Une technique pour étudier les expressions numériques. Matériel algébrique au cours des mathématiques à l'école élémentaire et méthodes pour l'étudier

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INTRODUCTION

CONCLUSION

BIBLIOGRAPHIE

introduction

À n'importe système moderne enseignement général les mathématiques sont l'une des emplacements centraux, ce qui indique sans aucun doute l'unicité de ce domaine de la connaissance.

Qu'est-ce que les mathématiques modernes ? Pourquoi est-ce nécessaire ? Ces questions et des questions similaires sont souvent posées aux enseignants par les enfants. Et à chaque fois la réponse sera différente selon le niveau de développement de l'enfant et ses besoins éducatifs.

On dit souvent que les mathématiques sont le langage de la science moderne. Cependant, cette déclaration semble avoir un défaut important. Le langage mathématique est si répandu et si souvent efficace précisément parce que les mathématiques ne lui sont pas réductibles.

Le mathématicien russe exceptionnel A.N. Kolmogorov a écrit : « Les mathématiques ne sont pas seulement l'une des langues. Les mathématiques sont une langue plus le raisonnement, c'est comme le langage et la logique ensemble. Les mathématiques sont un outil pour penser. Elles concentrent les résultats de la pensée exacte de nombreuses personnes. Avec l'aide des mathématiques, on peut relier un raisonnement à un autre. . Les complexités évidentes de la nature avec ses lois et règles étranges, dont chacune permet un explication détaillée sont en fait étroitement liés. Cependant, si vous ne voulez pas utiliser les mathématiques, alors dans cette grande variété de faits, vous ne verrez pas que la logique vous permet de passer de l'un à l'autre.

Ainsi, les mathématiques nous permettent de former certaines formes de pensée nécessaires à l'étude du monde qui nous entoure.

Quelle est l'influence des mathématiques en général et des mathématiques scolaires en particulier sur l'éducation d'une personne créative ? Enseigner l'art de la résolution de problèmes dans les cours de mathématiques nous offre une opportunité extrêmement favorable pour développer un certain état d'esprit chez les élèves. Le besoin d'activités de recherche développe un intérêt pour les lois, apprend à voir la beauté et l'harmonie de la pensée humaine. Tout cela est, à notre avis, l'élément le plus important de la culture générale. Une influence importante est exercée par le cours de mathématiques sur la formation différentes formes pensée : logique, spatial-géométrique, algorithmique. Tout processus créatif commence par la formulation d'une hypothèse. Les mathématiques, avec une organisation appropriée de la formation, étant une bonne école pour construire et tester des hypothèses, nous apprennent à comparer diverses hypothèses, à trouver la meilleure option, définissez de nouvelles tâches, recherchez des moyens de les résoudre. Entre autres, elle développe également l'habitude du travail méthodique, sans lequel aucun processus créatif ne peut être imaginé. Maximisant les possibilités de la pensée humaine, les mathématiques sont sa plus haute réalisation. Il aide une personne dans la conscience de soi et la formation de son caractère. Ce n'est qu'une partie d'une longue liste de raisons pour lesquelles les connaissances mathématiques devraient devenir partie intégrante de la culture générale et élément requis dans l'éducation et l'éducation de l'enfant. Le cours de mathématiques (sans géométrie) de notre école de 10 ans est en fait divisé en trois parties principales : l'arithmétique (grades I-V), l'algèbre (grades VI-VIII) et les éléments d'analyse (grades IX-X). Quelle est la base d'une telle division? Bien entendu, chacune de ces pièces a sa propre "technologie" spéciale.

Ainsi, en arithmétique, il est associé, par exemple, à des calculs effectués sur des nombres multivalués, en algèbre - à transformations identiques, logarithme, en analyse - à différentiation, etc. Mais quels sont les fondements plus profonds associés au contenu conceptuel de chaque partie ? La question suivante concerne les motifs de distinction entre l'arithmétique scolaire et l'algèbre (c'est-à-dire la première et la deuxième partie du cours). L'arithmétique comprend l'étude des nombres naturels (entiers positifs) et des fractions (premiers et décimaux). Cependant, une analyse spéciale montre que la combinaison de ces types de nombres dans une matière scolaire est illégale.

Le fait est que ces nombres ont des fonctions différentes : les premiers sont associés au comptage d'objets, les seconds à la mesure de quantités. Cette circonstance est très importante pour comprendre le fait que les nombres fractionnaires (rationnels) ne sont qu'un cas particulier des nombres réels.

Du point de vue de la mesure des quantités, comme le note A.N. Kolmogorov, « il n'y a pas de différence aussi profonde entre les nombres réels rationnels et irrationnels. Pour des raisons pédagogiques, ils s'attardent longtemps sur les nombres rationnels, car ils sont faciles à écrire sous forme de fractions ; eux dès le début devraient immédiatement conduire à des nombres réels. des nombres dans toute leur communauté. "

UN. Kolmogorov jugea justifiée à la fois du point de vue de l'histoire du développement des mathématiques, et au fond, la proposition d'A. Lebesgue d'aller dans l'enseignement des nombres naturels immédiatement à l'origine et à la nature logique des nombres réels. En même temps, comme le note A.N. Kolmogorov, "l'approche de la construction des nombres rationnels et réels du point de vue de la mesure des quantités n'est pas du tout moins scientifique que, par exemple, l'introduction des nombres rationnels sous forme de" paires". avantage incontestable" (.

Ainsi, il existe une possibilité réelle à partir des nombres naturels (entiers) de former immédiatement « la notion de nombre la plus générale » (selon la terminologie d'A. Lebesgue), la notion de nombre réel. Mais du point de vue de la construction du programme, cela ne signifie rien de plus que l'élimination de l'arithmétique des fractions dans son interprétation scolaire. Le passage des nombres entiers aux nombres réels est un passage de l'arithmétique à "l'algèbre", à la création d'une base d'analyse. Ces idées, exprimées il y a plus de 20 ans, sont toujours d'actualité.

1. Aspects théoriques généraux de l'étude matériel algébriqueà l'école primaire

comparaison de l'école algébrique mathématiques

1.1 Expérience d'introduction d'éléments d'algèbre à l'école primaire

Comme vous le savez, le contenu du sujet dépend de nombreux facteurs - des exigences de la vie pour la connaissance des étudiants, du niveau des sciences pertinentes, des capacités mentales et physiques des enfants, etc. La bonne prise en compte de ces facteurs est une condition essentielle pour la plupart des enseignement efficaceécoliers, en développant leurs capacités cognitives. Mais parfois, cette condition n'est pas observée pour une raison ou une autre. Dans ce cas, l'enseignement ne donne pas l'effet souhaité tant par rapport à l'assimilation de l'éventail des connaissances nécessaires par les enfants, qu'au niveau du développement de leur intellect.

Il semble qu'à l'heure actuelle les programmes d'enseignement de certaines matières académiques, en particulier les mathématiques, ne répondent pas aux nouvelles exigences de la vie, au niveau de développement sciences modernes(par exemple les mathématiques) et de nouvelles données la psychologie du développement et logique. Cette circonstance dicte la nécessité d'une vérification théorique et expérimentale complète des projets possibles pour le nouveau contenu des matières académiques.

Les bases des connaissances mathématiques sont posées à l'école primaire. Mais, malheureusement, tant les mathématiciens eux-mêmes que les méthodologistes et les psychologues accordent très peu d'attention au contenu des mathématiques élémentaires. Qu'il suffise de dire que le programme de mathématiques à l'école primaire (niveaux I - IV) dans ses caractéristiques de base a été formé il y a 50 - 60 ans et reflète naturellement le système de concepts mathématiques, méthodologiques et psychologiques de l'époque.

Envisager caractéristiques norme de l'état en mathématiques à l'école primaire. Son contenu principal est constitué d'entiers et d'actions sur eux, étudiés dans un certain ordre. D'abord, quatre actions sont étudiées dans la limite de 10 et 20, puis - les calculs oraux dans la limite de 100, les calculs oraux et écrits dans la limite de 1000, et enfin, dans la limite des millions et des milliards. En quatrième année, certaines relations entre les données et les résultats d'opérations arithmétiques, ainsi que les fractions les plus simples, sont étudiées. Parallèlement à cela, le programme implique l'étude des mesures métriques et des mesures du temps, la maîtrise de la capacité de les utiliser pour la mesure, la connaissance de certains éléments de la géométrie visuelle - dessiner un rectangle et un carré, mesurer des segments, des aires d'un rectangle et d'un carré, calcul des volumes.

Les connaissances et les compétences acquises doivent être appliquées par les étudiants à la résolution de problèmes et à l'exécution des calculs les plus simples. Tout au long du cours, la résolution de problèmes est réalisée parallèlement à l'étude des nombres et des actions - la moitié du temps correspondant est allouée à cela. La résolution de problèmes aide les élèves à comprendre le sens spécifique des actions, à comprendre les différents cas de leur application, à établir la relation entre les quantités et à acquérir des compétences de base en analyse et en synthèse.

De la classe I à la classe IV, les enfants résolvent les principaux types de problèmes suivants (simples et composés) : pour trouver la somme et le reste, le produit et le quotient, pour augmenter et diminuer ces nombres, pour la différence et la comparaison multiple, pour une règle triple simple, à la division proportionnelle, à la recherche de l'inconnue par deux différences, au calcul de la moyenne arithmétique et à d'autres types de problèmes.

AVEC différents types dépendances des quantités auxquelles les enfants sont confrontés lorsqu'ils résolvent des problèmes. Mais c'est très courant - les élèves commencent les tâches après et au fur et à mesure qu'ils étudient les nombres ; la principale chose qui est requise lors de la résolution est de trouver une réponse numérique. Les enfants avec de grandes difficultés révèlent les propriétés des relations quantitatives dans des situations spécifiques et particulières, qui sont généralement considérées comme des problèmes arithmétiques. La pratique montre que la manipulation des nombres remplace souvent l'analyse proprement dite des conditions du problème du point de vue des dépendances des quantités réelles. De plus, les problèmes introduits dans les manuels ne représentent pas un système dans lequel des situations plus « complexes » seraient associées à des couches plus profondes de relations quantitatives. Des problèmes de même difficulté se retrouvent aussi bien au début qu'à la fin du manuel. Ils varient de section en section et de classe en classe selon la complexité de l'intrigue (le nombre d'actions augmente), selon le rang des nombres (de dix à milliards), selon la complexité des dépendances physiques (des problèmes de distribution aux problèmes de mouvement) et d'autres paramètres. Un seul paramètre - l'approfondissement dans le système des lois mathématiques proprement dit - s'y manifeste faiblement, indistinctement. Par conséquent, il est très difficile d'établir un critère pour la difficulté mathématique d'un problème particulier. Pourquoi les problèmes de trouver l'inconnue par deux différences et de trouver la moyenne arithmétique (classe III) sont-ils plus difficiles que les problèmes de différence et de comparaison multiple (classe II) ? La méthodologie ne donne pas de réponse convaincante et logique à cette question.

Ainsi, les étudiants primaire ils ne reçoivent pas de connaissances adéquates et complètes sur les dépendances des quantités et les propriétés générales des quantités soit lors de l'étude des éléments de la théorie des nombres, car dans le cours scolaire, ils sont principalement associés à la technique des calculs, ou lors de la résolution de problèmes, car ces derniers n'ont pas la forme appropriée et n'ont pas le système requis. Bien que les tentatives des méthodologistes pour améliorer les méthodes d'enseignement aboutissent à des succès partiels, elles ne changent pas l'état général des choses, car elles sont limitées à l'avance par le cadre du contenu accepté.

Il semble qu'une analyse critique du programme adopté en arithmétique devrait se fonder sur les dispositions suivantes :

Le concept de nombre n'est pas identique au concept de caractéristiques quantitatives des objets ;

Le nombre n'est pas la forme originelle des relations quantitatives.

Donnons la raison d'être de ces dispositions. Il est bien connu que les mathématiques modernes (en particulier l'algèbre) étudient de tels moments de relations quantitatives qui n'ont pas de coquille numérique. Il est également bien connu que certaines relations quantitatives sont tout à fait exprimables sans nombres et avant les nombres, par exemple, en segments, en volumes, etc. (relation "supérieure à", "inférieure", "égale"). La présentation des concepts mathématiques généraux initiaux dans les manuels modernes s'effectue dans un symbolisme qui n'implique pas l'expression obligatoire des objets en nombre. Ainsi, dans le livre d'E.G. L'"arithmétique théorique" de Gonin, les objets mathématiques de base depuis le tout début sont désignés par des lettres et des signes spéciaux.

Il est caractéristique que certains types de nombres et de dépendances numériques ne soient donnés qu'à titre d'exemples, d'illustrations des propriétés des ensembles, et non comme leur seule forme d'expression possible et existante. En outre, il convient de noter que de nombreuses illustrations de définitions mathématiques individuelles sont données sous forme graphique, à travers le rapport des segments, des aires. Toutes les propriétés de base des ensembles et des quantités peuvent être déduites et justifiées sans faire appel à des systèmes de nombres ; de plus, ces derniers reçoivent eux-mêmes une justification sur la base de concepts mathématiques généraux.

À leur tour, de nombreuses observations de psychologues et d'enseignants montrent que les représentations quantitatives surgissent chez les enfants bien avant qu'ils n'acquièrent des connaissances sur les nombres et sur la façon de les utiliser. Certes, il y a une tendance à classer ces concepts comme des "formations pré-mathématiques" (ce qui est assez naturel pour les méthodes traditionnelles qui identifient les caractéristiques quantitatives d'un objet avec un nombre), cependant, cela ne change pas significativement leur fonction dans le orientation de l'enfant dans les propriétés des choses. Et il arrive parfois que la profondeur de ces soi-disant "formations pré-mathématiques" soit plus essentielle pour le développement de la propre pensée mathématique de l'enfant que la connaissance des subtilités technologie informatique et la capacité de trouver des dépendances purement numériques. Il est à noter qu'Acad. UN. Kolmogorov, caractérisant les traits de la créativité mathématique, note spécialement la circonstance suivante : « Au cœur de la plupart des découvertes mathématiques se trouve une idée simple : une construction géométrique visuelle, une nouvelle inégalité élémentaire, etc. idée simpleà la solution d'un problème qui semble inaccessible à première vue."

Actuellement, le plus approprié des idées différentes concernant la structure et les méthodes de construction nouveau programme... Il est nécessaire d'associer mathématiciens, psychologues, logiciens, méthodologistes au travail de sa construction. Mais dans toutes ses versions spécifiques, il semble devoir répondre aux exigences de base suivantes :

Combler le fossé existant entre le contenu des mathématiques à l'école primaire et secondaire;

Donner un système de connaissances sur les lois fondamentales des relations quantitatives du monde objectif ; en même temps, les propriétés des nombres, en tant que forme spéciale d'expression de la quantité, devraient devenir une section spéciale, mais pas principale du programme ;

Inculquer aux enfants les techniques de la pensée mathématique, et pas seulement les compétences de calcul : cela implique la construction d'un tel système de problèmes, qui repose sur l'approfondissement dans la sphère des dépendances des quantités réelles (le lien des mathématiques avec la physique, chimie, biologie et autres sciences qui étudient des quantités spécifiques);

Simplifier de manière décisive l'ensemble de la technique de calcul, en minimisant le travail qui ne peut être effectué sans tableaux appropriés, ouvrages de référence et autres moyens auxiliaires (en particulier électroniques).

Le sens de ces exigences est clair : à l'école primaire, il est tout à fait possible d'enseigner les mathématiques en tant que science des lois des relations quantitatives, des dépendances des quantités ; les techniques informatiques et les éléments de la théorie des nombres devraient devenir une section spéciale et privée du programme.

