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Comment résoudre 23 tâches oge avec un module. Comment résoudre des équations avec module : règles de base

Analyse des options types pour les tâches n ° 23 OGE en mathématiques

La première version du devoir

Tracer la fonction

Algorithme de solution :

Nous écrivons la réponse.

Solution:

1. Transformons la fonction en fonction du signe de la variable x.

2. Graphique de la fonction des valeurs données x - partie de la parabole dont les branches sont dirigées vers le bas.

Le sommet est situé au point de coordonnées :

Trouvons les zéros de la fonction : Le graphe passe par l'origine et le point (-2;-7).

Son sommet est au point :

Définir les zéros de la parabole

3. Nous représentons le graphique de la fonction sur le plan de coordonnées :

4. Il est facile de voir à partir de la construction que la droite y = m a exactement deux points avec le graphe lorsqu'elle passe par le sommet d'une des paraboles formant le graphe de la fonction donnée.

Cela signifie que la fonction et la droite ont deux points communs à m = -2,25 ou m = 12,25.

Réponse : -2,25 ; 12h25.

La deuxième version de la tâche

Tracer la fonction

Déterminez pour quelles valeurs de m la ligne y = m a exactement deux points en commun avec le graphique.

Algorithme de solution :

Transformons la formule qui définit la fonction.
On détermine la forme et les points caractéristiques de la fonction sur chaque intervalle.
Nous représentons le graphique sur le plan des coordonnées.
Nous tirons une conclusion concernant le nombre de points d'intersection.
Nous écrivons la réponse.

Solution:

1. Transformons la formule en fonction du signe de la variable x :

2. Graphique de fonction est une parabole dont les branches pointent vers le bas.

Son sommet est au point :

Trouvons les zéros de la fonction : Le graphe passe par l'origine et le point (0;4).

Le graphe de la deuxième fonction est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut.

Son sommet est au point :

Définir les zéros de la parabole

3. Nous représentons le graphique sur le plan de coordonnées :

On peut voir sur l'image que la ligne y= m n'a que deux points en commun avec le graphique lorsque m=-9 ou m=4. Sur le graphique, la ligne droite est représentée par une ligne rouge à chaque valeur de m.

Réponse : -9 ; 4.

La troisième version de la tâche

Tracer la fonction

Déterminez pour quelles valeurs de m la ligne y = m a exactement deux points en commun avec le graphique.

Algorithme de solution :

Transformons la formule qui définit la fonction.
On détermine la forme et les points caractéristiques de la fonction sur chaque intervalle.
Nous représentons le graphique sur le plan des coordonnées.
Nous tirons une conclusion concernant le nombre de points d'intersection.
Nous écrivons la réponse.

Solution:

1. Transformer la formule de la fonction en fonction du signe de la variable

2. Nous déterminons le type de fonction et trouvons des points supplémentaires pour chaque section du graphique.

Graphique à - partie de la parabole dont les branches sont dirigées vers le bas. Parce que le rapport mais=-1 - négatif.

Déterminer le sommet de la parabole Et .

Le sommet est au point (-3 ; 9).

La parabole passe également par les points (0;0) et (0;6).

Si , les branches de la parabole sont dirigées vers le haut. Trouvons le haut:

, (2; -4).

Le graphique passe également par les points (0;0) et (0;4).

3. Nous construisons le graphe souhaité :

Il ressort de la construction que la droite y=m n'a que 2 points communs avec le graphe de la fonction dans les cas où m=-4 ou m=9. Les lignes sont représentées en rouge sur la figure.

Réponse : -4 ; neuf.

La quatrième option

Tracer la fonction

Déterminez pour quelles valeurs de k la ligne y \u003d kx n'a pas de points communs avec le graphique.

Algorithme de solution :

Nous construisons un tableau.
Nous écrivons la réponse.

Solution:

1. Si x< 0, то

La fraction résultante est définie . Le graphique fait partie d'une hyperbole.

Points pour tracer un graphique :

3. Construisons un graphe d'une fonction donnée :

4. La droite y=kx n'a pas de point commun avec le graphe, pour k=-1 ; 0 et 1, car alors la ligne passe par des points qui ne sont pas inclus dans le domaine de la fonction donnée.

Sur le graphique, des droites pour k=-1 ; 1 sont représentés en rouge.

Réponse 1; 0 ; une.

Cinquième choix

Tracer la fonction

Déterminer pour quelles valeurs de k la droite y = kx n'a pas de point commun avec le graphe.

Algorithme de solution :

Nous ouvrons le module et transformons les formules de la fonction.
Nous déterminons le type de fonction sur chaque intervalle et trouvons des points supplémentaires sur le graphique.
Nous construisons un tableau.
Nous déterminons les valeurs souhaitées de k.
Nous écrivons la réponse.

