Produit mixte de vecteurs a b c. Produit mixte de vecteurs

Produit mixte (ou vecteur-scalaire) trois vecteurs a, b, c (pris dans cet ordre) est appelé le produit scalaire du vecteur a et du produit vectoriel b x c, c'est-à-dire le nombre a(b x c), ou, ce qui revient au même, (b x c)a.
Désignation : abc.

Rendez-vous. La calculatrice en ligne est conçue pour calculer le produit mixte de vecteurs. La solution résultante est enregistrée dans un fichier Word. De plus, un modèle de solution est créé dans Excel.

une ( ; ; )
b( ; ; )
c( ; ; )
Lors du calcul du déterminant, utilisez la règle des triangles

Signes de complanarité vectorielle

Trois vecteurs (ou plus) sont dits coplanaires s'ils, réduits à une origine commune, se trouvent dans le même plan.
Si au moins un des trois vecteurs est nul, alors les trois vecteurs sont également considérés comme coplanaires.

Signe de coplanarité. Si le système a, b, c est juste, alors abc>0 ; si à gauche, alors abc La signification géométrique du produit mixte. produit mixte abc de trois vecteurs non coplanaires a, b, c est égal au volume du parallélépipède construit sur les vecteurs a, b, c, pris avec un signe plus si le système a, b, c est droit, et avec un moins signe si ce système est laissé.

Propriétés du produit mixte

1. Avec une permutation circulaire de facteurs, le produit mixte ne change pas, avec une permutation de deux facteurs, il inverse son signe : abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Il découle de la signification géométrique.
2. (a+b)cd=acd+bcd (propriété distributive). S'étend à n'importe quel nombre de termes.
   Il découle de la définition d'un produit mixte.
3. (ma)bc=m(abc) (propriété associative par rapport au facteur scalaire).
   Il découle de la définition d'un produit mixte. Ces propriétés permettent d'appliquer des transformations à des produits mixtes qui ne diffèrent des produits algébriques ordinaires que par le fait que l'ordre des facteurs ne peut être modifié qu'en tenant compte du signe du produit.
4. Un produit mixte qui a au moins deux facteurs égaux est égal à zéro : aab=0 .

Exemple 1. Trouvez un produit mixte. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Exemple #2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca . Tous les termes, sauf les deux extrêmes, sont égaux à zéro. Aussi, bca=abc . Donc (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Exemple #3. Calculer le produit mixte de trois vecteurs a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Solution. Pour calculer le produit mixte des vecteurs, il faut trouver le déterminant du système composé des coordonnées des vecteurs. On écrit le système sous la forme

le calculateur en ligne calcule le produit mixte des vecteurs. Une solution détaillée est donnée. Pour calculer le produit mixte de vecteurs, sélectionnez la méthode de représentation des vecteurs (par coordonnées ou par deux points), entrez les données dans les cellules et cliquez sur "Calculer".

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Instruction de saisie de données. Les nombres sont saisis sous forme de nombres entiers (exemples : 487, 5, -7623, etc.), de nombres décimaux (par exemple, 67, 102,54, etc.) ou de fractions. La fraction doit être saisie sous la forme a/b, où a et b (b>0) sont des nombres entiers ou Nombres décimaux. Exemples 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, etc.

Produit mixte de vecteurs (théorie)

produit mélangé de trois vecteurs est le nombre qui résulte du produit scalaire du résultat du produit croisé des deux premiers vecteurs et du troisième vecteur. Autrement dit, étant donné trois vecteurs un B et c, puis pour obtenir le produit mixte de ces vecteurs, d'abord les deux premiers vecteurs et le vecteur résultant [ un B] est un scalaire multiplié par le vecteur c.

Produit mixte de trois vecteurs un B et c noté comme ceci : abc ou alors ( abc). Ensuite, vous pouvez écrire :

abc=([un B],c)

Avant de formuler un théorème représentant le sens géométrique d'un produit mixte, familiarisez-vous avec les notions de triplet droit, de triplet gauche, de repère droit, de repère gauche (définitions 2, 2" et 3 sur la page en ligne du produit vectoriel ).

Pour plus de précision, dans ce qui suit, nous ne considérerons que les systèmes de coordonnées droitiers.

Théorème 1. Produit mixte de vecteurs ([un B],c) est égal au volume du parallélépède construit sur des vecteurs réduits à une origine commune un, b, c, pris avec un signe plus, si le triple un, b, cà droite, et avec un signe moins si le triple un, b, cà gauche. Si les vecteurs un, b, c sont coplanaires, alors ([ un B],c) est zéro.

