Ce qui n'est qu'un nombre. Nombres premiers : histoire et faits

nombre premier

un nombre naturel supérieur à un et n'ayant pas d'autres diviseurs que lui-même et un : 2, 3, 5, 7, 11, 13 ... Le nombre de nombres premiers est infini.

nombre premier

un entier positif supérieur à un, n'ayant pas d'autres diviseurs que lui-même et un : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... nombres ; À savoir, le théorème principal de la théorie de la divisibilité établit que tout entier positif autre que 1 peut être décomposé de manière unique dans le produit d'un nombre P. (l'ordre des facteurs n'est pas pris en compte dans ce cas). Il existe une infinité de nombres (cette proposition était déjà connue des anciens mathématiciens grecs, sa preuve se trouve dans le 9ème livre des Éléments d'Euclide). Problèmes de divisibilité nombres naturels, et par conséquent, les questions liées à P. h. sont importantes dans l'étude des groupes; en particulier, la structure d'un groupe à nombre fini d'éléments est étroitement liée à la façon dont ce nombre d'éléments (l'ordre du groupe) est décomposé en facteurs premiers. Dans la théorie des nombres algébriques, les questions de divisibilité des nombres algébriques entiers sont considérées ; le concept de nombre partiel s'est avéré insuffisant pour construire une théorie de la divisibilité - cela a conduit à la création du concept d'idéal. P.G.L.Dirichlet a établi en 1837 que la progression arithmétique a + bx pour x = 1, 2, ... avec des nombres premiers premiers a et b contient une infinité de nombres P. un nombre de nombres est un problème très difficile en théorie des nombres. Elle se pose comme une étude du comportement asymptotique de la fonction p (x), qui désigne le nombre de nombres P. n'excédant pas un nombre positif x. Les premiers résultats dans ce sens appartiennent à P.L. Chebyshev, qui en 1850 a prouvé qu'il existe deux telles constantes a et A telles que< p(x) < ═при любых x ³ 2 [т. е., что p(х) растет, как функция ]. Хронологически следующим значительным результатом, уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотический закон распределения П. ч. (Ж. Адамар, 1896, Ш. Ла Валле Пуссен, 1896), заключающийся в том, что предел отношения p(х) к ═равен

Par la suite, des efforts importants des mathématiciens ont été dirigés pour clarifier la loi asymptotique de la distribution des nombres P.. Les questions de la distribution des nombres P. sont étudiées à la fois par des méthodes élémentaires et par des méthodes analyse mathematique... La méthode basée sur l'utilisation de l'identité

(le travail s'étend à toutes les parties P. p = 2, 3, ...), d'abord indiqué par L. Euler ; cette identité est valable pour tous les complexes dont la partie réelle est supérieure à un. Partant de cette identité, les questions de la distribution des nombres P. se réduisent à l'étude de la fonction spéciale ≈ la fonction zêta x(s), définie pour Res > 1 par la série

Cette fonction a été utilisée dans les questions de distribution de P. h. For real s par Chebyshev; B. Riemann a souligné l'importance d'étudier x(s) pour les valeurs complexes de s. Riemann a émis l'hypothèse que toutes les racines de l'équation x (s) = 0 situées dans le demi-plan droit ont une partie réelle égale à 1 /

Cette hypothèse n'a pas été prouvée à ce jour (1975) ; sa démonstration apporterait beaucoup pour résoudre le problème de la distribution des nombres P. Les questions de la distribution des nombres P. sont étroitement liées au problème de Goldbach, au problème encore non résolu des "jumeaux" et à d'autres problèmes de nombre analytique théorie. Le problème des "jumeaux" est de connaître, bien entendu ou à l'infini, le nombre de P. h., Différent de 2 (comme, par exemple, 11 et 13). Les tables de P. h., situées dans les 11 premiers millions d'entiers naturels, montrent la présence de très grands "jumeaux" (par exemple, 10006427 et 10006429), mais ce n'est pas la preuve de l'infinité de leur nombre. En dehors des tableaux compilés, les individus P. h. Sont connus, admettant une expression arithmétique simple [par exemple, il a été établi (1965) que ≈ 211213 1 est P. h; il a 3376 chiffres].

