Enseignement de la matière algébrique à l'école primaire. Méthodologie d'étude des expressions numériques

1.1. Questions générales sur les méthodes d'étude du matériel algébrique.

1.2. Méthodologie d'étude des expressions numériques.

1.3. L'étude des expressions littérales.

1.4. L'étude des égalités et des inégalités numériques.

1.5. Technique d'étude des équations.

1.6. Résoudre des problèmes arithmétiques simples en écrivant des équations.

1.1. Questions générales de la méthodologie d'étude du matériel algébrique

L'introduction de la matière algébrique dans le cours initial de mathématiques permet de préparer les élèves à l'étude des concepts de base des mathématiques modernes (variable, équation, égalité, inégalité, etc.), contribue à la généralisation des connaissances arithmétiques, et à la formation de la pensée fonctionnelle chez les enfants.

étudiants école primaire devrait recevoir des informations initiales sur les expressions mathématiques, les égalités et les inégalités numériques, apprendre à résoudre les équations fournies programme d'études et des problèmes arithmétiques simples en écrivant une équation ( base théorique sélection d'une opération arithmétique dans laquelle la relation entre les composants et le résultat de l'opération arithmétique correspondante0.

L'étude du matériel algébrique est menée en relation étroite avec le matériel arithmétique.

1.2. Méthodologie d'étude des expressions numériques

En mathématiques, une expression est comprise comme une séquence de symboles mathématiques construits selon certaines règles, désignant des nombres et des opérations sur ceux-ci.

Des expressions comme : 6 ; 3+2 ; 8:4+(7-3) - expressions numériques; type : 8-a ; 30 pouces ; 5+(3+s) - expressions littérales (expressions avec une variable).

Les tâches d'étude du sujet

2) Familiariser les élèves avec les règles de l'ordre d'exécution des opérations arithmétiques.

3) Apprenez à trouver les valeurs numériques des expressions.

4) Familiarisez-vous avec les transformations identiques d'expressions basées sur les propriétés des opérations arithmétiques.

La résolution des tâches définies est effectuée tout au long de toutes les années d'études en école primaire dès les premiers jours du séjour de l'enfant à l'école.

La méthodologie de travail sur les expressions numériques prévoit trois étapes: à la première étape - la formation de concepts sur les expressions les plus simples (somme, différence, produit, quotient de deux nombres); à la deuxième étape - sur les expressions contenant deux opérations arithmétiques ou plus d'une étape; à la troisième étape - sur les expressions contenant deux ou plusieurs opérations arithmétiques de différents niveaux.

Avec les expressions les plus simples - somme et différence - les élèves sont introduits en première année (selon le programme 1-4) avec le produit et privé - en deuxième année (avec le terme "travail" - en 2e année, avec le terme "privé" - en troisième année).

Considérons la méthode d'étude des expressions numériques.

En effectuant des opérations sur des ensembles, les enfants apprennent tout d'abord la signification spécifique de l'addition et de la soustraction. Par conséquent, dans des entrées telles que 3 + 2, 7-1, les signes d'action sont perçus par eux comme une brève désignation des mots «ajouter», "soustraire" (additionner 2 à 3). Dans le futur, les notions d'actions s'approfondissent : les élèves apprennent qu'en ajoutant (soustrayant) quelques unités, on augmente (diminue) le nombre du même nombre d'unités (lecture : 3 augmente de 2), puis les enfants apprendront le nom des signes plus (lecture : 3 plus 2), "moins".

Dans le sujet "Addition et soustraction à moins de 20", les enfants sont initiés aux concepts de "somme", "différence" comme noms d'expressions mathématiques et comme nom du résultat des opérations arithmétiques d'addition et de soustraction.

Considérez un fragment de la leçon (2e année).

Attachez 4 cercles rouges et 3 jaunes au tableau en utilisant de l'eau :

OOOOOOOO

Combien de ronds rouges ? (Notez le chiffre 4.)

Combien de ronds jaunes ? (Notez le numéro 3.)

Quelle action doit-on effectuer sur les nombres écrits 3 et 4 pour savoir combien de cercles rouges et combien de cercles jaunes sont ensemble ? (la fiche apparaît : 4+3).

Dis-moi, sans compter combien y a-t-il de cercles ?

Une telle expression en mathématiques, lorsqu'il y a un signe "+" entre les nombres, s'appelle la somme (Disons ensemble : somme) et se lit comme ceci : la somme de quatre et trois.

Découvrons maintenant à quoi correspond la somme des nombres 4 et 3 (nous donnons une réponse complète).

De même pour la différence.

Lors de l'étude de l'addition et de la soustraction à moins de 10, les expressions composées de 3 nombres ou plus reliés par le même et différents signes opérations arithmétiques : 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3, etc. En révélant le sens de telles expressions, l'enseignant montre comment les lire. En calculant les valeurs de ces expressions, les enfants maîtrisent pratiquement la règle sur l'ordre des opérations arithmétiques dans les expressions sans parenthèses, bien qu'ils ne la formulent pas : 10-3+2=7+2=9. Ces enregistrements sont la première étape dans l'exécution de transformations identiques.

La méthodologie pour se familiariser avec les expressions entre parenthèses peut être différente (Décrivez un fragment de la leçon dans votre cahier, préparez des exercices pratiques).

La capacité de composer et de trouver le sens d'une expression est utilisée par les enfants pour résoudre des problèmes arithmétiques, en même temps, une maîtrise plus poussée du concept d '«expression» a lieu, la signification spécifique des expressions dans les enregistrements de résolution de problèmes est assimilée .

Le type de travail proposé par le méthodologiste letton Ya.Ya est intéressant. Mentzis.

Un texte est donné, par exemple, comme celui-ci: "Le garçon avait 24 roubles, un gâteau coûte 6 roubles, un bonbon 2 roubles", il est proposé:

a) faire toutes sortes d'expressions sur ce texte et expliquer ce qu'elles montrent ;

b) expliquez ce que montrent les expressions :

2 cellules 3 cellules

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

En 3e année, en plus des expressions discutées précédemment, elles comprennent des expressions composées de deux expressions simples (37+6) - (42+1), ainsi que composées d'un nombre et d'un produit ou d'un quotient de deux nombres. Par exemple : 75-50 :25+2. Lorsque l'ordre dans lequel les actions sont effectuées ne correspond pas à l'ordre dans lequel elles sont écrites, des parenthèses sont utilisées : 16-6 : (8-5). Les enfants doivent apprendre à lire et à écrire ces expressions correctement, pour trouver leur signification.

Les termes "expression", "valeur d'expression" sont introduits sans définitions. Pour faciliter la lecture et la recherche de sens pour les enfants expressions complexes, les méthodologistes recommandent d'utiliser un schéma compilé collectivement et utilisé lors de la lecture d'expressions :

1) J'établirai quelle action est effectuée en dernier.

2) Je vais réfléchir à la façon dont les numéros sont appelés lors de l'exécution de cette action.

3) Je vais lire comment ces nombres sont exprimés.

Les règles d'ordre des actions dans les expressions complexes sont étudiées en 3e année, mais les enfants en utilisent pratiquement certaines en première et deuxième années.

La première est la règle sur l'ordre d'exécution des actions dans les expressions sans parenthèses, lorsque les nombres ne sont soit que des additions et des soustractions, soit des multiplications et des divisions (3 cl.). Le but du travail à ce stade est, sur la base des compétences pratiques des étudiants acquises précédemment, de prêter attention à l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans de telles expressions et de formuler une règle.

Amener les enfants à la formulation de la règle, la comprendre peut être différent. Le recours principal à l'expérience existante, l'indépendance maximale possible, la création d'une situation de recherche et de découverte, la preuve.

Peut être utilisé technique méthodique Sh.A. Amonashvili "l'erreur du professeur".

Par exemple. L'enseignant rapporte qu'en trouvant la signification des expressions suivantes, il a obtenu des réponses dont il est sûr de l'exactitude (les réponses sont fermées).

36:2 6=6 etc..

Encourage les enfants à trouver valeurs d'expression, puis comparez les réponses avec les réponses reçues par l'enseignant (à ce stade, les résultats des opérations arithmétiques sont ouverts). Les enfants prouvent que l'enseignant a fait des erreurs et, sur la base de l'étude de faits particuliers, formulent une règle (voir manuel de mathématiques, 3e année).

De même, vous pouvez introduire le reste des règles d'ordre des actions : lorsque les expressions sans parenthèses contiennent des actions de la 1ère et de la 2ème étape, dans les expressions avec parenthèses. Il est important que les enfants réalisent que la modification de l'ordre d'exécution des opérations arithmétiques entraîne une modification du résultat, à propos duquel les mathématiciens ont décidé de s'entendre et de formuler des règles qui doivent être strictement respectées.

La conversion d'expression est le remplacement d'une expression donnée par une autre ayant la même valeur numérique. Les élèves effectuent de telles transformations d'expressions, basées sur les propriétés des opérations arithmétiques et leurs conséquences (, pp. 249-250).

Lors de l'étude de chaque propriété, les élèves sont convaincus que dans les expressions d'un certain type, les actions peuvent être effectuées de différentes manières, mais la valeur de l'expression ne change pas. À l'avenir, les élèves appliquent leurs connaissances sur les propriétés des actions pour transformer des expressions données en expressions identiques. Par exemple, des tâches du formulaire sont proposées : continuer l'enregistrement pour que le signe « = » soit conservé :

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Lors de la réalisation de la première tâche, les élèves raisonnent comme suit : à gauche, la somme des nombres 20 et 4 est soustraite à 76 , à droite, 20 a été soustrait de 76 ; pour obtenir le même montant à droite qu'à gauche, il faut soustraire à droite 4. D'autres expressions sont transformées de la même manière, c'est-à-dire qu'après avoir lu l'expression, l'élève se souvient de la règle correspondante. Et, effectuant des actions selon la règle, il reçoit l'expression transformée. Pour s'assurer que la conversion est correcte, les enfants calculent les valeurs des expressions données et converties et les comparent.

En appliquant la connaissance des propriétés des actions pour étayer les méthodes de calcul, les élèves des grades I-IV effectuent des transformations d'expressions de la forme :

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830= 18(310) = (183) 10=540

Ici, il est également nécessaire que les élèves expliquent non seulement sur la base de ce qu'ils reçoivent chaque expression suivante, mais comprennent également que toutes ces expressions sont reliées par le signe "=", car elles ont mêmes valeurs. Pour ce faire, vous devriez parfois proposer aux enfants de calculer les valeurs des expressions et de les comparer. Cela évite les erreurs telles que : 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12= (10 + 2) =24 10+24 2 = 288.

Les élèves des classes II-IV effectuent la transformation des expressions non seulement sur la base des propriétés de l'action, mais également sur la base de leur signification spécifique. Par exemple, la somme de termes identiques est remplacée par le produit : (6+ 6 + 6 = 6 3, et inversement : 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Basé également sur la signification de l'action de multiplication, des expressions plus complexes sont converties : 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

Sur la base de calculs et d'analyses d'expressions spécialement sélectionnées, les élèves de quatrième année sont amenés à la conclusion que si les parenthèses dans les expressions avec parenthèses n'affectent pas l'ordre des actions, elles peuvent être omises. À l'avenir, en utilisant les propriétés apprises des actions et les règles d'ordre des actions, les élèves s'exercent à convertir des expressions avec parenthèses en expressions qui leur sont identiques sans parenthèses. Par exemple, il est proposé d'écrire ces expressions sans parenthèses afin que leurs valeurs ne changent pas :

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Ainsi, les enfants remplacent la première des expressions données par les expressions: 65 + 30-20, 65-20 + 30, expliquant l'ordre d'exécution des actions en eux. De cette façon, les élèves s'assurent que le sens de l'expression ne change pas lors du changement de l'ordre des actions uniquement si les propriétés des actions sont appliquées dans ce cas.