L'expérience de conception d'un nouveau programme en mathématiques et sa vérification expérimentale, menée depuis la fin des années 1960, permettent déjà d'évoquer la possibilité d'introduire un cours systématique de mathématiques à l'école, dès la première année, donnant des connaissances sur relations quantitatives et dépendances des quantités sous forme algébrique ...

1.2 Le problème de l'origine des concepts algébriques et sa signification pour la construction de la matière académique

Séparation cours d'école mathématiques en algèbre et en arithmétique, bien sûr, de manière conventionnelle. Le passage de l'un à l'autre se fait progressivement. Dans la pratique scolaire, la signification de cette transition est masquée par le fait que l'étude des fractions se déroule en réalité sans s'appuyer largement sur la mesure des quantités - les fractions sont données sous forme de rapports de paires de nombres (bien que formellement l'importance de mesurer des quantités soit reconnue dans les manuels méthodologiques). Présentation étendue nombres fractionnaires basée sur la mesure de quantités conduit inévitablement à la notion de nombre réel. Mais ce dernier n'arrive généralement pas, car les étudiants sont maintenus au travail pendant longtemps avec des nombres rationnels, et retardent ainsi leur transition vers "l'algèbre".

En d'autres termes, l'algèbre scolaire commence exactement lorsque les conditions sont créées pour le passage des nombres entiers aux nombres réels, à l'expression du résultat de la mesure par une fraction (simple et décimale - finie, puis infinie). De plus, la première peut être la familiarité avec l'opération de mesure, l'obtention de la fractions décimales et l'étude des actions sur eux. Si les élèves possèdent déjà cette forme d'enregistrement du résultat de la mesure, cela sert alors de condition préalable pour « abandonner » l'idée qu'un nombre peut être exprimé sous la forme d'une fraction infinie. Et il est conseillé de créer ce prérequis déjà dans école primaire.

Si le concept d'un nombre fractionnaire (rationnel) est retiré de la compétence de l'arithmétique scolaire, alors la frontière entre celui-ci et "l'algèbre" suivra la ligne de distinction entre les nombres entiers et réels. C'est elle qui « découpe » le cours de mathématiques en deux parties. Il ne s'agit pas d'une simple distinction, mais d'un « dualisme » fondamental des sources – compter et mesurer.

Suivant les idées de Lebesgue concernant " concept général nombres », il est possible d'assurer une unité complète de l'enseignement des mathématiques, mais seulement à partir du moment et après que les enfants se soient familiarisés avec le comptage et un nombre entier (naturel). dans le programme d'études), mais tout cela n'enlève pas les différences dans les bases de l'arithmétique et de l'"algèbre" en tant que matières académiques. Le "dualisme" des points de départ empêche également les sections liées à la mesure des quantités et le passage à de véritables fractions " a pris racine." puis "algèbre" (nombre réel).

Ce schéma semble tout à fait naturel et inébranlable, de plus, il se justifie par de nombreuses années de pratique dans l'enseignement des mathématiques. Mais il y a des circonstances qui, d'un point de vue logique et psychologique, nécessitent une analyse plus approfondie de la légitimité de ce schéma pédagogique rigide.

Le fait est qu'avec toutes les différences entre ces types de nombres, ils se rapportent spécifiquement aux nombres, c'est-à-dire à une forme particulière d'affichage des relations quantitatives. L'appartenance des nombres entiers et réels aux « nombres » sert de base à l'hypothèse de la dérivation génétique et aux différences mêmes de comptage et de mesure : ils ont une source spéciale et unique, correspondant à la forme même du nombre.

La connaissance des caractéristiques de cette base unifiée de comptage et de mesure permettra de mieux représenter les conditions de leur origine, d'une part, et la relation, d'autre part.

Alors vers quoi se tourner pour trouver la racine commune de l'arbre ramifié des nombres ? Il semble qu'il faille d'abord analyser le contenu de la notion de grandeur. Certes, un autre terme est immédiatement associé à ce terme - la mesure. Cependant, la légitimité d'une telle combinaison n'exclut pas une certaine indépendance du sens de « grandeur ». La prise en compte de cet aspect nous permet de tirer des conclusions qui associent, d'une part, la mesure avec le comptage, d'autre part, l'opération des nombres avec quelques relations et régularités mathématiques générales.

Alors, qu'est-ce que la « valeur » et quel intérêt pour la construction des sections élémentaires des mathématiques scolaires ? Dans l'usage général, le terme « grandeur » est associé aux concepts « égal », « supérieur », « inférieur », qui décrivent une grande variété de qualités (longueur et densité, température et blancheur). V.F. Kagan soulève la question des propriétés communes de ces concepts. Il montre qu'ils se réfèrent à des agrégats - ensembles d'objets homogènes, dont la comparaison d'éléments permet d'appliquer les termes "plus", "égal", "moins" (par exemple, aux agrégats de tous les segments de droite, poids , vitesses, etc.).

Un ensemble d'objets n'est transformé en valeur que lorsque sont établis des critères permettant d'établir, par rapport à n'importe lequel de ses éléments A et B, si A est égal à B, supérieur à B ou inférieur à B. Dans ce cas, pour deux éléments A et B quelconques, un et un seul des rapports : A = B, A> B, A<В. Эти предложения составляют полную дизъюнкцию (по крайней мере, одно имеет место, но каждое исключает все остальные).

V.F. Kagan identifie les huit propriétés de base suivantes des concepts « égal », « plus », « moins » :.

1) Au moins une des relations est vérifiée : A = B, A> B, A<В.

2) Si la relation A = B est vraie, alors la relation A<В.

3) Si la relation A = B est vraie, alors la relation A> B n'est pas vraie.

4) Si A = B et B = C, alors A = C.

5) Si A> B et B> C, alors A> C.

6) Si A<В и В<С, то А<С.

7) L'égalité est une relation réversible : la relation B = A découle toujours de la relation A = B.

8) L'égalité est une relation réciproque : quel que soit l'élément A de l'ensemble considéré, A = A.

Les trois premières phrases caractérisent la disjonction des relations de base "=", ">", "<". Предложения 4 - 6 - их транзитивность при любых

trois éléments A, B et C. Les phrases suivantes 7 à 8 ne caractérisent que l'égalité - sa réversibilité et sa récurrence (ou réflexivité). V.F. Kagan appelle ces huit propositions de base les postulats de comparaison, sur la base desquels un certain nombre d'autres propriétés de la quantité peuvent être dérivées.

Ces propriétés de sortie de V.F. Kagan décrit sous la forme de huit théorèmes :

I. Le rapport A> B exclut le rapport B> A (A<В исключает В<А).

II. Si A> B, alors B<А (если А<В, то В>UNE).

III. Si A> B tient, alors A

IV. Si A1 = A2, A2 = A3, .., An-1 = A1, alors A1 = An.

V. Si A1> A2, A2> A3, .., An-1> An, alors A1> An.

Vi. Si A1<А2, А2<А3,.., Аn-1<Аn, то А1<Аn.

VII. Si A = C et B = C, alors A = B.

VIII. Si égalité ou inégalité A = B, ou A> B, ou A<В, то оно не нарушится, когда мы один из его элементов заменим равным ему элементом (здесь имеет место соотношение типа: если А=В и А=С, то С=В; если А>B et A = C, puis C> B, etc.).

Postulats et théorèmes de comparaison, V.F. Kagan, "toutes ces propriétés des concepts" égales "", "plus" et "moins" qui leur sont associées en mathématiques et trouvent leur application quelles que soient les propriétés individuelles de l'ensemble, aux éléments desquels nous les appliquons dans divers cas particuliers , sont épuisés."

Les propriétés spécifiées dans les postulats et les théorèmes peuvent caractériser non seulement les caractéristiques directes des objets que nous avons l'habitude d'associer avec « égal », « plus grand », « moins », mais aussi avec de nombreuses autres caractéristiques (par exemple, elles peuvent caractériser le relation "ancêtre - descendant"). Cela nous permet d'avoir un point de vue général pour les décrire et d'envisager, par exemple, du point de vue de ces postulats et théorèmes, trois types quelconques de relations "alpha", "beta", "gamma" (en l'occurrence , il est possible d'établir si ces relations satisfont aux postulats et théorèmes et à quelles conditions).

De ce point de vue, on peut, par exemple, considérer une propriété des choses telle que la dureté (plus dur, plus doux, la même dureté), l'enchaînement des événements dans le temps (succession, préséance, simultanéité), etc. Dans tous ces cas, les ratios "alpha", "beta", "gamma" reçoivent leur interprétation spécifique. La tâche associée à la sélection d'un tel ensemble de corps qui auraient ces relations, ainsi que l'identification des caractéristiques par lesquelles on pourrait caractériser "alpha", "beta", "gamma" - c'est la tâche de déterminer la comparaison critères dans un ensemble donné d'organismes (en pratique, il n'est pas facile de le résoudre dans certains cas). "En établissant des critères de comparaison, on transforme l'ensemble en grandeur", écrit V.F. Kagan. Les objets réels peuvent être visualisés sous l'angle de divers critères. Ainsi, un groupe de personnes peut être considéré selon un critère tel que la séquence des moments de naissance de chacun de ses membres. Un autre critère est la position relative que prendront les têtes de ces personnes si elles sont placées côte à côte sur un même plan horizontal. Dans chaque cas, le groupe sera transformé en une valeur portant un nom approprié - âge, taille. En pratique, une quantité est généralement désignée, pour ainsi dire, non pas l'ensemble même des éléments, mais un nouveau concept introduit pour distinguer les critères de comparaison (le nom de la quantité). C'est ainsi qu'apparaissent les notions de « volume », « poids », « tension électrique », etc. "En même temps, pour un mathématicien, la valeur est bien définie lorsqu'un ensemble d'éléments et de critères de comparaison sont indiqués", note V.F. Kagan.

Comme l'exemple le plus important d'une quantité mathématique, cet auteur considère la série naturelle des nombres. Du point de vue d'un critère de comparaison tel que la position occupée par des nombres dans une rangée (occuper une place, suit..., précède), cette rangée satisfait aux postulats et représente donc une valeur. Selon les critères de comparaison appropriés, l'agrégat de fractions est également converti en une valeur. C'est, selon V.F. Kagan, le contenu de la théorie de la grandeur, qui joue un rôle important dans le fondement de toutes les mathématiques.

En travaillant avec des quantités (il est conseillé de fixer leurs valeurs individuelles en lettres), il est possible de produire un système complexe de transformations, établissant les dépendances de leurs propriétés, passant de l'égalité à l'inégalité, effectuant des additions (et des soustractions), et lors de l'ajout, vous pouvez être guidé par les propriétés commutatives et associatives. Ainsi, si le rapport A = B est donné, alors la "solution" des problèmes peut être guidée par le rapport B = A. Dans un autre cas, en présence des rapports A> B, B = C, on peut conclure que A> C. Puisque pour a> b il y a tel que a = b + c, alors vous pouvez trouver la différence entre a et b (a-b = c), etc.

Toutes ces transformations peuvent se faire sur corps physiques et d'autres objets, ayant établi les critères de comparaison et la correspondance des relations choisies avec les postulats de comparaison.

Les matériaux ci-dessus nous permettent de conclure que les nombres naturels et réels sont également fermement associés aux quantités et à certaines de leurs caractéristiques essentielles. Ces propriétés et d'autres ne peuvent-elles pas faire l'objet d'une étude spéciale d'un enfant avant même l'introduction de la forme numérique décrivant le rapport des quantités ? Ils peuvent servir de préalables à l'introduction détaillée ultérieure du numéro et de ses différents types, en particulier pour la propédeutique des fractions, les notions de coordonnées, fonctions et autres notions déjà dans les classes inférieures.

Quel pourrait être le contenu de cette première section ? Il s'agit de la connaissance des objets physiques, des critères de leur comparaison, de la mise en évidence d'une quantité comme objet de considération mathématique, de la connaissance des méthodes de comparaison et des moyens de signe pour fixer ses résultats, des méthodes d'analyse des propriétés générales des quantités. Ce contenu doit être développé dans un programme d'enseignement relativement détaillé et, surtout, il doit être lié aux actions de l'enfant à travers lesquelles il peut maîtriser ce contenu (bien sûr, sous la forme appropriée). Dans le même temps, il est nécessaire d'établir expérimentalement, empiriquement si les enfants de 7 ans peuvent apprendre ce programme et quelle est l'opportunité de son introduction pour l'enseignement ultérieur des mathématiques dans primaire dans le sens de la convergence de l'arithmétique et de l'algèbre initiale.

Jusqu'à présent, notre raisonnement était de nature théorique et visait à clarifier les prérequis mathématiques pour construire une telle section initiale du cours qui familiariserait les enfants avec les concepts algébriques de base (avant l'introduction spéciale d'un nombre). Les principales propriétés qui caractérisent les grandeurs ont été décrites ci-dessus. Naturellement, cela n'a aucun sens pour les enfants de 7 ans de lire des "conférences" sur ces propriétés.

Il fallait trouver une telle forme de travail pour les enfants matériel didactique, à travers lequel ils pourraient, d'une part, révéler ces propriétés dans les choses qui les entourent, d'autre part, ils apprendraient à les fixer avec certains symboles et effectueraient des analyse mathematique relations attribuées.

À cet égard, le programme doit contenir, premièrement, une indication des propriétés de l'objet qui sont soumises à la maîtrise, deuxièmement, une description des matériaux didactiques, et troisièmement, et c'est l'essentiel d'un point de vue psychologique, le caractéristiques de ces actions par lesquelles l'enfant sélectionne certaines propriétés du sujet et les maîtrise. Ces « composantes » forment le programme d'enseignement au sens propre du terme. Il est logique de décrire les caractéristiques spécifiques de ce programme hypothétique et de ses « composantes » lors de la description du processus d'apprentissage lui-même et de ses résultats.

Voici un schéma de ce programme et de ses thèmes clés.

Thème I. Nivellement et finition d'objets (en termes de longueur, volume, poids, composition des pièces et autres paramètres).

Tâches pratiques d'égalisation et d'acquisition. Attribution de signes (critères), selon lesquels les mêmes objets peuvent être égalisés ou complétés. Désignation verbale de ces caractéristiques ("en longueur", en poids ", etc.).

Ces tâches sont résolues dans le processus de travail avec du matériel didactique (lattes, poids, etc.) en :

Choisir le "même" sujet,

Reproduction (construction) du "même" sujet pour le paramètre sélectionné (spécifié).

Thème II. Comparaison d'objets et fixation de ses résultats par la formule égalité-inégalité.

1. Tâches de comparaison d'objets et désignation symbolique des résultats de cette action.

2. Fixation verbale des résultats de la comparaison (termes "plus", "moins", "égal"). Signes écrits ">", "<", "=".

3. Désignation du résultat de la comparaison avec un dessin ("copie", puis "résumé" - lignes).

4. Désignation des objets comparés par des lettres. Enregistrement du résultat de la comparaison avec les formules : A = B ; UNE<Б, А>B. Une lettre comme signe fixant la valeur particulière directement donnée de l'objet par le paramètre choisi (en poids, en volume, etc.).

5. Impossibilité de fixer le résultat de la comparaison par des formules différentes. Le choix d'une formule spécifique pour un résultat donné (disjonction complète des relations plus - moins - égales).

Thème III. Propriétés d'égalité et d'inégalité.

1. Réversibilité et réflexivité de l'égalité (si A = B, alors B = A ; A = A).

2. La relation de la relation "plus" et "moins" dans les inégalités avec des "permutations" des côtés comparés (si A> B, alors B<А и т.п.).

3. La transitivité comme propriété d'égalité et d'inégalité :

si A = B, si A> B, si A<Б,

un B = C, un B> C, un B<В,

alors A = B ; à A> B; à un<В.

