Comment diviser un cercle en 4 parties égales. Diviser un cercle en parties égales

À l'aide d'un compas et d'une règle, vous pouvez diviser le cercle en plusieurs parties. Les mathématiciens ont prouvé qu'il est possible de diviser en 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, ..., 257, ... parties, en 7, 9, 11, 13, 14, ... les pièces ne peuvent pas ...

Malheureusement, il n'y a pas de façon uniforme de diviser. Voici les plus importants.

1) Division du cercle en 6, 3, 12, 24,…, 3 × 2 k (k = 0,1,2,3,…) parties égales.

Nous commençons par diviser un cercle en 6 parties... Pour cela, avec la même solution du compas, qui a servi à tracer le cercle, depuis n'importe quel point du cercle, comme depuis le centre, il faut tracer un cercle. Répétez ensuite la procédure en prenant comme centre le point d'intersection du départ et des nouveaux cercles.

Pour diviser un cercle en 3 parties, vous devez le diviser en 6 parties et prendre des points à travers une (Fig. 5a). Pour diviser le cercle en 12 parties, vous devez le diviser en 6 parties et diviser chaque arc en deux, puis le processus de division des arcs en deux peut être poursuivi indéfiniment.

La longueur de la perpendiculaire tombant du centre du cercle au côté de l'hexagone est une bonne approximation de la longueur du côté de l'heptagone inscrit dans le cercle (indiqué par des hachures sur la figure 5a). Longueur perpendiculaire ≈0.866R, longueur du côté heptagone ≈0.868R - précision 2%.

2) Division du cercle en 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k = 1,2,3,…) parties égales.

Vous pouvez diviser le cercle en 2 parties à l'aide d'une règle en traçant une ligne droite passant par le centre du cercle. Mais vous pouvez reporter le rayon du cercle 3 fois à partir de n'importe quel point du cercle. Les points de départ et d'arrivée divisent le cercle en deux (un diamètre peut être tracé à travers eux - Fig. 5a). Pour diviser le cercle en 4 parties, vous devez diviser par deux les arcs résultants. L'exécution séquentielle de la division des arcs résultants en deux assure la division du cercle par 8, 16, etc. les pièces.

3) Division du cercle en 5 parties.

La méthode de construction adoptée dans le dessin utilise le rapport entre les côtés d'un décagone régulier ( un 10) et pentagone régulier ( un 5) - un 5 2 = R 2 + un 10 2. La construction est réalisée comme suit. Dessinons 2 lignes perpendiculaires passant par le centre du cercle O. A et B - les points de leur intersection avec le cercle. Du point A, comme du centre, tracer un cercle de même rayon (trouver le milieu du segment AO - point C). A partir du milieu du segment AO du point C, tracez un autre cercle de rayon CB. Le segment BE est égal au côté du pentagone, OE est le décagone (Fig. 5b).

Vous pouvez diviser le cercle en 5 et 10 parties de la manière illustrée à la figure 5c. Le segment BC est le côté du pentagone, AC est le côté du décagone. Nous discuterons des propriétés remarquables du pentagone et du décagone et pourquoi la méthode de construction illustrée à la figure 5c est correcte dans le prochain chapitre.

Madrasah Kukeldash (XVIe siècle, Tachkent)

La figure 5d montre la réception d'une solution géométrique approximative au problème de la division d'un cercle en un nombre quelconque de parties. Supposons, par exemple, que vous souhaitiez diviser ce cercle en 7 parties égales. Construisons un triangle équilatéral ABC sur le diamètre du cercle AB et divisons le diamètre AB par le point D par rapport à AD : AB = 2 : 7 (dans le cas général 2 : n). Pour ce faire, vous devez tracer une ligne auxiliaire, y poser n + 2 segments identiques, relier le point extrême au point B et tracer une ligne droite parallèle à la ligne BF passant par le deuxième point. Tracez la ligne DC jusqu'à l'intersection avec le cercle. L'arc AE constituera la 7ème partie du cercle (dans le cas général, la nième). Cette méthode pour n<11 дает погрешность не более 1%.

Des algorithmes pour diviser un cercle en parties égales peuvent être utilisés, par exemple, pour construire les points de référence des spirales - la spirale d'Archimède, du nom du grand scientifique grec antique Archimède (IIIe siècle av. spirale.

Diviser un cercle en quatre parties égales et construire un quadrilatère régulier inscrit(fig. 6).

Deux lignes médianes mutuellement perpendiculaires divisent le cercle en quatre parties égales. En reliant les points d'intersection de ces droites avec le cercle de droites, on obtient un quadrilatère inscrit régulier.