L'étude du matériel algébrique à l'école primaire. L'introduction d'éléments d'algèbre dans le cours initial de mathématiques permet, dès le début de la formation, de mener un travail systématique visant à développer chez l'enfant des concepts mathématiques aussi importants que l'expression, l'égalité, l'inégalité, l'équation. L'inclusion d'éléments d'algèbre vise principalement à une divulgation plus complète et plus approfondie des concepts arithmétiques, amenant les généralisations des élèves à un niveau plus haut niveau, ainsi que la création de prérequis pour l'assimilation réussie du cours d'algèbre dans le futur. La familiarisation avec l'utilisation d'une lettre comme symbole désignant n'importe quel nombre de la zone des nombres connus des enfants crée les conditions pour généraliser de nombreuses questions de théorie arithmétique considérées dans le cours initial, est une bonne préparation pour l'introduction enfants du futur aux notions de variable, de fonction. Une connaissance antérieure de l'utilisation de la méthode algébrique de résolution de problèmes permet d'apporter de sérieuses améliorations à l'ensemble du système d'enseignement aux enfants pour résoudre divers problèmes de texte. Le travail sur toutes les questions de contenu algébrique énumérées, conformément à la manière dont il est prévu dans les manuels, doit être effectué systématiquement et systématiquement pendant toutes les années de l'enseignement élémentaire. Apprentissage des éléments d'algèbre en enseignement primaire les mathématiques sont étroitement associées à l'étude de l'arithmétique. Cela s'exprime notamment dans le fait que, par exemple, les équations et les inégalités sont résolues non pas sur la base de l'utilisation de l'appareil algébrique, mais sur la base de l'utilisation des propriétés des opérations arithmétiques, sur la base de la relation entre le composantes et les résultats de ces opérations. La formation de chacun des concepts algébriques considérés n'est pas ramenée à une définition logique formelle. Objectifs de l'étude du sujet : 1. Former les élèves à la capacité de lire, d'écrire et de comparer des expressions numériques. 2. Familiariser les élèves avec les règles d'exécution de l'ordre des actions dans les expressions numériques et développer la capacité de calculer les valeurs des expressions conformément à ces règles. 3. Pour former la capacité des élèves à lire, écrivez des expressions littérales et calculez leurs valeurs pour des valeurs de lettres données. 4. Initier les élèves aux équations du premier degré, contenant les actions des première et deuxième étapes, pour former la capacité de les résoudre par la méthode de sélection, ainsi que sur la base de la connaissance de la relation entre les composants et le résultat d'opérations arithmétiques. Expressions mathématiques. Lors de la formation du concept d'expression mathématique chez les enfants, il faut tenir compte du fait que le signe d'action placé entre les nombres a deux significations: d'une part, il désigne une action qui doit être effectuée sur des nombres (par exemple, 6 + 4 - ajouter quatre à six) ; d'autre part, le signe d'action sert à désigner l'expression (6 + 4 est la somme des nombres 6 et 4). La notion d'expression se forme chez les élèves plus jeunes en lien étroit avec les notions d'opérations arithmétiques et contribue à leur meilleure assimilation. Familiarisation avec les expressions numériques : la méthodologie de travail sur les expressions prévoit deux étapes. Sur le premier d'entre eux, le concept des expressions les plus simples (somme, différence, produit, quotient de deux nombres) est formé, et sur le second, des expressions complexes (la somme d'un produit et d'un nombre, la différence de deux quotients , etc.). Connaissance de la première expression - la somme de deux nombres se produit en première année lors de l'étude de l'addition et de la soustraction dans les 10. En effectuant des opérations sur des ensembles, les étudiants apprennent tout d'abord la signification spécifique de l'addition et de la soustraction, par conséquent, dans des entrées comme 5 + Les actions des signes 1, 6-2 sont perçues par eux comme une courte désignation des mots "ajouter", "soustraire". Approximativement dans le même plan, des travaux sont en cours sur les expressions suivantes : différence (grade 1), produit et quotient de deux nombres (grade 2). Les termes "expression mathématique" et "valeur d'une expression mathématique" sont introduits (sans définitions). Après avoir enregistré plusieurs exemples en une seule action, l'enseignant signale que ces exemples sont autrement appelés expressions mathématiques. La règle utilisée lors de la lecture des expressions : 1) établit quelle action est effectuée en dernier ; 2) rappelez-vous comment les numéros sont appelés dans cette action ; 3) lire comment ces nombres sont exprimés. Des exercices de lecture et d'écriture d'expressions complexes contenant des composantes d'action données par des expressions simples aident les enfants à apprendre les règles d'ordre des actions et les préparent également à la résolution d'équations. En proposant de tels exercices et en testant les connaissances et les compétences des élèves, l'enseignant doit seulement s'efforcer de s'assurer qu'ils sont capables d'effectuer pratiquement de telles tâches : écrire une expression, la lire, composer une expression pour la tâche proposée, composer une tâche pour cette expression (ou "lire différemment" cette expression), compris ce que signifie écrire la somme (différence) à l'aide de nombres et de signes d'action et ce que signifie calculer la somme (différence), et plus tard, après l'introduction des termes appropriés , ce que signifie composer une expression et ce que signifie trouver sa valeur. Apprentissage des règles de procédure. Le but du travail à ce stade est, basé sur les compétences pratiques des étudiants, d'attirer leur attention sur l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans de telles expressions et de formuler la règle correspondante. Les élèves résolvent indépendamment les exemples sélectionnés par l'enseignant et expliquent dans quel ordre ils ont effectué les actions dans chaque exemple. Ensuite, ils formulent eux-mêmes la conclusion ou lisent la conclusion du manuel. Le travail est effectué dans l'ordre suivant: 1. La règle concerne l'ordre dans lequel les actions sont effectuées dans des expressions sans parenthèses, lorsque les nombres ne sont soit que des additions et des soustractions, soit que des multiplications et des divisions. Conclusion : si seules les opérations d'addition et de soustraction (ou uniquement les opérations de multiplication et de division) sont indiquées dans une expression sans crochets, alors elles sont effectuées dans l'ordre dans lequel elles sont écrites (c'est-à-dire de gauche à droite). 2. De même, étudiez l'ordre des actions dans les expressions entre parenthèses de la forme : 85-(46-14), 60 : (30-20), 90 : (2 * 5). Les élèves connaissent également ces expressions et sont capables de lire, d'écrire et de calculer leur signification. Après avoir expliqué l'ordre d'exécution des actions dans plusieurs de ces expressions, les enfants formulent une conclusion: dans les expressions entre parenthèses, la première action est effectuée sur les nombres écrits entre parenthèses. 3. La règle la plus difficile est l'ordre d'exécution des actions dans les expressions sans parenthèses, lorsqu'elles contiennent des actions des première et deuxième étapes. Conclusion: la procédure est adoptée d'un commun accord: d'abord, multiplication, division, puis addition, soustraction de gauche à droite sont effectuées. 4. Exercices de calcul du sens des expressions, lorsque l'élève doit appliquer toutes les règles apprises. Connaissance des transformations identiques d'expressions. La transformation d'identité d'une expression est le remplacement d'une expression donnée par une autre dont la valeur est égale à la valeur de l'expression donnée. Les élèves effectuent de telles transformations d'expressions, en fonction des propriétés des opérations arithmétiques et des conséquences qui en découlent (comment ajouter une somme à un nombre, comment soustraire un nombre d'une somme, comment multiplier un nombre par un produit, etc. ). Lors de l'étude de chaque propriété, les élèves sont convaincus que dans les expressions d'un certain type, les actions peuvent être effectuées de différentes manières, mais la signification de l'expression ne change pas (la valeur de l'expression ne change pas lorsque l'ordre des actions est modifié uniquement si les propriétés des actions sont appliquées) Introduction aux expressions littérales. Déjà en classe I, il devient nécessaire d'introduire un symbole désignant numéro inconnu. Dans le domaine éducatif et littérature méthodique à cet effet, une grande variété de signes étaient proposés aux élèves : des points de suspension, une cellule vide entourée, des astérisques, un point d'interrogation, etc. Mais comme tous ces signes sont censés être utilisés dans un but différent, le signe généralement accepté pour ces fins doivent être utilisées pour écrire un nombre inconnu - lettre. À l'avenir, la lettre en tant que symbole mathématique sera également utilisée dans l'enseignement élémentaire des mathématiques pour écrire des nombres généralisés, c'est-à-dire lorsqu'il ne s'agit pas d'un entier non négatif, mais de n'importe quel nombre. Un tel besoin survient lorsqu'il est nécessaire d'exprimer les propriétés des opérations arithmétiques. Les lettres sont nécessaires pour désigner des quantités et écrire des formules qui reflètent les relations entre les quantités, pour désigner des points, des segments, des sommets de formes géométriques. En première année, les élèves utilisent une lettre pour désigner un nombre inconnu qu'ils recherchent. Les élèves se familiarisent avec l'écriture et la lecture de quelques lettres latines, les utilisant immédiatement pour écrire des exemples avec un nombre inconnu (équations simples). On montre aux élèves comment traduire dans le langage des symboles mathématiques la tâche exprimée verbalement : "Nous avons ajouté 2 à un nombre inconnu et obtenu 6. Trouvez un nombre inconnu." L'enseignant explique comment écrire ce problème : notez le nombre inconnu par la lettre x, puis utilisez le signe + pour montrer que 2 a été ajouté au nombre inconnu et on a obtenu le nombre égal à 6, qui s'écrit avec le signe égal : x + 2 = 6. Vous devez maintenant effectuer une opération de soustraction afin de trouver l'autre terme par la somme de deux termes et l'un d'eux. Le travail principal utilisant la lettre comme symbole mathématique est effectué dans les classes suivantes. Lors de l'introduction d'expressions littérales, un rôle important dans le système d'exercices est joué par une combinaison habile de méthodes inductives et déductives. Conformément à cela, les exercices prévoient des transitions des expressions numériques aux expressions alphabétiques et, vice versa, des expressions alphabétiques aux expressions numériques. a + b (a plus b) est aussi une expression mathématique, seulement dans celle-ci les termes sont indiqués par des lettres : chacune des lettres représente n'importe quel nombre. En donnant aux lettres différentes valeurs numériques, vous pouvez obtenir autant d'expressions numériques que vous le souhaitez. Plus loin, en lien avec le travail sur les expressions, la notion de constante se révèle. A cet effet, on considère des expressions dans lesquelles une valeur constante est fixée à l'aide de nombres, par exemple : a ± 12, 8 ± s. Ici, comme à l'étape précédente, des exercices sont prévus pour le passage d'expressions numériques à des expressions écrites avec des lettres et des chiffres, et vice versa. De même, vous pouvez obtenir des expressions mathématiques de la forme : 17 ± n, k ± 30, et plus tard - des expressions de la forme : 7 * b, a : 8, 48 : d. Le travail de calcul des valeurs des expressions littérales pour différentes significations des lettres, l'observation de l'évolution des résultats des calculs en fonction de l'évolution des composants des actions jette les bases de la formation du concept de variable. Des exercices sur la recherche des valeurs numériques d'expressions pour des valeurs de lettres données sont envisagés. De plus, les lettres sont utilisées pour écrire sous une forme généralisée les propriétés des opérations arithmétiques précédemment étudiées sur des exemples numériques spécifiques. Les étudiants, effectuant des exercices spéciaux, maîtrisent les compétences suivantes: 1. Utilisez des lettres pour écrire les propriétés des opérations arithmétiques, la relation entre les composants et les résultats des opérations arithmétiques. 2. Lire les propriétés des opérations arithmétiques, des dépendances, des relations écrites à l'aide de lettres. 3. Effectuer une transformation identique de l'expression basée sur la connaissance des propriétés des opérations arithmétiques. 4. Prouver la validité des égalités ou inégalités données en utilisant la substitution numérique. L'utilisation de symboles alphabétiques contribue à augmenter le niveau de généralisation des connaissances acquises par les élèves du primaire et les prépare à l'étude d'un cours systématique d'algèbre dans les années suivantes. Égalité, inégalité. Dans la pratique de l'enseignement au primaire, les expressions numériques dès le début sont considérées comme inextricablement liées aux égalités et inégalités numériques. En mathématiques, les égalités et inégalités numériques sont divisées en vrai et faux. Dans les classes élémentaires, au lieu de ces termes, les mots "vrai" et "infidèle" sont utilisés. Les tâches d'étude des égalités et des inégalités dans les classes primaires sont d'apprendre aux élèves à fonctionner pratiquement avec des égalités et des inégalités : comparer des nombres, comparer des expressions arithmétiques, résoudre les inégalités les plus simples à une inconnue, passer d'inégalité à égalité et d'égalité à inégalité. Les notions d'égalités, d'inégalités se révèlent dans l'interconnexion. Lors des études, matériel arithmétique. Les égalités et les inégalités numériques sont étudiées en comparant des nombres donnés ou des expressions arithmétiques. Par conséquent, les signes ">", "<», « = » соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах (не во всех программах). Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», «<», « = », учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел. Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами (подумай - поставь знак - объясни - проверь вычислением). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сначала выполняются вычисления, затем рассматриваются задания на основе рассуждений с опорой на обобщение. Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах. Уравнения. Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является вся работа с равенствами и неравенствами. Особое значение среди всех этих упражнений имеют задания, при выполнении которых надо от неравенства перейти к равенству и наоборот. Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как они познакомились с зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение как равенство, которое справедливо при определенном значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование - найти такое значение буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, достаточно задание, выраженное словесно, записать с помощью математических символов. В соответствии с программой в начальных классах рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х-3=10 + 5, х*(17-10)=70, х:2+10 = 30. Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т. е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Найти неизвестное число (корень) - значит решить уравнение. С целью формирования умений решать уравнения предлагают разнообразные упражнения: 1) Решите уравнения и выполните проверку. 2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно решенных уравнениях. 3) Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и проверьте решение. 3) Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением). 4) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неизвестное число равно 8. 5) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем является неизвестное в уравнении и вставьте пропущенный знак действия: х...2=12 х…2=12 х=12:2 х=12+2 7) Решите уравнения; сравните уравнения и их решения: х+8=40 х*3 = 24 х-8=40 х: 3 = 24 После того как учащиеся освоят решение простейших уравнений, уравнения усложняются в том отношении, что: 1) в правой части дается выражение: x+10=30-7; 2) один из компонентов задан выражением к + (18 - 15) = 24; 3) один из компонентов задан выражением, причем в него входит неизвестное (73 - b) + 31 = 85 Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Далее вводятся уравнения, содержащие действия первой и второй ступени. Для овладения приемом решения этих уравнений в начальных классах учащемуся необходимо в первую очередь научиться левую часть представить в виде двух компонентов, в результате действий с которыми была получена правая часть, и разобрать состав каждого компонента. При обучении решения уравнений важно вырабатывать навык проверки его корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение вместо буквы подставить ее значение, отдельно вычислить левую и правую части и сравнить полученные результаты. Отношение равенства этих результатов является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям уравнения. Решение задач с помощью уравнений. Чтобы понять роль решения задач с помощью уравнений, рассмотрим сначала, в чем суть этого способа. Пусть надо решить путем составления уравнения задачу: «На экскурсию поехало 28 мальчиков и несколько девочек. Все они разместились в двух автобусах, по 25 человек в каждом. Сколько девочек отправилось на экскурсию?» Обозначим число девочек, которые отправились на экскурсию, какой-либо буквой, например х. Для составления равенства можно выделить различные связи, в соответствии с которыми можно составить выражения и, приравняв их, получить уравнение: а) В условии задачи сказано, что все мальчики и девочки поехали в автобусах, значит, можно выразить, сколько мальчиков и девочек поехало на экскурсию (28+x) и сколько мальчиков и девочек разместилось в автобусах (25*2), а затем приравнять эти выражения; тогда получится уравнение 28+x=25*2; решив это уравнение, получим ответ на вопрос задачи. б) В условии задачи сказано, что в каждом автобусе разместилось по 25 человек, значит, можно выразить число экскурсантов в каждом автобусе через другие числа и приравнять полученное выражение к числу 25, тогда получится уравнение (28+х): 2 = 25. Можно, рассуждая аналогичным образом, составить и другие уравнения. Для решения задачи с помощью составления уравнений обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие выражения и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с помощью составления уравнений, что определяет его преимущества. Кроме того, как видно, решение задач способом составления уравнений способствует овладению понятием уравнения. Поэтому уже в начальных классах в определенной системе ведется обучение решению задач путем составления уравнений. В методике обучения решению задач с помощью составления уравнений предусматриваются следующие этапы: сначала ведется подготовительная работа к решению задач с помощью уравнений, затем вводится решение простых задач с помощью уравнений и, наконец, рассматриваются приемы составления уравнений при решении составных задач.

