Dérivée d'une fonction puissance avec une racine. Trouver la dérivée : algorithme et exemples de solutions

Dérivation de la formule dérivée fonction de puissance(x à la puissance a). Les dérivées des racines de x sont considérées. Formule pour la dérivée d'une fonction puissance d'ordre supérieur. Exemples de calcul de dérivées.

La dérivée de x à la puissance a est égale à un fois x à la puissance moins un :
(1) .

La dérivée de la racine nième de x à la puissance mième est :
(2) .

Dérivation de la formule de la dérivée d'une fonction puissance

Cas x> 0

Considérons une fonction puissance d'une variable x avec l'exposant a :
(3) .
Ici a est un nombre réel arbitraire. Considérez d'abord le cas.

Pour trouver la dérivée de la fonction (3), nous utilisons les propriétés de la fonction puissance et la transformons sous la forme suivante :
.

On trouve maintenant la dérivée en appliquant :
;
.
Ici .

La formule (1) est prouvée.

Dérivation de la formule de la dérivée d'une racine de degré n de x au degré m

Considérons maintenant une fonction qui est une racine de la forme suivante :
(4) .

Pour trouver la dérivée, nous transformons la racine en une fonction puissance :
.
En comparant avec la formule (3), on voit que
.
Puis
.

En utilisant la formule (1), on trouve la dérivée :
(1) ;
;
(2) .

En pratique, il n'est pas nécessaire de mémoriser la formule (2). Il est beaucoup plus pratique de transformer d'abord les racines en fonctions puissances, puis de trouver leurs dérivées à l'aide de la formule (1) (voir exemples en fin de page).

Cas x = 0

Si, alors la fonction puissance est également définie pour la valeur de la variable x = 0 ... Trouvons la dérivée de la fonction (3) en x = 0 ... Pour ce faire, on utilisera la définition de la dérivée :
.

Remplacer x = 0 :
.
Dans ce cas, par dérivée, nous entendons la limite de droite pour laquelle.

Nous avons donc trouvé :
.
On voit donc qu'à,.
À , .
À , .
Ce résultat est obtenu par la formule (1) :
(1) .
Par conséquent, la formule (1) est également valable pour x = 0 .

Cas x< 0

Considérons à nouveau la fonction (3) :
(3) .
Pour certaines valeurs de la constante a, elle est également définie pour les valeurs négatives de la variable x. À savoir, laissez un être nombre rationnel... Ensuite, il peut être représenté comme une fraction irréductible :
,
où m et n sont des nombres entiers sans diviseur commun.

Si n est impair, alors la fonction puissance est également définie pour les valeurs négatives de la variable x. Par exemple, pour n = 3 et m = 1 on a une racine cubique de x :
.
Il est également défini pour les valeurs négatives de la variable x.

Trouvons la dérivée de la fonction puissance (3) pour et pour les valeurs rationnelles de la constante a, pour laquelle elle est définie. Pour ce faire, nous représentons x sous la forme suivante :
.
Puis ,
.
On trouve la dérivée en prenant la constante en dehors du signe de la dérivée et en appliquant la règle de différentiation d'une fonction complexe :

.
Ici . Mais
.
Depuis
.
Puis
.
Autrement dit, la formule (1) est également valable pour :
(1) .

Dérivés d'ordre supérieur

Maintenant, nous trouvons les dérivées d'ordres supérieurs de la fonction puissance
(3) .
Nous avons déjà trouvé la dérivée du premier ordre :
.

En prenant la constante a en dehors du signe de la dérivée, on trouve la dérivée du second ordre :
.
De même, on retrouve les dérivées des troisième et quatrième ordres :
;

.

De là, il est clair que dérivée d'ordre n arbitraire ressemble à ça:
.

remarquerez que si a est entier naturel ,, alors la dérivée n-ième est constante :
.
Alors toutes les dérivées suivantes sont égales à zéro :
,
à .

Exemples de calculs dérivés

Exemple

Trouver la dérivée de la fonction :
.

Solution

Nous transformons les racines en pouvoirs :
;
.
Alors la fonction originale prend la forme :
.

Trouvez les dérivées des puissances :
;
.
La dérivée de la constante est nulle :
.

