Exemples de solutions Tfkp. Théorie des fonctions d'une variable complexe

Fonctions d'une variable complexe.
Différenciation des fonctions d'une variable complexe.

Cet article ouvre une série de leçons dans lesquelles je considérerai des problèmes typiques liés à la théorie des fonctions d'une variable complexe. Pour réussir à maîtriser les exemples, vous devez avoir notions de base sur les nombres complexes. Afin de consolider et de répéter le matériel, il suffit de visiter la page. Vous aurez également besoin de compétences pour trouver dérivées partielles du second ordre. Les voici, ces dérivées partielles ... même maintenant, j'étais un peu surpris de la fréquence à laquelle elles se produisent ...

Le sujet que nous commençons à analyser n'est pas particulièrement difficile, et dans les fonctions d'une variable complexe, en principe, tout est clair et accessible. L'essentiel est de respecter la règle de base, que j'ai dérivée empiriquement. Continuer à lire!

Le concept de fonction d'une variable complexe

Tout d'abord, rafraîchissons nos connaissances sur la fonction scolaire d'une variable :

Fonction d'une variable est une règle selon laquelle chaque valeur de la variable indépendante (du domaine de définition) correspond à une et une seule valeur de la fonction . Naturellement, "x" et "y" sont des nombres réels.

Dans le cas complexe, la dépendance fonctionnelle est donnée de manière similaire :

Fonction à valeur unique d'une variable complexe est la règle que tout le monde intégré la valeur de la variable indépendante (du domaine) correspond à une et une seule complet valeur de la fonction. En théorie, les fonctions multivaluées et certains autres types de fonctions sont également pris en compte, mais pour plus de simplicité, je me concentrerai sur une définition.

Quelle est la fonction d'une variable complexe ?

La principale différence est que les nombres sont complexes. Je ne suis pas ironique. De telles questions tombent souvent dans la stupeur, à la fin de l'article, je raconterai une histoire sympa. Sur la leçon Les nombres complexes pour les nuls nous avons considéré un nombre complexe sous la forme . Depuis, la lettre "Z" est devenue variable, alors on le notera comme suit : , tandis que "x" et "y" peuvent prendre des valide valeurs. Grosso modo, la fonction d'une variable complexe dépend des variables et , qui prennent des valeurs « usuelles ». Le point suivant découle logiquement de ce fait :

La fonction d'une variable complexe peut s'écrire :
, où et sont deux fonctions de deux valide variables.

La fonction s'appelle partie réelle les fonctions .
La fonction s'appelle partie imaginaire les fonctions .

Autrement dit, la fonction d'une variable complexe dépend de deux fonctions réelles et . Pour enfin tout clarifier, regardons des exemples pratiques :

Exemple 1

La solution: La variable indépendante "z", comme vous vous en souvenez, s'écrit donc :

(1) Remplacé dans la fonction d'origine.

(2) Pour le premier terme, la formule de multiplication abrégée a été utilisée. Dans le terme, les crochets ont été ouverts.

(3) Soigneusement quadrillé, sans oublier que

(4) Réarrangement des termes : premiers termes de réécriture , dans lequel il n'y a pas d'unité imaginaire(premier groupe), puis les termes, là où il y a (deuxième groupe). Il est à noter qu'il n'est pas nécessaire de mélanger les termes, et cette étape peut être sautée (en fait, en l'exécutant oralement).

(5) Le deuxième groupe est sorti de parenthèses.

En conséquence, notre fonction s'est avérée être représentée sous la forme

Réponse:
est la partie réelle de la fonction.
est la partie imaginaire de la fonction .

Quelles sont ces fonctions ? Les fonctions les plus ordinaires de deux variables, à partir desquelles on peut trouver des fonctions si populaires dérivées partielles. Sans pitié - nous trouverons. Mais un peu plus tard.

En bref, l'algorithme du problème résolu peut être écrit comme suit: nous substituons à la fonction d'origine, effectuons des simplifications et divisons tous les termes en deux groupes - sans unité imaginaire (partie réelle) et avec une unité imaginaire (partie imaginaire).

Exemple 2

Trouver la partie réelle et imaginaire d'une fonction

Ceci est un exemple pour solution indépendante. Avant de vous lancer dans la bataille sur le plan complexe avec des brouillons, laissez-moi vous donner le plus conseil important sur ce sujet:

FAIRE ATTENTION! Il faut être prudent, bien sûr, partout, mais dans les nombres complexes, il faut être plus prudent que jamais ! N'oubliez pas que, développez soigneusement les crochets, ne perdez rien. Selon mes observations, l'erreur la plus courante est la perte de signe. Ne te presse pas!

Solution complète et la réponse à la fin de la leçon.

Cube maintenant. En utilisant la formule de multiplication abrégée, nous obtenons :
.

