Comment calculer le produit mixte de vecteurs. Produit vectoriel de vecteurs
Les calculateur en ligne calcule le produit mixte de vecteurs. Une solution détaillée est donnée. Pour calculer le produit mixte de vecteurs, sélectionnez la façon de représenter les vecteurs (par coordonnées ou par deux points), entrez les données dans les cellules et cliquez sur le bouton "Calculer".
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Produit mixte de vecteurs (théorie)
Travail mixte trois vecteurs est le nombre obtenu par le produit scalaire du résultat du produit vectoriel des deux premiers vecteurs par le troisième vecteur. En d'autres termes, si trois vecteurs sont donnés un B et c, puis pour obtenir un produit mixte de ces vecteurs, les deux premiers vecteurs sont d'abord multipliés par des vecteurs et le vecteur résultant [ un B] est un scalaire multiplié par un vecteur c.
Produit mixte de trois vecteurs un B et c noté comme suit : abc ou alors ( a, b, c). Ensuite, vous pouvez écrire :
| abc=([un B],c) |
Avant de formuler un théorème qui représente la signification géométrique d'un produit mixte, familiarisez-vous avec les notions de triple droit, triple gauche, système de coordonnées droite, système de coordonnées gauche (définitions 2, 2" et 3 sur la page en ligne du produit vectoriel vectoriel des vecteurs ).
Pour plus de précision, dans ce qui suit, nous ne considérerons que les systèmes de coordonnées droitiers.
Théorème 1. Produit mixte de vecteurs ([un B],c) est égal au volume du parallélépipède construit sur les vecteurs réduits à l'origine commune a, b, c, pris avec un signe plus, si le triplet a, b, cà droite, et avec un signe moins si un trois a, b, c la gauche. Si les vecteurs a, b, c coplanaire, alors ([ un B],c) est égal à zéro.
Corollaire 1. L'égalité suivante est vérifiée :
Il nous suffit donc de prouver que
| ([un B],c)=([avant JC],une) | (3) |
D'après l'expression (3), on peut voir que les côtés gauche et droit sont égaux au volume du parallélépipède. Mais les signes des côtés droit et gauche coïncident également, puisque les triplets de vecteurs abc et bca ont la même orientation.
L'égalité prouvée (1) permet d'écrire le produit mixte de trois vecteurs a, b, c juste sous la forme abc sans préciser quels deux vecteurs sont multipliés vectoriellement les deux premiers ou les deux derniers.
Corollaire 2. Le nécessaire et condition suffisante la coplanarité de trois vecteurs est l'égalité à zéro de leur produit mixte.
La preuve découle du théorème 1. En effet, si les vecteurs sont coplanaires, alors le produit mixte de ces vecteurs est égal à zéro. L'inverse, si le produit mixte est égal à zéro, alors du théorème 1 la coplanarité de ces vecteurs suit (puisque le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs réduits à une origine commune est égal à zéro).
Corollaire 3. Le produit mixte de trois vecteurs, dont deux coïncident, est égal à zéro.
Vraiment. Si deux vecteurs sur trois coïncident, alors ils sont coplanaires. Par conséquent, le produit mixte de ces vecteurs est nul.
Produit mixte de vecteurs en coordonnées cartésiennes
Théorème 2. Soient trois vecteurs un B et c définis par leurs coordonnées rectangulaires cartésiennes
Preuve. Travail mixte abc est égal au produit scalaire des vecteurs [ un B] et c. Produit vectoriel vecteurs [ un B] en coordonnées cartésiennes est calculé par la formule ():
La dernière expression peut être écrite en utilisant des déterminants du second ordre :
il faut et il suffit que le déterminant soit égal à zéro, dont les lignes sont remplies avec les coordonnées de ces vecteurs, c'est-à-dire :
 .
| (7) |
Pour prouver le corollaire, il suffit de considérer la formule (4) et le corollaire 2.
