Lequel des nombres suivants est premier. nombres premiers

nombre premier est un nombre naturel (entier positif) qui est divisible sans reste par seulement deux nombres naturels : par et par lui-même. Autrement dit, un nombre premier a exactement deux diviseur naturel: et le nombre lui-même.

Par définition, l'ensemble de tous les diviseurs d'un nombre premier est à deux éléments, c'est-à-dire est un ensemble.

L'ensemble de tous les nombres premiers est désigné par le symbole . Ainsi, grâce à la définition de l'ensemble des nombres premiers, on peut écrire : .

La suite de nombres premiers ressemble à ceci :

Théorème fondamental de l'arithmétique

Théorème fondamental de l'arithmétique déclare que tout nombre naturel supérieur à un peut être représenté comme un produit de nombres premiers, et la seule manière jusqu'à l'ordre des facteurs. Ainsi, les nombres premiers sont les "blocs de construction" élémentaires de l'ensemble nombres naturels.

Décomposition d'un nombre naturel title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} canonique:

où est un nombre premier, et . Par exemple, le développement canonique d'un nombre naturel ressemble à ceci : .

La représentation d'un nombre naturel sous la forme d'un produit de nombres premiers est également appelée factorisation des nombres.

Propriétés des nombres premiers

Tamis d'Eratosthène

L'un des algorithmes les plus connus pour rechercher et reconnaître les nombres premiers est tamis d'Eratosthène. Cet algorithme a donc été nommé d'après le mathématicien grec Eratosthène de Cyrène, qui est considéré comme l'auteur de l'algorithme.

Pour trouver tous les nombres premiers inférieurs à un nombre donné, en suivant la méthode d'Eratosthène, vous devez suivre ces étapes :

Étape 1.Écrivez dans une rangée tous les nombres naturels de deux à , c'est-à-dire .
Étape 2 Attribuer une valeur à une variable, c'est-à-dire une valeur égale au plus petit nombre premier.
Étape 3 Supprimez de la liste tous les nombres de à multiples de , c'est-à-dire les nombres : .
Étape 4 Trouvez le premier nombre non croisé dans la liste supérieur à , et attribuez la valeur de ce nombre à la variable.
Étape 5 Répétez les étapes 3 et 4 jusqu'à ce que le nombre soit atteint.

Le processus d'application de l'algorithme ressemblera à ceci :

Tous les nombres non croisés restants dans la liste à la fin du processus d'application de l'algorithme seront un ensemble de nombres premiers de à .

L'hypothèse de Goldbach

Couverture du livre "Oncle Petros et la conjecture de Goldbach"

Bien que les nombres premiers aient été étudiés par les mathématiciens depuis longtemps, de nombreux problèmes connexes restent aujourd'hui non résolus. L'un des problèmes non résolus les plus connus est La conjecture de Goldbach, qui se formule comme suit :

• Est-il vrai que tout nombre pair supérieur à deux peut être représenté comme la somme de deux nombres premiers (conjecture binaire de Goldbach) ?
• Est-il vrai que tout nombre impair supérieur à 5 peut être représenté comme la somme de trois nombres premiers (conjecture ternaire de Goldbach) ?

Il faut dire que l'hypothèse ternaire de Goldbach est un cas particulier de l'hypothèse binaire de Goldbach, ou, comme disent les mathématiciens, l'hypothèse ternaire de Goldbach est plus faible que l'hypothèse binaire de Goldbach.

La conjecture de Goldbach est devenue largement connue en dehors de la communauté mathématique en 2000 grâce à un coup de marketing publicitaire des sociétés d'édition Bloomsbury USA (USA) et Faber and Faber (Royaume-Uni). Ces maisons d'édition, après avoir publié le livre "Oncle Petros et la conjecture de Goldbach" ("Oncle Petros et la conjecture de Goldbach"), ont promis de payer un prix de 1 million de dollars américains dans les 2 ans à compter de la date de publication du livre à celui qui prouve la conjecture de Goldbach. Parfois, le prix mentionné par les éditeurs est confondu avec les prix pour la résolution des problèmes du prix du millénaire. Ne vous y trompez pas, l'hypothèse de Goldbach n'est pas répertoriée comme un défi du millénaire par le Clay Institute, bien qu'elle soit étroitement liée à l'hypothèse de Riemann l'un des défis du millénaire.