Les formules sont très pratiques à utiliser dans la pratique, car elles accélèrent considérablement le processus de résolution.

Différenciation des fonctions d'une variable complexe.

J'ai deux nouvelles : une bonne et une mauvaise. Je vais commencer par un bon. Pour une fonction d'une variable complexe, les règles de différenciation et le tableau des dérivées des fonctions élémentaires sont valables. Ainsi, la dérivée est prise exactement de la même manière que dans le cas d'une fonction d'une variable réelle.

La mauvaise nouvelle est que pour de nombreuses fonctions d'une variable complexe, il n'y a pas de dérivée du tout, et vous devez comprendre est différentiable une fonction ou une autre. Et « comprendre » ce que ressent votre cœur est associé à des problèmes supplémentaires.

Considérons une fonction d'une variable complexe. Pour que cette fonction soit différentiable, il faut et il suffit que :

1) Pour qu'il y ait des dérivées partielles du premier ordre. Oubliez tout de suite ces notations, car dans la théorie de la fonction d'une variable complexe, une autre version de la notation est traditionnellement utilisée : .

2) Pour effectuer le soi-disant Conditions de Cauchy-Riemann:

Ce n'est que dans ce cas que la dérivée existera !

Exemple 3

La solution décomposé en trois étapes successives :

1) Trouvez les parties réelles et imaginaires de la fonction. Cette tâche a été analysée dans les exemples précédents, je vais donc l'écrire sans commentaire :

Depuis:

De cette façon:

est la partie imaginaire de la fonction .

Je vais m'attarder sur un autre point technique : dans quel ordreécrire des termes en parties réelles et imaginaires ? Oui, au fond, ça n'a pas d'importance. Par exemple, la partie réelle peut s'écrire ainsi : , et imaginaire - comme ceci : .

2) Vérifions la satisfaction des conditions de Cauchy-Riemann. Il y a deux d'entre eux.

Commençons par vérifier l'état. Nous trouvons dérivées partielles:

Ainsi, la condition est remplie.

Sans aucun doute, la bonne nouvelle est que les dérivées partielles sont presque toujours très simples.

Nous vérifions la satisfaction de la deuxième condition :

Il s'est avéré la même chose, mais avec des signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également remplie.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, donc la fonction est différentiable.

3) Trouvez la dérivée de la fonction. La dérivée est également très simple et se trouve selon les règles habituelles :

L'unité imaginaire en différenciation est considérée comme une constante.

Réponse: - partie réelle est la partie imaginaire.
Les conditions de Cauchy-Riemann sont remplies, .

Il existe deux autres façons de trouver la dérivée, elles sont bien sûr utilisées moins souvent, mais les informations seront utiles pour comprendre la deuxième leçon - Comment trouver la fonction d'une variable complexe ?

La dérivée peut être trouvée à l'aide de la formule :

Dans ce cas:

De cette façon

Il est nécessaire de résoudre le problème inverse - dans l'expression résultante, vous devez isoler . Pour ce faire, il faut en termes et sortir entre parenthèses :

action inverse, comme beaucoup l'ont remarqué, il est un peu plus difficile à réaliser, pour la vérification, il est toujours préférable de prendre une expression et sur un brouillon ou d'ouvrir verbalement les crochets, en s'assurant qu'il se révélera exactement

Formule miroir pour trouver la dérivée :

Dans ce cas: , c'est pourquoi:

Exemple 4

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Si les conditions de Cauchy-Riemann sont remplies, trouvez la dérivée de la fonction.

Une solution courte et un exemple approximatif de finition à la fin de la leçon.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont-elles toujours satisfaites ? Théoriquement, ils sont plus souvent insatisfaits qu'ils ne le sont. Mais dans des exemples pratiques, je ne me souviens pas d'un cas où ils n'ont pas été exécutés =) Ainsi, si vos dérivées partielles "n'ont pas convergé", alors avec une très forte probabilité, nous pouvons dire que vous avez fait une erreur quelque part.

Compliquons nos fonctions :

Exemple 5

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Calculer

La solution: L'algorithme de résolution est complètement conservé, mais à la fin une nouvelle mode est ajoutée : trouver la dérivée en un point. Pour le cube, la formule requise a déjà été dérivée :

Définissons les parties réelles et imaginaires de cette fonction :

Attention et encore attention !

Depuis:


De cette façon:
est la partie réelle de la fonction ;
est la partie imaginaire de la fonction .

Vérification de la deuxième condition :

Il s'est avéré la même chose, mais avec des signes opposés, c'est-à-dire que la condition est également remplie.

Les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites, donc la fonction est différentiable :

Calculez la valeur de la dérivée au point requis :

Réponse:, , les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites,

Les fonctions avec des cubes sont courantes, donc un exemple à consolider :

Exemple 6

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Calculez.

