Division de fractions décimales, règles, exemples, solutions. Résumé d'une leçon de mathématiques sur le thème "Transfert d'une virgule dans une fraction décimale positive" (6e année)

Dans ce didacticiel, nous allons examiner chacune de ces opérations une par une.

Contenu de la leçon

Additionner des décimales

Comme nous le savons, un nombre décimal a une partie entière et une partie fractionnaire. Lorsqu'il est ajouté fractions décimales, les parties entières et fractionnaires sont ajoutées séparément.

Par exemple, ajoutons les décimales 3,2 et 5,3. Il est plus pratique d'ajouter des fractions décimales dans une colonne.

Premièrement, nous écrivons ces deux fractions dans une colonne, tandis que les parties entières doivent être sous les parties entières, et les fractionnaires sous les parties fractionnaires. A l'école, cette exigence s'appelle "virgule sous virgule".

Écrivons les fractions dans une colonne de sorte que la virgule soit sous la virgule :

Nous commençons à additionner les parties fractionnaires: 2 + 3 \u003d 5. Nous notons les cinq dans la partie fractionnaire de notre réponse:

Maintenant, nous additionnons les parties entières : 3 + 5 = 8. Nous écrivons le huit dans la partie entière de notre réponse :

Maintenant, nous séparons la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, nous suivons à nouveau la règle "virgule sous virgule":

Vous avez la réponse 8.5. Donc l'expression 3,2 + 5,3 est égale à 8,5

En fait, tout n'est pas aussi simple qu'il n'y paraît à première vue. Ici aussi, il y a des pièges, dont nous allons maintenant parler.

Places en décimales

Les décimaux, comme les nombres ordinaires, ont leurs propres chiffres. Ce sont des dixièmes places, des centièmes places, des millièmes places. Dans ce cas, les chiffres commencent après la virgule décimale.

Le premier chiffre après la virgule est responsable de la dixième place, le deuxième chiffre après la virgule décimale de la centième place, le troisième chiffre après la virgule décimale de la millième place.

Les chiffres des fractions décimales stockent informations utiles. En particulier, ils rapportent combien de dixièmes, de centièmes et de millièmes sont dans une décimale.

Par exemple, considérons la décimale 0,345

La position où se trouve le triple s'appelle dixième place

La position où se trouve le quatre est appelée centièmes

La position où se trouve le cinq est appelée millièmes

Regardons ce chiffre. On voit que dans la catégorie des dixièmes il y a un trois. Cela suggère qu'il y a trois dixièmes dans la fraction décimale 0,345.

Si nous additionnons les fractions, puis nous obtenons la fraction décimale d'origine 0,345

On peut voir qu'au début, nous avons obtenu la réponse, mais que nous l'avons convertie en fraction décimale et avons obtenu 0,345.

Lors de l'addition de fractions décimales, les mêmes principes et règles sont suivis que lors de l'addition de nombres ordinaires. L'addition des fractions décimales se fait par chiffres : les dixièmes sont ajoutés aux dixièmes, les centièmes aux centièmes, les millièmes aux millièmes.

Par conséquent, lors de l'ajout de fractions décimales, il est nécessaire de suivre la règle "virgule sous virgule". Une virgule sous une virgule fournit le même ordre dans lequel les dixièmes sont ajoutés aux dixièmes, les centièmes aux centièmes, les millièmes aux millièmes.

Exemple 1 Trouver la valeur de l'expression 1,5 + 3,4

Tout d'abord, nous additionnons les parties fractionnaires 5 + 4 = 9. Nous écrivons le neuf dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous additionnons les parties entières 1 + 3 = 4. Nous écrivons les quatre dans la partie entière de notre réponse :

Maintenant, nous séparons la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, on observe à nouveau la règle « virgule sous virgule » :

Vous avez la réponse 4.9. Donc la valeur de l'expression 1,5 + 3,4 est 4,9

Exemple 2 Trouver la valeur de l'expression : 3,51 + 1,22

On écrit cette expression dans une colonne en respectant la règle "virgule sous virgule"

Tout d'abord, ajoutez la partie fractionnaire, à savoir les centièmes 1+2=3. Nous écrivons le triplet dans la centième partie de notre réponse :

Ajoutez maintenant les dixièmes de 5+2=7. Nous notons les sept dans la dixième partie de notre réponse :

Ajoutez maintenant les parties entières 3+1=4. Nous écrivons les quatre dans toute la partie de notre réponse :

Nous séparons la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule, en respectant la règle « virgule sous la virgule » :

Vous avez la réponse 4,73. Donc la valeur de l'expression 3,51 + 1,22 est 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Comme pour les nombres ordinaires, lors de l'addition de fractions décimales, . Dans ce cas, un chiffre est écrit dans la réponse et le reste est transféré au chiffre suivant.

Exemple 3 Trouver la valeur de l'expression 2,65 + 3,27

On écrit cette expression dans une colonne :

Ajouter les centièmes de 5+7=12. Le nombre 12 ne rentrera pas dans la centième partie de notre réponse. Par conséquent, dans la centième partie, nous écrivons le nombre 2 et transférons l'unité au bit suivant :

Maintenant, nous ajoutons les dixièmes de 6+2=8 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 9. Nous écrivons le nombre 9 dans le dixième de notre réponse :

Ajoutez maintenant les parties entières 2+3=5. Nous écrivons le nombre 5 dans la partie entière de notre réponse :

Vous avez la réponse 5.92. Donc la valeur de l'expression 2,65 + 3,27 est 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Exemple 4 Trouver la valeur de l'expression 9,5 + 2,8

Écrivez cette expression dans une colonne

Nous ajoutons les parties fractionnaires 5 + 8 = 13. Le nombre 13 ne rentrera pas dans la partie fractionnaire de notre réponse, nous écrivons donc d'abord le nombre 3 et transférons l'unité au chiffre suivant, ou plutôt transférons-le au nombre entier partie:

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 9+2=11 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 12. Nous écrivons le nombre 12 dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Vous avez la réponse 12.3. Donc la valeur de l'expression 9,5 + 2,8 est 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Lors de l'addition de fractions décimales, le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions doit être le même. S'il n'y a pas assez de chiffres, ces emplacements dans la partie fractionnaire sont remplis de zéros.

Exemple 5. Trouver la valeur de l'expression : 12,725 + 1,7

Avant d'écrire cette expression dans une colonne, faisons en sorte que le nombre de chiffres après la virgule soit le même dans les deux fractions. La fraction décimale 12,725 a trois chiffres après la virgule, tandis que la fraction 1,7 n'en a qu'un. Donc, dans la fraction 1,7 à la fin, vous devez ajouter deux zéros. Ensuite, nous obtenons la fraction 1 700. Vous pouvez maintenant écrire cette expression dans une colonne et commencer à calculer :

Ajouter des millièmes de 5+0=5. Nous écrivons le chiffre 5 dans la millième partie de notre réponse :

Ajouter les centièmes de 2+0=2. Nous écrivons le chiffre 2 dans la centième partie de notre réponse :

Ajouter les dixièmes de 7+7=14. Le nombre 14 ne rentrera pas dans un dixième de notre réponse. Par conséquent, nous écrivons d'abord le nombre 4 et transférons l'unité au bit suivant:

Maintenant, nous ajoutons les parties entières 12+1=13 plus l'unité que nous avons obtenue de l'opération précédente, nous obtenons 14. Nous écrivons le nombre 14 dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Vous avez la réponse 14 425. Donc la valeur de l'expression 12.725+1.700 est 14.425

12,725+ 1,700 = 14,425

Soustraction de nombres décimaux

Lors de la soustraction de fractions décimales, vous devez suivre les mêmes règles que lors de l'addition : "virgule sous une virgule" et " même montant chiffres après la virgule.