Le livre "Numéros simples. Longue route vers l'infini

Couverture du livre « Le monde des mathématiques. nombres premiers. Longue route vers l'infini

De plus, je recommande la lecture d'un fascinant livre de vulgarisation scientifique, dont l'annotation dit : « La recherche des nombres premiers est l'un des problèmes les plus paradoxaux des mathématiques. Les scientifiques tentent de le résoudre depuis plusieurs millénaires, mais, acquérant de nouvelles versions et hypothèses, ce mystère reste toujours non résolu. L'apparition des nombres premiers n'est soumise à aucun système : ils apparaissent spontanément dans une série de nombres naturels, ignorant toutes les tentatives des mathématiciens pour identifier des motifs dans leur séquence. Ce livre permettra au lecteur de retracer l'évolution des idées scientifiques de l'Antiquité à nos jours et d'introduire les théories les plus curieuses de la recherche des nombres premiers.

De plus, je citerai le début du deuxième chapitre de ce livre : "Les nombres premiers sont l'un des sujets importants qui nous ramènent aux tout débuts des mathématiques, puis, sur le chemin de la complexité croissante, nous conduisent au découpage bord des mathématiques. science moderne. Ainsi, il serait très utile de retracer l'histoire fascinante et complexe de la théorie des nombres premiers: comment exactement elle s'est développée, comment exactement les faits et les vérités qui sont maintenant considérés comme généralement acceptés ont été recueillis. Dans ce chapitre, nous verrons comment des générations de mathématiciens ont soigneusement étudié les nombres naturels à la recherche d'une règle qui prédit l'apparition des nombres premiers, règle qui, au fil de la recherche, est devenue de plus en plus insaisissable. Nous reviendrons également sur le contexte historique : dans quelles conditions ont travaillé les mathématiciens et dans quelle mesure des pratiques mystiques et semi-religieuses ont été appliquées dans leur travail, qui ne ressemblent en rien Méthodes scientifiques utilisé aujourd'hui. Néanmoins, lentement et difficilement, le terrain a été préparé pour les nouvelles vues qui ont inspiré Fermat et Euler aux XVIIe et XVIIIe siècles.

Tous les autres nombres naturels sont dits composés. Le nombre naturel 1 n'est ni premier ni composé.

Exemple

La tâche. Parmi les nombres naturels suivants, lesquels sont premiers :

Répondre.

Factoriser un nombre

La représentation d'un nombre naturel comme un produit de nombres naturels s'appelle factorisation. Si dans la factorisation d'un nombre naturel tous les facteurs sont des nombres premiers, alors une telle factorisation est appelée factorisation première.

Théorème

(Théorème de base de l'arithmétique)

Tout entier naturel autre que 1 peut être décomposé en facteurs premiers, et, qui plus est, de façon unique (si on identifie les décompositions et , où et sont des nombres premiers).

En combinant des facteurs premiers identiques dans la décomposition d'un nombre, on obtient la décomposition dite canonique d'un nombre :

où , sont des nombres premiers différents et sont des nombres naturels.

Exemple

La tâche. Trouvez le développement canonique des nombres :

Solution. Pour trouver le développement canonique des nombres, il faut d'abord les décomposer en facteurs premiers, puis combiner les mêmes facteurs et écrire leur produit en degré avec un exposant naturel :

Répondre.

Référence historique

Comment déterminer quel nombre est premier et lequel ne l'est pas ? La méthode la plus courante pour trouver tous les nombres premiers dans n'importe quel intervalle numérique a été proposée au 3ème siècle. avant JC e. Eratosthène (la méthode s'appelle le "tamis d'Eratosthène"). Supposons que nous ayons besoin de déterminer lesquels des nombres sont premiers. Nous les écrivons dans une rangée et barrons un nombre sur deux à partir de ceux qui suivent le nombre 2 - ils sont tous composés, car ils sont des multiples du nombre 2. Le premier des nombres non barrés restants - 3 - est premier. Biffez chaque troisième chiffre parmi ceux qui suivent le chiffre 3; le prochain des nombres non croisés - 5 - sera également premier. Par le même principe, on raye chaque cinquième chiffre de ceux qui suivent le chiffre 5 et, en général, chaque -e de ceux qui suivent le chiffre . Tous les nombres non barrés restants seront premiers.

