Solution par la formule de Newton-Leibniz. Calculatrice en ligne Calculer l'intégrale définie (aire d'un trapèze courbe)

Formule de Newton - Leibniz

Le théorème principal de l'analyse ou Formule Newton - Leibniz donne la relation entre deux opérations : prendre une intégrale définie et calculer la primitive

Le libellé

Considérons l'intégrale de la fonction oui = F(X) dans un nombre constant une jusqu'au nombre X, que nous considérerons comme une variable. On écrit l'intégrale sous la forme suivante :

Ce type d'intégrale est appelé intégrale avec une limite supérieure variable. En utilisant le théorème sur la moyenne dans une intégrale définie, il est facile de montrer que la fonction donnée est continue et dérivable. Et aussi la dérivée de cette fonction au point x est égale à la fonction intégrable elle-même. De là, il s'ensuit que toute fonction continue a une primitive sous la forme d'une quadrature :. Et comme la classe des primitives de la fonction f diffère d'une constante, il est facile de montrer que : une intégrale définie de la fonction f est égale à la différence des valeurs des primitives aux points b et a

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Formule de rectangles

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La résolution des problèmes appliqués se réduit au calcul de l'intégrale, mais il n'est pas toujours possible de le faire avec précision. Parfois, il est nécessaire de connaître la valeur d'une intégrale définie avec un certain degré de précision, par exemple jusqu'au millième.

Il y a des problèmes lorsqu'il serait nécessaire de trouver la valeur approximative d'une certaine intégrale avec la précision requise, alors l'intégration numérique est utilisée, comme la méthode de Simposna, les trapèzes, les rectangles. Tous les cas ne permettent pas de le calculer avec une certaine précision.

Cet article traite de l'application de la formule de Newton-Leibniz. Ceci est nécessaire pour calculer avec précision l'intégrale définie. Des exemples détaillés seront donnés, des changements de variables dans une intégrale définie seront considérés, et nous trouverons les valeurs de l'intégrale définie lors de l'intégration par parties.

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Formule de Newton-Leibniz

Définition 1

Lorsque la fonction y = y (x) est continue à partir du segment [a; b], et F (x) est une des primitives de la fonction de ce segment, alors Formule de Newton-Leibniz considéré comme juste. Nous l'écrivons comme ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a).

Cette formule est considérée la formule de base du calcul intégral.

Pour prouver cette formule, il est nécessaire d'utiliser le concept d'intégrale avec une borne supérieure variable disponible.

Lorsque la fonction y = f (x) est continue à partir du segment [a; b], alors la valeur de l'argument x ∈ a ; b, et l'intégrale a la forme a x f (t) d t et est considérée comme fonction de la limite supérieure. Il faut prendre la notation de la fonction qui prendra la forme axf (t) dt = Φ (x), elle est continue, et l'inégalité de la forme ∫ axf (t) dt "= Φ" (x) = f (x) vaut pour elle.

Fixons que l'incrément de la fonction Φ (x) correspond à l'incrément de l'argument ∆ x, il faut utiliser la cinquième propriété principale de l'intégrale définie et obtenir

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ax + ∆ xf (t) dt - ∫ axf (t) dt = = ∫ ax + ∆ xf (t) dt = f (c) x + ∆ x - x = f (c) x

où la valeur c x; x + x.

Fixons une égalité sous la forme Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c). Par la définition de la dérivée d'une fonction, il faut passer à la limite comme ∆ x → 0, alors on obtient une formule de la forme Φ "(x) = f (x). On obtient que Φ (x) est l'une des primitives pour une fonction de la forme y = f (x), située sur [a; b]. Sinon, l'expression peut s'écrire

F (x) = (x) + C = a x f (t) d t + C, où la valeur de C est constante.

Calculons F (a) en utilisant la première propriété de l'intégrale définie. Ensuite, nous obtenons que

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, on obtient donc C = F (a). Le résultat est appliqué lors du calcul de F (b) et on obtient :

F (b) = Φ (b) + C = abf (t) dt + C = ∫ abf (t) dt + F (a), autrement dit, F (b) = ∫ abf (t) dt + F (une). L'égalité prouve la formule de Newton-Leibniz a b f (x) d x + F (b) - F (a).