Décision et exemple de finition à la fin de la leçon.

Dans la théorie de l'analyse complexe, d'autres fonctions d'un argument complexe sont également définies : exponentielle, sinus, cosinus, etc. Ces fonctions ont des propriétés inhabituelles voire bizarres - et c'est vraiment intéressant ! Je veux vraiment vous dire, mais ici, c'est arrivé, pas un livre de référence ou un manuel, mais une solution, donc je vais considérer la même tâche avec quelques fonctions communes.

Tout d'abord sur le soi-disant Formules d'Euler:

Pour tout le monde valide nombres, les formules suivantes sont valides :

Vous pouvez également le copier dans votre cahier comme référence.

À proprement parler, il n'y a qu'une seule formule, mais généralement, par commodité, ils écrivent également cas particulier avec un indicateur moins. Le paramètre ne doit pas être une seule lettre, il peut être expression complexe, fonction, il est seulement important qu'ils acceptent seulement valide valeurs. En fait, nous allons le voir tout de suite :

Exemple 7

Trouver la dérivée.

La solution: La ligne générale du parti reste inébranlable - il faut distinguer les parties réelles et imaginaires de la fonction. Je vais donner une solution détaillée et commenter chaque étape ci-dessous :

Depuis:

(1) Remplacer "z".

(2) Après substitution, il faut séparer les parties réelles et imaginaires premier en exposant exposants. Pour ce faire, ouvrez les crochets.

(3) Nous regroupons la partie imaginaire de l'indicateur, en mettant l'unité imaginaire entre parenthèses.

(4) Utiliser l'action de l'école avec des pouvoirs.

(5) Pour le multiplicateur, nous utilisons la formule d'Euler , tandis que .

(6) Nous ouvrons les parenthèses, en conséquence :

est la partie réelle de la fonction ;
est la partie imaginaire de la fonction .

D'autres actions sont standard, vérifions le respect des conditions de Cauchy-Riemann :

Exemple 9

Déterminer les parties réelles et imaginaires d'une fonction . Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann. Qu'il en soit ainsi, nous ne trouverons pas la dérivée.

La solution: L'algorithme de résolution est très similaire aux deux exemples précédents, mais il y a très les points importants, c'est pourquoi Première étape Je vais commenter à nouveau étape par étape:

Depuis:

1) Nous substituons au lieu de "z".

(2) Tout d'abord, sélectionnez les parties réelles et imaginaires à l'intérieur des sinus. Pour cela, ouvrez les crochets.

(3) Nous utilisons la formule , tandis que .

(4) Utilisation parité du cosinus hyperbolique: et bizarrerie du sinus hyperbolique: . Les hyperboliques, bien qu'elles ne soient pas de ce monde, ressemblent à bien des égards à des fonctions trigonométriques similaires.

Finalement:
est la partie réelle de la fonction ;
est la partie imaginaire de la fonction .

Attention! Le signe moins fait référence à la partie imaginaire, et en aucun cas il ne faut la perdre ! Pour une illustration visuelle, le résultat obtenu ci-dessus peut être réécrit comme suit :

Vérifions le respect des conditions de Cauchy-Riemann :

Les conditions de Cauchy-Riemann sont remplies.

Réponse:, , les conditions de Cauchy-Riemann sont satisfaites.

Avec cosinus, mesdames et messieurs, nous comprenons par nous-mêmes :

Exemple 10

Déterminez les parties réelles et imaginaires de la fonction. Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann.

J'ai délibérément choisi des exemples plus compliqués, car tout le monde peut gérer quelque chose comme des cacahuètes pelées. En même temps, entraînez votre attention ! Casse-Noisette à la fin de la leçon.

Eh bien, en conclusion, je vais considérer un autre exemple intéressant lorsque l'argument complexe est au dénominateur. Nous nous sommes rencontrés plusieurs fois à l'entraînement, analysons quelque chose de simple. Ah, je vieillis...

Exemple 11

Déterminez les parties réelles et imaginaires de la fonction. Vérifier le respect des conditions de Cauchy-Riemann.

La solution: Encore une fois, il est nécessaire de séparer les parties réelles et imaginaires de la fonction.
Si donc

La question se pose, que faire lorsque "Z" est au dénominateur ?

Tout est simple - la norme aidera méthode de multiplication du numérateur et du dénominateur par l'expression conjuguée, il a déjà été utilisé dans les exemples de la leçon Les nombres complexes pour les nuls. Rappelons la formule scolaire. Au dénominateur nous avons déjà , donc l'expression conjuguée sera . Ainsi, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par :

Agence fédérale pour l'éducation

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Université Electrotechnique "LETI"

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Théorie des fonctions d'une variable complexe

Des lignes directrices

aux exercices pratiques

en mathématiques supérieures

Saint-Pétersbourg

Maison d'édition de l'Université électrotechnique de Saint-Pétersbourg "LETI"

CDU 512.64(07)

TFKP : Directives pour résoudre les problèmes / comp. : V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N. Sosnovsky. Saint-Pétersbourg : Maison d'édition de Saint-Pétersbourg.

