La méthode des moindres carrés permet d'estimer. Méthode des moindres carrés exemples de résolution de problèmes

Exemple.

Données expérimentales sur les valeurs des variables X Et à sont donnés dans le tableau.

Du fait de leur alignement, la fonction

En utilisant méthode moindres carrés , approximer ces données avec une dépendance linéaire y=ax+b(trouver les paramètres mais Et b). Découvrez laquelle des deux lignes est la meilleure (au sens de la méthode des moindres carrés) aligne les données expérimentales. Faites un dessin.

L'essence de la méthode des moindres carrés (LSM).

Le problème est de trouver les coefficients de dépendance linéaire pour lesquels la fonction de deux variables mais Et b accepte plus petite valeur. C'est-à-dire que compte tenu des données mais Et b la somme des écarts au carré des données expérimentales par rapport à la ligne droite trouvée sera la plus petite. C'est tout l'intérêt de la méthode des moindres carrés.

Ainsi, la solution de l'exemple se réduit à trouver l'extremum d'une fonction de deux variables.

Dérivation de formules pour trouver des coefficients.

Un système de deux équations à deux inconnues est compilé et résolu. Trouver les dérivées partielles d'une fonction par rapport aux variables mais Et b, on égalise ces dérivées à zéro.

Nous résolvons le système d'équations résultant par n'importe quelle méthode (par exemple méthode de remplacement ou ) et obtenir des formules pour trouver des coefficients en utilisant la méthode des moindres carrés (LSM).

Avec des données mais Et b une fonction prend la plus petite valeur. La preuve de ce fait est donnée.

C'est toute la méthode des moindres carrés. Formule pour trouver le paramètre une contient les sommes , , , et le paramètre n- quantité de données expérimentales. Il est recommandé de calculer séparément les valeurs de ces sommes. Coefficient b trouvé après calcul une.

Il est temps de se souvenir de l'exemple original.

Solution.

Dans notre exemple n=5. Nous remplissons le tableau pour faciliter le calcul des montants inclus dans les formules des coefficients requis.

Les valeurs de la quatrième ligne du tableau sont obtenues en multipliant les valeurs de la 2ème ligne par les valeurs de la 3ème ligne pour chaque nombre je.

Les valeurs de la cinquième ligne du tableau sont obtenues en mettant au carré les valeurs de la 2ème ligne pour chaque nombre je.

Les valeurs de la dernière colonne du tableau sont les sommes des valeurs sur les lignes.

On utilise les formules de la méthode des moindres carrés pour trouver les coefficients mais Et b. Nous y substituons les valeurs correspondantes de la dernière colonne du tableau:

En conséquence, y=0,165x+2,184 est la droite d'approximation souhaitée.

Reste à savoir laquelle des lignes y=0,165x+2,184 ou mieux se rapprocher des données d'origine, c'est-à-dire faire une estimation en utilisant la méthode des moindres carrés.

Estimation de l'erreur de la méthode des moindres carrés.

Pour ce faire, vous devez calculer les sommes des écarts au carré des données d'origine à partir de ces lignes Et , une valeur plus petite correspond à une ligne qui se rapproche le plus des données d'origine selon la méthode des moindres carrés.

Puisque , alors la ligne y=0,165x+2,184 se rapproche mieux des données d'origine.

Illustration graphique de la méthode des moindres carrés (LSM).

Tout a l'air bien sur les cartes. La ligne rouge est la ligne trouvée y=0,165x+2,184, la ligne bleue est , les points roses sont les données d'origine.

A quoi ça sert, à quoi servent toutes ces approximations ?

J'utilise personnellement pour résoudre des problèmes de lissage de données, des problèmes d'interpolation et d'extrapolation (dans l'exemple original, on pourrait vous demander de trouver la valeur de la valeur observée yà x=3 ou lorsque x=6 selon la méthode MNC). Mais nous en reparlerons plus tard dans une autre section du site.

Preuve.