Cet article est consacré à la résolution d'exemples de tâches 23 de l'OGE en mathématiques. Dans ces tâches, les élèves sont généralement invités à construire un graphique d'une fonction particulière, puis à indiquer à quelles valeurs de paramètres ce graphique croise un autre graphique, le touche ou, par exemple, a plusieurs points d'intersection avec lui. Eh bien, et ainsi de suite. Dans cet article, vous trouverez une analyse d'exemples de résolution de tâches 23 de l'OGE en mathématiques par un tuteur professionnel qui prépare les élèves à cet examen depuis de nombreuses années.

Exemples de résolution de tâches 23 de l'OGE en mathématiques

Exemple 1 : Représenter graphiquement une fonction

Déterminez pour quelles valeurs la ligne a exactement un point commun avec le graphique.

La construction d'un graphe d'une fonction doit toujours commencer par spécifier le domaine de cette fonction. Dans ce cas, les restrictions sur cette zone sont définies par le fait que le dénominateur ne doit pas contenir de zéro, car la division par zéro n'a pas de sens mathématique. C'est-à-dire que le domaine de cette fonction est tous les nombres sauf 1. Vous pouvez l'écrire comme suit :

Après avoir spécifié la portée de la fonction d'origine, nous pouvons essayer de la simplifier. Pour ce faire, nous retirons le moins du dénominateur de la parenthèse et le réduisons. En conséquence, nous obtenons l'expression suivante :

Le graphe de cette fonction est obtenu à partir du graphe de la fonction en le réfléchissant autour de l'axe BŒUF et translation parallèle de tous les points par segment de 0,25 unité vers le bas. En même temps, il faut supprimer le point de ce graphique , car il n'est pas dans la portée de la fonction d'origine. C'est-à-dire que le graphique souhaité ressemble à ceci :

Nous répondons maintenant à la question principale du problème. Le graphique de la fonction est une droite passant par l'origine. De plus, selon le coefficient, cette droite a une pente différente par rapport à l'axe BŒUF. Quand cette droite a-t-elle exactement un point commun avec le graphique représenté ? Seulement dans deux cas. Considérons-les séparément.

Premier cas. Lorsque la ligne donnée touche le graphique affiché. Cette situation est représentée sur la figure :

La difficulté réside dans la détermination des valeurs pour lesquelles cette situation est réalisée. Plusieurs approches différentes peuvent être utilisées pour résoudre ce problème. Nous utilisons les plus typiques.

L'essentiel est qu'au point de contact, les graphiques passent par le même point sur le plan de coordonnées. Donc, à ce stade, l'égalité a lieu:

Discriminant de ce dernier équation quadratique est , et selon le coefficient, il peut être :

négatif, alors cette équation n'aura pas de racines, tout comme il n'y aura pas de points d'intersection de la ligne correspondante avec le graphique représenté ;
positif, alors il y aura deux racines, ce qui signifie qu'il y aura deux points d'intersection (ce cas ne nous convient pas non plus);
est égal à zéro, c'est ce cas qui correspond à la tangence de la droite avec le graphe, puisque l'équation écrite dans ce cas n'aura qu'une seule solution.

C'est, c'est. Les lignes correspondantes sont juste montrées dans la figure ci-dessus.

Deuxième cas. N'oubliez pas que le point avec l'abscisse n'appartient pas à notre carte. Cela signifie qu'une autre possibilité s'ouvre lorsque la droite aura exactement un point commun avec le graphique. Voici le cas :

Pour trouver dans ce cas, on substitue les coordonnées du point dans l'équation d'une droite. En conséquence, nous obtenons.

Immédiatement, nous remarquons que le domaine de cette fonction inclut tous les nombres : . Notre tâche maintenant, comme c'est souvent le cas lors de la résolution des tâches 23 de l'OGE en mathématiques, est de tracer cette fonction. Pour ceux qui n'ont jamais rencontré de tâches similaires auparavant, cela peut sembler étrange, mais le graphe de cette fonction peut être construit à partir du graphe de la fonction. Il suffit de sélectionner le carré entier dans l'expression du sous-module. Pour ce faire, nous allons effectuer les transformations suivantes :

A partir de ce dernier, en utilisant la formule "différence au carré", on obtient :

Commençons par tracer la fonction . Ce graphe est obtenu à partir du graphe de la fonction en le déplaçant d'un segment unitaire vers la droite et d'un segment unitaire vers le bas :

Dans ce cas, les zéros de la fonction sont égaux à 2 et -1. Que devient cette parabole si l'on prend le module de l'expression entière à droite ? Tous les points sous l'axe BŒUF(avec des ordonnées négatives), sera réfléchie vers le haut autour de l'axe BŒUF. Le résultat est un graphique comme celui-ci :