Corollaire 1. L'égalité suivante est vérifiée :

Il nous suffit donc de prouver que

([un B],c)=([avant JC],une)

(3)

On peut voir à partir de l'expression (3) que les parties gauche et droite sont égales au volume du parallélépipède. Mais les signes des côtés droit et gauche coïncident également, puisque les triplets de vecteurs abc et bca ont la même orientation.

L'égalité prouvée (1) permet d'écrire le produit mixte de trois vecteurs un, b, c juste sous la forme abc, sans préciser quels sont les deux vecteurs multipliés vectoriellement par les deux premiers ou les deux derniers.

Corollaire 2. Nécessaire et condition suffisante la coplanarité de trois vecteurs est l'égalité à zéro de leur produit mixte.

La preuve découle du théorème 1. En effet, si les vecteurs sont coplanaires, alors le produit mixte de ces vecteurs est égal à zéro. Inversement, si le produit mixte est égal à zéro, alors la coplanarité de ces vecteurs découle du théorème 1 (puisque le volume d'un parallélépipède construit sur des vecteurs réduits à une origine commune est égal à zéro).

Corollaire 3. Le produit mixte de trois vecteurs, dont deux sont identiques, est égal à zéro.

Vraiment. Si deux des trois vecteurs sont identiques, alors ils sont coplanaires. Par conséquent, le produit mixte de ces vecteurs est nul.

Produit mixte de vecteurs en coordonnées cartésiennes

Théorème 2. Soit trois vecteurs un B et c définis par leurs coordonnées rectangulaires cartésiennes

Preuve. produit mixte abc est égal au produit scalaire des vecteurs [ un B] et c. Produit vectoriel de vecteurs [ un B] en coordonnées cartésiennes est calculé par la formule ():

La dernière expression peut être écrite en utilisant des déterminants du second ordre :

il faut et il suffit que le déterminant soit égal à zéro dont les lignes sont remplies des coordonnées de ces vecteurs, soit :

.

(7)

Pour prouver le corollaire, il suffit de considérer la formule (4) et le corollaire 2.

Produit mixte de vecteurs avec des exemples

Exemple 1. Trouver le produit mixte de vecteurs abdos, où

Produit mixte de vecteurs un, b, cégal au déterminant de la matrice L. Calculer le déterminant de la matrice L, en développant le déterminant le long de la ligne 1 :

Point final du vecteur une.

Afin d'examiner ce sujet en détail, vous devez couvrir quelques sections supplémentaires. Le sujet est directement lié à des termes tels que produit scalaire et produit croisé. Dans cet article, nous avons essayé de donner une définition exacte, d'indiquer une formule qui permettra de déterminer le produit à l'aide des coordonnées des vecteurs. En outre, l'article comprend des sections énumérant les propriétés de l'œuvre et présente analyse détailléeégalités et problèmes typiques.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Terme

Afin de déterminer ce qu'est ce terme, vous devez prendre trois vecteurs.

Définition 1

produit mélangé a → , b → et d → est la valeur qui est égale au produit scalaire de a → × b → et d → , où a → × b → est la multiplication de a → et b → . L'opération de multiplication a → , b → et d → est souvent notée a → · b → · d → . Vous pouvez transformer la formule comme ceci : a → b → d → = (a → × b → , d →) .

Multiplication dans un système de coordonnées

Nous pouvons multiplier les vecteurs s'ils sont spécifiés sur le plan de coordonnées.

Prenons i → , j → , k →

Le produit de vecteurs dans une donnée cas particulier ressemblera à ceci : a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx + ax bz) j → + (ax by + ay bx) k → = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k →

Définition 2

Pour effectuer un produit scalaire dans le repère, il faut additionner les résultats obtenus lors de la multiplication des coordonnées.

Donc:

a → × b → = (ay bz - az par) je → + (az bx + ax bz) j → + (ax par + ay bx) k → = ayazbybz je → - axazbxbz j → + axaybxby k →

Nous pouvons également définir un produit mixte de vecteurs si, dans un système de coordonnées donné, les coordonnées des vecteurs qui sont multipliés sont spécifiées.

a → × b → = (ayazbybz je → - axazbxbz j → + axaybxby k → , dx je → + dy j → + dz k →) = = ayazbybz dx - axazbxbz dy + axaybxby dz = axayazbxbybzdxdydz

Ainsi, on peut conclure que :

une → b → ré = une → × b → , ré → = une X une y une z b X b y b z ré X ré y ré z

Définition 3

Un produit mixte peut être assimilé au déterminant d'une matrice dont les lignes sont des coordonnées vectorielles. Visuellement, cela ressemble à ceci : a → b → ré = a → × b → , ré → = a X a y a z b X b y b z ré X ré y ré z .