Alors que lorsqu'il est trouvé mais Et b fonction prend la plus petite valeur, il faut qu'à ce point la matrice de la forme quadratique de la différentielle du second ordre pour la fonction était défini positif. Montrons-le.

La méthode des moindres carrés (LSM) vous permet d'estimer diverses quantités en utilisant les résultats de nombreuses mesures contenant des erreurs aléatoires.

Caractéristique MNC

L'idée principale de cette méthode est que la somme des erreurs au carré est considérée comme un critère de précision de la solution du problème, que l'on cherche à minimiser. Lors de l'utilisation de cette méthode, des approches numériques et analytiques peuvent être appliquées.

En particulier, en tant qu'implémentation numérique, la méthode des moindres carrés implique de faire autant de mesures d'une variable aléatoire inconnue que possible. De plus, plus il y a de calculs, plus la solution sera précise. Sur cet ensemble de calculs (données initiales), un autre ensemble de solutions proposées est obtenu, parmi lequel la meilleure est ensuite sélectionnée. Si l'ensemble des solutions est paramétré, alors la méthode des moindres carrés sera réduite à trouver la valeur optimale des paramètres.

En tant qu'approche analytique de la mise en œuvre du LSM sur l'ensemble de données initiales (mesures) et l'ensemble de solutions proposé, une partie (fonctionnelle) est définie, qui peut être exprimée par une formule obtenue comme une certaine hypothèse qui doit être confirmée . Dans ce cas, la méthode des moindres carrés se réduit à trouver le minimum de cette fonctionnelle sur l'ensemble des erreurs quadratiques des données initiales.

Notez que ce ne sont pas les erreurs elles-mêmes, mais les carrés des erreurs. Pourquoi? Le fait est que souvent les écarts de mesures par rapport à la valeur exacte sont à la fois positifs et négatifs. Lors de la détermination de la moyenne, une simple sommation peut conduire à une conclusion incorrecte sur la qualité de l'estimation, car l'annulation mutuelle des valeurs positives et négatives réduira la puissance d'échantillonnage de l'ensemble de mesures. Et, par conséquent, l'exactitude de l'évaluation.

Pour éviter que cela ne se produise, les écarts au carré sont additionnés. Plus encore, afin d'égaliser la dimension de la valeur mesurée et de l'estimation finale, la somme des carrés des erreurs est utilisée pour extraire

Quelques applications des multinationales

MNC est largement utilisé dans divers domaines. Par exemple, dans la théorie des probabilités et les statistiques mathématiques, la méthode est utilisée pour déterminer une caractéristique d'une variable aléatoire telle que l'écart type, qui détermine la largeur de la plage de valeurs d'une variable aléatoire.

Il a de nombreuses applications, car il permet une représentation approximative d'une fonction donnée par d'autres plus simples. Le LSM peut être extrêmement utile dans le traitement des observations, et il est activement utilisé pour estimer certaines quantités à partir des résultats des mesures d'autres contenant des erreurs aléatoires. Dans cet article, vous apprendrez à implémenter les calculs des moindres carrés dans Excel.

Énoncé du problème sur un exemple précis

Supposons qu'il y ait deux indicateurs X et Y. De plus, Y dépend de X. Puisque OLS nous intéresse du point de vue de l'analyse de régression (dans Excel, ses méthodes sont implémentées à l'aide de fonctions intégrées), nous devons immédiatement procéder pour considérer un problème précis.

Alors, soit X la surface de vente d'une épicerie, mesurée en mètres carrés, et Y est le chiffre d'affaires annuel, défini en millions de roubles.

Il est nécessaire de faire une prévision du chiffre d'affaires (Y) que réalisera le magasin s'il dispose de l'un ou l'autre espace de vente. Évidemment, la fonction Y = f (X) est croissante, puisque l'hypermarché vend plus de marchandises que le stand.

Quelques mots sur l'exactitude des données initiales utilisées pour la prédiction

Disons que nous avons une table construite avec des données pour n magasins.