Maintenant, en regardant ce graphique, il est déjà clair que le nombre maximum de points d'intersection de ce graphique avec une ligne parallèle à l'axe des x sera de 4. A titre d'exemple, vous pouvez prendre une ligne droite :

C'est ainsi que sont résolus les devoirs 23 de l'OGE en mathématiques. Comme je l'ai dit, c'est joli tâches intéressantes, qui, de plus, peut être appris à résoudre à l'aide d'un algorithme clair et mémorable. Et dès que vous maîtriserez cette compétence, toutes les tâches 23 de l'OGE en mathématiques vous sembleront simples et même évidentes. Ce sera une autre clé précieuse pour vous qui vous aidera à obtenir le score maximum à l'examen. Je vous souhaite donc bonne chance dans votre préparation et bonne chance à l'examen !

Sergueï Valérievitch

Un module fait partie de ces choses dont tout le monde semble avoir entendu parler, mais en réalité personne ne comprend vraiment. Par conséquent, aujourd'hui, il y aura une grande leçon consacrée à la résolution d'équations avec des modules.

Je vous le dis tout de suite : la leçon sera simple. En général, les modules sont généralement un sujet relativement simple. « Oui, bien sûr, c'est facile ! Ça fait exploser mon cerveau !" - diront beaucoup d'étudiants, mais toutes ces ruptures cérébrales sont dues au fait que la plupart des gens n'ont pas de connaissances dans la tête, mais une sorte de merde. Et le but de cette leçon est de transformer la merde en connaissance. :)

Un peu de théorie

Alors allons-y. Commençons par le plus important : qu'est-ce qu'un module ? Permettez-moi de vous rappeler que le module d'un nombre est simplement le même nombre, mais pris sans le signe moins. C'est-à-dire, par exemple, $\left| -5 \right|=5$. Ou $\left| -129.5\right|=129.5$.

Est-ce si simple ? Oui, simple. Quel est alors le module d'un nombre positif ? Ici c'est encore plus simple : le module d'un nombre positif est égal à ce nombre lui-même : $\left| 5\right|=5$ ; $\gauche| 129,5 \right|=129,5$ etc.

Il s'avère une chose curieuse : différents nombres peuvent avoir le même module. Par exemple : $\gauche| -5 \right|=\left| 5\right|=5$ ; $\gauche| -129,5 \right|=\left| 129,5 \right|=129,5$. Il est facile de voir de quel type de nombres il s'agit, dans lesquels les modules sont identiques : ces nombres sont opposés. Ainsi, nous constatons par nous-mêmes que les modules de nombres opposés sont égaux :

\[\gauche| -a \droite|=\gauche| a\droite|\]

Un de plus fait important: le module n'est jamais négatif. Quel que soit le nombre que nous prenons - même positif, même négatif - son module s'avère toujours positif (ou dans les cas extrêmes, nul). C'est pourquoi le module est souvent appelé la valeur absolue d'un nombre.

De plus, si nous combinons la définition du module pour un nombre positif et négatif, nous obtenons une définition globale du module pour tous les nombres. A savoir : le module d'un nombre est égal à ce nombre lui-même, si le nombre est positif (ou nul), ou égal au nombre opposé, si le nombre est négatif. Vous pouvez écrire ceci sous forme de formule :

Il existe également un module de zéro, mais il est toujours égal à zéro. De plus, zéro singulier, qui n'a pas de vis à vis.

Ainsi, si nous considérons la fonction $y=\left| x \right|$ et essayez de tracer son graphe, vous obtiendrez un tel "daw":

Exemple de graphique de module et de solution d'équation

À partir de cette image, vous pouvez immédiatement voir que $\left| -m \droite|=\gauche| m \right|$, et le tracé du module ne tombe jamais en dessous de l'axe des x. Mais ce n'est pas tout : la ligne rouge marque la droite $y=a$, qui, avec $a$ positif, nous donne deux racines à la fois : $((x)_(1))$ et $((x) _(2)) $, mais on en reparlera plus tard. :)

En plus d'une définition purement algébrique, il en existe une géométrique. Disons qu'il y a deux points sur la droite numérique : $((x)_(1))$ et $((x)_(2))$. Dans ce cas, l'expression $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ est juste la distance entre les points spécifiés. Ou, si vous préférez, la longueur du segment reliant ces points :

Le module est la distance entre les points sur la droite numérique

Il découle également de cette définition que le module est toujours non négatif. Mais assez de définitions et de théorie - passons aux vraies équations. :)

Formule de base

Bon, nous avons compris la définition. Mais cela n'a pas été plus facile. Comment résoudre des équations contenant ce même module ?