4. La transition du travail avec le matériel didactique du sujet à l'évaluation des propriétés d'égalité-inégalité en présence de formules littérales uniquement. Résoudre divers problèmes qui nécessitent la connaissance de ces propriétés (par exemple, résoudre des problèmes liés à la connexion de relations du type : on sait que A> B, et B = C ; découvrir la relation entre A et C).

Thème IV. Opération d'addition (soustraction).

1. Observation des changements d'objets par l'un ou l'autre paramètre (en volume, en poids, en durée, etc.). L'image d'augmentation et de diminution avec les signes "+" et "-" (plus et moins).

2. Violation de l'égalité précédemment établie avec un changement correspondant de l'un ou l'autre de ses côtés. Le passage de l'égalité à l'inégalité. Écrire des formules comme :

si A = B, si A = B,

alors A + K> B ; puis A-K<Б.

3. Les voies de transition vers une nouvelle égalité (sa « restauration » selon le principe :

ajouter "égal" à "égal" donne "égal").

Travailler avec des formules telles que :

alors A + K> B, mais A + K = B + K.

4. Résoudre divers problèmes qui nécessitent l'utilisation de l'opération d'addition (soustraction) dans le passage de l'égalité à l'inégalité et vice versa.

Thème V. Transition de l'inégalité de type A<Б к равенству через операцию сложения (вычитания).

1. Tâches nécessitant une telle transition. La nécessité de déterminer la valeur de la quantité par laquelle les objets comparés diffèrent. Possibilité d'écrire l'égalité lorsque la valeur spécifique de cette quantité est inconnue. Méthode d'utilisation de x (x).

Écrire des formules comme :

si un<Б, если А>B,

alors A + x = B; alors A-x = B.

2. Détermination de la valeur de x. Substitution de cette valeur dans la formule (familiarité des parenthèses). Tapez des formules

3. Résolution de problèmes (y compris « plot-text »), nécessitant l'exécution de ces opérations.

Thème VI. Addition-soustraction d'égalités-inégalités. Substitution.

1. Addition-soustraction d'égalités-inégalités :

si A = B si A> B si A> B

et M = D, et K> E, et B = G, alors A + M = B + D; puis A + K > B + E ; puis A + -B> B + -G.

2. Capacité à représenter la valeur d'une quantité comme la somme de plusieurs valeurs. Type de remplacement :

3. Résoudre une variété de tâches qui nécessitent de prendre en compte les propriétés des relations avec lesquelles les enfants se sont familiarisés au cours du travail (de nombreuses tâches nécessitent la prise en compte simultanée de plusieurs propriétés, l'ingéniosité dans l'évaluation du sens des formules, la description des tâches et les solutions sont données ci-dessous).

C'est le programme conçu pour 3,5 à 4 mois. le premier semestre de l'année. Comme le montre l'expérience de l'enseignement expérimental, avec une bonne planification des cours, avec l'amélioration des méthodes d'enseignement et un choix judicieux des supports didactiques, tout le matériel décrit dans le programme peut être pleinement maîtrisé par les enfants dans un laps de temps plus court (en 3 mois). Comment notre programme est-il construit ensuite? Tout d'abord, les enfants se familiarisent avec la méthode d'obtention d'un nombre, qui exprime le rapport d'un objet dans son ensemble (la même quantité, représentée par un objet continu ou discret) à sa partie. Ce rapport lui-même et sa signification spécifique sont représentés par la formule A / K = n, où n est un entier quelconque, exprimant le plus souvent le rapport avec une précision de "un" entier exact). Dès le début, les enfants sont « obligés » de garder à l'esprit que lors de la mesure ou du comptage, il peut en résulter un reste dont la présence doit être spécialement stipulée. C'est la première étape pour continuer à travailler avec un nombre fractionnaire. Avec cette forme d'obtention du nombre, il est facile d'amener les enfants à la description de l'objet par une formule du type A = 5k (si le rapport était égal à "5"). Avec la première formule, elle ouvre des perspectives pour une étude particulière des dépendances entre l'objet, la base (mesure) et le résultat du comptage (mesure), qui sert aussi de propédeutique pour le passage aux nombres fractionnaires (en particulier , pour comprendre la propriété de base d'une fraction). Un autre axe de déroulement du programme, mis en œuvre dès le grade I, est le transfert aux nombres (entiers) des propriétés fondamentales de la quantité (disjonction égalité-inégalité, transitivité, réversibilité) et l'opération d'addition (commutativité, associativité, monotonie , possibilité de soustraction). En particulier, en travaillant sur un rayon numérique, les enfants peuvent rapidement convertir une séquence de nombres en une valeur (par exemple, évaluer clairement leur transitivité en effectuant des enregistrements comme 3<5<8, одновременно связывая отношения "меньше-больше": 5<8, но 5<3, и т.д.) .

La familiarité avec certaines des caractéristiques dites «structurelles» de l'égalité permet aux enfants d'aborder le lien entre l'addition et la soustraction d'une manière différente. Ainsi, lors du passage de l'inégalité à l'égalité, les transformations suivantes sont effectuées : 7<11; 7+х=11; x=11-7; х=4. В другом случае дети складывают и вычитают элементы равенств и неравенств, выполняя при этом работу, связанную с устными вычислениями. Например, дано 8+1=6+3 и 4>2 ; trouver le rapport entre les côtés gauche et droit de la formule à 8 + 1-4 ... 6 + 3-2; en cas d'inégalité, réduisez cette expression à l'égalité (vous devez d'abord mettre le signe "moins", puis ajouter le "deux" à gauche).

Ainsi, traiter une série de nombres comme une quantité permet de façonner les compétences d'addition-soustraction (puis multiplication-division) d'une nouvelle manière.

2.1 L'enseignement primaire en termes de besoins du secondaire

Comme vous le savez, lorsqu'on étudie les mathématiques en 5e année, une partie importante du temps est consacrée à répéter ce que les enfants auraient dû apprendre à l'école primaire. Cette répétition dans presque tous les manuels existants prend 1,5 trimestre scolaire. Cette situation n'était pas accidentelle. La raison en est l'insatisfaction des professeurs de mathématiques du secondaire vis-à-vis de la préparation des diplômés du primaire. Quelle est la raison de cette situation ? Pour cela, les cinq manuels de mathématiques de l'école primaire les plus connus ont été analysés. Ce sont les manuels de M.I. Moreau, I.I. Arginskaya, N.-B. Istomina, L.G. Peterson,,,.

L'analyse de ces manuels a révélé plusieurs aspects négatifs, plus ou moins présents dans chacun d'eux et affectant négativement la poursuite des apprentissages. Tout d'abord, c'est que l'assimilation du matériel qu'ils contiennent repose en grande partie sur la mémorisation. Un bon exemple de ceci est la mémorisation de la table de multiplication. À l'école primaire, beaucoup de temps et d'efforts sont consacrés à sa mémorisation. Mais pendant les vacances d'été, les enfants l'oublient. La raison de cet oubli rapide est la mémorisation par cœur. Les recherches de L.S. Vygotsky a montré que la mémorisation significative est beaucoup plus efficace que la mémorisation mécanique, et des expériences ultérieures prouvent de manière convaincante que le matériel ne tombe dans la mémoire à long terme que s'il est mémorisé à la suite d'un travail correspondant à ce matériel.

Un moyen de maîtriser efficacement la table de multiplication a été trouvé dans les années 50. Elle consiste à organiser un certain système d'exercices, en exécutant lesquels les enfants construisent eux-mêmes la table de multiplication. Cependant, dans aucun des manuels examinés, cette méthode n'est implémentée.

Un autre point négatif affectant l'enseignement supérieur est que, dans de nombreux cas, la présentation du matériel dans les manuels de mathématiques de l'école primaire est structurée de telle manière qu'à l'avenir les enfants devront être recyclés, et cela, comme vous le savez, est beaucoup plus difficile que d'enseigner . En ce qui concerne l'étude du matériel algébrique, un exemple est la résolution d'équations à l'école primaire. Dans tous les manuels, la résolution des équations est basée sur les règles permettant de trouver les composants inconnus des actions.

Cela se fait un peu différemment seulement dans le manuel de L.G. Peterson, où, par exemple, la solution des équations pour la multiplication et la division est basée sur la corrélation des composants de l'équation avec les côtés et l'aire d'un rectangle et se résume finalement à des règles, mais ce sont les règles de trouver le côté ou l'aire d'un rectangle. Pendant ce temps, à partir de la 6e année, les enfants apprennent un principe complètement différent de résolution d'équations, basé sur l'utilisation de transformations identiques. Ce besoin de recyclage conduit au fait que la résolution d'équations est un moment assez difficile pour la plupart des enfants.

En analysant les manuels scolaires, nous nous sommes également aperçus que lorsqu'on y présente du matériel, il y a souvent une distorsion des concepts. Par exemple, la formulation de nombreuses définitions est donnée sous forme d'implications, alors qu'il est connu de la logique mathématique que toute définition est un équivalent. A titre d'illustration, on peut citer la définition de la multiplication du manuel de I.I. Arginsky : "Si tous les termes de la somme sont égaux, alors l'addition peut être remplacée par une autre action - la multiplication." (Tous les termes de la somme sont égaux les uns aux autres. Par conséquent, l'addition peut être remplacée par la multiplication.) Comme vous pouvez le voir, il s'agit d'une implication dans sa forme pure. Une telle formulation est non seulement illettrée du point de vue des mathématiques, non seulement elle forme incorrectement chez les enfants une idée de ce qu'est une définition, mais elle est aussi très nuisible en ce que plus tard, par exemple, lors de la construction d'une multiplication tableau, les auteurs de manuels utilisent le remplacement du produit par la somme des mêmes termes, ce que la formulation présentée ne permet pas. Un tel travail incorrect avec des déclarations écrites sous forme d'implication forme un stéréotype incorrect chez les enfants, qui sera surmonté avec beaucoup de difficulté dans les cours de géométrie, lorsque les enfants ne sentiront pas la différence entre une déclaration directe et une déclaration inverse, entre une caractéristique d'une figure et sa propriété. L'erreur lorsque le théorème inverse est utilisé pour résoudre des problèmes, alors que seul le théorème direct est prouvé, est très courante.

Un autre exemple d'idées fausses est de travailler avec la relation d'égalité littérale. Par exemple, les règles pour multiplier un nombre par un et un nombre par zéro dans tous les manuels sont données sous forme littérale : ax 1 = a et x 0 = 0. La relation d'égalité, comme vous le savez, est symétrique, et donc , une telle notation prévoit non seulement que, multiplié par 1, vous obtenez le même nombre, mais aussi le fait que tout nombre peut être représenté comme le produit de ce nombre et d'un. Cependant, la formulation verbale proposée dans les manuels après la notation des lettres ne parle que de la première possibilité.

Les exercices sur ce sujet visent également uniquement à s'entraîner à remplacer le produit d'un nombre par un par ce nombre. Tout cela conduit non seulement au fait que le sujet de la conscience des enfants ne devient pas un point très important : n'importe quel nombre peut être écrit sous la forme d'un produit - ce qui en algèbre en travaillant avec des polynômes entraînera des difficultés correspondantes, mais aussi à la fait que les enfants, en principe, ne savent pas comment le faire correctement fonctionnent avec une relation d'égalité. Par exemple, lorsqu'ils travaillent avec une formule pour la différence de carrés, les enfants doivent généralement prendre en compte la différence de carrés. Cependant, les tâches où l'action inverse est requise, dans de nombreux cas, causent des difficultés. Une autre illustration frappante de cette pensée est le travail avec la loi distributionnelle de la multiplication relative à l'addition. Ici aussi, malgré l'enregistrement littéral de la loi, tant sa formulation verbale que le système d'exercices n'élaborent que la capacité d'ouvrir des parenthèses. En conséquence, retirer le facteur commun des parenthèses posera à l'avenir des difficultés considérables.

Assez souvent à l'école primaire, même lorsqu'une définition ou une règle est formulée correctement, l'apprentissage incite à s'appuyer non sur elles, mais sur quelque chose de complètement différent. Par exemple, lors de l'étude de la table de multiplication par 2 dans tous les manuels révisés, une méthode pour sa construction est indiquée. Dans le manuel de M.I. Moreau a fait comme ça :

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Avec cette méthode de travail, les enfants remarqueront très rapidement le modèle de la série de nombres résultante.

Après 3-4 égalités, ils cesseront d'ajouter des deux et commenceront à écrire le résultat en fonction du modèle observé. Ainsi, la méthode de construction de la table de multiplication ne deviendra pas un objet de leur conscience, dont le résultat sera sa fragile assimilation.

Lors de l'étude du matériel à l'école primaire, on se fie aux actions liées à l'objet et à la clarté illustrative, ce qui conduit à la formation d'une pensée empirique. Bien sûr, on ne peut guère se passer d'une telle clarté à l'école primaire. Mais il ne doit servir que d'illustration de tel ou tel fait, et non de base à la formation d'un concept.

L'utilisation de la clarté illustrative et des actions de fond dans les manuels conduit souvent au fait que le concept lui-même est « flou ». Par exemple, dans la méthode des mathématiques pour les années 1 à 3, M.I. Moreau dit que les enfants doivent faire la division en plaçant des objets en tas ou en dessinant un dessin pendant 30 leçons. Pour de telles actions, l'essence de l'opération de division en tant qu'action opposée à la multiplication est perdue. En conséquence, la division est apprise avec la plus grande difficulté et bien pire que les autres opérations arithmétiques.

Dans l'enseignement des mathématiques à l'école primaire, nulle part il n'est question de prouver des affirmations. Pendant ce temps, en gardant à l'esprit à quel point il sera difficile d'enseigner la preuve au lycée, vous devez commencer à vous y préparer dès les classes élémentaires. De plus, cela peut se faire à l'aide de matériel assez accessible aux plus jeunes. Un tel matériel, par exemple, peut être les règles pour diviser un nombre par 1, zéro par un nombre et un nombre par lui-même. Les enfants sont tout à fait capables de les prouver en utilisant la définition de la division et les règles de multiplication correspondantes.

Le matériel de l'école élémentaire permet également la propédeutique de l'algèbre - travailler avec des lettres et des expressions de lettres. La plupart des manuels évitent d'utiliser des lettres. En conséquence, pendant quatre ans, les enfants ne travaillent pratiquement qu'avec des chiffres, après quoi, bien sûr, il est très difficile de leur apprendre à travailler avec des lettres.

Cependant, il est possible d'assurer la propédeutique d'un tel travail, apprendre aux enfants à substituer un chiffre au lieu d'une lettre dans une expression alphabétique déjà à l'école primaire. Ceci est fait, par exemple, dans le manuel de L.G. Peterson.

Parlant des lacunes de l'enseignement des mathématiques à l'école primaire, qui entravent la poursuite de l'enseignement, il est nécessaire de souligner le fait que souvent le matériel dans les manuels est présenté sans regarder comment il fonctionnera à l'avenir. Un exemple très frappant en est l'organisation de l'assimilation de la multiplication par 10, 100, 1000, etc. Dans tous les manuels examinés, la présentation de ce matériel est structurée de telle manière qu'elle conduit inévitablement à la formation d'une règle dans l'esprit des enfants : « Pour multiplier un nombre par 10, 100, 1000, etc., il faut de lui attribuer autant de zéros à droite qu'il y en a dans 10, 100, 1000, etc." Cette règle est très bien apprise à l'école primaire. Et cela conduit à un grand nombre d'erreurs lors de la multiplication de fractions décimales par des unités de bits entières. Même après avoir mémorisé la nouvelle règle, les enfants attribuent souvent automatiquement, lors de la multiplication par 10, zéro à la fraction décimale à droite.