À mesure que les nombres premiers augmentent, ils deviennent de moins en moins courants. Cependant, déjà les anciens étaient bien conscients du fait qu'il en existe un nombre infini. Sa preuve est donnée dans les Éléments d'Euclide.

Les nombres sont différents : naturel, naturel, rationnel, entier et fractionnaire, positif et négatif, complexe et premier, pair et impair, réel, etc. Cet article vous apprendra ce que sont les nombres premiers.

Quels nombres appellent le mot anglais "simple" ?

Très souvent, les écoliers ne savent pas répondre à l'une des questions les plus apparemment simples en mathématiques, à savoir ce qu'est un nombre premier. Ils confondent souvent les nombres premiers avec les nombres naturels (c'est-à-dire les nombres que les gens utilisent pour compter les objets, alors que dans certaines sources, ils partent de zéro et dans d'autres - de un). Mais ce sont deux concepts complètement différents. Les nombres premiers sont des nombres naturels, c'est-à-dire des nombres entiers et positifs supérieurs à un et qui n'ont que 2 diviseurs naturels. En même temps, l'un de ces diviseurs est numéro donné, et le second est une unité. Par exemple, trois est un nombre premier car il n'est divisible par aucun autre nombre que lui-même et un.

Nombres composés

Le contraire des nombres premiers sont les nombres composés. Ils sont également naturels, également supérieurs à un, mais n'ont pas deux, mais plusieurs diviseurs. Ainsi, par exemple, les nombres 4, 6, 8, 9, etc. sont des nombres naturels, composés, mais pas premiers. Comme vous pouvez le voir, ce sont principalement des nombres pairs, mais pas tous. Mais le "deux" est un nombre pair et le "premier nombre" d'une série de nombres premiers.

Sous-séquence

Pour construire une série de nombres premiers, il faut faire une sélection parmi tous les nombres naturels, en tenant compte de leur définition, c'est-à-dire qu'il faut agir par contradiction. Il est nécessaire de considérer chacun des nombres positifs naturels pour savoir s'il a plus de deux diviseurs. Essayons de construire une série (séquence) composée de nombres premiers. La liste commence par deux, puis vient trois, puisqu'elle n'est divisible que par elle-même et un. Considérez le numéro quatre. A-t-il des diviseurs autres que quatre et un ? Oui, ce nombre est 2. Donc quatre n'est pas un nombre premier. Cinq est aussi premier (à part 1 et 5, il n'est divisible par aucun autre nombre), mais six est divisible. Et en général, si vous suivez tous les nombres pairs, vous remarquerez qu'à part « deux », aucun d'entre eux n'est premier. On en déduit que les nombres pairs, sauf deux, ne sont pas premiers. Autre découverte : tous les nombres divisibles par trois, à l'exception du triple lui-même, qu'ils soient pairs ou impairs, ne sont pas non plus premiers (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, etc.). Il en va de même pour les nombres divisibles par cinq et sept. Tout leur ensemble n'est pas non plus simple. Résumons. Ainsi, tous les nombres impairs, à l'exception de un et neuf, appartiennent à de simples nombres à un chiffre, et seulement "deux" à partir de nombres pairs. Les dizaines elles-mêmes (10, 20,... 40, etc.) ne sont pas premières. Les nombres premiers à deux chiffres, à trois chiffres, etc. peuvent être définis sur la base des principes ci-dessus: s'ils n'ont pas d'autres diviseurs qu'eux-mêmes et un.

Théories sur les propriétés des nombres premiers

Il existe une science qui étudie les propriétés des nombres entiers, y compris les nombres premiers. C'est une branche des mathématiques, qui est dite supérieure. Outre les propriétés des nombres entiers, elle traite également des nombres algébriques, transcendants, ainsi que des fonctions d'origines diverses liées à l'arithmétique de ces nombres. Dans ces études, en plus des méthodes élémentaires et algébriques, des méthodes analytiques et géométriques sont également utilisées. Plus précisément, l'étude des nombres premiers traite de la "théorie des nombres".

