Comment trouver la pente d'une tangente à une fonction graphique. Pente tangente en tant que tangente de pente

Tu auras besoin de

• - livre de référence mathématique;
• - cahier;
• - un crayon simple ;
• - stylo;
• - rapporteur;
• - circulaire.

Instruction

Veuillez noter que le graphique de la fonction différentiable f(x) au point x0 ne diffère pas du segment tangent. Il est donc suffisamment proche du segment l passant par les points (х0 ; f(х0)) et (х0+Δx ; f(x0 + Δx)). Pour spécifier une droite passant par le point A avec des coefficients (x0; f(x0)), spécifiez sa pente. En même temps, elle est égale à Δy/Δx de la tangente sécante (Δх→0), et tend également vers le nombre f‘(x0).

S'il n'y a pas de valeurs f'(x0), alors il n'y a pas de tangente, ou elle court verticalement. Sur cette base, la dérivée de la fonction au point x0 s'explique par l'existence d'une tangente non verticale qui touche le graphe de la fonction au point (x0, f(x0)). Dans ce cas, la pente de la tangente est égale à f "(x0). La dérivée géométrique devient claire, c'est-à-dire la pente de la tangente.

Autrement dit, pour trouver la pente de la tangente, vous devez trouver la valeur de la dérivée de la fonction au point de contact. Exemple: trouver la pente de la tangente à la fonction y \u003d x³ au point d'abscisse X0 \u003d 1. Solution: trouver la dérivée de cette fonction y΄ (x) \u003d 3x2; trouver la valeur de la dérivée au point X0 = 1. y΄(1) = 3 × 1² = 3. La pente de la tangente au point X0 = 3.

Dessinez des tangentes supplémentaires dans la figure afin qu'elles soient en contact avec le graphe de la fonction aux points : x1, x2 et x3. Marquez les angles formés par ces tangentes avec l'axe des abscisses (l'angle est mesuré dans le sens positif - de l'axe à la tangente). Par exemple, l'angle α1 sera aigu, tandis que (α2) sera obtus, et le troisième (α3) sera égal à zéro, puisque la ligne tangente tracée est parallèle à l'axe OX. Dans ce cas, la tangente angle obtus est une valeur négative, et la tangente d'un angle aigu est positive, à tg0 et le résultat est zéro.

Une tangente à un cercle donné est une droite qui n'a qu'un point commun avec ce cercle. La tangente à un cercle est toujours perpendiculaire à son rayon tracé au point de contact. Si deux tangentes sont tirées d'un même point qui n'appartient pas au cercle, alors les distances de ce point aux points de contact seront toujours les mêmes. Tangentes à cercles sont en cours de construction différentes façons en fonction de leur emplacement les uns par rapport aux autres.

Instruction

Construction d'une tangente à un cercle.
1. On construit un cercle de rayon R et on prend A, par lequel passera la tangente.
2. Un cercle est construit avec le centre au milieu du segment OA et des rayons égaux à ce segment.
3. Intersections de deux points tangents passant par le point A à un cercle donné.

Tangente externe à deux cercles.

2. Un cercle est tracé avec un rayon R - r centré au point O.
3. Une tangente de O1 est dessinée au cercle résultant, le point tangent est noté M.
4. Le rayon R passant par le point M au point T - le point tangent du cercle.
5. Un rayon r est tracé par le centre O1 du petit cercle parallèle à R du grand cercle. Le rayon r pointe vers le point T1, point tangent au petit cercle.
cercles.

Tangente interne à deux cercles.
1. Deux cercles de rayon R et r sont construits.
2. Tracez un cercle de rayon R + r centré au point O.
3. Une tangente est dessinée au cercle résultant à partir du point O1, le point tangent est désigné par la lettre M.
4. Le rayon OM coupe le premier cercle au point T - au point de contact du grand cercle.
5. Un rayon r est tracé par le centre O1 du petit cercle parallèle au rayon OM. Le rayon r pointe vers le point T1, point tangent au petit cercle.
6. Droite TT1 - tangente à la donnée cercles.

Sources:

• tangente interne

Angulaire toilettes – option parfaite pour les coins vides de l'appartement. De plus, la configuration de l'angle toilettes ov donne à l'intérieur une atmosphère classique. Comme finition d'angle toilettes ov tout matériau qui convient à cet effet peut être utilisé.

Tu auras besoin de

• Panneau de fibres de bois, MDF, vis, clous, lame de scie, frise.

