Proportionnalité directe et inverse comment déterminer. Application pratique de la relation proportionnelle directe et inverse

Article 129. Précisions préliminaires.

L'homme traite constamment avec les quantités les plus diverses. L'employé et le travailleur essaient de se rendre au service, de travailler à une certaine heure, le piéton est pressé de se rendre à Lieu connu par le chemin le plus court, le chauffeur de chauffage à vapeur craint que la température dans la chaudière ne monte lentement, le chef d'entreprise envisage de réduire les coûts de production, etc.

Il y a plein d'exemples de ce genre. Le temps, la distance, la température, le coût sont tous des quantités différentes. Dans les première et deuxième parties de ce livre, nous nous sommes familiarisés avec quelques-unes des grandeurs les plus fréquemment rencontrées : surface, volume, poids. Nous rencontrons de nombreuses quantités dans l'étude de la physique et d'autres sciences.

Imaginez que vous êtes dans un train. De temps en temps, vous regardez votre montre et remarquez combien de temps vous avez été sur la route. Vous dites, par exemple, que 2, 3, 5, 10, 15 heures se sont écoulées depuis le départ de votre train, etc. Ces chiffres représentent différentes périodes de temps ; on les appelle les valeurs de cette quantité (temps). Ou vous regardez par la fenêtre et suivez les poteaux routiers pour la distance parcourue par votre train. Les chiffres 110, 111, 112, 113, 114 km clignotent devant vous. Ces chiffres représentent les différentes distances parcourues par le train depuis le point de départ. On les appelle aussi valeurs, cette fois d'une valeur différente (chemin ou distance entre deux points). Ainsi, une grandeur, par exemple le temps, la distance, la température, peut prendre autant de des valeurs différentes.

Faites attention au fait qu'une personne ne considère presque jamais qu'une seule quantité, mais la relie toujours à une autre quantité. Il doit gérer deux, trois et plus de quantités en même temps. Imaginez que vous deviez vous rendre à l'école à 9 heures. Vous regardez votre montre et constatez que vous disposez de 20 minutes. Ensuite, vous déterminez rapidement si vous devez prendre le tram ou si vous aurez le temps de rejoindre l'école à pied. Après réflexion, vous décidez de marcher. Remarquez que pendant que vous réfléchissiez, vous résolviez un problème. Cette tâche est devenue simple et familière, car vous résolvez de tels problèmes tous les jours. Dans celui-ci, vous avez rapidement comparé plusieurs valeurs. C'est vous qui avez regardé l'heure, ce qui veut dire que vous avez pris en compte l'heure, puis vous avez imaginé mentalement la distance entre votre maison et l'école ; Enfin, vous avez comparé deux valeurs : la vitesse de votre pas et la vitesse du tramway, et conclu que dans ce temps (20 minutes) vous aurez le temps de marcher. A partir de cet exemple simple, vous pouvez voir que dans notre pratique, certaines quantités sont liées les unes aux autres, c'est-à-dire qu'elles dépendent les unes des autres.

Au chapitre douze, il a été question de la relation des quantités homogènes. Par exemple, si un segment mesure 12 m et l'autre 4 m, le rapport de ces segments sera de 12 : 4.

Nous avons dit que c'est le rapport de deux quantités homogènes. En d'autres termes, c'est le rapport de deux nombres un nom.

Maintenant que nous nous sommes familiarisés avec les quantités et que nous avons introduit le concept de signification d'une quantité, nous pouvons redéfinir la définition d'un rapport. En effet, lorsque nous avons considéré deux segments de 12 m et 4 m, alors nous avons parlé d'une seule taille - longueur, et 12 m et 4 m - ce n'étaient que deux significations différentes cette valeur.

Par conséquent, à l'avenir, lorsque nous commencerons à parler du rapport, nous considérerons deux valeurs d'une quantité, et le rapport d'une valeur d'une quantité à une autre valeur de la même quantité sera appelé le quotient de la division du première valeur par la seconde.

§ 130. Les valeurs sont directement proportionnelles.

Considérons un problème dont la condition comprend deux quantités : la distance et le temps.

Objectif 1. Un corps se déplaçant en ligne droite et franchissant régulièrement 12 cm par seconde Déterminer le chemin parcouru par le corps en 2, 3, 4, ..., 10 secondes.

Faisons un tableau par lequel il serait possible de suivre le changement dans le temps et la distance.

Le tableau permet de comparer ces deux séries de valeurs. On en voit que lorsque les valeurs de la première quantité (temps) augmentent progressivement de 2, 3, ..., 10 fois, alors les valeurs de la deuxième quantité (distance) augmentent également de 2, 3, ..., 10 fois. Ainsi, avec une augmentation des valeurs d'une quantité de plusieurs fois, les valeurs d'une autre quantité augmentent du même montant, et avec une diminution des valeurs d'une quantité de plusieurs fois, les valeurs de l'autre quantité diminue du même montant.

Considérons maintenant un problème qui inclut deux de ces quantités : la quantité de matière et son coût.

Objectif 2. 15 m de tissu coûtent 120 roubles. Calculez le coût de ce tissu pour plusieurs autres quantités de mètres indiquées dans le tableau.

D'après ce tableau, on peut retracer comment la valeur de la marchandise augmente progressivement en fonction de l'augmentation de sa quantité. Malgré le fait que des quantités complètement différentes apparaissent dans ce problème (dans le premier problème - le temps et la distance, et ici - la quantité de biens et sa valeur), néanmoins, dans le comportement de ces quantités, on peut trouver de grandes similitudes.

En effet, dans la première ligne du tableau il y a des nombres indiquant le nombre de mètres de tissu, sous chacun d'eux est inscrit un nombre exprimant la valeur de la quantité de marchandise correspondante. Même un coup d'œil rapide à ce tableau montre que les nombres dans les rangées supérieure et inférieure augmentent ; un examen plus approfondi du tableau et une comparaison des colonnes individuelles révèlent que dans tous les cas, les valeurs de la deuxième quantité augmentent autant de fois que les valeurs de la première, c'est-à-dire si la valeur de la première quantité a augmenté, disons, 10 fois, alors la valeur de la deuxième quantité a également augmenté d'un facteur de 10.