Diviser un cercle en huit parties égales et construire un octogone régulier inscrit(fig. 7).

La division du cercle en huit parties égales est effectuée à l'aide d'une boussole comme suit.

A partir des points 1 et 3 (points d'intersection des lignes médianes avec un cercle) avec un rayon R arbitraire, des arcs sont tracés jusqu'à ce qu'ils se coupent, avec le même rayon à partir du point 5, une encoche est faite sur un arc tracé à partir du point 3.

Des lignes droites sont tracées à travers les points d'intersection des empattements et le centre du cercle jusqu'à ce qu'elles coupent le cercle aux points 2, 4, 6, 8.

Si les huit points résultants sont connectés en série avec des lignes droites, vous obtenez un octogone régulier inscrit.

Diviser un cercle en trois parties égales et construire un triangle inscrit régulier(fig. 8).

Option 1.

Lorsque vous divisez le cercle avec une boussole en trois parties égales à partir de n'importe quel point du cercle, par exemple, le point A de l'intersection des lignes médianes avec le cercle, tracez un arc avec un rayon R égal au rayon du cercle, obtenez points 2 et 3. Le troisième point de division (point 1) sera à l'extrémité opposée du diamètre passant par le point A. reliant successivement les points 1, 2 et 3, obtenez un triangle inscrit régulier.

Option 2.

Lors de la construction d'un triangle inscrit régulier, si l'un de ses sommets est donné, par exemple, on trouve le point 1, on trouve le point A. Pour ce faire, un diamètre est tracé à travers un point donné (Fig. 8). Le point A sera à l'extrémité opposée de ce diamètre. Ensuite, un arc est tracé avec un rayon R égal au rayon d'un cercle donné, les points 2 et 3 sont obtenus.

Diviser un cercle en six parties égales et construire un hexagone régulier inscrit(fig. 9).

Lorsque vous divisez un cercle en six parties égales à l'aide d'un compas à partir de deux extrémités de même diamètre avec un rayon égal au rayon d'un cercle donné, tracez des arcs jusqu'à ce qu'ils se coupent avec le cercle aux points 2, 6 et 3, 5. En reliant les points obtenus, un hexagone inscrit régulier est obtenu.

Diviser un cercle en douze parties égales et construire un dodécagone inscrit régulier(fig. 10).

Lorsque vous divisez un cercle avec une boussole à partir des quatre extrémités de deux diamètres mutuellement perpendiculaires d'un cercle, tracez des arcs avec un rayon égal au rayon d'un cercle donné jusqu'à ce qu'ils se coupent avec le cercle (Fig. 10). En connectant successivement les points d'intersection obtenus, un dodécagone inscrit régulier est obtenu.

Diviser un cercle en cinq parties égales et construire un pentagone inscrit régulier ( fig. 11).

Lors de la division d'un cercle avec une boussole, la moitié de n'importe quel diamètre (rayon) est divisée en deux, on obtient le point A. À partir du point A, à partir du centre, tracez un arc avec un rayon égal à la distance du point A au point 1 , jusqu'à ce qu'il coupe la seconde moitié de ce diamètre au point B. Le segment 1B est égal à la corde contractant l'arc dont la longueur est égale à 1/5 de la circonférence. En faisant des encoches sur un cercle de rayon R1 égal au segment 1B, divisez le cercle en cinq parties égales. Le point de départ A est choisi en fonction de l'emplacement du pentagone.

Les points 2 et 5 sont construits à partir du point 1, puis le point 3 est construit à partir du point 2 et le point 4 est construit à partir du point 5. La distance du point 3 au point 4 est vérifiée avec une boussole ; si la distance entre les points 3 et 4 est égale au segment 1B, alors les constructions ont été réalisées exactement.

Il est impossible d'effectuer les empattements séquentiellement, dans un sens, car l'accumulation d'erreurs de mesure se produit et le dernier côté du pentagone est asymétrique. En connectant séquentiellement les points trouvés, vous obtenez un pentagone inscrit régulier.

Diviser un cercle en dix parties égales et construire un décagone régulier inscrit(fig. 12).

La division d'un cercle en dix parties égales s'effectue de la même manière que la division d'un cercle en cinq parties égales (Fig. 11), mais divisez d'abord le cercle en cinq parties égales, en partant du point 1, puis du point 6, situé à l'extrémité opposée du diamètre. En connectant tous les points dans l'ordre, vous obtenez un décagone inscrit régulier.

Diviser un cercle en sept parties égales et construire un heptagone inscrit régulier(fig. 13).