Produit mixte de vecteurs par exemples
Exemple 1. Trouver le produit mixte de vecteurs abc, où
Produit mixte de vecteurs a, b, c est égal au déterminant de la matrice L... On calcule le déterminant de la matrice L, en développant le déterminant le long de la ligne 1 :
Point final du vecteur une.
Dans cette leçon, nous examinerons deux autres opérations vectorielles : produit vectoriel de vecteurs et produit mixte de vecteurs (lien immédiat, qui en a besoin)... Ça va, il arrive parfois que pour le bonheur complet, en plus de produit scalaire de vecteurs, il en faut de plus en plus. Telle est la dépendance au vecteur. On peut avoir l'impression que l'on entre dans la jungle de la géométrie analytique. Ce n'est pas vrai. Dans cette section des mathématiques supérieures, il n'y a généralement pas assez de bois de chauffage, sauf qu'il y en a assez pour Buratino. En fait, le matériel est très commun et simple - à peine plus compliqué que le même produit scalaire, il y aura même moins de tâches types. L'essentiel en géométrie analytique, comme beaucoup seront convaincus ou ont déjà été convaincus, est de NE PAS SE FAIRE D'ERREUR DANS LES CALCULS. Répétez comme un sort, et vous serez heureux =)
Si des vecteurs scintillent quelque part au loin, comme des éclairs à l'horizon, cela n'a pas d'importance, commencez par la leçon Vecteurs pour les nuls restaurer ou racheter notions de base sur les vecteurs. Les lecteurs plus préparés peuvent se familiariser avec les informations de manière sélective, j'ai essayé de rassembler la collection la plus complète d'exemples que l'on trouve souvent dans les travaux pratiques
Comment vous faire plaisir tout de suite ? Petite, je savais jongler avec deux voire trois balles. Avec dextérité, il s'est avéré. Vous n'aurez plus à jongler du tout, puisque nous considérerons uniquement des vecteurs spatiaux, et les vecteurs plans avec deux coordonnées seront omis. Pourquoi? C'est ainsi que ces actions sont nées - le vecteur et le produit mixte de vecteurs sont définis et fonctionnent dans un espace tridimensionnel. C'est déjà plus simple !
Cette opération, de la même manière que dans le produit scalaire, implique deux vecteurs... Que ce soient des lettres impérissables.
L'action elle-même noté de la manière suivante : . Il existe d'autres options, mais j'ai l'habitude d'indiquer le produit vectoriel des vecteurs de cette façon, entre crochets avec une croix.
Et immédiatement question: si dans produit scalaire de vecteurs deux vecteurs sont impliqués, et ici aussi, deux vecteurs sont multipliés, puis Quelle est la différence? La différence évidente est, tout d'abord, dans le RÉSULTAT :
Le résultat du produit scalaire des vecteurs est NOMBRE :
Le produit vectoriel des vecteurs donne un VECTOR:, c'est-à-dire que nous multiplions les vecteurs et obtenons à nouveau un vecteur. Club fermé. En fait, d'où le nom de l'opération. Dans différentes littératures pédagogiques, les désignations peuvent également varier, j'utiliserai la lettre.
Définition d'un produit croisé
Il y aura d'abord une définition avec une image, puis des commentaires.
Définition: Par produit vectoriel non colinéaire vecteurs, pris dans cet ordre, appelé VECTEUR, longueur qui numériquement égal à l'aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs ; vecteur orthogonal aux vecteurs, et est orienté de manière à ce que la base ait une bonne orientation : 
On analyse la définition par os, il y a plein de choses intéressantes !
Ainsi, les points essentiels suivants peuvent être soulignés :
1) Les vecteurs originaux, désignés par des flèches rouges, par définition non colinéaire... Il conviendra de considérer le cas des vecteurs colinéaires un peu plus loin.
2) Les vecteurs sont pris dans un ordre strictement défini: – "A" est multiplié par "bh", et non "bh" à "a". Le résultat de la multiplication vectorielle est le VECTEUR, qui est marqué en bleu. Si les vecteurs sont multipliés par ordre inverse, alors nous obtenons un vecteur de longueur égale et de direction opposée (couleur pourpre). C'est-à-dire que l'égalité est vraie 
.
