La position relative de deux plans dans l'espace. Signes de parallélisme de deux plans. Parallélisme des plans : condition et propriétés

La relation de parallélisme plan, ses propriétés et ses applications est considérée.

Une représentation visuelle de l'emplacement de deux

plans donne une modélisation en utilisant les plans des surfaces des murs adjacents, du plafond et du sol de la pièce, lits superposés, deux feuilles de papier agrafées

magiciens, etc. (Fig. 242-244).

Bien qu'il existe un nombre infini d'options pour la position relative de divers plans, pour l'établissement et les caractéristiques dont les angles et les distances seront mesurés à l'avenir, nous nous attardons d'abord sur celles où la classification (ainsi que les lignes avec des plans) est en fonction du nombre de leurs points communs.

1. Deux plans ont au moins trois points communs qui ne se trouvent pas sur une ligne droite. De tels plans coïncident (axiome C 2, §7).

2. Les points communs de deux plans sont situés sur une droite, qui est la ligne d'intersection de ces plans (axiome C 3, §7). De tels plans se croisent.

3. Les deux plans n'ont aucun point commun.

V dans ce cas, ils sont appelés parallèle

Deux plans sont dits parallèles s'ils n'ont pas de points communs.

Le parallélisme des plans est indiqué par le signe || : α || .

Comme toujours, lorsque des concepts géométriques sont introduits,

il y a un problème de leur existence. L'existence de croisements

les avions sont caractéristique espacer,

et nous l'avons déjà utilisé plusieurs fois. Moins évident

Des plans parallèles existent. Il n'y a pas

doute que, par exemple, les plans des faces opposées

ses cubes sont parallèles, c'est-à-dire qu'ils ne se coupent pas. Mais directement

Il est certainement, par définition, impossible à établir. Pour une solution

la question posée, ainsi que d'autres problèmes liés à

parallélisme des plans, il faut avoir un signe de parallélisme.

Pour rechercher une caractéristique, il est conseillé de considérer l'avion,

"Tissé" à partir de lignes droites. De toute évidence, chaque ligne est l'une des

les plans parallèles doivent être parallèles l'un à l'autre.

Sinon, les avions auront un point commun. Suffisant

est le parallélisme du plan β à une droite du plan α

pour que les plans α et soient parallèles ? Inconditionnel

mais, non (justifiez-le !). L'expérience pratique montre que

deux de ces lignes qui se croisent suffisent. Sécuriser

une plate-forme parallèle au sol sur le mât, il suffit de la mettre

sont parallèles au deuxième plan, alors ces plans sont parallèles.

 Soit les droites sécantes a et b du plan α parallèles au plan β. Montrons que les plans α et sont parallèles par contradiction. Pour ce faire, supposons que les plans α et se coupent le long d'une droite

t (Fig. 246). Les lignes et b ne peuvent pas croiser des lignes droites par condition. Cependant, dans le plan α passant par un point, deux lignes droites sont tracées qui ne se coupent pas avec la ligne m, c'est-à-dire qui lui sont parallèles. Cette contradiction

et termine la preuve du théorème.

Le signe de parallélisme plan est utilisé pour le placement horizontal de structures plates ( dalles de béton, plancher, disque de dispositifs goniométriques, etc.) à l'aide de deux niveaux placés dans le plan de la structure sur des lignes droites sécantes. Sur la base de cette fonctionnalité, vous pouvez construire un plan parallèle à celui-ci.

Problème 1. À travers un point situé à l'extérieur du plan donné, tracez un plan parallèle à celui-ci.

 Soit un plan β et un point M en dehors du plan (Fig. 247, a). Tracez par le point M deux droites sécantes a et b parallèles au plan β. Pour ce faire, vous devez prendre dans le plan β deux droites sécantes avec et d (Fig. 247, b). Ensuite, à travers le point M, tracez les droites a et b, parallèles aux droites et d, respectivement.

mais (Fig. 247, c).

L'intersection des droites a et b sont parallèles au plan , par le critère de parallélisme d'une droite et d'un plan (Théorème 1 §11). Ils définissent uniquement le plan . D'après le critère prouvé, α || .

Exemple 1. Étant donné un cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, les points M, N, P sont les milieux des arêtes BC, B 1 C 1, A 1 D 1, respectivement. Etablir la position relative des plans : 1) ABB 1 et PNM ; 2) NMA et A 1 C 1 C; 3) A 1 NM

et PC 1C; 4) MAD 1 et DB 1 C.

 1) Les plans ABB 1 et PNM (Fig. 248) sont parallèles, d'après le parallélisme des plans (Théorème 1). En effet, les droites PN et NM se coupent et sont parallèles au plan ABB 1, selon le parallélisme de la droite et du plan (Théorème 1 §11), car les segments PN et NM relient les milieux des côtés opposés de les carrés, de sorte qu'ils soient parallèles aux côtés des carrés :

N || A 1 B 1, NM || B 1 B.

2) Les plans NMA et A 1 C 1 C se coupent selon une droite AA 1 (fig. 249). En effet, les droites AA 1 et СC 1 sont parallèles, sur la base du parallélisme des droites (AA 1 || ВB 1, ВB 1 || СC 1). Par conséquent, la ligne AA 1 se situe dans le plan A 1 C 1 C. L'appartenance de la droite AA1 au plan NMA se justifie de manière similaire.

3) Les plans A 1 NM et PC 1 C (Fig. 250) sont parallèles, sur la base du parallélisme des plans. En effet, NM || 1 C. La droite NM est donc parallèle au plan PC 1 C. Les segments PC 1 et A 1 N sont également parallèles, puisque le quadrilatère PC 1 NA 1 est un parallélogramme (A 1 P || NC 1, A 1 P = NC 1). Ainsi, la droite A 1 N est parallèle au plan PC 1 C. Les droites A 1 N et NM se coupent.