Approuvé

conseil éditorial et éditorial de l'université

comme des lignes directrices

© Université électrotechnique de Saint-Pétersbourg "LETI", 2010

Les fonctions de la variable complexe ,, dans le cas général diffèrent des applications du plan réel
en soi seule forme d'enregistrement. Un objet important et extrêmement utile est la classe d'une fonction d'une variable complexe,

ayant la même dérivée que les fonctions d'une variable. On sait que les fonctions de plusieurs variables peuvent avoir des dérivées partielles et directionnelles, mais, en règle générale, les dérivées dans différentes directions ne coïncident pas, et il n'est pas possible de parler d'une dérivée en un point. Cependant, pour les fonctions d'une variable complexe, il est possible de décrire les conditions sous lesquelles elles admettent la différenciation. L'étude des propriétés des fonctions différentiables d'une variable complexe fait l'objet de lignes directrices. Les instructions visent à démontrer comment les propriétés de ces fonctions peuvent être utilisées pour résoudre divers problèmes. Une maîtrise réussie du matériel présenté est impossible sans des compétences élémentaires en informatique avec des nombres complexes et une familiarité avec les objets géométriques les plus simples définis en termes d'inégalités reliant les parties réelles et imaginaires d'un nombre complexe, ainsi que son module et son argument. Un résumé de toutes les informations nécessaires à cet effet se trouve dans les lignes directrices.

L'appareil standard de l'analyse mathématique : limites, dérivées, intégrales, séries est largement utilisé dans le texte des lignes directrices. Lorsque ces concepts ont leurs propres spécificités, par rapport aux fonctions d'une variable, des explications appropriées sont données, mais dans la plupart des cas, il suffit de séparer les parties réelles et imaginaires et de leur appliquer l'appareil standard d'analyse réelle.

1. Fonctions élémentaires d'une variable complexe

Il est naturel de commencer la discussion des conditions de différentiabilité pour les fonctions d'une variable complexe en clarifiant quelles fonctions élémentaires ont cette propriété. De la relation évidente

La dérivabilité de tout polynôme suit. Et, puisque la série entière peut être différenciée terme à terme à l'intérieur du cercle de sa convergence,

alors toute fonction est différentiable en des points autour desquels elle peut être développée en une série de Taylor. C'est une condition suffisante, mais, comme on le verra bientôt, c'est aussi une condition nécessaire. Il est commode d'appuyer l'étude des fonctions d'une variable par dérivée en contrôlant le comportement du graphe de la fonction. Pour les fonctions d'une variable complexe, ce n'est pas possible. Les points du graphe sont situés dans un espace de dimension 4, .

Néanmoins, une certaine représentation graphique de la fonction peut être obtenue en considérant les images d'ensembles suffisamment simples du plan complexe
survenant sous l'influence d'une fonction donnée. Considérons par exemple, de ce point de vue, quelques fonctions simples.

Fonction linéaire

Cette fonction simple est très importante, car toute fonction différentiable est localement similaire à une fonction linéaire. Considérez l'action de la fonction avec un maximum de détails

ici
-- module des nombres complexes et est son argument. Ainsi, la fonction linéaire effectue l'étirement, la rotation et le cisaillement. Par conséquent, un mappage linéaire mappe n'importe quel ensemble à un ensemble similaire. En particulier, sous l'influence d'une cartographie linéaire, les lignes se transforment en lignes et les cercles en cercles.

Fonction

Cette fonction est la suivante en complexité après la fonction linéaire. Il est difficile de s'attendre à ce qu'il prenne n'importe quelle ligne vers une ligne et un cercle vers un cercle, des exemples simples montrent que cela ne se produit pas, néanmoins, on peut montrer que cette fonction prend l'ensemble de toutes les lignes et cercles en elle-même . Pour vérifier cela, il convient de passer à la description réelle (coordonnée) du mappage

La preuve nécessite une description de l'application inverse

Considérez l'équation si
, on obtient alors l'équation générale d'une droite. Si un
, alors

Par conséquent, à
l'équation d'un cercle arbitraire est obtenue.

Notez que si
et
, alors le cercle passe par l'origine. Si
et
, on obtient alors une droite passant par l'origine.

Sous l'action de l'inversion, l'équation considérée va se réécrire sous la forme

, (
)

ou . On peut voir qu'il s'agit également d'une équation décrivant soit des cercles, soit des droites. Le fait que dans l'équation les coefficients et
swapped signifie que lors de l'inversion, les lignes passant par 0 se transformeront en cercles et les cercles passant par 0 se transformeront en lignes.