Calme, juste calme. Commençons par les choses les plus simples. Considérez quelque chose comme ceci :

\[\gauche| x\droite|=3\]

Donc le modulo$x$ est 3. À quoi $x$ peut-il être égal ? Eh bien, à en juger par la définition, $x=3$ nous conviendra parfaitement. Vraiment:

\[\gauche| 3\droite|=3\]

Existe-t-il d'autres numéros ? Cap semble laisser entendre qu'il y en a. Par exemple, $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, c'est-à-dire l'égalité requise est satisfaite.

Alors peut-être que si nous cherchons, réfléchissons, nous trouverons plus de chiffres ? Mais arrêtez : il n'y a plus de chiffres. Équation $\left| x \right|=3$ n'a que deux racines : $x=3$ et $x=-3$.

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Soit, à la place de la variable $x$, la fonction $f\left(x \right)$ accrochée sous le signe module, et à droite, au lieu du triplet, on pose un nombre arbitraire $a$. On obtient l'équation :

\[\gauche| f\gauche(x \droite) \droite|=a\]

Eh bien, comment décidez-vous? Laissez-moi vous rappeler : $f\left(x \right)$ est une fonction arbitraire, $a$ est n'importe quel nombre. Celles. n'importe quoi ! Par exemple:

\[\gauche| 2x+1 \droite|=5\]

\[\gauche| 10x-5 \right|=-65\]

Regardons la deuxième équation. On peut tout de suite dire de lui : il n'a pas de racines. Pourquoi? C'est vrai : parce qu'il faut que le module soit égal à nombre négatif, ce qui n'arrive jamais, puisque nous savons déjà que le module est toujours un nombre positif, ou dans les cas extrêmes, nul.

Mais avec la première équation, tout est plus amusant. Deux possibilités s'offrent à vous : soit il y a une expression positive sous le signe du module, puis $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ou cette expression est toujours négative, auquel cas $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Dans le premier cas, notre équation sera réécrite comme suit :

\[\gauche| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

Et soudain, il s'avère que l'expression de sous-module $2x+1$ est en effet positive - elle est égale au nombre 5. C'est-à-dire que nous pouvons résoudre cette équation en toute sécurité - la racine résultante sera un élément de la réponse :

Ceux qui sont particulièrement incrédules peuvent essayer de substituer la racine trouvée dans l'équation d'origine et s'assurer qu'il y aura vraiment un nombre positif sous le module.

Examinons maintenant le cas d'une expression de sous-module négative :

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Flèche droite 2x+1=-5\]

Oups! Encore une fois, tout est clair : nous avons supposé que $2x+1 \lt 0$, et par conséquent nous avons obtenu que $2x+1=-5$ - en effet, cette expression est inférieure à zéro. Nous résolvons l'équation résultante, tout en sachant déjà avec certitude que la racine trouvée nous conviendra :

Au total, nous avons de nouveau reçu deux réponses : $x=2$ et $x=3$. Oui, la quantité de calculs s'est avérée un peu plus importante que dans l'équation très simple $\left| x \right|=3$, mais fondamentalement rien n'a changé. Alors peut-être qu'il y a des algorithme universel?

Oui, un tel algorithme existe. Et maintenant nous allons l'analyser.

Se débarrasser du signe du module

Donnons-nous l'équation $\left| f\left(x \right) \right|=a$, et $a\ge 0$ (sinon, comme nous le savons déjà, il n'y a pas de racines). Ensuite, vous pouvez vous débarrasser du signe modulo selon la règle suivante :

\[\gauche| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Ainsi, notre équation avec le module se divise en deux, mais sans le module. C'est toute la technologie ! Essayons de résoudre quelques équations. Commençons par ceci

\[\gauche| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Nous considérerons séparément quand il y a un dix avec un plus à droite, et séparément quand c'est avec un moins. Nous avons:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2 ; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\fin(aligner)\]

C'est tout! Nous avons deux racines : $x=1,2$ et $x=-2,8$. Toute la solution prenait littéralement deux lignes.

Ok, pas de doute, regardons quelque chose d'un peu plus sérieux :

\[\gauche| 7-5x \droit|=13\]

Encore une fois, ouvrez le module avec un plus et un moins :

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\fin(aligner)\]

Encore quelques lignes - et la réponse est prête ! Comme je l'ai dit, il n'y a rien de compliqué dans les modules. Il vous suffit de vous rappeler quelques règles. Par conséquent, nous allons plus loin et procédons à des tâches vraiment plus difficiles.

Valise latérale droite variable

Considérons maintenant cette équation :

\[\gauche| 3x-2 \droite|=2x\]

Cette équation est fondamentalement différente de toutes les précédentes. Comment? Et le fait que l'expression $2x$ soit à droite du signe égal - et nous ne pouvons pas savoir à l'avance si elle est positive ou négative.