Lit.: Vinogradov I.M., Fundamentals of number theory, 8th ed., M., 1972; Hasse G., Leçons sur la théorie des nombres, trad. de là., M., 1953; Ingam A.E., Distribution des nombres premiers, trad. de l'anglais, M. ≈ L., 1936 ; Prahar K., Distribution des nombres premiers, trad. à partir de là., M., 1967; E. Trost, nombres premiers, ruelle, avec elle., M., 1959.

Wikipédia

nombre premier

nombre premier- un nombre naturel qui a exactement deux diviseurs naturels- et toi. En d'autres termes, le nombre X est simple s'il est supérieur à 1 et est divisible par seulement 1 et X... Par exemple, 5 est un nombre premier et 6 est un nombre composé, car, en plus de 1 et 6, il est également divisible par 2 et 3.

Les nombres naturels supérieurs à un et non premiers sont appelés nombres composés. Ainsi, tous les nombres naturels sont divisés en trois classes : unité. La théorie des nombres traite de l'étude des propriétés des nombres premiers. En théorie des anneaux, les éléments irréductibles correspondent aux nombres premiers.

Une séquence de nombres premiers commence ainsi :

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131 , 137 , 139 , 149 , 151 , 157 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 …

Tous les autres nombres naturels sont appelés nombres composés. L'entier naturel 1 n'est ni simple ni composé.

Exemple

Exercer. Parmi les nombres naturels suivants, lesquels sont premiers :

Réponse.

Factorisation d'un nombre

La représentation d'un nombre naturel comme un produit de nombres naturels s'appelle factorisation... Si dans la factorisation d'un nombre naturel tous les facteurs sont des nombres premiers, alors une telle factorisation est appelée factorisation en nombres premiers.

Théorème

(théorème de base de l'arithmétique)

Chaque entier naturel autre que 1 peut être décomposé en facteurs premiers, et, de plus, de manière unique (si on identifie les décompositions et, où et sont des nombres premiers).

En combinant les mêmes facteurs premiers dans le développement du nombre, on obtient le développement dite canonique du nombre :

où, sont des nombres premiers différents, et sont des nombres naturels.

Exemple

Exercer. Trouvez la décomposition canonique des nombres :

Solution. Pour trouver la décomposition canonique des nombres, vous devez d'abord les décomposer en facteurs premiers, puis combiner les mêmes facteurs et écrire leur produit sous forme de puissance avec un exposant naturel :

Réponse.

Référence historique

Comment déterminer quel nombre est premier et lequel ne l'est pas ? La méthode la plus courante pour trouver tous les nombres premiers dans n'importe quel intervalle numérique, proposée au IIIe siècle. avant JC e. Ératosthène (la méthode s'appelle « tamis d'Ératosthène »). Supposons que nous ayons besoin d'établir lesquels des nombres sont premiers. Écrivons-les dans une rangée et rayons un nombre sur deux après le nombre 2 - ils sont tous composés, car ils sont des multiples du nombre 2. Le premier des nombres non croisés restants - 3 - est premier. Rayez un nombre sur trois après le nombre 3 ; le prochain des nombres non croisés - 5 - sera également simple. Par le même principe, nous rayerons un nombre sur cinq à la suite du nombre 5 et, en général, chacun des nombres suivants. Tous les nombres non croisés restants seront premiers.

Au fur et à mesure que vous augmentez, les nombres premiers deviennent de moins en moins courants. Cependant, les anciens étaient déjà bien conscients du fait qu'ils sont infiniment nombreux. Sa preuve est donnée dans les "Principes" d'Euclide.

