Nombre cercle sinus cosinus tangente cotangente. Domaines et valeurs, croissants, décroissants

Les concepts de sinus, cosinus, tangente et cotangente sont les principales catégories de la trigonométrie - une branche des mathématiques, et sont inextricablement liés à la définition d'un angle. La possession de cette science mathématique nécessite la mémorisation et la compréhension des formules et des théorèmes, ainsi qu'une pensée spatiale développée. C'est pourquoi les calculs trigonométriques posent souvent des difficultés aux écoliers et aux étudiants. Pour les surmonter, vous devez vous familiariser plus en détail avec les fonctions et formules trigonométriques.

Notions de trigonométrie

Pour comprendre les concepts de base de la trigonométrie, vous devez d'abord déterminer ce que sont un triangle rectangle et un angle dans un cercle, et pourquoi tous les calculs trigonométriques de base leur sont associés. Un triangle dont l'un des coins est à 90 degrés est rectangulaire. Historiquement, ce chiffre était souvent utilisé par les gens dans l'architecture, la navigation, l'art, l'astronomie. En conséquence, en étudiant et en analysant les propriétés de cette figure, les gens sont arrivés au calcul des rapports correspondants de ses paramètres.

Les principales catégories associées aux triangles rectangles sont l'hypoténuse et les jambes. Hypoténuse - le côté du triangle opposé angle droit... Les jambes, respectivement, sont les deux autres côtés. La somme des angles de tous les triangles est toujours de 180 degrés.

La trigonométrie sphérique est une section de la trigonométrie qui n'est pas étudiée à l'école, mais dans les sciences appliquées telles que l'astronomie et la géodésie, les scientifiques l'utilisent. La particularité d'un triangle en trigonométrie sphérique est qu'il a toujours une somme d'angles supérieure à 180 degrés.

Angles d'un triangle

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est le rapport de la jambe opposée à l'angle désiré à l'hypoténuse du triangle. Par conséquent, le cosinus est le rapport jambe adjacente et hypoténuse. Ces deux valeurs sont toujours inférieures à un, car l'hypoténuse est toujours plus longue que la jambe.

La tangente d'un angle est une valeur égale au rapport de la jambe opposée à la jambe adjacente de l'angle souhaité, ou sinus sur cosinus. La cotangente, à son tour, est le rapport de la jambe adjacente de l'angle souhaité à la jambe opposée. La cotangente d'un angle peut également être obtenue en divisant un par la valeur de la tangente.

Cercle unité

Un cercle unité en géométrie est un cercle dont le rayon est égal à un. Un tel cercle est construit dans un système de coordonnées cartésiennes, tandis que le centre du cercle coïncide avec le point d'origine, et la position initiale du rayon vecteur est déterminée le long de la direction positive de l'axe X (abscisse). Chaque point du cercle a deux coordonnées : XX et YY, c'est-à-dire les coordonnées des abscisses et des ordonnées. En sélectionnant n'importe quel point du cercle dans le plan XX, et en laissant tomber la perpendiculaire de celui-ci à l'axe des abscisses, nous obtenons un triangle rectangle formé par le rayon jusqu'au point sélectionné (noté par la lettre C), par la perpendiculaire tracée à l'axe X (le point d'intersection est désigné par la lettre G), et un segment l'axe des abscisses entre l'origine (le point est désigné par la lettre A) et le point d'intersection G. Le triangle résultant ACG est un rectangle triangle inscrit dans un cercle, où AG est l'hypoténuse, et AC et GC sont les jambes. L'angle entre le rayon du cercle AC et le segment de l'axe des abscisses portant la désignation AG, nous le définissons comme α (alpha). Donc, cos α = AG / AC. Considérant que AC est le rayon du cercle unité et qu'il est égal à un, il s'avère que cos α = AG. De même, sin = CG.

De plus, connaissant ces données, vous pouvez déterminer la coordonnée du point C sur le cercle, puisque cos α = AG, et sin α = CG, ce qui signifie que le point C a les coordonnées spécifiées (cos α ; sin α). Sachant que la tangente est égale au rapport du sinus au cosinus, on peut déterminer que tg α = y / x, et ctg α = x / y. Compte tenu des angles dans un système de coordonnées négatif, vous pouvez calculer que les valeurs du sinus et du cosinus de certains angles peuvent être négatives.