Comment être dans ce cas ? Premièrement, nous devons comprendre une fois pour toutes que si le côté droit de l'équation est négatif, alors l'équation n'aura pas de racines- nous savons déjà que le module ne peut pas être égal à un nombre négatif.

Et deuxièmement, si la partie droite est toujours positive (ou égale à zéro), alors vous pouvez procéder exactement de la même manière qu'avant : ouvrez simplement le module séparément avec le signe plus et séparément avec le signe moins.

Ainsi, nous formulons une règle pour les fonctions arbitraires $f\left(x \right)$ et $g\left(x \right)$ :

\[\gauche| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Par rapport à notre équation, nous obtenons :

\[\gauche| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Eh bien, nous pouvons gérer l'exigence $2x\ge 0$ d'une manière ou d'une autre. En fin de compte, nous pouvons bêtement substituer les racines que nous obtenons de la première équation et vérifier si l'inégalité tient ou non.

Alors résolvons l'équation elle-même:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Flèche droite 3x=0\Flèche droite x=0. \\\fin(aligner)\]

Eh bien, laquelle de ces deux racines satisfait à l'exigence $2x\ge 0$ ? Oui, les deux! Par conséquent, la réponse sera deux nombres : $x=(4)/(3)\;$ et $x=0$. C'est la solution. :)

Je soupçonne que l'un des élèves a déjà commencé à s'ennuyer ? Eh bien, considérons une équation encore plus complexe :

\[\gauche| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Bien que cela ait l'air maléfique, en fait c'est tout de même une équation de la forme "module égal fonction":

\[\gauche| f\gauche(x \droite) \droite|=g\gauche(x \droite)\]

Et il se résout de la même manière :

\[\gauche| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Nous traiterons de l'inégalité plus tard - c'est en quelque sorte trop vicieux (en fait simple, mais nous ne le résoudrons pas). Pour l'instant, regardons les équations résultantes. Considérez le premier cas - c'est lorsque le module est développé avec un signe plus :

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Eh bien, ici, il est évident que vous devez tout collecter sur la gauche, en apporter des similaires et voir ce qui se passe. Et c'est ce qui arrive:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0 ; \\\fin(aligner)\]

En mettant le facteur commun $((x)^(2))$ hors de la parenthèse, nous obtenons une équation très simple :

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(aligner) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Ici, nous avons utilisé une propriété importante du produit, pour laquelle nous avons factorisé le polynôme d'origine : le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro.

Maintenant, de la même manière, nous allons traiter la deuxième équation, qui est obtenue en développant le module avec un signe moins :

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0 ; \\& x\gauche(-3x+2 \droite)=0. \\\fin(aligner)\]

Encore une fois, la même chose : le produit est nul lorsqu'au moins un des facteurs est nul. Nous avons:

\[\left[ \begin(aligner)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(aligner) \right.\]

Eh bien, nous avons trois racines : $x=0$, $x=1,5$ et $x=(2)/(3)\;$. Eh bien, qu'est-ce qui entrera dans la réponse finale de cet ensemble? Pour ce faire, rappelons que nous avons une contrainte d'inégalité supplémentaire :

Comment prendre en compte cette exigence ? Remplaçons simplement les racines trouvées et vérifions si l'inégalité est vraie pour ces $x$ ou non. Nous avons:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0 ; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0 ; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0 ; \\\fin(aligner)\]

Ainsi, la racine $x=1.5$ ne nous convient pas. Et seules deux racines iront en réponse :

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Comme vous pouvez le voir, même dans ce cas, il n'y avait rien de compliqué - les équations avec des modules sont toujours résolues selon l'algorithme. Vous avez juste besoin d'avoir une bonne compréhension des polynômes et des inégalités. Par conséquent, nous passons à des tâches plus complexes - il n'y aura déjà pas un, mais deux modules.

Équations à deux modules

Jusqu'à présent, nous n'avons étudié que les équations les plus simples - il y avait un module et autre chose. Nous avons envoyé ce « quelque chose d'autre » à une autre partie de l'inégalité, loin du module, pour qu'au final tout se réduise à une équation comme $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ ou encore plus simple $\left| f\gauche(x \droite) \droite|=a$.

Mais Jardin d'enfants terminé - il est temps d'envisager quelque chose de plus sérieux. Commençons par des équations comme celle-ci :

\[\gauche| f\left(x \right) \right|=\left| g\gauche(x \droite) \droite|\]

C'est une équation de la forme "le module est égal au module". Fondamentalement point important est l'absence d'autres termes et facteurs : un seul module à gauche, un module de plus à droite - et rien de plus.