La réponse d'Ilya est correcte, mais pas très détaillée. Au 18ème siècle, soit dit en passant, l'unité était encore considérée comme un nombre premier. Par exemple, de grands mathématiciens comme Euler et Goldbach. Goldbach est l'auteur de l'un des sept problèmes du millénaire - l'hypothèse de Goldbach. La formulation originale stipule que tout nombre pair peut être représenté comme la somme de deux nombres premiers. De plus, initialement 1 a été pris en compte comme nombre premier, et on voit ceci : 2 = 1 + 1. Cette plus petit exemple satisfaisant la formulation originale de l'hypothèse. Plus tard, il a été corrigé et la formulation acquise aspect moderne: "tout nombre pair, à partir de 4, peut être représenté comme la somme de deux nombres premiers."

Rappelons la définition. Un nombre premier est un nombre naturel p, qui n'a que 2 diviseurs naturels différents : p lui-même et 1. Corollaire de la définition : un nombre premier p n'a qu'un seul diviseur premier - p lui-même.

Supposons maintenant que 1 soit un nombre premier. Par définition, un nombre premier n'a qu'un seul diviseur premier - lui-même. Ensuite, il s'avère que tout nombre premier supérieur à 1 est divisible par un nombre premier différent (par 1). Mais deux nombres premiers différents ne peuvent pas être divisibles l'un par l'autre, car sinon, ce ne sont pas des nombres premiers, mais des nombres composés, ce qui contredit la définition. Avec cette approche, il s'avère qu'il n'y a qu'un seul nombre premier - l'unité elle-même. Mais c'est absurde. Par conséquent, 1 n'est pas un nombre premier.

1, ainsi que 0, forment une autre classe de nombres - la classe des éléments neutres par rapport aux opérations n-aires dans un sous-ensemble d'un champ algébrique. De plus, en ce qui concerne l'opération d'addition, 1 est également un élément générateur de l'anneau des nombres entiers.

Avec cette considération, il n'est pas difficile de trouver des analogues de nombres premiers dans d'autres structures algébriques. Supposons que nous ayons un groupe multiplicatif formé de puissances de 2, commençant à 1: 2, 4, 8, 16, ... etc. 2 agit ici comme un élément générateur. Un nombre premier de ce groupe est un nombre supérieur au plus petit élément et divisible uniquement par lui-même et par le plus petit élément. Dans notre groupe, seulement 4 ont de telles propriétés. Il n'y a plus de nombres premiers dans notre groupe.

Si 2 était également un nombre premier dans notre groupe, alors voyez le premier paragraphe - encore une fois, il s'avérerait que seul 2 est un nombre premier.

nombre premier Est un nombre naturel (entier positif) qui peut être divisé sans reste par seulement deux nombres naturels : par et par lui-même. En d'autres termes, un nombre premier a exactement deux diviseurs naturels : et le nombre lui-même.

Par définition, l'ensemble de tous les diviseurs premiers est à deux éléments, c'est-à-dire est un ensemble.

L'ensemble de tous les nombres premiers est désigné par un symbole. Ainsi, en vertu de la définition de l'ensemble des nombres premiers, on peut écrire :.

La suite des nombres premiers ressemble à ceci :

Théorème de base de l'arithmétique

Théorème de base de l'arithmétique déclare que tout nombre naturel supérieur à un peut être représenté comme un produit de nombres premiers, et la seule manière jusqu'à l'ordre des facteurs. Ainsi, les nombres premiers sont élémentaires " blocs de construction»L'ensemble des nombres naturels.

Décomposition de l'entier naturel title = "(! LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} canonique:

où est un nombre premier, et. Par exemple, le développement canonique d'un nombre naturel ressemble à ceci :

La représentation d'un nombre naturel comme un produit de nombres premiers est aussi appelée factorisation du nombre.

Propriétés des nombres premiers

Tamis d'Eratosthène

L'un des algorithmes les plus connus pour rechercher et reconnaître les nombres premiers est crible d'Eratosthène... Cet algorithme a donc été nommé d'après le mathématicien grec Eratosthène de Cyrène, qui est considéré comme l'auteur de l'algorithme.