Calculs et formules de base

Valeurs des fonctions trigonométriques

Après avoir examiné l'essence des fonctions trigonométriques à travers le cercle unité, vous pouvez dériver les valeurs de ces fonctions pour certains angles. Les valeurs sont répertoriées dans le tableau ci-dessous.

Identités trigonométriques les plus simples

Les équations dans lesquelles une valeur inconnue est présente sous le signe d'une fonction trigonométrique sont appelées trigonométriques. Identités avec la valeur sin = α, k est un entier quelconque :

1. sin x = 0, x = k.
2. 2.sin x = 1, x = / 2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, | a | > 1, aucune solution.
5. sin x = a, | a | ≦ 1, x = (-1) ^ k * arcsin α + πk.

Identités avec la valeur cos x = a, où k est un entier quelconque :

1. cos x = 0, x = / 2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = + 2πk.
4. cos x = a, | a | > 1, aucune solution.
5. cos x = a, | a | ≦ 1, x = ± arccos + 2πk.

Identités avec la valeur tg x = a, où k est un entier quelconque :

1. tg x = 0, x = / 2 + πk.
2. tg x = a, x = arctan + πk.

Identités avec la valeur ctg x = a, où k est un entier quelconque :

1. ctg x = 0, x = / 2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg + πk.

Formules de coulée

Cette catégorie de formules constantes désigne des méthodes qui peuvent être utilisées pour passer des fonctions trigonométriques de la forme aux fonctions d'un argument, c'est-à-dire pour amener le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle de n'importe quelle valeur aux indicateurs correspondants du angle de l'intervalle de 0 à 90 degrés pour une plus grande commodité des calculs.

Les formules de conversion des fonctions pour le sinus d'un angle ressemblent à ceci :

• sin (900 - ) = ;
• sin (900 + ) = cos α;
• sin (1800 - α) = sin α;
• sin (1800 + α) = -sin α;
• sin (2700 - α) = -cos α;
• sin (2700 + α) = -cos α;
• sin (3600 - α) = -sin α;
• sin (3600 + ) = sin α.

Pour le cosinus d'un angle :

• cos (900 - α) = sin ;
• cos (900 + ) = -sin α;
• cos (1800 - α) = -cos α;
• cos (1800 + ) = -cos α;
• cos (2700 - α) = -sin α;
• cos (2700 + ) = sin ;
• cos (3600 - ) = cos α;
• cos (3600 + ) = cos α.

L'utilisation des formules ci-dessus est possible sous réserve de deux règles. Premièrement, si l'angle peut être représenté par une valeur (π / 2 ± a) ou (3π / 2 ± a), la valeur de la fonction change :

• du péché au cos;
• du cos au péché;
• de tg à ctg ;
• de ctg à tg.

La valeur de la fonction reste inchangée si l'angle peut être représenté par (π ± a) ou (2π ± a).

Deuxièmement, le signe de la fonction réduite ne change pas : s'il était initialement positif, il le reste. De même avec les fonctions négatives.

Formules d'addition

Ces formules expriment les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente de la somme et de la différence de deux angles de rotation en fonction de leurs fonctions trigonométriques. Les angles sont communément appelés et .

Les formules ressemblent à ceci :

1. sin (α ± β) = sin * cos β ± cos α * sin.
2. cos (α ± β) = cos α * cos β sin α * sin.
3. tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 tan α * tan β).
4. ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Ces formules sont valables pour toutes les valeurs des angles α et .

Formules double et triple angle

Les formules trigonométriques à angle double et triple sont des formules qui relient les fonctions des angles 2α et 3α, respectivement, aux fonctions trigonométriques de l'angle . Dérivé des formules d'addition :

1. sin2α = 2sinα * cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
5. cos3α = 4cos ^ 3 - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tan ^ 3 ) / (1-tan ^ 2 α).

Le passage de la somme au produit

En tenant compte du fait que 2sinx * cosy = sin (x + y) + sin (x-y), en simplifiant cette formule, on obtient l'identité sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. De même, sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2 ; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2 ; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ ; tgα - tgβ = sin (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).

Passer du travail à la somme

Ces formules découlent des identités du passage de la somme au produit :

• sinα * sinβ = 1/2 * ;
• cosα * cosβ = 1/2 * ;
• sinα * cosβ = 1/2 *.