Si nous regardons le tableau de droite à gauche, nous constaterons que les valeurs indiquées des quantités diminueront de le même numéro une fois que. En ce sens, il existe une similitude absolue entre la première tâche et la seconde.

Les paires de quantités que nous avons rencontrées dans les premier et deuxième problèmes sont appelées directement proportionnel.

Ainsi, si deux quantités sont liées l'une à l'autre de telle manière qu'avec une augmentation (diminution) de la valeur de l'une plusieurs fois, la valeur de l'autre augmente (diminue) du même montant, alors ces quantités sont appelées directement proportionnel.

De telles valeurs seraient également liées les unes aux autres par une relation directement proportionnelle.

Dans la nature et dans la vie qui nous entoure, on trouve de nombreuses quantités similaires. Voici quelques exemples:

1. Temps travail (jour, deux jours, trois jours, etc.) et gains perçus pendant cette période au salaire journalier.

2. Le volume tout objet constitué d'un matériau homogène, et le poids cet objet.

§ 131. Propriété des quantités directement proportionnelles.

Prenons un problème qui inclut les deux quantités suivantes : temps de travail et les gains. Si les gains quotidiens sont de 20 roubles, les gains pour 2 jours seront de 40 roubles, etc. Il est plus pratique de dresser un tableau dans lequel un certain revenu correspondra à un certain nombre de jours.

En regardant ce tableau, nous voyons que les deux valeurs ont pris 10 valeurs différentes. Chaque valeur de la première quantité correspond à une certaine valeur de la deuxième quantité, par exemple, 40 roubles correspondent à 2 jours; 5 jours correspondent à 100 roubles. Dans le tableau, ces nombres sont écrits l'un en dessous de l'autre.

Nous savons déjà que si deux quantités sont directement proportionnelles, alors chacune d'elles dans le processus de son changement augmente autant de fois que l'autre augmente. Il s'ensuit immédiatement de ceci: si nous prenons le rapport de deux valeurs quelconques de la première quantité, alors il sera égal au rapport de deux valeurs correspondantes de la deuxième quantité. En effet:

Pourquoi cela arrive-t-il? Mais parce que ces valeurs sont directement proportionnelles, c'est-à-dire que lorsque l'une d'entre elles (le temps) a augmenté 3 fois, l'autre (les gains) a augmenté 3 fois.

Nous sommes donc arrivés à la conclusion suivante : si nous prenons deux valeurs de la première quantité et les divisons l'une dans l'autre, puis divisons l'une dans l'autre les valeurs correspondantes de la deuxième quantité, alors dans les deux cas nous obtenir le même nombre, c'est-à-dire la même relation. Cela signifie que les deux relations que nous avons écrites ci-dessus peuvent être reliées par un signe égal, c'est-à-dire

Il ne fait aucun doute que si l'on prenait non pas ces relations, mais d'autres, et dans le mauvais ordre, mais à l'inverse, nous recevrions aussi l'égalité des relations. En effet, nous allons considérer les valeurs de nos quantités de gauche à droite et prendre les troisième et neuvième valeurs :

60:180 = 1 / 3 .

On peut donc écrire :

Cela conduit à la conclusion suivante : si deux quantités sont directement proportionnelles, alors le rapport de deux valeurs prises arbitrairement de la première quantité est égal au rapport de deux valeurs correspondantes de la deuxième quantité.

§ 132. Formule de proportionnalité directe.

Faisons un tableau du coût de différentes quantités de bonbons, si 1 kg d'entre eux coûte 10,4 roubles.

Faisons maintenant ceci. Prenez n'importe quel nombre sur la deuxième ligne et divisez-le par le nombre correspondant sur la première ligne. Par exemple:

Vous voyez que dans le quotient, le même nombre est obtenu tout le temps. Par conséquent, pour une paire donnée de quantités directement proportionnelles, le quotient de la division d'une valeur d'une quantité par la valeur correspondante d'une autre quantité est un nombre constant (c'est-à-dire qui ne change pas). Dans notre exemple, ce quotient est de 10,4. Ce nombre constant est appelé le rapport hauteur/largeur. Dans ce cas, il exprime le prix d'une unité de mesure, c'est-à-dire un kilogramme d'un produit.

Comment trouver ou calculer le rapport hauteur/largeur ? Pour ce faire, vous devez prendre n'importe quelle valeur d'une quantité et la diviser par la valeur correspondante d'une autre.

Désignons cette valeur arbitraire d'une quantité par la lettre à , et la valeur correspondante d'une autre quantité - par la lettre N.-É. , puis le coefficient de proportionnalité (on le note À) on trouve par division :

Dans cette égalité à - dividende, N.-É. - diviseur et À- quotient, et puisque par la propriété de division le dividende est égal au diviseur multiplié par le quotient, on peut écrire :

y = K X

L'égalité résultante est appelée la formule de la proportionnalité directe. En utilisant cette formule, nous pouvons calculer autant de valeurs de l'une des quantités directement proportionnelles que nous le souhaitons, si nous connaissons les valeurs correspondantes de l'autre quantité et le coefficient de proportionnalité.

Exemple. Nous savons par la physique que le poids R de tout corps est égal à sa gravité spécifique ré multiplié par le volume de ce corps V, c'est à dire. R = ré V.

Prenons cinq flans de fer de différentes tailles; connaissance gravité spécifique fer (7.8), on peut calculer les poids de ces flans par la formule :

R = 7,8 V.

Comparer cette formule avec la formule à = À N.-É. , on voit ça y = R, x = V, et le coefficient de proportionnalité À= 7.8. La formule est la même, seules les lettres sont différentes.