On pourrait maintenant penser que de telles équations sont plus difficiles à résoudre que ce que nous avons étudié jusqu'ici. Mais non : ces équations sont résolues encore plus facilement. Voici la formule :

\[\gauche| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Tout! Nous assimilons simplement les expressions de sous-module en préfixant l'une d'elles avec un signe plus ou moins. Et puis nous résolvons les deux équations résultantes - et les racines sont prêtes ! Pas de restrictions supplémentaires, pas d'inégalités, etc. Tout est très simple.

Essayons de résoudre ce problème :

\[\gauche| 2x+3 \droite|=\gauche| 2x-7 \droite|\]

Watson élémentaire! Ouverture des modules :

\[\gauche| 2x+3 \droite|=\gauche| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Considérons chaque cas séparément :

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\fin(aligner)\]

La première équation n'a pas de racine. Car quand est-ce que 3 $=-7 $ ? Pour quelles valeurs de $x$ ? "Qu'est-ce que c'est que $x$ ? Êtes-vous lapidé? Il n'y a pas de $x$ du tout », dites-vous. Et vous aurez raison. Nous avons obtenu une égalité qui ne dépend pas de la variable $x$, et en même temps l'égalité elle-même est incorrecte. C'est pourquoi il n'y a pas de racines.

Avec la seconde équation, tout est un peu plus intéressant, mais aussi très, très simple :

Comme vous pouvez le voir, tout a été décidé littéralement en quelques lignes - nous n'attendions rien d'autre d'une équation linéaire. :)

Par conséquent, la réponse finale est : $x=1$.

Bien comment? Difficile? Bien sûr que non. Essayons autre chose :

\[\gauche| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Encore une fois, nous avons une équation comme $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\gauche(x \droite) \droite|$. Par conséquent, nous le réécrivons immédiatement, révélant le signe du module :

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Peut-être que quelqu'un demandera maintenant : « Hé, quel genre de bêtises ? Pourquoi le plus-moins est-il à droite et non à gauche ? Calme-toi, je vais tout t'expliquer. En effet, dans le bon sens, nous aurions dû réécrire notre équation comme suit :

Ensuite, vous devez ouvrir les crochets, déplacer tous les termes dans une direction à partir du signe égal (puisque l'équation, évidemment, sera carrée dans les deux cas), puis trouver les racines. Mais avouez : quand « plus ou moins » est devant trois termes (surtout quand l'un de ces termes est expression carrée), cela semble en quelque sorte plus compliqué que la situation où "plus ou moins" n'est que devant deux termes.

Mais rien ne nous empêche de réécrire l'équation originale comme suit :

Qu'est-il arrivé? Oui, rien de spécial : juste permuté les côtés gauche et droit. Une bagatelle, qui au final nous simplifiera un peu la vie. :)

En général, nous résolvons cette équation en considérant les options avec un plus et un moins :

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0 ; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\fin(aligner)\]

La première équation a pour racines $x=3$ et $x=1$. Le second est généralement un carré exact :

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Par conséquent, il a une seule racine : $x=1$. Mais nous avons déjà reçu cette racine plus tôt. Ainsi, seuls deux chiffres entreront dans la réponse finale :

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Mission accomplie! Vous pouvez le prendre sur l'étagère et manger une tarte. Il y en a 2, votre moyenne. :)

Note importante. Avoir les mêmes racines différentes options l'expansion du module signifie que les polynômes d'origine sont décomposés en facteurs, et parmi ces facteurs, il y en aura nécessairement un commun. Vraiment:

\[\begin(aligner)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right| ; \\&\gauche| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\fin(aligner)\]

Une des propriétés du module : $\left| a\cdot b \right|=\left| un \right|\cdot \left| b \right|$ (c'est-à-dire que le module du produit est égal au produit des modules), donc l'équation d'origine peut être réécrite comme

\[\gauche| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \droite|\]

Comme vous pouvez le voir, nous avons vraiment un facteur commun. Maintenant, si vous rassemblez tous les modules d'un côté, vous pouvez retirer ce multiplicateur du support :

\[\begin(aligner)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right| ; \\&\gauche| x-1 \droite|-\gauche| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0 ; \\&\gauche| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\fin(aligner)\]

Eh bien, rappelons maintenant que le produit est égal à zéro lorsqu'au moins un des facteurs est égal à zéro :

\[\left[ \begin(aligner)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(aligner) \right.\]

Ainsi, l'équation originale à deux modules a été réduite aux deux équations les plus simples dont nous avons parlé au tout début de la leçon. De telles équations peuvent être résolues en quelques lignes seulement. :)

Cette remarque peut sembler inutilement compliquée et inapplicable en pratique. Cependant, en réalité, vous pouvez rencontrer des tâches beaucoup plus complexes que celles que nous analysons aujourd'hui. En eux, les modules peuvent être combinés avec des polynômes, des racines arithmétiques, des logarithmes, etc. Et dans de telles situations, la possibilité d'abaisser le degré global de l'équation en mettant quelque chose hors du support peut être très, très pratique. :)

Maintenant, je voudrais analyser une autre équation, qui à première vue peut sembler folle. Beaucoup d'étudiants « s'y tiennent », même ceux qui pensent avoir une bonne compréhension des modules.

