanniens, généralisant les espaces des géométries d'Euclide, Lobachevsky et la géométrie elliptique de Riemann, caractérisées par un type spécial d'élément linéaire, et a développé la théorie de leur courbure. Discutant de l'application de ses idées à l'espace physique, Riemann pose la question des « causes des propriétés métriques » de celui-ci, comme s'il anticipait ce qui avait été fait dans la théorie générale de la relativité.

Les idées et les méthodes proposées par Riemann ont ouvert de nouvelles voies dans le développement des mathématiques et ont trouvé une application en mécanique et dans la théorie de la relativité générale. Le scientifique est décédé en 1866 de la tuberculose.

La réponse d'Ilya est correcte, mais pas très détaillée. Au 18e siècle, soit dit en passant, on était encore considéré comme un nombre premier. Par exemple, des mathématiciens majeurs comme Euler et Goldbach. Goldbach est l'auteur de l'une des sept tâches du millénaire - l'hypothèse de Goldbach. La formulation originale stipule que tout nombre pair peut être représenté comme la somme de deux nombres premiers. De plus, initialement 1 était pris en compte comme nombre premier, et on voit ceci : 2 = 1 + 1. Ce plus petit exemple, ce qui satisfait la formulation originale de l'hypothèse. Plus tard, il a été corrigé et la formulation a acquis un aspect moderne : "tout nombre pair, à partir de 4, peut être représenté comme la somme de deux nombres premiers".

Rappelons la définition. Un nombre premier est un nombre naturel p qui n'a que 2 diviseurs naturels différents : p lui-même et 1. Conséquence de la définition : un nombre premier p n'a qu'un seul diviseur premier - p lui-même.

Supposons maintenant que 1 soit un nombre premier. Par définition, un nombre premier n'a qu'un seul diviseur premier : lui-même. Il s'avère alors que tout nombre premier supérieur à 1 est divisible par un nombre premier qui en diffère (par 1). Mais deux nombres premiers distincts ne peuvent pas être divisibles l'un par l'autre, car sinon ce ne sont pas des nombres premiers, mais des nombres composés, ce qui contredit la définition. Avec cette approche, il s'avère qu'il n'y a qu'un seul nombre premier - l'unité elle-même. Mais c'est absurde. Donc 1 n'est pas un nombre premier.

1, ainsi que 0, forment une autre classe de nombres - la classe des éléments neutres par rapport aux opérations n-nar dans un sous-ensemble du champ algébrique. De plus, en ce qui concerne l'opération d'addition, 1 est également un élément générateur de l'anneau des entiers.

Compte tenu de cela, il n'est pas difficile de trouver des analogues de nombres premiers dans d'autres structures algébriques. Supposons que nous ayons un groupe multiplicatif formé de puissances de 2 à partir de 1 : 2, 4, 8, 16, ... etc. 2 sert ici d'élément de formage. Un nombre premier de ce groupe est un nombre supérieur au plus petit élément et divisible uniquement par lui-même et par le plus petit élément. Dans notre groupe, seuls 4 ont de telles propriétés. Il n'y a plus de nombres premiers dans notre groupe.

Si 2 était aussi un nombre premier dans notre groupe, alors voyez le premier paragraphe - encore une fois, il s'avérerait que seul 2 est un nombre premier.

Définition 1. nombre premier est un nombre naturel supérieur à 1 qui n'est divisible que par lui-même et 1.

En d'autres termes, un nombre est premier s'il n'a que deux diviseurs naturels distincts.

Définition 2. Tout nombre naturel qui a d'autres diviseurs que lui-même et un est appelé nombre composé.

En d'autres termes, les nombres naturels qui ne sont pas premiers sont appelés nombres composés. La définition 1 implique qu'un nombre composé a plus de deux diviseurs naturels. Le nombre 1 n'est ni premier ni composé. a un seul diviseur 1 et, en plus de cela, de nombreux théorèmes sur les nombres premiers ne sont pas valables pour l'unité.

Il découle des définitions 1 et 2 que tout entier positif supérieur à 1 est soit un nombre premier, soit un nombre composé.

Ci-dessous se trouve un programme pour afficher les nombres premiers jusqu'à 5000. Remplissez les cellules, cliquez sur le bouton "Créer" et attendez quelques secondes.

Tableau des nombres premiers

Déclaration 1. Si p est un nombre premier et une n'importe quel entier, alors soit une divisé par p, ou p Et une nombres relativement premiers.