Fonctions de puissance

La principale différence entre ces fonctions et celles considérées précédemment est qu'elles ne sont pas univoques (
). On peut dire que la fonction
fait correspondre le plan complexe à deux instances du même plan. Un examen attentif de ce sujet nécessite l'utilisation de l'appareil encombrant des surfaces de Riemann et dépasse le cadre des questions examinées ici. Il est important de comprendre que le plan complexe peut être divisé en secteurs, dont chacun est mappé un à un sur le plan complexe. Ceci est la répartition de la fonction
ressemble à ceci, Par exemple, le demi-plan supérieur est mappé un à un sur le plan complexe par la fonction
. Les distorsions géométriques pour de telles images sont plus difficiles à décrire que dans le cas de l'inversion. En guise d'exercice, vous pouvez tracer à quoi va la grille de coordonnées rectangulaires du demi-plan supérieur lorsqu'elle est affichée

On peut voir que la grille de coordonnées rectangulaires se transforme en une famille de paraboles formant un système de coordonnées curvilignes dans le plan
. La partition du plan décrite ci-dessus est telle que la fonction
affiche chacun des secteurs sur tout le plan. La description du mappage avant et arrière ressemble à ceci

Donc la fonction
Il a diverses fonctions inverses,

donnée dans différents secteurs de l'avion

Dans de tels cas, le mappage est dit multifeuille.

Fonction Joukovski

La fonction a son propre nom, car elle a constitué la base de la théorie de l'aile d'avion, créée par Joukovski (une description de cette conception peut être trouvée dans le livre). La fonction a un certain nombre de propriétés intéressantes, concentrons-nous sur l'une d'entre elles - découvrez sur quels ensembles cette fonction agit de manière individuelle. Considérez l'égalité

, où
.

Par conséquent, la fonction Joukovski est biunivoque dans tout domaine dans lequel, pour tout et leur produit n'est pas égal à l'unité. Ce sont, par exemple, le cercle unitaire ouvert
et le complément du cercle unitaire fermé
.

Considérons l'action de la fonction Joukovski sur le cercle , puis

En séparant les parties réelles et imaginaires, on obtient l'équation paramétrique de l'ellipse

,
.

Si un
, alors ces ellipses remplissent tout le plan. De même, on vérifie que les images des segments sont des hyperboles

.

Fonction exponentielle

La fonction peut être développée dans une série de puissances, qui converge absolument dans tout le plan complexe, donc elle est différentiable partout. Décrivons les ensembles sur lesquels la fonction est biunivoque. Égalité évidente
montre que le plan peut être divisé en une famille de bandes, dont chacune est mappée un à un par la fonction sur l'ensemble du plan complexe. Cette partition est essentielle pour comprendre le fonctionnement de la fonction inverse, plus précisément fonctions inverses. Sur chacune des bandes, la carte inverse est naturellement définie

La fonction inverse est également multivalente dans ce cas, et le nombre de fonctions inverses est infini.

La description géométrique du mapping est assez simple : lignes droites
transformer en poutres
, segments

tourner en rond
.

Conférence numéro 4.

Géométriquement une fonction d'une variable complexe w=f(z) définit un mappage d'un ensemble z– des avions sur un plateau w-avion. Point wÎ g appelé façon points z lorsqu'il est affiché w=f(z), point zÎ ré – prototype points w.

Si tout le monde z correspond à une seule valeur w=f(z), alors la fonction est appelée non ambigu (w=|z|,w=,w= Concernant z etc.) Si certains z correspond à plus d'une valeur w, la fonction est appelée ambiguë (w= Arg z).

Si (c'est-à-dire en divers points de la région ré la fonction prend diverses significations), alors la fonction w=F(z) est appelé univalent dans la région de ré.

Autrement dit, la fonction univalente w=F(z) one-to-one cartographie la zone ré sur le g. Pour un seul affichage w=F(z) préimage de tout point wÎ g est constitué d'un seul élément : : . C'est pourquoi z peut être vu comme une fonction d'une variable w défini sur g. Il est marqué et appelé fonction inverse .

Si dans la région ré il y a au moins une paire de points , alors la fonction F(z) sont appelés à plusieurs feuilles dans la région de ré.

Si l'affichage w=F(z) est multivalent sur ré(par exemple, w=z n), alors dans ce cas quelques valeurs wÎ g correspond à plus d'un point zÎ ré:F(z)=w. Par conséquent, le mappage inverse n'est pas à valeur unique, c'est une fonction à valeurs multiples.

Univalué sur le domaine ré fonction w=F(z) est appelé branche de fonction multivaluée F si valeur Fà tout moment zÎ ré correspond à l'une des valeurs FÀ ce point.