A partir de n'importe quel point du cercle, par exemple, le point A, avec le rayon d'un cercle donné, tracez un arc jusqu'à ce qu'il coupe le cercle aux points B et D d'une ligne droite.

La moitié du segment résultant (dans ce cas, le segment BC) sera égale à la corde qui contracte l'arc, qui est 1/7 de la circonférence. Avec un rayon égal au segment BC, faites des encoches sur le cercle dans l'ordre indiqué lors de la construction d'un pentagone régulier. En reliant successivement tous les points, on obtient un heptagone inscrit régulier.

Diviser le cercle en quatorze parties égales et construire un quatorze gon régulier inscrit (fig. 14).

La division d'un cercle en quatorze parties égales s'effectue de la même manière que la division d'un cercle en sept parties égales (Fig. 13), mais divisez d'abord le cercle en sept parties égales, en partant du point 1, puis du point 8, situé à l'extrémité opposée du diamètre. En reliant successivement tous les points, on obtient un quatorze-gon inscrit régulier.

Instructions

Rompre cercle en quatre parties égales est très simple, c'est une tâche triviale. Pour ce faire, il vous suffit de tracer deux lignes médianes perpendiculaires l'une à l'autre. Points à l'intersection de ces lignes avec cercle yu et en quatre parties. Plus souvent divisé cercle pas quatre, mais huit parts égales. Pour ce faire, vous devrez diviser l'arc, qui est un quart du cercle, en deux parties égales. Prenez ensuite une boussole et étalez-la à la distance indiquée par la couleur dans l'image. Il ne reste plus qu'à reporter cette distance de chacun des quatre points précédemment obtenus.

Casser cercle en trois parties égales, séparez les jambes par le rayon du cercle. Après cela, à n'importe quel point d'intersection des lignes axiales et du cercle, placez l'aiguille de la boussole. Tracez une ligne fine pour un auxiliaire cercle... Trois parties égales par des points d'intersection et des cercles de construction, ainsi qu'un point qui se trouve sur la ligne, ou plutôt à son extrémité opposée.

Et si tu as besoin de diviser cercle en six parties égales, alors vous devez faire presque tout de la même manière. La seule différence est que ceux-ci doivent être répétés pour l'autre ligne médiane. Dans ce cas, vous obtenez six points sur le cercle à la fois, comme indiqué sur la figure.

Très souvent, il devient nécessaire de diviser cercle en cinq parties égales. Ce n'est pas non plus difficile à faire. Tout d'abord, vous devez diviser le rayon sur la ligne médiane en deux parties égales. C'est à ce stade que l'aiguille de la boussole est nécessaire. L'avance, cependant, doit être prise jusqu'au point d'intersection du cercle et de la ligne médiane perpendiculaire. Cela se voit clairement sur la figure. Cette distance est indiquée en rouge dessus. Mettez de côté cette distance sur le cercle. Vous devez commencer à partir de la ligne centrale, puis transférer l'aiguille vers le nouveau point d'intersection résultant. Casser cercle en dix parties, répétez toutes les étapes ci-dessus dans une image miroir.

Un cercle est une ligne courbe fermée, dont chaque point est situé à la même distance d'un point O, appelé centre.

Les droites reliant n'importe quel point du cercle à son centre sont appelées rayons R.

La droite AB, reliant deux points du cercle et passant par son centre O, est appelée diamètre RÉ.

Les parties des cercles sont appelées arcs.

La droite CD reliant deux points d'un cercle s'appelle accord.

La droite МN, qui n'a qu'un point commun avec le cercle, est appelée tangente.

La partie du cercle délimitée par l'accord CD et l'arc s'appelle segment.

La partie d'un cercle délimitée par deux rayons et un arc est appelée secteur.

Deux lignes horizontales et verticales mutuellement perpendiculaires se coupant au centre du cercle sont appelées axes d'un cercle.

L'angle formé par deux rayons KOA est appelé coin central.

Deux rayon mutuellement perpendiculaire forment un angle de 90 0 et limite 1/4 du cercle.

Diviser un cercle en parties

Nous dessinons un cercle avec des axes horizontaux et verticaux qui le divisent en 4 parties égales. Dessinés à l'aide d'un compas ou d'une équerre à 45 0, deux lignes perpendiculaires entre elles divisent le cercle en 8 parties égales.

Division d'un cercle en 3 et 6 parties égales (multiples de 3 par trois)

Pour diviser le cercle en 3, 6 et un multiple d'entre eux, on trace un cercle d'un rayon donné et les axes correspondants. La division peut commencer à partir du point d'intersection de l'axe horizontal ou vertical avec le cercle. Le rayon spécifié du cercle est déposé séquentiellement 6 fois. Puis les points obtenus sur le cercle sont successivement reliés par des droites et forment un hexagone inscrit régulier. La connexion des points par l'un donne un triangle équilatéral et la division du cercle en trois parties égales.