De plus, il convient de noter que lors de la multiplication d'un nombre naturel et lors de la multiplication d'une fraction décimale par des unités de bits entières, en fait, la même chose se produit: chaque chiffre du nombre est décalé vers la droite du nombre de chiffres correspondant. Par conséquent, cela n'a aucun sens d'enseigner aux enfants deux règles distinctes et complètement formelles. Il est beaucoup plus utile de leur enseigner la manière générale de faire des choses comme celle-ci.

2.2 Comparaison (opposition) de concepts en cours de mathématiques

Le programme actuel prévoit l'étude en première année de seulement deux actions de la première étape - l'addition et la soustraction. La limitation de la première année d'études à seulement deux actions est, en substance, un départ de ce qui était déjà réalisé dans les manuels qui ont précédé les manuels actuels : pas un seul enseignant ne s'est jamais plaint alors que la multiplication et la division, disons, dans les 20 au-delà de la force des élèves de première année ... Il convient également de noter que dans les écoles d'autres pays, où l'éducation commence à l'âge de 6 ans, la première connaissance des quatre actions de l'arithmétique se réfère à la première année scolaire.

Les mathématiques reposent principalement sur quatre actions, et plus tôt elles sont incluses dans la pratique de la pensée d'un élève, plus le développement ultérieur du cours de mathématiques sera stable et fiable.

Par souci d'équité, il convient de noter que dans les premières versions des manuels de M.I. Moro pour la 1re année, la multiplication et la division étaient envisagées. Cependant, le cas a été entravé par le hasard: les auteurs des nouveaux programmes se sont obstinément attachés à une "nouveauté" - la couverture en première année de tous les cas d'addition et de soustraction dans les 100 (37 + 58 et 95-58, etc. ). Mais, comme il n'y avait pas assez de temps pour étudier une telle quantité d'informations, il a été décidé de déplacer complètement la multiplication et la division à l'année d'études suivante.

Ainsi, l'engouement pour la linéarité du programme, c'est-à-dire l'expansion purement quantitative des connaissances (les mêmes actions, mais en grand nombre), a pris le temps qui était auparavant dévolu à l'approfondissement qualitatif des connaissances (l'étude des quatre actions dans les deux douzaines). L'étude de la multiplication et de la division déjà en première année signifie un saut qualitatif dans la pensée, car elle vous permet de maîtriser des processus de pensée écourtés.

Selon la tradition, l'étude des actions d'addition et de soustraction dans les limites de 20. La nécessité de cette approche dans la systématisation des connaissances est visible même à partir de l'analyse logique de la question : le fait est qu'un tableau complet d'addition d'un seul les nombres de chiffres se déroulent en deux douzaines (0 + 1 = 1, ..., 9 + 9 = 18). Ainsi, les nombres à moins de 20 forment un système complet de relations dans leurs connexions internes ; d'où l'opportunité de conserver les « Vingt » sous la forme d'un second thème intégral (le premier de ces thèmes est celui des actions au sein des dix premiers).

Le cas en discussion est précisément celui où la concentricité (garder la seconde dix comme thème spécial) s'avère plus bénéfique que la linéarité (« dissoudre » la seconde dix dans le thème « Cent »).

Dans le manuel de M.I. Moro, l'étude des dix premiers est divisée en deux sections isolées: d'abord, la composition des nombres des dix premiers est étudiée, et dans le sujet suivant, les actions dans les 10 sont considérées. Dans le manuel expérimental P.M. Erdniev, contrairement à cela, une étude conjointe de la numérotation, de la composition des nombres et des actions (addition et soustraction) a été réalisée dans les 10 à la fois dans une section. Avec cette approche, une étude monographique des nombres est utilisée, à savoir : dans les limites du nombre considéré (par exemple, 3), toutes les « mathématiques disponibles » sont immédiatement appréhendées : 1 + 2 = 3 ; 2 + 1 = 3 ; 3 - 1 = 2 ; 3 - 2 = 1.

Si, selon les programmes actuels, 70 heures étaient allouées à l'étude des dix premières, alors dans le cas de la formation expérimentale, tout ce matériel était étudié en 50 heures (d'ailleurs, en plus du programme, quelques notions supplémentaires ont été envisagées absents dans un manuel stable, mais structurellement liés au matériau principal).

Une attention particulière dans la méthodologie de l'enseignement primaire nécessite la question de la classification des tâches, les noms de leurs types. Des générations de méthodologistes ont travaillé à rationaliser le système de problèmes scolaires, à créer leurs types et variétés efficaces, jusqu'à la sélection de termes réussis pour les noms de problèmes fournis pour l'étude à l'école. On sait qu'au moins la moitié du temps académique des cours de mathématiques est consacré à leur résolution. Les tâches scolaires, bien sûr, doivent être systématisées et classées. Quel type (type) de tâches étudier, quand étudier, quel type d'entre elles étudier en relation avec le passage d'une section particulière - c'est un objet d'étude légitime de la méthodologie et du contenu central des programmes. L'importance de cette circonstance est évidente à partir de l'histoire de la méthodologie des mathématiques.

Conclusion

À l'heure actuelle, des conditions tout à fait favorables se sont réunies pour une amélioration radicale de la formulation de l'enseignement des mathématiques dans les écoles primaires :

1) l'école primaire est passée d'une école de trois ans à une école de quatre ans ;

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La connaissance de l'utilisation d'une lettre comme symbole désignant n'importe quel nombre du domaine des nombres connus des enfants crée des conditions pour généraliser de nombreuses questions de théorie arithmétique envisagées dans le cours initial, est une bonne préparation pour familiariser les enfants à l'avenir avec le concepts d'une variable, d'une fonction. Une familiarisation plus précoce avec l'utilisation de la méthode algébrique de résolution de problèmes nous permet d'apporter de sérieuses améliorations à l'ensemble du système d'enseignement aux enfants de la résolution de divers problèmes de mots. Le travail sur toutes les questions énumérées de contenu algébrique, conformément à la manière dont il est énoncé dans les manuels, devrait être effectué systématiquement et systématiquement tout au long de toutes les années de l'enseignement primaire. L'étude des éléments de l'algèbre dans l'enseignement initial des mathématiques est étroitement liée à l'étude de l'arithmétique. Cela se traduit notamment par le fait que, par exemple, les équations et les inégalités sont résolues non pas à partir d'un appareil algébrique, mais à partir de l'utilisation des propriétés d'opérations arithmétiques, basées sur la relation entre les composantes et les résultats de ces actions. La formation de chacun des concepts algébriques considérés n'est pas amenée à une définition logique formelle. Tâches d'étude du sujet : 1. Former les élèves à la capacité de lire, d'écrire et de comparer des expressions numériques. 2. Familiariser les étudiants avec les règles d'exécution de l'ordre des actions dans les expressions numériques et développer la capacité de calculer les valeurs des expressions conformément à ces règles. 3. Pour former la capacité des élèves à lire, à écrire des expressions littérales et à calculer leurs valeurs pour des significations données de lettres. 4. Familiariser les étudiants avec les équations du premier degré, contenant les actions des premier et deuxième stades, pour former la capacité de les résoudre par la méthode de sélection, ainsi que sur la base de la connaissance de la relation entre les composants et le résultat d'opérations arithmétiques. Expressions mathématiques. Lors de la formation du concept d'expression mathématique chez les enfants, il faut tenir compte du fait qu'un signe d'action placé entre des nombres a deux significations : d'une part, il désigne une action qui doit être effectuée sur des nombres (par exemple, 6 + 4 - ajouter quatre à six); d'autre part, le signe d'action est utilisé pour indiquer une expression (6 + 4 est la somme des nombres 6 et 4). Le concept d'expression se forme chez les jeunes écoliers en lien étroit avec les concepts d'opérations arithmétiques et contribue à leur meilleure assimilation. Familiarité avec les expressions numériques : il y a deux étapes pour travailler avec des expressions. Sur le premier d'entre eux, le concept des expressions les plus simples (somme, différence, produit, quotient de deux nombres) est formé, et sur le second - sur les expressions complexes (la somme du produit et du nombre, la différence de deux quotients , etc.). Connaissance de la première expression - la somme de deux nombres se produit en 1re année lors de l'étude de l'addition et de la soustraction dans les 10. En effectuant des opérations sur des ensembles, les élèves apprennent tout d'abord la signification spécifique de l'addition et de la soustraction, par conséquent, dans les entrées du forme 5 + 1, 6-2 signes actions sont compris par eux comme une brève désignation des mots "ajouter", "soustraire". A peu près dans les mêmes termes, des travaux sont en cours sur les expressions suivantes : différence (grade 1), produit et quotient de deux nombres (grade 2). Les termes « expression mathématique » et « valeur d'une expression mathématique » sont introduits (sans définitions). Après avoir écrit plusieurs exemples en une seule action, l'enseignant informe que ces exemples sont autrement appelés expressions mathématiques. La règle utilisée lors de la lecture des expressions : 1) établir quelle action est effectuée en dernier ; 2) rappelez-vous comment les numéros sont appelés dans cette action ; 3) lire comment ces nombres sont exprimés. Des exercices de lecture et d'écriture d'expressions complexes contenant des composants d'action définis par des expressions simples aident les enfants à apprendre les règles d'ordre des actions et les préparent également à résoudre des équations. En proposant de tels exercices et en testant les connaissances et les compétences des élèves, l'enseignant doit s'efforcer uniquement de s'assurer qu'ils sont capables d'effectuer concrètement de telles tâches : écrire une expression, la lire, composer une expression selon le problème proposé, composer une tâche pour cette expression (ou "autrement" lire cette expression), compris ce que signifie écrire la somme (différence) en utilisant des nombres et des signes d'action et ce que signifie calculer la somme (différence), et plus tard, après avoir introduit les termes appropriés , ce que signifie composer une expression et ce que signifie trouver son sens. Apprentissage des règles de l'ordre des actions. Le but du travail à ce stade est, sur la base des compétences pratiques des étudiants, d'attirer leur attention sur l'ordre d'exécution des actions dans de telles expressions et de formuler une règle appropriée. Les élèves résolvent seuls les exemples choisis par l'enseignant et expliquent l'ordre dans lequel ils ont effectué les actions dans chaque exemple. Ensuite, ils se formulent ou lisent la conclusion du manuel. Le travail est effectué dans l'ordre suivant : 1. Nous considérons la règle sur l'ordre d'exécution des actions dans les expressions sans parenthèses, lorsque seules l'addition et la soustraction, ou seulement la multiplication et la division, sont effectuées sur des nombres. Conclusion : si dans une expression sans parenthèses seules les actions d'addition et de soustraction (ou seules les actions de multiplication et de division) sont indiquées, alors elles sont exécutées dans l'ordre dans lequel elles sont écrites (c'est-à-dire de gauche à droite). 2. De même, étudiez l'ordre des actions dans les expressions entre parenthèses de la forme : 85- (46-14), 60 : (30-20), 90 : (2 * 5). Les élèves connaissent également de telles expressions et peuvent les lire, les écrire et calculer leur signification. Après avoir expliqué l'ordre d'exécution des actions dans plusieurs de ces expressions, les enfants formulent la conclusion : dans les expressions avec parenthèses, la première action est effectuée sur les nombres écrits entre parenthèses. 3. Le plus difficile est la règle de l'ordre d'exécution des actions dans les expressions sans parenthèses, lorsqu'elles contiennent des actions de la première et de la deuxième étape. Conclusion : l'ordre des actions est adopté d'un commun accord : d'abord, multiplication, division, puis addition, soustraction de gauche à droite sont effectuées. 4. Exercices pour calculer la valeur des expressions, lorsque l'élève doit appliquer toutes les règles apprises. Connaissance des transformations identiques des expressions. La conversion à l'identique d'une expression est le remplacement d'une expression donnée par une autre dont la valeur est égale à la valeur de l'expression spécifiée. Les élèves effectuent de telles transformations d'expressions en s'appuyant sur les propriétés des opérations arithmétiques et les conséquences qui en découlent (comment additionner une somme à un nombre, comment soustraire un nombre d'une somme, comment multiplier un nombre par un produit, etc. ). Lors de l'étude de chaque propriété, les élèves sont convaincus que dans les expressions d'un certain type, les actions peuvent être effectuées de différentes manières, mais la valeur de l'expression ne change pas (la valeur de l'expression ne change pas lorsque l'ordre des actions est modifié uniquement si les propriétés de l'action sont appliquées) Familiarisation avec les expressions de lettres. Déjà en première année, il devient nécessaire d'introduire un symbole désignant un nombre inconnu. Dans la littérature pédagogique et méthodologique à cet effet, une grande variété de signes était proposée aux élèves : points de suspension, cellule vide encerclée, astérisques, point d'interrogation, etc. Mais puisque tous ces signes sont censés être utilisés dans un autre but, alors le généralement accepté à ces fins, le signe est une lettre. À l'avenir, la lettre en tant que symbole mathématique est utilisée dans l'enseignement initial des mathématiques également pour écrire des nombres généralisés, c'est-à-dire lorsque nous entendons non pas un entier non négatif, mais n'importe quel nombre. Un tel besoin survient lorsqu'il est nécessaire d'exprimer les propriétés des opérations arithmétiques. Les lettres sont nécessaires pour désigner des quantités et écrire des formules reflétant la relation entre les quantités, pour désigner des points, des segments, des sommets de formes géométriques. En première année, les élèves utilisent une lettre dans le but d'indiquer un nombre cible inconnu. Les élèves se familiarisent avec l'écriture et la lecture de certaines lettres latines, en les utilisant immédiatement pour écrire des exemples avec un nombre inconnu (les équations les plus simples). On montre aux élèves comment traduire une tâche exprimée verbalement dans le langage des symboles mathématiques : « À un nombre inconnu, ils ont ajouté 2 et obtenu 6. Trouvez un nombre inconnu. L'enseignant explique comment écrire ce problème : désigne un nombre inconnu par la lettre x, puis montre à l'aide du signe + que 2 a été ajouté au nombre inconnu et que l'on a obtenu le nombre égal à 6, qui peut s'écrire à l'aide du signe égal : x + 2 = 6. Maintenant, vous devez effectuer l'action de soustraction afin de trouver l'autre somme par la somme de deux termes et de l'un d'entre eux. Le travail principal utilisant la lettre comme symbole mathématique est effectué dans les classes suivantes. La combinaison habile de méthodes inductives et déductives joue un rôle important dans le système d'exercices dans l'introduction des expressions de lettres. Conformément à cela, les exercices impliquent le passage des expressions numériques aux expressions alphabétiques et, vice versa, des expressions alphabétiques aux expressions numériques. a + b (a plus b) est également une expression mathématique, seulement dans celle-ci les termes sont désignés par des lettres: chacune des lettres désigne des nombres. En attribuant différentes valeurs numériques aux lettres, vous pouvez obtenir autant d'expressions numériques que vous le souhaitez. De plus, en lien avec le travail sur les expressions, la notion de constante est révélée. A cet effet, on considère des expressions dans lesquelles une valeur constante est fixée à l'aide de nombres, par exemple : a ± 12, 8 ± s. Ici, comme à l'étape précédente, des exercices sont proposés pour le passage d'expressions numériques à des expressions écrites à l'aide de lettres et de chiffres, et vice versa. De même, vous pouvez obtenir des expressions mathématiques de la forme : 17 ± n, k ± 30, et plus tard - expressions de la forme : 7 * b, a : 8, 48 : d. Le travail sur le calcul des valeurs des expressions des lettres pour différentes significations des lettres, l'observation de l'évolution des résultats des calculs en fonction de l'évolution des composants des actions, jette les bases de la formation du concept de variable. Des exercices pour trouver les valeurs numériques des expressions pour des valeurs données de la lettre sont considérés. De plus, les lettres sont utilisées pour écrire sous une forme généralisée les propriétés des opérations arithmétiques précédemment étudiées sur des exemples numériques spécifiques. Les élèves, effectuant des exercices spéciaux, maîtrisent les compétences suivantes: 1. À l'aide de lettres, écrivez les propriétés des opérations arithmétiques, la relation entre les composants et les résultats des opérations arithmétiques. 2. Lire les propriétés des opérations arithmétiques, des dépendances, des relations écrites à l'aide de lettres. 3. Effectuer une transformation identique d'une expression basée sur la connaissance des propriétés des opérations arithmétiques. 4. Prouver la validité des égalités ou inégalités données en utilisant la substitution numérique. L'utilisation de symboles de lettres contribue à augmenter le niveau de généralisation des connaissances acquises par les élèves du primaire et les prépare à l'étude d'un cours systématique d'algèbre dans les prochaines années. Égalité, inégalité. Dans la pratique de l'enseignement au primaire, les expressions numériques sont considérées dès le début dans un lien inextricable avec les égalités et les inégalités numériques. En mathématiques, les égalités et les inégalités numériques sont divisées en vrai et faux. Dans les classes élémentaires, ces termes sont utilisés à la place des mots « fidèle » et « infidèle ». Les tâches de l'étude des égalités et des inégalités au primaire sont d'enseigner aux élèves comment opérer pratiquement avec les égalités et les inégalités : comparer des nombres, comparer des expressions arithmétiques, résoudre les inégalités les plus simples avec une inconnue, aller d'inégalité en égalité et d'égalité en inégalité. Les concepts d'égalité, d'inégalité se révèlent en interrelation. Lors de l'étude, le matériel arithmétique. Les égalités et les inégalités numériques sont apprises en comparant des nombres donnés ou des expressions arithmétiques. Par conséquent, les signes ">", "<», « = » соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах (не во всех программах). Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», «<», « = », учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел. Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами (подумай - поставь знак - объясни - проверь вычислением). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сначала выполняются вычисления, затем рассматриваются задания на основе рассуждений с опорой на обобщение. Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах. Уравнения. Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является вся работа с равенствами и неравенствами. Особое значение среди всех этих упражнений имеют задания, при выполнении которых надо от неравенства перейти к равенству и наоборот. Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как они познакомились с зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение как равенство, которое справедливо при определенном значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование - найти такое значение буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, достаточно задание, выраженное словесно, записать с помощью математических символов. В соответствии с программой в начальных классах рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х-3=10 + 5, х*(17-10)=70, х:2+10 = 30. Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т. е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Найти неизвестное число (корень) - значит решить уравнение. С целью формирования умений решать уравнения предлагают разнообразные упражнения: 1) Решите уравнения и выполните проверку. 2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно решенных уравнениях. 3) Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и проверьте решение. 3) Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением). 4) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неизвестное число равно 8. 5) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем является неизвестное в уравнении и вставьте пропущенный знак действия: х...2=12 х…2=12 х=12:2 х=12+2 7) Решите уравнения; сравните уравнения и их решения: х+8=40 х*3 = 24 х-8=40 х: 3 = 24 После того как учащиеся освоят решение простейших уравнений, уравнения усложняются в том отношении, что: 1) в правой части дается выражение: x+10=30-7; 2) один из компонентов задан выражением к + (18 - 15) = 24; 3) один из компонентов задан выражением, причем в него входит неизвестное (73 - b) + 31 = 85 Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Далее вводятся уравнения, содержащие действия первой и второй ступени. Для овладения приемом решения этих уравнений в начальных классах учащемуся необходимо в первую очередь научиться левую часть представить в виде двух компонентов, в результате действий с которыми была получена правая часть, и разобрать состав каждого компонента. При обучении решения уравнений важно вырабатывать навык проверки его корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение вместо буквы подставить ее значение, отдельно вычислить левую и правую части и сравнить полученные результаты. Отношение равенства этих результатов является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям уравнения. Решение задач с помощью уравнений. Чтобы понять роль решения задач с помощью уравнений, рассмотрим сначала, в чем суть этого способа. Пусть надо решить путем составления уравнения задачу: «На экскурсию поехало 28 мальчиков и несколько девочек. Все они разместились в двух автобусах, по 25 человек в каждом. Сколько девочек отправилось на экскурсию?» Обозначим число девочек, которые отправились на экскурсию, какой-либо буквой, например х. Для составления равенства можно выделить различные связи, в соответствии с которыми можно составить выражения и, приравняв их, получить уравнение: а) В условии задачи сказано, что все мальчики и девочки поехали в автобусах, значит, можно выразить, сколько мальчиков и девочек поехало на экскурсию (28+x) и сколько мальчиков и девочек разместилось в автобусах (25*2), а затем приравнять эти выражения; тогда получится уравнение 28+x=25*2; решив это уравнение, получим ответ на вопрос задачи. б) В условии задачи сказано, что в каждом автобусе разместилось по 25 человек, значит, можно выразить число экскурсантов в каждом автобусе через другие числа и приравнять полученное выражение к числу 25, тогда получится уравнение (28+х): 2 = 25. Можно, рассуждая аналогичным образом, составить и другие уравнения. Для решения задачи с помощью составления уравнений обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие выражения и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с помощью составления уравнений, что определяет его преимущества. Кроме того, как видно, решение задач способом составления уравнений способствует овладению понятием уравнения. Поэтому уже в начальных классах в определенной системе ведется обучение решению задач путем составления уравнений. В методике обучения решению задач с помощью составления уравнений предусматриваются следующие этапы: сначала ведется подготовительная работа к решению задач с помощью уравнений, затем вводится решение простых задач с помощью уравнений и, наконец, рассматриваются приемы составления уравнений при решении составных задач.