L'incrément de la fonction est pris comme F x a b = F (b) - F (a). En utilisant la notation, la formule de Newton-Leibniz prend la forme ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a).

Pour appliquer la formule, il est impératif de connaître l'une des primitives y = F (x) de l'intégrande y = f (x) du segment [a; b], calculez l'incrément de la primitive à partir de ce segment. Considérons quelques exemples de calculs utilisant la formule de Newton-Leibniz.

Exemple 1

Calculer l'intégrale définie 1 3 x 2 d x en utilisant la formule de Newton-Leibniz.

Solution

Considérons que l'intégrande de la forme y = x 2 est continue à partir du segment [1; 3], alors il est intégrable sur ce segment. À partir du tableau des intégrales indéfinies, nous voyons que la fonction y = x 2 a un ensemble de primitives pour toutes les valeurs réelles de x, d'où x ∈ 1 ; 3 s'écrira F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C. Il faut prendre la primitive avec C = 0, alors on obtient que F (x) = x 3 3.

Utilisons la formule de Newton-Leibniz et obtenons que le calcul de l'intégrale définie prendra la forme ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Réponse: 1 3 x 2 d x = 26 3

Exemple 2

Calculer l'intégrale définie ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x en utilisant la formule de Newton-Leibniz.

Solution

La fonction donnée est continue à partir du segment [-1; 2], il est donc intégrable dessus. Il faut trouver la valeur de l'intégrale indéfinie ∫ x ex 2 + 1 dx en utilisant la méthode du passage sous le signe différentiel, alors on obtient ∫ x ex 2 + 1 dx = 1 2 ∫ ex 2 + 1 d (x 2 + 1) = 1 2 ex 2 + 1 + C.

On a donc un ensemble de primitives de la fonction y = x · e x 2 + 1, qui sont valables pour tout x, x ∈ - 1 ; 2.

Il faut prendre la primitive à C = 0 et appliquer la formule de Newton-Leibniz. On obtient alors une expression de la forme

∫ - 1 2 x ex 2 + 1 dx = 1 2 ex 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Réponse:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Exemple 3

Calculer les intégrales ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x et ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x.

Solution

Segment - 4 ; - 1 2 indique que la fonction sous le signe intégral est continue, ce qui signifie qu'elle est intégrable. De là, nous trouvons l'ensemble des primitives de la fonction y = 4 x 3 + 2 x 2. On obtient ça

4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Il faut prendre la primitive F(x) = 2 x 2 - 2 x, puis, en appliquant la formule de Newton-Leibniz, on obtient l'intégrale, que l'on calcule :

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 dx = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

On passe au calcul de la seconde intégrale.

Du segment [- 1; 1] nous avons que l'intégrande est considéré comme non borné, car lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞, alors il s'ensuit que condition nécessaire intégrabilité à partir d'un segment. Alors F (x) = 2 x 2 - 2 x n'est pas une primitive pour y = 4 x 3 + 2 x 2 du segment [- 1; 1], puisque le point O appartient au segment, mais n'est pas inclus dans le domaine de définition. Cela signifie qu'il existe une intégrale de Riemann et Newton-Leibniz définie pour la fonction y = 4 x 3 + 2 x 2 du segment [-1; 1 ] .

Réponse : ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28, il existe une intégrale de Riemann et Newton-Leibniz définie pour la fonction y = 4 x 3 + 2 x 2 du segment [-1; 1 ] .

Avant d'utiliser la formule de Newton-Leibniz, vous devez connaître exactement l'existence d'une intégrale définie.

Changement d'une variable dans une intégrale définie

Lorsque la fonction y = f (x) est définie et continue à partir du segment [a; b], puis l'ensemble existant [a; b] est considérée comme la plage de valeurs de la fonction x = g (z), définie sur le segment α ; β avec la dérivée continue existante, où g (α) = a et g β = b, à partir de là on obtient que ∫ abf (x) dx = ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z .

Cette formule est utilisée lorsqu'il est nécessaire de calculer l'intégrale a b f (x) d x, où l'intégrale indéfinie a la forme ∫ f (x) d x, est calculée en utilisant la méthode de substitution.

Exemple 4

Calculer une intégrale définie de la forme ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x.

