Comment trouver la moyenne géométrique. Moyenne géométrique des nombres - formule et exemples

Dans le calcul de la moyenne est perdu.

La moyenne sens ensemble de nombres est égal à la somme des nombres S divisée par le nombre de ces nombres. C'est-à-dire qu'il s'avère que la moyenne sens est égal à : 19/4 = 4,75.

Remarque

Si vous avez besoin de trouver la moyenne géométrique de deux nombres seulement, vous n'avez pas besoin d'une calculatrice technique : extrayez la racine du deuxième degré ( Racine carrée) à partir de n'importe quel nombre en utilisant la calculatrice la plus courante.

Conseil utile

Contrairement à la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique n'est pas si fortement influencée par les grands écarts et fluctuations entre les valeurs individuelles dans l'ensemble d'indicateurs étudié.

Sources:

• Calculateur de moyenne géométrique en ligne
• Moyenne géométrique

La moyenne valeur est l'une des caractéristiques d'un ensemble de nombres. Représente un nombre qui ne peut pas être en dehors de la plage spécifiée par le plus grand et les plus petites valeurs dans cet ensemble de nombres. La moyenne l'arithmétique est le type de moyenne le plus couramment utilisé.

Instructions

Additionnez tous les nombres de l'ensemble et divisez par le nombre de termes pour obtenir la moyenne arithmétique. Selon les conditions spécifiques du calcul, il est parfois plus facile de diviser chacun des nombres par le nombre de valeurs de l'ensemble et de sommer le résultat.

Utilisez, par exemple, celui fourni avec Windows, s'il n'est pas possible de calculer la moyenne arithmétique dans votre tête. Vous pouvez l'ouvrir à l'aide de la boîte de dialogue de lancement du programme. Pour cela, appuyez sur les "raccourcis clavier" WIN + R ou cliquez sur le bouton "Démarrer" et sélectionnez la commande "Exécuter" dans le menu principal. Tapez ensuite calc dans le champ de saisie et appuyez sur Entrée ou cliquez sur le bouton OK. La même chose peut être faite via le menu principal - ouvrez-le, allez dans la section "Tous les programmes" et dans la section "Standard" et sélectionnez la ligne "Calculatrice".

Saisissez séquentiellement tous les nombres de l'ensemble en appuyant sur la touche Plus après chacun d'eux (sauf le dernier) ou en cliquant sur le bouton correspondant dans l'interface de la calculatrice. Vous pouvez également saisir des chiffres à la fois à partir du clavier et en cliquant sur les boutons correspondants de l'interface.

Appuyez sur la touche barre oblique ou cliquez dessus dans l'interface de la calculatrice après avoir entré la dernière valeur de l'ensemble et tapez le nombre de nombres dans la séquence. Appuyez ensuite sur le signe égal et la calculatrice calculera et affichera la moyenne arithmétique.

Vous pouvez utiliser un éditeur de tableur dans le même but. Microsoft Excel... Dans ce cas, lancez l'éditeur et entrez toutes les valeurs de la séquence de nombres dans les cellules adjacentes. Si, après avoir entré chaque nombre, vous appuyez sur Entrée ou sur la touche fléchée vers le bas ou vers la droite, l'éditeur lui-même déplacera le focus d'entrée vers la cellule adjacente.

Cliquez sur la cellule à côté du dernier nombre entré si vous n'êtes pas satisfait de voir simplement la moyenne arithmétique. Développez la liste déroulante avec la commande sigma grec (Σ) "Modifier" dans l'onglet "Accueil". Sélectionnez la ligne " La moyenne»Et l'éditeur insérera la formule requise pour calculer la moyenne arithmétique dans la cellule sélectionnée. Appuyez sur la touche Entrée et la valeur sera calculée.

La moyenne arithmétique est l'une des mesures de la tendance centrale largement utilisée en mathématiques et en calculs statistiques. Il est très facile de trouver la moyenne arithmétique de plusieurs valeurs, mais chaque tâche a ses propres nuances, qu'il est simplement nécessaire de connaître pour effectuer des calculs corrects.