Les nombres premiers sont les "blocs de construction" des nombres naturels

En arithmétique, il existe un théorème appelé théorème principal. Selon elle, tout nombre naturel, à l'exception de l'unité, peut être représenté comme un produit dont les facteurs sont des nombres premiers et l'ordre des facteurs est unique, ce qui signifie que la méthode de représentation est unique. C'est ce qu'on appelle la décomposition d'un nombre naturel en facteurs premiers. Il y a un autre nom pour ce processus - la factorisation des nombres. Sur cette base, les nombres premiers peuvent être appelés " Matériau de construction”, "blocs" pour la construction de nombres naturels.

Recherche de nombres premiers. Essais de simplicité

De nombreux scientifiques de différentes époques ont essayé de trouver des principes (systèmes) pour trouver une liste de nombres premiers. La science connaît des systèmes appelés tamis d'Atkin, tamis de Sundartam, tamis d'Eratosthène. Cependant, ils ne donnent pas de résultats significatifs et un test simple est utilisé pour trouver les nombres premiers. Des algorithmes ont également été créés par des mathématiciens. Ils sont appelés tests de primalité. Par exemple, il existe un test développé par Rabin et Miller. Il est utilisé par les cryptographes. Il existe également un test Kayala-Agrawala-Saskena. Cependant, malgré sa précision suffisante, il est très difficile à calculer, ce qui diminue sa valeur pratique.

L'ensemble des nombres premiers a-t-il une limite ?

Le fait que l'ensemble des nombres premiers est l'infini a été écrit dans le livre "Beginnings" par l'ancien scientifique grec Euclide. Il a dit ceci : « Imaginons un instant que les nombres premiers aient une limite. Ensuite, multiplions-les les uns avec les autres et ajoutons-en un au produit. Le nombre résultant de ces gestes simples, ne peut être divisible par aucune des séries de nombres premiers, car le reste sera toujours un. Et cela signifie qu'il existe un autre nombre qui n'est pas encore inclus dans la liste des nombres premiers. Par conséquent, notre hypothèse n'est pas vraie, et cet ensemble ne peut pas avoir de limite. En plus de la preuve d'Euclide, il existe une formule plus moderne donnée par le mathématicien suisse du XVIIIe siècle Leonhard Euler. Selon lui, la somme, l'inverse de la somme des n premiers nombres, croît indéfiniment avec la croissance du nombre n. Et voici la formule du théorème concernant la distribution des nombres premiers : (n) croît comme n / ln (n).

Quel est le plus grand nombre premier ?

Tout de même Leonard Euler a pu trouver le plus grand nombre premier de son temps. C'est 2 31 - 1 = 2147483647. Cependant, en 2013, un autre plus grand plus précis dans la liste des nombres premiers a été calculé - 2 57885161 - 1. Il s'appelle le nombre de Mersenne. Il contient environ 17 millions de chiffres décimaux. Comme vous pouvez le voir, le nombre trouvé par un scientifique du XVIIIe siècle est plusieurs fois inférieur à cela. Il aurait dû en être ainsi, car Euler a fait ce calcul manuellement, mais notre contemporain a probablement été aidé par un ordinateur. De plus, ce numéro a été obtenu au Département de mathématiques dans l'un des départements américains. Les nombres nommés d'après ce scientifique passent par le test de primalité de Luc-Lehmer. Cependant, la science ne veut pas s'arrêter là. L'Electronic Frontier Foundation, qui a été fondée en 1990 aux États-Unis d'Amérique (EFF), a offert une récompense monétaire pour la découverte de grands nombres premiers. Et si jusqu'en 2013 le prix était décerné aux scientifiques qui les trouvent parmi 1 et 10 millions Nombres décimaux, alors aujourd'hui ce chiffre est passé de 100 millions à 1 milliard. Les prix varient de 150 à 250 mille dollars américains.

Noms des nombres premiers spéciaux

Les nombres qui ont été trouvés grâce à des algorithmes créés par certains scientifiques et qui ont réussi le test de simplicité sont appelés spéciaux. En voici quelques uns:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills et al.

La simplicité de ces nombres, nommés d'après les scientifiques ci-dessus, est établie à l'aide des tests suivants :

1. Lucas-Lemer.

2. Pépina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lehmer - Selfridge et autres.

La science moderne ne s'arrête pas là, et probablement dans un avenir proche le monde connaîtra les noms de ceux qui ont pu gagner un prix de 250 000 dollars en trouvant le plus grand nombre premier.