Solution

L'intégrande est considérée comme continue sur l'intervalle d'intégration, ce qui signifie qu'une intégrale définie a lieu pour l'existence. Désignons que 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. La valeur x = 9, signifie que z = 2 9 - 9 = 9 = 3, et pour x = 18 on obtient que z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, alors g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. En substituant les valeurs obtenues dans la formule ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z, on obtient

9 18 1 x 2 x - 9 dx = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "dz = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z zdz = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dz

D'après le tableau des intégrales indéfinies, on a qu'une des primitives de la fonction 2 z 2 + 9 prend la valeur 2 3 a r c t g z 3. Ensuite, en appliquant la formule de Newton-Leibniz, on obtient que

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

La recherche pourrait se faire sans utiliser la formule ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z.

Si la méthode de remplacement utilise une intégrale de la forme ∫ 1 x 2 x - 9 d x, alors on arrive au résultat ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

À partir de là, nous effectuerons des calculs à l'aide de la formule de Newton-Leibniz et calculerons une intégrale définie. On obtient ça

∫ 9 18 2 z 2 + 9 dz = 2 3 arctgz 3 9 18 = = 2 3 arctan 2 18 - 9 3 - arctan 2 9 - 9 3 = = 2 3 arctan 3 - arctan 1 = 2 3 3 - π 4 = 18

Les résultats correspondaient.

Réponse : ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Intégration par parties lors du calcul d'une intégrale définie

Si sur le segment [a; b], les fonctions u (x) et v (x) sont définies et continues, alors leurs dérivées du premier ordre v "(x) · u (x) sont intégrables, donc à partir de cet intervalle pour la fonction intégrable u" (x ) · v ( x) l'égalité ∫ abv "(x) u (x) dx = (u (x) v (x)) ab - ∫ abu" (x) v (x) dx est vraie.

La formule peut alors être utilisée, il faut calculer l'intégrale a b f (x) d x, et ∫ f (x) d x il a fallu la rechercher au moyen d'une intégration par parties.

Exemple 5

Calculer l'intégrale définie ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x.

Solution

La fonction x · sin x 3 + π 6 est intégrable sur l'intervalle - π 2 ; 3 2, donc c'est continu.

Soit u (x) = x, alors d (v (x)) = v "(x) dx = sin x 3 + π 6 dx, et d (u (x)) = u" (x) dx = dx, et v (x) = - 3 cos 3 + π 6. De la formule ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u" (x) v (x) d x nous obtenons

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 dx = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx = = - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

L'exemple peut être résolu d'une autre manière.

Trouver l'ensemble des primitives de la fonction x sin x 3 + π 6 par intégration par parties en utilisant la formule de Newton-Leibniz :

∫ x sin xx 3 + π 6 dx = u = x, dv = sin x 3 + π 6 dx ⇒ du = dx, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 dx = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 dx = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 2 - 0 = 3 4 + 9 3 2

Réponse : ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

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Problème 1(à propos du calcul de l'aire trapèze courbe).

Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes xOy, une figure est donnée (voir figure), délimitée par l'axe des x, par des droites x = a, x = b (a par un trapèze courbe. Il est nécessaire de calculer l'aire de ​un trapèze courbe.
Solution. La géométrie nous donne des recettes pour calculer les aires des polygones et certaines parties d'un cercle (secteur, segment). En utilisant des considérations géométriques, nous ne pourrons trouver qu'une valeur approximative de la surface requise, en argumentant comme suit.

Nous divisons le segment [a; b] (base d'un trapèze courbe) par n parts égales; cette partition est réalisable en utilisant les points x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Traçons des lignes droites passant par ces points parallèlement à l'axe des y. Ensuite, le trapèze curviligne donné sera divisé en n parties, en n colonnes étroites. L'aire de tout le trapèze est égale à la somme des aires des colonnes.

Considérez la k-ième colonne séparément, c'est-à-dire un trapèze curviligne dont la base est un segment. Remplaçons-le par un rectangle de même base et de hauteur égale à f (x k) (voir figure). L'aire du rectangle est \(f(x_k)\cdot\Delta x_k\), où \(\Delta x_k\) est la longueur du segment; il est naturel de considérer le produit compilé comme une valeur approximative de l'aire de la k-ème colonne.