3) Maintenant, familiarisons-nous avec la signification géométrique du produit vectoriel. C'est un point très important! La LONGUEUR du vecteur bleu (et, par conséquent, du vecteur pourpre) est numériquement égale à la ZONE du parallélogramme construit sur les vecteurs. Sur la figure, ce parallélogramme est ombré en noir.
Noter : le dessin est schématique et, bien sûr, la longueur nominale du produit vectoriel n'est pas égale à l'aire du parallélogramme.
Nous nous souvenons de l'un des formules géométriques: l'aire du parallélogramme est égale au produit des côtés adjacents par le sinus de l'angle entre eux... Par conséquent, sur la base de ce qui précède, la formule de calcul de la LONGUEUR d'un produit vectoriel est valide :
J'insiste sur le fait que dans la formule, nous parlons de la LONGUEUR du vecteur, et non du vecteur lui-même. Quel est l'intérêt pratique ? Et le sens est que dans les problèmes de géométrie analytique, l'aire d'un parallélogramme se trouve souvent à travers le concept de produit vectoriel :
Voyons la deuxième formule importante. La diagonale du parallélogramme (ligne pointillée rouge) le divise en deux triangles égaux. Par conséquent, l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs (ombrage rouge) peut être trouvée par la formule :
4) Pas moins fait important est que le vecteur est orthogonal aux vecteurs, c'est-à-dire 
... Bien entendu, le vecteur de direction opposée (flèche pourpre) est également orthogonal aux vecteurs originaux.
5) Le vecteur est orienté de telle sorte que base Il a droit orientation. Dans la leçon sur transition vers une nouvelle base J'ai parlé suffisamment en détail de orientation du plan, et maintenant nous allons déterminer quelle est l'orientation de l'espace. je t'expliquerai sur tes doigts main droite ... Combinez mentalement index avec vecteur et majeur avec vecteur. Annulaire et petit doigt appuyez-le dans la paume de votre main. Par conséquent pouce- le produit croisé recherchera. C'est la base orientée vers la droite (dans la figure c'est elle). Changez maintenant les vecteurs ( index et majeur ) par endroits, en conséquence, le pouce se dépliera et le produit croisé regardera déjà vers le bas. C'est aussi une base orientée vers le droit. Peut-être avez-vous une question : quelle est la base de l'orientation à gauche ? "Attribuer" aux mêmes doigts main gauche vecteurs, et obtenir la base gauche et l'orientation gauche de l'espace (dans ce cas, le pouce sera situé dans la direction du vecteur inférieur)... Au sens figuré, ces bases « tordent » ou orientent l'espace dans différentes directions. Et ce concept ne doit pas être considéré comme quelque chose de farfelu ou abstrait - par exemple, l'orientation de l'espace est modifiée par le miroir le plus ordinaire, et si vous "tirez l'objet réfléchi hors du miroir", alors dans le cas général il ne sera pas possible de le combiner avec l'« original ». Au fait, approchez trois doigts du miroir et analysez le reflet ;-)
... qu'il est bon que vous sachiez maintenant orienté à droite et à gauche bases, car les déclarations de certains conférenciers sur le changement d'orientation sont terribles =)
Produit croisé de vecteurs colinéaires
La définition a été analysée en détail, il reste à savoir ce qui se passe lorsque les vecteurs sont colinéaires. Si les vecteurs sont colinéaires, ils peuvent être situés sur une ligne droite et notre parallélogramme se "plie" également en une ligne droite. Le domaine de tels, comme disent les mathématiciens, dégénérer le parallélogramme est nul. La même chose découle de la formule - le sinus de zéro ou 180 degrés est égal à zéro, ce qui signifie que l'aire est nulle.
Ainsi, si, alors 
... À strictement parler, le produit vectoriel lui-même est égal au vecteur zéro, mais en pratique, cela est souvent négligé et écrit qu'il est simplement égal à zéro.