Exemple 1 Trouver la valeur de l'expression 2,5 − 2,2

On écrit cette expression dans une colonne en respectant la règle « virgule sous virgule » :

On calcule la partie fractionnaire 5−2=3. Nous écrivons le chiffre 3 dans la dixième partie de notre réponse :

Calculer la partie entière 2−2=0. Nous écrivons zéro dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Nous avons obtenu la réponse 0,3. Donc la valeur de l'expression 2,5 − 2,2 est égale à 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Exemple 2 Trouver la valeur de l'expression 7.353 - 3.1

Cette expression a un nombre différent de chiffres après la virgule. Dans la fraction 7,353, il y a trois chiffres après la virgule et dans la fraction 3,1, il n'y en a qu'un. Cela signifie que dans la fraction 3.1, deux zéros doivent être ajoutés à la fin pour que le nombre de chiffres dans les deux fractions soit le même. Ensuite, nous obtenons 3 100.

Vous pouvez maintenant écrire cette expression dans une colonne et la calculer :

Vous avez la réponse 4 253. Donc la valeur de l'expression 7.353 − 3.1 est 4.253

7,353 — 3,1 = 4,253

Comme pour les nombres ordinaires, vous devrez parfois en emprunter un au bit adjacent si la soustraction devient impossible.

Exemple 3 Trouver la valeur de l'expression 3,46 − 2,39

Soustraire les centièmes de 6−9. Du nombre 6, ne soustrayez pas le nombre 9. Par conséquent, vous devez prendre une unité du chiffre adjacent. Ayant emprunté un au chiffre voisin, le nombre 6 se transforme en nombre 16. Nous pouvons maintenant calculer les centièmes de 16−9=7. Nous notons les sept dans la centième partie de notre réponse :

Soustrayez maintenant les dixièmes. Puisque nous avons pris une unité dans la catégorie des dixièmes, le chiffre qui s'y trouvait a diminué d'une unité. Autrement dit, la dixième place n'est plus le chiffre 4, mais le chiffre 3. Calculons les dixièmes de 3−3=0. Nous écrivons zéro dans la dixième partie de notre réponse :

Soustrayez maintenant les parties entières 3−2=1. Nous écrivons l'unité dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Vous avez la réponse 1.07. Donc la valeur de l'expression 3.46−2.39 est égale à 1.07

3,46−2,39=1,07

Exemple 4. Trouver la valeur de l'expression 3−1.2

Cet exemple soustrait un nombre décimal à un entier. Écrivons cette expression dans une colonne afin que la partie entière de la fraction décimale 1,23 soit sous le nombre 3

Faisons maintenant en sorte que le nombre de chiffres après la virgule soit le même. Pour cela, après le chiffre 3, mettez une virgule et ajoutez un zéro :

Soustrayez maintenant les dixièmes : 0−2. Ne soustrayez pas le nombre 2 de zéro. Par conséquent, vous devez prendre une unité du chiffre adjacent. En empruntant un au chiffre adjacent, 0 se transforme en 10. Vous pouvez maintenant calculer les dixièmes de 10−2=8. Nous écrivons le huit dans la dixième partie de notre réponse :

Soustrayez maintenant les parties entières. Auparavant, le nombre 3 était situé dans l'entier, mais nous lui avons emprunté une unité. En conséquence, il est devenu le nombre 2. Par conséquent, nous soustrayons 1 de 2. 2−1=1. Nous écrivons l'unité dans la partie entière de notre réponse :

Séparez la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule :

Vous avez la réponse 1.8. Donc la valeur de l'expression 3−1.2 est 1.8

Multiplication décimale

Multiplier des nombres décimaux est facile et même amusant. Pour multiplier des nombres décimaux, vous devez les multiplier comme des nombres normaux, en ignorant les virgules.

Après avoir reçu la réponse, il est nécessaire de séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans les deux fractions, puis compter le même nombre de chiffres à droite dans la réponse et mettre une virgule.

Exemple 1 Trouver la valeur de l'expression 2,5 × 1,5

Nous multiplions ces fractions décimales comme des nombres ordinaires, en ignorant les virgules. Pour ignorer les virgules, vous pouvez temporairement imaginer qu'elles sont totalement absentes :

Nous en avons obtenu 375. Dans ce nombre, il faut séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule décimale en fractions de 2,5 et 1,5. Dans la première fraction, il y a un chiffre après la virgule décimale, dans la deuxième fraction, il y en a aussi un. Un total de deux numéros.

Nous revenons au nombre 375 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Nous devons compter deux chiffres à partir de la droite et mettre une virgule :

Vous avez la réponse 3,75. Donc la valeur de l'expression 2,5 × 1,5 est 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Exemple 2 Trouver la valeur de l'expression 12,85 × 2,7

Multiplions ces décimales en ignorant les virgules :

Nous avons obtenu 34695. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez calculer le nombre de chiffres après la virgule décimale en fractions de 12,85 et 2,7. Dans la fraction 12,85, il y a deux chiffres après la virgule décimale, dans la fraction 2,7, il y a un chiffre - un total de trois chiffres.

Nous revenons au nombre 34695 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Nous devons compter trois chiffres à partir de la droite et mettre une virgule :

Vous avez la réponse 34 695. Donc la valeur de l'expression 12,85 × 2,7 est 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Multiplier un nombre décimal par un nombre régulier

Parfois, il y a des situations où vous devez multiplier une fraction décimale par un nombre régulier.

Pour multiplier un nombre décimal et un nombre ordinaire, vous devez les multiplier, quelle que soit la virgule dans le nombre décimal. Après avoir reçu la réponse, il est nécessaire de séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule dans la fraction décimale, puis dans la réponse, compter le même nombre de chiffres à droite et mettre une virgule.

Par exemple, multipliez 2,54 par 2

Nous multiplions la fraction décimale 2,54 par le nombre habituel 2, en ignorant la virgule :

Nous avons obtenu le nombre 508. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule décimale dans la fraction 2,54. La fraction 2,54 a deux chiffres après la virgule.

Nous revenons au nombre 508 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Nous devons compter deux chiffres à partir de la droite et mettre une virgule :

Vous avez la réponse 5.08. Donc la valeur de l'expression 2,54 × 2 est 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Multiplier des nombres décimaux par 10, 100, 1000

Multiplier des nombres décimaux par 10, 100 ou 1000 se fait de la même manière que multiplier des nombres décimaux par des nombres réguliers. Il faut effectuer la multiplication, en ignorant la virgule dans la fraction décimale, puis dans la réponse, séparer la partie entière de la partie fractionnaire, en comptant le même nombre de chiffres à droite qu'il y avait de chiffres après la virgule dans la décimale fraction.