Instruction

Découpez un gabarit en contreplaqué ou en panneau de fibres de 125 mm de large, 1065 mm de long. Les bords doivent être coupés à un angle de 45 degrés. Selon le gabarit fini, déterminez les dimensions des parois latérales, ainsi que l'endroit où il sera situé toilettes.

Reliez le couvercle aux parois latérales et étagères triangulaires. Le couvercle doit être fixé aux bords supérieurs des parois latérales avec des vis. Pour la résistance structurelle, de la colle est également utilisée. Fixez les étagères aux planches.

Inclinez la lame de scie à un angle de 45 degrés et biseautez le bord d'attaque des parois latérales le long de la barre de guidage. Fixez les étagères fixes aux planches de MDF. Connectez les parois latérales avec des vis. Assurez-vous qu'il n'y a pas d'espace.

Faire des marques dans le mur, entre lesquelles placer le cadre du coin toilettes une. Attacher avec des vis toilettes au mur. La longueur de la cheville doit être de 75 mm.

Découpez le cadre avant dans un panneau MDF solide. À l'aide d'une scie circulaire, découpez-y des ouvertures à l'aide d'une règle. Finissez les coins.

Trouver la valeur de l'abscisse du point de contact, qui est désignée par la lettre "a". S'il coïncide avec le point tangent donné, alors "a" sera sa coordonnée x. Déterminer la valeur les fonctions f(a), en remplaçant dans l'équation les fonctions la taille de l'abscisse.

Déterminer la dérivée première de l'équation les fonctions f'(x) et y substituer la valeur du point "a".

Prenez l'équation tangente générale, qui est définie comme y \u003d f (a) \u003d f (a) (x - a), et substituez les valeurs trouvées de a, f (a), f "( a) En conséquence, la solution du graphique sera trouvée et tangente.

Résolvez le problème d'une manière différente si le point tangent donné ne coïncidait pas avec le point tangent. Dans ce cas, il est nécessaire de substituer "a" au lieu de nombres dans l'équation tangente. Après cela, au lieu des lettres "x" et "y", substituez la valeur des coordonnées du point donné. Résolvez l'équation résultante dans laquelle "a" est l'inconnue. Mettez la valeur résultante dans l'équation tangente.

Écrivez une équation pour une tangente avec la lettre "a", si l'équation est donnée dans la condition du problème les fonctions et l'équation d'une droite parallèle par rapport à la tangente désirée. Après cela, vous avez besoin d'un dérivé les fonctionsà la coordonnée au point "a". Branchez la valeur appropriée dans l'équation tangente et résolvez la fonction.

Lors de la compilation de l'équation d'une tangente au graphique d'une fonction, le concept d '«abscisse du point tangent» est utilisé. Cette valeur peut être définie initialement dans les conditions du problème, ou elle doit être déterminée indépendamment.

Instruction

Dessinez les axes de coordonnées x et y sur une feuille de papier. Étudiez l'équation donnée pour le graphique de la fonction. Si c'est le cas, alors deux valeurs pour le paramètre y suffisent pour tout x, puis tracez les points trouvés sur l'axe des coordonnées et reliez-les par une ligne. Si le graphique n'est pas linéaire, faites un tableau de la dépendance de y sur x et sélectionnez au moins cinq points pour le traçage.

Déterminer la valeur de l'abscisse du point tangent pour le cas où le point tangent spécifié ne coïncide pas avec le graphique de la fonction. Nous définissons le troisième paramètre avec la lettre "a".

Écrivez l'équation de la fonction f(a). Pour ce faire, substituez a au lieu de x dans l'équation d'origine. Trouvez la dérivée de la fonction f(x) et f(a). Remplacez les données nécessaires dans l'équation tangente générale, qui ressemble à: y \u003d f (a) + f "(a) (x - a). En conséquence, obtenez une équation composée de trois paramètres inconnus.

Substituez-y au lieu de x et y les coordonnées du point donné par lequel passe la tangente. Trouvez ensuite la solution de l'équation résultante pour tout a. S'il est carré, alors il y aura deux valeurs de l'abscisse du point de contact. C'est que la tangente passe deux fois près du graphe de la fonction.

Tracez un graphique de la fonction donnée et , qui sont donnés par la condition du problème. Dans ce cas, il est également nécessaire de spécifier un paramètre inconnu a et de le substituer dans l'équation f(a). Égalez la dérivée f(a) à la dérivée de l'équation de la droite parallèle. Cela laisse la condition de parallélisme de deux . Trouvez les racines de l'équation résultante, qui seront les abscisses du point de contact.