9.3.1. La méthode d'introduction du concept de "Monomial" et la formation de la capacité à trouver sa valeur numérique.

Les connaissances de base comprennent les concepts d'une expression algébrique, le produit d'expressions algébriques, un multiplicateur (numérique et alphabétique); aux compétences - écrire une expression algébrique par ses éléments, mettre en évidence les éléments d'une expression algébrique donnée.

La mise à jour des connaissances s'effectue au travers d'exercices.

1. Dans cet ensemble, sélectionnez de telles expressions algébriques qui sont des produits de plusieurs facteurs : a) 5 une 2b; b) (7 ab 2 + depuis 2):(5m 2 n); à 8; d) 5 une 6 bb 4 une; e) ; f) g)

Cette condition est satisfaite par les expressions algébriques : 5 une 2b; 8; 5une 6 bb 4 une; ; Il est fort probable que les élèves n'en nommeront pas 8 parmi les expressions algébriques requises. ; bien que certains puissent deviner ce qui peut être représenté comme s. Après avoir pris plusieurs expressions algébriques, il faut s'exercer à isoler leur facteur numérique, facteurs littéraux, en écrivant de nouvelles expressions selon les expressions algébriques données.

2. Écrire une nouvelle expression algébrique à l'aide des expressions 3 une 2b et une. Réponses possibles des élèves : 3 une 2b+ une; 3une 2b– une; 3une 2b une; 3une 2b: une.

3. Parmi les expressions suivantes, lesquelles sont des monômes : a) 5 un 3 bcb 4; b) une; c) d) 3 4 e) 7 ab 2:n; e) - 5 un 6 b c 2; e)- un 3; g) h) - mnx. Nommez les multiplicateurs numériques et alphabétiques des monômes.

4. Écrivez plusieurs expressions algébriques qui sont des monômes.

5. Écrivez plusieurs monômes qui ne diffèrent que par leur coefficient numérique.

6. Complétez les blancs : a) 12 une 3 b 4= 2une… b 2; b) - 24 m 2 b 7 p 6= 24pb …

7. Au lieu d'une formulation verbale, écrivez des expressions algébriques : a) double produit de nombres une et b; b) tripler le produit du carré d'un nombre une et des chiffres b.

8. Expliquez les expressions : a) 2 une b; b) une 5b.

Par exemple, l'expression une 5b peut être expliqué comme : 1) le produit de nombres une, 5 et b;2) produit de nombres une et 5 b;3) aire d'un rectangle avec des côtés une et 5 b.

Les exercices de type 7 et 8 contribuent également à la maîtrise de la méthode de résolution de problèmes textuels à l'aide d'équations, car la traduction de formulations verbales dans le langage des chiffres et des lettres et l'interprétation verbale d'expressions algébriques sont des éléments importants de la méthode de résolution de problèmes à l'aide d'équations. .

9. Trouvez la valeur numérique du monôme : 1) 5 mnxà m= 3, n= ; X=8; 2) (– 0,25)une bà une=12; b=8. Lors de l'exécution de tels exercices, les étudiants spéciaux doivent être avertis de la nécessité d'utiliser les propriétés et les lois des opérations arithmétiques pour rationaliser les calculs.

L'organisation des exercices peut être différente : une solution au tableau, une solution indépendante, une solution commentée, exécution simultanée d'exercices au tableau avec implication des élèves faibles et travail indépendant des élèves forts, etc.

Pour les devoirs, vous pouvez utiliser des exercices pour écrire des nombres sous une forme standard, ce qui servira de motif pour introduire le concept de forme standard d'un monôme dans la prochaine leçon.

9.3.2. Généralisation et systématisation des connaissances sur le thème : "Progressions".

La reproduction et la correction des connaissances de base peuvent se faire par des exercices pour remplir le tableau, suivis d'une discussion des résultats.

Notez que les progressions arithmétiques et géométriques fournissent un exemple d'étude de matériel dans des situations similaires, de sorte que les méthodes d'opposition et de comparaison devraient occuper une place importante dans la systématisation des connaissances sur les progressions. La discussion des questions clés est basée sur la clarification des raisons de la différence et des progressions communes.

Questions à débattre.

UNE). Nommer le commun et le différent dans la structure de la définition des progressions arithmétiques et géométriques.

B). Définir une progression géométrique décroissante à l'infini.

V). Quelle est la somme d'une progression géométrique infiniment décroissante ? Écrivez sa formule.

G). Comment prouver qu'une suite donnée est une progression arithmétique (géométrique) ?

RÉ). Utilisez les flèches pour montrer les liens entre les définitions indiquées, les formules (Fig. 7) :

une	une n = une n -1 + ré		une 1 , une 2 , … …		une n \u003d une l + ré (n-1)
			une , ré
	un n = (une n -1 + une n +1)		Signe d'une progression arithmétique		S n = (une 1 + une 2) n

3. Notez toutes les définitions, formules sur le thème "Progression géométrique" et indiquez les dépendances entre elles.

Les exercices 2 et 3 peuvent être proposés aux élèves pour qu'ils les complètent seuls, suivis d'une discussion des résultats avec tous les élèves de la classe. L'exercice 2 peut être fait collectivement et l'exercice 3 peut être proposé comme travail indépendant.

Les étapes suivantes de la leçon de généralisation sont mises en œuvre à l'aide d'exercices dont la mise en œuvre nécessite l'analyse et l'utilisation de faits de base, conduisant à de nouvelles connexions et relations entre les concepts et théorèmes étudiés.

4. Entre les nombres 4 et 9, insérez un nombre positif afin d'obtenir trois membres consécutifs d'une progression géométrique. Formuler et résoudre un problème similaire en relation avec une progression arithmétique.

5. Déterminez les nombres une 1 , une 2 , une 3 et un 4, si une 1 , une 2 , une 3 sont des membres successifs d'une progression géométrique, et un 1 , un 3 et un 4– progression arithmétique et un 1 + un 4= 14, un 2 + un 3 = 12.

7. Trois nombres positifs peuvent-ils être simultanément trois membres consécutifs d'une suite arithmétique et géométrique ?

8. Est-il possible d'affirmer que les progressions arithmétiques et géométriques sont des fonctions ? Si oui, à quels types de fonctions appartiennent-ils ?

9. On sait que une = 2n+1 est une progression arithmétique. Ce qui est commun et différent dans les graphiques de cette progression et d'une fonction linéaire F(X) = 2X+1?

10. Est-il possible de spécifier des séquences
progressions arithmétiques et géométriques ?

Les formes d'exécution des exercices peuvent être différentes : effectuer des exercices au tableau, commenter la décision, etc. Certains des exercices ci-dessus peuvent être effectués par les étudiants eux-mêmes, et leur mise en œuvre peut être effectuée en fonction des capacités des étudiants à l'aide de cartes contenant des lignes manquantes ou des instructions pour leur mise en œuvre. Évidemment, plus les capacités de l'élève sont faibles, plus l'ensemble de recommandations (instructions de mise en œuvre) doit être étendu pour lui.

9.3.3. Test, évaluation et correction des connaissances, compétences et aptitudes sur le thème : "Multiplication et division de nombres rationnels".

En vérifiant les connaissances des étudiants sur le matériel factuel, la capacité d'expliquer l'essence des concepts de base est réalisée dans le processus de conversation, suivi d'exercices.

Questions pour la conversation

1. Formulez une règle pour multiplier deux nombres avec les mêmes signes. Donne des exemples.

2. Formulez une règle pour multiplier deux nombres de signes différents. Donne des exemples.

3. Quel est le produit de plusieurs nombres si l'un d'eux est zéro ? Sous quelles conditions une b= 0?

4. Quel est le produit une(-un)? Donne des exemples.

5. Comment le produit changera-t-il lorsque le signe de l'un des facteurs changera ?

6. Formuler la loi commutative de la multiplication.

7. Comment la loi associative de multiplication est-elle formulée ?

8. Écrivez, à l'aide de lettres, les lois commutatives et associatives de la multiplication.

9. Comment trouver le produit de trois, quatre nombres rationnels ?

10. L'élève, effectuant l'exercice pour trouver le produit 0,25 15 15 (–4), a utilisé la séquence d'actions suivante : (0,25 (–4)) 15 15 = (–1) 15 15 = –15 15. Quelles lois a-t-il utilisé ?

11. Quel facteur d'une expression algébrique s'appelle un coefficient ?

12. Comment trouver le coefficient d'un produit, dans lequel il y a plusieurs facteurs alphabétiques et numériques ?

13. Quel est le coefficient de l'expression : une; - une; un B; - un B?

14. Formuler la loi distributive de la multiplication. Écrivez-le avec des lettres.

15. Quels termes d'une somme algébrique sont dits similaires ?

16. Expliquez ce que signifie apporter des termes similaires.

17. Expliquez à l'aide de quelles lois s'effectue la réduction de termes similaires dans l'expression 5.2 v- 8une - 4,8v- 2une.