Par exemple, multipliez 2,88 par 10

Multiplions la fraction décimale 2,88 par 10, en ignorant la virgule dans la fraction décimale :

Nous avons obtenu 2880. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez compter le nombre de chiffres après la virgule décimale dans la fraction 2,88. Nous voyons que dans la fraction 2,88, il y a deux chiffres après la virgule.

Nous revenons au nombre 2880 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Nous devons compter deux chiffres à partir de la droite et mettre une virgule :

Vous avez la réponse 28,80. Nous supprimons le dernier zéro - nous obtenons 28,8. Donc la valeur de l'expression 2,88 × 10 est 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Il existe une deuxième façon de multiplier les fractions décimales par 10, 100, 1000. Cette méthode est beaucoup plus simple et plus pratique. Elle consiste dans le fait que la virgule dans la fraction décimale se déplace vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

Par exemple, résolvons l'exemple précédent 2,88 × 10 de cette manière. Sans donner de calculs, nous regardons immédiatement le facteur 10. Nous sommes intéressés par le nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il a un zéro. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule décimale vers la droite d'un chiffre, nous obtenons 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Essayons de multiplier 2,88 par 100. Nous examinons immédiatement le facteur 100. Nous sommes intéressés par le nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il a deux zéros. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule vers la droite de deux chiffres, nous obtenons 288

2,88 × 100 = 288

Essayons de multiplier 2,88 par 1000. Nous examinons immédiatement le facteur 1000. Nous sommes intéressés par le nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il a trois zéros. Maintenant, dans la fraction 2,88, nous déplaçons la virgule vers la droite de trois chiffres. Le troisième chiffre n'est pas là, nous ajoutons donc un autre zéro. En conséquence, nous obtenons 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Multiplier des nombres décimaux par 0,1 0,01 et 0,001

Multiplier des décimales par 0,1, 0,01 et 0,001 fonctionne de la même manière que multiplier une décimale par une décimale. Il faut multiplier les fractions comme des nombres ordinaires, et mettre une virgule dans la réponse, en comptant autant de chiffres à droite qu'il y a de chiffres après la virgule dans les deux fractions.

Par exemple, multipliez 3,25 par 0,1

Nous multiplions ces fractions comme des nombres ordinaires, en ignorant les virgules :

Nous en avons 325. Dans ce nombre, vous devez séparer la partie entière de la partie fractionnaire par une virgule. Pour ce faire, vous devez calculer le nombre de chiffres après la virgule décimale en fractions de 3,25 et 0,1. Dans la fraction 3,25, il y a deux chiffres après la virgule, dans la fraction 0,1, il y a un chiffre. Un total de trois numéros.

Nous revenons au nombre 325 et commençons à nous déplacer de droite à gauche. Nous devons compter trois chiffres à droite et mettre une virgule. Après avoir compté trois chiffres, nous constatons que les chiffres sont terminés. Dans ce cas, vous devez ajouter un zéro et mettre une virgule :

Nous avons obtenu la réponse 0,325. Donc la valeur de l'expression 3,25 × 0,1 est 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Il existe une deuxième façon de multiplier les nombres décimaux par 0,1, 0,01 et 0,001. Cette méthode est beaucoup plus simple et pratique. Elle consiste dans le fait que la virgule dans la fraction décimale se déplace vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

Par exemple, résolvons l'exemple précédent 3,25 × 0,1 de cette manière. Sans donner de calculs, nous regardons immédiatement le facteur 0,1. Nous sommes intéressés par le nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il a un zéro. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule vers la gauche d'un chiffre. En déplaçant la virgule d'un chiffre vers la gauche, on voit qu'il n'y a plus de chiffres avant les trois. Dans ce cas, ajoutez un zéro et mettez une virgule. En conséquence, nous obtenons 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Essayons de multiplier 3,25 par 0,01. Regardez immédiatement le multiplicateur de 0,01. Nous sommes intéressés par le nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il a deux zéros. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule vers la gauche de deux chiffres, nous obtenons 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Essayons de multiplier 3,25 par 0,001. Regardez immédiatement le multiplicateur de 0,001. Nous sommes intéressés par le nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il a trois zéros. Maintenant, dans la fraction 3,25, nous déplaçons la virgule vers la gauche de trois chiffres, nous obtenons 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Ne confondez pas multiplier des nombres décimaux par 0,1, 0,001 et 0,001 avec multiplier par 10, 100, 1000. Erreur commune la plupart des gens.

Lors de la multiplication par 10, 100, 1000, la virgule est déplacée vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

Et lors de la multiplication par 0,1, 0,01 et 0,001, la virgule est déplacée vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le multiplicateur.

Si au début, il est difficile de s'en souvenir, vous pouvez utiliser la première méthode, dans laquelle la multiplication est effectuée comme avec des nombres ordinaires. Dans la réponse, vous devrez séparer la partie entière de la partie fractionnaire en comptant autant de chiffres à droite qu'il y a de chiffres après la virgule dans les deux fractions.

Diviser un plus petit nombre par un plus grand. Niveau avancé.

Dans l'une des leçons précédentes, nous avons dit qu'en divisant un plus petit nombre par un plus grand, on obtient une fraction dont le numérateur est le dividende et le dénominateur est le diviseur.

Par exemple, pour diviser une pomme en deux, vous devez écrire 1 (une pomme) au numérateur et écrire 2 (deux amis) au dénominateur. Le résultat est une fraction. Ainsi, chaque ami recevra une pomme. Autrement dit, une demi-pomme. Une fraction est la réponse à un problème comment partager une pomme entre deux

Il s'avère que vous pouvez résoudre ce problème davantage si vous divisez 1 par 2. Après tout, une barre fractionnaire dans n'importe quelle fraction signifie division, ce qui signifie que cette division est également autorisée dans une fraction. Mais comment? Nous sommes habitués au fait que le dividende est toujours supérieur au diviseur. Et ici, au contraire, le dividende est inférieur au diviseur.

Tout deviendra clair si nous nous souvenons qu'une fraction signifie écraser, diviser, diviser. Cela signifie que l'unité peut être divisée en autant de parties que vous le souhaitez, et pas seulement en deux parties.

En divisant un nombre plus petit par un plus grand, une fraction décimale est obtenue, dans laquelle la partie entière sera 0 (zéro). La partie fractionnaire peut être n'importe quoi.