La ligne y \u003d f (x) sera tangente au graphique représenté sur la figure au point x0 si elle passe par le point de coordonnées (x0; f (x0)) et a une pente f "(x0). Trouver un tel coefficient, connaissant les caractéristiques de la tangente, ce n'est pas difficile.

Tu auras besoin de

• - livre de référence mathématique;
• - un crayon simple ;
• - cahier;
• - rapporteur;
• - boussole;
• - stylo.

Instruction

Si la valeur f'(x0) n'existe pas, soit il n'y a pas de tangente, soit elle passe verticalement. De ce fait, la présence de la dérivée de la fonction au point x0 est due à l'existence d'une tangente non verticale qui est en contact avec le graphe de la fonction au point (x0, f(x0)). Dans ce cas, la pente de la tangente sera égale à f "(x0). Ainsi, la signification géométrique de la dérivée devient claire - le calcul de la pente de la tangente.

Définir un commun. Ce type d'information peut être obtenu en se référant aux données du recensement de la population. Pour déterminer les taux totaux de natalité, de mortalité, de mariage et de divorce, vous devez trouver le produit de la population totale et de la période estimée. Écris le nombre obtenu au dénominateur.

Mettez sur le numérateur un indicateur correspondant au relatif souhaité. Par exemple, si vous devez déterminer le taux de fécondité total, à la place du numérateur, il devrait y avoir un nombre qui reflète le total né dans la période qui vous intéresse. Si votre objectif est le taux de mortalité ou le taux de mariage, mettez le nombre de décès à la place du numérateur. période de facturation ou le nombre de personnes mariées, respectivement.

Multipliez le nombre obtenu par 1000. Ce sera le coefficient global que vous recherchez. Si vous êtes confronté à la tâche de trouver le taux de croissance total, soustrayez le taux de mortalité du taux de natalité.

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Sources:

• Taux vitaux généraux

Le principal indicateur de l'efficacité de l'extraction est coefficient Distribution. Il est calculé selon la formule : Co/Cw, où Co est la concentration de la substance extraite dans le solvant organique (extracteur) et Cw est la concentration de la même substance dans l'eau après que l'équilibre a été atteint. Comment pouvez-vous trouver le coefficient de distribution expérimentalement ?

En mathématiques, l'un des paramètres décrivant la position d'une droite sur le plan de coordonnées cartésiennes est la pente de cette droite. Ce paramètre caractérise la pente de la droite par rapport à l'axe des abscisses. Pour comprendre comment trouver la pente, rappelons d'abord la forme générale de l'équation d'une droite dans le système de coordonnées XY.

V vue générale toute droite peut être représentée par l'expression ax+by=c, où a, b et c sont des nombres réels arbitraires, mais nécessairement a 2 + b 2 ≠ 0.

A l'aide de transformations simples, une telle équation peut être ramenée à la forme y=kx+d, dans laquelle k et d sont des nombres réels. Le nombre k est une pente, et l'équation d'une telle droite s'appelle une équation avec une pente. Il s'avère que pour trouver la pente, il vous suffit de ramener l'équation d'origine sous la forme ci-dessus. Pour une meilleure compréhension, prenons un exemple précis :

Tâche : Trouver la pente de la droite donnée par l'équation 36x - 18y = 108

Solution : Transformons l'équation d'origine.

Réponse : La pente souhaitée de cette ligne est de 2.

Si, lors de la transformation de l'équation, on a obtenu une expression du type x = const et qu'en conséquence on ne peut pas représenter y en fonction de x, alors on a affaire à une droite parallèle à l'axe X. La pente de une telle droite est égale à l'infini.

Pour les lignes exprimées par une équation telle que y = const, la pente est nulle. Ceci est typique pour les lignes droites parallèles à l'axe des x. Par exemple:

Tâche : Trouver la pente de la droite donnée par l'équation 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Solution : Nous apportons l'équation d'origine à une forme générale

24x + 12a - 12a + 28 = 4

Il est impossible d'exprimer y à partir de l'expression résultante, donc la pente de cette ligne est égale à l'infini, et la ligne elle-même sera parallèle à l'axe Y.

sens géométrique

Pour mieux comprendre, regardons l'image :

Sur la figure, on voit un graphe d'une fonction du type y = kx. Pour simplifier, on prend le coefficient c = 0. Dans le triangle OAB, le rapport du côté BA sur AO sera égal à la pente k. En même temps, le rapport VA/AO est la tangente d'un angle aigu α en triangle rectangle OAV. Il s'avère que la pente d'une droite est égale à la tangente de l'angle que fait cette droite avec l'axe des abscisses de la grille de coordonnées.