Formules de réduction de degré

Dans ces identités, les puissances carrée et cubique du sinus et du cosinus peuvent être exprimées en termes de sinus et de cosinus de la première puissance de l'angle multiple :

• sin ^ 2 = (1 - cos2α) / 2;
• cos ^ 2 = (1 + cos2α) / 2;
• sin ^ 3 = (3 * sinα - sin3α) / 4;
• cos ^ 3 = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• sin ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• cos ^ 4 = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

Substitution universelle

Les formules de substitution trigonométriques universelles expriment les fonctions trigonométriques en termes de tangente d'un demi-angle.

• sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), tandis que x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), où x = π + 2πn;
• tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2), où x = π + 2πn;
• ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), tandis que x = π + 2πn.

Cas spéciaux

Des cas particuliers des équations trigonométriques les plus simples sont donnés ci-dessous (k est un entier quelconque).

Privé pour sinus :

Sin x valeur	valeur X
0	k
1	/ 2 + 2πk
-1	-π / 2 + 2πk
1/2	π / 6 + 2πk ou 5π / 6 + 2πk
-1/2	-π / 6 + 2πk ou -5π / 6 + 2πk
√2/2	π / 4 + 2πk ou 3π / 4 + 2πk
-√2/2	-π / 4 + 2πk ou -3π / 4 + 2πk
√3/2	π / 3 + 2πk ou 2π / 3 + 2πk
-√3/2	-π / 3 + 2πk ou -2π / 3 + 2πk

Les quotients du cosinus sont :

Cos x valeur	valeur X
0	/ 2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	± π / 3 + 2πk
-1/2	± 2π / 3 + 2πk
√2/2	± π / 4 + 2πk
-√2/2	± 3π / 4 + 2πk
√3/2	± π / 6 + 2πk
-√3/2	± 5π / 6 + 2πk

Privé pour tangente :

Valeur Tg x	valeur X
0	k
1	/ 4 + k
-1	-π / 4 + k
√3/3	/ 6 + k
-√3/3	-π / 6 + k
√3	/ 3 + πk
-√3	-π / 3 + k

Privé pour cotangente :

Valeur Ctg x	valeur X
0	/ 2 + k
1	/ 4 + k
-1	-π / 4 + k
√3	/ 6 + k
-√3	-π / 3 + k
√3/3	/ 3 + πk
-√3/3	-π / 3 + k

Théorèmes

théorème des sinus

Il existe deux versions du théorème - simple et étendu. Théorème simple sinus : a / sin = b / sin β = c / sin γ. Dans ce cas, a, b, c sont les côtés du triangle, et , , sont respectivement des angles opposés.

Théorème du sinus étendu pour un triangle arbitraire : a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. Dans cette identité, R désigne le rayon du cercle dans lequel s'inscrit le triangle donné.

Théorème du cosinus

L'identité est affichée comme suit : a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. Dans la formule, a, b, c sont les côtés du triangle et est l'angle opposé au côté a.

Théorème de la tangente

La formule exprime la relation entre les tangentes de deux angles et la longueur des côtés qui leur sont opposés. Les côtés sont notés a, b, c, et les angles opposés correspondants sont α, , . La formule du théorème de la tangente est : (a - b) / (a ​​+ b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).

Théorème cotangent

Relie le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle avec la longueur de ses côtés. Si a, b, c sont les côtés du triangle, et A, B, C, respectivement, sont des angles opposés, r est le rayon du cercle inscrit, et p est le demi-périmètre du triangle, les identités suivantes sont valide:

• ctg A / 2 = (p-a) / r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C / 2 = (p-c) / r.

Application appliquée

La trigonométrie n'est pas seulement une science théorique associée à formules mathématiques... Ses propriétés, ses théorèmes et ses règles sont utilisés dans la pratique par différentes industries. activité humaine- astronomie, navigation aérienne et maritime, théorie musicale, géodésie, chimie, acoustique, optique, électronique, architecture, économie, génie mécanique, travaux de mesure, infographie, cartographie, océanographie, et bien d'autres.

Sinus, cosinus, tangente et cotangente sont les concepts de base de la trigonométrie, à l'aide desquels vous pouvez exprimer mathématiquement la relation entre les angles et les longueurs des côtés d'un triangle, et trouver les quantités requises à l'aide d'identités, de théorèmes et de règles.