Alors, divisons 1 par 2. Résolvons cet exemple avec un coin :

On ne peut pas être divisé en deux comme ça. Si vous posez une question "combien y a-t-il de deux dans un" , alors la réponse sera 0. Donc, en privé on écrit 0 et on met une virgule :

Maintenant, comme d'habitude, nous multiplions le quotient par le diviseur pour extraire le reste :

Le moment est venu où l'unité peut être scindée en deux parties. Pour ce faire, ajoutez un autre zéro à droite de celui reçu :

Nous avons obtenu 10. Nous divisons 10 par 2, nous obtenons 5. Nous écrivons les cinq dans la partie fractionnaire de notre réponse :

Maintenant, nous supprimons le dernier reste pour terminer le calcul. Multipliez 5 par 2, on obtient 10

Nous avons obtenu la réponse 0,5. Donc la fraction vaut 0,5

Une demi-pomme peut également être écrite en utilisant la fraction décimale 0,5. Si nous additionnons ces deux moitiés (0,5 et 0,5), nous obtenons à nouveau la pomme entière d'origine :

Ce point peut également être compris si nous imaginons comment 1 cm est divisé en deux parties. Si vous divisez 1 centimètre en 2 parties, vous obtenez 0,5 cm

Exemple 2 Trouver la valeur de l'expression 4:5

Combien y a-t-il de cinq dans quatre ? Pas du tout. On écrit en privé 0 et on met une virgule :

Nous multiplions 0 par 5, nous obtenons 0. Nous écrivons zéro sous les quatre. Soustrayez immédiatement ce zéro du dividende :

Commençons maintenant à diviser (diviser) les quatre en 5 parties. Pour ce faire, à droite de 4, on ajoute zéro et on divise 40 par 5, on obtient 8. On écrit le huit en privé.

On complète l'exemple en multipliant 8 par 5, et on obtient 40 :

Nous avons obtenu la réponse 0,8. Donc la valeur de l'expression 4 : 5 ​​est 0,8

Exemple 3 Trouver la valeur de l'expression 5 : 125

Combien y a-t-il de nombres 125 dans cinq ? Pas du tout. On écrit 0 en privé et on met une virgule :

On multiplie 0 par 5, on obtient 0. On écrit 0 sous le cinq. Soustraire immédiatement des cinq 0

Commençons maintenant à diviser (diviser) les cinq en 125 parties. Pour ce faire, à droite de ce cinq, on écrit zéro :

Divisez 50 par 125. Combien y a-t-il de nombres 125 dans 50 ? Pas du tout. Donc, dans le quotient, nous écrivons à nouveau 0

Nous multiplions 0 par 125, nous obtenons 0. Nous écrivons ce zéro sous 50. Soustrayons immédiatement 0 de 50

Maintenant, nous divisons le nombre 50 en 125 parties. Pour ce faire, à droite de 50, on écrit un autre zéro :

Divisez 500 par 125. Combien de nombres sont 125 dans le nombre 500. Dans le nombre 500, il y a quatre nombres 125. Nous écrivons les quatre en privé :

Nous complétons l'exemple en multipliant 4 par 125, et obtenons 500

Nous avons obtenu la réponse 0,04. Donc la valeur de l'expression 5 : 125 est 0,04

Division de nombres sans reste

Alors, mettons une virgule dans le quotient après l'unité, indiquant ainsi que la division des parties entières est terminée et nous passons à la partie fractionnaire :

Ajouter zéro au reste 4

Maintenant on divise 40 par 5, on obtient 8. On écrit le huit en privé :

40−40=0. Reçu 0 dans le reste. Ainsi, la division est complètement terminée. Diviser 9 par 5 donne un nombre décimal de 1,8 :

9: 5 = 1,8

Exemple 2. Diviser 84 par 5 sans reste

On divise d'abord 84 par 5 comme d'habitude avec un reste :

Reçu en privé 16 et 4 de plus dans la balance. Maintenant on divise ce reste par 5. On met une virgule dans le privé, et on ajoute 0 au reste 4

Maintenant, nous divisons 40 par 5, nous obtenons 8. Nous écrivons le huit dans le quotient après la virgule :

et complétez l'exemple en vérifiant s'il y a encore un reste :

Diviser un nombre décimal par un nombre régulier

Une fraction décimale, comme nous le savons, se compose d'un nombre entier et d'une partie fractionnaire. Lorsque vous divisez une fraction décimale par un nombre régulier, vous avez d'abord besoin de :

• diviser la partie entière de la fraction décimale par ce nombre ;
• une fois la partie entière divisée, vous devez immédiatement mettre une virgule dans la partie privée et continuer le calcul, comme dans une division ordinaire.

Par exemple, divisons 4,8 par 2

Écrivons cet exemple comme un coin :

Maintenant, divisons la partie entière par 2. Quatre divisé par deux font deux. Nous écrivons le diable en privé et mettons immédiatement une virgule :

Maintenant, nous multiplions le quotient par le diviseur et voyons s'il y a un reste de la division :

4−4=0. Le reste est nul. Nous n'écrivons pas encore zéro, car la solution n'est pas terminée. Ensuite, nous continuons à calculer, comme dans la division ordinaire. Prenez 8 et divisez-le par 2

8 : 2 = 4. Nous écrivons le quatre dans le quotient et le multiplions immédiatement par le diviseur :

J'ai la réponse 2.4. Valeur d'expression 4,8 : 2 est égal à 2,4

Exemple 2 Trouver la valeur de l'expression 8.43:3

On divise 8 par 3, on obtient 2. On met immédiatement une virgule après les deux :

Maintenant, nous multiplions le quotient par le diviseur 2 × 3 = 6. Nous écrivons le six sous le huit et trouvons le reste :

On divise 24 par 3, on obtient 8. On écrit le huit en privé. Nous le multiplions immédiatement par le diviseur pour trouver le reste de la division :

24−24=0. Le reste est nul. Zéro n'est pas encore enregistré. Prenez les trois derniers du dividende et divisez par 3, nous obtenons 1. Multipliez immédiatement 1 par 3 pour compléter cet exemple :

Vous avez la réponse 2,81. Donc la valeur de l'expression 8,43 : 3 est égale à 2,81

Diviser un nombre décimal par un nombre décimal

Pour diviser une fraction décimale en une fraction décimale, dans le dividende et dans le diviseur, déplacez la virgule vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a après la virgule dans le diviseur, puis divisez par un nombre régulier.

Par exemple, divisez 5,95 par 1,7

Écrivons cette expression comme un coin

Maintenant, dans le dividende et dans le diviseur, nous déplaçons la virgule vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a après la virgule dans le diviseur. Le diviseur a un chiffre après la virgule. Il faut donc déplacer la virgule vers la droite d'un chiffre dans le dividende et dans le diviseur. Transfert :

Après avoir déplacé la virgule décimale vers la droite d'un chiffre, la fraction décimale 5,95 s'est transformée en une fraction 59,5. Et la fraction décimale 1,7, après avoir déplacé la virgule décimale vers la droite d'un chiffre, est devenue le nombre habituel 17. Et nous savons déjà comment diviser la fraction décimale par le nombre habituel. Un calcul supplémentaire n'est pas difficile:

La virgule est déplacée vers la droite pour faciliter la division. Ceci est autorisé en raison du fait que lors de la multiplication ou de la division du dividende et du diviseur par le même nombre, le quotient ne change pas. Qu'est-ce que ça veut dire?

C'est l'un des fonctionnalités intéressantes division. C'est ce qu'on appelle la propriété privée. Considérons l'expression 9 : 3 = 3. Si dans cette expression le dividende et le diviseur sont multipliés ou divisés par le même nombre, alors le quotient 3 ne changera pas.