Cependant, cette équation est encore plus facile à résoudre que ce que nous avons considéré précédemment. Et si vous pouvez comprendre pourquoi, vous obtiendrez un autre coup pour décision rapideéquations avec modules.

Donc l'équation est :

\[\gauche| x-((x)^(3)) \droite|+\gauche| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Non, ce n'est pas une faute de frappe : c'est un plus entre les modules. Et nous devons trouver pour quel $x$ la somme de deux modules est égale à zéro. :)

Quel est le problème? Et le problème est que chaque module est un nombre positif, ou dans les cas extrêmes, zéro. Que se passe-t-il lorsque vous additionnez deux nombres positifs ? Évidemment, encore une fois un nombre positif :

\[\begin(aligner)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0 ; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\fin(aligner)\]

La dernière ligne peut vous donner une idée : le seul cas où la somme des modules est nulle est si chaque module est égal à zéro :

Quand le module est-il égal à zéro ? Seulement dans un cas - lorsque l'expression du sous-module est égale à zéro :

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(aligner) \right.\]

Ainsi, nous avons trois points auxquels le premier module est mis à zéro : 0, 1 et -1 ; ainsi que deux points où le deuxième module est mis à zéro : -2 et 1. Cependant, nous avons besoin que les deux modules soient mis à zéro en même temps, donc parmi les nombres trouvés, nous devons choisir ceux qui sont inclus dans les deux ensembles. Évidemment, il n'y a qu'un seul nombre : $x=1$ - ce sera la réponse finale.

méthode de fractionnement

Eh bien, nous avons déjà couvert un tas de tâches et appris beaucoup de trucs. Vous pensez que c'est ça ? Mais non! Nous allons maintenant considérer la technique finale - et en même temps la plus importante. Nous parlerons de la division des équations avec un module. De quoi sera-t-il question ? Revenons un peu en arrière et considérons une équation simple. Par exemple, ceci :

\[\gauche| 3x-5\droite|=5-3x\]

En principe, nous savons déjà comment résoudre une telle équation, car il s'agit d'un $\left| standard. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Mais essayons de regarder cette équation sous un angle légèrement différent. Plus précisément, considérons l'expression sous le signe du module. Permettez-moi de vous rappeler que le module de n'importe quel nombre peut être égal au nombre lui-même, ou il peut être opposé à ce nombre :

\[\gauche| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

En fait, cette ambiguïté est tout le problème : puisque le nombre sous le module change (cela dépend de la variable), il ne nous est pas clair s'il est positif ou négatif.

Mais que se passe-t-il si nous exigeons initialement que ce nombre soit positif ? Par exemple, exigeons que $3x-5 \gt 0$ - dans ce cas, nous sommes assurés d'obtenir un nombre positif sous le signe du module, et nous pouvons nous débarrasser complètement de ce module :

Ainsi, notre équation se transformera en une équation linéaire, qui est facilement résolue :

Certes, toutes ces considérations n'ont de sens que sous la condition $3x-5 \gt 0$ - nous avons nous-mêmes introduit cette exigence afin de révéler sans ambiguïté le module. Remplaçons donc le $x=\frac(5)(3)$ trouvé dans cette condition et vérifions :

Il s'avère que pour la valeur spécifiée de $x$, notre exigence n'est pas satisfaite, car expression s'est avérée égale à zéro, et nous avons besoin qu'elle soit strictement supérieure à zéro. Triste. :(

Mais ça va! Après tout, il existe une autre option $3x-5 \lt 0$. De plus : il y a aussi le cas $3x-5=0$ - cela doit également être pris en compte, sinon la solution sera incomplète. Considérons donc le cas $3x-5 \lt 0$ :

Il est évident que le module s'ouvrira avec un signe moins. Mais alors une situation étrange se présente: à gauche et à droite dans l'équation d'origine, la même expression ressortira:

Je me demande pour quoi tel $x$ l'expression $5-3x$ sera égale à l'expression $5-3x$ ? À partir de telles équations, même le capitaine s'étoufferait évidemment avec de la salive, mais nous savons que cette équation est une identité, c'est-à-dire c'est vrai pour n'importe quelle valeur de la variable !