2. Expression mathématique et sa signification.

3. Résoudre des problèmes à partir de l'élaboration d'une équation.

L'algèbre remplace les valeurs numériques des caractéristiques quantitatives d'ensembles ou de quantités par des symboles de lettres. En général, l'algèbre remplace également les signes d'actions spécifiques (addition, multiplication, etc.) par des symboles généralisés d'opérations algébriques et considère non pas les résultats spécifiques de ces opérations (réponses), mais leurs propriétés.

D'un point de vue méthodologique, on pense que le rôle principal des éléments de l'algèbre au cours des années élémentaires est les mathématiques pour promouvoir la formation d'idées généralisées des enfants sur le concept de "quantité" et le sens des opérations arithmétiques.

Aujourd'hui, il existe deux tendances fondamentalement opposées dans la détermination du volume du contenu du matériel algébrique au cours des mathématiques à l'école élémentaire. Une tendance est associée à l'algébrisation précoce du cours de mathématiques à l'école primaire, avec sa saturation en matériel algébrique dès la première année ; une autre tendance est associée à l'introduction de matériel algébrique dans le cours de mathématiques pour l'école primaire à son stade final, à la fin de la 4e année. Les représentants de la première tendance peuvent être considérés comme les auteurs de manuels alternatifs du système L.V. Zankov (I.I. Arginskaya), systèmes de V.V. Davydov (E. N. Aleksandrova, G. G. Mikulina et autres), le système "School 2100" (L. G. Peterson), le système "School of the XXI Century" (V. N. Rudnitskaya). Le représentant de la deuxième tendance peut être considéré comme l'auteur du manuel alternatif du système "Harmonie", NB. Istomine.

Le manuel de l'école traditionnelle peut être considéré comme un représentant des vues "moyennes" - il contient beaucoup de matériel algébrique, car il est axé sur l'utilisation du manuel de mathématiques de N.Ya. Vilenkin dans les 5e et 6e années du secondaire, mais initie les enfants aux concepts algébriques à partir de la 2e année, distribue le matériel pendant trois ans, et au cours des 20 dernières années, n'a pratiquement pas élargi la liste des concepts algébriques.

Le contenu minimum obligatoire de l'enseignement des mathématiques pour les classes primaires (dernière révision 2001) ne contient pas de matériel algébrique. Ils ne mentionnent pas les compétences des diplômés du primaire à travailler avec des concepts algébriques et les exigences de leur niveau de formation à la fin de leurs études au primaire.

1. Expression mathématique et sa signification

Une séquence de lettres et de chiffres reliés par des signes d'action est appelée une expression mathématique.

Distinguer une expression mathématique de l'égalité et de l'inégalité, qui utilisent des signes d'égalité et d'inégalité dans la notation.

Par exemple:

3 + 2 - expression mathématique;

7 - 5 ; 5 6 - 20 ; 64 : 8 + 2 - expressions mathématiques ;

a + b; 7 - avec ; 23 - et 4 - expressions mathématiques.

Écrire comme 3 + 4 = 7 n'est pas une expression mathématique, c'est l'égalité.

Type d'enregistrement 5< 6 или 3 + а >7 ne sont pas des expressions mathématiques, ce sont des inégalités.

Expressions numériques

Les expressions mathématiques contenant uniquement des nombres et des signes d'action sont appelées expressions numériques.

En première année, le manuel en question n'utilise pas ces concepts. Les enfants se familiarisent avec une expression numérique sous une forme explicite (avec un nom) en 2e année.

Les expressions numériques les plus simples ne contiennent que des signes d'addition et de soustraction, par exemple : 30 - 5 + 7 ; 45 + 3 ; 8 - 2 - 1, etc. Après avoir terminé les actions indiquées, nous obtenons la valeur de l'expression. Par exemple : 30 - 5 + 7 = 32, où 32 est la valeur de l'expression.

Certaines expressions que les enfants connaissent au cours des mathématiques à l'école primaire ont leur propre nom : 4 + 5 - somme ;

6 - 5 - différence;

7 6 - travail; 63 : 7 - particulier.

Ces expressions ont des noms pour chaque composant : composants de la somme - termes ; les composantes de la différence - le réduit et le soustrait ; composantes du travail - facteurs; composants de fission - dividende et diviseur. Les noms des valeurs de ces expressions coïncident avec le nom de l'expression, par exemple : la valeur de la somme est appelée « somme » ; le sens du particulier est appelé « particulier », etc.

Le prochain type d'expressions numériques sont des expressions contenant des actions de première étape (addition et soustraction) et des parenthèses. Les enfants apprennent à les connaître en première année. A ce genre d'expression est associée la règle de l'ordre des actions dans les expressions entre parenthèses : les actions entre parenthèses sont exécutées en premier.

Ceci est suivi d'expressions numériques contenant des opérations en deux étapes sans parenthèses (addition, soustraction, multiplication et division). A ce genre d'expression est associée la règle de l'ordre dans lequel les actions sont exécutées dans les expressions contenant toutes les opérations arithmétiques sans parenthèses : les opérations de multiplication et de division sont exécutées avant l'addition et la soustraction.

Le dernier type d'expressions numériques sont des expressions contenant des actions en deux étapes avec des parenthèses. A ce genre d'expression est associée la règle de l'ordre dans lequel les actions sont exécutées dans les expressions contenant toutes les opérations arithmétiques et les crochets : les actions entre parenthèses sont exécutées en premier, puis la multiplication et la division sont exécutées, puis l'addition et la soustraction.

1.1. Questions générales sur les méthodes d'étude du matériel algébrique.

1.2. Une technique pour étudier les expressions numériques.

1.3. Étude des expressions des lettres.

1.4. Etude des égalités et inégalités numériques.

1.5. Méthodologie pour l'étude des équations.

1.6. Résoudre des problèmes arithmétiques simples en écrivant des équations.

1.1. Questions générales sur les méthodes d'étude du matériel algébrique

L'introduction de matériel algébrique dans le cours élémentaire de mathématiques permet de préparer les élèves à l'étude des concepts de base des mathématiques modernes (variable, équation, égalité, inégalité, etc.), contribue à la généralisation des connaissances arithmétiques, et à la formation de la pensée fonctionnelle chez les enfants.

Les élèves du primaire devraient recevoir des informations initiales sur les expressions mathématiques, les égalités et les inégalités numériques, apprendre à résoudre les équations fournies par le programme et les problèmes arithmétiques simples en écrivant une équation (la base théorique pour choisir une opération arithmétique dans laquelle la relation entre les composants et le résultat de l'opération arithmétique correspondante est 0.

L'étude du matériel algébrique est menée en étroite relation avec le matériel arithmétique.

1.2. Méthodes pour étudier les expressions numériques

En mathématiques, une expression est comprise comme une séquence de symboles mathématiques construits selon certaines règles, désignant des nombres et des actions sur eux.

Expressions de la forme : 6 ; 3 + 2 ; 8 : 4+ (7-3) - expressions numériques ; tapez : 8-a ; 30 : dans ; 5+ (3 + s) - expressions littérales (expressions avec une variable).

Tâches d'étude du sujet

2) Familiariser les élèves avec les règles de l'ordre d'exécution des opérations arithmétiques.

3) Enseigner à trouver les valeurs numériques des expressions.

4) Connaître des transformations identiques d'expressions basées sur les propriétés des opérations arithmétiques.

La solution des tâches est effectuée tout au long de toutes les années d'études dans les classes primaires, à partir des premiers jours de séjour de l'enfant à l'école.

La méthodologie de travail sur les expressions numériques prévoit trois étapes : à la première étape - la formation de concepts sur les expressions les plus simples (somme, différence, produit, quotient de deux nombres) ; au deuxième stade - sur les expressions contenant deux opérations arithmétiques ou plus de même niveau; à la troisième étape - sur les expressions contenant deux ou plusieurs opérations arithmétiques de degrés différents.

Les expressions les plus simples - la somme et la différence - sont présentées aux élèves de première année (selon le programme 1-4) avec le travail et le particulier - en deuxième année (avec le terme "travail" - en deuxième année) , avec le terme « particulier » - en troisième année).

Considérons une technique pour étudier les expressions numériques.

En effectuant des opérations sur des ensembles, les enfants apprennent tout d'abord le sens spécifique de l'addition et de la soustraction. Par conséquent, dans les enregistrements de la forme 3 + 2, 7-1, ils perçoivent les signes d'action comme une brève désignation des mots «ajouter», « soustraire » (ajouter 2 à 3). A l'avenir, les notions d'actions s'approfondissent : les élèves apprennent qu'en ajoutant (soustrayant) quelques unités, on augmente (diminue) le nombre du même nombre d'unités (lecture : augmenter 3 par 2), puis les enfants apprendront le nom des signes d'action "plus" (lecture : 3 plus 2), "moins".

Dans le sujet "Addition et soustraction dans 20", les enfants sont initiés aux concepts de "somme", "différence" en tant que noms d'expressions mathématiques et en tant que nom du résultat d'opérations arithmétiques d'addition et de soustraction.

Considérez un fragment de la leçon (2e classe).

Fixez 4 cercles rouges et 3 jaunes au tableau avec de l'eau :

OOOOO OOO

Combien y a-t-il de cercles rouges ? (Notez le chiffre 4.)

Combien y a-t-il de cercles jaunes ? (Notez le chiffre 3.)

Quelle action doit être effectuée sur les nombres enregistrés 3 et 4 afin de savoir combien de cercles rouges et combien de cercles jaunes sont ensemble ? (l'entrée apparaît : 4 + 3).

Dites-moi, sans compter combien de cercles il y a ?

Une telle expression en mathématiques, lorsqu'il y a un signe "+" entre les nombres, s'appelle la somme (disons ensemble : la somme) et se lit comme ceci : la somme de quatre et trois.

Et maintenant, nous allons découvrir à quoi la somme des nombres 4 et 3 est égale (nous donnons la réponse complète).

De même sur la différence.