La construction d'un pentagone régulier s'effectue comme suit. Nous dessinons deux axes mutuellement perpendiculaires du cercle égaux au diamètre du cercle. Divisez la moitié droite du diamètre horizontal en deux à l'aide de l'arc R1. A partir du point "a" obtenu au milieu de ce segment de rayon R2, tracez un arc de cercle jusqu'à ce qu'il coupe le diamètre horizontal au point "b". Avec un rayon R3 à partir du point "1" tracez un arc de cercle jusqu'à ce qu'il coupe un cercle donné (point 5) et obtenez le côté d'un pentagone régulier. La distance "b-O" donne le côté d'un décagone régulier.

Diviser un cercle en N-ième nombre de parties identiques (construire un polygone régulier à partir de N côtés)

Elle s'effectue de la manière suivante. Nous dessinons horizontal et vertical mutuellement perpendiculaires à l'axe du cercle. À partir du point supérieur "1" du cercle, tracez une ligne droite à un angle arbitraire par rapport à l'axe vertical. Sur celui-ci, nous posons des segments égaux de longueur arbitraire, dont le nombre est égal au nombre de parties en lesquelles nous divisons le cercle donné, par exemple 9. L'extrémité du dernier segment est reliée au point inférieur du diamètre vertical . Nous traçons des lignes parallèles à celle obtenue depuis les extrémités des segments différés jusqu'à l'intersection avec le diamètre vertical, divisant ainsi le diamètre vertical d'un cercle donné en un nombre donné de parties. Avec un rayon égal au diamètre du cercle, à partir du point bas de l'axe vertical, tracez un arc MN jusqu'à ce qu'il coupe le prolongement de l'axe horizontal du cercle. À partir des points M et N, nous dessinons des rayons passant par les points de division pairs (ou impairs) du diamètre vertical jusqu'à ce qu'ils coupent le cercle. Les segments obtenus du cercle seront ceux requis, puisque points 1, 2,…. 9 diviser le cercle en 9 (N) parties égales.

Pour trouver le centre d'un arc de cercle, il faut effectuer les constructions suivantes : sur cet arc, marquer quatre points arbitraires A, B, C, D et les relier deux à deux par des accords AB et CD. On divise chacun des accords en deux à l'aide d'un compas, obtenant ainsi une perpendiculaire passant par le milieu de l'accord correspondant. L'intersection mutuelle de ces perpendiculaires donne le centre de cet arc et le cercle correspondant.

Il peut être divisé de deux manières. Pour l'un d'eux, vous aurez besoin d'une boussole et d'une règle, et pour l'autre, d'une règle et d'un rapporteur. Quelle option est préférable est à vous.

Tu auras besoin de

• - boussole
• - règle
• - rapporteur

Instructions

Soit un cercle de rayon R. Il faut le diviser en trois parties égales à l'aide d'un compas. Ouvrez la boussole par le montant du rayon du cercle. Vous pouvez utiliser une règle dans ce cas, ou vous pouvez mettre l'aiguille de la boussole au centre du cercle et amener la jambe vers le cercle qui décrit le cercle. La règle vous sera utile plus tard de toute façon.Placez l'aiguille de la boussole n'importe où sur le cercle qui décrit le cercle, et avec un crayon tracez un petit arc qui coupe le contour extérieur du cercle. Ensuite, placez l'aiguille de la boussole sur le point d'intersection trouvé et dessinez à nouveau l'arc avec le même rayon (égal au rayon du cercle). Répétez ces étapes jusqu'à ce que le prochain point d'intersection coïncide avec le tout premier. Vous obtiendrez six points également espacés sur le cercle. Il reste à sélectionner trois points à travers un et à les connecter avec une règle au centre du cercle, et vous obtiendrez un cercle divisé par trois.

Pour diviser le cercle en trois parties à l'aide d'un rapporteur, il suffit de se rappeler qu'un tour complet autour de son axe est de 360° -. Alors l'angle correspondant au tiers du cercle est de 360 ​​° - / 3 = 120 ° -. Maintenant, mettez de côté trois fois un angle de 120 ° - à l'extérieur du cercle et connectez les points résultants sur le cercle avec le centre.

Remarque

Si vous connectez les points non pas au centre, mais entre eux, vous obtiendrez un triangle équilatéral.

La méthode décrite dans la première étape permet également d'obtenir la division du cercle en six parties égales.