18. Quelle est la règle pour diviser des nombres rationnels avec les mêmes signes ?

19. Quelle est la règle pour diviser des nombres rationnels de signes différents ?

20. Quand le quotient de deux nombres rationnels est-il égal à zéro ?

21. Dans quel ordre les actions conjointes sont-elles exécutées avec des nombres rationnels ?

Certaines questions peuvent faire l'objet d'une discussion collective, d'autres - fiches de contrôle mutuel des élèves, il est possible de réaliser une dictée mathématique sur la base de certaines questions, etc.

La série d'exercices qui suit vise à contrôler, évaluer et corriger les compétences des élèves. Différentes formes de réalisation d'exercices sont possibles : une solution autonome, accompagnée d'un autocontrôle des élèves, une solution commentée, la réalisation d'exercices au tableau, une enquête orale, etc. Cette série comprend deux groupes d'exercices. Le premier groupe ne nécessite pas de nature reconstructive pour effectuer une activité mentale, la mise en œuvre du second groupe implique la reconstruction de connaissances et de compétences sur le sujet étudié.

1. Parmi les égalités suivantes, lesquelles sont vraies :

1) (–9) (–8) = –72; 2) (–1,4) 0,5 = – 0,7;

3) 12 (–0,2) = –0,24; 4) (–3,2) (–2,1) = 6,72?

Choisissez la bonne réponse.

Réponse 1); 2); 3); 4); il n'y a pas de vraies égalités.

2. Sans effectuer de calculs, déterminez quel produit est positif :

1) 0,26 (–17) (–52) (–34); 2) (–1) (–8) 0,4 (–3,4);

3) (–16) (–0,87) (– ) (–5); 4) 5 (–3,2) 0 (0,7).

Réponse 1); 2); 3); 4).

3. Spécifiez des expressions qui ont des coefficients égaux :

1) 9as et 3 X(4y); 2) (–3) (–8cb) et 4 X 6y;

3) abdos et 2,75 xy; 4) 3,15abdos et 0,001 abdos.

4. Laquelle des expressions contient des termes similaires :

1) 7une– 12un B+ 14; 2) – 0,5xy + 2,7kh- 0,5;

3) 3Avec – 2,7mari – ;4) 72un B- ab + 241?

Spécifiez la bonne réponse.

Réponse 1); 2); 4); il n'y a pas d'expressions contenant des termes similaires.

5. Indiquez les bonnes égalités : : (–18,2

3. Choisissez le plus grand et le plus petit nombre parmi les nombres
une,une 2 ,une 3 ,une 4 , une 5 , une 6 , une 7 à une = – 5, une = 3.

4. Simplifiez l'expression :

1) – X(y- 4) – 2(heu– 3) – 3X; 2) une(b + 3) – 3(2 – ab) + a.

L'ensemble de tâches ci-dessus et leur séquence couvrent tous les niveaux d'acquisition de connaissances. La réalisation de l'ensemble des tâches correspond à l'assimilation qualitative des connaissances et des compétences et peut être qualifiée d'"excellente". Les exercices du premier groupe correspondent à l'assimilation des savoirs et savoir-faire au niveau de leur application dans des situations ne nécessitant pas la reconstruction des savoirs et savoir-faire. Les réponses correctes aux questions caractérisent l'assimilation des connaissances au niveau de la reproduction. La note "satisfaisant" peut être attribuée à un élève qui a réalisé la plupart des exercices du premier groupe. La note « bon » correspond à la majorité correctement effectuée des exercices des premier et deuxième groupes.

Tâches

1. Choisir un sujet précis pour le cours correctionnel et de perfectionnement en algèbre à l'école primaire. Étudiez les sections pertinentes du programme et du manuel. Identifier les caractéristiques méthodologiques de l'étude du sujet. Développer des fragments d'une méthodologie pour enseigner un sujet. Préparer un jeu de fiches pour corriger les connaissances des élèves.

2. Assistez à plusieurs cours d'algèbre dans l'un des établissements spéciaux (correctionnels) de type VII de votre région. Analyser une leçon du point de vue de son orientation pédagogique, correctionnelle-développante, pédagogique et pratique.

3. L'un des objectifs de l'enseignement des mathématiques est la formation d'une culture mathématique. La culture informatique est l'une des composantes de la culture mathématique. Proposez votre interprétation du concept de « culture computationnelle ». A quelles étapes de l'enseignement des mathématiques aux élèves en difficulté, dans l'enseignement de quel contenu est-il possible et pertinent de se fixer comme objectif de « former une culture informatique » ? Donnez un exemple précis avec le système de tâches correspondant. Faites une liste de la littérature sur le développement du concept de nombre pour la lecture parascolaire des élèves spéciaux. Spécifiez dans quelles classes il peut être utilisé.

CHAPITRE 10.

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INTRODUCTION

CONCLUSION

BIBLIOGRAPHIE

introduction

Dans tout système moderne d'enseignement général, les mathématiques occupent l'une des places centrales, ce qui indique sans aucun doute le caractère unique de ce domaine de connaissances.

Qu'est-ce que les mathématiques modernes ? Pourquoi est-elle nécessaire? Ces questions et d'autres similaires sont souvent posées aux enseignants par les enfants. Et à chaque fois la réponse sera différente selon le niveau de développement de l'enfant et ses besoins éducatifs.

On dit souvent que les mathématiques sont le langage de la science moderne. Cependant, cette déclaration semble avoir un défaut important. Le langage des mathématiques est si répandu et si souvent efficace précisément parce que les mathématiques ne s'y réduisent pas.

Un mathématicien russe exceptionnel A.N. Kolmogorov a écrit : "Les mathématiques ne sont pas seulement l'une des langues. Les mathématiques sont un langage plus le raisonnement, c'est comme un langage et une logique ensemble. Les mathématiques sont un outil de réflexion. Il concentre les résultats de la pensée exacte de nombreuses personnes. Avec l'aide des mathématiques, un raisonnement peut être lié à un autre. Les complexités apparentes de la nature, avec ses lois et ses règles étranges, dont chacune admet sa propre explication très détaillée, sont en fait intimement liées les unes aux autres.

Ainsi, les mathématiques nous permettent de former certaines formes de pensée nécessaires à l'étude du monde qui nous entoure.

Quelle est l'influence des mathématiques en général et des mathématiques scolaires en particulier sur l'éducation d'un créatif ? Enseigner l'art de résoudre des problèmes dans les cours de mathématiques nous offre une opportunité exceptionnellement favorable pour la formation d'un certain état d'esprit chez les élèves. Le besoin de recherche développe l'intérêt pour les modèles, apprend à voir la beauté et l'harmonie de la pensée humaine. Tout cela est à notre avis l'élément le plus important d'une culture commune. Une influence importante est exercée par le cours des mathématiques sur la formation de diverses formes de pensée: logique, spatiale-géométrique, algorithmique. Tout processus créatif commence par la formulation d'une hypothèse. Les mathématiques, avec l'organisation appropriée de l'enseignement, étant une bonne école pour construire et tester des hypothèses, nous apprennent à comparer diverses hypothèses, à trouver la meilleure option, à définir de nouvelles tâches et à chercher des moyens de les résoudre. Entre autres choses, elle développe également l'habitude du travail méthodique, sans lequel aucun processus créatif n'est concevable. Maximisant les possibilités de la pensée humaine, les mathématiques sont sa plus haute réalisation. Il aide une personne dans la conscience de soi et la formation de son caractère. Ceci n'est qu'une petite partie d'une longue liste de raisons pour lesquelles les connaissances mathématiques devraient devenir une partie intégrante de la culture générale et un élément indispensable dans l'éducation et l'éducation d'un enfant. Le cours de mathématiques (sans géométrie) dans notre école de 10 ans est en fait divisé en trois grandes parties : arithmétique (grades I-V), algèbre (grades VI-VIII) et éléments d'analyse (grades IX-X). Quelle est la base d'une telle subdivision? Bien sûr, chacune de ces pièces a sa propre "technologie" spéciale.

Ainsi, en arithmétique, par exemple, il est associé à des calculs effectués sur des nombres à valeurs multiples, en algèbre - avec des transformations identiques, logarithme, en analyse - avec différenciation, etc. Mais quels sont les fondements plus profonds associés au contenu conceptuel de chaque partie ? La question suivante porte sur les motifs de distinction entre l'arithmétique scolaire et l'algèbre (c'est-à-dire la première et la deuxième partie du cours). L'arithmétique comprend l'étude des nombres naturels (entiers positifs) et des fractions (primes et décimales). Cependant, une analyse spéciale montre que la combinaison de ces types de nombres dans une matière scolaire est illégale.

En effet, ces nombres ont des fonctions différentes : les premiers sont associés au comptage d'objets, les seconds à la mesure de quantités. Cette circonstance est très importante pour comprendre le fait que les nombres fractionnaires (rationnels) ne sont qu'un cas particulier des nombres réels.

Du point de vue de la mesure des grandeurs, comme le note A.N. Kolmogorov, "il n'y a pas de différence aussi profonde entre les nombres réels rationnels et irrationnels. Pour des raisons pédagogiques, ils s'attardent longtemps sur les nombres rationnels, car ils sont faciles à écrire sous forme de fractions; cependant, l'utilisation qui en est faite elles auraient dû dès le début conduire immédiatement à des nombres réels dans toute leur généralité.

UNE. Kolmogorov considérait comme justifiée à la fois du point de vue de l'histoire du développement des mathématiques et, en substance, la proposition d'A. Lebesgue de passer dans l'enseignement après les nombres naturels immédiatement à l'origine et à la nature logique des nombres réels. Dans le même temps, comme le note A.N. Kolmogorov, "l'approche de la construction de nombres rationnels et réels du point de vue de la mesure des quantités n'est pas moins scientifique que, par exemple, l'introduction de nombres rationnels sous forme de" paires ". Pour l'école, il a un avantage indéniable" (.

Ainsi, à partir des nombres naturels (entiers), il existe une réelle possibilité de former immédiatement le "concept le plus général de nombre" (dans la terminologie d'A. Lebesgue), le concept de nombre réel. Mais du point de vue de la construction du programme, cela ne signifie ni plus ni moins que l'élimination de l'arithmétique des fractions dans son interprétation scolaire. Le passage des nombres entiers aux nombres réels est un passage de l'arithmétique à "l'algèbre", à la création d'une base d'analyse. Ces idées, exprimées il y a plus de 20 ans, sont toujours d'actualité.

1. Aspects théoriques généraux de l'étude du matériel algébrique à l'école primaire

algébrique école comparaison mathématiques

1.1 Expérience dans l'introduction d'éléments d'algèbre à l'école primaire

Le contenu d'une matière, comme vous le savez, dépend de nombreux facteurs - des exigences de la vie pour la connaissance des étudiants, du niveau des sciences pertinentes, des capacités mentales et physiques des enfants, etc. La prise en compte correcte de ces facteurs est une condition essentielle pour l'enseignement le plus efficace des écoliers, en élargissant leurs capacités cognitives. Mais parfois cette condition n'est pas remplie pour une raison ou une autre. Dans ce cas, l'enseignement ne donne pas l'effet escompté tant par rapport à l'assimilation de l'éventail des connaissances nécessaires par les enfants, que par rapport au développement de leur intellect.

Il semble qu'à l'heure actuelle les programmes d'enseignement de certaines matières, en particulier les mathématiques, ne répondent pas aux nouvelles exigences de la vie, au niveau de développement des sciences modernes (par exemple, les mathématiques) et aux nouvelles données de la psychologie et de la logique du développement. Cette circonstance dicte la nécessité d'une vérification théorique et expérimentale complète des projets possibles pour le nouveau contenu des matières éducatives.

Les bases des connaissances mathématiques sont posées à l'école primaire. Mais, malheureusement, les mathématiciens eux-mêmes, ainsi que les méthodologistes et les psychologues, accordent très peu d'attention au contenu des mathématiques élémentaires. Qu'il suffise de dire que le programme de mathématiques à l'école élémentaire (classes I-IV) dans ses principales caractéristiques a pris forme il y a 50 à 60 ans et reflète naturellement le système d'idées mathématiques, méthodologiques et psychologiques de cette époque.