Propriétés des opérations sur les vecteurs A partir des traits qui ressortent dans le scalaire ou produit vectoriel, nous pouvons déduire les caractéristiques qui caractérisent le produit mixte. Nous en présentons ci-dessous les principales propriétés.

1. (λ une →) b → ré → = une → (λ b →) ré → = une → b → (λ ré →) = λ une → b → ré → λ ∈ R ;
2. une → b → ré → = ré → une → b → = b → ré → une → ; une → ré → b → = b → une → ré → = ré → b → une → ;
3. (une (1) → + une (2) →) b → ré → = une (1) → b → ré → + une (2) → b → ré → une → (b(1) → + b (2) →) ré → = une → b (1) → ré → + une → b (2) → ré → une → b → (ré (1) → + ré (2) →) = une → b → ré (2) → + une → b → ré (2) →

En plus des propriétés ci-dessus, il convient de préciser que si le facteur est égal à zéro, le résultat de la multiplication sera également égal à zéro.

Le résultat de la multiplication sera également nul si deux facteurs ou plus sont égaux.

En effet, si a → = b → , alors, suivant la définition du produit vectoriel [ a → × b → ] = a → b → sin 0 = 0 , donc, le produit mixte est égal à zéro, puisque ([ a → × b → ] , ré →) = (0 → , ré →) = 0 .

Si a → = b → ou b → = d → , alors l'angle entre les vecteurs [ a → × b → ] et d → est égal à π 2 . Par définition du produit scalaire de vecteurs ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Les propriétés de l'opération de multiplication sont le plus souvent requises lors de la résolution de problèmes.
Afin d'analyser ce sujet en détail, prenons quelques exemples et décrivons-les en détail.

Exemple 1

Démontrer l'égalité ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) , où λ est un nombre réel.

Pour trouver une solution à cette égalité, il faut transformer son côté gauche. Pour ce faire, vous devez utiliser la troisième propriété du produit mixte, qui se lit comme suit :

([ une → × b → ] , ré → + λ une → + b →) = ([ une → × b → ] , ré →) + ([ une → × b → ] , λ une →) + ( [ une → × b → ] , b →)
Nous avons analysé que (([ a → × b → ] , b →) = 0 . Il en résulte que
([ une → × b → ] , ré → + λ une → + b →) = ([ une → × b → ] , ré →) + ([ une → × b → ] , λ une →) + ( [ une → × b → ] , b →) = = ([ une → × b → ] , ré →) + ([ une → × b → ] , λ une →) + 0 = ([ une → × b → ] , ré →) + ([ une → × b → ] , λ une →)

D'après la première propriété ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) , et ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) = 0 . Ainsi, ([ une ⇀ × b ⇀ ] , λ · une →) . Alors,
([ une ⇀ × b ⇀ ] , ré → + λ une → + b →) = ([ une ⇀ × b ⇀ ] , ré →) + ([ une ⇀ × b ⇀ ] , λ une →) = = ([ une ⇀ × b ⇀ ] , ré →) + 0 = ([ une ⇀ × b ⇀ ] , ré →)

L'égalité a été prouvée.

Exemple 2

Il faut prouver que le module du produit mixte de trois vecteurs n'est pas supérieur au produit de leurs longueurs.

Solution

Sur la base de la condition, nous pouvons représenter l'exemple comme une inégalité a → × b → , d → ≤ a → b → d → .

Par définition, on transforme l'inégalité a → × b → , d → = a → × b → d → cos (a → × b → ^ , d →) = = a → b → sin (a → , b → ^) ré → cos ([ une → × b → ^ ] , ré)

En utilisant des fonctions élémentaires, nous pouvons conclure que 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1 , 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ] , d →) ≤ 1 .

De cela on peut conclure que
(a → × b → , ré →) = a → b → sin (a → , b →) ^ ré → cos (a → × b → ^ , ré →) ≤ ≤ a → b → 1 ré → 1 = une → b → ré →

L'inégalité est avérée.