Lors de l'étude de l'addition et de la soustraction à moins de 10, des expressions sont incluses, constituées de 3 nombres ou plus reliés par des signes identiques et différents d'opérations arithmétiques : 3 + 1 + 2, 4-1-1, 7-4 + 3, etc. En révélant le sens de telles expressions, l'enseignant montre la manière de les lire. En calculant les valeurs de ces expressions, les enfants maîtrisent pratiquement la règle concernant l'ordre des opérations arithmétiques dans les expressions sans parenthèses, bien qu'ils ne la formulent pas: 10-3 + 2 = 7 + 2 = 9. De tels enregistrements sont la première étape pour effectuer des transformations identiques.

La méthode de familiarisation avec les expressions entre parenthèses peut être différente (Décrire un fragment de leçon dans un cahier, préparer des exercices pratiques).

La capacité de composer et de trouver le sens d'une expression est utilisée par les enfants lors de la résolution de problèmes arithmétiques ; en même temps, une maîtrise plus poussée du concept d'"expression" a lieu ici, la signification spécifique des expressions dans les enregistrements de résolution de problèmes est assimilé.

Le type de travail proposé par le méthodologiste letton J. Ya est intéressant. Mencis.

Le texte est donné, par exemple, le suivant: "Le garçon avait 24 roubles, le gâteau coûte 6 roubles, les bonbons coûtent 2 roubles."

a) composez toutes sortes d'expressions pour ce texte et expliquez ce qu'elles montrent ;

b) explique ce que montrent les expressions :

2cl. 3cl.

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

Dans la classe 3, avec les expressions considérées précédemment, comprennent les expressions constituées de deux expressions simples (37 + 6) - (42 + 1), ainsi que constituées d'un nombre et d'un produit ou quotient de deux nombres. Par exemple : 75-50 : 25 + 2. Lorsque l'ordre d'exécution des actions ne coïncide pas avec l'ordre de leur enregistrement, utilisez des parenthèses : 16-6 : (8-5). Les enfants doivent apprendre à lire et écrire correctement ces expressions, trouver leur sens.

Les termes « expression », « sens de l'expression » sont introduits sans définition. Afin de faciliter la lecture et la recherche du sens des expressions complexes par les enfants, les méthodologistes recommandent d'utiliser un schéma élaboré collectivement et utilisé lors de la lecture d'expressions :

1) Déterminez quelle action est effectuée en dernier.

2) Je vais réfléchir à la façon dont les numéros sont appelés lors de l'exécution de cette action.

3) Je vais lire comment ces nombres sont exprimés.

Les règles de l'ordre d'exécution des actions dans des expressions complexes sont étudiées en 3e année, mais pratiquement certaines d'entre elles sont utilisées par les enfants des première et deuxième années.

La première est la règle sur l'ordre d'exécution des actions dans les expressions sans parenthèses, lorsque seules l'addition et la soustraction, ou la multiplication et la division (3 cl.) sont effectuées sur des nombres. Le but du travail à ce stade est, sur la base des compétences pratiques des étudiants acquises précédemment, de prêter attention à l'ordre d'exécution des actions dans de telles expressions et de formuler une règle.

Conduisant les enfants à la formulation de la règle, sa prise de conscience peut être différente. Le recours principal à l'expérience existante, l'indépendance maximale possible, la création d'une situation de recherche et de découverte, la preuve.

Vous pouvez utiliser la technique méthodologique de Sh.A. Amonashvili "l'erreur du professeur".

Par exemple. L'enseignant rapporte qu'en trouvant la valeur des expressions suivantes, il a obtenu des réponses dont il est sûr de l'exactitude (les réponses sont fermées).

36 : 2 6 = 6, etc.

Demande aux enfants de trouver eux-mêmes le sens des expressions, puis de comparer les réponses avec les réponses reçues par l'enseignant (à ce moment-là, les résultats des opérations arithmétiques sont révélés). Les enfants prouvent que l'enseignant a fait des erreurs et, sur la base de l'étude de faits particuliers, formulent une règle (voir manuel de mathématiques, 3e année).

De même, vous pouvez saisir le reste des règles pour l'ordre des actions : lorsque les expressions sans parenthèses contiennent les étapes 1 et 2, dans les expressions avec parenthèses. Il est important que les enfants se rendent compte que changer l'ordre d'exécution des opérations arithmétiques entraîne un changement dans le résultat, et donc les mathématiciens ont décidé de se mettre d'accord et de formuler des règles qui doivent être strictement observées.

Conversion d'expression - remplacement de l'expression donnée par une autre avec la même valeur numérique. Les élèves effectuent de telles transformations d'expressions en s'appuyant sur les propriétés des opérations arithmétiques et leurs conséquences (, pp. 249-250).

Lors de l'étude de chaque propriété, les élèves sont convaincus que dans les expressions d'un certain type, vous pouvez effectuer des actions de différentes manières, mais le sens de l'expression est ne change pas. À l'avenir, les élèves appliquent leurs connaissances sur les propriétés des actions pour transformer les expressions données en expressions identiques. Par exemple, les tâches suivantes sont proposées : continuer l'enregistrement pour que le signe "=" soit conservé :

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

En accomplissant la première tâche, les élèves raisonnent ainsi : à gauche de 76, soustrayez la somme des nombres 20 et 4 , à droite, 20 a été soustrait de 76 ; pour obtenir le même nombre à droite qu'à gauche, il faut soustraire à droite 4. D'autres expressions sont transformées de la même manière, c'est-à-dire qu'après avoir lu l'expression, l'élève se souvient de la règle correspondante. Et, en effectuant des actions conformément à la règle, obtient l'expression transformée. Pour s'assurer que la transformation est correcte, les enfants calculent les valeurs de l'expression donnée et de l'expression transformée et les comparent.

En appliquant la connaissance des propriétés des actions pour justifier les techniques de calcul, les élèves des niveaux I à IV effectuent des transformations d'expressions de la forme :

72 : 3 = (60 + 12) : 3 = 60 : 3 + 12 : 3 = 24 18 30 = 18 (3 10) = (18 3) 10 = 540

Il est également nécessaire ici que les élèves non seulement expliquent sur la base de laquelle chaque expression suivante est obtenue, mais comprennent également que toutes ces expressions sont reliées par le signe "=", car elles ont les mêmes significations. Pour ce faire, il faut parfois demander aux enfants de calculer les valeurs des expressions et de les comparer. Ceci avertit d'erreurs telles que : 75 - 30 = 70 - 30 = 40 + 5 = 45, 24 12 = (10 + 2) = 24 10 + 24 2 = 288.

Les élèves de la IIe à la IVe année effectuent la transformation d'expressions non seulement sur la base des propriétés de l'action, mais aussi sur la base de leur sens spécifique. Par exemple, la somme des mêmes termes est remplacée par le produit : (6+ 6 + 6 = 6 3, et vice versa : 9 4 = 9 + 9 + 9 + 9). Sur la base également de la signification de l'action de multiplication, des expressions plus complexes sont transformées : 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

Sur la base de calculs et d'analyses d'expressions spécialement sélectionnées, les élèves de quatrième année sont amenés à conclure que si les parenthèses dans les expressions avec des parenthèses n'affectent pas l'ordre des actions, elles peuvent être omises. À l'avenir, en utilisant les propriétés étudiées des actions et des règles pour l'ordre des actions, les élèves s'exercent à convertir des expressions avec parenthèses en expressions qui leur sont identiques sans parenthèses. Par exemple, il est proposé d'écrire ces expressions sans parenthèses afin que leurs valeurs ne changent pas :

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Ainsi, les enfants remplacent la première des expressions données par les expressions: 65 + 30-20, 65-20 + 30, expliquant l'ordre d'exécution des actions. De cette façon, les étudiants sont assurés que la signification d'une expression ne change pas lorsque l'ordre des actions est modifié uniquement si les propriétés de l'action sont appliquées.

Dans le "Contenu minimum obligatoire de l'enseignement primaire" dans le domaine éducatif "Mathématiques", l'étude du matériel algébrique, comme c'était le cas auparavant, n'est pas distinguée comme une unité didactique distincte soumise à l'enseignement obligatoire. Dans cette partie du document, il est brièvement noté qu'il est nécessaire "de donner des connaissances sur les expressions numériques et littérales, leurs significations et les différences entre ces expressions". Dans "Exigences pour la qualité de la formation des diplômés", vous ne pouvez trouver qu'une courte phrase au sens indéfini "apprendre à calculer la composante inconnue de l'action arithmétique". La question de savoir comment enseigner "calculer une composante inconnue" devrait être tranchée par l'auteur du programme ou de la technologie d'apprentissage.

Considérons comment les concepts d'"expression", "égalité", "inégalité", "équation" sont caractérisés et quelle est la méthodologie pour les étudier dans divers systèmes d'apprentissage méthodologiques

7.1. Les expressions et leurs types...
au cours de mathématiques

école primaire

Expression est appelée une notation mathématique composée de nombres, indiqués par des lettres ou des chiffres, reliés par des signes d'opérations arithmétiques. Un nombre unique est aussi une expression. Une expression dans laquelle tous les nombres sont désignés par des nombres est appelée expression numérique.

Si nous effectuons les actions indiquées dans une expression numérique, nous obtenons un nombre appelé la valeur de l'expression.

Les expressions peuvent être classées par le nombre d'opérations arithmétiques utilisées pour écrire des expressions et par la façon dont les nombres sont notés. Selon la première base, les expressions sont divisées en groupes : expressions élémentaires (ne contenant pas de signe arithmétique), simples (un signe arithmétique) et composées (plus d'un signe arithmétique). Sur la deuxième base, on distingue les expressions numériques (les nombres sont écrits en chiffres) et alphabétiques (au moins un nombre ou tous les nombres sont désignés par des lettres).

La notation mathématique, qui en mathématiques est généralement appelée une expression, doit être distinguée des autres types de notations.

Par exemple ou exercice de calcul s'appelle l'enregistrement d'une expression avec l'obligation de l'évaluer.

5 + 3 expression, 8- sa valeur

5 + 3 = exercice de calcul (exemple),

8- résultat d'un exercice de calcul (exemple)

Selon le signe de l'opération arithmétique, qui est utilisé pour écrire une expression simple, les expressions simples sont divisées en groupes d'expressions avec le signe "+", "-", "", ":". Ces expressions ont des noms spéciaux (2 + 3 - somme; 7 - 4 - différence; 7 × 2 - travail; 6: 3 - quotient) et des modes de lecture généralement acceptés avec lesquels les élèves du primaire se familiarisent.

Façons de lire les expressions avec le signe "+":

25 + 17 - 25 plus 17

25 + 17 - ajouter 17 à 25

25 + 17 - 25 oui 17

25 + 17 - 25 et 17 plus.

25 + 17 - la somme des nombres vingt-cinq et dix-sept (la somme de 25 et 17)

25 + 17 - 25 augmentation de 17

25 + 17 - 1er quadrimestre 25, 2ème quadrimestre 17

Les enfants se familiarisent avec l'enregistrement d'expressions simples au fur et à mesure que l'action mathématique correspondante est introduite. Par exemple, la connaissance de l'action d'addition s'accompagne de l'écriture d'une expression pour l'addition 2 + 1, voici aussi des exemples des premières formes de lecture de ces expressions : « ajouter un à deux », « deux et un », « deux et un", "deux plus un". D'autres formulations sont introduites au fur et à mesure que les enfants se familiarisent avec les concepts correspondants. En étudiant le nom des composantes des actions et leurs résultats, les enfants apprennent à lire l'expression utilisant ces noms (le premier terme est 25, le second est 17, soit la somme de 25 et 17). La connaissance des concepts "augmenter de ...", "diminuer de ..." vous permet d'introduire une nouvelle formulation pour la lecture d'expressions d'addition et de soustraction avec ces termes "vingt-cinq augmentation de dix-sept", "vingt-cinq diminution à dix-sept ans". La même chose est faite avec d'autres types d'expressions simples.

Les enfants se familiarisent avec les concepts d'« expression », de « sens de l'expression » dans un certain nombre de systèmes éducatifs (« École de Russie » et « Harmonie ») un peu plus tard qu'ils n'apprennent à les écrire, à les calculer et à les lire non pas dans tous, mais dans de nombreuses formulations. Dans d'autres programmes et systèmes d'apprentissage (système de LV Zankov, "School 2000 ...", "School 2100"), ces enregistrements mathématiques sont immédiatement appelés expressions et utilisent ce mot dans des tâches de calcul.

En apprenant aux enfants à lire des expressions dans diverses formulations, nous les introduisons dans le monde des termes mathématiques, leur donnons l'occasion d'apprendre un langage mathématique, d'élaborer le sens des relations mathématiques, ce qui augmente sans aucun doute la culture mathématique de l'élève, contribue à la conscience assimilation de nombreux concepts mathématiques.

Ø Accueil "faites comme moi". Le discours correct de l'enseignant, après lequel les enfants répètent les formulations, est la base du discours mathématique compétent des écoliers. Un effet significatif est obtenu en utilisant la technique de comparaison des formulations prononcées par les enfants avec un schéma donné. Il est utile d'utiliser la technique lorsque l'enseignant fait délibérément des erreurs de discours et que les enfants le corrigent.

Ø Écrivez plusieurs expressions et proposez de lire ces expressions de différentes manières. Un élève lit l'expression et les autres vérifient. Il est utile de donner autant d'expressions que les enfants connaissent à ce stade.

Ø L'enseignant dicte des expressions de différentes manières, et les enfants écrivent les expressions eux-mêmes, sans calculer leur sens. Ces tâches visent à tester les connaissances des enfants en terminologie mathématique, à savoir: la capacité d'écrire des expressions ou des exercices de calcul, lus dans différentes formulations mathématiques.

Si une tâche est définie qui permet de vérifier la formation d'une compétence de calcul, il est utile de lire des expressions ou des exercices de calcul uniquement avec les formulations bien maîtrisées, sans se soucier de leur diversité, et les enfants sont invités à n'écrire que les résultats. des calculs, les expressions elles-mêmes peuvent être omises.

Une expression composée de plusieurs expressions simples est appelée composite.

Par conséquent, une caractéristique essentielle d'une expression composée est qu'elle est composée d'expressions simples. Apprendre à connaître une expression composée peut se faire comme suit :

1. Donner une expression simple et calculer sa valeur

(7 + 2 = 9), appelez-le en premier ou donné.

2. Construisez la deuxième expression de sorte que la valeur de la première devienne une composante de la seconde (9 - 3), appelez cette expression une continuation de la première. Calculez la valeur de la deuxième expression (9 - 3 = 6).

3. Illustrez le processus de fusion de la première et de la deuxième expressions, sur la base du manuel.

Le manuel est une feuille de papier rectangulaire, divisée en 5 parties et pliée en forme d'accordéon. Chaque partie du manuel comporte des entrées spécifiques :

7 + 2

=

— 3

= 6

En cachant les deuxième et troisième parties de ce manuel (à partir de la première expression nous cachons l'exigence de son calcul et sa valeur, et dans la seconde nous cachons la réponse à la première question), nous obtenons une expression composée et sa valeur (7 + 2 -3 = 6). Nous lui donnons un nom - composite (composé d'autres).

Nous illustrons le processus de fusion d'autres paires d'expressions ou d'exercices de calcul, en mettant l'accent sur :

ü Combiner dans un composé uniquement une paire d'expressions lorsque la valeur de l'une d'entre elles est une composante de l'autre ;

ü La valeur de l'expression de continuation est la même que la valeur de l'expression composée.

En renforçant le concept d'expression composée, il est utile d'effectuer des tâches de deux sortes.

1 vue. Un ensemble d'expressions simples est donné, il faut distinguer les couples pour lesquels la relation « la valeur de l'un est une composante de l'autre » est vraie. Construisez une expression composée à partir de chaque paire d'expressions simples.