Si on fait maintenant de même avec toutes les autres colonnes, on arrivera au résultat suivant : l'aire S d'un trapèze curviligne donné est approximativement égale à l'aire S n d'une figure en escalier composée de n rectangles (voir figure) :
\ (S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + \ points + f (x_k) \ Delta x_k + \ points + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) \)
Ici, par souci d'uniformité de notation, nous supposons que a = x 0, b = x n ; \ (\ Delta x_0 \) - longueur de segment, \ (\ Delta x_1 \) - longueur de segment, etc. en même temps, comme convenu plus haut, \ (\ Delta x_0 = \ points = \ Delta x_ (n-1) \)

Donc, \(S\approx S_n\), et cette égalité approchée est d'autant plus précise, plus n est grand.
Par définition, on suppose que l'aire requise d'un trapèze curviligne est égale à la limite de la séquence (S n) :
$$ S = \ lim_ (n \ à \ infty) S_n $$

Problème 2(à propos du point mobile)
Un point matériel se déplace en ligne droite. La dépendance de la vitesse au temps est exprimée par la formule v = v (t). Trouver le déplacement d'un point sur une période de temps [a; b].
Solution. Si le mouvement était uniforme, alors le problème serait résolu très simplement : s = vt, c'est-à-dire s = v (b-a). Pour un mouvement inégal, vous devez utiliser les mêmes idées sur lesquelles la solution du problème précédent était basée.
1) Divisez l'intervalle de temps [a; b] en n parties égales.
2) Considérons un intervalle de temps et supposons que pendant cet intervalle de temps, la vitesse était constante, comme au temps t k. On considère donc que v = v (t k).
3) Trouver la valeur approximative du déplacement du point sur une période de temps, cette valeur approximative sera notée s k
\ (s_k = v (t_k) \ Delta t_k \)
4) Trouver la valeur approximative du déplacement s :
\ (s \ env S_n \) où
\ (S_n = s_0 + \ points + s_ (n-1) = v (t_0) \ Delta t_0 + \ points + v (t_ (n-1)) \ Delta t_ (n-1) \)
5) Le déplacement souhaité est égal à la limite de séquence (S n) :
$$ s = \ lim_ (n \ à \ infty) S_n $$

Résumons. Les solutions à divers problèmes ont été réduites au même modèle mathématique. De nombreux problèmes issus de divers domaines de la science et de la technologie conduisent dans le processus de résolution au même modèle. Par conséquent, ce modèle mathématique doivent être spécialement étudiés.

Concept intégral définitif

Donnons une description mathématique du modèle qui a été construit dans les trois problèmes considérés pour la fonction y = f (x), continue (mais pas nécessairement non négative, comme cela a été supposé dans les problèmes considérés) sur l'intervalle [a; b] :
1) on divise le segment [a; b] en n parties égales ;
2) faire la somme $$ S_n = f (x_0) \ Delta x_0 + f (x_1) \ Delta x_1 + \ points + f (x_ (n-1)) \ Delta x_ (n-1) $$
3) calculer $$ \ lim_ (n \ à \ infty) S_n $$

Au cours de l'analyse mathématique, il a été prouvé que cette limite existe dans le cas d'une fonction continue (ou continue par morceaux). Il est appelé une intégrale définie de la fonction y = f (x) le long du segment [a; b] et noté comme suit :
\ (\ int \limites_a ^ b f (x) dx \)
Les nombres a et b sont appelés limites d'intégration (respectivement inférieure et supérieure).

Revenons aux tâches décrites ci-dessus. La définition de l'aire donnée dans le problème 1 peut maintenant être réécrite comme suit :
\ (S = \int \limites_a ^ b f (x) dx \)
ici S est l'aire du trapèze courbe représenté sur la figure ci-dessus. C'est sens géométrique d'une intégrale définie.

La définition du déplacement s d'un point se déplaçant le long d'une droite avec une vitesse v = v (t) sur l'intervalle de temps de t = a à t = b, donnée dans le problème 2, peut être réécrite comme suit :

Formule de Newton - Leibniz

Pour commencer, répondons à la question : quel est le lien entre une intégrale définie et une primitive ?