Les nombres premiers sont l'un des phénomènes mathématiques les plus intéressants qui ont attiré l'attention des scientifiques et des citoyens ordinaires depuis plus de deux millénaires. Malgré le fait que nous vivons maintenant à l'ère des ordinateurs et des programmes d'information les plus modernes, de nombreux mystères des nombres premiers n'ont pas encore été résolus, il y en a même que les scientifiques ne savent pas comment aborder.

Les nombres premiers sont, comme le sait le cours d'arithmétique élémentaire, ceux qui ne sont divisibles sans reste que par un et lui-même. Soit dit en passant, si un nombre naturel est divisible, en plus de ceux énumérés ci-dessus, par un autre nombre, alors il est appelé composé. L'un des théorèmes les plus célèbres stipule que tout nombre composé peut être représenté comme le seul produit possible de nombres premiers.

Quelques faits intéressants. Premièrement, l'unité est unique dans le sens où, en fait, elle n'appartient ni aux nombres premiers ni aux nombres composés. En même temps, dans la communauté scientifique, il est encore d'usage de l'attribuer au premier groupe, puisque formellement il satisfait pleinement à ses exigences.

Deuxièmement, le seul nombre pair qui s'est glissé dans le groupe des "nombres premiers" est, bien sûr, deux. Tout autre nombre pair ne peut tout simplement pas arriver ici, car par définition, en plus de lui-même et un, il est également divisible par deux.

Les nombres premiers, dont la liste, comme mentionné ci-dessus, peut commencer par un, sont une série infinie, aussi infinie que la série des nombres naturels. Sur la base du théorème fondamental de l'arithmétique, on peut arriver à la conclusion que les nombres premiers ne sont jamais interrompus et ne finissent jamais, car sinon la série de nombres naturels serait inévitablement interrompue.

Les nombres premiers n'apparaissent pas au hasard dans la série naturelle, comme cela pourrait sembler à première vue. Après les avoir soigneusement analysés, vous pouvez immédiatement remarquer plusieurs caractéristiques, dont les plus curieuses sont associées aux nombres dits "jumeaux". Ils sont appelés ainsi parce que, d'une manière incompréhensible, ils se sont retrouvés côte à côte, séparés seulement par un délimiteur pair (cinq et sept, dix-sept et dix-neuf).

Si vous les regardez attentivement, vous remarquerez que la somme de ces nombres est toujours un multiple de trois. De plus, en divisant par un triple du camarade gauche, le reste reste toujours un deux, et le droit un - un. De plus, la distribution même de ces nombres le long de la série naturelle peut être prédite si toute cette série est représentée sous la forme de sinusoïdes oscillatoires dont les points principaux se forment lorsque les nombres sont divisés par trois et deux.

Les nombres premiers ne font pas seulement l'objet d'un examen minutieux par les mathématiciens du monde entier, ils sont depuis longtemps utilisés avec succès dans la compilation de diverses séries de nombres, qui constituent la base, notamment de la cryptographie. Dans le même temps, il faut reconnaître qu'un grand nombre de mystères associés à ces éléments merveilleux attendent toujours d'être résolus, de nombreuses questions ont une signification non seulement philosophique, mais aussi pratique.

• Traduction

Les propriétés des nombres premiers ont d'abord été étudiées par les mathématiciens La Grèce ancienne. Les mathématiciens de l'école pythagoricienne (500 - 300 av. J.-C.) s'intéressaient principalement aux propriétés mystiques et numérologiques des nombres premiers. Ils ont été les premiers à proposer des idées sur les nombres parfaits et amicaux.

Un nombre parfait a ses propres diviseurs égaux à lui-même. Par exemple, les diviseurs propres du nombre 6 sont : 1, 2 et 3. 1 + 2 + 3 = 6. Les diviseurs du nombre 28 sont 1, 2, 4, 7 et 14. De plus, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Les nombres sont dits amis si la somme des diviseurs propres d'un nombre est égale à un autre, et vice versa - par exemple, 220 et 284. On peut dire qu'un nombre parfait est ami avec lui-même.