Quelle est la moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique détermine la valeur moyenne pour l'ensemble du tableau original de nombres. En d'autres termes, à partir d'un certain ensemble de nombres, une valeur commune à tous les éléments est sélectionnée, dont la comparaison mathématique avec tous les éléments est approximativement égale. La moyenne arithmétique est principalement utilisée dans la préparation de rapports financiers et statistiques ou pour le calcul des résultats d'expériences similaires.

Comment trouver la moyenne arithmétique

Trouver la moyenne arithmétique d'un tableau de nombres doit commencer par déterminer la somme algébrique de ces valeurs. Par exemple, si le tableau contient les nombres 23, 43, 10, 74 et 34, alors leur somme algébrique sera de 184. Lors de l'écriture, la moyenne arithmétique est notée par la lettre (mu) ou x (x avec une barre). Ensuite, la somme algébrique doit être divisée par le nombre de nombres dans le tableau. Dans cet exemple, il y avait cinq nombres, donc la moyenne arithmétique sera de 184/5 et sera de 36,8.

Caractéristiques du travail avec des nombres négatifs

Si le tableau contient nombres négatifs, alors la moyenne arithmétique est trouvée en utilisant un algorithme similaire. La différence n'est que lors du calcul dans l'environnement de programmation, ou si le problème contient conditions additionnelles... Dans ces cas, trouver la moyenne arithmétique avec différents signes se résume en trois étapes :

1. Trouver la moyenne arithmétique totale par la méthode standard ;
2. Trouver la moyenne arithmétique de nombres négatifs.
3. Calcul de la moyenne arithmétique des nombres positifs.

Les réponses à chacune des actions sont écrites séparées par des virgules.

Fractions naturelles et décimales

Si le tableau de nombres est représenté fractions décimales, la solution est effectuée par la méthode de calcul de la moyenne arithmétique des nombres entiers, mais la réduction du résultat est faite selon les exigences du problème pour la précision de la réponse.

Lorsque vous travaillez avec fractions naturelles ils doivent être réduits à un dénominateur commun, qui est multiplié par le nombre de nombres dans le tableau. Le numérateur de la réponse sera la somme des numérateurs donnés des éléments fractionnaires d'origine.

• Calculatrice d'ingénierie.

Instructions

Gardez à l'esprit qu'en général, la moyenne géométrique des nombres se trouve en multipliant ces nombres et en en extrayant la racine de la puissance, qui correspond au nombre de nombres. Par exemple, si vous devez trouver la moyenne géométrique de cinq nombres, vous devrez alors extraire la racine de la puissance du produit.

Utilisez la règle de base pour trouver la moyenne géométrique de deux nombres. Trouvez leur produit, puis en extrayez la racine carrée, car les nombres sont deux, ce qui correspond à la puissance de la racine. Par exemple, pour trouver la moyenne géométrique de 16 et 4, trouvez leur produit 16 4 = 64. À partir du nombre obtenu, extraire la racine carrée de √64 = 8. Ce sera la valeur souhaitée. Notez que la moyenne arithmétique de ces deux nombres est supérieure et égale à 10. Si la racine n'est pas complètement extraite, arrondissez le résultat à la bonne commande.

Pour trouver la moyenne géométrique de plus de deux nombres, utilisez également la règle de base. Pour ce faire, trouvez le produit de tous les nombres dont vous avez besoin de trouver la moyenne géométrique. Extraire la racine de la puissance du produit résultant, égal au nombre Nombres. Par exemple, pour trouver la moyenne géométrique des nombres 2, 4 et 64, trouvez leur produit. 2 4 64 = 512. Puisque vous devez trouver le résultat de la moyenne géométrique de trois nombres, extrayez la racine du troisième degré du produit. Il est difficile de le faire verbalement, alors utilisez une calculatrice technique. Pour ce faire, il dispose d'un bouton "x^y". Composez le numéro 512, appuyez sur la touche "x ^ y", puis composez le numéro 3 et appuyez sur la touche "1/x" pour trouver la valeur 1/3, appuyez sur la touche "=". Nous obtenons le résultat d'élever 512 à la puissance 1/3, ce qui correspond à la racine de la troisième puissance. Obtenez 512 ^ 1/3 = 8. C'est la moyenne géométrique de 2,4 et 64.