Multiplions le dividende et le diviseur par 2 et voyons ce qui se passe :

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Comme le montre l'exemple, le quotient n'a pas changé.

La même chose se produit lorsque nous portons une virgule dans le dividende et dans le diviseur. Dans l'exemple précédent, où nous avons divisé 5,91 par 1,7, nous avons déplacé la virgule d'un chiffre vers la droite dans le dividende et le diviseur. Après avoir déplacé la virgule, la fraction 5,91 a été convertie en fraction 59,1 et la fraction 1,7 a été convertie en le nombre habituel 17.

En fait, à l'intérieur de ce processus, une multiplication par 10 a eu lieu. Voici à quoi cela ressemblait :

5,91 × 10 = 59,1

Par conséquent, le nombre de chiffres après la virgule décimale dans le diviseur dépend de ce par quoi le dividende et le diviseur seront multipliés. En d'autres termes, le nombre de chiffres après la virgule dans le diviseur déterminera de combien de chiffres dans le dividende et dans le diviseur la virgule sera déplacée vers la droite.

Division décimale par 10, 100, 1000

Diviser un nombre décimal par 10, 100 ou 1000 se fait de la même manière que . Par exemple, divisons 2,1 par 10. Résolvons cet exemple avec un coin :

Mais il y a aussi une deuxième voie. C'est plus léger. L'essence de cette méthode est que la virgule dans le dividende est déplacée vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur.

Résolvons l'exemple précédent de cette manière. 2.1 : 10. Nous regardons le diviseur. Nous sommes intéressés par le nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a un zéro. Ainsi, dans le divisible 2.1, vous devez déplacer la virgule vers la gauche d'un chiffre. Nous déplaçons la virgule vers la gauche d'un chiffre et constatons qu'il ne reste plus de chiffres. Dans ce cas, nous ajoutons un zéro de plus avant le nombre. En conséquence, nous obtenons 0,21

Essayons de diviser 2,1 par 100. Il y a deux zéros dans le nombre 100. Ainsi, dans le divisible 2.1, vous devez déplacer la virgule vers la gauche de deux chiffres :

2,1: 100 = 0,021

Essayons de diviser 2,1 par 1000. Il y a trois zéros dans le nombre 1000. Ainsi, dans le divisible 2.1, vous devez déplacer la virgule vers la gauche de trois chiffres :

2,1: 1000 = 0,0021

Division décimale par 0,1, 0,01 et 0,001

Diviser un nombre décimal par 0,1, 0,01 et 0,001 se fait de la même manière que . Dans le dividende et dans le diviseur, vous devez déplacer la virgule vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a après la virgule dans le diviseur.

Par exemple, divisons 6,3 par 0,1. Tout d'abord, nous déplaçons les virgules dans le dividende et dans le diviseur vers la droite du même nombre de chiffres qu'il y a après la virgule dans le diviseur. Le diviseur a un chiffre après la virgule. Nous déplaçons donc les virgules dans le dividende et dans le diviseur vers la droite d'un chiffre.

Après avoir déplacé la virgule décimale vers la droite d'un chiffre, la fraction décimale 6,3 se transforme en le nombre habituel 63, et la fraction décimale 0,1, après avoir déplacé la virgule décimale vers la droite d'un chiffre, se transforme en un. Et diviser 63 par 1 est très simple :

Donc la valeur de l'expression 6.3 : 0.1 est égale à 63

Mais il y a aussi une deuxième voie. C'est plus léger. L'essence de cette méthode est que la virgule dans le dividende est transférée vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur.

Résolvons l'exemple précédent de cette manière. 6.3:0.1. Regardons le diviseur. Nous sommes intéressés par le nombre de zéros qu'il contient. On voit qu'il y a un zéro. Ainsi, dans le divisible 6.3, vous devez déplacer la virgule vers la droite d'un chiffre. Nous déplaçons la virgule vers la droite d'un chiffre et obtenons 63

Essayons de diviser 6,3 par 0,01. Le diviseur 0,01 a deux zéros. Ainsi, dans le divisible 6.3, vous devez déplacer la virgule vers la droite de deux chiffres. Mais dans le dividende, il n'y a qu'un seul chiffre après la virgule. Dans ce cas, un zéro supplémentaire doit être ajouté à la fin. En conséquence, nous obtenons 630

Essayons de diviser 6,3 par 0,001. Le diviseur de 0,001 a trois zéros. Ainsi, dans le divisible 6.3, vous devez déplacer la virgule vers la droite de trois chiffres :

6,3: 0,001 = 6300

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JE. Pour diviser un nombre par une décimale, vous devez déplacer les virgules dans le dividende et le diviseur d'autant de chiffres vers la droite qu'ils le sont après la virgule décimale dans le diviseur, puis diviser par entier naturel.

Premierry.

Effectuer la division : 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Solution.

Exemple 1) 16,38: 0,7.

Dans le diviseur 0,7 il y a un chiffre après la virgule décimale, par conséquent, nous déplacerons les virgules dans le dividende et le diviseur d'un chiffre vers la droite.

Ensuite, nous devrons partager 163,8 sur le 7 .

On divise comme on divise les nombres naturels. Comment retirer le numéro 8 - le premier chiffre après la virgule (c'est-à-dire le chiffre à la dixième place), donc immédiatement mettre une virgule privée et continuez à diviser.

Réponse : 23.4.

Exemple 2) 15,6: 0,15.

Déplacez les virgules dans le dividende ( 15,6 ) et diviseur ( 0,15 ) deux chiffres vers la droite, puisque dans le diviseur 0,15 il y a deux chiffres après la virgule.

N'oubliez pas qu'autant de zéros que vous le souhaitez peuvent être attribués à la fraction décimale à droite, et la fraction décimale ne changera pas à partir de cela.

15,6:0,15=1560:15.

Effectuer la division des nombres naturels.

Réponse : 104.

Exemple 3) 3,114: 4,5.

Déplacez les virgules dans le dividende et le diviseur d'un chiffre vers la droite et divisez 31,14 sur le 45 au

3,114:4,5=31,14:45.

En privé, mets une virgule dès qu'on démolit la figure 1 à la dixième place. Ensuite, nous continuons la division.

Pour compléter la division, nous avons dû assigner zéro au nombre 9 - différence de nombres 414 et 405 . (nous savons que des zéros peuvent être attribués à la fraction décimale à droite)

Réponse : 0,692.

Exemple 4) 53,84: 0,1.

On reporte des virgules dans le dividende et le diviseur par 1 numéro à droite.

On a: 538,4:1=538,4.

Analysons l'égalité : 53,84:0,1=538,4. Nous prêtons attention à la virgule dans le dividende dans cet exemple et à la virgule dans le quotient résultant. Notez que la virgule dans le dividende a été déplacée vers 1 chiffre vers la droite, comme si nous multipliions 53,84 sur le 10. (Voir la vidéo « Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1000, etc..") D'où la règle de division d'une fraction décimale par 0,1; 0,01; 0,001 etc.