Au moment de l'apparition de l'œuvre des "Débuts" d'Euclide en 300 av. plusieurs ont déjà fait leurs preuves faits importants sur les nombres premiers. Dans le livre IX des éléments, Euclide a prouvé qu'il existe un nombre infini de nombres premiers. C'est d'ailleurs l'un des premiers exemples d'utilisation de la preuve par contradiction. Il prouve également le théorème de base de l'arithmétique - chaque nombre entier peut être représenté d'une manière unique comme un produit de nombres premiers.

Il a également montré que si le nombre 2 n -1 est premier, alors le nombre 2 n-1 * (2 n -1) sera parfait. Un autre mathématicien, Euler, en 1747 a pu montrer que tous les nombres parfaits pairs peuvent être écrits sous cette forme. À ce jour, on ne sait pas s'il existe des nombres parfaits impairs.

En l'an 200 av. Le grec Eratosthenes a inventé un algorithme pour trouver les nombres premiers appelé le crible d'Eratosthenes.

Et puis il y a eu une grande rupture dans l'histoire de l'étude des nombres premiers associée au Moyen Âge.

Les découvertes suivantes ont été faites déjà au début du XVIIe siècle par le mathématicien Fermat. Il a prouvé la conjecture d' Albert Girard selon laquelle tout nombre premier de la forme 4n + 1 peut être écrit uniquement comme une somme de deux carrés, et a également formulé un théorème selon lequel tout nombre peut être représenté comme une somme de quatre carrés.

Il a développé nouvelle méthode factorisation des grands nombres, et l'a démontré sur le nombre 2027651281 = 44021 × 46061. Il a également prouvé le petit théorème de Fermat : si p est un nombre premier, alors a p = a modulo p sera vrai pour tout entier a.

Cette affirmation prouve la moitié de ce qu'on appelait « l'hypothèse chinoise » et qui remonte à 2000 ans plus tôt : un entier n est premier si et seulement si 2n-2 est divisible par n. La deuxième partie de l'hypothèse s'est avérée fausse - par exemple, 2341 - 2 est divisible par 341, bien que le nombre 341 soit composé : 341 = 31 × 11.

Le petit théorème de Fermat a servi de base à de nombreux autres résultats en théorie des nombres et à des méthodes pour tester si les nombres sont premiers, dont beaucoup sont encore utilisés aujourd'hui.

Fermat a beaucoup correspondu avec ses contemporains, notamment avec un moine nommé Marin Mersenne. Dans une de ses lettres, il conjecture que les nombres de la forme 2 n + 1 seront toujours premiers si n est une puissance de deux. Il a testé cela pour n = 1, 2, 4, 8 et 16, et était sûr que lorsque n n'est pas une puissance de deux, le nombre n'était pas nécessairement premier. Ces nombres sont appelés nombres de Fermat, et ce n'est que 100 ans plus tard qu'Euler a montré que le nombre suivant, 232 + 1 = 4294967297, est divisible par 641 et donc non premier.

Les nombres de la forme 2 n - 1 ont également fait l'objet de recherches, car il est facile de montrer que si n est composé, alors le nombre lui-même est également composé. Ces nombres sont appelés nombres de Mersenne parce qu'il les a étudiés activement.

Mais tous les nombres de la forme 2 n - 1, où n est premier, ne sont pas premiers. Par exemple, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Cela a été découvert pour la première fois en 1536.

Pendant de nombreuses années, les nombres de ce type ont donné aux mathématiciens les plus grands nombres premiers connus. Que le nombre M 19 a été prouvé par Cataldi en 1588, et pendant 200 ans était le plus grand nombre premier connu, jusqu'à ce qu'Euler prouve que M 31 est également premier. Ce record a duré encore cent ans, puis Lucas a montré que M 127 est premier (et c'est déjà un nombre de 39 chiffres), et après cela, les recherches se sont poursuivies avec l'avènement des ordinateurs.

En 1952, la primitivité des nombres M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 et M 2281 a été prouvée.

En 2005, 42 nombres premiers de Mersenne avaient été trouvés. Le plus grand d'entre eux, M 25964951 , se compose de 7816230 chiffres.

Les travaux d'Euler ont eu un impact énorme sur la théorie des nombres, y compris les nombres premiers. Il a étendu le petit théorème de Fermat et introduit la fonction φ. A factorisé le 5ème nombre de Fermat 2 32 +1, a trouvé 60 paires de nombres amis et a formulé (mais n'a pas réussi à prouver) la loi quadratique de réciprocité.