4) Les plans MAD 1 et DB 1 C se coupent (Fig. 251). Bien qu'il ne soit pas facile de construire la ligne de leur intersection, il n'est pas difficile d'indiquer un point de cette ligne. En effet, les droites A 1 D et B 1 C sont parallèles, puisque le quadrangle A 1 B 1 CD est un parallélogramme (A 1 B 1 = AB = CD, A 1 B 1 || AB, AB || CD). La droite A 1 D appartient donc au plan DB 1 C. Les droites A 1 D et AD 1 se coupent en un point commun aux plans MAD 1 et DB 1 C.

Si deux droites sécantes d'un plan sont respectivement parallèles à deux droites d'un autre plan, alors ces plans sont parallèles.

En utilisant le critère de parallélisme d'une droite et d'un plan (théorème 1 §11), il est facile d'établir que la condition du théorème 1 découle de la condition du théorème 1. L'application du théorème inverse au critère de parallélisme de une droite et un plan (Théorème 2 §11) complète la justification de l'équivalence des conditions des Théorèmes 1 et 1 ′.

La question se pose naturellement de l'unicité de la construction donnée dans le problème 1. Comme nous devrons utiliser cette propriété plus d'une fois, nous la distinguerons comme un théorème distinct. Cependant, considérons d'abord une autre affirmation.

Théorème 2 (sur l'intersection de deux plans parallèles du troisième).

Si deux plans parallèles coupent un troisième plan, alors les lignes d'intersection des plans sont parallèles.

 Soit des plans parallèles α, β et un plan γ les coupant (Fig. 252). Marquons les lignes d'intersection

par a et b. Ces droites se situent dans le plan γ et ne se coupent pas, puisque les plans α et n'ont pas de points communs. Par conséquent, directement

a et b sont parallèles.

Théorème 3 (sur l'existence et l'unicité d'un plan parallèle à un plan donné).

Grâce à un point situé à l'extérieur du plan donné, vous pouvez dessiner un seul plan parallèle à celui-ci.

 La construction d'un tel plan est réalisée dans le problème 1. L'unicité de la construction sera prouvée par contradiction. Supposons que deux plans différents α et passent par le point M,

plans parallèles (Fig. 253), et la droite t est la ligne de leur intersection. Traçons par le point M le plan coupant la droite

m et le plan β (comment faire ?). On note par et b

la ligne d'intersection du plan δ avec les plans α et γ, et par c - la ligne d'intersection des plans δ et β (Fig. 253). D'après le théorème 2, a || c

et b || c. C'est-à-dire que dans le plan δ passant par

le point M est passé par deux droites parallèles à la droite c. La contradiction indique l'inexactitude de l'hypothèse.

Le rapport de parallélisme plan a un certain nombre de propriétés qui ont des analogues en planimétrie.

Théorème 4 (sur les segments de droites parallèles entre plans parallèles).

Les sections de droites parallèles, coupées par des plans parallèles, sont égales les unes aux autres.

 Soient donnés deux plans parallèles α et et des segments UN B

et CD de droites parallèles a et d, coupées par ces plans (fig. 254, a). Traçons le plan par les droites a et d (Fig. 254, b). Il coupe les plans α et β le long des droites AC et BD, qui, d'après le théorème 2, sont parallèles. Par conséquent, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, ses côtés opposés AC et BD sont égaux.

Il résulte de la propriété ci-dessus que si l'on reporte de tous les points du plan

d'un côté du plan, des segments parallèles de même longueur, puis les extrémités de ces segments forment deux plans parallèles. C'est sur cette propriété que repose la construction d'un parallélépipède par dépôt de segments (fig. 255).

Théorème 5 (sur la transitivité de la relation de parallélisme des plans).

Si chacun des deux plans est parallèle au troisième, alors ces deux plans sont parallèles entre eux.

 Soit les plans α et β parallèles au plan γ. Supposons que

α et ne sont pas parallèles. Alors les plans α et β ont un point commun, et deux plans différents parallèles au plan γ passent par ce point, ce qui contredit le théorème 3. Par conséquent, les plans α et n'ont pas de points communs, c'est-à-dire qu'ils sont parallèles.

Le théorème 5 est un autre critère pour le parallélisme des plans. Il est largement utilisé à la fois en géométrie et en pratique. Par exemple, dans un immeuble à plusieurs étages, le parallélisme des plans du sol et du plafond à chaque étage garantit leur parallélisme sur les différents étages.

Problème 2. Montrer que si une droite a coupe le plan α, alors elle coupe aussi chaque plan parallèle au plan α.

 Soit les plans α et parallèles, et la droite a coupe le plan α au point A. Montrons qu'elle coupe aussi le plan

. Admettons que non. Alors la droite a est parallèle au plan . Traçons le plan γ par une droite et un point quelconque du plan (fig. 256).

Ce plan coupe les plans parallèles et β selon les droites b et. Co-

d'après le théorème 2, b || c, c'est-à-dire que dans le plan passant par le point A, il y a deux droites a et b parallèles à la droite c ... Cette contradiction prouve l'affirmation.

Essayez de prouver par vous-même que si le plan α coupe le plan β, alors il coupe également tous les plans parallèles au plan β.

Exemple 2. Dans le tétraèdre ABCD, les points K, F, E sont les milieux des arêtes DA, DC, DB, aM et P sont les centres de masse des faces ABD et BCD, respectivement.

1) Etablir la position relative des plans KEF et ABC ;

DEF et ABC.

2) Construire une ligne d'intersection des plans AFB et KEC.

3) Trouver l'aire de la section transversale du tétraèdre par un plan parallèle au plan ABD et passant par le point P, si toutes les arêtes du tétraèdre sont égales.