Permet d'établir un certain nombre de résultats caractéristiques - propriétés de sinus, cosinus, tangente et cotangente... Dans cet article, nous examinerons trois propriétés principales. Le premier d'entre eux indique les signes du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de l'angle α, en fonction de la coordonnée du quart d'angle α. Ensuite, nous considérerons la propriété de périodicité, qui établit la constance des valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de l'angle α lorsque cet angle est modifié d'un nombre entier de tours. La troisième propriété exprime la relation entre les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente d'angles opposés α et −α.

Si vous êtes intéressé par les propriétés des fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente, elles peuvent être étudiées dans la section correspondante de l'article.

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Signes sinus, cosinus, tangente et cotangente en quarts

Ci-dessous dans ce paragraphe se trouve la phrase "l'angle du quartier de coordonnées I, II, III et IV". Expliquons quels sont ces angles.

Prenez le cercle unité, marquez le point de départ A (1, 0) dessus et faites-le pivoter autour du point O d'un angle , tout en supposant que nous atteindrons le point A 1 (x, y).

Ils disent ça l'angle α est l'angle du quart des coordonnées I, II, III, IV si le point А 1 se situe respectivement dans les quartiers I, II, III, IV ; si l'angle est tel que le point A 1 se trouve sur l'une des lignes de coordonnées Ox ou Oy, alors cet angle n'appartient à aucun des quatre quartiers.

Pour plus de clarté, nous présentons une illustration graphique. Les dessins ci-dessous montrent les angles de rotation 30, -210, 585 et -45 degrés, qui sont les angles I, II, III et IV des quarts de coordonnées, respectivement.

Coins 0, ± 90, ± 180, ± 270, ± 360, ... degrés n'appartiennent à aucun des quarts de coordonnées.

Voyons maintenant quels signes ont les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente de l'angle de rotation , selon quel quart est α.

Pour le sinus et le cosinus, c'est facile à faire.

Par définition, le sinus de l'angle est l'ordonnée du point A 1. Il est évident que dans les quartiers de coordonnées I et II il est positif, et dans les quartiers III et IV il est négatif. Ainsi, le sinus de l'angle a un signe plus dans les quartiers I et II, et un signe moins dans les quartiers III et VI.

À son tour, le cosinus de l'angle est l'abscisse du point A 1. Dans les quartiers I et IV, il est positif, et dans les quartiers II et III, il est négatif. Par conséquent, les valeurs du cosinus de l'angle dans les quartiers I et IV sont positives, et dans les quartiers II et III - négatives.

Pour déterminer les signes par les quarts de la tangente et de la cotangente, il faut se souvenir de leurs définitions : la tangente est le rapport de l'ordonnée du point A1 à l'abscisse, et la cotangente est le rapport de l'abscisse du point A1 à l'ordonnée . Puis de règles de division des nombres avec le même et différents signes il s'ensuit que la tangente et la cotangente ont un signe plus lorsque les signes d'abscisse et d'ordonnée du point A 1 sont les mêmes, et ont un signe moins - lorsque les signes d'abscisse et d'ordonnée du point A 1 sont différents. Par conséquent, la tangente et la cotangente de l'angle ont un signe + dans les quartiers de coordonnées I et III, et un signe moins dans les quartiers II et IV.

En effet, par exemple, au premier quart, à la fois l'abscisse x et l'ordonnée y du point A 1 sont positives, alors à la fois le quotient x/y et le quotient y/x sont positifs, donc, la tangente et la cotangente ont + panneaux. Et au deuxième quart, l'abscisse x est négative et l'ordonnée y est positive, donc à la fois x / y et y / x sont négatifs, d'où la tangente et la cotangente ont un signe moins.

On passe à la propriété suivante du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente.

Propriété de périodicité

Nous allons maintenant analyser, peut-être, la propriété la plus évidente du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle. Il consiste en ce qui suit : lorsque l'angle est modifié d'un nombre entier de tours complets, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de cet angle ne changent pas.

Ceci est compréhensible: lorsque l'angle change d'un nombre entier de tours, nous obtiendrons toujours du point de départ A au point A1 sur le cercle unité, par conséquent, les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente restent inchangées, car les coordonnées du point A 1 restent inchangées.