Selon les statistiques mathématiques, les résultats seront plus ou moins corrects si les données sur au moins 5-6 objets sont examinées. De plus, les résultats "anormaux" ne peuvent pas être utilisés. En particulier, une petite boutique d'élite peut avoir un chiffre d'affaires plusieurs fois supérieur au chiffre d'affaires des grands points de vente de la classe "masmarket".

L'essentiel de la méthode

Les données du tableau peuvent être affichées sur le plan cartésien sous la forme de points M 1 (x 1, y 1), ... M n (x n, y n). Maintenant la solution du problème va se réduire à la sélection d'une fonction approchée y = f (x), qui a un graphe passant le plus près possible des points M 1, M 2, .. M n .

Bien sûr, vous pouvez utiliser le polynôme haut degré, mais cette option est non seulement difficile à mettre en œuvre, mais tout simplement incorrecte, car elle ne reflétera pas la tendance principale à détecter. La solution la plus raisonnable consiste à rechercher une droite y = ax + b, qui se rapproche le mieux des données expérimentales, et plus précisément des coefficients - a et b.

Note de précision

Pour toute approximation, l'évaluation de sa précision revêt une importance particulière. Désignons par e i la différence (écart) entre les valeurs fonctionnelles et expérimentales pour le point x i , c'est-à-dire e i = y i - f (x i).

Évidemment, pour évaluer la précision de l'approximation, vous pouvez utiliser la somme des écarts, c'est-à-dire que lors du choix d'une droite pour une représentation approximative de la dépendance de X sur Y, la préférence doit être donnée à celle qui a la plus petite valeur de la somme ei en tout point considéré. Cependant, tout n'est pas si simple, car avec les déviations positives, il y aura pratiquement des déviations négatives.

Vous pouvez résoudre le problème en utilisant les modules de déviation ou leurs carrés. Cette dernière méthode est la plus largement utilisée. Il est utilisé dans de nombreux domaines, dont l'analyse de régression (sous Excel, sa mise en œuvre s'effectue à l'aide de deux fonctions intégrées), et a fait ses preuves depuis longtemps.

Méthode des moindres carrés

Dans Excel, comme vous le savez, il existe une fonction de somme automatique intégrée qui vous permet de calculer les valeurs de toutes les valeurs situées dans la plage sélectionnée. Ainsi, rien ne nous empêchera de calculer la valeur de l'expression (e 1 2 + e 2 2 + e 3 2 + ... e n 2).

En notation mathématique, cela ressemble à :

Puisque la décision a été initialement prise d'approximer en utilisant une ligne droite, nous avons:

Ainsi, la tâche de trouver une ligne droite qui décrit le mieux une relation spécifique entre X et Y revient à calculer le minimum d'une fonction de deux variables :

Cela nécessite d'égaliser les dérivées partielles nulles par rapport aux nouvelles variables a et b, et de résoudre un système primitif composé de deux équations à 2 inconnues de la forme :

Après des transformations simples, notamment en divisant par 2 et en manipulant les sommes, on obtient :

En le résolvant, par exemple, par la méthode de Cramer, nous obtenons un point stationnaire avec certains coefficients a * et b * . C'est le minimum, c'est-à-dire pour prévoir quel sera le chiffre d'affaires du magasin quand certaine zone, la ligne droite y = a * x + b * fera l'affaire, qui est le modèle de régression pour l'exemple en question. Bien sûr, cela ne vous permettra pas de trouver le résultat exact, mais cela vous aidera à vous faire une idée de la rentabilité de l'achat d'un magasin à crédit pour une zone particulière.

Comment implémenter la méthode des moindres carrés dans Excel

Excel a une fonction pour calculer la valeur des moindres carrés. Il a la forme suivante : TREND (valeurs Y connues ; valeurs X connues ; nouvelles valeurs X ; constante). Appliquons la formule de calcul de l'OLS dans Excel à notre table.