Un cas particulier- produit vectoriel d'un vecteur par lui-même :
En utilisant le produit vectoriel, vous pouvez vérifier la colinéarité des vecteurs tridimensionnels, et cette tâche entre autres, nous analyserons également.
Pour résoudre des exemples pratiques, vous aurez peut-être besoin table trigonométrique pour en trouver les valeurs sinusoïdales.
Bon, allumons un feu :
Exemple 1
a) Trouvez la longueur du produit vectoriel de vecteurs si 
b) Trouver l'aire d'un parallélogramme construit sur des vecteurs si 
Solution: Non, ce n'est pas une faute de frappe, j'ai délibérément fait les mêmes données initiales dans les clauses de la condition. Car la conception des solutions sera différente !
a) Par condition, il faut trouver la durée vecteur (produit vectoriel). Selon la formule correspondante :
Réponse:
Puisque la question a été posée sur la longueur, dans la réponse, nous indiquons la dimension - les unités.
b) Par condition, il faut trouver carré un parallélogramme construit sur des vecteurs. L'aire de ce parallélogramme est numériquement égale à la longueur du produit vectoriel :
Réponse:
Veuillez noter que la réponse sur le produit vectoriel est hors de question, nous avons été interrogés sur zone de la figure, respectivement, la dimension est en unités carrées.
Nous regardons toujours CE QUI doit être trouvé par la condition, et, sur cette base, nous formulons dégager réponse. Cela peut sembler être du littéralisme, mais il y a suffisamment de littéralistes parmi les enseignants et la tâche avec de bonnes chances reviendra pour une révision. Bien que ce ne soit pas un harcèlement particulièrement tendu - si la réponse est incorrecte, on a alors l'impression que la personne ne comprend pas les choses simples et / ou ne comprend pas l'essence de la tâche. Ce moment doit toujours être gardé sous contrôle, en résolvant tout problème en mathématiques supérieures et dans d'autres matières également.
Où est passée la grosse lettre "en" ? En principe, cela pourrait être en plus coincé dans la solution, mais afin de raccourcir l'enregistrement, je ne l'ai pas fait. J'espère que tout le monde comprend cela et c'est une désignation de la même chose.
Un exemple populaire pour décision indépendante:
Exemple 2
Trouver l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs si 
La formule pour trouver l'aire d'un triangle à travers le produit vectoriel est donnée dans les commentaires de la définition. Solution et réponse à la fin de la leçon.
En pratique, la tâche est vraiment très courante, les triangles peuvent généralement vous torturer.
Pour résoudre d'autres problèmes, nous avons besoin de :
Propriétés du produit vectoriel
Nous avons déjà examiné certaines propriétés du produit croisé, cependant, je les inclurai dans cette liste.
Pour les vecteurs arbitraires et un nombre arbitraire, les propriétés suivantes sont valides :
1) Dans d'autres sources d'information, cet élément n'est généralement pas mis en évidence dans les propriétés, mais il est très important en termes pratiques. Qu'il en soit ainsi.
2) 
- la propriété est également discutée ci-dessus, parfois elle est appelée anticommutativité... En d'autres termes, l'ordre des vecteurs est important.
3) - combinaison ou associatif lois d'un produit vectoriel. Les constantes sont supprimées de manière transparente en dehors du produit vectoriel. En effet, que doivent-ils y faire ?
4) - diffusion ou distributif lois d'un produit vectoriel. Il n'y a pas non plus de problèmes avec l'expansion des parenthèses.
À titre de démonstration, considérons un court exemple :
Exemple 3
Trouver si 
Solution: Selon la condition, il est à nouveau nécessaire de trouver la longueur du produit croisé. Écrivons notre vignette : 
(1) Selon les lois associatives, on déplace les constantes en dehors de la division du produit vectoriel.
(2) Nous déplaçons la constante hors du module, tandis que le module "mange" le signe moins. La longueur ne peut pas être négative.