Analyse des tâches types

Afin de déterminer quel est le produit des vecteurs, il faut connaître les coordonnées des vecteurs multipliés. Pour l'opération, vous pouvez utiliser la formule suivante a → b → d → = (a → × b → , d →) = a X a y a z b X b y b z d X d y d z .

Exemple 3

Dans un système de coordonnées rectangulaires, il y a 3 vecteurs avec les coordonnées suivantes : a → = (1 , - 2 , 3) ​​​​ , b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , - 2 , 5 ). Il est nécessaire de déterminer à quoi est égal le produit des vecteurs indiqués a → · b → · d →.

Sur la base de la théorie présentée ci-dessus, nous pouvons utiliser la règle qui stipule que le produit mixte peut être calculé en fonction du déterminant de la matrice. Cela ressemblera à ceci : a → b → d → = (a → × b → , d →) = axayazbxbybzdxdydz = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Exemple 4

Il faut trouver le produit des vecteurs i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 k → , où i → , j → , k → sont les vecteurs unitaires d'un rectangle Système de coordonnées cartésiennes.

Sur la base de la condition que les vecteurs soient situés dans un système de coordonnées donné, nous pouvons dériver leurs coordonnées : i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → - k → = (1 , 1 , - 1 ) je → + j → + 2 k → = (1 , 1 , 2)

Utilisez la formule ci-dessus
je → + j → × (je → + j → - k → , (je → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 je → + j → × (je → + j → - k → , (je → + j → + 2 k →) = 0

Il est également possible de définir le produit mixte en utilisant la longueur du vecteur, qui est déjà connue, et l'angle entre eux. Analysons cette thèse dans un exemple.

Exemple 5

Dans un système de coordonnées rectangulaires, il existe trois vecteurs a → , b → et d → qui sont perpendiculaires les uns aux autres. Ils sont un triple droit et leurs longueurs sont 4 , 2 et 3 . Il faut multiplier les vecteurs.

Notons c → = a → × b → .

Selon la règle, le résultat de la multiplication des vecteurs scalaires est un nombre égal au résultat de la multiplication des longueurs des vecteurs utilisés par le cosinus de l'angle entre eux. Nous concluons que a → b → ré → = ([ a → × b → ] , ré →) = c → , ré → = c → ré → cos (c → , ré → ^) .

Nous utilisons la longueur du vecteur d → spécifié dans l'exemple de condition : a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Il faut définir c → et c → , d → ^ . Par condition a → , b → ^ = π 2 , a → = 4 , b → = 2 . On trouve le vecteur c → à l'aide de la formule : c → = [ a → × b → ] = a → b → sin a → , b → ^ = 4 2 sin π 2 = 8
On peut en conclure que c → est perpendiculaire à a → et b → . Les vecteurs a → , b → , c → seront le bon triplet, donc le système de coordonnées cartésien est utilisé. Les vecteurs c → et d → seront unidirectionnels, c'est-à-dire c → , d → ^ = 0 . En utilisant les résultats dérivés, nous résolvons l'exemple a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

une → · b → · ré → = 24 .

On utilise les facteurs a → , b → et d → .

Les vecteurs a → , b → et d → proviennent du même point. Nous les utilisons comme côtés pour construire une figure.

Notons que c → = [ a → × b → ] . Dans ce cas, vous pouvez définir le produit de vecteurs comme a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = c → npc → d → , où npc → d → est la projection numérique de le vecteur d → à la direction du vecteur c → = [ a → × b → ] .

La valeur absolue de n p c → d → est égale au nombre, qui est également égal à la hauteur de la figure, pour laquelle les vecteurs a → , b → et d → sont utilisés comme côtés. Sur cette base, il convient de préciser que c → = [ a → × b → ] est perpendiculaire à a → et un vecteur et un vecteur selon la définition de la multiplication vectorielle. La valeur c → = a → x b → est égale à l'aire du parallélépipède construit sur les vecteurs a → et b → .

Nous concluons que le module du produit a → b → d → = c → npc → d → est égal au résultat de la multiplication de l'aire de base par la hauteur de la figure, qui est construite sur les vecteurs a → , b → et ré → .

Définition 4

La valeur absolue du produit croisé est le volume du parallélépipède: V parallelelepi pida = a → · b → · d → .

Cette formule est la signification géométrique.

Définition 5

Volume d'un tétraèdre, qui est construit sur a → , b → et d → , est égal à 1/6 du volume du parallélépipède = 1 6 · a → · b → · d → .

Afin de consolider les connaissances, nous analyserons quelques exemples typiques.