En utilisant cette formule, faisons un tableau : soit le volume du 1er disque de 8 mètres cubes. cm, alors son poids est de 7,8 8 = 62,4 (g). Le volume du 2e blanc est de 27 mètres cubes. cm Son poids est de 7,8 27 = 210,6 (g). Le tableau ressemblera à ceci :

Calculez les nombres eux-mêmes qui manquent dans ce tableau en utilisant la formule R= ré V.

§ 133. Autres façons de résoudre des problèmes avec des valeurs directement proportionnelles.

Dans la section précédente, nous avons résolu le problème, dont la condition incluait des quantités directement proportionnelles. À cette fin, nous avons d'abord dérivé la formule de proportionnalité directe, puis nous avons appliqué cette formule. Nous allons maintenant montrer deux autres façons de résoudre des problèmes similaires.

Composons un problème en utilisant les données numériques données dans le tableau du paragraphe précédent.

Tâche. Un blanc d'un volume de 8 mètres cubes. cm pèse 62,4 g. Combien pèse un disque d'un volume de 64 mètres cubes ? cm?

Solution. Le poids du fer est connu pour être proportionnel à son volume. Si 8 mètres cubes. cm pèsent 62,4 g, puis 1 mètre cube. cm pèsera 8 fois moins, c'est-à-dire

62,4 : 8 = 7,8 (j).

Un blanc d'un volume de 64 mètres cubes. cm pèsera 64 fois plus qu'un blanc de 1 cc. cm, c'est-à-dire

7,8 64 = 499,2 (j).

Nous avons résolu notre problème en le réduisant à l'unité. La signification de ce nom est justifiée par le fait que pour le résoudre, nous avons dû trouver le poids d'une unité de volume dans la première question.

2. Méthode de proportion. Résolvons le même problème en utilisant la méthode des proportions.

Le poids du fer et son volume étant des quantités directement proportionnelles, le rapport de deux valeurs d'une quantité (volume) est égal au rapport de deux valeurs correspondantes d'une autre quantité (poids), c'est-à-dire

(lettre R nous avons marqué le poids inconnu du flan). D'où:

(G).

Le problème a été résolu par la méthode des proportions. Cela signifie que pour le résoudre, une proportion a été faite des nombres inclus dans la condition.

§ 134. Les quantités sont inversement proportionnelles.

Considérez le problème suivant : « Cinq maçons peuvent ajouter Mur de briquesà la maison en 168 jours. Déterminez combien de jours 10, 8, 6, etc. les maçons pourraient faire le même travail. "

Si 5 maçons posaient les murs d'une maison en 168 jours, alors (avec la même productivité du travail) 10 maçons pourraient le faire deux fois plus vite, puisqu'en moyenne 10 personnes font le travail deux fois plus que 5 personnes.

Dressons un tableau permettant de suivre l'évolution du nombre d'ouvriers et des heures de travail.

Par exemple, pour savoir combien de jours il faut pour 6 ouvriers, vous devez d'abord calculer combien de jours il faut pour un ouvrier (168 5 = 840), puis pour six ouvriers (840 : 6 = 140). En regardant ce tableau, nous voyons que les deux quantités ont pris six valeurs différentes. Chaque valeur de la première quantité correspond plus nettement ; la valeur de la deuxième quantité, par exemple, 10 correspond à 84, le nombre 8 correspond au nombre 105, etc.

Si nous considérons les valeurs des deux quantités de gauche à droite, nous verrons que les valeurs de la quantité supérieure augmentent et que les valeurs de la quantité inférieure diminuent. L'augmentation et la diminution sont soumises à la loi suivante : les valeurs du nombre de travailleurs augmentent autant de fois que les valeurs du temps de travail passé diminuent. Cette idée peut être exprimée encore plus simplement comme suit : plus les travailleurs sont employés dans une entreprise, moins ils ont besoin de temps pour effectuer un certain travail. Les deux quantités que nous avons rencontrées dans ce problème sont appelées inversement proportionnel.

Ainsi, si deux quantités sont liées l'une à l'autre de telle sorte qu'avec une augmentation (diminution) de la valeur de l'une plusieurs fois, la valeur de l'autre diminue (augmente) du même montant, alors ces quantités sont appelées inversement proportionnel.

Il existe de nombreuses quantités similaires dans la vie. Voici quelques exemples.

1. Si 150 roubles. Si vous devez acheter plusieurs kilos de bonbons, la quantité de bonbons dépendra du prix d'un kilogramme. Plus le prix est élevé, moins on peut acheter de biens avec cet argent ; cela se voit dans le tableau :

Avec une augmentation du prix des bonbons plusieurs fois, le nombre de kilogrammes de bonbons diminue autant de fois que l'on peut en acheter pour 150 roubles. Dans ce cas, les deux quantités (le poids du produit et son prix) sont inversement proportionnelles.

2. Si la distance entre deux villes est de 1200 km, elle peut être parcourue en temps différent en fonction de la vitesse de déplacement. Existe différentes façons déplacements : à pied, à cheval, à vélo, en bateau, en voiture, en train, en avion. Plus la vitesse est faible, plus le temps de déplacement est long. Cela peut être vu dans le tableau :

Avec une augmentation de la vitesse plusieurs fois, le temps de trajet diminue d'autant. Cela signifie que dans ces conditions la vitesse et le temps sont inversement proportionnels.

§ 135. Propriété des quantités inversement proportionnelles.

Prenons le deuxième exemple que nous avons examiné dans la section précédente. Là, nous avons traité de deux quantités - la vitesse de déplacement et le temps. Si nous considérons les valeurs de ces quantités de gauche à droite selon le tableau, nous verrons que les valeurs de la première quantité (vitesse) augmentent, et les valeurs de la seconde (temps) diminuent, et la vitesse augmente autant de fois que le temps diminue. Il est facile de comprendre que si vous écrivez le rapport de certaines valeurs d'une quantité, il ne sera pas égal au rapport des valeurs correspondantes d'une autre quantité. En effet, si on prend le rapport de la quatrième valeur de la valeur supérieure sur la septième valeur (40 : 80), alors il ne sera pas égal au rapport des quatrième et septième valeurs de la valeur inférieure (30 : 15 ). Il peut s'écrire ainsi :

40 : 80 n'est pas égal à 30 : 15, ou 40 : 80 = / = 30 : 15.