Considérez les caractéristiques de la norme d'État pour les mathématiques à l'école élémentaire. Son contenu principal est constitué d'entiers et d'opérations sur ceux-ci, étudiés dans un certain ordre. D'abord, quatre actions sont étudiées dans la limite de 10 et 20, puis - les calculs oraux dans la limite de 100, les calculs oraux et écrits dans la limite de 1000 et, enfin, dans la limite des millions et des milliards. En quatrième année, certaines relations entre les données et les résultats d'opérations arithmétiques, ainsi que des fractions simples, sont étudiées. Parallèlement à cela, le programme implique l'étude des mesures métriques et des mesures de temps, la maîtrise de la capacité de les utiliser pour la mesure, la connaissance de certains éléments de géométrie visuelle - dessiner un rectangle et un carré, mesurer des segments, des aires d'un rectangle et d'un carré, calcul des volumes.

Les élèves doivent appliquer les connaissances et les compétences acquises pour résoudre des problèmes et effectuer des calculs simples. Tout au long du cours, la résolution de problèmes est menée parallèlement à l'étude des nombres et des actions - la moitié du temps correspondant y est allouée. La résolution de problèmes aide les élèves à comprendre le sens spécifique des actions, à comprendre les différents cas de leur application, à établir la relation entre les quantités et à acquérir des compétences élémentaires d'analyse et de synthèse.

De la 1re à la 4e année, les enfants résolvent les principaux types de problèmes suivants (simples et composés) : trouver la somme et le reste, le produit et le quotient, augmenter et diminuer ces nombres, la différence et la comparaison multiple, la triple règle simple, la division proportionnelle, trouver le inconnu par deux différences, le calcul de la moyenne arithmétique et certains autres types de tâches.

Les enfants rencontrent différents types de dépendances de quantités lors de la résolution de problèmes. Mais c'est très caractéristique - les élèves commencent les tâches après et pendant qu'ils étudient les nombres ; la principale chose qui est requise lors de la résolution est de trouver une réponse numérique. Les enfants ayant de grandes difficultés révèlent les propriétés des relations quantitatives dans des situations spécifiques et privées, qui sont communément considérées comme des problèmes arithmétiques. La pratique montre que la manipulation des nombres remplace souvent l'analyse proprement dite des conditions du problème du point de vue des dépendances des grandeurs réelles. Les tâches introduites dans les manuels ne représentent d'ailleurs pas un système dans lequel des situations plus "compliquées" seraient liées à des couches "plus profondes" de relations quantitatives. Des problèmes de même difficulté se retrouvent aussi bien au début qu'à la fin du manuel. Ils changent de section en section et de classe en classe selon la complexité de l'intrigue (le nombre d'actions augmente), selon le rang des nombres (de la dizaine au milliard), selon la complexité des dépendances physiques (de la distribution tâches aux tâches sur le mouvement) et d'autres paramètres. Un seul paramètre - l'approfondissement dans le système des lois mathématiques propres - s'y manifeste faiblement, indistinctement. Par conséquent, il est très difficile d'établir un critère pour la difficulté mathématique d'un problème particulier. Pourquoi les tâches de trouver l'inconnu par deux différences et de trouver la moyenne arithmétique (grade III) sont-elles plus difficiles que les tâches de différence et de comparaisons multiples (grade II) ? La méthodologie ne donne pas de réponse convaincante et logique à cette question.

Ainsi, les élèves du primaire ne reçoivent pas de connaissances adéquates et complètes sur les dépendances des quantités et les propriétés générales de la quantité, que ce soit lors de l'étude des éléments de la théorie des nombres, car ils sont principalement associés à la technique des calculs dans le cours scolaire, ou lors de la résolution de problèmes, car ces derniers n'ont pas la forme appropriée et n'ont pas le système requis. Les tentatives des méthodologistes pour améliorer les méthodes d'enseignement, si elles aboutissent à des succès partiels, ne changent cependant pas l'état général des choses, puisqu'elles sont limitées d'avance par le cadre des contenus acceptés.

Il semble que l'analyse critique du programme adopté en arithmétique devrait s'appuyer sur les dispositions suivantes :

Le concept de nombre n'est pas identique au concept de caractéristiques quantitatives des objets ;

Le nombre n'est pas la forme originelle des relations quantitatives.

Nous présentons la justification de ces dispositions. Il est bien connu que les mathématiques modernes (en particulier l'algèbre) étudient de tels moments de relations quantitatives qui n'ont pas de coquille numérique. Il est également bien connu que certaines relations quantitatives sont tout à fait exprimables sans nombres et avant les nombres, par exemple, en segments, volumes, etc. (relation "supérieur à", "inférieur à", "égal à"). La présentation des concepts mathématiques généraux initiaux dans les manuels modernes est réalisée dans un tel symbolisme qui n'implique pas l'expression obligatoire des objets par des nombres. Ainsi, dans le livre d'E.G. Gonin "Arithmétique théorique", les principaux objets mathématiques depuis le tout début sont désignés par des lettres et des signes spéciaux.

Il est caractéristique que certains types de nombres et de dépendances numériques ne soient donnés qu'à titre d'exemples, d'illustrations des propriétés des ensembles, et non comme leur seule forme d'expression possible et existante. En outre, il convient de noter que de nombreuses illustrations de définitions mathématiques individuelles sont données sous forme graphique, à travers le rapport des segments, des zones. Toutes les propriétés de base des ensembles et des quantités peuvent être dérivées et justifiées sans impliquer de systèmes numériques ; de plus, ces derniers reçoivent eux-mêmes une justification sur la base de concepts mathématiques généraux.

À leur tour, de nombreuses observations de psychologues et d'éducateurs montrent que les représentations quantitatives apparaissent chez les enfants bien avant qu'ils n'acquièrent des connaissances sur les nombres et les méthodes de fonctionnement avec eux. Certes, on a tendance à attribuer ces représentations à la catégorie des "formations pré-mathématiques" (ce qui est tout à fait naturel pour les méthodes traditionnelles qui identifient la caractéristique quantitative d'un objet avec un nombre), cependant, cela ne change pas leur fonction essentielle dans l'orientation générale de l'enfant dans les propriétés des choses. Et il arrive parfois que la profondeur de ces soi-disant "formations pré-mathématiques" soit plus essentielle pour le développement de la pensée mathématique d'un enfant que la connaissance des subtilités de la technologie informatique et la capacité de trouver des dépendances purement numériques. Il est à noter qu'acad. UNE. Kolmogorov, caractérisant les caractéristiques de la créativité mathématique, note spécifiquement la circonstance suivante: «La majorité des découvertes mathématiques sont basées sur une idée simple: une construction géométrique visuelle, une nouvelle inégalité élémentaire, etc. Il suffit d'appliquer correctement cette idée simple à résoudre un problème qui semble inaccessible à première vue.

Une grande variété d'idées concernant la structure et les méthodes de construction d'un nouveau programme sont actuellement opportunes. Il est nécessaire d'impliquer des mathématiciens, des psychologues, des logiciens et des méthodologistes dans le travail de sa construction. Mais dans toutes ses variantes spécifiques, il semble devoir satisfaire aux exigences de base suivantes :

Combler le fossé existant entre le contenu des mathématiques dans les écoles primaires et secondaires ;

Donner un système de connaissances sur les régularités fondamentales des relations quantitatives du monde objectif ; en même temps, les propriétés des nombres, en tant que forme spéciale d'expression de la quantité, devraient devenir une section spéciale, mais pas la section principale du programme;

Inculquer aux enfants les techniques de la pensée mathématique, et pas seulement les compétences de calcul : cela implique la construction d'un tel système de tâches, qui repose sur un approfondissement dans la sphère des dépendances des grandeurs réelles (le lien des mathématiques avec la physique, la chimie, biologie et autres sciences qui étudient des quantités spécifiques);

Simplifiez résolument toute la technique de calcul, en réduisant au minimum le travail qui ne peut être effectué sans tableaux appropriés, ouvrages de référence et autres moyens auxiliaires (notamment électroniques).

Le sens de ces exigences est clair : à l'école primaire, il est tout à fait possible d'enseigner les mathématiques en tant que science des régularités des relations quantitatives, des dépendances des quantités ; les techniques de calcul et les éléments de la théorie des nombres devraient devenir une section spéciale et privée du programme.

L'expérience de la conception d'un nouveau programme de mathématiques et de sa vérification expérimentale, menée depuis la fin des années 1960, permet déjà d'évoquer la possibilité d'introduire un cours systématique de mathématiques à l'école à partir de la 1ère année, apportant des connaissances sur les relations quantitatives et dépendances des grandeurs sous forme algébrique .

1.2 Le problème de l'origine des concepts algébriques et sa signification pour la construction d'un sujet

La division du cours scolaire de mathématiques en algèbre et arithmétique est bien sûr conditionnelle. Le passage de l'un à l'autre est progressif. Dans la pratique scolaire, la signification de cette transition est masquée par le fait que l'étude des fractions se déroule en fait sans s'appuyer sur la mesure détaillée des quantités - les fractions sont données sous forme de rapports de paires de nombres (bien que formellement l'importance de la mesure des quantités soit reconnu dans les manuels méthodologiques). Une introduction élargie des nombres fractionnaires basée sur la mesure des quantités conduit inévitablement au concept de nombre réel. Mais ce dernier ne se produit généralement pas, car les étudiants sont maintenus au travail avec des nombres rationnels pendant longtemps, ce qui retarde leur transition vers "l'algèbre".

En d'autres termes, l'algèbre scolaire commence précisément lorsque les conditions sont créées pour la transition des nombres entiers aux nombres réels, pour exprimer le résultat de la mesure sous forme de fraction (simple et décimale - finie, puis infinie). De plus, le premier peut se familiariser avec l'opération de mesure, obtenir des fractions décimales finales et étudier les actions sur celles-ci. Si les élèves connaissent déjà cette forme d'enregistrement du résultat de la mesure, cela sert de condition préalable pour "lancer" l'idée qu'un nombre peut également être exprimé sous la forme d'une fraction infinie. Et il est conseillé de créer ce préalable déjà au sein de l'école primaire.

Si le concept de nombre fractionnaire (rationnel) est retiré de la compétence de l'arithmétique scolaire, alors la frontière entre celui-ci et "l'algèbre" passera le long de la ligne de différence entre les nombres entiers et réels. C'est elle qui "coupe" le cours de mathématiques en deux parties. Ce n'est pas une simple différence, mais un "dualisme" fondamental des sources - comptes et mesures.

Suivant les idées de Lebesgue concernant la « notion générale de nombre », il est possible d'assurer une unité complète dans l'enseignement des mathématiques, mais seulement à partir du moment et après que les enfants sont initiés au comptage et aux nombres entiers (naturels). Bien sûr, les termes de cette connaissance préliminaire peuvent être différents (dans les programmes traditionnels de l'école élémentaire, ils sont clairement retardés), des éléments de mesures pratiques peuvent même être introduits dans le cours d'arithmétique élémentaire (qui a lieu dans le programme), - cependant , tout cela n'enlève pas la différence entre les bases de l'arithmétique et "l'algèbre" comme matières académiques. Le « dualisme » des points de départ empêche également les sections liées à la mesure des quantités et au passage aux fractions réelles de vraiment « s'enraciner » dans le cours de l'arithmétique. Les auteurs de programmes et les méthodologistes s'efforcent de préserver la stabilité et la « pureté » de l'arithmétique en tant que matière scolaire. Cette différence de sources est la principale raison d'enseigner les mathématiques selon le schéma - d'abord l'arithmétique (entier), puis "l'algèbre" (nombre réel).

Ce schéma semble tout à fait naturel et inébranlable, de plus, il est justifié par de nombreuses années de pratique dans l'enseignement des mathématiques. Mais il y a des circonstances qui, d'un point de vue logico-psychologique, exigent une analyse plus approfondie de la légitimité de ce schéma d'enseignement rigide.

Le fait est que malgré toutes les différences entre ces types de nombres, ils se réfèrent spécifiquement aux nombres, c'est-à-dire à une forme particulière d'affichage des relations quantitatives. L'appartenance des nombres entiers et réels aux « nombres » sert de base à l'hypothèse de dérivabilité génétique et aux différences de comptage et de mesure elles-mêmes : elles ont une source spéciale et unique correspondant à la forme même du nombre.

La connaissance des caractéristiques de cette base unifiée de comptage et de mesure permettra de présenter plus clairement les conditions de leur origine, d'une part, et la relation, d'autre part.

Vers quoi se tourner pour trouver la racine commune d'un arbre ramifié de nombres ? Il semble qu'il faille avant tout analyser le contenu du concept de grandeur. Certes, un autre terme est immédiatement associé à ce terme - la mesure. Cependant, la légitimité d'un tel lien n'exclut pas une certaine indépendance du sens de « valeur ». L'examen de cet aspect nous permet de tirer des conclusions qui, d'une part, associent la mesure à un compte, et d'autre part, opèrent avec des nombres avec des relations et des modèles mathématiques généraux.