Pour ce faire, dans la cellule dans laquelle doit s'afficher le résultat du calcul selon la méthode des moindres carrés dans Excel, saisissez le signe « = » et sélectionnez la fonction « TENDANCE ». Dans la fenêtre qui s'ouvre, remplissez les champs appropriés en mettant en évidence :

• plage de valeurs connues pour Y (dans ce cas, données sur le chiffre d'affaires);
• gamme x 1 , …x n , c'est-à-dire la taille de l'espace commercial ;
• et les valeurs connues et inconnues de x, pour lesquelles vous devez connaître la taille du chiffre d'affaires (pour plus d'informations sur leur emplacement sur la feuille de calcul, voir ci-dessous).

De plus, il y a une variable logique "Const" dans la formule. Si vous entrez 1 dans le champ correspondant, cela signifie que les calculs doivent être effectués, en supposant que b \u003d 0.

Si vous avez besoin de connaître la prévision pour plus d'une valeur x, alors après avoir entré la formule, vous ne devez pas appuyer sur "Entrée", mais vous devez taper la combinaison "Maj" + "Contrôle" + "Entrée" ("Entrée" ) sur le clavier.

Certaines fonctionnalités

L'analyse de régression peut être accessible même aux nuls. Formule Excel pour prédire la valeur d'un tableau de variables inconnues - "TREND" - peut être utilisé même par ceux qui n'ont jamais entendu parler de la méthode des moindres carrés. Il suffit juste de connaître quelques caractéristiques de son travail. En particulier:

• Si nous organisons la plage de valeurs connues de la variable y dans une ligne ou une colonne, alors chaque ligne (colonne) avec valeurs connues x sera traité par le programme comme une variable distincte.
• Si la plage avec x connu n'est pas spécifiée dans la fenêtre "TENDANCE", alors dans le cas de l'utilisation de la fonction dans Programme Excel le considérera comme un tableau composé d'entiers, dont le nombre correspond à la plage avec les valeurs données de la variable y.
• Pour générer un tableau de valeurs "prédites", l'expression de tendance doit être saisie sous forme de formule matricielle.
• Si aucune nouvelle valeur x n'est spécifiée, la fonction TREND les considère égales aux valeurs connues. S'ils ne sont pas spécifiés, alors le tableau 1 est pris comme argument ; 2 ; 3 ; 4;…, qui est proportionnel à la gamme avec des paramètres déjà donnés y.
• La plage contenant les nouvelles valeurs x doit avoir le même ou plusieurs lignes ou colonnes que la plage avec les valeurs y données. En d'autres termes, il doit être proportionnel aux variables indépendantes.
• Un tableau avec des valeurs x connues peut contenir plusieurs variables. Cependant, si nous ne parlons que d'un seul, il est nécessaire que les plages avec les valeurs données de x et y soient proportionnelles. Dans le cas de plusieurs variables, il est nécessaire que la plage avec les valeurs y données tienne dans une colonne ou une ligne.

Fonction PREVISION

Il est implémenté à l'aide de plusieurs fonctions. L'un d'eux s'appelle "PRÉDICTION". Il est similaire à TREND, c'est-à-dire qu'il donne le résultat de calculs utilisant la méthode des moindres carrés. Cependant, seulement pour un X, pour lequel la valeur de Y est inconnue.

Vous connaissez maintenant les formules Excel pour les nuls qui permettent de prédire la valeur de la valeur future d'un indicateur selon une tendance linéaire.

Programmation

• Didacticiel

introduction

Je suis un programmeur informatique. J'ai fait le plus grand saut dans ma carrière quand j'ai appris à dire : "Je ne comprends rien!" Maintenant, je n'ai pas honte de dire au luminaire de la science qu'il me donne une conférence, que je ne comprends pas de quoi il, le luminaire, me parle. Et c'est très difficile. Oui, il est difficile et embarrassant d'admettre que vous ne savez pas. Qui aime admettre qu'il ne connaît pas les bases de quelque chose-là. De par ma profession, je dois assister en grand nombre présentations et conférences, où, je l'avoue, dans la grande majorité des cas, j'ai envie de dormir, parce que je ne comprends rien. Et je ne comprends pas parce que l'énorme problème de la situation actuelle de la science réside dans les mathématiques. Il suppose que tous les élèves connaissent absolument tous les domaines des mathématiques (ce qui est absurde). Admettre que vous ne savez pas ce qu'est un dérivé (ça c'est un peu plus tard) est dommage.