Mais si au lieu d'une de ces relations nous prenons le contraire, alors nous obtenons l'égalité, c'est-à-dire qu'à partir de ces relations, il sera possible de composer une proportion. Par exemple:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Sur la base de ce qui précède, nous pouvons tirer la conclusion suivante: si deux quantités sont inversement proportionnelles, le rapport de deux valeurs prises arbitrairement d'une quantité est égal au rapport inverse des valeurs correspondantes de l'autre quantité.

§ 136. Formule de proportionnalité inverse.

Considérez le problème : « Il y a 6 morceaux de tissu de soie de différentes tailles et de différentes qualités. Le coût de toutes les pièces est le même. Une pièce contient 100 m de tissu au prix de 20 roubles. par mètre. Combien de mètres y a-t-il dans chacune des cinq autres pièces, si un mètre de tissu dans ces pièces, respectivement, coûte 25, 40, 50, 80, 100 roubles ? " Pour résoudre ce problème, dressons un tableau :

Nous devons remplir les cellules vides dans la rangée supérieure de ce tableau. Essayons d'abord de déterminer combien de mètres se trouvent dans la deuxième pièce. Cela peut être fait comme suit. Il ressort de l'énoncé du problème que le coût de toutes les pièces est le même. Le coût du premier morceau de soie est facile à déterminer : il contient 100 mètres et chaque mètre coûte 20 roubles, ce qui signifie que le premier morceau de soie vaut 2 000 roubles. Puisque le deuxième morceau de soie vaut le même montant de roubles, alors, divisez 2 000 roubles. pour le prix d'un mètre, c'est-à-dire pour 25, on trouve la valeur de la deuxième pièce : 2 000 : 25 = 80 (m). De la même manière on retrouvera la taille de toutes les autres pièces. Le tableau ressemblera à ceci :

Il est facile de voir qu'il existe une relation inverse entre le nombre de mètres et le prix.

Si vous faites vous-même les calculs nécessaires, vous remarquerez qu'à chaque fois vous devez diviser le nombre 2000 par le prix de 1 m. Au contraire, si vous commencez maintenant à multiplier la taille de la pièce en mètres par le prix de 1 m , vous obtiendrez toujours le numéro 2000. C'est et il fallait s'y attendre, car chaque pièce coûte 2 000 roubles.

Par conséquent, nous pouvons tirer la conclusion suivante : pour une paire donnée de quantités inversement proportionnelles, le produit de toute valeur d'une quantité par la valeur correspondante d'une autre quantité est un nombre constant (c'est-à-dire ne changeant pas).

Dans notre problème, ce produit est égal à 2000. Vérifiez que dans le problème précédent, où il était dit de la vitesse de déplacement et du temps nécessaire pour se déplacer d'une ville à une autre, il y avait aussi un nombre constant pour ce problème (1200 ).

Compte tenu de tout ce qui précède, il est facile de dériver une formule de proportionnalité inverse. Désignons une certaine valeur d'une quantité par la lettre N.-É. , et la valeur correspondante d'une autre quantité s'écrit par la lettre à ... Ensuite, sur la base de ce qui précède, le travail N.-É. au à doit être égal à une valeur constante, que nous désignons par la lettre À, c'est à dire.

x y = À.

Dans cette égalité N.-É. - multipliable, à - multiplicateur et K- travail. Par la propriété de multiplication, le multiplicateur est égal au produit divisé par le multiplicateur. Moyens,

C'est la formule de proportionnalité inverse. En l'utilisant, nous pouvons calculer autant de valeurs de l'une des quantités inversement proportionnelles que nous le souhaitons, connaissant les valeurs de l'autre et un nombre constant À.

Considérons un autre problème : « L'auteur d'un essai a calculé que si son livre était dans un format normal, il aurait 96 pages, mais s'il était dans un format de poche, il aurait 300 pages. Il a essayé différentes variantes, a commencé avec 96 pages, puis il avait 2 500 lettres sur la page. Ensuite, il a pris le nombre de pages indiqué dans le tableau ci-dessous et a calculé à nouveau combien de lettres seraient sur la page. "

Essayons de calculer combien de lettres il y aura sur une page si le livre a 100 pages.

Il y a 240 000 lettres dans tout le livre, puisque 2 50096 = 240 000.

Compte tenu de cela, nous utilisons la formule de proportionnalité inverse ( à - le nombre de lettres sur la page, N.-É. - nombre de pages):

Dans notre exemple À= 240 000, donc

Il y a donc 2 400 lettres sur la page.

De même, nous découvrons que si le livre a 120 pages, alors le nombre de lettres sur la page sera :

Notre tableau ressemblera à ceci :

Remplissez vous-même le reste des cellules.

§ 137. Autres façons de résoudre des problèmes avec des valeurs inversement proportionnelles.

Dans la section précédente, nous avons résolu des problèmes dans les conditions desquels étaient des valeurs inversement proportionnelles. Nous avons d'abord dérivé la formule de proportionnalité inverse, puis appliqué cette formule. Nous allons maintenant montrer deux autres façons de résoudre de tels problèmes.

1. Méthode de réduction à l'unité.

Tâche. 5 tourneurs peuvent faire du travail en 16 jours. Sur combien de jours 8 tourneurs peuvent-ils faire ce travail ?

Solution. Il existe une relation inverse entre le nombre de tourneurs et le temps de travail. Si 5 tourneurs font le travail en 16 jours, alors une personne aura besoin de 5 fois plus de temps pour cela, c'est-à-dire.

5 tourneurs effectuent des travaux en 16 jours,

1 tourneur le fera en 16 5 = 80 jours.