Construisons une figure correspondant à la condition (fig. 257, a). 1) Les plans KEF et ABC sont parallèles, d'après le parallélisme des plans (Théorème 1') : les droites sécantes KE et KF du plan KEF sont parallèles aux droites sécantes AB et AC du plan ABC (le lignes médianes des correspondants

Triangles).

Les plans DEF et ABC se coupent le long de la droite BC, car la ligne BC appartient aux deux plans et ils ne peuvent pas coïncider - les points A, B, C, D ne se trouvent pas dans le même plan.

2) Le plan AFB coupe le plan KEC le long d'une droite contenant le point P, puisque les lignes CE et BF situées dans ces plans sont dans le plan BCD et se coupent au point P. Un autre point est le point d'intersection des lignes Q AF et CK dans le plan ACD (Fig. 257, b). Évidemment, ce point est le centre de masse de la face ACD. L'intersection souhaitée est la ligne PQ.

3) Construire la section indiquée dans la condition, en utilisant le signe de parallélisme des plans. Traçons des droites passant par les points P et Q, parallèles respectivement aux droites DB et DA (fig. 257, c). Ces lignes coupent CD au point L. Ce dernier découle de la propriété du centre de masse du triangle - il divise les médianes du triangle dans un rapport de 2: 1, à partir du sommet. Il reste à appliquer le théorème de Thales. Ainsi, les plans PLQ et BDA sont parallèles. La section souhaitée est le triangle LSN.

Par construction, les triangles BCD et SCL sont similaires avec un coefficient de similarité CE CP = 3 2. Donc LS = 3 2 BD. De même, le

les égalités sont versées : LN = 3 2 AD, NS = 3 2 AB. Cela implique que les triangles LSN et ABD sont similaires avec un facteur de similarité3 2. D'après les propriétés des aires de ces triangles,

S LNS = 4 9 S ABD. Il reste à trouver l'aire du triangle ABD. Par-

puisque, par hypothèse, toutes les arêtes du tétraèdre sont égales à a, alors S ABD = 4 3 a 2.

La zone requise est 3 1 3 a 2.

Il est pertinent de faire attention au fait que la réponse ne dépend que de la zone du visage ABD. Par conséquent, l'égalité de toutes les arêtes n'est qu'un moyen de trouver cette zone. Ainsi, cette tâche peut être essentiellement généralisé.

Réponse. 1) KEF || ABC ; 3) 3 1 3 a 2.

Questions de sécurité

1. Est-il vrai que deux plans sont parallèles si chaque droite située dans un plan est parallèle à un autre plan ?

2. Les plans et sont parallèles. Y a-t-il des lignes d'intersection situées dans ces plans ?

3. Deux côtés d'un triangle sont parallèles à un plan. Le troisième côté du triangle est-il parallèle à ce plan ?

4. Deux côtés d'un parallélogramme sont parallèles à un certain plan. Est-il vrai que le plan du parallélogramme est parallèle au plan donné ?

5. Les segments de deux droites coupées par des plans parallèles peuvent-ils être inégaux ?

6. La section d'un cube peut-elle être un trapèze isocèle ? Un pentagone régulier peut-il être une section d'un cube ? Est-il vrai que deux plans parallèles à une même droite sont parallèles l'un à l'autre ?

Les lignes d'intersection des plans α et β par le plan sont parallèles entre elles. Les plans α et sont-ils parallèles ?

Trois faces d'un cube peuvent-elles être parallèles au même plan ?

Exercices graphiques

1. La figure 258 montre un cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, les points M, N, K, L, P sont les milieux des arêtes correspondantes. Remplissez le tableau en fonction de l'échantillon donné, en choisissant la disposition souhaitée des plans α et β.

Mutuel

emplacement

α || β α = β

α × β α || β α = β

2. Dans la fig. 259 représente un tétraèdre ABCD, les points K, F, M, N, Q sont les milieux des arêtes correspondantes. Indiquer:

1) un plan passant par le point K parallèle au plan ABC ;

2) un plan passant par la droite BD parallèle au plan MNQ.

3. Déterminer quelle est la section de la figure par un plan passant par ces trois points indiqués sur la figure-

kakh 260, a) –e) et 261, a) –d).

4. Construisez une figure en fonction des données données.

1) À partir des sommets du parallélogramme ABCD, situés dans l'un des deux plans parallèles, des lignes droites parallèles sont tracées, coupant le deuxième plan, respectivement, aux points A 1, B 1, C 1, D 1.

2) Le triangle A 1 B 1 C 1 est la projection du triangle ABC sur le plan parallèle . Le point M est le milieu du WC, M 1 est la projection du point M sur le plan α.

207. Dans le cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 les points O, O 1 sont respectivement les centres des faces ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1, M est le milieu de l'arête AB.

1°) Déterminer la position relative des plans MO 1 O

et ADD 1, ABD 1 et CO 1 C 1.

2°) Tracez le point d'intersection du plan DCC 1 et de la droite MO 1 et la ligne d'intersection des plans MCC 1 et A 1 D 1 C 1.

3) Trouver la section transversale du cube par un plan parallèle au plan AD 1 C 1 et passant par le point O 1 si l'arête du cube est égale à.

208. Dans le tétraèdre ABCD, les points K, L, P sont les centres de masse des faces ABD, BDC, ABC, respectivement, et aM est le milieu de l'arête AD.

1°) Déterminer la position relative des plans ACD

et KLP, MLK et ABC.

2°) Tracez le point d'intersection du plan ABC et de la droite ML et la ligne d'intersection des plans MKL et ABC.

3) Trouver l'aire de la section transversale du tétraèdre par le plan passant par les points K, L et M parallèles à la droite AD, si toutes les arêtes du tétraèdre sont égales.