En utilisant des formules, la propriété considérée du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente peut être écrite comme suit : sin (α + 2 z) = sinα, cos (α + 2 π z) = cosα, tg (α + 2 π z) = tgα, ctg (α + 2 z) = ctgα, où est l'angle de rotation en radians, z est quelconque, dont la valeur absolue indique le nombre de tours complets par lesquels l'angle α change, et le signe de le chiffre z indique le sens de rotation.

Si l'angle de rotation α est donné en degrés, alors ces formules seront réécrites comme sin (α + 360 ° z) = sinα, cos (α + 360 ° z) = cosα, tg (α + 360 ° z) = tgα , ctg (α + 360 ° z) = ctgα.

Voici quelques exemples d'utilisation de cette propriété. Par exemple, , car , une ... Voici un autre exemple : ou.

Cette propriété, associée aux formules de réduction, est très souvent utilisée lors du calcul des valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente des "grands" angles.

Les propriétés considérées du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente sont parfois appelées propriété de périodicité.

Propriétés des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles opposés

Soit А 1 le point obtenu par rotation du point initial А (1, 0) autour du point O d'un angle α, et le point А 2 est le résultat de la rotation du point А d'un angle −α, opposé à l'angle .

La propriété des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles opposés repose sur un fait assez évident : les points A1 et A2 mentionnés ci-dessus soit coïncident (en) soit sont situés symétriquement par rapport à l'axe Ox. Autrement dit, si le point A1 a des coordonnées (x, y), alors le point A2 aura des coordonnées (x, −y). De là, selon les définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente, on écrit les égalités et.
En les comparant, nous arrivons aux relations entre sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles opposés α et −α de la forme.
C'est la propriété considérée sous forme de formules.

Voici quelques exemples d'utilisation de cette propriété. Par exemple, les égalités sont vraies et .

Il ne reste plus qu'à noter que la propriété des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles opposés, comme la propriété précédente, est souvent utilisée lors du calcul des valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente, et permet de s'en sortir complètement sous des angles négatifs.

Bibliographie.

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Cercle trigonométrique. Cercle unité. Cercle de nombres. Ce que c'est?

Attention!
Il y a d'autres
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui sont "très égaux...")

Très souvent des termes cercle trigonométrique, cercle unitaire, cercle de nombres mal compris par la population étudiante. Et complètement en vain. Ces concepts sont des aides puissantes et polyvalentes dans tous les domaines de la trigonométrie. En fait, il s'agit d'une feuille de triche légale ! J'ai dessiné un cercle trigonométrique - et j'ai immédiatement vu les réponses ! Tentant? Alors apprenons, c'est un péché de ne pas utiliser une telle chose. De plus, ce n'est pas difficile du tout.

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vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Avant de passer à cette section, rappelons les définitions du sinus et du cosinus présentées dans le manuel de géométrie pour la 7e à la 9e année.

Sinus angle aigu t triangle rectangle est égal au rapport de la jambe opposée à l'hypoténuse (Fig. 1) :

Le cosinus d'un angle aigu t d'un triangle rectangle est égal au rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse (Fig. 1) :

Ces définitions se réfèrent à un triangle rectangle et sont des cas particuliers des définitions présentées dans cette section.

Placez le même triangle rectangle dans le cercle numérique (Fig. 2).

On voit que la jambe bégal à une certaine valeur oui sur l'axe Y (axe Y), la jambe uneégal à une certaine valeur X sur l'axe des X (abscisse). Et l'hypoténuse Avec est égal au rayon du cercle (R).

Ainsi, nos formules prennent un tout autre aspect.

Puisque b = oui, un = X, c = R, alors :

yx
sin t = -, cos t = -.
R R

À propos, alors, naturellement, les formules de la tangente et de la cotangente prennent une forme différente.

Puisque tg t = b / a, ctg t = a / b, alors d'autres équations sont également vraies :

tg t = oui/X,

ctg = X/oui.

Mais revenons au sinus et au cosinus. Nous avons affaire à un cercle numérique dont le rayon est 1. Par conséquent, il s'avère :

oui
sin t = - = oui,
1

X
cos t = - = X.
1

Nous arrivons donc au troisième, plus esprit simple formules trigonométriques.

Ces formules sont applicables non seulement à un angle aigu, mais aussi à tout autre angle (obtus ou développé).

Définitions et formulescart,péchét,tgt,ctgt.

Une autre formule découle des formules tangente et cotangente :

Équations de cercle de nombres.