Le problème demande combien de jours 8 tourneurs termineront le travail. Évidemment, ils feront le travail 8 fois plus vite qu'1 tourneur, c'est-à-dire en

80 : 8 = 10 (jours).

C'est la solution du problème par la méthode de la réduction à l'unité. Ici, il était nécessaire, tout d'abord, de déterminer le temps de travail effectué par un travailleur.

2. Méthode de proportion. Résolvons le même problème de la deuxième manière.

Comme il existe une relation inversement proportionnelle entre le nombre d'ouvriers et le temps de travail, il est possible d'écrire : la durée du travail de 5 tourneurs, le nouveau nombre de tourneurs (8) la durée de l'opération de 8 tourneurs, le nombre précédent de tourneurs (5) Notons la durée de travail requise par la lettre N.-É. et substituez les nombres nécessaires dans la proportion exprimée en mots :

Le même problème est résolu par la méthode proportionnelle. Pour le résoudre, nous avons dû composer une proportion des nombres inclus dans la condition du problème.

Noter. Dans les paragraphes précédents, nous avons examiné la question de la proportionnalité directe et inverse. La nature et la vie nous fournissent de nombreux exemples de relation proportionnelle quantités. Cependant, il faut noter que ces deux types de dépendances ne sont que les plus simples. Avec eux, il existe d'autres relations plus complexes entre les quantités. De plus, il n'est pas nécessaire de penser que si deux quantités augmentent simultanément, alors il y a nécessairement une proportionnalité directe entre elles. Loin de là. Par exemple, le tarif pour chemin de fer augmente avec la distance : plus on va loin, plus on paie, mais cela ne veut pas dire que le tarif est proportionnel à la distance.

Aujourd'hui, nous examinerons quelles quantités sont appelées proportionnelles inverses, à quoi ressemble le graphique proportionnel inverse et comment tout cela peut vous être utile non seulement dans les cours de mathématiques, mais aussi en dehors des murs de l'école.

Des proportions si différentes

Proportionnalité appeler deux quantités qui dépendent l'une de l'autre.

La dépendance peut être directe et inverse. Par conséquent, la relation entre les quantités décrit la proportionnalité directe et inverse.

Proportionnalité directe- c'est une telle dépendance de deux quantités, dans laquelle une augmentation ou une diminution de l'une d'entre elles entraîne une augmentation ou une diminution de l'autre. Celles. leur attitude ne change pas.

Par exemple, plus vous consacrez d'efforts à la préparation des examens, plus vos notes sont élevées. Ou plus vous emportez de choses avec vous en randonnée, plus il est difficile de porter votre sac à dos. Celles. l'effort consacré à la préparation des examens est directement proportionnel aux notes obtenues. Et le nombre de choses emballées dans un sac à dos est directement proportionnel à son poids.

Proportion inverse- il s'agit d'une dépendance fonctionnelle, dans laquelle une diminution ou une augmentation de plusieurs fois d'une quantité indépendante (appelée argument) provoque une augmentation ou diminution proportionnelle (c'est-à-dire la même durée) d'une quantité dépendante (appelée fonction).

Illustrons exemple simple... Vous voulez acheter des pommes au marché. Les pommes sur le comptoir et la somme d'argent dans votre portefeuille sont en proportion inverse. Celles. plus vous achetez de pommes, moins il vous restera d'argent.

Fonction et son graphe

La fonction de proportionnalité inverse peut être décrite comme y = k / x... Dans lequel X 0 et k≠ 0.

Cette fonction a les propriétés suivantes :

1. Son domaine est l'ensemble de tous les nombres réels, sauf X = 0. ré(oui): (-∞; 0) U (0; + ).
2. La plage est constituée de tous les nombres réels, sauf oui= 0. E (y) : (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. N'a pas de valeurs les plus élevées et les plus basses.
4. Il est impair et son graphique est symétrique par rapport à l'origine.
5. Non périodique.
6. Son graphique ne croise pas les axes de coordonnées.
7. N'a pas de zéros.
8. Si k> 0 (c'est-à-dire que l'argument augmente), la fonction diminue proportionnellement à chacun de ses intervalles. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Comme argument ( k> 0) les valeurs négatives de la fonction sont dans l'intervalle (-∞; 0), et les positives - (0; + ∞). Comme argument ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Le graphique de la fonction de proportionnalité inverse s'appelle une hyperbole. Représenté comme suit :

Problèmes de proportionnalité inverse

Pour que ce soit plus clair, décomposons quelques tâches. Ils ne sont pas trop compliqués et leur solution vous aidera à visualiser ce qu'est la proportionnalité inverse et comment cette connaissance peut être utile dans votre vie de tous les jours.

Problème numéro 1. La voiture roule à une vitesse de 60 km/h. Il lui a fallu 6 heures pour atteindre sa destination. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir la même distance s'il se déplace à une vitesse 2 fois supérieure ?

On peut commencer par écrire une formule qui décrit la relation entre le temps, la distance et la vitesse : t = S / V. D'accord, cela nous rappelle beaucoup la fonction de proportionnalité inverse. Et cela indique que le temps que la voiture passe sur le chemin, et la vitesse à laquelle elle se déplace, sont en proportion inverse.

Pour vérifier cela, trouvons V 2, qui est 2 fois plus élevé par condition : V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Ensuite, nous calculons la distance en utilisant la formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Maintenant, il est assez facile de trouver le temps t 2 qui nous est demandé d'après l'énoncé du problème : t 2 = 360/120 = 3 heures.

Comme vous pouvez le constater, le temps de trajet et la vitesse sont en réalité inversement proportionnels : avec une vitesse 2 fois supérieure à l'origine, la voiture passera 2 fois moins de temps sur la route.

La solution à ce problème peut également être écrite sous forme de proportions. Pourquoi, d'abord, établissons le schéma suivant:

60 km/h - 6h

120 km/h - x h

Les flèches indiquent des relations inversement proportionnelles. Et ils suggèrent également que lors de la composition de la proportion, la partie droite du disque doit être retournée : 60/120 = x/6. D'où nous obtenons x = 60 * 6/120 = 3 heures.