Exemple 6

Il faut trouver le volume du parallélépipède dont les côtés sont AB → = (3 , 6 , 3) ​​​​, AC → = (1 , 3 , - 2) , AA 1 → = (2 , 2 , 2) , donné dans un système de coordonnées rectangulaires . Le volume d'un parallélépipède peut être trouvé en utilisant la formule de la valeur absolue. Il en résulte : AB → AC → AA 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 3 2 + 6 (- 2) 2 + 3 1 2 - 3 3 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Alors, V parallelele pipeda = - 18 = 18 .

V parallélépipède = 18

Exemple 7

Le système de coordonnées contient les points A (0 , 1 , 0) , B (3 , - 1 , 5) , C (1 , 0 , 3) ​​​​ , D (- 2 , 3 , 1) . Il est nécessaire de déterminer le volume du tétraèdre, qui se situe en ces points.

Utilisons la formule V t e t r hedra = 1 6 · A B → · A C → · A D → . On peut déterminer les coordonnées des vecteurs à partir des coordonnées des points : AB → = (3 - 0 , - 1 - 1 , 5 - 0) = (3 , - 2 , 5) AC → = (1 - 0 , 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) ​​AD → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)

Ensuite, nous déterminons le produit mixte AB → AC → AD → par les coordonnées des vecteurs : AB → AC → AD → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) 3 (- 2) + 5 1 2 - 5 (- 1) (- 2) - (- 2) 1 1 - 3 3 2 = - 7 Volume V ter a hedra = 1 6 - 7 = 7 6 .

V t e t ra hedra = 7 6 .

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Dans cette leçon, nous examinerons deux autres opérations avec des vecteurs : produit croisé de vecteurs et produit mixte de vecteurs (lien immédiat pour ceux qui en ont besoin). C'est pas grave, il arrive parfois que pour un bonheur complet, en plus de produit scalaire de vecteurs , il en faut de plus en plus. Telle est la dépendance aux vecteurs. On peut avoir l'impression d'entrer dans la jungle de la géométrie analytique. Ce n'est pas vrai. Dans cette section de mathématiques supérieures, il y a généralement peu de bois de chauffage, sauf peut-être assez pour Pinocchio. En fait, le matériel est très commun et simple - à peine plus difficile que le même produit scalaire , même il y aura moins de tâches typiques. L'essentiel en géométrie analytique, comme beaucoup le verront ou l'ont déjà vu, est de NE PAS FAIRE D'ERREUR DE CALCULS. Répétez comme un sort, et vous serez heureux =)

Si les vecteurs scintillent quelque part au loin, comme un éclair à l'horizon, peu importe, commencez par la leçon Des vecteurs pour les nuls restaurer ou racheter notions de base sur les vecteurs. Les lecteurs plus préparés peuvent se familiariser avec les informations de manière sélective, j'ai essayé de rassembler la collection la plus complète d'exemples que l'on trouve souvent dans les travaux pratiques

Qu'est-ce qui vous rendra heureux ? Quand j'étais petit, je savais jongler avec deux et même trois balles. Cela a bien fonctionné. Maintenant, il n'est plus du tout nécessaire de jongler, puisque nous considérerons seuls les vecteurs spatiaux, et les vecteurs plats avec deux coordonnées seront omis. Pourquoi? C'est ainsi que ces actions sont nées - le vecteur et le produit mixte de vecteurs sont définis et fonctionnent dans un espace tridimensionnel. Déjà plus simple !

Dans cette opération, de la même manière que dans le produit scalaire, deux vecteurs. Que ce soient des lettres impérissables.

L'action elle-même dénoté de la manière suivante : . Il existe d'autres options, mais j'avais l'habitude d'indiquer le produit croisé des vecteurs de cette manière, entre crochets avec une croix.

Et immédiatement question: si dans produit scalaire de vecteurs deux vecteurs sont impliqués, et ici deux vecteurs sont également multipliés, alors Quelle est la différence? Une nette différence, tout d'abord, dans le RESULTAT :

Le résultat du produit scalaire de vecteurs est un NOMBRE :

Le résultat du produit croisé des vecteurs est un VECTEUR: , c'est-à-dire que nous multiplions les vecteurs et obtenons à nouveau un vecteur. Club fermé. En fait, d'où le nom de l'opération. Dans diverses littératures pédagogiques, les désignations peuvent également varier, j'utiliserai la lettre .

Définition du produit vectoriel

Il y aura d'abord une définition avec une image, puis des commentaires.