209. Soit un cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Les points L, M, M 1 sont les milieux des arêtes AB, AD et A 1 D 1, respectivement.

1°) Déterminer la position relative des plans B 1 D 1 D

et LMM1.

2) Construire un plan passant par le point M parallèle au plan ACC 1.

3) Construire une section du cube avec un plan passant par le point M 1 parallèle au plan CDD 1.

4) Déterminer la position relative des plans MA 1 IN 1

et MDP1.

5) Construire un plan passant par la droite C 1 D 1 parallèle au plan CDM 1.

210. Dans une pyramide quadrangulaire régulière SABCD, toutes les arêtes sont égales les unes aux autres. Les points L, M et N sont les milieux des arêtes AS, BS, CS, respectivement.

1°) Déterminer la position relative : droites LM et BC ; droite LN et plan ABD ; avions LMN et BDC.

2°) Démontrer que les triangles ABC et LMN sont semblables.

3) Construire une section de la pyramide avec le plan AMN ; avion LMN; avion LBC.

4 *) Laquelle des sections de la pyramide passant par le sommet S a la plus grande aire ?

Parallélisme des lignes et des plans

Dans le tétraèdre SABC, toutes les faces sont des triangles réguliers. Les points L, M et N sont les milieux des arêtes AS, BS, CS, respectivement. 1°) Déterminer la position relative des droites LM et BC. 2°) Déterminer la position relative de la droite LN et du plan ABC.

3) Montrer que les triangles LMN et ABC sont semblables.

Construire une section du cube, qui soit : 1°) un triangle équilatéral ; 2) un pentagone.

217. Construire une section de parallélogramme d'un tétraèdre.

218°. Montrer que les faces opposées du parallélépipède sont parallèles.

219. Montrer que l'ensemble de toutes les droites passant par ce point et parallèle au plan donné, forme un plan parallèle à celui donné.

220. On vous donne quatre points A, B, C, D, qui ne se trouvent pas dans le même plan. Montrer que chaque plan parallèle aux droites AB et CD coupe les droites AC, AD, BD, BC aux sommets du parallélogramme.

221. Démontrer qu'un plan et une droite qui n'appartient pas à ce plan sont parallèles l'un à l'autre s'ils sont tous deux parallèles au même plan.

222. Par le point O de l'intersection des diagonales du cube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 un plan est tracé parallèlement à la face ABCD. Ce plan coupe les arêtes BB 1 et CC 1 aux points M et N, respectivement. Montrer que l'angle MON est droit.

223. Démontrer que deux plans sont parallèles l'un à l'autre si et seulement si chaque droite coupant l'un des plans coupe également l'autre.

224 *. Dans la pyramide triangulaire SABC à travers les segments AD et CE, où D est le milieu de SB et E est le milieu de SA, tracez des sections de la pyramide, parallèles les unes aux autres.

225. Trouver des lieux géométriques :

1) les milieux de tous les segments dont les extrémités se trouvent sur deux plans parallèles donnés ; 2 *) milieux de segments de droite dont les extrémités se trouvent sur deux droites sécantes données.

226 *. Le côté AB du triangle ABC situé dans le plan α est parallèle au plan β. Le triangle équilatéral А 1 В 1 С 1 est une projection parallèle du triangle ABC sur le plan β ; AB = 5, BC = 6, AC = 9.

1) Établir la position relative des droites AB et A 1 B 1,

BC et B1 C1, A1 C1 et AC.

2) Trouver l'aire du triangle A 1 B 1 C 1.

227 *. Deux lignes de croisement sont données. Indiquez l'ensemble de tous les points dans l'espace à travers lesquels vous pouvez tracer une ligne qui coupe chacune des deux lignes données.

Définition de base

Deux plans sont appelés

sont parallèles,

s'ils n'ont pas de points communs.

Déclarations clés

Signe parallèle - Si deux lignes sécantes d'un plan du plan sont respectivement parallèles à deux lignes du deuxième plan, alors ces plans

les os sont parallèles.

Le théorème de l'intersection Si deux parallèles-intersection de deux plans parallèles

ils sont parallèles.

a α, b α, a × b, c β, d β, a || c, b || d α || ??

|| , a = , b = a || b

M

: α || , М β

Préparation à la thématique

qui est évalué sur le thème "Parallélisme des lignes et des plans"

Tâches de maîtrise de soi

1. Quatre points n'appartiennent pas au même plan. Est-ce que trois d'entre eux peuvent se trouver sur la même ligne droite ?

2. Trois avions différents pourraient-ils avoir deux points communs ?

3. Deux lignes qui se croisent peuvent-elles être simultanément parallèles à la troisième ligne ?

4. Est-il vrai que tout droit a et b ne sont pas parallèles s'il n'y a pas de droite c parallèle à a et b ?

5. Des segments de droite égaux peuvent-ils avoir des projections inégales ?

6. Un rayon peut-il être une projection parallèle d'une droite ?

7. Un carré peut-il être un cube ?

8. Est-il vrai qu'un seul plan parallèle à une droite donnée peut être tracé à travers un point donné de l'espace ?

9. Est-il toujours possible de tracer une droite passant par un point donné parallèle à deux plans donnés qui ne contiennent pas ce point ?

10. Est-il possible de tracer des plans parallèles à travers deux lignes qui se croisent ?

Réponses aux tâches de maîtrise de soi I

Échantillon test

Deux parallélogrammes ABCD et ABC 1 D 1 se trouvent dans des plans différents.

1°) Déterminer la position relative des droites CD et C 1 D 1.

2°) Déterminer la position relative de la droite C 1 D 1 et du plan

3°) Tracer la ligne d'intersection des plans DD 1 1 et ВСС 1.

4°) Déterminer la position relative des plans ADD 1 et BCC 1.