Signes sinus, cosinus, tangente et cotangente en quarts de cercle :

	1er trimestre	2ème trimestre	3e trimestre	4ème trimestre

Cosinus et sinus des points fondamentaux du cercle des nombres :

Comment se souvenir des valeurs des cosinus et des sinus des points fondamentaux du cercle numérique.

Tout d'abord, vous devez savoir que dans chaque paire de nombres, les valeurs de cosinus sont les premières, les valeurs de sinus sont les secondes.

1) Attention : pour l'ensemble des points du cercle numérique, nous n'avons affaire qu'à cinq nombres (dans le module) :

1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2

Faites cette "découverte" par vous-même - et vous enlèverez la peur psychologique de l'abondance du nombre : il n'y en a en réalité que cinq.

2) Commençons par les entiers 0 et 1. Ils se situent uniquement sur les axes de coordonnées.

Pas besoin d'apprendre par cœur, où, par exemple, le cosinus dans le module en a un, et où est 0.

Aux extrémités de l'axe cosinus(axes X), bien sûr, cosinus sont égaux module 1 et les sinus sont 0.

Aux extrémités de l'axe sinus(axes à) les sinus sont égaux au module 1 et les cosinus sont 0.

Maintenant sur les signes. Zéro n'a aucun signe. Quant au 1 - ici, il vous suffit de vous rappeler la chose la plus simple : à partir du cours de 7e année, vous savez que sur l'axe Xà droite du centre du plan de coordonnées - nombres positifs, à gauche - négatifs; sur l'axe à les nombres positifs montent du centre, les nombres négatifs descendent. Et puis vous ne pouvez pas vous tromper avec le signe 1.

3) Passons maintenant aux valeurs fractionnaires.

Dans tous les dénominateurs de fractions - le même nombre 2. Nous ne nous tromperons plus sur ce qu'il faut écrire au dénominateur.

Au milieu des quarts, cosinus et sinus ont absolument la même valeur modulo : 2 / 2. Dans ce cas, ils sont accompagnés d'un signe plus ou moins - voir le tableau ci-dessus. Mais vous n'avez guère besoin d'une telle table : vous le savez depuis le même cours de 7e année.

Tous les plus proches de l'axe X les points ont exactement la même amplitude des valeurs cosinus et sinus : (√3 / 2; 1/2).

Les valeurs de tous les plus proches de l'axe à les points sont également absolument identiques en valeur absolue - de plus, ils ont les mêmes numéros, sauf qu'ils ont "interverti" leurs places : (1/2 ; √3 / 2).

Maintenant, à propos des signes - il y a une alternance intéressante ici (bien que, nous supposons, vous devriez facilement le comprendre avec des signes).

Si dans le premier quart les valeurs du cosinus et du sinus sont avec un signe plus, alors dans le diamétralement opposé (troisième) elles sont avec un signe moins.

S'il n'y a que des cosinus dans le deuxième quart avec un signe moins, alors dans le quart diamétralement opposé (quatrième), il n'y a que des sinus.

Il ne reste plus qu'à rappeler que dans chaque combinaison de valeurs de cosinus et de sinus, le premier nombre est la valeur de cosinus, le deuxième nombre est la valeur de sinus.

Faites attention à une autre régularité : le sinus et le cosinus de tous les points diamétralement opposés du cercle sont absolument égaux en grandeur. Prenons par exemple les points opposés π/3 et 4π/3 :

cos π / 3 = 1/2, sin π / 3 = √3 / 2
cos 4π / 3 = -1/2, sin 4π / 3 = -√3 / 2

Les valeurs des cosinus et des sinus de deux points opposés ne diffèrent que par le signe. Mais ici aussi, il y a un schéma : les sinus et cosinus de points diamétralement opposés ont toujours des signes opposés.

Il est important de savoir :

Les valeurs des cosinus et des sinus des points du cercle numérique augmentent ou diminuent séquentiellement dans un ordre strictement défini : de la plus petite valeur à la plus grande et vice versa (voir la section "Augmentation et diminution des fonctions trigonométriques" - cependant , il est facile de le vérifier en regardant simplement le cercle numérique ci-dessus).

Par ordre décroissant, on obtient l'alternance de valeurs suivante :

√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2

Ils poussent dans un ordre strictement inverse.