Définition: produit croisé non colinéaire vecteurs, pris dans cet ordre, est appelé VECTEUR, longueur qui est numériquement égal à l'aire du parallélogramme, construit sur ces vecteurs ; vecteur orthogonal aux vecteurs, et est orienté de façon à ce que la base ait une bonne orientation :

On analyse la définition par les os, il y a beaucoup de choses intéressantes !

Ainsi, nous pouvons souligner les points significatifs suivants :

1) Vecteurs sources , indiqués par des flèches rouges, par définition non colinéaire. Il conviendra d'aborder un peu plus loin le cas des vecteurs colinéaires.

2) Vecteurs pris dans un ordre strict: – "a" est multiplié par "be", pas "être" à "a". Le résultat de la multiplication vectorielle est VECTOR , qui est noté en bleu. Si les vecteurs sont multipliés par ordre inverse, on obtient alors un vecteur de longueur égale et de direction opposée (couleur pourpre). C'est-à-dire l'égalité .

3) Maintenant, familiarisons-nous avec la signification géométrique du produit vectoriel. C'est un point très important! La LONGUEUR du vecteur bleu (et donc du vecteur cramoisi ) est numériquement égale à la SURFACE du parallélogramme construit sur les vecteurs . Sur la figure, ce parallélogramme est ombré en noir.

Noter : le dessin est schématique et, bien sûr, la longueur nominale du produit croisé n'est pas égale à l'aire du parallélogramme.

On se souvient d'un de formules géométriques: l'aire d'un parallélogramme est égale au produit des côtés adjacents par le sinus de l'angle qui les sépare. Par conséquent, sur la base de ce qui précède, la formule de calcul de la LONGUEUR d'un produit vectoriel est valide :

Je souligne que dans la formule, nous parlons de la LONGUEUR du vecteur, et non du vecteur lui-même. Quelle est la signification pratique ? Et le sens est tel que dans les problèmes de géométrie analytique, l'aire d'un parallélogramme est souvent trouvée grâce à la notion de produit vectoriel :

Nous obtenons la deuxième formule importante. La diagonale du parallélogramme (ligne pointillée rouge) le divise en deux triangles égaux. Par conséquent, l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs (ombrage rouge) peut être trouvée par la formule :

4) Pas moins de fait important est que le vecteur est orthogonal aux vecteurs , c'est-à-dire . Bien sûr, le vecteur de direction opposée (flèche pourpre) est également orthogonal aux vecteurs d'origine .

5) Le vecteur est dirigé de telle sorte que base Il a à droite orientation. Dans une leçon sur passage à une nouvelle base J'ai parlé en détail de orientation du plan, et maintenant nous allons déterminer quelle est l'orientation de l'espace. Je t'expliquerai sur tes doigts main droite . Combinez mentalement index avec le vecteur et majeur avec le vecteur. Annulaire et petit doigt appuyez dans votre paume. Par conséquent pouce- le produit vectoriel recherchera. C'est la base orientée à droite (elle est dans la figure). Échangez maintenant les vecteurs ( index et majeur ) à certains endroits, par conséquent, le pouce se retournera et le produit vectoriel regardera déjà vers le bas. C'est aussi une base orientée vers la droite. Peut-être avez-vous une question : quelle base a une orientation à gauche ? "Assigner" les mêmes doigts main gauche vectors , et obtenir la base gauche et l'orientation de l'espace gauche (dans ce cas, le pouce sera situé dans la direction du vecteur inférieur). Au sens figuré, ces bases « tordent » ou orientent l'espace dans différentes directions. Et ce concept ne doit pas être considéré comme quelque chose de farfelu ou d'abstrait - par exemple, le miroir le plus ordinaire change l'orientation de l'espace, et si vous "tirez l'objet réfléchi hors du miroir", alors en général, il ne sera pas possible de combinez-le avec "l'original". Au fait, approchez trois doigts du miroir et analysez le reflet ;-)

... à quel point c'est bon que vous sachiez maintenant orienté à droite et à gauche bases, car les déclarations de certains conférenciers sur le changement d'orientation sont terribles =)

Produit vectoriel de vecteurs colinéaires

La définition a été élaborée en détail, il reste à savoir ce qui se passe lorsque les vecteurs sont colinéaires. Si les vecteurs sont colinéaires, alors ils peuvent être placés sur une ligne droite et notre parallélogramme se "plie" également en une seule ligne droite. Le domaine de tels, comme disent les mathématiciens, dégénérer le parallélogramme est nul. La même chose découle de la formule - le sinus de zéro ou 180 degrés est égal à zéro, ce qui signifie que la surface est nulle

Ainsi, si , alors . À proprement parler, le produit croisé lui-même est égal au vecteur zéro, mais en pratique, cela est souvent négligé et écrit qu'il est simplement égal à zéro.

cas particulier est le produit croisé d'un vecteur et de lui-même :

En utilisant le produit croisé, vous pouvez vérifier la colinéarité des vecteurs tridimensionnels, et cette tâche entre autres, nous analyserons également.