5) Par le point M, en divisant le segment AB dans un rapport de 2: 1, en comptant à partir du point A, tracer un plan α parallèle au plan C 1 BC. 6) Construire le point d'intersection de la droite AC avec le plan et trouver le rapport dans lequel ce point divise le segment AC.

Disposition mutuelle des plans rectilignes dans l'espace

Trigonométrique

Vous avez déjà traité des fonctions trigonométriques en cours de géométrie. Jusqu'à présent, leurs applications se limitaient principalement à la résolution de triangles, c'est-à-dire qu'il s'agissait de retrouver certains éléments d'un triangle parmi d'autres. Il est connu de l'histoire des mathématiques que l'émergence de la trigonométrie est associée à la mesure des longueurs et des angles. Cependant, maintenant la sphère

sa les applications sont beaucoup plus larges que dans l'antiquité.

Le mot "trigonométrie" vient du grec τριγωνον

(trigonon) - triangle et µετρεω (metreo) - mesurer, changer

Je me noie. Cela signifie littéralement mesurer des triangles.

V ce chapitre systématise le matériel que vous connaissez déjà du cours de géométrie, continue l'étude fonctions trigonométriques et leurs applications pour caractériser les processus périodiques, en particulier les mouvements rotatifs, les processus oscillatoires, etc.

La plupart des applications de la trigonométrie concernent spécifiquement des processus périodiques, c'est-à-dire des processus qui se répètent à intervalles réguliers. Les heures de lever et de coucher du soleil, les changements de saison, la rotation des roues sont les exemples les plus simples de tels processus. Les vibrations mécaniques et électromagnétiques sont également des exemples importants de processus périodiques. Par conséquent, l'étude des processus périodiques est une tâche importante. Et le rôle des mathématiques dans sa solution est décisif.

se préparer à étudier le sujet "Fonctions trigonométriques"

Il est conseillé de commencer l'étude du sujet "Fonctions trigonométriques" en répétant les définitions et les propriétés des fonctions trigonométriques des angles des triangles et leurs applications pour la résolution de triangles rectangulaires et arbitraires.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente d'angles rectangulaires

Triangle

Tableau 24

Le sinus d'un angle aigu est le rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse :

sin = a c.

Le cosinus d'un angle aigu est le rapport jambe adjacenteà l'hypoténuse :

cosα = b c.

La tangente d'un angle aigu est le rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente :

tg = a b.

La cotangente d'un angle aigu est le rapport de la branche adjacente à l'autre :

ctgα = a b.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente des angles de 0° à 180°

Tableau 25

sin = R y; cosα = R x;

tg = x y; ctgα = x oui.

(N.-É.;à) - coordonnées du point UNE situé sur le demi-cercle supérieur, α - le coin formé par le rayon OA cercles avec axe N.-É..

Valeurs sinus, cosinus, tangente, cotangente

quelques coins

Tableau 26

Injection t

Résoudre des triangles arbitraires

Tableau 27

Théorème des sinus

Les côtés d'un triangle sont proportionnels aux sinus d'angles opposés :

péché uneα = péché bβ = péché cγ .

Théorème du cosinus

Le carré d'un côté quelconque d'un triangle est égal à la somme des carrés de deux autres côtés sans doubler ces côtés par le cosinus de l'angle entre eux :

c2 = une2 + b2 − 2 un B car γ , b2 = une2 + c2 − 2 ca car β , une2 = b2 + c2 − 2 avant JC car α .

L'aire d'un triangle est la moitié du produit de ses deux côtés et le sinus de l'angle entre eux :

S=1 2 un Bpéchéγ = 1 2 capéchéβ = 1 2 avant JCpéchéα .

Identités trigonométriques de base

5. Comparez la somme des sinus coins pointus un triangle rectangle arbitraire (nous le désignons parUNE) avec une.

< 1. B.UNE= 1.

> 1. G. Il est impossible de comparer. Organiser les nombres croissants : une= péché 30°, b= cos 30°,

= tg 30°.

< b<c.B.une<c<b

15. Spécifier les coordonnées du pointUNE se trouvant sur un cercle de rayon 1 (voir Fig.).

(−1; 0).B.(1; 0).

(0; − 1). G.(0; 1).UNE.V.

Parallélisme des plans. Si deux droites sécantes d'un plan sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un autre plan, alors ces plans sont parallèles.
Preuve. Laisser être une et b- les données de l'avion, un 1 et un 2- lignes droites dans l'avion une se croisant au point A, b 1 et b 2 correspondant parallèlement à ces lignes droites dans le plan b... Supposons que les avions une et b ne sont pas parallèles, c'est-à-dire qu'ils se coupent le long d'une ligne droite avec... Droit une 1 parallèle à une droite b 1, ce qui signifie qu'il est parallèle au plan lui-même b(signe de parallélisme d'une droite et d'un plan). Droit une 2 parallèle à une droite b 2, alors il est parallèle au plan lui-même b(signe de parallélisme d'une droite et d'un plan). Droit avec appartient à l'avion une, puis au moins une des droites un 1 ou un 2 franchit la ligne droite avec, c'est-à-dire qu'il a un point commun avec lui. Mais droit avec appartient aussi à l'avion b, donc en traversant la ligne droite avec, droit un 1 ou un 2 traverse l'avion b, ce qui ne peut pas être, puisque tout droit un 1 et un 2 parallèle au plan b... Il en résulte que les avions une et b ne se coupent pas, c'est-à-dire qu'ils sont parallèles.

Théorème 1 ... Si deux plans parallèles se coupent en tiers, alors les lignes d'intersection sont parallèles.
Preuve. Laisser être une et b- des plans parallèles, et g - le plan qui les coupe. Avion une traversé l'avion g en ligne droite une. Avion b traversé l'avion g en ligne droite b. Lignes d'intersection une et b se situer dans le même plan g et peut donc être soit des lignes sécantes, soit des lignes parallèles. Mais, appartenant à deux plans parallèles, ils ne peuvent avoir de points communs. Par conséquent, ils sont parallèles.