2 vue. Une expression composée est donnée. Il est nécessaire d'écrire les expressions simples à partir desquelles il est composé.

La technique décrite est utile pour plusieurs raisons :

§ par analogie, vous pouvez introduire la notion de problème composé ;

§ la caractéristique essentielle d'une expression composée est mise en évidence plus clairement;

§ les erreurs sont évitées lors du calcul des valeurs des expressions composées;

§ Cette technique illustre le rôle des parenthèses dans les expressions composées.

Les expressions composées contenant "+", "-" et des parenthèses sont apprises à partir de la première classe. Dans certains systèmes éducatifs ("École de Russie", "Harmonie", "École 2000"), l'étude des parenthèses en première année n'est pas prévue. Ils sont introduits en deuxième année lors de l'étude des propriétés des opérations arithmétiques (la propriété de combinaison d'une somme). Les parenthèses sont introduites comme des signes qui, en mathématiques, peuvent être utilisés pour montrer l'ordre des actions dans les expressions contenant plus d'une action. À l'avenir, les enfants se familiariseront avec des expressions composées contenant les actions des première et deuxième étapes avec et sans parenthèses. L'étude des expressions composées s'accompagne de l'étude des règles d'ordre des actions dans ces expressions et de la lecture des expressions composées.

Une attention considérable dans tous les programmes est accordée à la transformation des expressions, qui sont effectuées sur la base de la propriété de combinaison de la somme et du produit, les règles pour soustraire un nombre d'une somme et une somme d'un nombre, en multipliant une somme par un nombre et diviser une somme par un nombre. À notre avis, dans certains programmes, il n'y a pas assez d'exercices visant à développer la capacité de lire des expressions composées, ce qui, naturellement, affecte plus tard la capacité de résoudre des équations de la deuxième manière (voir ci-dessous). Dans les dernières éditions des complexes pédagogiques et méthodologiques en mathématiques pour les classes primaires pour tous les programmes, une grande attention est accordée aux tâches de préparation de programmes et d'algorithmes de calcul pour les expressions composées en trois à neuf actions.

Expressions, dans lequel un chiffre ou tous les chiffres sont désignés par des lettres, sont appelés alphabétique (une+ 6; (une+v)× avec- expressions littérales). Les prépédeutiques pour l'introduction d'expressions littérales sont des expressions où l'un des nombres est remplacé par des points ou un carré vide. Cette entrée est appelée l'expression "avec une fenêtre" (+4 est une expression avec une fenêtre).

Les tâches typiques contenant des expressions littérales sont des tâches pour trouver les valeurs d'expressions, à condition que la lettre prenne différentes valeurs à partir d'une liste de valeurs donnée. (Calculer les valeurs des expressions une+ v et une— v, si une= 42, v= 90 ou une = 100, v= 230). Pour calculer les valeurs des expressions littérales, les valeurs spécifiées des variables sont alternativement substituées dans les expressions, puis fonctionnent comme avec les expressions numériques.

Les expressions littérales peuvent être utilisées pour introduire des enregistrements généralisés des propriétés des opérations arithmétiques, former des idées sur la possibilité de valeurs variables des composants des actions et permettre aux enfants d'être amenés au concept mathématique central de "valeur variable". De plus, à l'aide d'expressions de lettres, les enfants connaissent les propriétés de l'existence des valeurs de la somme, de la différence, du produit, du quotient sur l'ensemble des entiers non négatifs. Ainsi, dans l'expression une+ v pour toutes les valeurs des variables une et v vous pouvez calculer la valeur de la somme, et la valeur de l'expression une— v, sur l'ensemble spécifié ne peut être calculé que si v inférieur ou égal à une... Analyser des missions visant à établir des limites possibles pour les valeurs une et v dans les expressions une v et une: v, les enfants établissent les propriétés de l'existence de la valeur du travail et de la valeur du particulier sous une forme adaptée à l'âge.

Les symboles de lettres sont utilisés comme moyen de généraliser les connaissances et les idées des enfants sur les caractéristiques quantitatives des objets du monde environnant et sur les propriétés des opérations arithmétiques. Le rôle généralisateur du symbolisme des lettres en fait un appareil très puissant pour la formation d'idées généralisées et de méthodes d'action à contenu mathématique, ce qui augmente sans aucun doute les possibilités des mathématiques dans le développement et la formation de formes abstraites de pensée.

7.2. Explorer les égalités et les inégalités dans le cours

mathématiciens du primaire

La comparaison de nombres et/ou d'expressions conduit à l'émergence de nouveaux concepts mathématiques « égalité » et « inégalité ».

Égalité appeler un enregistrement contenant deux expressions reliées par le signe "=" - égal (3 = 1 + 2; 8 + 2 = 7 + 3 - égalités).

Inégalité fait référence à un enregistrement contenant deux expressions et un signe de comparaison indiquant une relation plus ou moins grande entre ces expressions

(3 < 5; 2+4 >2 + 3 sont des inégalités).

L'égalité et l'inégalité sont fidèle et infidèle... Si les valeurs des expressions des côtés gauche et droit de l'égalité coïncident, alors l'égalité est considérée comme vraie, sinon, l'égalité sera fausse. En conséquence: si dans la notation d'inégalité le signe de comparaison indique correctement la relation entre les nombres (expressions élémentaires) ou les valeurs d'expressions, alors l'inégalité est vraie, sinon, l'inégalité est fausse.

La plupart des tâches en mathématiques sont liées au calcul des valeurs d'expressions. Si la valeur de l'expression est trouvée, alors l'expression et sa valeur peuvent être connectées avec un signe "égal", qui est généralement écrit comme une égalité : 3 + 1 = 4. Si la valeur de l'expression a été calculée correctement, alors l'égalité est dite vraie, si elle n'est pas vraie, alors l'égalité écrite est considérée comme incorrecte.

Les enfants apprennent les égalités en première année en même temps que le concept d'« expression » dans le thème « Les nombres des dix premiers ». Maîtrisant le modèle symbolique d'éducation du nombre suivant et précédent, les enfants écrivent les égalités 2 + 1 = 3 et 4 - 1 = 3. À l'avenir, les égalités sont activement utilisées dans l'étude de la composition des nombres à un chiffre, et en outre, ce concept est associé à l'étude de presque tous les sujets au cours des mathématiques à l'école élémentaire.

La question de l'introduction des concepts d'égalité « vraie » et « fausse » dans divers programmes est résolue de manière ambiguë. Dans le système "École 2000 ...", ce concept est introduit simultanément avec l'entrée de l'égalité, dans le système "École de Russie" - lors de l'étude du sujet "Composition de nombres à un chiffre" dans les entrées d'égalités "avec une fenêtre" (+3 = 5; 3 + = 5). En choisissant un nombre pouvant être inséré dans la fenêtre, les enfants sont convaincus que dans certains cas, des égalités correctes et dans d'autres, incorrectes sont obtenues. Il convient de noter que ces enregistrements mathématiques, d'une part, vous permettent de consolider la composition de nombres ou d'autres matériaux de calcul sur le sujet de la leçon, d'autre part, ils forment une idée de variable et sont une préparation pour maîtriser le concept d'« équation ».

Dans tous les programmes, deux types de tâches liées aux notions d'égalité et d'inégalité, vraie et fausse égalité et inégalité, sont le plus souvent utilisées :

· Étant donné des nombres ou des expressions, vous devez mettre un signe entre eux pour que l'entrée soit correcte. Par exemple, « Mettre des signes : »<», «>"," = "7-5 ... 7-3; 6 + 4 ... 6 + 3 ".

· Étant donné les enregistrements avec un signe de comparaison, il est nécessaire de substituer ces nombres au lieu de la fenêtre afin d'obtenir l'égalité ou l'inégalité correcte. Par exemple, « Choisissez les nombres pour que les entrées soient correctes :> ; ou +2< +3».

Si deux nombres sont comparés, alors les enfants justifient le choix du signe, en s'appuyant sur le principe de construction d'une série d'entiers naturels, la signification du nombre ou sa composition. En comparant deux expressions numériques ou une expression avec un nombre, les enfants calculent les valeurs des expressions puis comparent leurs valeurs, c'est-à-dire qu'ils réduisent la comparaison d'expressions à une comparaison de nombres. Dans le système éducatif "École de Russie", cette méthode est donnée sous la forme d'une règle: "Comparer deux expressions signifie comparer leurs significations". Les enfants effectuent le même ensemble d'actions pour vérifier l'exactitude de la comparaison. « Vérifiez si les inégalités sont vraies :

42 + 6> 47 ; 47 - 5> 47 - 4 ".

Le plus grand effet de développement a des tâches qui nécessitent de placer un signe de comparaison (ou de vérifier si le signe de comparaison est correctement défini) sans calculer les valeurs des expressions de données dans les côtés gauche et droit de l'inégalité (égalité). Dans ce cas, les enfants doivent mettre un signe de comparaison, en s'appuyant sur les modèles mathématiques identifiés.

La forme de présentation de la mission et les modalités d'inscription de sa mise en œuvre varient à la fois dans le cadre d'un même programme et dans différents programmes.

Traditionnellement, lors de la résolution inégalités avec variable deux méthodes ont été utilisées : la méthode de sélection et la méthode de réduction à égalité.

La première façon est appelée la méthode de sélection, qui reflète pleinement les actions effectuées par l'enfant lors de son utilisation. Avec cette méthode, la valeur du nombre inconnu est sélectionnée soit à partir d'un ensemble arbitraire de nombres, soit à partir d'un ensemble donné d'entre eux. Après chaque choix de la valeur de la variable (nombre inconnu), la justesse du choix est vérifiée. Pour ce faire, la valeur trouvée est substituée dans l'inégalité spécifiée au lieu du nombre inconnu. La valeur des côtés gauche et droit de l'inégalité est calculée (la valeur de l'une des parties peut être une expression élémentaire, c'est-à-dire un nombre), puis la valeur des côtés gauche et droit de l'inégalité résultante est comparée . Toutes ces actions peuvent être réalisées oralement ou avec l'enregistrement de calculs intermédiaires.

Deuxième voie réside dans le fait qu'en écrivant l'inégalité au lieu du signe "<» или «>»Mettez un signe égal et résolvez l'égalité d'une manière connue des enfants. Ensuite, un raisonnement est effectué dans lequel la connaissance des enfants sur le changement du résultat d'une action en fonction du changement de l'une de ses composantes est utilisée et les valeurs admissibles de la variable sont déterminées.

Par exemple, « Déterminer quelles valeurs peuvent prendre une dans l'inégalité 12 - une < 7». Решение и образец рассуждений:

Trouver la valeur une si 12 - une= 7

Je calcule en appliquant la règle pour trouver la franchise inconnue : une= 12 — 7, une= 5.

Je clarifie la réponse : quand uneégale à 5 ("la racine de l'équation est 5" dans le système de Zankov et "École 2000 ...") la valeur de l'expression 12 - 5 est 7, et nous devons trouver de telles valeurs de cette expression qui serait inférieur à 7, nous devons donc soustraire les nombres supérieurs à cinq de 12. Ceux-ci peuvent être les nombres 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. (plus le nombre que nous soustrayons du même nombre est grand, plus la différence est petite). Moyens, une= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Les valeurs sont grandes 12 variables une ne peut pas accepter, car le plus grand nombre ne peut pas être soustrait du plus petit (nous ne pouvons pas, si des nombres négatifs ne sont pas entrés).

Un exemple de tâche similaire tiré d'un manuel de 3e année (1-4), auteurs : I.I. Arginskaya, E.I. Ivanovskaïa :

N° 224. « Résoudre des inégalités en utilisant la solution des équations correspondantes :

À— 37 < 29, 75 — avec > 48, une+ 44 < 91.

Testez vos solutions : substituez plusieurs nombres supérieurs et inférieurs à la racine de l'équation correspondante dans chaque inégalité.

Composez vos inégalités avec des nombres inconnus, résolvez-les et vérifiez les solutions trouvées.

Proposez votre poursuite de la mission. "

Il convient de noter qu'un certain nombre de technologies et de programmes de formation, améliorant la composante logique et dépassant considérablement les exigences standard pour le contenu de l'enseignement des mathématiques au primaire, introduisent les concepts suivants :

Ø valeur variable, valeur d'une variable ;

Ø la notion de « déclaration » (les déclarations vraies et fausses sont appelées déclaration (M3P)), « déclarations vraies et fausses » ;

Ø Considérer des systèmes d'équations (II Arginskaya, EI Ivanovskaya).

7.3. Apprendre des équations dans un cours de mathématiques

primaire

Une égalité contenant une variable est appelée équation. Résoudre une équation signifie trouver une telle valeur pour une variable (nombre inconnu) à laquelle l'équation est convertie en une égalité numérique correcte. La valeur d'une variable à laquelle une équation est convertie en une véritable égalité est appelée la racine de l'équation.

Dans certains systèmes éducatifs ("École de Russie" et "Harmonie"), l'introduction du concept de "variable" n'est pas prévue. Dans ceux-ci, l'équation est interprétée comme une égalité contenant un nombre inconnu. Et de plus, résoudre l'équation signifie trouver un tel nombre, en le substituant à la place de l'inconnu, l'égalité correcte est obtenue. Ce nombre est appelé la valeur de l'inconnue ou la solution de l'équation. Ainsi, le terme « solution d'équation » est utilisé dans deux sens : en tant que nombre (racine), lorsqu'il est substitué à la place d'un nombre inconnu, l'équation se transforme en une véritable égalité et en tant que processus de résolution de l'équation elle-même.

La plupart des programmes et des systèmes des écoles élémentaires envisagent deux façons de résoudre des équations.

La première façon est appelée la méthode de sélection, qui reflète pleinement les actions effectuées par l'enfant lors de son utilisation. Avec cette méthode, la valeur du nombre inconnu est sélectionnée soit à partir d'un ensemble arbitraire de nombres, soit à partir d'un ensemble donné d'entre eux. Après chaque choix d'une valeur, l'exactitude de la solution est vérifiée. L'essence du contrôle découle de la définition de l'équation et se réduit à la mise en œuvre de quatre actions interdépendantes :

1. La valeur trouvée est substituée dans l'équation donnée au lieu du nombre inconnu.

2. La valeur des côtés gauche et droit de l'équation est calculée (la valeur de l'une des parties peut être une expression élémentaire, c'est-à-dire un nombre).

3. Compare la valeur des côtés gauche et droit de l'égalité résultante.

4. Une conclusion est tirée sur l'exactitude ou l'inexactitude de l'égalité obtenue et, en outre, si le nombre trouvé est une solution (racine) de l'équation.

Au début, seule la première action est effectuée et le reste est prononcé. Cet algorithme de vérification est retenu pour chaque façon de résoudre l'équation.

Un certain nombre de systèmes d'apprentissage ("School 2000", le système d'apprentissage de DB Elkonin - VV Davydov) utilisent la relation entre la partie et le tout pour résoudre des équations simples.

8 + N.-É.= 10 ; 8 et N.-É. - les pièces; 10 - entier. Pour trouver une partie, vous pouvez soustraire la partie connue du tout : N.-É.= 10 — 8; N.-É.= 2.

Dans ces systèmes d'apprentissage, même au stade de la résolution d'équations par la méthode de sélection, le concept de "racine d'une équation" est introduit dans la pratique de la parole, et la solution elle-même est appelée résolution d'une équation en utilisant la "sélection de racines".