Pour résoudre des exemples pratiques, il peut être nécessaire table trigonométrique pour en trouver les valeurs des sinus.

Allumons un feu :

Exemple 1

a) Trouvez la longueur du produit vectoriel de vecteurs si

b) Trouver l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs si

Solution: Non, ce n'est pas une faute de frappe, j'ai intentionnellement rendu les données initiales identiques dans les éléments de condition. Car le design des solutions sera différent !

a) Selon la condition, il faut trouver longueur vecteur (produit vectoriel). Selon la formule correspondante :

Réponse:

Puisqu'il a été interrogé sur la longueur, dans la réponse, nous indiquons la dimension - les unités.

b) Selon la condition, il faut trouver carré parallélogramme construit sur des vecteurs . L'aire de ce parallélogramme est numériquement égale à la longueur du produit vectoriel :

Réponse:

Veuillez noter que dans la réponse sur le produit vectoriel, il n'est pas question du tout, on nous a posé des questions sur zone de figure, respectivement, la dimension est en unités carrées.

Nous regardons toujours CE QUI doit être trouvé par la condition, et, sur cette base, nous formulons dégager réponse. Cela peut sembler être du littéralisme, mais il y a suffisamment de littéralistes parmi les enseignants, et la tâche avec de bonnes chances reviendra pour révision. Bien que ce ne soit pas un pinaillage particulièrement tendu - si la réponse est incorrecte, on a alors l'impression que la personne ne comprend pas les choses simples et / ou n'a pas approfondi l'essence de la tâche. Ce moment doit toujours être contrôlé, en résolvant n'importe quel problème en mathématiques supérieures, et dans d'autres matières également.

Où est passée la grande lettre "en" ? En principe, il pourrait être en outre collé à la solution, mais afin de raccourcir le dossier, je ne l'ai pas fait. J'espère que tout le monde comprend cela et est la désignation de la même chose.

Un exemple populaire pour solution indépendante:

Exemple 2

Trouver l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs si

La formule pour trouver l'aire d'un triangle à travers le produit vectoriel est donnée dans les commentaires de la définition. Solution et réponse à la fin de la leçon.

En pratique, la tâche est vraiment très courante, les triangles peuvent généralement être torturés.

Pour résoudre d'autres problèmes, nous avons besoin de:

Propriétés du produit croisé des vecteurs

Nous avons déjà considéré certaines propriétés du produit vectoriel, cependant, je les inclurai dans cette liste.

Pour des vecteurs arbitraires et un nombre arbitraire, les propriétés suivantes sont vraies :

1) Dans d'autres sources d'information, cet élément n'est généralement pas distingué dans les propriétés, mais il est très important en termes pratiques. Qu'il en soit ainsi.

2) - la propriété est également discutée ci-dessus, parfois elle est appelée anticommutativité. En d'autres termes, l'ordre des vecteurs est important.

3) - combinaison ou associatif lois sur les produits vectoriels. Les constantes sont facilement sorties des limites du produit vectoriel. Vraiment, qu'est-ce qu'ils font là-bas?

4) - distribution ou Distribution lois sur les produits vectoriels. Il n'y a aucun problème avec l'ouverture des parenthèses non plus.

À titre de démonstration, considérons un court exemple :

Exemple 3

Trouver si

Solution: Par condition, il faut à nouveau trouver la longueur du produit vectoriel. Peignons notre miniature :

(1) Selon les lois associatives, on retire les constantes au-delà des limites du produit vectoriel.

(2) Nous retirons la constante du module, tandis que le module "mange" le signe moins. La longueur ne peut pas être négative.

(3) Ce qui suit est clair.