II. Diviser un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, etc., vous devez déplacer la virgule vers la droite de 1, 2, 3, etc. chiffres. (Diviser un nombre décimal par 0,1 ; ​​0,01 ; 0,001, etc. revient à multiplier ce nombre décimal par 10, 100, 1000, etc.)

Exemples.

Effectuer la division : 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Solution.

Exemple 1) 617,35: 0,1.

Selon la règle IIdivision en 0,1 équivaut à multiplier par 10 , et déplacer la virgule dans le dividende 1 chiffre vers la droite:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Exemple 2) 0,235: 0,01.

Division par 0,01 équivaut à multiplier par 100 , ce qui signifie que nous allons transférer la virgule dans le dividende sur le 2 chiffres à droite:

2) 0,235:0,01=23,5.

Exemple 3) 2,7845: 0,001.

Parce que division en 0,001 équivaut à multiplier par 1000 , puis déplacez la virgule 3 chiffres à droite:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Exemple 4) 26,397: 0,0001.

Diviser décimal par 0,0001 revient à le multiplier par 10000 (déplacer une virgule par 4 chiffres à droite). On a:

II. Pour diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule vers la gauche de 1, 2, 3, etc. chiffres.

Exemples.

Effectuer la division : 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

Solution.

Le déplacement de la virgule vers la gauche dépend du nombre de zéros après un dans le diviseur. Ainsi, lors de la division d'une fraction décimale par 10 nous porterons au divisible virgule à gauche d'un chiffre; lors de la division par 100 - déplacer la virgule laissé par deux chiffres; lors de la division par 1000 transfert en fraction décimale donnée virgule trois chiffres vers la gauche.

Dans les exemples 3) et 4), des zéros devaient être ajoutés avant la fraction décimale pour faciliter le déplacement de la virgule. Cependant, vous pouvez attribuer des zéros mentalement, et vous le ferez lorsque vous saurez bien appliquer la règle. II pour diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000, etc.

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La division par un nombre décimal est identique à la division par un nombre naturel.

Règle de division d'un nombre par une fraction décimale

Pour diviser un nombre par une fraction décimale, il faut à la fois dans le dividende et dans le diviseur déplacer la virgule d'autant de chiffres vers la droite qu'il y en a dans le diviseur après la virgule. Après cela, divisez par un nombre naturel.

Exemples.

Effectuez une division par décimale :

Pour diviser par une fraction décimale, vous devez déplacer la virgule d'autant de chiffres vers la droite dans le dividende et le diviseur qu'il y en a après la virgule dans le diviseur, c'est-à-dire d'un signe. Nous obtenons : 35,1 : 1,8 \u003d 351 : 18. Nous effectuons maintenant une division par un coin. En conséquence, nous obtenons : 35,1 : 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Pour effectuer la division des fractions décimales, à la fois dans le dividende et dans le diviseur, nous déplaçons la virgule vers la droite d'un signe: 14,76 : 3,6 \u003d 147,6 : 36. Nous effectuons maintenant sur un nombre naturel. Résultat : 14,76 : 3,6 = 4,1.

Pour effectuer une division par une fraction décimale d'un nombre naturel, il faut à la fois dans le dividende et dans le diviseur déplacer vers la droite autant de caractères qu'il y en a dans le diviseur après la virgule. Comme la virgule n'est pas écrite dans le diviseur dans ce cas, nous remplissons le nombre de caractères manquants avec des zéros : 70 : 1,75 \u003d 7000 : 175. Nous divisons les nombres naturels résultants avec un coin : 70 : 1,75 \u003d 7000 : 175 \u003d 40.

4) 0,1218: 0,058

Pour diviser une fraction décimale en une autre, on déplace la virgule vers la droite à la fois dans le dividende et dans le diviseur d'autant de chiffres qu'il y en a dans le diviseur après la virgule décimale, c'est-à-dire de trois chiffres. Ainsi, 0,1218 : 0,058 \u003d 121,8 : 58. La division par une fraction décimale a été remplacée par la division par un nombre naturel. Nous partageons un coin. Nous avons : 0,1218 : 0,058 = 121,8 : 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

Mathématiques 6

LEÇON 109 Chapitre 4. Décimales (35 les heures)

Sujet 1. Fractions décimales d'un signe arbitraire (19 heures)

Sujet . Porter une virgule dans une décimale positive . C/r.

Cibler. P tester les connaissances des élèves sur le thème "Addition et soustraction d'une fraction décimale positive."Expliquer la règle de déplacement d'une virgule en fractions décimales positives ; formation compétencesétudiants en déplacement d'une virgule en décimales positives.

Pendant les cours.

Organisation du temps.

Vérification des devoirs.

Option 1.

Calculer:

1) 3,54 + 2,31 = 5,85; 2) 6,09 + 7,38 = 13,47; 3) 15,7 + 1,57 = 17,27;

4) 3,29 – 1,8 = 1,49; 5) 5,4 – 1,28 = 4,12; 6) 7 – 3,54 = 3,46.

Option 2.

Calculer:

1) 2,73 + 3,24 = 5,97; 2) 7,25 + 2,08 = 9,33; 3) 35,4 + 3,54 = 38,94;

4) 5,37 – 2,9 = 2,47; 5) 3,2 – 1,36 = 1,84; 6) 6 – 2,45 = 3,55.

Explication du nouveau matériel.

Porter une virgule dans une décimale positive.

Le nombre donné est 65.482.

Considérez ce qui lui arrivera si nous déplaçons la virgule vers la droite. Le nombre augmentera-t-il ou diminuera-t-il ?

Conclusion: Lorsque vous déplacez la virgule vers la droite dans une fraction décimale positive, la fraction augmente.

Si nous déplaçons la virgule d'un chiffre vers la droite et la plaçons après 4, combien de fois le nombre augmentera-t-il ? (à 10 heures)

Si nous déplaçons la virgule de deux chiffres vers la droite et la plaçons après 8, combien de fois le nombre augmentera-t-il ? (à 100)

Règle de transfert virgule à droite dans une décimale positive, c'est la règle de multiplication

Pour multiplier une fraction décimale par une unité de bit 10, 100, 1000, etc., il faut déplacer la virgule vers la droite dans cette fraction d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans l'enregistrement de l'unité de bit.

Exemple 1 . Quel est le produit de :

1) 6,58  10 = 65,8; 3) 6,58  1000 = 6580 ;

2) 6,58  100 = 658; 4) 6,58  10000 = 65800.

Le numéro donné est 78653.24.

Considérez ce qui lui arrivera si nous déplaçons la virgule vers la gauche. Le nombre augmentera-t-il ou diminuera-t-il ?

Conclusion: Lorsque vous déplacez la virgule vers la gauche dans une décimale positive, la fraction diminue.

Si nous déplaçons la virgule d'un chiffre vers la gauche et la plaçons devant 5, combien de fois le nombre diminuera-t-il ? (à 10 heures)

Si nous déplaçons la virgule de deux chiffres vers la gauche et la plaçons devant 6, combien de fois le nombre diminuera-t-il ? (à 100)

Règle de transfert virgule à gauche dans une décimale positive, c'est la règle de division fractions par unité de bit 10, 100, 1000, etc. :

Diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000, etc. il faut déplacer la virgule vers la gauche dans la fraction décimale d'autantNombres , combien de zéros l'unité de bit contient.