Vraiment. Si p nombre premier, alors il n'est divisible que par lui-même et 1 si une non divisible par p, alors le plus grand diviseur commun une Et p est égal à 1. Alors p Et une nombres relativement premiers.

Déclaration 2. Si le produit de plusieurs nombres de nombres une 1 , une 2 , une 3 , ... est divisible par un nombre premier p, alors au moins un des nombres une 1 , une 2 , une 3 , ... est divisible par p.

Vraiment. Si aucun des nombres n'est divisible par p, puis les nombres une 1 , une 2 , une 3 , ... seraient des nombres relativement premiers par rapport à p. Mais du corollaire 3 () il s'ensuit que leur produit une 1 , une 2 , une 3 , ... est aussi premier par rapport à p, ce qui contredit la condition de l'assertion. Par conséquent, au moins un des nombres est divisible par p.

Théorème 1. Tout nombre composé peut toujours être représenté et, de plus, la seule manière comme un produit d'un nombre fini de nombres premiers.

Preuve. Laisser être k nombre composé, et soit une 1 est un de ses diviseurs différent de 1 et de lui-même. Si une 1 est composé, alors il a en plus de 1 et une 1 et un autre diviseur une 2. Si une 2 est un nombre composé, alors il a, en plus de 1 et une 2 et un autre diviseur une 3 . Argumentant ainsi et tenant compte du fait que les chiffres une 1 , une 2 , une 3 , ... décroissent et que cette série contient un nombre fini de termes, on atteindra un certain nombre premier p une . Puis k peut être représenté comme

Supposons qu'il existe deux développements d'un nombre k:

Parce que k=p 1 p 2 p 3 ... est divisible par un nombre premier q 1 , alors au moins un des facteurs, par exemple p 1 est divisible par q une . Mais p 1 est premier et n'est divisible que par 1 et lui-même. En conséquence p 1 =q 1 (parce que q 1 ≠1)

Alors de (2) on peut exclure p 1 et q 1:

Ainsi, on s'assure que tout nombre premier qui entre dans le premier développement comme facteur une ou plusieurs fois entre dans le deuxième développement au moins le même nombre de fois et vice versa, tout nombre premier qui entre dans le deuxième développement comme facteur une ou plusieurs fois fois entre également dans la première extension au moins autant de fois. Par conséquent, tout nombre premier est inclus comme facteur dans les deux développements le même numéro fois et donc ces deux expansions sont les mêmes.■

Décomposition d'un nombre composé k peut s'écrire sous la forme suivante

(3)

où p 1 , p 2 , ... nombres premiers distincts, α, β, γ ... nombres entiers positifs.

La décomposition (3) est appelée décomposition canonique Nombres.

nombres premiers dans une série de nombres naturels se produisent de manière inégale. Dans certaines parties de la série, il y en a plus, dans d'autres - moins. Plus on avance dans la suite des nombres, plus les nombres premiers sont rares. La question est : existe-t-il un plus grand nombre premier ? Le mathématicien grec ancien Euclide a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers. Nous présentons cette preuve ci-dessous.

Théorème 2. Le nombre de nombres premiers est infini.

Preuve. Supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers, et soit le plus grand premier p. Considérons tous les chiffres p. Par l'hypothèse de l'énoncé, ces nombres doivent être composés et doivent être divisibles par au moins un des nombres premiers. Choisissons un nombre qui est le produit de tous ces nombres premiers plus 1 :

Nombre z Suite p car 2p déjà plus p. p n'est divisible par aucun de ces nombres premiers, puisque divisé par chacun d'eux, il donne un reste de 1. Nous arrivons ainsi à une contradiction. Il existe donc une infinité de nombres premiers.

Ce théorème est un cas particulier d'un théorème plus général :

Théorème 3. Donnons une progression arithmétique

Alors tout nombre premier dans n, doit également être inclus dans m, donc dans n ne peut pas inclure d'autres facteurs premiers qui ne sont pas inclus dans m et, de plus, ces facteurs premiers dans n n'apparaissent pas plus de fois que dans m.

L'inverse est également vrai. Si chaque facteur premier d'un nombre n survient au moins le même nombre de fois m, ensuite m divisé par n.

Déclaration 3. Laisser être une 1 ,une 2 ,une 3 ,... divers nombres premiers apparaissant dans m alors

où je=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . remarquerez que un je accepte α +1 valeurs, β j'accepte β +1 valeurs, γ k prend γ +1 valeurs, ... .