En comprenant ce modèle simple, vous apprendrez à déterminer assez facilement les valeurs du sinus et du cosinus.

La tangente et la cotangente des points de base du cercle des nombres.

Connaissant le cosinus et le sinus des points du cercle numérique, vous pouvez facilement calculer leur tangente et cotangente. Divisez le sinus par le cosinus - nous obtenons une tangente. Divisez le cosinus par le sinus - nous obtenons la cotangente. Les résultats de cette division sont présentés dans la figure.

REMARQUE : Dans certains tableaux, les valeurs de tangente et de cotangente égales au module √3 / 3 sont indiquées par 1 / √3. Il n'y a pas d'erreur ici, puisque ce sont des nombres équivalents. Si le numérateur et le dénominateur de 1 / √3 sont multipliés par √3, on obtient √3 / 3.

Comment se souvenir de la signification des tangentes et cotangentes des points principaux d'un cercle numérique.

Voici les mêmes schémas que pour les sinus et les cosinus. Et il n'y a que quatre nombres (dans le module) : 0, 3 / 3, 1, 3.

Aux extrémités des axes de coordonnées se trouvent des tirets et des zéros. Les tirets indiquent que la tangente ou la cotangente n'a pas de sens aux points donnés.

Comment se rappeler où sont les tirets et où sont les zéros ? La règle aidera.

La tangente est une attitude sinus au cosinus. Aux extrémités de l'axe sinus(axe à) la tangente n'existe pas.

La cotangente est une attitude cosinus au sinus. Aux extrémités de l'axe cosinus(axe X) la cotangente n'existe pas.

Au reste des points, seuls trois nombres alternent : 1, √3 et √3 / 3 avec des signes plus ou moins. Comment les traiter ? Rappelez-vous (ou mieux imaginez) trois circonstances :

1) les tangentes et cotangentes de tous les quartiers médians sont dans le module 1.

2) tangentes et cotangentes les plus proches de l'axe X les points ont √3 / 3 dans le module ; 3.

3) les tangentes et cotangentes des points les plus proches de l'axe des y ont √3 dans le module ; 3 / 3.

Ne vous méprenez pas sur les signes - et vous êtes un grand connaisseur.

Il sera utile de se rappeler comment la tangente et la cotangente augmentent et diminuent sur le cercle numérique (voir le cercle numérique ci-dessus ou la section "Fonctions trigonométriques croissantes et décroissantes"). Ensuite, l'ordre d'alternance des valeurs de tangente et de cotangente sera encore mieux compris.

Propriétés trigonométriques des nombres sur le cercle des nombres.

Imaginons qu'un certain point M ait une valeur de t.

Propriété 1:

péché (-t) = -péché t

cos (-t) = coût t

tg (-t) = -tg t

ctg (-t) = -ctg t

Explication. Soit t = –60º et t = –210º.

cos –60º est égal à 1/2. Mais cos 60º est aussi 1/2. C'est-à-dire que les cosinus –60º et 60º sont égaux à la fois en grandeur et en signe : cos –60º = cos 60º.

cos –210º est égal à –√3 / 2. Mais cos 210º est aussi –√3/2. C'est-à-dire : cos –210º = cos 210º.

cos (-t) =cart.

sin –60º est égal à –√3 / 2. Et sin 60º est égal à 3 / 2. C'est-à-dire que sin –60º et sin 60º sont égaux en grandeur, mais opposés en signe.

sin –210º est 1/2. Et sin 210º est égal à –1/2. C'est-à-dire que sin –210º et sin 210º sont égaux en grandeur, mais opposés en signe.

Ainsi, nous avons prouvé que péché (-t) = -péchét.

Voyez ce qui arrive aux tangentes et cotangentes de ces angles - et vous-même pourrez facilement vous prouver la validité des deux autres identités données dans le tableau.

Conclusion : le cosinus est une fonction paire, le sinus, la tangente et la cotangente sont des fonctions impaires.

Propriété 2: Puisque t = t + 2π k, ensuite:

péché (t + 2πk ) = sin t

cos (t + 2πk ) = coût t

Explication : t et t + 2π k C'est le même point sur le cercle des nombres. Juste dans le cas de 2π k on fait un certain nombre de tours complets autour du cercle avant d'arriver au point t. Cela signifie que les égalités énoncées dans ce tableau sont évidentes.