À l'aide d'une calculatrice technique, vous pouvez trouver la moyenne géométrique d'une manière différente. Trouvez le bouton de connexion sur votre clavier. Après cela, prenez le logarithme de chacun des nombres, trouvez leur somme et divisez-la par le nombre de nombres. Prenez l'antilogarithme du nombre obtenu. Ce sera la moyenne géométrique des nombres. Par exemple, pour trouver la moyenne géométrique des mêmes nombres 2, 4 et 64, effectuez un ensemble d'opérations sur la calculatrice. Composez le numéro 2, puis appuyez sur le bouton log, appuyez sur le bouton "+", composez le numéro 4 et appuyez à nouveau sur log et "+", composez 64, appuyez sur log et "=". Le résultat sera un nombre égal à la somme des logarithmes décimaux des nombres 2, 4 et 64. Divisez le nombre résultant par 3, puisque c'est le nombre de nombres par lesquels la moyenne géométrique est recherchée. A partir du résultat, prenez l'antilogarithme en basculant le bouton de la casse et utilisez la même clé de journal. Le résultat sera le nombre 8, c'est la moyenne géométrique souhaitée.

Contrairement à la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique vous permet d'estimer le degré de changement d'une variable au fil du temps. La moyenne géométrique est la racine nième du produit de n valeurs (Excel utilise la fonction = SRGEOM) :

G = (X 1 * X 2 *… * X n) 1 / n

Un paramètre similaire - la moyenne géométrique du taux de rendement - est déterminé par la formule :

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) *… * (1 + R n)] 1 / n - 1,

où R i est le taux de profit pour I-ième période temps.

Par exemple, supposons que l'investissement initial est de 100 000 $. À la fin de la première année, il tombe au niveau de 50 000 $ et à la fin de la deuxième année, il revient au niveau initial de 100 000 $. l'investissement sur une période de deux ans est égal à 0, puisque les fonds initial et final sont égaux l'un à l'autre. Cependant, la moyenne arithmétique des taux de rendement annuels est = (-0,5 + 1) / 2 = 0,25 ou 25 %, puisque le taux de rendement de la première année R 1 = (50 000 - 100 000) / 100 000 = -0,5 , et dans le second R 2 = (100 000 - 50 000) / 50 000 = 1. Dans le même temps, la moyenne géométrique du taux de profit sur deux ans est : G = [(1-0,5) * (1 + 1 )] 1/2 - 1 = Ѕ - 1 = 1 - 1 = 0. Ainsi, la moyenne géométrique reflète plus précisément l'évolution (plus précisément l'absence d'évolution) du volume des investissements sur une période de deux ans que la moyenne arithmétique .

Faits intéressants. Premièrement, la moyenne géométrique sera toujours inférieure à la moyenne arithmétique des mêmes nombres. Sauf quand tous les nombres pris sont égaux les uns aux autres. Deuxièmement, compte tenu des propriétés triangle rectangle, vous pouvez comprendre pourquoi la moyenne est dite géométrique. La hauteur d'un triangle rectangle, abaissé à l'hypoténuse, est la moyenne proportionnelle entre les projections des jambes sur l'hypoténuse, et chaque jambe est la moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse. Cela donne une manière géométrique de construire la moyenne géométrique de deux (longueurs) de segments : il faut construire un cercle sur la somme de ces deux segments comme dans le diamètre, puis la hauteur restituée depuis le point de leur connexion jusqu'à l'intersection avec le cercle donnera la valeur désirée :

Riz. 4.