Problème numéro 2. L'atelier emploie 6 ouvriers qui peuvent faire face à une quantité de travail donnée en 4 heures. Si le nombre de travailleurs est réduit de moitié, combien de temps faudra-t-il à ceux qui restent pour faire la même quantité de travail ?

Écrivons les conditions du problème sous la forme d'un schéma visuel :

↓ 6 ouvriers - 4 heures

↓ 3 ouvriers - x h

Écrivons-le en proportion : 6/3 = x / 4. Et nous obtenons x = 6 * 4/3 = heures 8. Si le nombre de travailleurs devient 2 fois moins, le reste passera 2 fois plus de temps à faire tout le travail.

Problème numéro 3. Il y a deux tuyaux menant à la piscine. Par un seul tuyau, l'eau s'écoule à un débit de 2 l/s et remplit la piscine en 45 minutes. Un autre tuyau remplira la piscine en 75 minutes. A quelle vitesse l'eau pénètre-t-elle dans la piscine par ce tuyau ?

Pour commencer, ramenons toutes les données selon l'état du problème de la valeur aux mêmes unités de mesure. Pour ce faire, on exprime le taux de remplissage de la piscine en litres par minute : 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Comme il découle de la condition que la piscine se remplisse plus lentement par le deuxième tuyau, cela signifie que le débit d'entrée d'eau est plus faible. La proportionnalité inverse est évidente. Nous exprimons la vitesse inconnue en fonction de x et établissons le schéma suivant :

↓ 120 l/min - 45 min

x l / min - 75 min

Et puis on fera la proportion : 120 / x = 75/45, d'où x = 120 * 45/75 = 72 l / min.

Dans le problème, le taux de remplissage de la piscine est exprimé en litres par seconde, nous ramènerons la réponse que nous avons reçue à la même forme : 72/60 = 1,2 l/s.

Problème numéro 4. Les cartes de visite sont imprimées dans une petite imprimerie privée. Un employé de l'imprimerie travaille à une vitesse de 42 cartes de visite par heure et travaille à temps plein - 8 heures. S'il travaillait plus vite et imprimait 48 cartes de visite en une heure, dans combien de temps pourrait-il rentrer chez lui ?

Nous suivons le chemin éprouvé et établissons un diagramme en fonction de la condition du problème, en notant la valeur souhaitée par x :

↓ 42 cartes / h - 8 h

↓ 48 cartes / h - x h

Nous avons devant nous une relation inversement proportionnelle : combien de fois plus de cartes de visite un employé de l'imprimerie imprime-t-il par heure, autant de temps qu'il lui faudra pour accomplir le même travail. Sachant cela, faisons la proportion :

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7h.

Ainsi, ayant terminé le travail en 7 heures, l'employé de l'imprimerie pourrait rentrer chez lui une heure plus tôt.

Conclusion

Il nous semble que ces problèmes de proportionnalité inverse sont vraiment simples. Nous espérons que vous les voyez maintenant de cette façon aussi. Et l'essentiel est que la connaissance de la relation proportionnelle inverse des quantités puisse vraiment vous être utile plus d'une fois.

Pas seulement dans les cours de mathématiques et les examens. Mais même dans ce cas, lorsque vous prévoyez de partir en voyage, faire du shopping, décider de gagner de l'argent pendant les vacances, etc.

Dites-nous dans les commentaires quels exemples de dépendance proportionnelle inverse et directe vous remarquez autour de vous. Que ce soit un tel jeu. Vous verrez à quel point c'est excitant. N'oubliez pas de partager cet article dans réseaux sociaux pour que vos amis et camarades de classe puissent jouer aussi.

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Les deux quantités sont appelées directement proportionnel, si lorsque l'un d'eux est augmenté de plusieurs fois, l'autre est augmenté du même montant. Ainsi, lorsque l'un d'eux diminue plusieurs fois, l'autre diminue du même montant.

La relation entre ces quantités est une relation proportionnelle directe. Exemples de dépendance proportionnelle directe :

1) à vitesse constante la distance parcourue est directement proportionnelle au temps ;

2) le périmètre du carré et son côté sont des valeurs directement proportionnelles ;

3) le coût d'un produit acheté à un prix est directement proportionnel à sa quantité.

Pour distinguer la dépendance proportionnelle directe de la dépendance inverse, vous pouvez utiliser le proverbe : « Plus on s'enfonce dans la forêt, plus il y a de bois de chauffage ».

Il est pratique de résoudre des problèmes avec des quantités directement proportionnelles en utilisant la proportion.

1) Pour réaliser 10 pièces, il faut 3,5 kg de métal. Combien de métal sera utilisé pour fabriquer 12 de ces pièces ?

(On raisonne ainsi :

1. Dans la colonne remplie, placez la flèche dans le sens du plus grand nombre au plus petit.

2. Plus il y a de pièces, plus il faut de métal pour les fabriquer. Cela signifie qu'il s'agit d'une relation directement proportionnelle.

Soit x kg de métal nécessaires pour faire 12 pièces. Nous faisons la proportion (dans le sens du début de la flèche à sa fin):

12 : 10 = x : 3,5

Pour trouver, il faut diviser le produit des termes extrêmes par le moyen terme connu :

Cela signifie qu'il faudra 4,2 kg de métal.

Réponse : 4,2 kg.

2) 1680 roubles ont été payés pour 15 mètres de tissu. Combien coûtent 12 mètres d'un tel tissu ?

(1. Dans la colonne remplie, placez la flèche dans le sens du plus grand nombre au plus petit.

2. Moins on achète de tissus, moins on les paie. Cela signifie qu'il s'agit d'une relation directement proportionnelle.

3. Par conséquent, la deuxième flèche est dans le même sens que la première).

Soit x roubles coûtent 12 mètres de tissu. Nous faisons la proportion (du début de la flèche à sa fin):

15 : 12 = 1680 : x

Pour trouver le terme extrême inconnu de la proportion, on divise le produit des termes intermédiaires par le terme extrême connu de la proportion :

Cela signifie que 12 mètres coûtent 1 344 roubles.