Il fut le premier à introduire des méthodes analyse mathematique et développé la théorie analytique des nombres. Il a prouvé que non seulement la série harmonique ∑ (1/n), mais aussi une série de la forme

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Obtenu par la somme des quantités inverses des nombres premiers, diverge également. La somme des n termes de la série harmonique croît approximativement comme log(n), tandis que la seconde série diverge plus lentement, comme log[ log(n)]. Cela signifie que, par exemple, la somme des inverses de tous les nombres premiers trouvés à ce jour ne donnera que 4, bien que la série diverge encore.

À première vue, il semble que les nombres premiers soient répartis parmi les nombres entiers de manière plutôt aléatoire. Par exemple, parmi les 100 nombres immédiatement avant 10000000, il y a 9 nombres premiers, et parmi les 100 nombres immédiatement après cette valeur, il n'y en a que 2. Mais sur de grands segments, les nombres premiers sont répartis assez uniformément. Legendre et Gauss s'occupent de leur distribution. Gauss a dit un jour à un ami que, dans toutes les 15 minutes gratuites, il comptait toujours le nombre de nombres premiers dans les 1000 numéros suivants. À la fin de sa vie, il avait compté tous les nombres premiers jusqu'à 3 millions. Legendre et Gauss ont également calculé que pour n grand la densité de nombres premiers est 1/log(n). Legendre a estimé le nombre de nombres premiers entre 1 et n comme

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Et Gauss - comme intégrale logarithmique

π(n) = / 1/log(t) dt

Avec un intervalle d'intégration de 2 à n.

La déclaration sur la densité des nombres premiers 1/log(n) est connue sous le nom de théorème des nombres premiers. Ils ont essayé de le prouver tout au long du XIXe siècle, et Chebyshev et Riemann ont fait des progrès. Ils l'ont relié à l' hypothèse de Riemann , une conjecture jusqu'ici non prouvée sur la distribution des zéros de la fonction zêta de Riemann. La densité des nombres premiers a été simultanément prouvée par Hadamard et de la Vallée-Poussin en 1896.

Dans la théorie des nombres premiers, il reste encore de nombreuses questions non résolues, dont certaines datent de plusieurs centaines d'années :

• hypothèse première jumelle - sur un nombre infini de paires de nombres premiers qui diffèrent les uns des autres de 2
• Conjecture de Goldbach : tout nombre pair, à partir de 4, peut être représenté comme la somme de deux nombres premiers
• Existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme n 2 + 1 ?
• est-il toujours possible de trouver un nombre premier entre n 2 et (n + 1) 2 ? (le fait qu'il y ait toujours un nombre premier entre n et 2n a été prouvé par Chebyshev)
• Existe-t-il une infinité de nombres premiers de Fermat ? y a-t-il des nombres premiers de Fermat après le 4 ?
• existe-t-il une progression arithmétique de nombres premiers consécutifs pour une longueur donnée ? par exemple, pour la longueur 4 : 251, 257, 263, 269. La longueur maximale trouvée est 26 .
• Existe-t-il une infinité d'ensembles de trois nombres premiers consécutifs dans une progression arithmétique ?
• n 2 - n + 41 est un nombre premier pour 0 ≤ n ≤ 40. Existe-t-il une infinité de tels nombres premiers ? Même question pour la formule n 2 - 79 n + 1601. Ces nombres sont premiers pour 0 ≤ n ≤ 79.
• Existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme n# + 1 ? (n# est le résultat de la multiplication de tous les nombres premiers inférieurs à n)
• Existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme n# -1 ?
• Existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme n ! +1 ?
• Existe-t-il une infinité de nombres premiers de la forme n ! - une?
• si p est premier, est-ce que 2 p -1 ne comprend toujours pas parmi les facteurs des nombres premiers au carré
• La suite de Fibonacci contient-elle un nombre infini de nombres premiers ?

Les plus grands nombres premiers jumeaux sont 2003663613 × 2 195000 ± 1. Ils se composent de 58711 chiffres et ont été trouvés en 2007.

Le plus grand nombre premier factoriel (de la forme n! ± 1) est 147855 ! - 1. Il se compose de 142891 chiffres et a été trouvé en 2002.

Le plus grand nombre premier primorial (un nombre de la forme n# ± 1) est 1098133# + 1.