Exemple 1 Quel est le quotient égal à :

1) 36,2: 10 = 3,62; 3) 216,7: 1000 = 0,2167;

2) 8,54: 100 = 0,0854; 4) 0,13: 100 = 0,0013.

Solution d'exercices.

1. Quel est le produit de :

1) 9,54  10 = 95,4; 3) 9,54  1000 = 9540;

2) 9,54  100 = 954; 4) 9,54  10 000 = 9540 0 .

2. Quel est le quotient égal à :

1) 65,78 : 10 = 6,578; 4) 12,43 : 100 = 0,1243;

2) 8: 10 = 0,8; 5) 54: 1000 = 0,054 .

Uch.s.152 n° 777 (a) . Dans quelle direction et de combien de chiffres faut-il déplacer la virgule pour augmenter la fraction décimale : a) 10 fois.

a) Parce que jj doit être augmenté de 10 fois, puis nous déplaçons la virgule vers la droite d'un chiffre.

Uch.s.152 n° 778 (a) . Dans quelle direction et de combien de chiffres faut-il déplacer la virgule pour réduire la fraction décimale : a) 10 fois.

a) Parce que jj doit être réduit de 10 fois, puis nous déplaçons la virgule vers la gauche d'un chiffre.

Uch.s.152 n° 780 (a) . Comment une fraction changera-t-elle si :

a) déplacer la virgule dans sa notation décimale de 2 premiers chiffres vers la droite, puis de 3 chiffres vers la gauche.

a) Parce que en d.d. déplacez la virgule des 2 premiers chiffres vers la droite, puis de 3 chiffres vers la gauche, puis elle diminuera de 10 fois.

Uch.s.152 n° 782 (a) . Quel nombre est plus grand et de combien ?

a) 32,549 ou 325,49.

a) 325,49 est 10 fois plus grand que 32,549.

Uch.s.152 n° 783 (a) . Quel nombre est plus petit et de combien ?

a) 0,4853 ou 4853.

a) 0,4853 est 10 000 fois moins que 4853.

Résumé de la leçon.

Augmente ou diminue dd. lors du déplacement d'une virgule vers la gauche?

Augmente ou diminue dd. lors du déplacement d'une virgule vers la droite?

Comment multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1000, etc. ?

Comment diviser un nombre décimal par 10, 100, 1000, etc. ?

Devoirs. p. 4.4 (apprendre la théorie). N° 777(b,c), 778(b,c), 780(b), 782(b,c), 783(b,c).

Mathématiques 6

Travail indépendant sur le thème "Addition et soustraction d'une fraction décimale positive."

Option 1.

Calculer:

Option 2.

Calculer:

Mathématiques 6

Travail indépendant sur le thème "Addition et soustraction d'une fraction décimale positive".

Option 1.

Calculer:

1) 3,54 + 2,31; 2) 6,09 + 7,38; 3) 15,7 + 1,57;

4) 3,29 – 1,8; 5) 5,4 – 1,28; 6) 7 – 3,54.

Option 2.

Calculer:

1) 2,73 + 3,24; 2) 7,25 + 2,08; 3) 35,4 + 3,54;

4) 5,37 – 2,9; 5) 3,2 – 1,36; 6) 6 – 2,45.

Mathématiques 6

Travail indépendant sur le thème "Addition et soustraction d'une fraction décimale positive".

Option 1.

Calculer:

1) 3,54 + 2,31; 2) 6,09 + 7,38; 3) 15,7 + 1,57;

4) 3,29 – 1,8; 5) 5,4 – 1,28; 6) 7 – 3,54.

Option 2.

Calculer:

1) 2,73 + 3,24; 2) 7,25 + 2,08; 3) 35,4 + 3,54;

4) 5,37 – 2,9; 5) 3,2 – 1,36; 6) 6 – 2,45.

Considérons des exemples de division de nombres décimaux sous cet angle.

Exemple.

Divisez le nombre décimal 1,2 par le nombre décimal 0,48.

Solution.

Réponse:

1,2:0,48=2,5 .

Exemple.

Divisez la décimale périodique 0.(504) par la décimale 0,56 .

Solution.

Traduisons la fraction décimale périodique en un: ordinaire. Nous traduisons également la fraction décimale finale 0,56 en fraction ordinaire, nous avons 0,56 \u003d 56/100. Nous pouvons maintenant passer de la division des décimales d'origine à la division de fractions ordinaires et terminer les calculs : .

Traduisons le reçu fraction commune en une fraction décimale en divisant le numérateur par le dénominateur par une colonne :

Réponse:

0,(504):0,56=0,(900) .

Le principe de la division de fractions décimales non périodiques infinies diffère du principe de division des fractions décimales finies et périodiques, car les fractions décimales non répétitives ne peuvent pas être converties en fractions ordinaires. La division de fractions décimales non périodiques infinies se réduit à la division de fractions décimales finies, pour laquelle elle est effectuée arrondir les nombres jusqu'à un certain niveau. De plus, si l'un des nombres avec lesquels la division est effectuée est une fraction décimale finale ou périodique, alors il est également arrondi au même chiffre que la fraction décimale non périodique.

Exemple.

Divisez la décimale non récurrente infinie 0,779... par la décimale finale 1,5602.

Solution.

Vous devez d'abord arrondir les fractions décimales afin de passer de la division d'une fraction décimale infinie non répétitive à la division de fractions décimales finies. On peut arrondir au centième : 0,779…≈0,78 et 1,5602≈1,56. Ainsi, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Réponse:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Diviser un nombre naturel par une fraction décimale et vice versa

L'essence de l'approche consistant à diviser un nombre naturel par une fraction décimale et à diviser une fraction décimale par un nombre naturel n'est pas différente de l'essence de la division de fractions décimales. Autrement dit, les fractions finies et périodiques sont remplacées par des fractions ordinaires et les fractions infinies non périodiques sont arrondies.

Pour illustrer, considérons l'exemple de la division d'une fraction décimale par un nombre naturel.

Exemple.

Divisez la fraction décimale 25,5 par le nombre naturel 45.

Solution.

En remplaçant la fraction décimale 25,5 par une fraction ordinaire 255/10=51/2, la division se réduit à diviser une fraction ordinaire par un nombre naturel : . La fraction résultante en notation décimale est 0,5(6) .

Réponse:

25,5:45=0,5(6) .

Division d'une fraction décimale par un nombre naturel par une colonne

La division des fractions décimales finales par des nombres naturels est commodément effectuée par une colonne par analogie avec la division par une colonne de nombres naturels. Voici la règle de division.