Et cela signifie que n'importe quel $x$ nous conviendra. Cependant, nous avons une limite :

En d'autres termes, la réponse ne sera pas un seul nombre, mais tout un intervalle :

Enfin, il reste un cas à considérer : $3x-5=0$. Tout est simple ici: il y aura zéro sous le module, et le module de zéro est également égal à zéro (cela découle directement de la définition):

Mais alors l'équation originale $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ sera réécrit comme ceci :

Nous avons déjà obtenu cette racine plus haut en considérant le cas $3x-5 \gt 0$. De plus, cette racine est une solution de l'équation $3x-5=0$ - c'est la restriction que nous avons nous-même introduite pour annuler le module. :)

Ainsi, en plus de l'intervalle, on se contentera également du nombre se trouvant à la toute fin de cet intervalle :

Combinaison de racines dans des équations avec module

Réponse finale totale : $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Il n'est pas très courant de voir de telles conneries dans la réponse à une équation plutôt simple (essentiellement linéaire) avec module Eh bien, habituez-vous : la complexité du module réside dans le fait que les réponses dans de telles équations peuvent s'avérer complètement imprévisibles.

Beaucoup plus important est autre chose : nous venons de démonter un algorithme universel pour résoudre une équation avec un module ! Et cet algorithme se compose des étapes suivantes :

Égalez chaque module de l'équation à zéro. Prenons quelques équations ;
Résolvez toutes ces équations et marquez les racines sur la droite numérique. En conséquence, la ligne droite sera divisée en plusieurs intervalles, sur chacun desquels tous les modules sont développés de manière unique ;
Résolvez l'équation originale pour chaque intervalle et combinez les réponses.

C'est tout! Il ne reste plus qu'une question : que faire des racines elles-mêmes, obtenues à la 1ère étape ? Disons que nous avons deux racines : $x=1$ et $x=5$. Ils décomposeront la droite numérique en 3 morceaux :

Fractionner une droite numérique en intervalles à l'aide de points

Quels sont donc les intervalles ? Il est clair qu'il y en a trois :

Le plus à gauche : $x \lt 1$ - l'unité elle-même n'est pas incluse dans l'intervalle ;
Central : $1\le x \lt 5$ - ici un est inclus dans l'intervalle, mais cinq n'est pas inclus ;
Le plus à droite : $x\ge 5$ — le cinq n'est inclus qu'ici !

Je pense que vous comprenez déjà le modèle. Chaque intervalle comprend l'extrémité gauche et n'inclut pas l'extrémité droite.

À première vue, un tel disque peut sembler inconfortable, illogique et généralement un peu fou. Mais croyez-moi: après un peu de pratique, vous constaterez que cette approche est la plus fiable et en même temps n'interfère pas avec des modules révélateurs sans ambiguïté. Il vaut mieux utiliser un tel schéma que de penser à chaque fois : donner l'extrémité gauche/droite à l'intervalle en cours ou le « jeter » au suivant.

Nous préparons l'OGE en mathématiques, nous résolvons la tâche 23 pour tracer un graphe de fonctions avec un module. Pour cette tâche de l'examen, vous pouvez obtenir un maximum de 2 points.

Tracez la fonction y= |x 2 + 4x + 3|. Quel est le plus grand nombre de points communs que le graphique de cette fonction peut avoir avec une droite parallèle à l'axe des abscisses ?

Pour représenter graphiquement la fonction y= |x 2 + 4x + 3|, vous devez d'abord représenter graphiquement la fonction y= x 2 + 4x + 3. Il s'agit d'une fonction quadratique dont le graphique est une parabole à branches ascendantes. Sélectionnons le carré du binôme pour trouver le sommet de la parabole : x 2 + 4x + 3 \u003d (x 2 + 4x + 4) - 1 \u003d (x + 2) 2 -1. Nous avons transformé la fonction y \u003d (x + 2) 2 - 1. Le sommet de la parabole a pour coordonnées (-2; -1) et l'axe de symétrie x \u003d -2. Construisons une parabole à partir de points. Le tableau montre les valeurs pour la branche droite. La branche gauche est construite symétriquement.

	-2	-1	0	1
y	-1	0	3

La première partie de la tâche 23 de l'OGE en mathématiques est terminée, c'est-à-dire tracé une fonction quadratique sous le module. Il reste à déterminer quel est le plus grand nombre de points communs que le graphe de cette fonction peut avoir avec une droite parallèle OX :

si on trace une droite y=0, alors on obtient 2 points communs ;
si les valeurs y sont dans l'intervalle (0;1), alors 4 points communs ;
si nous traçons une ligne droite y \u003d 1, alors nous voyons 3 points communs;
si y>1, alors 2 points.

Réponse : le plus grand nombre de points communs du graphique d'une fonction avec une droite parallèle à l'axe des abscisses 4.