Alors, qu'est-ce qu'une « valeur » et quel est son intérêt dans la construction des premières sections des mathématiques scolaires ? Dans l'usage courant, le terme "valeur" est associé aux concepts "égal", "plus", "moins", qui décrivent une variété de qualités (longueur et densité, température et blancheur). V.F. Kagan soulève la question des propriétés communes de ces concepts. Il montre qu'ils se réfèrent à des agrégats - ensembles d'objets homogènes, dont la comparaison des éléments permet d'appliquer les termes "plus grand", "égal", "moins" (par exemple, aux agrégats de tous les segments de droite, poids, vitesses, etc.).

Un ensemble d'objets n'est transformé en grandeur que lorsqu'on établit des critères permettant d'établir, pour l'un quelconque de ses éléments A et B, si A sera égal à B, supérieur à B ou inférieur à B. temps, pour deux éléments quelconques A et B, un et un seul des rapports : A=B, A>B, A<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

V.F. Kagan distingue les huit propriétés de base suivantes des concepts "égal", "plus grand", "moins": .

1) Au moins une des relations suivantes est vérifiée : A=B, A>B, A<В.

2) Si la relation A = B est vraie, alors la relation A n'est pas vraie<В.

3) Si la relation A=B est vraie, alors la relation A>B n'est pas vraie.

4) Si A=B et B=C, alors A=C.

5) Si A>B et B>C, alors A>C.

6) Si A<В и В<С, то А<С.

7) L'égalité est une relation réversible : la relation A=B implique toujours la relation B=A.

8) L'égalité est une relation réciproque : quel que soit l'élément A de l'ensemble considéré, A=A.

Les trois premières phrases caractérisent la disjonction des relations de base "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

trois éléments A, B et C. Les phrases 7 à 8 suivantes ne caractérisent que l'égalité - son inversibilité et sa récurrence (ou réflexivité). V.F. Kagan appelle ces huit dispositions de base les postulats de comparaison, sur la base desquels un certain nombre d'autres propriétés d'une quantité peuvent être dérivées.

Ces propriétés de sortie de V.F. Kagan décrit sous la forme de huit théorèmes :

I. La relation A>B exclut la relation B>A (A<В исключает В<А).

II. Si A>B, alors B<А (если А<В, то В>UNE).

III. Si A>B tient, alors A ne tient pas.

IV. Si A1=A2, A2=A3,.., An-1=A1, alors A1=An.

V. Si A1>A2, A2>A3,.., An-1>An, alors A1>An.

VI. Si A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Si A=C et B=C, alors A=B.

VIII. S'il existe une égalité ou une inégalité A \u003d B, ou A\u003e B, ou A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>B et A=C, puis C>B, etc.).

Postulats et théorèmes de comparaison, souligne V.F. Kagan, "toutes ces propriétés des concepts" égal ", " plus " et " moins " sont épuisées, qui en mathématiques leur sont associées et trouvent une application pour elles-mêmes quelles que soient les propriétés individuelles de l'ensemble, aux éléments desquels nous les appliquons dans divers cas particuliers.

Les propriétés indiquées dans les postulats et les théorèmes peuvent caractériser non seulement les caractéristiques directes des objets que nous avons l'habitude d'associer à "égal", "plus grand", "moins", mais aussi à de nombreuses autres caractéristiques (par exemple, elles peuvent caractériser la relation "ancêtre - descendant"). Cela nous permet d'adopter un point de vue général pour les décrire et de considérer, par exemple, du point de vue de ces postulats et théorèmes, trois types quelconques de relations "alpha", "beta", "gamma" (dans ce cas , on peut établir si ces relations satisfont aux postulats et théorèmes et à quelles conditions).

De ce point de vue, on peut, par exemple, considérer une propriété des choses telle que la dureté (plus dur, plus doux, dureté égale), l'enchaînement des événements dans le temps (suite, préséance, simultanéité), etc. Dans tous ces cas, les rapports "alpha", "beta", "gamma" reçoivent leur interprétation spécifique. La tâche associée à la sélection d'un tel ensemble de corps qui auraient ces relations, ainsi que l'identification des signes par lesquels "alpha", "bêta", "gamma" pourraient être caractérisés - c'est la tâche de déterminer la comparaison critères dans cet ensemble d'organismes (pratiquement, dans certains cas, il n'est pas facile de le résoudre). "En établissant des critères de comparaison, on transforme l'ensemble en valeur", écrivait V.F. Kagan. Les objets réels peuvent être considérés du point de vue de différents critères. Ainsi, un groupe de personnes peut être considéré selon un critère tel que la séquence des moments de naissance de chacun de ses membres. Un autre critère est la position relative que prendront les têtes de ces personnes si elles sont placées côte à côte sur un même plan horizontal. Dans chaque cas, le groupe sera traduit en une valeur portant le nom approprié - âge, taille. En pratique, la valeur est généralement désignée, pour ainsi dire, non par l'ensemble des éléments lui-même, mais par un nouveau concept introduit pour distinguer les critères de comparaison (le nom de la valeur). C'est ainsi que surgissent les notions de "volume", "poids", "tension électrique", etc. « En même temps, pour un mathématicien, la valeur est tout à fait certaine lorsque l'ensemble des éléments et des critères de comparaison sont indiqués », notait V.F. Kagan.

Comme exemple le plus important d'une quantité mathématique, cet auteur considère la série naturelle de nombres. Du point de vue d'un critère de comparaison tel que la position occupée par les nombres dans une série (occupe une place, suit..., précède), cette série satisfait les postulats et représente donc une grandeur. Selon les critères de comparaison correspondants, l'ensemble des fractions est également converti en une valeur. Tel, selon V.F. Kagan, le contenu de la théorie de la quantité, qui joue un rôle crucial dans la justification de toutes les mathématiques.

En travaillant avec des quantités (il est conseillé de fixer leurs valeurs individuelles avec des lettres), il est possible de produire un système complexe de transformations, établissant les dépendances de leurs propriétés, passant de l'égalité à l'inégalité, effectuant l'addition (et la soustraction), et lors de l'addition, on peut être guidé par les propriétés commutatives et associatives. Donc, si le rapport A = B est donné, alors lors de la "résolution" des problèmes, on peut être guidé par le rapport B = A. Dans un autre cas, en présence des rapports A>B, B=C, on peut conclure que A>C. Puisque pour a>b il existe un c tel que a=b+c, ​​on peut trouver la différence entre a et b (a-b=c), et ainsi de suite.

Toutes ces transformations peuvent être effectuées sur corps physiques et d'autres objets en fixant les critères de comparaison et la correspondance des relations sélectionnées aux postulats de comparaison.

Les matériaux ci-dessus nous permettent de conclure que les nombres naturels et réels sont également fortement associés aux quantités et à certaines de leurs caractéristiques essentielles. Est-il possible de faire de ces propriétés et d'autres le sujet d'une étude spéciale de l'enfant avant même d'introduire la forme numérique de description du rapport des grandeurs ? Ils peuvent servir de conditions préalables à l'introduction détaillée ultérieure du numéro et de son différents types, en particulier pour la propédeutique des fractions, les concepts de coordonnées, de fonctions et d'autres concepts déjà dans les classes inférieures.

Quel pourrait être le contenu de cette section initiale ? Il s'agit d'une connaissance des objets physiques, des critères de leur comparaison, de la mise en évidence de la valeur en tant que sujet de considération mathématique, de la familiarité avec les méthodes de comparaison et des moyens de fixation de ses résultats, avec des méthodes d'analyse des propriétés générales des quantités. Ce contenu doit être développé dans un programme d'enseignement relativement détaillé et, surtout, lié aux actions de l'enfant à travers lesquelles il peut maîtriser ce contenu (bien sûr, sous une forme appropriée). Dans le même temps, il est nécessaire d'établir expérimentalement, expérimentalement, si les enfants de 7 ans peuvent maîtriser ce programme et quelle est l'opportunité de son introduction pour l'enseignement ultérieur des mathématiques dans les classes primaires dans le sens de la convergence de l'arithmétique et algèbre élémentaire.

Jusqu'à présent, nos discussions étaient de nature théorique et visaient à clarifier les prérequis mathématiques pour construire une telle première partie du cours qui introduirait les enfants aux notions algébriques de base (avant l'introduction spéciale d'un nombre). Les principales propriétés qui caractérisent les quantités ont été décrites ci-dessus. Naturellement, il est inutile que des enfants de 7 ans lisent des "conférences" concernant ces propriétés.

Il était nécessaire de trouver une telle forme de travail pour les enfants matériel didactique, au moyen desquelles ils pourraient, d'une part, révéler ces propriétés dans les choses qui les entourent, d'autre part, ils apprendraient à les fixer avec un certain symbolisme et à effectuer des analyse mathematique relations mises en évidence.

À cet égard, le programme doit contenir, premièrement, une indication des propriétés du sujet à maîtriser, deuxièmement, une description du matériel didactique, troisièmement, et c'est l'essentiel d'un point de vue psychologique, les caractéristiques de ces actions par lesquelles l'enfant identifie certaines propriétés de l'objet et les maîtrise. Ces "constituants" forment le programme d'enseignement au sens propre du terme. Il est logique de décrire les spécificités de ce programme hypothétique et de ses "composantes" lors de la description du processus d'apprentissage lui-même et de ses résultats.

Voici un schéma de ce programme et de ses principaux thèmes.

Thème I. Égalisation et acquisition d'objets (par longueur, volume, poids, composition des pièces et autres paramètres).

Tâches pratiques pour le nivellement et la cueillette. Isolement des signes (critères) par lesquels les mêmes objets peuvent être égalisés ou complétés. Désignation verbale de ces signes ("par longueur", par poids", etc.).

Ces tâches sont résolues dans le processus de travail avec du matériel didactique (lattes, poids, etc.) en :

Le choix du "même" sujet,

Reproduction (construction) du "même" objet selon le paramètre sélectionné (spécifié).

Thème II. Comparaison d'objets et fixation de ses résultats par la formule égalité-inégalité.

1. Tâches de comparaison d'objets et désignation symbolique des résultats de cette action.

2. Fixation verbale des résultats de la comparaison (les termes "supérieur à", "inférieur à", "égal à"). Lettres ">", "<", "=".

3. Désignation du résultat de la comparaison avec un dessin ("copie", puis "abstrait" - lignes).

4. Désignation des objets comparés par des lettres. Enregistrement du résultat de la comparaison avec les formules : A=B ; UNE<Б, А>B. Une lettre comme signe qui fixe la valeur particulière directement donnée d'un objet selon un paramètre choisi (en poids, en volume, etc.).

5. L'impossibilité de fixer le résultat de la comparaison avec des formules différentes. Le choix d'une formule spécifique pour un résultat donné (disjonction complète des relations supérieur à - inférieur à - égal à).

Thème III. Propriétés de l'égalité et de l'inégalité.

1. Réversibilité et réflexivité de l'égalité (si A=B, alors B=A ; A=A).

2. La connexion des relations "supérieur à" et "inférieur à" dans les inégalités avec les "permutations" des côtés comparés (si A>B, alors B<А и т.п.).

3. La transitivité comme propriété d'égalité et d'inégalité :

si A=B, si A>B, si A<Б,

un B=C, un B>C, un B<В,

alors A=B; alors A>B ; puis un<В.

4. Passage du travail avec le matériel didactique du sujet aux évaluations des propriétés de l'égalité-inégalité en présence de formules littérales uniquement. Résoudre divers problèmes nécessitant la connaissance de ces propriétés (par exemple, résoudre des problèmes liés à la connexion de relations du type : on sait que A>B, et B=C ; trouver la relation entre A et C).

Thème IV. Opération d'addition (soustraction).

1. Observations de l'évolution des objets par l'un ou l'autre paramètre (en volume, en poids, en durée, etc.). Image d'augmentation et de diminution par les signes "+" et "-" (plus et moins).

2. Violation de l'égalité précédemment établie avec un changement correspondant dans l'un ou l'autre de ses côtés. Le passage de l'égalité à l'inégalité. Ecrire des formules comme :

si A=B, si A=B,

alors A+K>B ; puis A-K<Б.

3. Voies de transition vers une nouvelle égalité (sa « restauration » selon le principe :

ajouter "égal" à "égal" donne "égal").

Travailler avec des formules comme :

alors A+K>B, mais A+K=B+K.