Théorème 2. Les segments de droites parallèles entre deux plans parallèles sont égaux.
Preuve. Laisser être une et b- des plans parallèles, et une et b- des lignes parallèles les coupant. A travers la ligne droite une et b effectuera avion g (ces droites sont parallèles, donc définir un plan, et un seul). Avion une traversé l'avion g en ligne droite AB . Avion b traversé l'avion g le long de la ligne SD. Par le théorème précédent, la ligne avec parallèle à la droite ré... Direct une,b, UN B et SD appartiennent à l'avion g Le quadrilatère délimité par ces droites est un parallélogramme (ses côtés opposés sont parallèles). Et puisqu'il s'agit d'un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont égaux, c'est-à-dire HELL = BC

Dans cette leçon, nous examinerons trois propriétés des plans parallèles : l'intersection de deux plans parallèles par un troisième plan ; sur des lignes parallèles entre des plans parallèles ; et de couper les côtés du coin par des plans parallèles. Ensuite, nous allons résoudre plusieurs problèmes en utilisant ces propriétés.

Sujet : Parallélisme des lignes et des plans

Leçon : Propriétés des plans parallèles

Si deux plans parallèles sont croisés par le troisième, alors les lignes de leur intersection sont parallèles.

Preuve

Soit des plans parallèles et sont donnés et un plan qui coupe les plans et le long de lignes droites une et b respectivement (Fig. 1.).

Direct une et b se situent dans le même plan, à savoir dans le plan γ. Prouvons que les lignes une et b ne se croisent pas.

Si droit une et b coupés, c'est-à-dire qu'ils auraient un point commun, alors ce point commun appartiendrait à deux plans et, et, ce qui est impossible, puisqu'ils sont parallèles par condition.

Tellement droit une et b sont parallèles, au besoin.

Les segments de droites parallèles, compris entre des plans parallèles, sont égaux.

Preuve

Soit des plans parallèles et des droites parallèles UN B et AVECré qui coupent ces plans (Fig. 2.). Montrons que les segments UN B et AVECré sont égaux.

Deux lignes parallèles UN B et AVECré former un seul plan γ, γ = UN BréAVEC... Le plan γ coupe des plans parallèles et le long de droites parallèles (selon la première propriété). Par conséquent, tout droit COMME et Vré sont parallèles.

Direct UN B et AVECré sont également parallèles (par condition). D'où le quadrilatère UN BréAVEC- un parallélogramme, puisque ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Des propriétés du parallélogramme, il résulte que les segments UN B et AVECré sont égaux, au besoin.

Des plans parallèles coupent les côtés du coin en parties proportionnelles.

Preuve

Donnons-nous des plans parallèles et qui coupent les côtés du coin UNE(Fig. 3.). Vous devez le prouver.

Plans parallèles et coupés par un plan d'angle UNE... Nommons la ligne d'intersection du plan angulaire UNE et avions - Soleil, et la ligne d'intersection du plan de l'angle UNE et avions - B 1 C 1... Par la première propriété, les lignes d'intersection soleil et B 1 C 1 sont parallèles.

Alors les triangles abc et AB 1 C 1 sont similaires. On a:

3. Site mathématique de Vitaly Stanislavovich Tsegelny ()

4. Festival d'idées pédagogiques « Leçon ouverte » ()

1. Pointer O- le milieu commun de chacun des segments AA 1, BB 1, CC 1 qui ne se situent pas dans le même plan. prouver que les avions abc et A 1 B 1 C 1 sont parallèles.

2. Démontrer que des plans parallèles peuvent être tracés à travers deux droites sécantes.

3. Montrer que la droite coupant l'un des deux plans parallèles coupe également l'autre.

4. Géométrie. Grades 10-11: un manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement (niveaux de base et de profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e édition, revue et complétée - M. : Mnemozina, 2008. - 288 p. : ill.

Tâches 6, 8, 9 p.29

Tous ceux qui ont déjà étudié ou étudient actuellement à l'école ont dû faire face à diverses difficultés pour étudier les disciplines incluses dans le programme élaboré par le ministère de l'Éducation.

A quelles difficultés devez-vous faire face

L'apprentissage des langues s'accompagne de la mémorisation des règles de grammaire disponibles et des principales exceptions à celles-ci. L'éducation physique demande aux élèves beaucoup de calcul, une bonne forme physique et une grande patience.

Cependant, les difficultés qui surviennent dans l'étude de disciplines exactes ne peuvent être comparées à rien. Algèbre contenant des façons complexes de résoudre des problèmes élémentaires. Physique avec un riche ensemble de formules pour les lois physiques. La géométrie et ses sections, qui sont basées sur des théorèmes et des axiomes complexes.

Un exemple est les axiomes expliquant la théorie du parallélisme des plans, qu'il faut retenir, car ils sous-tendent tout le cours du programme scolaire en stéréométrie. Essayons de comprendre comment cela peut être fait plus facilement et plus rapidement.

Plans parallèles par exemples

L'axiome indiquant le parallélisme des plans sonne comme suit : " Deux plans sont considérés comme parallèles uniquement s'ils ne contiennent pas de points communs", c'est-à-dire ne pas se croiser les uns avec les autres. Pour imaginer cette image plus en détail, à titre d'exemple élémentaire, vous pouvez citer le rapport du plafond et du sol ou des murs opposés dans un bâtiment. Cela devient immédiatement clair de ce que l'on veut dire et confirme également le fait que ces plans, dans le cas habituel, ne se couperont jamais.