(3) Ce qui suit est clair.
Réponse: 
Il est temps de mettre du bois sur le feu :
Exemple 4
Calculer l'aire d'un triangle construit sur des vecteurs si 
Solution: L'aire du triangle se trouve par la formule 
... Le hic, c'est que les vecteurs "tse" et "de" sont eux-mêmes représentés comme des sommes de vecteurs. L'algorithme ici est standard et rappelle quelque peu les exemples 3 et 4 de la leçon Produit scalaire de vecteurs... Pour plus de clarté, divisons la solution en trois étapes :
1) À la première étape, nous exprimons le produit vectoriel en termes de produit vectoriel, en fait, exprimer le vecteur en fonction du vecteur... Pas encore un mot sur les longueurs !
(1) Substituer des expressions vectorielles.
(2) En utilisant les lois distributives, nous développons les parenthèses selon la règle de multiplication des polynômes.
(3) En utilisant des lois associatives, nous déplaçons toutes les constantes en dehors des produits vectoriels. Avec un peu d'expérience, les actions 2 et 3 peuvent être réalisées simultanément.
(4) Le premier et le dernier termes sont égaux à zéro (vecteur zéro) en raison d'une propriété agréable. Dans le second terme, on utilise la propriété d'anticommutativité du produit vectoriel :
(5) Nous présentons des termes similaires.
En conséquence, le vecteur a été exprimé en termes de vecteur, ce qui était ce qu'il fallait atteindre : 
2) À la deuxième étape, nous trouvons la longueur du produit vectoriel dont nous avons besoin. Cette action ressemble à l'exemple 3 : 
3) Trouvez l'aire du triangle recherché : 
Les décisions des étapes 2-3 pourraient être complétées en une seule ligne.
Réponse:
Le problème considéré est assez courant dans les papiers de test, voici un exemple de solution indépendante :
Exemple 5
Trouver si
Une solution courte et une réponse à la fin du tutoriel. Voyons à quel point vous avez été prudent en étudiant les exemples précédents ;-)
Produit vectoriel de vecteurs en coordonnées
donné dans une base orthonormée, exprimé par la formule:
La formule est vraiment simple : dans la ligne supérieure du déterminant nous écrivons les vecteurs de coordonnées, dans les deuxième et troisième lignes nous «mettons» les coordonnées des vecteurs, et nous mettons dans un ordre strict- d'abord les coordonnées du vecteur "ve", puis les coordonnées du vecteur "double-ve". Si les vecteurs doivent être multipliés dans un ordre différent, les lignes doivent être interverties : 
Exemple 10
Vérifiez si les vecteurs spatiaux suivants sont colinéaires :
une)
b) 
Solution: La vérification est basée sur l'une des affirmations de cette leçon : si les vecteurs sont colinéaires, alors leur produit vectoriel est égal à zéro (vecteur zéro) : 
.
a) Trouvez le produit croisé : 
Ainsi, les vecteurs ne sont pas colinéaires.
b) Trouvez le produit croisé : 
Réponse: a) non colinéaire, b)
Voici peut-être toutes les informations de base sur le produit vectoriel des vecteurs.
Cette section ne sera pas très grande, car il n'y a pas beaucoup de tâches où un produit mixte de vecteurs est utilisé. En fait, tout reposera sur la définition, la signification géométrique et quelques formules de travail.
Le produit mixte de vecteurs est le produit de trois vecteurs:
Alors ils se sont alignés avec un petit train et attendent, ils ont hâte d'être compris.
Tout d'abord, encore une fois la définition et l'image :
Définition: Travail mixte non coplanaire vecteurs, pris dans cet ordre est appelé volume d'un parallélépipède, construit sur les vecteurs donnés, muni d'un signe "+" si la base est droite, et d'un signe "-" si la base est à gauche.