Sur lequel nous avons analysé les dérivées les plus simples, et nous sommes également familiarisés avec les règles de différenciation et quelques techniques pour trouver des dérivées. Ainsi, si vous n'êtes pas très bon avec les dérivées de fonctions, ou si certains points de cet article ne sont pas tout à fait clairs, lisez d'abord la leçon ci-dessus. S'il vous plaît, accordez-vous à une ambiance sérieuse - le matériel n'est pas facile, mais je vais quand même essayer de le présenter d'une manière simple et accessible.

En pratique, avec la dérivée fonction complexe il faut se croiser très souvent, je dirais même, presque toujours, lorsqu'on vous confie des tâches pour trouver des dérivés.

On regarde dans le tableau la règle (n° 5) pour différencier une fonction complexe :

Entente. Tout d'abord, faisons attention à l'enregistrement. Nous avons ici deux fonctions - et, de plus, la fonction, au sens figuré, est enchâssée dans la fonction. Une fonction de ce type (lorsqu'une fonction est imbriquée dans une autre) est appelée fonction complexe.

je vais appeler la fonction fonction externe et la fonction - une fonction interne (ou imbriquée).

! Ces définitions ne sont pas théoriques et ne doivent pas apparaître dans la conception finale des missions. J'utilise des expressions informelles "fonction externe", fonction "interne" uniquement pour vous faciliter la compréhension du matériel.

Afin de clarifier la situation, considérez :

Exemple 1

Trouver la dérivée d'une fonction

Sous le sinus, nous avons non seulement la lettre "X", mais une expression entière, il ne sera donc pas possible de trouver la dérivée immédiatement à partir de la table. On remarque aussi qu'il est impossible d'appliquer les quatre premières règles ici, il semble y avoir une différence, mais le fait est qu'il est impossible de "déchirer" un sinus :

Dans cet exemple, déjà à partir de mes explications, il est intuitivement clair qu'une fonction est une fonction complexe et que le polynôme est une fonction interne (emboîtement) et une fonction externe.

Premier pas, qui doit être effectuée lors de la recherche de la dérivée d'une fonction complexe, est que déterminer quelle fonction est interne et laquelle est externe.

Lorsque exemples simples il semble clair qu'un polynôme est imbriqué sous le sinus. Mais que faire si tout n'est pas évident ? Comment déterminer exactement quelle fonction est externe et laquelle est interne ? Pour ce faire, je suggère d'utiliser la technique suivante, qui peut se faire mentalement ou sur un brouillon.

Imaginez que nous devions calculer la valeur d'une expression à sur une calculatrice (au lieu d'un, il peut y avoir n'importe quel nombre).

Que va-t-on calculer en premier ? Tout d'abord vous devrez effectuer l'action suivante : par conséquent, le polynôme sera une fonction interne :

Secondaire devra être trouvé, donc sine sera une fonction externe :

Après nous Compris avec les fonctions internes et externes, il est temps d'appliquer la règle de différenciation d'une fonction complexe .

Nous commençons à décider. De la leçon Comment trouver la dérivée ? nous nous souvenons que la conception de la solution de toute dérivée commence toujours comme ceci - nous mettons l'expression entre parenthèses et mettons un trait en haut à droite :

En premier nous trouvons la dérivée de la fonction externe (sinus), regardons le tableau des dérivées des fonctions élémentaires et notons cela. Toutes les formules tabulaires sont applicables même si "x" est remplacé par une expression complexe, dans ce cas:

Notez que la fonction interne n'a pas changé, on n'y touche pas.

Eh bien, il est assez évident que

Le résultat de l'application de la formule dans la conception finale, cela ressemble à ceci:

Le facteur constant est généralement placé au début de l'expression :

En cas de confusion, notez la solution et relisez les explications.

Exemple 2

Trouver la dérivée d'une fonction

Exemple 3

Trouver la dérivée d'une fonction

Comme toujours, nous écrivons :

Voyons où nous avons une fonction externe et où nous avons une fonction interne. Pour ce faire, essayez (mentalement ou sur un brouillon) de calculer la valeur de l'expression à. Que faut-il faire en premier ? Tout d'abord, vous devez calculer à quoi la base est égale : ce qui signifie que le polynôme est la fonction interne :

Et ce n'est qu'alors que l'exponentiation est effectuée, par conséquent, la fonction puissance est une fonction externe :

Selon la formule , vous devez d'abord trouver la dérivée de la fonction externe, dans ce cas, à partir du degré. Nous recherchons la formule souhaitée dans le tableau :. Nous répétons encore : toute formule tabulaire est valide non seulement pour "x", mais aussi pour une expression complexe... Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différentiation d'une fonction complexe Suivant:

J'insiste à nouveau sur le fait que lorsque nous prenons la dérivée de la fonction externe, la fonction interne ne change pas pour nous :

Reste maintenant à trouver une dérivée très simple de la fonction interne et à « peigner » un peu le résultat :

Exemple 4

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple pour décision indépendante(réponse en fin de cours).