Réponse : 1344 roubles.

Direct et proportion inverse

Si t est le temps pendant lequel le piéton se déplace (en heures), s est la distance parcourue (en kilomètres) et qu'il se déplace uniformément à une vitesse de 4 km/h, alors la relation entre ces valeurs peut être exprimée par la formule s = 4t. Puisque chaque valeur de t correspond à une seule valeur de s, on peut dire qu'une fonction est donnée en utilisant la formule s = 4t. Elle est appelée proportionnalité directe et est définie comme suit.

Définition. La proportionnalité directe est une fonction qui peut être spécifiée à l'aide de la formule y = kx, où k est un nombre réel différent de zéro.

Le nom de la fonction y = kx est dû au fait que dans la formule y = kx il y a des variables x et y, qui peuvent être des valeurs de quantités. Et si le rapport de deux quantités est égal à un nombre autre que zéro, on les appelle directement proportionnel ... Dans notre cas, = k (k 0). Ce numéro s'appelle coefficient de proportionnalité.

La fonction y = kx est modèle mathématique de nombreuses situations réelles envisagées déjà dans cours initial mathématiques. L'un d'eux est décrit ci-dessus. Un autre exemple : s'il y a 2 kg de farine dans un sac et que x de tels sacs sont achetés, alors la masse entière de farine achetée (nous la désignons par y) peut être représentée sous la forme de la formule y = 2x, c'est-à-dire. le rapport entre le nombre de colis et la masse totale de farine achetée est une proportionnalité directe avec un coefficient k = 2.

Rappelons quelques-unes des propriétés de la proportionnalité directe, qui sont étudiées dans le cours de mathématiques à l'école.

1. Le domaine de la fonction y = kx et le domaine de ses valeurs est l'ensemble des nombres réels.

2. Le graphique de proportionnalité directe est une droite passant par l'origine. Par conséquent, pour construire un graphique d'une droite de proportionnalité, il suffit de trouver un seul point qui lui appartient et qui ne coïncide pas avec l'origine, puis de tracer une droite passant par ce point et cette origine.

Par exemple, pour tracer la fonction y = 2x, il suffit d'avoir un point avec des coordonnées (1, 2), puis de tracer une ligne droite le traversant et l'origine des coordonnées (Fig. 7).

3. Pour k > 0, la fonction y = kx augmente sur tout le domaine de définition ; à k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Si la fonction f est une proportionnalité directe et (x 1, y 1), (x 2, y 2) sont des paires des valeurs correspondantes des variables x et y, et x 2 0 alors.

En effet, si la fonction f est une proportionnalité directe, alors elle peut être donnée par la formule у = kх, et alors у 1 = kх 1, у 2 = kх 2. Puisque pour x 2 0 et k 0, alors y 2 0. C'est pourquoi et cela veut dire.

Si les valeurs des variables x et y sont des nombres réels positifs, alors la propriété prouvée de la proportionnalité directe peut être formulée comme suit : avec une augmentation (diminution) de la valeur de la variable x plusieurs fois, la valeur correspondante de la variable y augmente (diminue) du même montant.

Cette propriété n'est inhérente qu'à la proportionnalité directe et peut être utilisée pour résoudre des problèmes de mots dans lesquels des quantités directement proportionnelles sont considérées.

Problème 1. Le tourneur a produit 16 pièces en 8 heures. Combien d'heures faudra-t-il à un tourneur pour réaliser 48 pièces s'il travaille avec la même productivité ?

Solution. Dans le problème, les quantités suivantes sont considérées - le temps de fonctionnement du tourneur, le nombre de pièces fabriquées par lui et la productivité (c'est-à-dire le nombre de pièces produites par le tourneur en 1 heure), et cette dernière valeur est constante, et les deux autres prennent significations différentes... De plus, le nombre de pièces réalisées et le temps de fonctionnement sont directement proportionnels, puisque leur rapport est égal à un certain nombre, non égal à zéro, à savoir, le nombre de pièces produites par le tourneur en 1 heure. fait est désigné par la lettre y, le temps de fonctionnement est x, la productivité - k, alors nous obtenons que = k ou y = kx, c'est-à-dire le modèle mathématique de la situation présentée dans le problème est la proportionnalité directe.

Le problème peut être résolu de deux manières arithmétiques :

Méthode 1 : Méthode 2 :

1) 16 : 8 = 2 (enfants) 1) 48 :16 = 3 (fois)

2) 48 : 2 = 24 (heures) 2) 8-3 = 24 (heures)

En résolvant le problème de la première manière, nous avons d'abord trouvé le coefficient de proportionnalité k, il est égal à 2, puis, sachant que y = 2x, nous avons trouvé la valeur de x, à condition que y = 48.

Lors de la résolution du problème de la deuxième manière, nous avons utilisé la propriété de proportionnalité directe : combien de fois le nombre de pièces fabriquées par un tourneur augmente, le temps nécessaire à leur production augmente également du même montant.

Passons maintenant à l'examen d'une fonction appelée proportionnalité inverse.

Si t est le temps de déplacement du piéton (en heures), v est sa vitesse (en km/h) et qu'il a parcouru 12 km, alors la relation entre ces valeurs peut être exprimée par la formule v t = 20 ou v =.

Puisque chaque valeur de t (t 0) correspond à une valeur unique de la vitesse v, on peut dire qu'une fonction est donnée en utilisant la formule v =. Elle est appelée proportionnalité inverse et est définie comme suit.

Définition. La proportionnalité inverse est une fonction qui peut être spécifiée à l'aide de la formule y =, où k est un nombre réel différent de zéro.

Le nom de cette fonction est dû au fait que dans y = il existe des variables x et y, qui peuvent être des valeurs de grandeurs. Et si le produit de deux quantités est égal à un nombre autre que zéro, alors ils sont appelés inversement proportionnels. Dans notre cas, xy = k (k 0). Ce nombre k est appelé coefficient de proportionnalité.