Réponse:

Il est temps de jeter du bois sur le feu :

Exemple 4

Calculer l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs si

Solution: Trouver l'aire d'un triangle à l'aide de la formule . Le hic est que les vecteurs "ce" et "te" sont eux-mêmes représentés comme des sommes de vecteurs. L'algorithme ici est standard et rappelle quelque peu les exemples n° 3 et 4 de la leçon. Produit scalaire de vecteurs . Décomposons-le en trois étapes pour plus de clarté :

1) À la première étape, nous exprimons le produit vectoriel par le produit vectoriel, en fait, exprimer le vecteur en fonction du vecteur. Pas encore de mot sur la longueur!

(1) Nous substituons des expressions de vecteurs .

(2) En utilisant les lois distributives, ouvrez les parenthèses selon la règle de multiplication des polynômes.

(3) En utilisant les lois associatives, nous retirons toutes les constantes au-delà des produits vectoriels. Avec peu d'expérience, les actions 2 et 3 peuvent être effectuées simultanément.

(4) Le premier et le dernier termes sont égaux à zéro (vecteur nul) en raison de la propriété plaisante . Dans le second terme, on utilise la propriété d'anticommutativité du produit vectoriel :

(5) Nous présentons des termes similaires.

En conséquence, le vecteur s'est avéré être exprimé par un vecteur, ce qui était ce qui devait être réalisé :

2) À la deuxième étape, nous trouvons la longueur du produit vectoriel dont nous avons besoin. Cette action est similaire à l'exemple 3 :

3) Trouvez l'aire du triangle recherché :

Les étapes 2 et 3 de la solution peuvent être disposées sur une seule ligne.

Réponse:

Le problème considéré est assez courant dans les tests, voici un exemple de solution indépendante :

Exemple 5

Trouver si

Solution courte et réponse à la fin de la leçon. Voyons à quel point vous avez été attentif lors de l'étude des exemples précédents ;-)

Produit croisé de vecteurs en coordonnées

, donné dans la base orthonormée , s'exprime par la formule:

La formule est très simple : nous écrivons les vecteurs de coordonnées dans la première ligne du déterminant, nous "emballons" les coordonnées des vecteurs dans les deuxième et troisième lignes, et nous mettons dans un ordre strict- d'abord, les coordonnées du vecteur "ve", puis les coordonnées du vecteur "double-ve". Si les vecteurs doivent être multipliés dans un ordre différent, les lignes doivent également être permutées :

Exemple 10

Vérifiez si les vecteurs spatiaux suivants sont colinéaires :
une)
b)

Solution: Le test est basé sur l'une des affirmations de cette leçon : si les vecteurs sont colinéaires, alors leur produit vectoriel est nul (vecteur nul) : .

a) Trouvez le produit vectoriel :

Les vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

b) Trouvez le produit vectoriel :

Réponse: a) non colinéaire, b)

Voici peut-être toutes les informations de base sur le produit vectoriel des vecteurs.

Cette section ne sera pas très longue, car il y a peu de problèmes où le produit mixte de vecteurs est utilisé. En fait, tout reposera sur la définition, la signification géométrique et quelques formules de travail.

Le produit mixte de vecteurs est le produit de trois vecteurs:

C'est ainsi qu'ils se sont alignés comme un train et attendent, ils ne peuvent pas attendre qu'ils soient calculés.

Encore une fois la définition et l'image:

Définition: Produit mixte non coplanaire vecteurs, pris dans cet ordre, est appelé volume du parallélépipède, construit sur ces vecteurs, muni d'un signe "+" si la base est droite, et d'un signe "-" si la base est gauche.

Faisons le dessin. Les lignes invisibles pour nous sont tracées par une ligne pointillée :

Plongeons-nous dans la définition :

2) Vecteurs pris dans un certain ordre, c'est-à-dire que la permutation des vecteurs dans le produit, comme vous pouvez le deviner, ne va pas sans conséquences.

3) Avant de commenter le sens géométrique, je noterai le fait évident : le produit mixte de vecteurs est un NOMBRE: . Dans la littérature pédagogique, la conception peut être quelque peu différente, j'avais l'habitude de désigner un produit mixte à travers, et le résultat des calculs avec la lettre "pe".

Par définition le produit mixte est le volume du parallélépipède, construit sur des vecteurs (la figure est dessinée avec des vecteurs rouges et des lignes noires). Autrement dit, le nombre est égal au volume du parallélépipède donné.

Noter : Le dessin est schématique.

4) Ne nous embêtons plus avec le concept d'orientation de la base et de l'espace. La signification de la dernière partie est qu'un signe moins peut être ajouté au volume. En mots simples, le produit mixte peut être négatif : .

La formule de calcul du volume d'un parallélépipède construit sur des vecteurs découle directement de la définition.