Pour consolider la compréhension de la dérivée d'une fonction complexe, je vais donner un exemple sans commentaires, essayer de le comprendre par vous-même, spéculer où est la fonction externe et où est la fonction interne, pourquoi les tâches ont-elles été résolues de cette façon ?

Exemple 5

a) Trouver la dérivée de la fonction

b) Trouver la dérivée de la fonction

Exemple 6

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, nous avons une racine, et afin de différencier la racine, elle doit être représentée comme un degré. Ainsi, nous apportons d'abord la fonction sous une forme appropriée pour la différenciation :

En analysant la fonction, nous arrivons à la conclusion que la somme de trois termes est une fonction interne et que l'exponentiation est une fonction externe. On applique la règle de différentiation d'une fonction complexe :

Le degré est à nouveau représenté comme un radical (racine), et pour la dérivée de la fonction interne, nous appliquons une règle simple pour différencier la somme :

Prêt. Vous pouvez également ramener l'expression à un dénominateur commun entre parenthèses et tout noter en une fraction. Sympa, bien sûr, mais lorsque l'on obtient des dérivées longues encombrantes, il vaut mieux ne pas le faire (il est facile de s'embrouiller, de faire une erreur inutile, et ce sera gênant pour l'enseignant de vérifier).

Exemple 7

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même (réponse à la fin du tutoriel).

Il est intéressant de noter que parfois, au lieu de la règle pour différencier une fonction complexe, on peut utiliser la règle pour différencier le quotient , mais une telle solution semblera inhabituelle en tant que perversion. Voici un exemple typique :

Exemple 8

Trouver la dérivée d'une fonction

Ici, vous pouvez utiliser la règle de différenciation du quotient , mais il est beaucoup plus rentable de trouver la dérivée par la règle de dérivation d'une fonction complexe :

Nous préparons la fonction pour la différenciation - nous déplaçons le moins derrière le signe de la dérivée et élevons le cosinus au numérateur :

Le cosinus est une fonction interne, l'exponentiation est une fonction externe.
Nous utilisons notre règle :

Trouvez la dérivée de la fonction interne, réinitialisez le cosinus :

Prêt. Dans l'exemple considéré, il est important de ne pas se confondre dans les signes. Au fait, essayez de le résoudre avec la règle , les réponses doivent correspondre.

Exemple 9

Trouver la dérivée d'une fonction

Ceci est un exemple de solution à faire soi-même (réponse à la fin du tutoriel).

Jusqu'à présent, nous avons examiné des cas où nous n'avions qu'une seule pièce jointe dans une fonction complexe. Dans les tâches pratiques, vous pouvez souvent trouver des dérivés, où, comme des poupées gigognes, les unes dans les autres, 3, voire 4-5 fonctions sont imbriquées à la fois.

Exemple 10

Trouver la dérivée d'une fonction

Comprenons les attachements de cette fonction. Essayer d'évaluer l'expression à l'aide de la valeur de test. Comment pourrions-nous compter sur une calculatrice?

Vous devez d'abord trouver, ce qui signifie que l'arc sinus est l'imbrication la plus profonde :

Ensuite, cet arc sinus de un doit être au carré :

Et enfin, élevez le 7 à la puissance :

C'est-à-dire que dans cet exemple, nous avons trois fonctions différentes et deux pièces jointes, tandis que la fonction la plus interne est l'arc sinus et la fonction la plus externe est la fonction exponentielle.

Nous commençons à résoudre

Selon la règle vous devez d'abord prendre la dérivée de la fonction externe. Nous regardons le tableau des dérivées et trouvons la dérivée fonction exponentielle: La seule différence est qu'au lieu de "X" nous avons expression complexe, ce qui ne nie pas la validité de cette formule. Ainsi, le résultat de l'application de la règle de différentiation d'une fonction complexe Suivant.

L'opération consistant à trouver une dérivée est appelée différenciation.