Mais j'ai appris à dire que je ne sais pas ce qu'est la multiplication. Oui, je ne sais pas ce qu'est une sous-algèbre sur une algèbre de Lie. Oui, je ne sais pas pourquoi tu as besoin dans la vie équations du second degré. Au fait, si vous êtes sûr de le savoir, alors nous avons quelque chose à dire ! Les mathématiques sont une série de trucs. Les mathématiciens essaient de semer la confusion et d'intimider le public ; où il n'y a ni confusion, ni réputation, ni autorité. Oui, c'est prestigieux de parler dans la langue la plus abstraite possible, qui est un non-sens complet en soi.

Savez-vous ce qu'est un dérivé ? Très probablement, vous me parlerez de la limite de la relation de différence. En première année de mathématiques à l'Université d'État de Saint-Pétersbourg, Viktor Petrovich Khavin m'a défini dérivée comme coefficient du premier terme de la série de Taylor de la fonction au point (c'était une gymnastique à part pour déterminer la série de Taylor sans dérivées). J'ai ri longtemps de cette définition, jusqu'à ce que je comprenne enfin de quoi il s'agissait. La dérivée n'est rien de plus qu'une simple mesure de la similarité de la fonction que nous différencions avec la fonction y=x, y=x^2, y=x^3.

J'ai maintenant l'honneur de donner des cours aux étudiants qui peur mathématiques. Si vous avez peur des mathématiques, nous sommes en route. Dès que vous essayez de lire un texte et qu'il vous semble qu'il est trop compliqué, alors sachez qu'il est mal écrit. Je soutiens qu'il n'y a pas un seul domaine des mathématiques dont on ne puisse parler "sur les doigts" sans perdre en précision.

Le défi pour le futur proche : J'ai demandé à mes étudiants de comprendre ce qu'est un contrôleur linéaire-quadratique. Ne soyez pas timide, perdez trois minutes de votre vie, suivez le lien. Si vous ne comprenez rien, nous sommes en route. Moi (un mathématicien-programmeur professionnel) je n'ai rien compris non plus. Et je vous assure que cela peut être réglé "sur les doigts". Pour le moment, je ne sais pas ce que c'est, mais je vous assure que nous pourrons le comprendre.

Donc, la première conférence que je vais donner à mes étudiants après qu'ils aient couru vers moi avec horreur avec les mots qu'un contrôleur linéaire-quadratique est un terrible bug que vous ne maîtriserez jamais de votre vie est méthodes des moindres carrés. Pouvez-vous décider équations linéaires? Si vous lisez ce texte, alors probablement pas.

Ainsi, étant donné deux points (x0, y0), (x1, y1), par exemple (1,1) et (3,2), il s'agit de trouver l'équation d'une droite passant par ces deux points :

illustration

Cette droite doit avoir une équation comme celle-ci :

Ici alpha et beta nous sont inconnus, mais deux points de cette ligne sont connus :

Vous pouvez écrire cette équation sous forme matricielle :

Ici, nous devrions faire une digression lyrique : qu'est-ce qu'une matrice ? Une matrice n'est rien d'autre qu'un tableau à deux dimensions. C'est une façon de stocker des données, plus aucune valeur ne doit lui être donnée. C'est à nous de savoir exactement comment interpréter une certaine matrice. Périodiquement, je l'interpréterai comme une application linéaire, périodiquement comme forme quadratique, et parfois juste comme un ensemble de vecteurs. Tout cela sera précisé dans le contexte.