En résolvant le problème de savoir comment trouver la pente d'une ligne droite, nous trouvons la tangente de l'angle entre celle-ci et l'axe x de la grille de coordonnées. Les cas limites, lorsque la ligne considérée est parallèle aux axes de coordonnées, confirment ce qui précède. En effet, pour une droite décrite par l'équation y=const, l'angle entre celle-ci et l'axe des abscisses est égal à zéro. La tangente de l'angle zéro est également nulle et la pente est également nulle.

Pour les droites perpendiculaires à l'axe des x et décrites par l'équation x=const, l'angle entre elles et l'axe des x est de 90 degrés. Tangente angle droit est égal à l'infini, et la pente de droites similaires est égale à l'infini, ce qui confirme ce qui a été écrit ci-dessus.

Pente tangente

Une tâche courante, souvent rencontrée dans la pratique, consiste également à trouver la pente de la tangente au graphe de la fonction à un moment donné. La tangente est une droite, donc le concept de pente lui est également applicable.

Pour comprendre comment trouver la pente d'une tangente, nous devrons rappeler le concept de dérivée. La dérivée de toute fonction à un certain point est une constante numériquement égale à la tangente de l'angle qui se forme entre la tangente au point spécifié au graphique de cette fonction et l'axe des abscisses. Il s'avère que pour déterminer la pente de la tangente au point x 0, nous devons calculer la valeur de la dérivée de la fonction d'origine en ce point k \u003d f "(x 0). Prenons un exemple:

Tâche : Trouver la pente de la droite tangente à la fonction y = 12x 2 + 2xe x à x = 0,1.

Solution : trouver la dérivée de la fonction d'origine sous forme générale

y "(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

Réponse: La pente souhaitée au point x \u003d 0,1 est de 4,831

La droite y = f(x) sera tangente au graphique représenté sur la figure au point x0, à condition qu'elle passe par point donné avec les coordonnées (x0; f (x0)) et a une pente f "(x0). Trouver ce coefficient, en tenant compte des caractéristiques de la tangente, n'est pas difficile.

Tu auras besoin de

• - livre de référence mathématique;
• - cahier;
• - un crayon simple ;
• - stylo;
• - rapporteur;
• - circulaire.

Instruction

• Veuillez noter que le graphique de la fonction différentiable f(x) au point x0 ne diffère pas du segment tangent. Il est donc suffisamment proche du segment l passant par les points (х0 ; f(х0)) et (х0+Δx ; f(x0 + Δx)). Pour spécifier une droite passant par le point A avec des coefficients (x0; f(x0)), spécifiez sa pente. En même temps, elle est égale à Δy/Δx de la tangente sécante (Δх→0), et tend également vers le nombre f‘(x0).
• S'il n'y a pas de valeurs f'(x0), alors peut-être qu'il n'y a pas de tangente, ou qu'elle s'étend verticalement. Partant de là, la présence de la dérivée de la fonction au point x0 s'explique par l'existence d'une tangente non verticale qui est en contact avec le graphe de la fonction au point (x0, f(x0)). Dans ce cas, la pente de la tangente est égale à f "(x0). La signification géométrique de la dérivée devient claire, c'est-à-dire le calcul de la pente de la tangente.
• Autrement dit, pour trouver la pente de la tangente, vous devez trouver la valeur de la dérivée de la fonction au point de contact. Exemple: trouver la pente de la tangente au graphique de la fonction y \u003d x³ au point avec l'abscisse X0 \u003d 1. Solution: Trouver la dérivée de cette fonction y΄ (x) \u003d 3x2; trouver la valeur de la dérivée au point X0 = 1. y΄(1) = 3 × 1² = 3. La pente de la tangente au point X0 = 1 est 3.
• Dessinez des tangentes supplémentaires dans la figure afin qu'elles soient en contact avec le graphe de la fonction aux points suivants : x1, x2 et x3. Marquez les angles formés par ces tangentes avec l'axe des abscisses (l'angle est mesuré dans le sens positif - de l'axe à la tangente). Par exemple, le premier angle α1 sera aigu, le deuxième (α2) sera obtus et le troisième (α3) sera égal à zéro, puisque la ligne tangente tracée est parallèle à l'axe OX. Dans ce cas, la tangente d'un angle obtus est une valeur négative, et la tangente d'un angle aigu est positive, à tg0 et le résultat est nul.