À la suite de la résolution des problèmes de recherche de dérivées pour les fonctions les plus simples (et pas très simples) en définissant la dérivée comme la limite du rapport de l'incrément à l'incrément de l'argument, une table de dérivées et des règles de différenciation précisément définies apparu. Les premiers dans le domaine de la recherche de dérivés furent Isaac Newton (1643-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Par conséquent, à notre époque, pour trouver la dérivée d'une fonction, il n'est pas nécessaire de calculer la limite susmentionnée du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, mais il suffit d'utiliser le table des dérivés et les règles de différenciation. L'algorithme suivant convient pour trouver la dérivée.

Pour trouver la dérivée, vous avez besoin d'une expression sous le signe du trait démonter des fonctions simples et déterminer quelles actions (produit, somme, quotient) ces fonctions sont liées. De plus, les dérivées des fonctions élémentaires se trouvent dans le tableau des dérivées, et les formules des dérivées du produit, la somme et le quotient se trouvent dans les règles de différenciation. La table de dérivation et les règles de différenciation sont données après les deux premiers exemples.

Exemple 1. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. A partir des règles de différentiation, on découvre que la dérivée de la somme des fonctions est la somme des dérivées des fonctions, c'est-à-dire

À partir du tableau des dérivées, nous découvrons que la dérivée du "x" est égale à un et la dérivée du sinus est égale au cosinus. Nous substituons ces valeurs dans la somme des dérivées et trouvons la dérivée requise par la condition du problème :

Exemple 2. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous différencions comme la dérivée de la somme, dans laquelle le deuxième terme avec un facteur constant, il peut être extrait du signe de la dérivée :

S'il y a encore des questions sur l'origine, elles deviennent généralement plus claires après s'être familiarisées avec le tableau des dérivées et les règles de différenciation les plus simples. Nous allons vers eux tout de suite.

Table dérivée de fonctions simples

1. Dérivée d'une constante (nombre). Tout nombre (1, 2, 5, 200 ...) qui se trouve dans l'expression de la fonction. Toujours zéro. Ceci est très important à retenir, car il est nécessaire très souvent
2. Dérivée de la variable indépendante. Le plus souvent "x". Toujours égal à un. Ceci est également important à retenir pendant longtemps.
3. Degré dérivé. Lorsque vous résolvez des problèmes, vous devez transformer des racines non carrées en une puissance.
4. Dérivée d'une variable à la puissance -1
5. Dérivé racine carrée
6. Dérivée du sinus
7. Dérivée du cosinus
8. Dérivée de la tangente
9. Dérivée de la cotangente
10. Dérivée de l'arc sinus
11. Dérivée de l'arccosinus
12. Dérivée de l'arctangente
13. Dérivée d'arc cotangente
14. Dérivée du logarithme népérien
15. Dérivée de la fonction logarithmique
16. Dérivée de l'exposant
17. Dérivée de la fonction exponentielle

Règles de différenciation

1. Dérivé de la somme ou de la différence
2. Dérivé de l'œuvre
2a. Dérivée d'une expression multipliée par un facteur constant
3. Dérivée du quotient
4. Dérivée d'une fonction complexe

Règle 1.Si les fonctions

différentiables à un moment donné, puis au même point les fonctions

de plus

celles. la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions.

Conséquence. Si deux fonctions différentiables diffèrent par un terme constant, alors leurs dérivées sont égales, c'est à dire.

Règle 2.Si les fonctions

différentiable à un moment donné, puis au même point leur produit est également différentiable

de plus

celles. la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions par la dérivée de l'autre.

Corollaire 1. Le facteur constant peut être déplacé en dehors du signe de la dérivée:

Corollaire 2. La dérivée du produit de plusieurs fonctions dérivables est égale à la somme des produits de la dérivée de chacun des facteurs par tous les autres.

Par exemple, pour trois facteurs :

Règle 3.Si les fonctions

différentiable à un moment donné et , alors à ce point il est dérivable et leur quotientu / v, et

celles. la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à la fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et du numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré de le numérateur précédent.

Où que chercher sur d'autres pages

Lors de la recherche de la dérivée du produit et du quotient dans des problèmes réels, il est toujours nécessaire d'appliquer plusieurs règles de différenciation à la fois, par conséquent, plus d'exemples sur ces dérivées sont dans l'article« Dérivé d'une œuvre et d'une fonction particulière ».