Remplaçons des matrices spécifiques par leur représentation symbolique :

Alors (alpha, beta) peut être facilement trouvé :

Plus spécifiquement pour nos données précédentes :

Ce qui conduit à l'équation suivante d'une droite passant par les points (1,1) et (3,2) :

Bon, tout est clair ici. Et trouvons l'équation d'une droite passant par Trois point : (x0,y0), (x1,y1) et (x2,y2) :

Oh-oh-oh, mais nous avons trois équations à deux inconnues ! Le mathématicien standard dira qu'il n'y a pas de solution. Que dira le programmeur ? Et il va d'abord réécrire le système d'équations précédent sous la forme suivante :

Dans notre cas vecteurs i,j,b sont en trois dimensions, donc (dans le cas général) il n'y a pas de solution à ce système. Tout vecteur (alpha\*i + beta\*j) se trouve dans le plan couvert par les vecteurs (i, j). Si b n'appartient pas à ce plan, alors il n'y a pas de solution (l'égalité dans l'équation ne peut pas être atteinte). Ce qu'il faut faire? Cherchons un compromis. Notons par e(alpha, bêta) comment exactement nous n'avons pas atteint l'égalité:

Et nous allons essayer de minimiser cette erreur :

Pourquoi un carré ?

Nous ne cherchons pas seulement le minimum de la norme, mais le minimum du carré de la norme. Pourquoi? Le point minimum lui-même coïncide, et le carré donne une fonction lisse (une fonction quadratique des arguments (alpha,beta)), tandis que la longueur seule donne une fonction en forme de cône, non différentiable au point minimum. Brr. Le carré est plus pratique.

Évidemment, l'erreur est minimisée lorsque le vecteur e orthogonal au plan couvert par les vecteurs je Et j.

Illustration

Autrement dit : on cherche une droite telle que la somme des longueurs au carré des distances de tous les points à cette droite soit minimale :

MISE À JOUR : ici, j'ai un jambage, la distance à la ligne doit être mesurée verticalement, pas de projection orthographique. le commentateur a raison.

Illustration

En termes complètement différents (soigneusement, mal formalisés, mais il faut que ce soit clair sur les doigts) : on prend toutes les droites possibles entre toutes les paires de points et on cherche la droite moyenne entre toutes :

Illustration

Une autre explication sur les doigts : nous attachons un ressort entre tous les points de données (ici nous en avons trois) et la ligne que nous recherchons, et la ligne de l'état d'équilibre est exactement ce que nous recherchons.

Minimum de forme quadratique

Donc, étant donné le vecteur b et le plan couvert par les vecteurs-colonnes de la matrice UNE(dans ce cas (x0,x1,x2) et (1,1,1)), on cherche un vecteur e avec un carré de longueur minimum. Évidemment, le minimum n'est réalisable que pour le vecteur e, orthogonal au plan couvert par les vecteurs-colonnes de la matrice UNE:

Autrement dit, on cherche un vecteur x=(alpha, beta) tel que :

Je rappelle que ce vecteur x=(alpha, beta) est le minimum de la fonction quadratique ||e(alpha, beta)||^2 :

Ici, il est utile de rappeler que la matrice peut être interprétée aussi bien que la forme quadratique, par exemple, la matrice identité ((1,0),(0,1)) peut être interprétée comme une fonction de x^2 + y ^2 :

forme quadratique

Toute cette gymnastique est connue sous le nom de régression linéaire.

Équation de Laplace avec condition aux limites de Dirichlet

Maintenant le vrai problème le plus simple : il y a une certaine surface triangulée, il faut la lisser. Par exemple, chargeons mon modèle de visage :

Le commit d'origine est disponible. Pour minimiser les dépendances externes, j'ai repris le code de mon logiciel de rendu, déjà sur Habré. Pour les solutions système linéaire J'utilise OpenNL , c'est un excellent solveur, mais c'est vraiment difficile à installer : vous devez copier deux fichiers (.h+.c) dans votre dossier de projet. Tout le lissage est fait par le code suivant :