Un autre exemple est une fenêtre à double vitrage, où les feuilles de verre agissent comme des plans. Ils ne formeront en aucun cas des points d'intersection les uns avec les autres. En plus de cela, vous pouvez ajouter des étagères, du Rubik's cube, où les plans sont ses faces opposées, et d'autres éléments de la vie quotidienne.

Les plans considérés sont désignés par un signe particulier sous la forme de deux droites "||", qui illustrent clairement le parallélisme des plans. Ainsi, en utilisant des exemples concrets, vous pouvez vous faire une perception plus claire du sujet et, par conséquent, vous pouvez passer à l'examen de concepts plus complexes.

Où et comment la théorie des plans parallèles est appliquée

Lors de l'étude d'un cours de géométrie à l'école, les étudiants doivent faire face à des problèmes polyvalents, où il est souvent nécessaire de déterminer le parallélisme de droites, de droites et d'un plan entre eux ou la dépendance des plans les uns par rapport aux autres. En analysant la condition existante, chaque tâche peut être liée aux quatre classes principales de la géométrie solide.

La première classe comprend des tâches dans lesquelles il est nécessaire de déterminer le parallélisme d'une droite et d'un plan entre eux. Sa solution se réduit à la démonstration du théorème du même nom. Pour ce faire, vous devez déterminer si pour une droite qui n'appartient pas au plan considéré, il existe une droite parallèle située dans ce plan.

La deuxième classe de problèmes comprend ceux dans lesquels le signe du parallélisme plan est utilisé. Il est utilisé pour simplifier le processus de preuve, réduisant ainsi considérablement le temps nécessaire pour trouver une solution.

La classe suivante couvre l'éventail des problèmes sur la correspondance des lignes droites aux propriétés de base du parallélisme plan. La solution des problèmes de la quatrième classe consiste à déterminer si la condition de parallélisme des plans est satisfaite. Sachant exactement comment se produit la preuve d'un problème particulier, il devient plus facile pour les étudiants de s'y retrouver lorsqu'ils utilisent l'arsenal existant d'axiomes géométriques.

Ainsi, les problèmes dont la condition nécessite de déterminer et de prouver le parallélisme de droites, une droite et un plan ou deux plans entre eux, se réduisent à la sélection correcte d'un théorème et d'une solution selon l'ensemble existant de règles.

Sur le parallélisme d'une droite et d'un plan

Le parallélisme d'une droite et d'un plan est un sujet particulier en stéréométrie, car c'est lui qui est le concept de base sur lequel sont basées toutes les propriétés ultérieures du parallélisme des figures géométriques.

D'après les axiomes existants, dans le cas où deux points d'une droite appartiennent à un certain plan, on peut conclure que cette droite s'y trouve également. Dans cette situation, il devient clair que trois options pour la localisation de la droite par rapport au plan dans l'espace sont possibles :

1. La droite appartient au plan.
2. Il y a un point d'intersection commun pour une ligne et un plan.
3. Il n'y a pas de points d'intersection pour une ligne droite et un plan.

En particulier, nous nous intéressons à la dernière option, lorsqu'il n'y a pas de points d'intersection. Ce n'est qu'alors que l'on peut dire qu'une droite et un plan sont parallèles l'un par rapport à l'autre. Ainsi, la condition du théorème principal sur le critère de parallélisme d'une droite et d'un plan est confirmée, qui stipule que : "Si une ligne droite qui n'appartient pas au plan considéré est parallèle à une ligne droite sur ce plan, alors la ligne droite considérée est également parallèle à ce plan."

La nécessité d'utiliser la fonction de parallélisme

Le parallélisme des avions est généralement utilisé pour trouver des solutions simplifiées aux problèmes des avions. L'essence de cette fonctionnalité est la suivante: " S'il y a deux lignes droites sécantes situées dans un plan, parallèles à deux lignes droites appartenant à un autre plan, alors ces plans peuvent être appelés parallèles».

Théorèmes supplémentaires

En plus d'utiliser le critère prouvant le parallélisme des plans, on peut en pratique rencontrer l'application de deux autres théorèmes supplémentaires. Le premier se présente sous la forme suivante : " Si l'un des deux plans parallèles est parallèle au troisième, alors le deuxième plan est soit également parallèle au troisième, soit coïncide complètement avec lui».

Sur la base de l'utilisation des théorèmes donnés, il est toujours possible de prouver le parallélisme des plans par rapport à l'espace considéré. Le deuxième théorème reflète la dépendance des plans par rapport à la droite perpendiculaire et a la forme : " Si deux plans non appariés sont perpendiculaires à une ligne droite, ils sont alors considérés comme parallèles l'un à l'autre».

Le concept de condition nécessaire et suffisante

Dans la résolution répétée des problèmes de prouver le parallélisme des plans, une condition nécessaire et suffisante pour le parallélisme des plans a été dérivée. On sait que tout plan est donné par une équation paramétrique de la forme : А 1 х + В 1 у + C 1 z + D 1 = 0. Notre condition est basée sur l'utilisation d'un système d'équations définissant l'arrangement des plans dans l'espace, et est représentée par la formulation suivante : « Pour prouver le parallélisme de deux plans, il est nécessaire et suffisant que le système d'équations décrivant ces plans soit inconsistant, c'est-à-dire qu'il n'ait pas de solution».

Propriétés de base

Cependant, lors de la résolution de problèmes géométriques, l'utilisation de la fonction de parallélisme n'est pas toujours suffisante. Parfois, une situation se présente lorsqu'il est nécessaire de prouver le parallélisme de deux ou plusieurs droites dans des plans différents ou l'égalité des segments enfermés sur ces droites. Pour cela, les propriétés de parallélisme plan sont utilisées. Il n'y en a que deux en géométrie.