Pour sélectionner les branches monovaluées d'une fonction multivaluée, procédez comme suit : ré sont divisés en domaines d'univalence de la fonction w=F(z) afin que deux des régions n'aient pas de points intérieurs communs et que chaque point zÎ ré appartenaient à l'une de ces régions ou à la frontière de certaines d'entre elles. Dans chacune de ces régions d'univalence, une fonction est définie qui est inverse de w=F(z). C'est la branche à valeur unique de la fonction à valeurs multiples.

Le concept de cartographie conforme

Exemple. Trouver le facteur d'étirement et l'angle de rotation en un point z=2je lorsqu'il est affiché.

■ Trouver la dérivée et sa valeur en un point donné .

Rapport d'étirement kégal au module de la dérivée : .

Angle de rotation j est égal à l'argument de la dérivée. Le point se situe donc dans le quatrième quadrant, . ■

Exemple 3.5. Déterminer quelle partie de l'avion lorsqu'il est affiché w=z 2 est étiré et lequel est comprimé.

■ Trouver la dérivée w¢=2 z. Facteur d'étirement à tout moment zéquivaut à k=|w¢( z)|=2|z|. L'ensemble des points du plan complexe pour lesquels k>1, soit 2| z|>1 ou , fait partie du plan, qui est étiré lors de l'affichage. Par conséquent, lorsqu'il est affiché w=z 2 l'apparence du cercle est étirée, et partie intérieure- rétrécit. ■

Affichage w=F(z) est appelé conforme (c'est-à-dire, conserve sa forme) en un point s'il conserve les angles entre les courbes et a la propriété d'expansion constante du voisinage du point.

Toute cartographie établie par une fonction analytique F(z) est conforme en tout point où .

L'affichage s'appelle conforme dans le domaine , s'il est conforme en tout point de cette région.

Une application conforme dans laquelle la direction des angles de comptage est conservée est appelée cartographie conforme du genre Ι . Une application conforme dans laquelle la direction des angles de comptage est inversée est appelée application conforme ΙΙ du genre (par exemple, ).

Dans la théorie et la pratique des applications conformes, deux problèmes sont posés et résolus.

La première tâche consiste à trouver l'image d'une ligne ou d'une zone donnée sous une cartographie donnée - tâche directe .

La seconde consiste à trouver une fonction qui mappe une ligne ou une zone donnée à une autre ligne ou zone donnée - problème inverse .

Lors de la résolution du problème direct, il est pris en compte que l'image du point z 0 lorsqu'il est affiché w=F(z) est le point w 0 , tel que w 0 =F(z 0), c'est-à-dire le résultat de la substitution z 0 dans F(z). Par conséquent, pour trouver l'image de l'ensemble, il est nécessaire de résoudre un système composé de deux relations. L'un d'eux définit une fonction de mappage w=F(z), l'autre est l'équation de la droite, si l'on résout le problème de trouver l'image de la droite, ou l'inégalité qui détermine l'ensemble des points de la préimage, si l'on résout le problème de l'affichage des zones. Dans les deux cas, la procédure de résolution est réduite à l'exclusion de la variable zà partir de deux rapports donnés.

Règle 3.3. Pour trouver l'image de la droite donnée par l'équation F(X,y)=0 (ou explicitement y=j(X)), lorsqu'il est affiché w=F(z) nécessaire:

1. Sélectionnez les parties réelles et imaginaires de la fonction F(z): tu=Re F(z), v=Je suis F(z).

2. Exclure du système X et y. La relation résultante est l'équation de l'image de la ligne donnée.

Règle 3.4. Pour trouver l'image d'une ligne donnée lors de l'affichage w=F(z) nécessaire:

1. Écrivez l'équation de droite sous forme paramétrique z=z(t) ou sous forme complexe .

2. Selon le type d'équation de droite, considérons le cas correspondant :

Si la ligne est donnée sous forme paramétrique, substituez l'expression z(t) dans w=F(z);

Si la ligne est donnée sous forme complexe, alors exprimez z de w=F(z), c'est-à-dire , et . Ensuite, vous devez remplacer z et dans l'équation de droite. La relation résultante est l'équation de l'image de la ligne donnée.

Règle 3.5. Pour trouver l'image d'une zone donnée, l'une des deux méthodes doit être utilisée.

Première voie.

1. Écrivez l'équation de la limite de la zone donnée. Trouvez l'image de la limite de la zone donnée selon les règles 3.3 ou 3.4.

2. Choisissez un point intérieur arbitraire de la zone donnée et trouvez son image sous le mappage donné. La zone à laquelle appartient le point obtenu est l'image souhaitée de la zone donnée.

La deuxième façon.