Pour (int d=0; d<3; d++) { nlNewContext(); nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size()); nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE); nlBegin(NL_SYSTEM); nlBegin(NL_MATRIX); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, 1); nlRightHandSide(verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); } for (unsigned int i=0; i&face = faces[i]; pour (int j=0; j<3; j++) { nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(face[ j ], 1); nlCoefficient(face[(j+1)%3], -1); nlEnd(NL_ROW); } } nlEnd(NL_MATRIX); nlEnd(NL_SYSTEM); nlSolve(); for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { verts[i][d] = nlGetVariable(i); } }

Les coordonnées X, Y et Z sont séparables, je les lisse séparément. Autrement dit, je résous trois systèmes d'équations linéaires, chacun avec le même nombre de variables que le nombre de sommets dans mon modèle. Les n premières lignes de la matrice A n'ont qu'un seul 1 par ligne, et les n premières lignes du vecteur b ont les coordonnées du modèle d'origine. C'est-à-dire que je ressort entre la nouvelle position de sommet et l'ancienne position de sommet - les nouvelles ne doivent pas être trop éloignées des anciennes.

Toutes les lignes suivantes de la matrice A (faces.size()*3 = le nombre d'arêtes de tous les triangles de la grille) ont une occurrence de 1 et une occurrence de -1, tandis que le vecteur b a zéro composante opposée. Cela signifie que je mets un ressort sur chaque arête de notre maillage triangulaire : toutes les arêtes essaient d'obtenir le même sommet que leurs points de départ et d'arrivée.

Encore une fois : tous les sommets sont des variables, et ils ne peuvent pas s'écarter loin de leur position d'origine, mais en même temps ils essaient de se ressembler.

Voici le résultat :

Tout irait bien, le modèle est vraiment lissé, mais il s'est éloigné de son bord d'origine. Modifions un peu le code :

Pour (int i=0; je<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }

Dans notre matrice A, pour les sommets qui sont sur l'arête, je rajoute non pas une ligne de la catégorie v_i = verts[i][d], mais 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. Qu'est-ce que ça change ? Et cela change notre forme quadratique de l'erreur. Désormais, un seul écart par rapport au sommet au bord ne coûtera pas une unité, comme auparavant, mais 1000 * 1000 unités. Autrement dit, nous avons accroché un ressort plus fort sur les sommets extrêmes, la solution préfère étirer les autres plus fortement. Voici le résultat :

Doublez la force des ressorts entre les sommets :
nlCoefficient(face[ j ], 2); nlCoefficient(visage[(j+1)%3], -2);

Il est logique que la surface soit devenue plus lisse :

Et maintenant encore cent fois plus fort :

Qu'est-ce que c'est ça? Imaginez que nous avons plongé un anneau de fil dans de l'eau savonneuse. En conséquence, le film de savon résultant essaiera d'avoir le moins de courbure possible, touchant la même bordure - notre anneau de fil. C'est exactement ce que nous avons obtenu en fixant la bordure et en demandant une surface lisse à l'intérieur. Félicitations, nous venons de résoudre l'équation de Laplace avec les conditions aux limites de Dirichlet. Cela paraît bien? Mais en fait, un seul système d'équations linéaires à résoudre.

Équation de Poisson

Ayons un autre nom sympa.

Disons que j'ai une image comme celle-ci :

Tout le monde est bon, mais je n'aime pas la chaise.

J'ai coupé l'image en deux :

Et je choisirai une chaise avec mes mains:

Ensuite, je ferai glisser tout ce qui est blanc dans le masque vers le côté gauche de l'image, et en même temps je dirai sur toute l'image que la différence entre deux pixels voisins doit être égale à la différence entre deux pixels voisins du image de droite :

Pour (int i=0; je

Voici le résultat :

Le code et les images sont disponibles

100 r prime de première commande

Choisissez le type de travail Travail de fin d'études Mémoire Résumé Mémoire de maîtrise Rapport sur la pratique Article Rapport Révision Travail de test Monographie Résolution de problèmes Plan d'affaires Réponses aux questions Travail créatif Essai Dessin Compositions Traduction Présentations Dactylographie Autre Accroître l'unicité du texte Mémoire du candidat Travail de laboratoire Aide sur- ligne

Demandez un prix

La méthode des moindres carrés est une technique mathématique (mathématique-statistique) qui sert à égaliser des séries temporelles, à identifier la forme d'une corrélation entre des variables aléatoires, etc. Elle consiste dans le fait que la fonction décrivant ce phénomène est approchée par une fonction plus simple . De plus, cette dernière est sélectionnée de telle manière que l'écart type (voir Variance) des niveaux réels de la fonction aux points observés par rapport à ceux nivelés soit le plus petit.