Vous connaissez déjà le concept de tangente au graphe d'une fonction. Le graphe de la fonction f différentiable au point x 0 proche de x 0 ne diffère pratiquement pas du segment tangent, ce qui signifie qu'il est proche du segment de la sécante l passant par les points (x 0; f (x 0) ) et (x 0 + Δx; f ( x0 + ∆x)). Chacune de ces sécantes passe par le point A (x 0; f (x 0)) du graphe (Fig. 1). Pour définir de manière unique une droite passant par un point donné A, il suffit de préciser sa pente. La pente Δy / Δx de la sécante en Δx→0 tend vers le nombre f ‘(x 0) (on la prendra comme pente de la tangente) On dit que la tangente est la position limite de la sécante à Δх→0.

Si f'(x 0) n'existe pas, alors la tangente soit n'existe pas (comme pour la fonction y \u003d |x| au point (0; 0), voir Fig.), soit est verticale (comme pour la graphique de la fonction au point (0 ; 0), Fig. 2).

Ainsi, l'existence d'une dérivée de la fonction f au point xo est équivalente à l'existence d'une tangente (non verticale) au point (x 0, f (x 0)) du graphe, tandis que pente tangente est égal à f "(x 0). C'est signification géométrique de la dérivée

La tangente au graphe de la fonction f différentiable au point xo est une droite passant par le point (x 0 ; f (x 0)) et ayant une pente f' (x 0).

On trace les tangentes au graphe de la fonction f aux points x 1, x 2, x 3 (Fig. 3) et on note les angles qu'elles forment avec l'axe des x. (C'est l'angle compté dans le sens positif du sens positif de l'axe à la ligne droite.) On voit que l'angle α 1 est aigu, l'angle α 3 est obtus et l'angle α 2 est nul, puisque le la droite l est parallèle à l'axe Ox. La tangente d'un angle aigu est positive, obtuse - négative, tg 0 \u003d 0. Par conséquent

F "(x 1)> 0, f'(x 2) \u003d 0, f'(x 3)
La construction de tangentes à des points individuels vous permet de construire plus précisément des esquisses de graphiques. Ainsi, par exemple, pour construire une esquisse du graphe de la fonction sinus, on trouve d'abord qu'aux points 0 ; π/2 et π la dérivée du sinus vaut 1 ; 0 et -1 respectivement. On construit des droites passant par les points (0 ; 0), (π/2,1) et (π, 0) de pentes 1, 0 et -1, respectivement (Fig. 4) Il reste à inscrire dans le trapèze résultant formé par ces droites et la droite Ox, le graphique du sinus tel qu'à x égal à 0, π/2 et π, il touche les droites correspondantes.

Notez que le graphique du sinus au voisinage de zéro est pratiquement impossible à distinguer de la droite y \u003d x. Soit, par exemple, les échelles le long des axes soient choisies de manière à ce que l'unité corresponde à un segment de 1 cm. Nous avons sin 0,5 ≈ 0,479425, soit |sin 0,5 - 0,5| ≈ 0,02, et à l'échelle choisie, cela correspond à un segment de 0,2 mm de long. Par conséquent, le graphique de la fonction y \u003d sin x dans l'intervalle (-0,5; 0,5) s'écartera (dans le sens vertical) de la ligne droite y \u003d x d'au plus 0,2 mm, ce qui correspond approximativement à l'épaisseur de la ligne tracée.

Apprendre à prendre des dérivées de fonctions. La dérivée caractérise le taux de variation d'une fonction à un certain point situé sur le graphique de cette fonction. Dans ce cas, le graphique peut être soit une ligne droite, soit une ligne courbe. C'est-à-dire que la dérivée caractérise le taux de variation de la fonction à un moment donné. Rappelles toi règles générales pour lesquels des dérivées sont prises, et seulement ensuite passer à l'étape suivante.

• Lire l'article.
• Comment prendre les dérivées les plus simples, par exemple, la dérivée équation exponentielle, décrit. Les calculs présentés dans les étapes suivantes seront basés sur les méthodes qui y sont décrites.

Apprenez à distinguer les problèmes dans lesquels la pente doit être calculée en fonction de la dérivée d'une fonction. Dans les tâches, il n'est pas toujours suggéré de trouver la pente ou la dérivée d'une fonction. Par exemple, on peut vous demander de trouver le taux de variation d'une fonction au point A(x, y). Vous pouvez également être invité à trouver la pente de la tangente au point A(x, y). Dans les deux cas, il faut prendre la dérivée de la fonction.