4. Résoudre divers problèmes nécessitant l'utilisation de l'opération d'addition (soustraction) dans le passage de l'égalité à l'inégalité et vice versa.

Thème V. Transition de l'inégalité de type A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Tâches nécessitant une telle transition. La nécessité de déterminer la valeur de la valeur par laquelle les objets comparés diffèrent. Possibilité d'enregistrer l'égalité avec une valeur spécifique inconnue de cette grandeur. Comment utiliser x (x).

Ecrire des formules comme :

si un<Б, если А>B,

alors A+x=B; alors A-x=B.

2. Déterminer la valeur de x. Substitution de cette valeur dans la formule (familiarité avec les parenthèses). Formules de type

3. Résoudre les problèmes (y compris "plot-text") qui nécessitent l'exécution de ces opérations.

Sujet Vl. Addition-soustraction des égalités-inégalités. Substitution.

1. Addition-soustraction des égalités-inégalités :

si A=B si A>C si A>C

et M=D, et K>E, et B=D, alors A+M=B+D ; alors A+K>B+E ; puis A+-B>C+-D.

2. La possibilité de représenter la valeur d'une grandeur comme la somme de plusieurs valeurs. Remplacement de type :

3. Résoudre une variété de tâches qui nécessitent de prendre en compte les propriétés des relations que les enfants ont rencontrées au cours du travail (de nombreuses tâches nécessitent la prise en compte simultanée de plusieurs propriétés, un esprit vif lors de l'évaluation du sens des formules; une description des tâches et solutions sont données ci-dessous).

Il s'agit d'un programme conçu pour 3,5 à 4 mois. premier semestre. Comme le montre l'expérience de l'enseignement expérimental, avec une bonne planification des cours, avec l'amélioration des méthodes d'enseignement et le choix réussi des aides didactiques, tout le matériel présenté dans le programme peut être pleinement assimilé par les enfants dans un délai plus court (en 3 mois). Comment évolue notre programme ? Tout d'abord, les enfants se familiarisent avec la méthode d'obtention d'un nombre, exprimant le rapport d'un objet dans son ensemble (la même valeur, représentée par un objet continu ou discret) à sa partie. Ce rapport lui-même et sa signification spécifique sont représentés par la formule A / K \u003d n, où n est n'importe quel nombre entier, exprimant le plus souvent le rapport avec une précision de "un" (uniquement avec une sélection spéciale de matériau ou en comptant uniquement " qualitativement" des choses individuelles, vous pouvez obtenir un entier absolument exact). Dès le début, les enfants sont "obligés" de garder à l'esprit que lors de la mesure ou du comptage, un résidu peut être obtenu, dont la présence doit être spécialement stipulée. C'est la première étape pour continuer à travailler avec un nombre fractionnaire. Avec cette forme d'obtention d'un nombre, il n'est pas difficile d'amener les enfants à décrire un objet avec une formule comme A = 5k (si le rapport était égal à "5"). Avec la première formule, elle ouvre des possibilités pour une étude particulière des relations entre l'objet, la base (mesure) et le résultat du comptage (mesure), qui sert également de propédeutique pour le passage aux nombres fractionnaires (en particulier, pour comprendre la propriété de base d'une fraction). Un autre axe de déploiement du programme, déjà implémenté en classe I, est le transfert aux nombres (entiers) des propriétés de base d'une quantité (disjonctions d'égalité-inégalité, transitivité, réversibilité) et l'opération d'addition (commutativité, associativité, monotonie, possibilité de soustraction). En particulier, lorsqu'ils travaillent sur la droite numérique, les enfants peuvent transformer rapidement une suite de nombres en valeur (par exemple, évaluer clairement leur transitivité en faisant des entrées comme 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

La connaissance de certaines des caractéristiques dites "structurelles" de l'égalité permet aux enfants d'aborder la relation d'addition et de soustraction d'une manière différente. Ainsi, lors du passage de l'inégalité à l'égalité, les transformations suivantes sont effectuées : 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2 ; trouver la relation entre les parties gauche et droite de la formule en 8+1-4...6+3-2 ; en cas d'inégalité, amenez cette expression à l'égalité (vous devez d'abord mettre le signe "moins", puis ajouter "deux" sur le côté gauche).

Ainsi, manipuler une série de nombres comme une quantité permet de reformer les compétences d'addition-soustraction (puis de multiplication-division) d'une nouvelle manière.

2.1 L'éducation à l'école primaire en fonction des besoins de l'école secondaire

Comme vous le savez, lors de l'étude des mathématiques en 5e année, une partie importante du temps est consacrée à répéter ce que les enfants auraient dû apprendre à l'école primaire. Cette répétition dans presque tous les manuels existants prend 1,5 trimestre académique. Cette situation n'est pas arrivée par hasard. Sa raison est le mécontentement des professeurs de mathématiques du secondaire face à la préparation des diplômés du primaire. Quelle est la raison de cette situation ? Pour cela, cinq des manuels de mathématiques du primaire les plus connus aujourd'hui ont été analysés. Ce sont les manuels de M.I. Moro, I.I. Arginskaya, N.-B. Istomina, L.G. Peterson , , , .

L'analyse de ces manuels a révélé plusieurs aspects négatifs, plus ou moins présents dans chacun d'eux et affectant négativement la poursuite des apprentissages. Tout d'abord, c'est que l'assimilation de la matière en eux repose en grande partie sur la mémorisation. Un exemple frappant en est la mémorisation de la table de multiplication. Au primaire, beaucoup de temps et d'efforts sont consacrés à sa mémorisation. Mais pendant les vacances d'été, les enfants l'oublient. La raison d'un tel oubli rapide est l'apprentissage par cœur. Recherche L.S. Vygotsky a montré que la mémorisation significative est beaucoup plus efficace que la mécanique, et des expériences ultérieures prouvent de manière convaincante que le matériau n'entre dans la mémoire à long terme que s'il est mémorisé à la suite d'un travail correspondant à ce matériau.

Une façon d'assimiler efficacement la table de multiplication a été trouvée dans les années 50. Il consiste à organiser un certain système d'exercices, en réalisant lesquels, les enfants construisent eux-mêmes la table de multiplication. Cependant, cette méthode n'est mise en œuvre dans aucun des manuels examinés.

Un autre point négatif affectant la poursuite de l'enseignement est que, dans de nombreux cas, la présentation du matériel dans les manuels de mathématiques de l'école élémentaire est structurée de telle manière qu'à l'avenir, les enfants devront être réenseignés, ce qui, comme vous le savez, est beaucoup plus difficile que d'enseigner. En ce qui concerne l'étude du matériel algébrique, un exemple est la résolution d'équations à l'école primaire. Dans tous les manuels, la solution des équations est basée sur les règles de recherche des composantes inconnues des actions.

Cela se fait un peu différemment seulement dans le manuel de L.G. Peterson, où, par exemple, la solution des équations de multiplication et de division est basée sur la corrélation des composants de l'équation avec les côtés et l'aire du rectangle et, par conséquent, se résume également à des règles, mais celles-ci sont les règles pour trouver le côté ou l'aire du rectangle. Pendant ce temps, à partir de la 6e année, les enfants apprennent un principe complètement différent pour résoudre des équations, basé sur l'application de transformations identiques. Ce besoin de réapprentissage conduit au fait que la résolution d'équations est un moment assez difficile pour la plupart des enfants.

En analysant les manuels, nous avons également rencontré le fait que lors de la présentation du matériel qu'ils contiennent, il y a souvent une distorsion des concepts. Par exemple, la formulation de nombreuses définitions est donnée comme des implications, alors que la logique mathématique sait que toute définition est une équivalence. A titre d'illustration, on peut citer la définition de la multiplication tirée du manuel de I.I. Arginskaya: "Si tous les termes de la somme sont égaux les uns aux autres, alors l'addition peut être remplacée par une autre action - la multiplication" . (Tous les termes de la somme sont égaux les uns aux autres. Par conséquent, l'addition peut être remplacée par la multiplication.) Comme vous pouvez le voir, il s'agit d'une implication dans sa forme la plus pure. Une telle formulation est non seulement analphabète du point de vue des mathématiques, non seulement forme incorrectement chez les enfants une idée de ce qu'est une définition, mais elle est également très nocive dans la mesure où à l'avenir, par exemple, lors de la construction d'une multiplication tableau, les auteurs de manuels utilisent le remplacement du produit par la somme de termes identiques , ce que la formulation actuelle ne permet pas. Un tel travail incorrect avec des déclarations écrites sous la forme d'une implication forme un stéréotype incorrect chez les enfants, qui sera surmonté avec beaucoup de difficulté dans les cours de géométrie, lorsque les enfants ne sentiront pas la différence entre une déclaration directe et inverse, entre un signe de chiffre et sa propriété. L'erreur lorsque le théorème inverse est utilisé pour résoudre des problèmes, alors que seul le théorème direct est prouvé, est très courante.

Un autre exemple de la formation incorrecte des concepts est le travail avec la relation d'égalité littérale. Par exemple, les règles de multiplication d'un nombre par un et d'un nombre par zéro dans tous les manuels sont données sous forme littérale: ax 1 \u003d a et x 0 \u003d 0. La relation d'égalité, comme vous le savez, est symétrique et par conséquent, une telle notation prévoit non seulement que lorsqu'elle est multipliée par 1, le même nombre est obtenu, mais également que n'importe quel nombre peut être représenté comme le produit de ce nombre par un. Cependant, la formulation verbale proposée dans les manuels après la notation alphabétique ne parle que de la première possibilité.

Les exercices sur ce thème visent également uniquement à déterminer le remplacement du produit d'un nombre et un par ce nombre. Tout cela conduit non seulement au fait qu'un point très important ne devient pas le sujet de la conscience des enfants: n'importe quel nombre peut être écrit comme un produit, ce qui en algèbre, lorsque l'on travaille avec des polynômes, causera des difficultés appropriées, mais aussi au fait que les enfants, en principe, ne savent pas travailler correctement avec l'égalité. Par exemple, lorsqu'ils travaillent avec la formule de la différence des carrés, les enfants, en règle générale, font face à la tâche de décomposer la différence des carrés en facteurs. Cependant, les tâches où une action inverse est requise dans de nombreux cas causent des difficultés. Une autre illustration frappante de cette idée est le travail avec la loi distributive de la multiplication par rapport à l'addition. Ici aussi, malgré la notation littérale de la loi, sa formulation verbale et le système d'exercices n'élaborent que la capacité d'ouvrir les parenthèses. En conséquence, retirer le facteur commun des parenthèses à l'avenir entraînera des difficultés importantes.

Assez souvent à l'école élémentaire, même lorsqu'une définition ou une règle est formulée correctement, l'enseignement incite à s'appuyer non pas sur elles, mais sur quelque chose de complètement différent. Par exemple, lors de l'étude de la table de multiplication par 2, tous les manuels passés en revue montrent comment la construire. Dans le manuel M.I. Moro l'a fait comme ceci:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Avec cette méthode de travail, les enfants remarqueront très rapidement le schéma de la série de nombres résultante.

Déjà après 3-4 égalités, ils cesseront d'ajouter deux et commenceront à écrire le résultat, en fonction du schéma observé. Ainsi, la méthode de construction de la table de multiplication ne deviendra pas le sujet de leur conscience, ce qui entraînera sa fragile assimilation.

Lors de l'étude du matériel à l'école élémentaire, on s'appuie sur des actions objectives et une clarté illustrative, ce qui conduit à la formation d'une pensée empirique. Bien sûr, il n'est guère possible de se passer d'une telle visibilité à l'école primaire. Mais il ne doit servir que d'illustration de tel ou tel fait, et non de base à la formation d'un concept.

L'utilisation d'une visualisation illustrative et d'actions objectives dans les manuels conduit souvent au fait que le concept lui-même est "flou". Par exemple, dans la méthodologie des mathématiques pour les grades 1-3 M.I. Moreau dit que les enfants doivent effectuer des divisions, empiler des objets ou faire un dessin pendant 30 leçons. Derrière de telles actions, l'essence de l'opération de division en tant qu'action, l'inverse de la multiplication, est perdue. En conséquence, la division est apprise avec la plus grande difficulté et bien pire que les autres opérations arithmétiques.

Lorsqu'on enseigne les mathématiques à l'école élémentaire, nulle part il ne s'agit de prouver des affirmations. En attendant, rappelant la difficulté d'enseigner la preuve au lycée, vous devez commencer à vous y préparer dès le primaire. De plus, cela peut être fait sur du matériel assez accessible aux élèves plus jeunes. Un tel matériel, par exemple, peut être les règles pour diviser un nombre par 1, zéro par un nombre et un nombre par lui-même. Les enfants sont tout à fait capables de les prouver en utilisant la définition de la division et les règles de multiplication correspondantes.