La réponse se trouve dans le problème 2. D'une part, le déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v (t) sur l'intervalle de temps de t = a à t = b et est calculé par la formule
\ (S = \int \limites_a ^ b v (t) dt \)

D'autre part, la coordonnée du point mobile est la primitive de la vitesse - notons-la par s (t) ; par conséquent, le déplacement s est exprimé par la formule s = s (b) - s (a). En conséquence, nous obtenons :
\ (S = \int \limites_a ^ b v (t) dt = s (b) -s (a) \)
où s (t) est la primitive de v (t).

Au cours de l'analyse mathématique, le théorème suivant a été prouvé.
Théorème. Si la fonction y = f (x) est continue sur le segment [a; b], alors la formule suivante est valide
\ (S = \int \limites_a ^ b f (x) dx = F (b) -F (a) \)
où F (x) est la primitive de f (x).

La formule ci-dessus est généralement appelée par la formule Newton - Leibniz en l'honneur du physicien anglais Isaac Newton (1643-1727) et philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716), qui l'a reçu indépendamment et presque simultanément.

En pratique, au lieu d'écrire F (b) - F (a), utilisez la notation \ (\ left. F (x) \ right | _a ^ b \) (parfois appelée double substitution) et, en conséquence, réécrivez la formule de Newton - Leibniz sous la forme suivante :
\ (S = \int \limits_a ^ b f (x) dx = \ left. F (x) \ right | _a ^ b \)

Pour calculer une intégrale définie, trouvez d'abord la primitive, puis effectuez une double substitution.

Sur la base de la formule de Newton - Leibniz, deux propriétés d'une intégrale définie peuvent être obtenues.

Propriété 1. L'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales :
\ (\int \limites_a ^ b (f (x) + g (x)) dx = \ int \limites_a ^ b f (x) dx + \ int \limites_a ^ b g (x) dx \)

Propriété 2. Le facteur constant peut être retiré du signe intégral :
\ (\ int \limites_a ^ b kf (x) dx = k \ int \limites_a ^ b f (x) dx \)

Calcul des aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie

En utilisant l'intégrale, vous pouvez calculer les aires non seulement des trapèzes curvilignes, mais également des figures planes d'un type plus complexe, par exemple celui illustré sur la figure. La figure P est bornée par des droites x = a, x = b et des graphes de fonctions continues y = f (x), y = g (x), et sur le segment [a; b] l'inégalité \ (g (x) \ leq f (x) \) est vraie. Pour calculer l'aire S d'une telle figure, on procédera comme suit :
\ (S = S_ (ABCD) = S_ (aDCb) - S_ (aABb) = \ int \limits_a ^ b f (x) dx - \ int \limits_a ^ b g (x) dx = \)
\ (= \ int \limites_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)

Ainsi, l'aire S de la figure délimitée par les droites x = a, x = b et les graphes des fonctions y = f (x), y = g (x), continues sur le segment et telles que pour tout x du segment [a; b] l'inégalité \ (g (x) \ leq f (x) \) est vérifiée, calculée par la formule
\ (S = \int \limites_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \)

Tableau des intégrales indéfinies (dérivées) de certaines fonctions

$$ \ int 0 \ cdot dx = C $$ $$ \ int 1 \ cdot dx = x + C $$ $$ \ int x ^ n dx = \ frac (x ^ (n + 1)) (n + 1 ) + C \; \; (n \ neq -1) $$ $$ \ int \ frac (1) (x) dx = \ ln | x | + C $$ $$ \ int e ^ x dx = e ^ x + C $$ $$ \ int a ^ x dx = \ frac (a ^ x) (\ ln a) + C \; \; (a> 0, \; \; a \ neq 1) $$ $$ \ int \ cos x dx = \ sin x + C $$ $$ \ int \ sin x dx = - \ cos x + C $$ $ $ \ int \ frac (dx) (\ cos ^ 2 x) = \ text (tg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sin ^ 2 x) = - \ text (ctg) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (\ sqrt (1-x ^ 2)) = \ text (arcsin) x + C $$ $$ \ int \ frac (dx) (1 + x ^ 2 ) = \ text (arctg) x + C $$ $$ \ int \ text (ch) x dx = \ text (sh) x + C $$ $$ \ int \ text (sh) x dx = \ text (ch ) x + C$$