Propriété 3: Si deux points du cercle sont opposés par rapport au centre O, alors leurs sinus et cosinus sont égaux en amplitude, mais opposés en signe, et leurs tangentes et cotangentes sont les mêmes en amplitude et en signe.

péché (t + π) = – péché t

cos (t +) = – Coût

tg (t +) = tg t

ctg (t +) = ctg t

Explication : Soit le point M dans le premier quartier. Elle a valeur positive sinus et cosinus. Dessinons un diamètre à partir de ce point, c'est-à-dire un segment passant par le centre de l'axe des coordonnées et se terminant au point du cercle opposé. Désignons ce point par la lettre N. Comme vous pouvez le voir, l'arc MN est égal à la moitié du cercle. Vous savez déjà qu'un demi-cercle est . Cela signifie que le point N est à une distance π du point M. Autrement dit, si on additionne la distance π au point M, alors on obtient le point N situé en face. Elle est au troisième quart. Vérifiez et voyez : le cosinus et le sinus du point N - avec un signe moins ( X et oui ont des valeurs négatives).

La tangente et la cotangente du point M sont positives. Qu'en est-il de la tangente et de la cotangente du point N ? La réponse est simple : après tout, la tangente et la cotangente sont le rapport du sinus et du cosinus. Dans notre exemple, le sinus et le cosinus du point N - avec un signe moins. Veux dire:

–Sin t
tg (t + π) = ---- = tg t
-Coût

-Coût
ctg (t + π) = ---- = ctg t
–Sin t

Nous avons prouvé que la tangente et la cotangente des points diamétralement opposés d'un cercle ont non seulement la même signification, mais aussi le même signe.

Propriété 4: Si deux points du cercle sont situés dans des quartiers adjacents et que la distance entre les points est égale à un quart du cercle, le sinus d'un point est égal au cosinus d'un autre de même signe et le cosinus d'un point est égal au sinus du second de signe opposé.

π péché (t + -) = coût t 2

π cos (t + -) =–Sin t 2

Centré au point UNE.
α est l'angle exprimé en radians.

Définition
Sine (sin α)- ce fonction trigonométrique fonction de l'angle α entre l'hypoténuse et la jambe d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la jambe opposée | BC | à la longueur de l'hypoténuse | AC |.

Cosinus (cos α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB | à la longueur de l'hypoténuse | AC |.

Désignations acceptées

;
;
.

;
;
.

Graphique de la fonction sinus, y = sin x

Graphique de la fonction cosinus, y = cos x

Propriétés sinus et cosinus

Périodicité

Fonctions y = péché x et y = cos x périodique avec un point 2.

Parité

La fonction sinus est impaire. La fonction cosinus est paire.

Plage de définition et de valeurs, extrema, augmentation, diminution

Les fonctions sinus et cosinus sont continues dans leur domaine de définition, c'est-à-dire pour tout x (voir la preuve de continuité). Leurs principales propriétés sont présentées dans le tableau (n est un nombre entier).

	y = péché x	y = cos x
Domaine de définition et continuité	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Plage de valeurs	-1 y 1	-1 y 1
Ascendant
Descendant
Maxima, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Zéros, y = 0
Points d'intersection avec l'axe des y, x = 0	y = 0	y = 1

Formules de base

Somme des carrés du sinus et du cosinus

Formules sinus et cosinus pour la somme et la différence

;
;

Formules pour le produit des sinus et des cosinus

Formules de somme et de différence

Expression du sinus en termes de cosinus

;
;
;
.

Expression du cosinus en termes de sinus

;
;
;
.

Expression tangente

; .

Car, nous avons :
; .

À :
; .

Table des sinus et cosinus, tangentes et cotangentes

Ce tableau montre les valeurs des sinus et cosinus pour certaines valeurs de l'argument.

Expressions utilisant des variables complexes

;

la formule d'Euler

Expressions en termes de fonctions hyperboliques

;
;

Dérivés

; ... Dérivation des formules>>>

Dérivées du nième ordre :
{ -∞ < x < +∞ }

Sécante, cosécante

Fonctions inverses

Fonctions inverses au sinus et au cosinus sont respectivement le sinus inverse et le cosinus inverse.

Arcsin, arcsin

Arccosinus, arccos

Les références:
DANS. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuel de mathématiques pour les ingénieurs et les étudiants des établissements techniques, "Lan", 2009.