Complétons le dessin. Les lignes invisibles pour nous sont tracées en pointillés : 
Plongeons dans la définition :
2) Les vecteurs sont pris dans un certain ordre, c'est-à-dire que la permutation des vecteurs dans le produit, comme vous pouvez le deviner, ne passe pas sans conséquences.
3) Avant de commenter le sens géométrique, je noterai une évidence : le produit mixte de vecteurs est un NOMBRE:. Dans la littérature pédagogique, la conception peut être quelque peu différente, j'ai l'habitude de désigner un travail mixte à travers, et le résultat des calculs par la lettre "pe".
Un prieuré le produit mélangé est le volume d'un parallélépipède construit sur des vecteurs (la figure est dessinée avec des vecteurs rouges et des lignes noires). C'est-à-dire que le nombre est égal au volume de ce parallélépipède.
Noter : le dessin est schématique.
4) Ne nous embêtons pas à nouveau avec le concept de base et d'orientation spatiale. La signification de la dernière partie est qu'un signe moins peut être ajouté au volume. En mots simples, le travail mixte peut être négatif :.
La formule de calcul du volume d'un parallélépipède construit sur des vecteurs découle directement de la définition.
Produit mixte (ou vectoriel-scalaire) trois vecteurs a, b, c (pris dans l'ordre spécifié) est appelé le produit scalaire du vecteur a par le produit vectoriel bxc, c'est-à-dire le nombre a (bxc), ou, ce qui est le même, (bxc) a .Désignation : abc.
Rendez-vous. La calculatrice en ligne est conçue pour calculer le produit mixte de vecteurs. La solution résultante est enregistrée dans un fichier Word. De plus, un modèle de solution est créé dans Excel.
Signes de coplanarité vectorielle
Trois vecteurs (ou plus) sont dits coplanaires si, réduits à une origine commune, ils se trouvent dans le même plan.Si au moins un des trois vecteurs est nul, alors trois vecteurs sont également considérés comme coplanaires.
Le signe de la coplanarité... Si le système a, b, c est juste, alors abc > 0 ; si gauche, alors abc Le sens géométrique de l'œuvre mixte... Le produit mixte abc de trois vecteurs non coplanaires a, b, c est égal à le volume d'un parallélépipède construit sur des vecteurs a, b, c, pris avec un signe plus si le système a, b, c est à droite, et avec un signe moins si ce système est à gauche.
Propriétés de travail mixtes
- Avec une permutation circulaire de facteurs, le produit mixte ne change pas, avec une permutation de deux facteurs, il change de signe au contraire : abc = bca = cab = - (bac) = - (cba) = - (acb)
Il découle du sens géométrique. - (a + b) cd = acd + bcd (propriété de distribution). S'applique à n'importe quel nombre de termes.
Découle de la définition d'une œuvre mixte. - (ma) bc = m (abc) (propriété de combinaison par rapport à un facteur scalaire).
Découle de la définition d'une œuvre mixte. Ces propriétés permettent d'appliquer des transformations à des produits mixtes qui ne diffèrent des produits algébriques ordinaires que par le fait que l'ordre des facteurs ne peut être modifié qu'en tenant compte du signe du produit. - Un produit mixte qui a au moins deux facteurs égaux est zéro : aab = 0.
Exemple 1. Trouvez une pièce mixte. ab (3a + 2b-5c) = 3aba + 2abb-5abc = -5abc.
Exemple n°2. (a + b) (b + c) (c + a) = (axb + axc + bxb + bxc) (c + a) = (axb + axc + bxc) (c + a) = abc + acc + aca + aba + bcc + bca. Tous les membres, à l'exception des deux extrêmes, sont égaux à zéro. De plus, bca = abc. Donc (a + b) (b + c) (c + a) = 2abc.
Exemple n°3. Calculez le produit mixte de trois vecteurs a = 15i + 20j + 5k, b = 2i-4j + 14k, c = 3i-6j + 21k.
Solution... Pour calculer le produit mixte de vecteurs, il faut trouver le déterminant du système composé des coordonnées des vecteurs. Écrivons le système sous la forme.