Deuxième voie la résolution d'une équation repose sur la relation entre le résultat et les composants de l'action. La règle pour trouver l'un des composants découle de cette dépendance. Par exemple, la relation entre la valeur de la somme et l'un des termes ressemble à ceci : « si l'un d'eux est soustrait de la valeur de la somme de deux termes, alors un autre terme sera obtenu. Cette dépendance implique la règle pour trouver l'un des termes : « pour trouver le terme inconnu, il faut soustraire le terme connu de la valeur de la somme ». En résolvant l'équation, les enfants raisonnent ainsi :

Tâche : Résoudre l'équation 8 + N.-É.= 11.

Le deuxième terme est inconnu dans cette équation. Nous savons que pour trouver le deuxième terme, vous devez soustraire le premier terme de la valeur de la somme. Donc, vous devez soustraire 8 de 11. J'écris : N.-É.= 11 - 8. Je calcule, 11 moins 8 vaut 3, j'écris N.-É.= 3.

L'enregistrement complet de la solution avec vérification sera le suivant :

8 + N.-É. = 11

N.-É. = 11 — 8

N.-É. = 3

La méthode ci-dessus est utilisée pour résoudre des équations avec deux ou plusieurs actions avec et sans parenthèses. Dans ce cas, vous devez déterminer l'ordre des actions dans l'expression composée et, en nommant les composants de l'expression composée par la dernière action, vous devez sélectionner l'inconnu, qui à son tour peut être une expression pour l'addition, la soustraction, la multiplication ou division (exprimée en somme, différence, produit ou quotient) ... Ensuite, la règle est appliquée pour trouver le composant inconnu, exprimé sous forme de somme, de différence, de produit ou de quotient, en tenant compte des noms des composants selon la dernière action dans l'expression composée. Après avoir effectué des calculs conformément à cette règle, une équation simple est obtenue (ou encore une équation composée si l'expression avait à l'origine trois signes d'action ou plus). Sa résolution est effectuée selon l'algorithme déjà décrit ci-dessus. Considérez le devoir suivant.

Résous l'équation ( N.-É. + 2) : 3 = 8.

Dans cette équation, le dividende est inconnu, exprimé comme la somme des nombres N.-É. et 2. (Conformément aux règles d'ordre des actions dans une expression, l'action de division est exécutée en dernier).

Pour trouver le dividende inconnu, vous pouvez multiplier le quotient par le diviseur : N.-É.+ 2 = 8 × 3

On calcule la valeur de l'expression à droite du signe égal, on obtient : N.-É.+ 2 = 24.

L'enregistrement complet ressemble à : ( N.-É.+ 2) : 3 = 8

N.-É.+ 2 = 8 × 3

N.-É.+ 2 = 24

N.-É. = 24 — 2

Vérifier : (22 + 2) : 3 = 8

Dans le système éducatif "École 2000 ..." en relation avec la large utilisation d'algorithmes et de leurs types, un algorithme (schéma fonctionnel) est donné pour résoudre de telles équations (voir schéma 3).

La deuxième façon de résoudre des équations est assez lourde, en particulier pour les équations composées, où la règle de la relation entre les composants et le résultat d'une action est appliquée plusieurs fois. À cet égard, de nombreux auteurs de programmes (systèmes "École de Russie", "Harmonie") n'incluent pas dans le programme des années primaires la connaissance des équations de structure complexe ou ne les introduisent pas à la fin de la quatrième année.

Dans ces systèmes, ils se limitent principalement à l'étude d'équations des types suivants :

N.-É.+ 2 = 6; 5 + N.-É.= 8 - équations pour trouver le terme inconnu;

N.-É. – 2 = 6; 5 – N.-É.= 3 - équations pour trouver l'inconnue diminuée et soustraite, respectivement;

N.-É.× 5 = 20,5 × N.-É.= 35 - équations pour trouver le facteur inconnu;

N.-É.: 3 = 8, 6: N.-É.= 2 - équations pour trouver le dividende et le diviseur inconnus, respectivement.

N.-É.× 3 = 45 - 21 ; N.-É.× (63 - 58) = 20 ; (58 - 40): N.-É.= (2 × 3) - équations, où un ou deux nombres inclus dans l'équation sont représentés par une expression numérique. La méthode de résolution de ces équations se réduit au calcul des valeurs de ces expressions, après quoi l'équation prend la forme de l'une des équations simples des types ci-dessus.

Un certain nombre de programmes d'enseignement des mathématiques au primaire (le système éducatif de LV Zankova et "School 2000 ...") pratiquent la familiarisation des enfants avec des équations plus complexes, où la règle d'interrelation entre les composants et le résultat d'une action doit être appliqué plusieurs fois et, souvent, nécessitent des actions pour transformer l'une des parties de l'équation en fonction des propriétés des actions mathématiques. Par exemple, dans ces programmes, les élèves de troisième année se voient présenter les équations suivantes :

3 × N.-É. — (20 + N.-É.) = 70 ou 2 × N.-É.- 8 + 5 × N.-É.= 97.

En mathématiques, il y a et troisième voie solution d'équations, qui est basée sur des théorèmes sur l'équivalence des équations et leurs conséquences. Par exemple, l'un des théorèmes sur l'équivalence des équations dans une formulation simplifiée se lit comme suit : « Si les deux côtés de l'équation avec le domaine de définition N.-É. ajouter la même expression avec une variable, définie sur le même ensemble, alors on obtient une nouvelle équation équivalente à celle donnée. "

Des corollaires découlent de ce théorème, qui sont utilisés pour résoudre des équations.

Corollaire 1. Si le même nombre est ajouté des deux côtés de l'équation, alors nous obtenons une nouvelle équation équivalente à celle donnée.

Corollaire 2. Si dans une équation l'un des termes (une expression numérique ou une expression avec une variable) est transféré d'une partie à une autre, changeant le signe du terme en l'inverse, alors nous obtenons une équation équivalente à celle donnée .

Ainsi, le processus de résolution d'une équation se réduit à remplacer une équation donnée par des équations équivalentes, et ce remplacement (transformation) ne peut être effectué qu'en tenant compte des théorèmes sur l'équivalence des équations ou de leurs conséquences.

Cette méthode de résolution d'équations est universelle ; les enfants y sont initiés dans le système d'enseignement de L.V. Zankov et au lycée.

Dans la méthodologie de travail sur les équations, un grand nombre de missions créatives:

· Le choix des équations pour un critère donné parmi un certain nombre de propositions ;

· Comparer des équations et des façons de les résoudre;

· Établir des équations pour des nombres donnés;

· Un changement dans l'équation de l'un des nombres connus de sorte que la valeur de la variable devienne supérieure (inférieure) à la valeur trouvée à l'origine ;

· Pour sélectionner un nombre connu dans l'équation;

· Pour composer des algorithmes de solution basés sur des schémas fonctionnels pour résoudre des équations ou sans eux ;

· Élaboration d'équations à partir de textes problématiques.

Il convient de noter que dans les manuels modernes, il existe une tendance à introduire le matériel au niveau conceptuel. Par exemple, chacun des concepts mentionnés ci-dessus reçoit une définition détaillée qui reflète ses caractéristiques essentielles. Cependant, toutes les définitions trouvées ne répondent pas aux exigences du principe scientifique. Par exemple, le concept d'« expression » dans l'un des manuels de mathématiques du primaire est interprété comme suit : « Un enregistrement mathématique d'opérations arithmétiques qui ne contient pas plus, moins ou des signes égaux est appelé une expression » (système éducatif « École 2000"). Notez que dans ce cas, la définition est faite de manière incorrecte, car elle décrit ce qui n'est pas dans le dossier, mais on ne sait pas ce qui s'y trouve. Il s'agit d'une inexactitude assez typique dans la définition.

Notez que les définitions des concepts ne sont pas données immédiatement, c'est-à-dire pas lors de la première connaissance, mais dans un temps différé, après que les enfants se soient familiarisés avec la notation mathématique correspondante et aient appris à l'utiliser. Les définitions sont données le plus souvent de manière implicite, descriptive.

Pour référence: En mathématiques, ils se présentent comme explicite et implicite définitions de concepts. Parmi explicite les définitions sont les plus courantes définitions par la différence de genre et d'espèce la plus proche... (Une équation est une égalité contenant une variable.). Définitions implicites peut être divisé en deux types : contextuel et ostensif... Dans les définitions contextuelles, le contenu d'un nouveau concept est révélé à travers un passage du texte, à travers une analyse d'une situation spécifique.

Par exemple : 3 + N.-É.= 9. N.-É.- numéro inconnu à trouver.

Les définitions ostensives sont utilisées pour introduire des termes en démontrant les objets que ces termes désignent. Par conséquent, ces définitions sont également appelées définitions par affichage. Par exemple, dans les classes élémentaires, les concepts d'égalité et d'inégalité sont définis de cette manière.

2 + 7 > 2 + 6 9 + 3 = 12

78 — 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

inégalité égalité

7.4. L'ordre des actions dans les expressions

Nos observations et notre analyse des travaux des élèves montrent que l'étude de cette ligne de contenu s'accompagne des types d'erreurs d'élèves suivants :

· Ne peut pas appliquer correctement la règle de procédure ;

· Mauvaise sélection de nombres pour effectuer une action.

Par exemple, dans l'expression 62 + 30 : (18 - 3), les actions sont exécutées dans l'ordre suivant :

62 + 30 = 92 environ : 18 - 3 = 15

18 — 3 = 15 30: 15 = 2

30: 15 = 2 62 + 30 = 92

Sur la base des données sur les erreurs typiques qui se produisent chez les écoliers, deux actions principales peuvent être distinguées qui devraient être formées au cours du processus d'étude de cette ligne de contenu:

1) une action pour déterminer l'ordre d'exécution des opérations arithmétiques en termes numériques ;

2) l'action de sélectionner des nombres pour calculer les valeurs d'actions mathématiques intermédiaires.

Au cours des mathématiques à l'école élémentaire, les règles de l'ordre des actions sont traditionnellement formulées sous la forme suivante.

Règle 1... Dans les expressions sans parenthèses, ne contenant que l'addition et la soustraction ou la multiplication et la division, les actions sont exécutées dans l'ordre dans lequel elles sont écrites : de gauche à droite.

Règle 2. Dans les expressions sans parenthèses, la multiplication ou la division est effectuée en premier, de gauche à droite, puis l'addition ou la soustraction.

Règle 3... Dans les expressions entre parenthèses, les expressions entre parenthèses sont évaluées en premier. Ensuite, dans l'ordre de gauche à droite, une multiplication ou une division est effectuée, puis une addition ou une soustraction.

Chacune de ces règles est axée sur un type d'expression spécifique :

1) expressions sans parenthèses contenant uniquement les actions d'une étape ;

2) expressions sans parenthèses contenant les actions des première et deuxième étapes ;

3) les expressions entre crochets contenant les actions de la première et de la deuxième étape.

Avec cette logique d'introduction des règles et de l'enchaînement de leur étude, les actions ci-dessus consisteront en les opérations suivantes dont la maîtrise assure l'assimilation de cette matière :

§ reconnaître la structure d'une expression et nommer à quel type elle appartient ;

§ corréler cette expression avec la règle qui doit être suivie lors du calcul de sa valeur;

§ établir l'ordre des actions conformément à la règle;

§ sélectionner correctement les numéros pour effectuer l'action suivante ;

§ effectuer des calculs.

Ces règles sont introduites dans la troisième classe en tant que généralisation pour déterminer l'ordre des actions dans les expressions de diverses structures. Il est à noter que les enfants ont déjà rencontré des expressions avec des parenthèses avant de se familiariser avec ces règles. En première et deuxième années, lorsqu'ils étudient les propriétés des opérations arithmétiques (la propriété de combinaison de l'addition, la propriété de distribution de la multiplication et de la division), ils sont capables de calculer les valeurs d'expressions contenant des actions d'un niveau, c'est-à-dire. ils connaissent la règle numéro 1. Étant donné que trois règles sont introduites, reflétant l'ordre des actions dans des expressions de trois types, il est tout d'abord nécessaire d'apprendre aux enfants à distinguer différentes expressions en fonction des signes sur lesquels chaque règle est orienté.

Dans le système éducatif "Harmonie»Le rôle principal dans l'étude de ce sujet est joué par un système d'exercices sélectionnés de manière appropriée, à travers la mise en œuvre desquels les enfants apprennent une manière générale de déterminer l'ordre des actions dans les expressions de différentes structures. Il convient de noter que l'auteur du programme de mathématiques dans ce système construit très logiquement une méthodologie pour introduire des règles pour l'ordre des actions, propose systématiquement aux enfants des exercices pour pratiquer les opérations qui font partie des actions ci-dessus. Les tâches les plus courantes sont :

ü comparer des expressions puis y identifier des signes de similitude et de différence (le signe de similitude reflète le type d'expression, du point de vue de son orientation vers la règle) ;

ü pour le classement des expressions selon un critère donné ;

ü choisir des expressions avec des caractéristiques données ;

ü construire des expressions selon une règle donnée (condition) ;

ü d'appliquer la règle dans divers modèles d'expression (symbolique, schématique, graphique) ;

ü établir un plan ou un organigramme de l'ordre d'exécution des actions ;

ü mettre des parenthèses dans l'expression à une valeur donnée ;

ü pour déterminer l'ordre des actions dans l'expression lorsque sa valeur est calculée.

V systèmes "Ecole 2000..." et "Ecole primaire du XXIe siècle" une approche légèrement différente pour étudier l'ordre des actions dans les expressions composées est proposée. Cette approche met l'accent sur la compréhension par les élèves de la structure de l'expression. L'étape d'apprentissage la plus importante dans ce cas est la sélection de plusieurs parties dans une expression composée (décomposition de l'expression en parties). Lors du calcul des valeurs d'expressions composées, les élèves utilisent règles de travail:

1. Si l'expression contient des parenthèses, elle est alors divisée en parties de sorte qu'une partie avec l'autre soit reliée par les actions de la première étape (par les signes "plus" et "moins"), non entre parenthèses, la valeur de chaque partie est trouvée, puis les actions de la première étape s'exécutent dans l'ordre - de gauche à droite.

2. Si dans l'expression il n'y a pas d'actions de la première étape qui ne soient pas entre parenthèses, mais qu'il y ait des actions de multiplication et de division qui ne soient pas entre parenthèses, alors l'expression est divisée en parties, en se concentrant sur ces signes.

Ces règles permettent de calculer les valeurs d'expressions contenant un grand nombre d'opérations arithmétiques.

Regardons un exemple.

En utilisant les signes plus et moins non mis entre parenthèses, nous décomposons l'expression en parties : du début au premier signe (moins) non mis entre parenthèses, puis de ce signe au suivant (plus) et du signe plus au finir.

3 40 - 20 (60 - 55) + 81 : (36 : 4)

Il s'est avéré trois parties:

1 partie - 3 40

Partie 2 - 20 (60 - 55)

et 3 partie 81 : (36 : 4).

On retrouve le sens de chaque partie :

1) 3 40 = 120 2) 60 — 55 = 5 3) 36: 4 = 9 4) 120 -100 = 20

20 5 = 100 81: 9 = 9 20 + 9 = 29

Réponse : le sens de l'expression est 29.

Objectif des séminaires le long de cette ligne de contenu

· Résumé et révision d'articles (manuels) de contenu didactique, pédagogique et psychologique ;

· Rédiger une fiche pour le rapport, pour étudier un sujet précis ;

· Réaliser une analyse logique et didactique des manuels scolaires, des kits pédagogiques, ainsi qu'une analyse de la mise en œuvre dans les manuels d'une certaine idée mathématique, ligne ;

· Sélectionnez des tâches pour enseigner des concepts, justifier des énoncés mathématiques, former une règle ou construire un algorithme.

Travaux d'auto-apprentissage

Sujet de la leçon... Caractéristiques des concepts « expression », « égalité », « inégalité », « équation » et la méthodologie pour leur étude dans divers