Fonction y = est un modèle mathématique de nombreuses situations réelles, envisagées déjà dans le cours initial de mathématiques. L'un d'eux est décrit avant la définition de la proportionnalité inverse. Autre exemple : si vous avez acheté 12 kg de farine et que vous les mettez en litres : des bidons de 1 kg dans chacun, alors la relation entre ces valeurs peut être représentée en comme x-y= 12, c'est-à-dire il est inversement proportionnel au coefficient k = 12.

On rappelle quelques propriétés de proportionnalité inverse connues de cours d'école mathématiques.

1. Portée de la définition de la fonction y = et la plage de ses valeurs x est l'ensemble des nombres réels autres que zéro.

2. Le graphique de proportionnalité inverse est une hyperbole.

3. Pour k> 0, les branches de l'hyperbole sont situées dans les 1er et 3e quarts et la fonction y = est décroissante sur tout le domaine de x (Fig. 8).

Riz. 9

Avec k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = est croissante sur tout le domaine de x (Fig. 9).

4. Si la fonction f est la proportionnalité inverse et (x 1, y 1), (x 2, y 2) sont une paire de valeurs correspondantes des variables x et y, alors.

En effet, si la fonction f est de proportionnalité inverse, alors elle peut être donnée par la formule y = ,puis ... Puisque x 1 0, x 2 0, x 3 0, alors

Si les valeurs des variables x et y sont des nombres réels positifs, alors cette propriété de proportionnalité inverse peut être formulée comme suit : avec une augmentation (diminution) de la valeur de la variable x plusieurs fois, la valeur correspondante de la variable y diminue (augmente) du même montant.

Cette propriété n'est inhérente qu'à la proportionnalité inverse et peut être utilisée pour résoudre des problèmes de mots dans lesquels des valeurs proportionnelles inverses sont prises en compte.

Problème 2. Un cycliste, se déplaçant à une vitesse de 10 km/h, a parcouru la distance de A à B en 6 heures. Combien de temps un cycliste passera-t-il sur le trajet retour s'il roule à une vitesse de 20 km/h ?

Solution. Dans le problème, les grandeurs suivantes sont considérées : la vitesse du cycliste, le temps de déplacement et la distance de A à B, cette dernière valeur étant constante, tandis que les deux autres prennent des valeurs différentes. De plus, la vitesse et le temps de déplacement sont inversement proportionnels, puisque leur produit est égal à un certain nombre, à savoir la distance parcourue. Si le temps de déplacement du cycliste est indiqué par la lettre y, la vitesse est x et la distance AB est k, alors nous obtenons que xy = k ou y =, c'est-à-dire le modèle mathématique de la situation présentée dans le problème est la proportionnalité inverse.

Il y a deux manières de résoudre le problème :

Méthode 1 : Méthode 2 :

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (fois)

2) 60:20 = 3 (4) 2) 6: 2 = 3 (h)

En résolvant le problème de la première manière, nous avons d'abord trouvé le coefficient de proportionnalité k, il est de 60, puis, sachant que y =, nous avons trouvé la valeur de y, à condition que x = 20.

Lors de la résolution du problème de la deuxième manière, nous avons utilisé la propriété de proportionnalité inverse : combien de fois la vitesse de déplacement augmente, le temps qu'il faut pour parcourir la même distance diminue d'autant.

Notez que lors de la résolution de problèmes spécifiques avec des quantités inversement proportionnelles ou directement proportionnelles, certaines restrictions sont imposées sur x et y, en particulier, elles peuvent être considérées non pas sur l'ensemble des nombres réels, mais sur ses sous-ensembles.

Problème 3. Lena a acheté x crayons et Katya en a acheté 2 fois plus. Indiquez le nombre de crayons que Katya a achetés via y, exprimez y via x et tracez la correspondance établie, à condition que x≤5. S'agit-il d'une correspondance de fonction ? Quelle est sa portée et sa gamme de valeurs ?

Solution. Katya a acheté 2 crayons. Lors du tracé de la fonction y = 2x, il faut tenir compte du fait que la variable x désigne le nombre de crayons et x≤5, ce qui signifie qu'elle ne peut prendre que les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ce sera le domaine de cette fonction. Pour obtenir la plage de valeurs de cette fonction, il faut multiplier chaque valeur de x de la plage de définition par 2, c'est-à-dire ce sera l'ensemble (0, 2, 4, 6, 8, 10). Par conséquent, le graphe de la fonction y = 2x avec le domaine de définition (0, 1, 2, 3, 4, 5) sera l'ensemble des points représenté sur la figure 10. Tous ces points appartiennent à la droite y = 2x .

Exemple

1,6/2 = 0,8 ; 4/5 = 0,8 ; 5,6 / 7 = 0,8, etc.

Ratio d'aspect

Le rapport constant des quantités proportionnelles est appelé ratio d'aspect... Le coefficient de proportionnalité montre combien d'unités d'une quantité tombent sur l'unité d'une autre.

Proportionnalité directe

Proportionnalité directe- la dépendance fonctionnelle, dans laquelle une certaine quantité dépend d'une autre quantité de telle sorte que leur rapport reste constant. En d'autres termes, ces variables changent proportionnellement, en parts égales, c'est-à-dire que si l'argument a changé deux fois dans n'importe quelle direction, alors la fonction change également deux fois dans la même direction.

Mathématiquement, la proportionnalité directe s'écrit sous la forme d'une formule :

F(X) = uneX,une = comst

Proportion inverse

Proportionnalité inverse est une dépendance fonctionnelle dans laquelle une augmentation de la quantité indépendante (argument) entraîne une diminution proportionnelle de la quantité dépendante (fonction).

Mathématiquement, la proportionnalité inverse s'écrit sous la forme d'une formule :

Propriétés de la fonction :

Sources de

Fondation Wikimédia. 2010.