1. Express z du rapport w=F(z).

2. Remplacez le reçu dans l'article 1. une expression en une inégalité qui définit une aire donnée. Le rapport résultant est l'image souhaitée.

Exemple. Trouver l'image d'un cercle | z|=1 lors de l'affichage avec une fonction w=z 2 .

■ 1 voie(selon la règle 3.3).

1. Laissez z=x+iy, w=u+iv. Alors u+iv =X 2 -y 2 +je 2xy. On a:

2. Exclure X et àà partir de ces équations. Pour ce faire, nous élevons au carré les première et deuxième équations et ajoutons :

tu 2 +v 2 =X 4 -2X 2 y 2 +y 4 +2X 2 y 2 =X 4 +2X 2 y 2 +y 4 =(X 2 +y 2) 2 .

En tenant compte de la troisième équation du système, on obtient : tu 2 +v 2=1 ou | w| 2 =1, c'est-à-dire | w|=1. Ainsi, l'image du cercle | z|=1 est un cercle | w|=1, parcouru deux fois. Cela découle du fait que depuis w=z 2 , puis Arg w=2Arg z+2paquet. Alors quand le point z décrit un cercle complet | z|=1, alors son image décrit un cercle | w|=1 deux fois.

2 voies(selon la règle 3.4).

1. Écrivez l'équation cercle unitaire sous forme paramétrique : z=e ça (0£ t 2 £ p).

2. Remplaçant z=e ça en rapport w=z 2: w=e je 2 t=cos2 t+je péché2 t. Par conséquent, | w| 2 = cos 2 2 t+péché 2 2 t=1, c'est-à-dire | w|=1 – équation d'image. ■

Exemple. Trouver l'équation de l'image d'une droite y=x lorsqu'il est affiché w=z 3 .

■ La courbe étant donnée explicitement, la règle 3.3 s'applique.

1. w=z 3 =(X+moi) 3 =X 3 +3X 2 moi+3X(moi) 2 +(moi) 3 =X 3 - 3xy 2 +je(3X 2 a-a 3).

Moyens,

2. Substitut dans le système résultant y=x: À l'exclusion Xà partir de ces équations, on obtient v=-u.

Ainsi, la voie de la bissectrice des angles de coordonnées I et III du système oh est la bissectrice des angles de coordonnées II et IV du système uOv. ■

1. Fonction linéaire

Fonction linéaire est appelée une fonction de la forme

w=az+b, (4.1)

où un, b sont des constantes complexes.

Cette fonction est définie . Donc, si , alors fonction linéaire produit une application conforme de tout le plan de la variable complexe. Dans ce cas, les tangentes à toutes les courbes sont tournées du même angle Arg un, et l'étirement en tout point est égal à . Si un un= 1, puis , ce qui signifie qu'il n'y a ni étirement ni rotation. Dans ce cas, on obtient w=z+b. Ce mapping effectue un décalage de tout le plan par le vecteur .

Dans le cas général, en passant à la forme exponentielle d'écriture d'un nombre complexe , on obtient . Par conséquent, la cartographie linéaire est une composition de trois transformations géométriques :

w 1 =rz- similarité avec coefficient r=|un|;

w 2 =e je j w 1 =rze je j- virage d'angle j=argument un autour du point O;

w=w 2 +b=re je j z+b- transfert parallèle au vecteur .

Par conséquent, la cartographie w=az+b modifie les dimensions linéaires de n'importe quelle figure plane dans | un| fois, fait pivoter cette figure d'un angle j=argument un autour de l'origine et le décale dans la direction du vecteur de sa valeur.

Le mappage linéaire a une propriété circulaire, c'est-à-dire qu'il traduit des cercles z- avions en cercle w-avions (et vice versa); convertit les lignes droites en lignes droites.

Exemple. Trouver l'image de l'axe UO lorsqu'il est affiché w=2iz-3i.

■ 1 voie(selon la règle 3.4). Nous choisissons l'équation de l'axe sous forme paramétrique.

1. Puisque sous forme réelle l'équation d'axe Oy: X=0, -¥<y<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<y<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран à.

2. Remplaçant z=iy dans une expression w=2iz-3i: w=-2y-3je, -¥<y<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (à- paramètre). Après avoir séparé les parties réelles et imaginaires, on obtient l'équation image sous forme réelle : tu=-2y, v=-3 ou v=-3, -¥<tu<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv parallèle à l'axe réel.

2 voies. Nous utilisons la propriété circulaire d'une transformation linéaire - l'image d'une ligne droite est une ligne droite. Puisqu'une droite est définie en spécifiant deux points, il suffit sur l'axe UO choisissez deux points et trouvez leurs images. La ligne droite passant par les points trouvés sera celle requise. Choisissons des points z 1 =0, z 2 =je, leurs images w 1 =-3je, w 2 =-2-3je sous la cartographie se trouvent sur la ligne Im w= -3. Par conséquent, l'image de l'axe UO est un direct v=-3.