Pour trouver tous les nombres premiers inférieurs à un nombre donné, en suivant la méthode d'Eratosthène, suivez ces étapes :

Étape 1.Écrivez à la suite tous les nombres naturels de deux à, c'est-à-dire ...
Étape 2. Affectez une valeur à une variable, c'est-à-dire une valeur égale au plus petit nombre premier.
Étape 3. Rayez tous les nombres de à multiples dans la liste, c'est-à-dire les nombres :.
Étape 4. Recherchez le premier nombre non barré dans la liste, supérieur à, et affectez la valeur de ce nombre à la variable.
Étape 5. Répétez les étapes 3 et 4 jusqu'à ce que vous atteigniez un nombre.

Le processus d'application de l'algorithme ressemblera à ceci :

Tous les nombres non croisés restants dans la liste à la fin du processus d'application de l'algorithme seront un ensemble de nombres premiers de à.

L'hypothèse de Goldbach

Couverture du livre "Oncle Petros et la conjecture de Goldbach"

Malgré le fait que les nombres premiers aient été étudiés par les mathématiciens depuis longtemps, de nombreux problèmes connexes restent aujourd'hui non résolus. L'un des problèmes non résolus les plus connus est conjecture de Goldbach, qui se formule comme suit :

• Est-il vrai que tout nombre pair supérieur à deux peut être représenté comme la somme de deux nombres premiers (hypothèse binaire de Goldbach) ?
• Est-il vrai que chacun nombre impair supérieur à 5 peut être représenté comme la somme trois simples nombres (conjecture ternaire de Goldbach) ?

Il faut dire que la conjecture ternaire de Goldbach est un cas particulier de la conjecture binaire de Goldbach, ou, comme le disent les mathématiciens, la conjecture ternaire de Goldbach est plus faible que la conjecture binaire de Goldbach.

L'hypothèse de Goldbach est devenue largement connue en dehors de la communauté mathématique en 2000 grâce au coup de marketing publicitaire des maisons d'édition Bloomsbury USA (USA) et Faber and Faber (UK). Ces éditeurs, après avoir publié le livre "Oncle Petros and Goldbach's Conjecture" ("Oncle Petros and Goldbach's Conjecture"), ont promis de verser un prix de 1 million de dollars américains dans les 2 ans à compter de la date de publication du livre à toute personne qui prouverait que Goldbach hypothèse. Le prix de l'éditeur est parfois confondu avec les problèmes du prix du millénaire. Ne vous y trompez pas, l'hypothèse de Goldbach n'est pas classée par le "Clay Institute" comme un "Millennium Challenge", bien qu'elle soit étroitement liée à l'hypothèse de Riemann- l'un des « Défis du millénaire ».

Le livre « Les nombres premiers. Longue route vers l'infini"

Couverture du livre « Le monde des mathématiques. Nombres premiers. Longue route vers l'infini"

De plus, je recommande la lecture d'un livre de vulgarisation scientifique fascinant, dont l'annotation dit : « Trouver des nombres premiers est l'un des problèmes les plus paradoxaux en mathématiques. Les scientifiques tentent de le résoudre depuis plusieurs millénaires, mais, envahi par de nouvelles versions et hypothèses, ce mystère reste toujours irrésolu. L'émergence des nombres premiers n'est soumise à aucun système : ils surviennent spontanément dans une série de nombres naturels, ignorant toutes les tentatives des mathématiciens pour identifier des modèles dans leur séquence. Ce livre permettra au lecteur de retracer l'évolution des concepts scientifiques de l'Antiquité à nos jours et introduira les théories les plus curieuses de la recherche des nombres premiers. »