La deuxième propriété importante des données numériques est leur variation, qui caractérise le degré de dispersion des données. Deux échantillons différents peuvent différer à la fois des valeurs moyennes et des variations.

Il existe cinq estimations de la variation des données :

gamme interquartile,

dispersion,

écart-type,

le coefficient de variation.

La plage est la différence entre les éléments les plus grands et les plus petits de l'échantillon :

Balayage = X Max - X Min

La taille de l'échantillon contenant des données sur les rendements annuels moyens de 15 fonds communs de placement avec des haut niveau le risque peut être calculé à l'aide d'un tableau ordonné : Swing = 18,5 - (-6,1) = 24,6. Cela signifie que la différence entre le rendement annuel moyen le plus élevé et le plus faible des fonds présentant un niveau de risque très élevé est de 24,6 %.

L'étendue mesure la dispersion globale des données. Alors que la taille de l'échantillon est une estimation très simple de la dispersion globale des données, sa faiblesse est qu'elle ne prend pas en compte exactement la manière dont les données sont réparties entre les éléments minimum et maximum. L'échelle B démontre que si l'échantillon contient au moins une valeur extrême, l'étendue de l'échantillon s'avère être une estimation très imprécise de la dispersion des données.

Le sujet de la moyenne arithmétique et de la moyenne géométrique est inclus dans le programme de mathématiques de la 6e à la 7e année. Puisque le paragraphe est assez simple à comprendre, il est rapidement passé, et à l'achèvement année scolaire les écoliers l'oublient. Mais des connaissances en statistiques de base sont nécessaires pour réussir l'USE, ainsi que pour les examens internationaux SAT. Et pour Vie courante la pensée analytique développée ne fait jamais de mal.

Comment calculer la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des nombres

Disons qu'il y a une série de nombres : 11, 4 et 3. La moyenne arithmétique est la somme de tous les nombres divisée par le nombre de nombres donnés. C'est-à-dire que dans le cas des nombres 11, 4, 3, la réponse est 6. Comment obtient-on 6 ?

Résolution : (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Le dénominateur doit contenir un nombre égal au nombre de nombres dont il faut trouver la moyenne. La somme est divisée par 3, puisqu'il y a trois termes.

Maintenant, nous devons traiter la moyenne géométrique. Disons qu'il y a une rangée de nombres : 4, 2 et 8.

La moyenne géométrique des nombres est le produit de tous les nombres donnés sous la racine avec une puissance égale au nombre de ces nombres, c'est-à-dire que dans le cas des nombres 4, 2 et 8, la réponse est 4. Voici comment cela s'est passé :

Solution : (4 × 2 × 8) = 4

Dans les deux cas, des réponses entières ont été obtenues, puisque des nombres spéciaux ont été pris pour l'exemple. Ce n'est pas toujours le cas. Dans la plupart des cas, la réponse doit être arrondie ou laissée sous la racine. Par exemple, pour les nombres 11, 7 et 20, la moyenne arithmétique est ≈ 12,67 et la moyenne géométrique est ∛ 1540. Et pour les numéros 6 et 5, les réponses, respectivement, seront 5,5 et √30.

Se pourrait-il que la moyenne arithmétique devienne égale à la moyenne géométrique ?

Bien sûr qu'il le peut. Mais seulement dans deux cas. S'il existe une série de nombres constitués uniquement de uns ou de zéros. Il est également à noter que la réponse ne dépend pas de leur nombre.

Preuve avec des uns : (1 + 1 + 1) / 3 = 3/3 = 1 (moyenne arithmétique).

∛ (1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (moyenne géométrique).

Preuve avec des zéros : (0 + 0) / 2 = 0 (moyenne arithmétique).

√ (0 × 0) = 0 (moyenne géométrique).

Il n'y a pas d'autre option et ne peut pas l'être.