La première propriété permet de juger du parallélisme des droites dans certains plans et se présente sous la forme suivante : « Si deux plans parallèles en coupent un troisième, alors les droites formées par les lignes d'intersection seront également parallèles entre elles.».

Le sens de la seconde propriété est de prouver l'égalité des segments situés sur des droites parallèles. Son interprétation est présentée ci-dessous. " Si nous considérons deux plans parallèles et enfermons une zone entre eux, alors on peut affirmer que la longueur des segments formés par cette zone sera la même».

e propriété na lignes parallèles, appelées transitivesparallélisme:

• Si deux droites a et b sont parallèles à la troisième droite c, alors elles sont parallèles nous les uns aux autres.

Mais il est plus difficile de prouver cette propriété en stéréométrie. Sur le plan, les droites non parallèles doivent se croiser et ne peuvent donc pas être simultanément parallèles à la troisième (sinon l'axiome parallèle est violé). En proespace, il y a non parallèle et pourlignes droites disjointes de volumes'ils se trouvent dans des plans différents. De telles lignes droites sont dites croisées.

En figue. 4 montre un cube; les droites AB et BC se coupent, AB et CDsont parallèles, et AB et B AVEC croiser. À l'avenir, nous recourrons souvent à l'utilisation du cube pour illustrerétudier les concepts et les faits de la stéréométrie. Notre cube est collé à partir de six faces carrées. Sur cette base, nous afficherons ses autres propriétés. Par exemple, on peut soutenir que la ligne AB est parallèle à CRÉ,car ils sont tous les deux parallèles à la face commune du CD avecen les tenant carrés.

En stéréométrie, la relation de parallélisme est également considérée pour les plans : deux plansune droite ou une droite et un plan sont parallèles s'ils n'ont pas de points communs. Il est commode de considérer une droite et un plan parallèles même lorsqu'il se trouve dans un plan. Les théorèmes de transitivité sont valables pour les plans et les lignes :

• Si deux plans sont parallèles au troisième plan, alors ils sont parallèles l'un à l'autre.
• Si une ligne droite et un plan sont parallèles à une ligne droite (ou plan), alors ils sont parallèles l'un à l'autre.

Le cas particulier le plus important du deuxième théorème est le critère de parallélisme d'une droite et d'un plan :

• Une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan.

Et voici le signe du parallélisme des plans :

• Si deux droites sécantes dans un plan sont respectivement parallèles à deux droites sécantes dans un autre plan, alors les plans sont également parallèles.

Le théorème simple suivant est souvent utilisé :

• Les droites le long desquelles deux plans parallèles coupent le troisième sont parallèles entre eux.

Regardons à nouveau le cube (Fig. 4). Du signe de parallélisme d'une droite et d'un plan, il résulte, par exemple, que la droite A V parallèle au plan ABCD (puisqu'il est parallèle à la droite AB dans ce plan), et les faces opposées du cube, en particulier A V AVEC ré et ABCD sont parallèles en termes de parallélisme plan : droites A B et B AVEC dans une face, respectivement, sont parallèles aux droites AB et BC dans l'autre. Et un exemple un peu moins simple. Plan contenant des droites parallèles AA et SS, coupent les plans parallèles ABCD et A B C ré en direct AC et A AVEC, par conséquent, ces lignes sont parallèles : de même, les lignes parallèles B C et A D. Donc, parallèle au plan AB C et A DC coupant le cube en triangles.

III. Représentation de figures spatiales.

Il y a un tel aphorisme Géométriec'est un artraisonner correctement sur le mauvais dessin. En effet, si nous revenons à dele raisonnement ci-dessus, il s'avère:

le seul avantage que nous avons tiré du dessin du cube qui l'accompagne est qu'il nous a fait gagner de la place sur l'explicationnotation ni. Vous auriez tout aussi bien pu le représenter comme le corps de la fig. 4, I, bien que, évidemment, quelque chose qui y soit représenté ne soit pas seulement un cube, mais pas non plus un polyèdre. Et pourtant, dans l'aphorisme ci-dessus, seule une partie de la vérité est contenue. Après tout, avant de raisonnerprésenter une preuve toute faite, il fautpense. Et pour cela, vous devez imaginer clairement une figure donnée, la relation entre ses éléments. Un bon dessin aide à créer une telle représentation. De plus, comme nous le verrons, en stéréométrie, un bon dessin de mopeut devenir non seulement une illustration, mais la base pour résoudre un problème.

Un artiste (ou plutôt un artiste réaliste) surdessine notre cube tel que nous le voyons (Fig. 5, b), c'est-à-dire en perspective, ou centralprojection de noé. Avec une projection centrale du point O (centre de projection) sur le plan a, environun point arbitraire X est représenté par un point X, auquel a coupe une droite OX (Fig. 6). La projection centrale préserve les lignes droitesdisposition linéaire de points, mais, en règle générale, traduit les lignes parallèles en intersectionssans parler des changements de distances et d'angles. Etude de ses propriétés lors deconduit à l'émergence d'une section importante de la géométrie (voir l'article Géométrie projective).

Mais dans les dessins géométriques, une projection différente est utilisée. On peut dire qu'il est obtenu à partir du centre lorsque le centre O s'éloigne vers l'infini et que les droites OX deviennent paparallèle.

Choisissons le plan a et la droite l le coupant. Traçons une ligne droite passant par le point X, paparallèle l. Le point X, où cette droite rencontre a, est la projection parallèle de X sur le plan, et le long de la droite l (fig. 7). SurLa section d'une figure est constituée des projections de tous ses points. En géométrie, l'image d'une figure est comprise comme sa projection parallèle.

En particulier, une image en ligne droiteest-ce une ligne droite ou (dans le cas exceptionnel(plus souvent lorsque la ligne est parallèle à la direction de projection) point. L'image montre un parallèle