Considérons une fonction. Cette fonction est appelée : intégrale en fonction de la borne supérieure. Notons plusieurs propriétés de cette fonction.
Théorème 2.1. Si f (x) est une fonction intégrable, alors Ф (x) est continue sur.
Preuve... Par la propriété 9 de l'intégrale définie (théorème de la valeur moyenne) nous avons , d'où, car, nous obtenons ce qui est requis.
Théorème 2.2. Si f (x) est continue sur une fonction, alors Ф '(x) = f (x) sur.
Preuve... Par la propriété 10 de l'intégrale définie (le deuxième théorème de la valeur moyenne), on a où avec- un point du segment. Puisque la fonction f est continue, on obtient
Ainsi, (x) est l'une des primitives de la fonction f (x), donc Ф (x) = F (x) + C, où F (x) est une autre primitive de f (x). De plus, puisque Ф (a) = 0, alors 0 = F (a) + C, donc, C = -F (a) et donc Ф (x) = F (x) - F (a). En fixant x = b, on obtient la formule de Newton-Leibniz

Exemples de
1.

Intégration par parties dans une intégrale définie

Dans une intégrale définie, la formule d'intégration par parties est conservée. Dans ce cas, il prend la forme

Exemple.

Changement de variables dans une intégrale définie

Une des variantes des résultats sur le changement de variables dans une intégrale définie est la suivante.
Théorème 2.3. Soit f (x) continue sur un intervalle et satisfait aux conditions :
1) (α) = un
2) (β) = b
3) la dérivée φ ’(t) est définie partout sur le segment [α, β]
4) pour tout t de [α, β]
Puis
Preuve. Si F (x) est une primitive pour f (x) dx alors F (φ (t)) est une primitive pour Donc, F (b) - F (a) = F (φ (β)) - F (φ (α) ). Le théorème est démontré.
Commenter. Si l'on rejette la continuité de la fonction f (x) dans les conditions du théorème 2.3, il faut exiger la monotonie de la fonction φ (t).

Exemple. Calculer l'intégrale On pose Alors dx = 2tdt et donc

Soit une fonction continue f sur un segment de l'axe Ox. Supposons que cette fonction ne change pas de signe sur tout le segment.

Si f est une fonction continue et non négative sur un segment, et F est sa primitive sur ce segment, alors l'aire du trapèze curviligne S est égale à l'incrément de la primitive sur ce segment.

Ce théorème peut s'écrire par la formule suivante :

S = F (b) - F (a)

L'intégrale de la fonction f (x) de a à b sera égale à S. Ci-après, pour désigner une intégrale définie d'une certaine fonction f (x), avec les bornes d'intégration de a à b, on utilisera la notation suivante (a; b) f ( x). Vous trouverez ci-dessous un exemple de ce à quoi il ressemblera.

Formule de Newton-Leibniz

Cela signifie que nous pouvons assimiler ces deux résultats. On obtient : (a; b) ∫f (x) dx = F (b) - F (a), à condition que F soit la primitive de la fonction f on. Cette formule s'appelle Formules Newton - Leibniz... Ce sera vrai pour toute fonction continue f sur un intervalle.

La formule de Newton-Leibniz est utilisée pour calculer les intégrales. Regardons quelques exemples :

Exemple 1: calculer l'intégrale. Trouver la primitive de l'intégrande x 2. L'une des primitives sera la fonction (x 3) / 3.

On utilise maintenant la formule de Newton-Leibniz :

(-1; 2) x 2 dx = (2 3) / 3 - ((-1) 3) / 3 = 3

Réponse : (-1; 2) x 2 dx = 3.

Exemple 2: calculer l'intégrale (0; pi) ∫sin (x) dx.

Trouvez la primitive de l'intégrande sin (x). L'une des primitives sera la fonction -cos (x). Utilisons la formule de Newton-Leibniz :

(0; pi) cos (x) dx = -cos (pi) + cos (0) = 2.

Réponse : (0 ; pi) sin (x) dx = 2

Parfois, pour simplifier et faciliter l'écriture, l'incrément de la fonction F sur le segment (F (b) -F (a)) s'écrit comme suit :

En utilisant cette notation pour l'incrément, la formule de Newton-Leibniz peut être réécrite comme suit :

Comme indiqué ci-dessus, il ne s'agit que d'une abréviation par souci de simplicité d'enregistrement, cet enregistrement n'affecte rien d'autre. Cette notation et la formule (a; b) ∫f (x) dx = F (b) - F (a) seront équivalentes.