Par exemple, selon les données disponibles ( xii,toi) (je = 1, 2, ..., n) une telle courbe est construite y = une + boîte, sur lequel le minimum de la somme des écarts au carré est atteint

c'est-à-dire qu'une fonction est minimisée qui dépend de deux paramètres : une- segment en ordonnée et b- la pente de la droite.

Équations donnant les conditions nécessaires pour minimiser une fonction S(une,b), sont appelés équations normales. En tant que fonctions d'approximation, non seulement linéaires (alignement le long d'une ligne droite), mais également quadratiques, paraboliques, exponentielles, etc. sont utilisées. M.2, où la somme des distances au carré ( y 1 – ȳ 1)2 + (y 2 – ȳ 2)2 .... est le plus petit, et la ligne droite qui en résulte reflète le mieux la tendance de la série dynamique d'observations pour un indicateur dans le temps.

Pour l'absence de biais des estimations MCO, il est nécessaire et suffisant de remplir la condition la plus importante de l'analyse de régression : l'espérance mathématique d'une erreur aléatoire conditionnelle aux facteurs doit être égale à zéro. Cette condition est notamment remplie si : 1. l'espérance mathématique des erreurs aléatoires est égale à zéro, et 2. les facteurs et les erreurs aléatoires sont des variables aléatoires indépendantes. La première condition peut être considérée comme toujours satisfaite pour les modèles à constante, puisque la constante prend une espérance mathématique non nulle des erreurs. La deuxième condition - la condition des facteurs exogènes - est fondamentale. Si cette propriété n'est pas satisfaite, nous pouvons supposer que presque toutes les estimations seront extrêmement insatisfaisantes : elles ne seront même pas cohérentes (c'est-à-dire que même une très grande quantité de données ne permet pas d'obtenir des estimations qualitatives dans ce cas).

La plus courante dans la pratique de l'estimation statistique des paramètres des équations de régression est la méthode des moindres carrés. Cette méthode repose sur un certain nombre d'hypothèses concernant la nature des données et les résultats de la construction du modèle. Les principaux sont une séparation claire des variables initiales en variables dépendantes et indépendantes, la non-corrélation des facteurs inclus dans les équations, la linéarité de la connexion, l'absence d'autocorrélation des résidus, l'égalité de leurs attentes mathématiques à zéro et dispersion constante.

L'une des principales hypothèses du LSM est l'hypothèse que les dispersions des écarts ei sont égales, c'est-à-dire leur dispersion autour de la valeur moyenne (zéro) de la série doit être une valeur stable. Cette propriété est appelée homoscédasticité. En pratique, les variances des écarts ne sont bien souvent pas les mêmes, c'est-à-dire que l'on observe une hétéroscédasticité. Cela peut être dû à diverses raisons. Par exemple, il peut y avoir des erreurs dans les données d'origine. Des inexactitudes aléatoires dans les informations sources, telles que des erreurs dans l'ordre des numéros, peuvent avoir un impact significatif sur les résultats. Souvent, une plus grande propagation des écarts єi est observée à des valeurs élevées de la variable dépendante (variables). Si les données contiennent une erreur significative, alors, naturellement, l'écart de la valeur du modèle calculée à partir des données erronées sera également important. Afin de se débarrasser de cette erreur, nous devons réduire la contribution de ces données aux résultats du calcul, leur attribuer un poids inférieur à celui de tout le reste. Cette idée est implémentée dans les moindres carrés pondérés.