3 voies(géométrique). De la relation w=2iz-3i s'ensuit que un=2je, b=-3je, |un|=2, . Donc la ligne donnée (axe UO) doit être tourné d'un angle par rapport à l'origine, puis décalé de 3 unités vers le bas. L'étirement de 2 ne modifie pas l'apparence géométrique de la ligne d'origine, puisqu'elle passe par l'origine. ■

Exemple. Trouver une fonction linéaire représentant un cercle | z-je|=1 par cercle | w- 3|=2.

■ Le problème énoncé est le problème inverse de la théorie des applications – trouver l'application correspondante à partir d'une image et d'une préimage données. Sans conditions supplémentaires, le problème n'a pas de solution unique. Nous proposons une solution géométrique.

1. Déplacez le centre du cercle vers l'origine. Pour cela, nous appliquons la cartographie w 1 =z-je.

2. En avion w 1 appliquer une cartographie qui donne un étirement de 2 fois, c'est-à-dire w 2 =2w 1 .

3. Déplacez le cercle de 3 unités vers la droite : w=w 2+3. On obtient finalement : w=2(z-je)+3, w= 2z+3-2je est la fonction recherchée.

Vous pouvez choisir un ordre différent pour effectuer des opérations géométriques - d'abord ne pas décaler, mais faire pivoter ou étirer. ■

2. Fonction fractionnaire linéaire

Linéaire fractionnaire est appelée une fonction de la forme

, (4.2)

où un, b,c,ré- les nombres complexes tels que , .

Propriétés de la transformation linéaire-fractionnaire

1°Conformité

Affichage w=L(z) est conforme à toutes les extrémités du plan complexe, sauf pour .

2° Propriété circulaire

L'image d'une ligne droite ou d'un cercle sous une cartographie linéaire-fractionnaire w=L(z) est une droite ou un cercle (de plus, l'image d'une droite peut être à la fois un cercle et une droite, et l'image d'un cercle peut être à la fois une droite et un cercle). Il est facile d'établir que lors de l'affichage w=L(z) toutes les droites et tous les cercles passant par le point passent dans des plans droits ( w), et toutes les droites ou tous les cercles ne passant pas par un point ré, - dans la circonférence du plan ( w).

3°Invariance du double rapport

Attitude est conservé sous l'application linéaire-fractionnelle, c'est-à-dire qu'il est son invariant. Cette relation s'appelle double rapport de quatre points. Ainsi, la transformation linéaire-fractionnelle est déterminée de manière unique en spécifiant trois points et leurs images : . Pour ces paires, vous pouvez trouver une fonction linéaire fractionnaire en utilisant la formule :

. (4.3)

Cette formule peut également être appliquée lorsque certains des nombres zk et semaine transformer en ¥, si vous utilisez la règle : la différence dans laquelle le symbole ¥ apparaît doit être remplacée par 1.

4°Préservation de la symétrie

Si les pointes z 1 et z 2 sont symétriques par rapport à une ligne ou un cercle g, alors pour toute application linéaire-fractionnaire w=L(z) leurs images w 1 et w 2 sera symétrique par rapport à l'image g: .

La symétrie par rapport à une droite s'entend au sens usuel.

points z et z* appelé symétrique par rapport au cercle |z-z 0 |=R, s'ils se trouvent sur le même rayon issu du centre du cercle, et que le produit de leurs distances au centre du cercle est égal au carré de son rayon, c'est-à-dire

|z-z 0 |×| z*-z 0 |=R 2 . (4.4)

Un point symétrique à un point z 0 - le centre du cercle, évidemment, est un point à l'infini.

5°Principe de correspondance d'évitement des limites (affichage des zones délimitées par des lignes ou des cercles)

Si, avec une application linéaire-fractionnaire, une droite ou un cercle g se transforme en ligne droite ou en cercle g¢, alors la zone ré, qui est limité g, est converti en l'une des deux régions, qui sont délimitées par g¢. Dans ce cas, le principe de correspondance contournant les frontières a lieu: si à une sorte de contournement de la ligne g Région ré tourne vers la gauche (droite), puis avec le bypass correspondant de la ligne g¢ Région D¢ devrait également être sur la gauche (droite).

Exemple. Trouver une fonction fractionnaire linéaire w=L(z), tel que w(je)=2je, w(¥)=1, w(-1)=¥.

■ Dénoter z 1 =je, z 2 =¥, z 3 = -1 et w 1 =2je, w 2 =1, w 3 =¥. On applique la formule (4.3), en remplaçant les différences contenant z 2 et w 3 à ¥ :

ou .

Transformons : - w-wi+ 2je- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+jeÛ est la fonction recherchée. ■