Par ailleurs, je citerai le début du deuxième chapitre de ce livre : « Les nombres premiers sont l'un des sujets importants qui nous ramènent aux origines mêmes des mathématiques, puis, par un chemin de complexité croissante, nous conduisent à la en pointe science moderne... Ainsi, il serait très utile de retracer l'histoire fascinante et complexe de la théorie des nombres premiers : exactement comment elle s'est développée, comment exactement les faits et les vérités qui sont maintenant généralement acceptés ont été rassemblés. Dans ce chapitre, nous verrons comment des générations de mathématiciens ont scruté les nombres naturels à la recherche d'une règle de prédiction des nombres premiers — une règle qui est devenue de plus en plus insaisissable dans le processus. Nous examinerons également de plus près le contexte historique : dans quelles conditions travaillaient les mathématiciens et dans quelle mesure des pratiques mystiques et semi-religieuses ont été utilisées dans leur travail, qui ne sont pas du tout similaires à Méthodes scientifiques utilisé à notre époque. Néanmoins, lentement et difficilement, le terrain se prépare à de nouvelles vues qui inspirent Fermat et Euler aux XVIIe et XVIIIe siècles. »

Les nombres premiers représentent l'un des phénomènes mathématiques les plus intéressants qui a attiré l'attention des scientifiques et des citoyens ordinaires depuis plus de deux millénaires. Malgré le fait que nous vivons maintenant à l'ère des ordinateurs et des programmes d'information les plus modernes, de nombreux mystères des nombres premiers n'ont pas encore été résolus, il y a même ceux que les scientifiques ne savent pas comment aborder.

Les nombres premiers sont, comme vous le savez par le cours d'arithmétique élémentaire, ceux qui ne sont divisibles sans reste que par un et eux-mêmes. Soit dit en passant, si un nombre naturel est divisible, en plus de ce qui précède, par un autre nombre, alors il est appelé composé. L'un des théorèmes les plus célèbres dit que tout nombre composé peut être représenté comme le seul produit possible de nombres premiers.

Quelques faits intéressants. Premièrement, l'unité est unique dans le sens où, en fait, elle n'appartient ni au simple ni au nombres composés... En même temps, dans la communauté scientifique, il est encore d'usage de le référer au premier groupe, car formellement il répond pleinement à ses exigences.

Deuxièmement, le seul nombre pair qui rentre dans le groupe des « nombres premiers » est, bien sûr, deux. Tout autre nombre pair ne peut tout simplement pas arriver ici, car par définition, en plus de lui-même et un, il est également divisible par deux.

Les nombres premiers, dont la liste, comme mentionné ci-dessus, peut commencer par un, représentent une série infinie, aussi infinie qu'une série de nombres naturels. Sur la base du théorème principal de l'arithmétique, on peut conclure que les nombres premiers ne se cassent jamais et ne se terminent jamais, car sinon une série de nombres naturels serait inévitablement interrompue.

Les nombres premiers n'apparaissent pas au hasard dans la séquence naturelle, comme cela peut paraître à première vue. Après les avoir soigneusement analysés, vous pouvez immédiatement remarquer plusieurs caractéristiques, dont les plus curieuses sont associées aux nombres dits "jumeaux". Ils les appellent ainsi parce que d'une manière incompréhensible, ils se sont retrouvés dans le quartier les uns avec les autres, séparés seulement par un délimiteur pair (cinq et sept, dix-sept et dix-neuf).

Si vous les regardez attentivement, vous remarquerez que la somme de ces nombres est toujours un multiple de trois. De plus, en divisant par trois, le frère de gauche en a toujours deux dans le reste, et un pour le droit. De plus, la répartition même de ces nombres sur la série naturelle peut être prédite si toute cette série est représentée sous forme de sinusoïdes oscillatoires, dont les points principaux se forment lorsque les nombres sont divisés par trois et deux.

Les nombres premiers ne sont pas seulement l'objet d'un examen minutieux par les mathématiciens du monde entier, mais ont longtemps été utilisés avec succès pour compiler diverses séries de nombres, ce qui constitue la base, y compris pour le chiffrement. Dans le même temps, il faut reconnaître qu'un grand nombre d'énigmes associées à ces éléments merveilleux attendent toujours leurs réponses, de nombreuses questions ont une signification non seulement philosophique, mais aussi pratique.