À diviser un nombre décimal par un nombre naturel par une colonne, nécessaire:

• ajouter quelques chiffres à droite dans la fraction décimale divisible 0, (pendant la division, si nécessaire, vous pouvez ajouter n'importe quel nombre de zéros, mais ces zéros peuvent ne pas être nécessaires) ;
• effectuer la division par une colonne d'une fraction décimale par un nombre naturel selon toutes les règles de division par une colonne de nombres naturels, mais lorsque la division de la partie entière de la fraction décimale est terminée, alors dans le privé, vous devez mettre une virgule et continuer la division.

Disons tout de suite qu'en divisant une fraction décimale finie par un nombre naturel, on peut obtenir soit une fraction décimale finale, soit une fraction décimale périodique infinie. En effet, après la division de toutes les décimales non nulles dividende, nous pouvons obtenir soit un reste de 0 , et nous obtiendrons une fraction décimale finale, soit les restes commenceront à se répéter périodiquement, et nous obtiendrons une fraction décimale périodique.

Traitons toutes les subtilités de la division des fractions décimales en nombres naturels par une colonne lors de la résolution d'exemples.

Exemple.

Divisez le nombre décimal 65,14 par 4 .

Solution.

Effectuons la division d'une fraction décimale par un nombre naturel par une colonne. Ajoutons une paire de zéros à droite dans l'enregistrement de la fraction 65,14, tandis que nous obtenons la fraction décimale égale à 65,1400 (voir fractions décimales égales et inégales). Vous pouvez maintenant commencer à diviser la partie entière de la fraction décimale 65,1400 par un nombre naturel 4 par une colonne :

Ceci termine la division de la partie entière de la fraction décimale. Ici en privé il faut mettre un point décimal et continuer la division :

Nous sommes arrivés à un reste de 0, à ce stade la division par une colonne se termine. En conséquence, nous avons 65.14:4=16.285.

Réponse:

65,14:4=16,285 .

Exemple.

Divisez 164,5 par 27.

Solution.

Divisons une fraction décimale par un nombre naturel par une colonne. Après avoir divisé la partie entière, on obtient l'image suivante :

Maintenant, nous mettons une virgule en privé et continuons la division avec une colonne :

Maintenant, on voit clairement que les restes de 25, 7 et 16 ont commencé à se répéter, tandis que les nombres 9, 2 et 5 se répètent dans le quotient. Donc, diviser la décimale 164,5 par 27 nous donne la décimale périodique 6,0(925) .

Réponse:

164,5:27=6,0(925) .

Division de fractions décimales par une colonne

La division d'une fraction décimale par une fraction décimale peut être réduite à la division d'une fraction décimale par un nombre naturel par une colonne. Pour ce faire, le dividende et le diviseur doivent être multipliés par un tel nombre 10, ou 100, ou 1000, etc., de sorte que le diviseur devienne un nombre naturel, puis divisé par un nombre naturel par une colonne. Nous pouvons le faire grâce aux propriétés de la division et de la multiplication, puisque a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) et ainsi de suite.

En d'autres termes, diviser un nombre décimal final par un nombre décimal final, besoin de:

• dans le dividende et le diviseur, déplacez la virgule vers la droite d'autant de caractères qu'il y a après la virgule dans le diviseur, si en même temps il n'y a pas assez de caractères dans le dividende pour déplacer la virgule, alors vous devez ajouter le nombre requis de zéros à droite ;
• après cela, effectuez la division par une colonne d'une fraction décimale par un nombre naturel.

Considérez, lors de la résolution d'un exemple, l'application de cette règle pour diviser par une fraction décimale.

Exemple.

Faites la division de la colonne 7,287 par 2,1.

Solution.

Déplaçons la virgule dans ces fractions décimales d'un chiffre vers la droite, cela nous permettra de passer de la division de la fraction décimale 7,287 par la fraction décimale 2,1 à la division de la fraction décimale 72,87 par le nombre naturel 21. Divisons par une colonne :

Réponse:

7,287:2,1=3,47 .

Exemple.

Divisez le nombre décimal 16,3 par le nombre décimal 0,021.

Solution.

Déplacez la virgule dans le dividende et le diviseur vers la droite de 3 chiffres. De toute évidence, il n'y a pas assez de chiffres dans le diviseur pour contenir la virgule, alors ajoutons le nombre requis de zéros à droite. Divisons maintenant la colonne de la fraction 16300,0 par l'entier naturel 21 :

À partir de ce moment, les restes 4, 19, 1, 10, 16 et 13 commencent à se répéter, ce qui signifie que les nombres 1, 9, 0, 4, 7 et 6 du quotient se répéteront également. En conséquence, nous obtenons une fraction décimale périodique 776,(190476) .

Réponse:

16,3:0,021=776,(190476) .

Notez que la règle vocale vous permet de diviser un nombre naturel par une fraction décimale finale par une colonne.

Exemple.

Diviser le nombre naturel 3 par la fraction décimale 5.4.

Solution.

Après avoir déplacé la virgule 1 chiffre vers la droite, nous arrivons à diviser le nombre 30,0 par 54. Divisons par une colonne :
.

Cette règle peut également être appliquée lors de la division de fractions décimales infinies par 10, 100, .... Par exemple, 3,(56):1000=0.003(56) et 593.374…:100=5.93374… .

Diviser des décimales par 0,1, 0,01, 0,001, etc.

Depuis 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100, etc., il découle de la règle de division par une fraction ordinaire que la division d'une fraction décimale par 0,1, 0,01, 0,001, etc. . c'est comme multiplier le nombre décimal donné par 10 , 100 , 1000 , etc. respectivement.

En d'autres termes, pour diviser une fraction décimale par 0,1, 0,01, ... vous devez déplacer la virgule vers la droite de 1, 2, 3, ... chiffres, et s'il n'y a pas assez de chiffres dans la fraction décimale pour déplacez la virgule, vous devez alors ajouter le nombre requis aux bons zéros.

Par exemple, 5.739:0.1=57.39 et 0.21:0.00001=21,000 .

La même règle peut être appliquée lors de la division de nombres décimaux infinis par 0,1, 0,01, 0,001, etc. Dans ce cas, vous devez être très prudent avec la division des fractions périodiques, afin de ne pas vous tromper avec la période de la fraction, qui est obtenue à la suite de la division. Par exemple, 7.5(716):0.01=757,(167) , car après avoir déplacé la virgule dans l'enregistrement de la fraction décimale 7.5716716716 ... deux chiffres vers la droite, nous avons l'enregistrement 757.167167 ... . Avec des nombres décimaux non périodiques infinis, tout est plus simple : 394,38283…:0,001=394382,83… .

Diviser une fraction ou un nombre fractionnaire par un nombre décimal et vice versa

Diviser une fraction commune ou un nombre fractionnaire par une décimale finie ou récurrente, ou diviser une décimale finie ou récurrente par une fraction commune ou nombre mixte se réduit à la division de fractions ordinaires. Pour ce faire, les fractions décimales sont remplacées par les fractions ordinaires correspondantes, et le nombre fractionnaire est représenté comme une fraction impropre.

Lors de la division d'une fraction décimale non périodique infinie par une fraction ordinaire ou un nombre fractionnaire et vice versa, il faut procéder à la division des fractions décimales, en remplaçant la fraction ordinaire ou le nombre fractionnaire par la fraction décimale correspondante.

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