Le matériel de l'école primaire permet également la propédeutique de l'algèbre - travail avec les lettres et les expressions littérales. La plupart des manuels évitent d'utiliser des lettres. En conséquence, pendant quatre ans, les enfants travaillent presque exclusivement avec des chiffres, après quoi, bien sûr, il est très difficile de leur apprendre à travailler avec des lettres.

Cependant, il est possible d'assurer la propédeutique d'un tel travail, d'apprendre aux enfants à substituer un chiffre à la place d'une lettre dans une expression alphabétique, déjà à l'école primaire. Cela se fait, par exemple, dans le manuel de L.G. Peterson.

Parlant des lacunes de l'enseignement des mathématiques à l'école primaire, qui entravent l'apprentissage ultérieur, il faut souligner le fait que souvent le matériel des manuels est présenté sans regarder comment il fonctionnera à l'avenir. Un exemple très frappant en est l'organisation de l'assimilation de la multiplication par 10, 100, 1000, etc. Dans tous les manuels passés en revue, la présentation de ce matériel est structurée de telle manière qu'elle conduit inévitablement à la formation de la règle dans l'esprit des enfants : "Pour multiplier un nombre par 10, 100, 1000, etc., il faut lui ajouter autant de zéros à droite qu'il y en a dans 10, 100, 1000 etc." Cette règle fait partie de celles qui s'apprennent très bien à l'école élémentaire. Et cela conduit à un grand nombre d'erreurs lors de la multiplication de fractions décimales par des unités de bits entiers. Même après avoir mémorisé la nouvelle règle, les enfants ajoutent souvent automatiquement zéro à la fraction décimale de droite lors de la multiplication par 10.

De plus, il convient de noter que lors de la multiplication d'un nombre naturel et lors de la multiplication d'une fraction décimale par des unités de bits entières, en fait, la même chose se produit: chaque chiffre du nombre est décalé vers la droite du nombre de chiffres correspondant. Par conséquent, cela n'a aucun sens d'enseigner aux enfants deux règles distinctes et complètement formelles. Il est beaucoup plus utile de leur enseigner la méthode générale d'action pour résoudre de telles tâches.

2.2 Comparaison (opposition) de concepts en cours de mathématiques

Le programme actuel prévoit l'étude en première année de seulement deux actions de la première étape - l'addition et la soustraction. La limitation de la première année d'études à seulement deux actions est, en substance, une rupture avec ce qui avait déjà été réalisé dans les manuels qui ont précédé les manuels actuels : pas un seul enseignant ne s'est jamais plaint alors que la multiplication et la division, disons, dans les 20 , était au-delà du pouvoir des élèves de première année. . Il convient également de noter que dans les écoles d'autres pays, où l'enseignement commence à l'âge de 6 ans, la première année scolaire comprend la connaissance initiale des quatre opérations de l'arithmétique.

Les mathématiques reposent principalement sur quatre actions, et plus elles sont intégrées tôt dans la pratique de la pensée de l'élève, plus le développement ultérieur du cours de mathématiques sera stable et fiable.

En toute justice, il convient de noter que dans les premières versions des manuels de M.I.Moro pour la première année, la multiplication et la division étaient fournies. Cependant, le hasard a empêché la chose: les auteurs des nouveaux programmes se sont constamment attachés à une "nouveauté" - la couverture en première classe de tous les cas d'addition et de soustraction à moins de 100 (37 + 58 et 95 - 58, etc.). Mais, comme il n'y avait pas assez de temps pour étudier une telle quantité d'informations, il a été décidé de reporter complètement la multiplication et la division à l'année d'étude suivante.

Ainsi, la passion pour la linéarité du programme, c'est-à-dire l'expansion purement quantitative des connaissances (les mêmes actions, mais avec un grand nombre), a pris le temps qui était auparavant alloué à l'approfondissement qualitatif des connaissances (l'étude des quatre actions moins de deux douzaines). L'étude de la multiplication et de la division déjà en première année signifie un saut qualitatif dans la pensée, car elle vous permet de maîtriser les processus de pensée pliés.

Selon la tradition, l'étude de l'addition et de la soustraction dans les limites de 20 était un sujet particulier. La nécessité de cette approche dans la systématisation des connaissances est visible même à partir d'une analyse logique de la question : le fait est que le tableau complet d'addition des simples- nombres de chiffres se développe dans les deux dizaines (0 + 1 = 1, ..., 9 + 9 = 18). Ainsi, les nombres à moins de 20 forment dans leurs connexions internes un système complet de relations ; d'où l'opportunité de conserver "Vingt" sous la forme d'un second thème intégral (le premier de ces thèmes étant les actions à l'intérieur des dix premiers) est compréhensible.

Le cas en discussion est précisément celui où la concentricité (garder la deuxième dizaine comme thème spécial) est plus bénéfique que la linéarité ("dissoudre" la deuxième dizaine dans le thème "100").

Dans le manuel de M. I. Moro, l'étude des dix premiers est divisée en deux sections isolées: premièrement, la composition des nombres des dix premiers est étudiée, et le sujet suivant traite des actions dans les 10. Dans le manuel expérimental P.M. Erdniev, contrairement à cela, une étude conjointe de la numérotation, de la composition des nombres et des opérations (addition et soustraction) dans 10 à la fois dans une section a été réalisée. Avec cette approche, une étude monographique des nombres est utilisée, à savoir : à l'intérieur du nombre considéré (par exemple, 3), toutes les « mathématiques disponibles » sont immédiatement appréhendées : 1 + 2 = 3 ; 2 + 1 = 3 ; 3 - 1 = 2 ; 3 - 2 = 1 .

Si, selon les programmes actuels, 70 heures étaient allouées pour étudier les dix premiers, alors dans le cas d'une formation expérimentale, tout ce matériel était étudié en 50 heures (de plus, en plus du programme, certains concepts supplémentaires étaient considérés qui n'étaient pas dans le manuel stable, mais étaient structurellement liés à la matière principale).

Une attention particulière dans la méthodologie de l'enseignement élémentaire nécessite la question de la classification des tâches, les noms de leurs types. Des générations de méthodologistes ont travaillé pour rationaliser le système des problèmes scolaires, pour créer leurs types et variétés efficaces, jusqu'à la sélection de termes réussis pour les noms de problèmes destinés à l'étude à l'école. On sait qu'au moins la moitié du temps d'étude des cours de mathématiques est consacrée à leur solution. Les tâches scolaires, bien sûr, doivent être systématisées et classées. Quel type (type) de tâches étudier, quand étudier, quel type étudier en relation avec le passage d'une section particulière - c'est un objet d'étude légitime de la méthodologie et du contenu central des programmes. L'importance de cette circonstance ressort de l'histoire de la méthodologie des mathématiques.

Conclusion

À l'heure actuelle, des conditions assez favorables sont apparues pour une amélioration radicale de la formulation de l'enseignement mathématique à l'école élémentaire:

1) l'école primaire est passée d'une école de trois ans à une école de quatre ans ;

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2. Expression mathématique et sa signification.

3. Résoudre des problèmes en établissant une équation.

L'algèbre remplace les valeurs numériques des caractéristiques quantitatives d'ensembles ou de quantités par des symboles alphabétiques. En général, l'algèbre remplace également les signes d'actions spécifiques (addition, multiplication, etc.) par des symboles généralisés d'opérations algébriques et considère non pas les résultats spécifiques de ces opérations (réponses), mais leurs propriétés.

Méthodiquement, on pense que le rôle principal des éléments d'algèbre au cours des mathématiques à l'école primaire est de contribuer à la formation d'idées généralisées des enfants sur le concept de «quantité» et la signification des opérations arithmétiques.

Aujourd'hui, il existe deux tendances radicalement opposées dans la détermination de la quantité de contenu de matière algébrique dans le cours de mathématiques à l'école élémentaire. Une tendance est liée à l'algébrisation précoce du cours de mathématiques dans les classes élémentaires, avec sa saturation en matière algébrique dès la première année ; une autre tendance est liée à l'introduction de la matière algébrique dans le cours de mathématiques de l'école élémentaire à son stade terminal, à la fin de la 4e année. Les représentants de la première tendance peuvent être considérés comme les auteurs de manuels alternatifs du système L.V. Zankov (I.I. Arginskaya), systèmes de V.V. Davydov (E.N. Aleksandrova, G.G. Mikulina et autres), le système School 2100 (L.G. Peterson), le système School of the 21st Century (V.N. Rudnitskaya). Le représentant de la deuxième tendance peut être considéré comme l'auteur du manuel alternatif du système "Harmony" N.B. Istomin.

Le manuel de l'école traditionnelle peut être considéré comme un représentant des vues "moyennes" - il contient beaucoup de matériel algébrique, car il est axé sur l'utilisation du manuel de mathématiques de N.Ya. Vilenkin en 5e et 6e année du secondaire, mais initie les enfants aux concepts algébriques à partir de la 2e année, distribue le matériel pendant trois ans et, au cours des 20 dernières années, n'a pratiquement pas élargi la liste des concepts algébriques.

Le contenu minimum obligatoire de l'enseignement en mathématiques pour les années élémentaires (dernière révision en 2001) ne contient pas de matière algébrique. Ils ne mentionnent pas la capacité des diplômés du primaire à travailler avec des concepts algébriques et les exigences relatives au niveau de leur préparation à la fin de l'enseignement primaire.

1. L'expression mathématique et sa signification

Une séquence de lettres et de chiffres reliés par des signes d'action est appelée une expression mathématique.

Une expression mathématique doit être distinguée de l'égalité et de l'inégalité, qui utilisent des signes d'égalité et d'inégalité dans la notation.

Par exemple:

3 + 2 - expression mathématique;

7 - 5 ; 5 6 - 20 ; 64 : 8 + 2 - expressions mathématiques ;

un + b ; 7 - s; 23 - et 4 - expressions mathématiques.

Une entrée comme 3 + 4 = 7 n'est pas une expression mathématique, c'est une égalité.

Enregistrement de type 5< 6 или 3 + а >7 - ne sont pas des expressions mathématiques, ce sont des inégalités.

Expressions numériques

Les expressions mathématiques contenant uniquement des nombres et des signes d'action sont appelées expressions numériques.

En 1re année, le manuel en question n'utilise pas ces concepts. Avec une expression numérique sous forme explicite (avec un nom), les enfants se familiarisent en 2e année.

Les expressions numériques les plus simples ne contiennent que des signes d'addition et de soustraction, par exemple : 30 - 5 + 7 ; 45 + 3 ; 8 - 2 - 1, etc. Après avoir effectué les actions indiquées, nous obtiendrons la valeur de l'expression. Par exemple : 30 - 5 + 7 = 32, où 32 est la valeur de l'expression.

Certaines expressions que les enfants connaissent dans le cours de mathématiques de l'école primaire ont leur propre nom : 4 + 5 - la somme ;

6 - 5 - différence ;

7 6 - produit ; 63:7 - privé.

Ces expressions ont des noms pour chaque composante : les composantes de la somme sont des termes ; composants de différence - réduits et soustraits ; composants du produit - multiplicateurs ; les composantes de la division sont le dividende et le diviseur. Les noms des valeurs de ces expressions coïncident avec le nom de l'expression, par exemple : la valeur de la somme est appelée « somme » ; la valeur d'un private s'appelle "private", etc.

Le prochain type d'expressions numériques sont des expressions contenant les actions de la première étape (addition et soustraction) et des parenthèses. Les enfants y sont initiés en 1ère année. A ce type d'expression est associée la règle de l'ordre d'exécution des actions entre parenthèses : les actions entre parenthèses sont effectuées en premier.

Elle est suivie d'expressions numériques contenant les opérations de deux étapes sans parenthèses (addition, soustraction, multiplication et division). A ce type d'expression est associée la règle d'ordre des opérations dans les expressions contenant toutes les opérations arithmétiques sans parenthèses : les opérations de multiplication et de division sont effectuées avant l'addition et la soustraction.

Le dernier type d'expressions numériques sont des expressions contenant les actions de deux étapes entre parenthèses. A ce type d'expression est associée la règle de l'ordre des opérations dans les expressions contenant toutes les opérations arithmétiques et les parenthèses : les opérations entre parenthèses sont effectuées en premier, puis les opérations de multiplication et de division sont effectuées, puis les opérations d'addition et de soustraction.