Commenter. Ne confondez pas une constante (c'est-à-dire un nombre) avec une somme et un facteur constant ! Dans le cas d'un terme, sa dérivée est égale à zéro, et dans le cas d'un facteur constant, elle est retirée du signe des dérivées. ce erreur typique qui se produit le stade initial l'étude des dérivées, mais comme plusieurs exemples à une ou deux composantes sont résolus, l'étudiant moyen ne commet plus cette erreur.

Et si, en différenciant une œuvre ou un particulier, vous avez un terme vous"v, dans lequel vous- un nombre, par exemple 2 ou 5, c'est-à-dire une constante, alors la dérivée de ce nombre sera égale à zéro et donc tout le terme sera égal à zéro (ce cas est analysé dans l'exemple 10).

Autre erreur commune- solution mécanique de la dérivée d'une fonction complexe comme dérivée d'une fonction simple. C'est pourquoi dérivée d'une fonction complexe un article séparé est consacré. Mais d'abord, nous allons apprendre à trouver les dérivées de fonctions simples.

En cours de route, vous ne pouvez pas vous passer de transformations d'expression. Pour ce faire, vous devrez peut-être ouvrir les tutoriels dans de nouvelles fenêtres Actions avec des pouvoirs et des racines et Actions fractionnées .

Si vous recherchez des solutions aux dérivées de fractions avec des puissances et des racines, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , puis suivez la leçon Dérivée de la somme des fractions avec pouvoirs et racines.

Si vous avez une tâche comme , puis votre leçon "Dérivées de fonctions trigonométriques simples".

Exemples étape par étape - comment trouver la dérivée

Exemple 3. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. On détermine les parties de l'expression de la fonction : l'expression entière représente le produit, et ses facteurs sont des sommes, dans la seconde dont l'un des termes contient un facteur constant. On applique la règle de différenciation des produits : la dérivée du produit de deux fonctions est égale à la somme des produits de chacune de ces fonctions par la dérivée de l'autre :

Ensuite, nous appliquons la règle de différentiation de la somme : la dérivée de la somme algébrique des fonctions est égale à la somme algébrique des dérivées de ces fonctions. Dans notre cas, dans chaque somme, le deuxième terme avec un signe moins. Dans chaque somme, nous voyons à la fois une variable indépendante dont la dérivée est égale à un et une constante (nombre) dont la dérivée est égale à zéro. Ainsi, "x" pour nous se transforme en un et moins 5 - en zéro. Dans la deuxième expression, "x" est multiplié par 2, nous multiplions donc deux par la même unité que la dérivée de "x". On obtient les valeurs suivantes des dérivées :

Nous substituons les dérivées trouvées dans la somme des produits et obtenons la dérivée de la fonction entière requise par la condition du problème :

Exemple 4. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Nous devons trouver la dérivée du quotient. On applique la formule de différenciation du quotient : la dérivée du quotient de deux fonctions est égale à une fraction dont le numérateur est la différence entre les produits du dénominateur et la dérivée du numérateur et du numérateur et la dérivée du dénominateur, et le dénominateur est le carré du numérateur précédent. On a:

Nous avons déjà trouvé la dérivée des facteurs au numérateur dans l'exemple 2. N'oubliez pas que le produit qui est le deuxième facteur au numérateur dans l'exemple actuel est pris avec un signe moins :

Si vous cherchez des solutions à des problèmes dans lesquels vous devez trouver la dérivée d'une fonction, où il y a un tas continu de racines et de puissances, comme, par exemple, alors bienvenue en classe « Dérivée de la somme des fractions avec puissances et racines » .

Si vous avez besoin d'en savoir plus sur les dérivées des sinus, cosinus, tangentes et autres fonctions trigonométriques, c'est-à-dire lorsque la fonction ressemble à , puis ta leçon "Dérivées de fonctions trigonométriques simples" .

Exemple 5. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction, nous voyons un produit dont l'un des facteurs est la racine carrée de la variable indépendante, dont nous nous sommes familiarisés avec la dérivée dans le tableau des dérivées. D'après la règle de différentiation du produit et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, on obtient :

Exemple 6. Trouver la dérivée d'une fonction

Solution. Dans cette fonction, on voit le quotient dont le dividende est la racine carrée de la variable indépendante. D'après la règle de dérivation du quotient, que nous avons répétée et appliquée dans l'exemple 4, et la valeur tabulaire de la dérivée de la racine carrée, nous obtenons :

Pour se débarrasser de la fraction dans le numérateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par.