Les valeurs moyennes jouent un rôle important dans les statistiques, car ils permettent d'obtenir une caractéristique généralisante du phénomène analysé. La moyenne la plus courante est, bien sûr. Il se produit lorsque l'indicateur agrégé est formé à l'aide de la somme des éléments. Par exemple, la masse de plusieurs pommes, le revenu total pour chaque jour de vente, etc. Mais ce n'est pas toujours le cas. Parfois, un indicateur agrégé est formé non pas à la suite d'une sommation, mais à la suite d'autres opérations mathématiques.

Considérez l'exemple suivant. L'inflation mensuelle est la variation du niveau des prix d'un mois par rapport au précédent. Si vous connaissez les taux d'inflation pour chaque mois, comment obtenez-vous la valeur annuelle ? D'un point de vue statistique, il s'agit d'un indice en chaîne, la bonne réponse est donc de multiplier les taux d'inflation mensuels. Autrement dit, le taux d'inflation global n'est pas la somme, mais le produit. Maintenant, comment connaître l'inflation mensuelle moyenne, s'il existe une valeur annuelle ? Non, ne divisez pas par 12, mais extrayez la racine de la puissance 12 (la puissance dépend du nombre de facteurs). En général, la moyenne géométrique est calculée par la formule :

C'est-à-dire qu'il s'agit de la racine du produit des données d'origine, où le degré est déterminé par le nombre de facteurs. Par exemple, la moyenne géométrique de deux nombres est la racine carrée de leur produit

de trois nombres - racine cubique du travail

etc.

Si chaque nombre d'origine est remplacé par leur moyenne géométrique, le produit donnera le même résultat.

Pour mieux comprendre ce qu'est la moyenne géométrique et en quoi elle diffère de la moyenne arithmétique, considérons la figure suivante. Il y a un triangle rectangle inscrit dans un cercle.

De angle droit omis la médiane une(au milieu de l'hypoténuse). De plus, la hauteur est omise à partir de l'angle droit b qui au point P divise l'hypoténuse en deux parties m et m... Parce que l'hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit, et la médiane est le rayon, alors il est évident que la longueur de la médiane une est la moyenne arithmétique de m et m.

Calculons à quoi la hauteur est égale à b... En raison de la similitude des triangles ABP et bcp juste égalité

C'est-à-dire que la hauteur d'un triangle rectangle est la moyenne géométrique des segments en lesquels il divise l'hypoténuse. Une si nette différence.

En MS Support Excel géométrique peut être trouvé en utilisant la fonction SRGEOM.

Tout est très simple : appelez la fonction, spécifiez la plage, et le tour est joué.

En pratique, cet indicateur n'est pas utilisé aussi souvent que la moyenne arithmétique, mais il se produit quand même. Par exemple, il existe de telles indice de développement humain, à l'aide duquel le niveau de vie dans différents pays... Il est calculé comme la moyenne géométrique de plusieurs indices.

Il existe également d'autres moyennes. A propos d'eux une autre fois.

Moyenne géométrique appliquée dans les cas où les valeurs individuelles de la caractéristique sont valeurs relatives dynamique, construite sous forme de quantités en chaîne, en relation avec le niveau précédent de chaque niveau dans une série de dynamiques, c'est-à-dire qu'elle caractérise le taux de croissance moyen.

Le mode et la médiane sont très souvent calculés dans les problèmes statistiques et ils s'ajoutent aux caractéristiques moyennes de la population et sont utilisés en statistique mathématique pour analyser le type de séries de distribution, qui peut être normale, asymétrique, symétrique, etc.

En plus de la médiane, les valeurs de l'attribut sont calculées en divisant la population en quatre parties égales - quatuors, en cinq parties - quintelles, par dix parts égales - de-buts, cent parties égales - centiles... L'utilisation de la distribution des caractéristiques considérées en statistique dans l'analyse des séries variationnelles permet de caractériser plus en profondeur et en détail la population étudiée.