C 5 multiplication et division de fractions algébriques. Leçon "Multiplication et division de fractions algébriques

Sections: Mathématiques

Cibler: Apprenez à effectuer les opérations de multiplication et de division de fractions algébriques.

Formulaire de cours : une leçon d'apprentissage de nouveau matériel.

Méthode d'enseignement: problématique, avec une recherche indépendante d'une solution.

Équipement: Ordinateur, projecteur, documents pour la leçon, table.

Pendant les cours

La leçon se déroule à l'aide d'une présentation informatique. (Annexe 1)

. Organisation de la leçon.

1. Préparation de la partie technique.

2. Cartes pour le travail en binôme et le travail indépendant.

. Mettre à jour les connaissances de base afin de se préparer à l'étude d'un nouveau sujet.

Oralement:

(Les réponses sont émises à l'aide de l'ordinateur.)

1. Factoriser :

2. Réduire la fraction :

3. Multiplier des fractions :

Comment s'appellent ces nombres ? (Nombres réciproques)

Trouver l'inverse du nombre

Quels sont les deux nombres appelés réciproques ? (Deux nombres sont appelés réciproques si leur produit est 1.)

Trouvez la fraction réciproque :

Fractions fractionnées :

On prononce les règles de multiplication et de division des fractions ordinaires. L'affiche avec les règles est affichée au tableau.

. Nouveau sujet

Se référant à l'affiche, l'enseignant dit : une, b, c, ré- dans ce cas, des nombres. Et si ce sont des expressions algébriques, comment s'appellent ces fractions ? (Fractions algébriques)

Les règles pour les multiplier et les diviser restent les mêmes.

Suis les étapes:

Les premier et deuxième exemples sont indépendants, suivis par les élèves qui écrivent la solution au tableau. L'enseignant montre la solution du troisième exemple au tableau.

V. Ancrage

1) Travail sur le cahier de problèmes : n° 5.2 (b, c), n° 5.11 (a, b). Page 32

2) Travaillez en binôme sur des cartes :

(Les solutions et les réponses sont reflétées à travers le projecteur.)

V. Résumé de la leçon

Travail indépendant.

Effectuer une multiplication ou une division :

Option		Option

Les élèves remettent des cahiers avec des travaux.

Vi. Devoirs

n° 5.8 ; n° 5.10 ; N° 5.13 (a, b).

Pour effectuer la multiplication de fractions algébriques (rationnelles), il vous faut :

1) Au numérateur, écrivez le produit des numérateurs, au dénominateur - le produit des dénominateurs de ces fractions.

Dans ce cas, des polynômes sont nécessaires.

2) Si possible, réduisez la fraction.

Commenter.

Lors de la multiplication, la somme et la différence doivent être mises entre parenthèses.

Exemples de multiplication de fractions algébriques.

Lors de la multiplication de fractions algébriques, nous multiplions les numérateurs séparément, et séparément les dénominateurs de ces fractions :

Réduire 36 et 45 par 9, 22 et 55 par 11, a² et par a a, b et b par b, c⁵ et c² par c² :

Pour multiplier des fractions algébriques, vous devez multiplier le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Puisqu'il y a des polynômes dans les numérateurs et les dénominateurs de ces fractions, ils sont nécessaires.

Au numérateur de la première fraction, on factorise le facteur commun 3. Le numérateur de la deuxième fraction est multiplié par la différence des carrés. Le dénominateur de la première fraction est le carré de la différence. Au dénominateur de la seconde fraction, on retire le facteur commun 5 hors parenthèses :

La fraction peut être réduite à (x + 3) et (2x-1):

Multipliez le numérateur par le numérateur, le dénominateur par le dénominateur. Le dénominateur de la deuxième fraction est multiplié par la formule de la différence des carrés :

(a-b) et (b-a) ne diffèrent que par le signe. Retirons le "moins" des parenthèses, par exemple, dans le numérateur. Après cela, nous annulons la fraction par (a-b) et par a :

Lors de la multiplication de fractions algébriques, le numérateur est multiplié par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Nous essayons de factoriser les polynômes qu'ils contiennent.

La première fraction au numérateur est le carré entier de la somme, au dénominateur est la somme des cubes. Dans la deuxième fraction du numérateur - (partie de la formule de la somme des cubes), le dénominateur a un facteur commun de 3, que nous retirons des parenthèses :

Réduire la fraction par (x + 3) ² et (x²-3x + 9) :

En algèbre, les actions avec des fractions algébriques (rationnelles) peuvent se produire à la fois en tant que tâche distincte et au cours de la résolution d'autres exemples, par exemple la résolution d'équations et d'inéquations. C'est pourquoi il est important d'apprendre à multiplier, diviser, additionner et soustraire de telles fractions dans le temps.

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Nous sommes capables d'effectuer des multiplications et des divisions de fractions arithmétiques, par exemple :

si les lettres a, b, c et d représentent des nombres entiers arithmétiques.

La question se pose de savoir si ces égalités ne sont pas valides si a, b, c et d désignent : 1) des nombres arithmétiques et 2) des nombres relatifs.

Tout d'abord, vous devrez considérer des fractions complexes, par exemple :

Ces exemples suffisent déjà à se convaincre de la validité des égalités liées à la multiplication et à la division de fractions, lorsque les nombres a, b, c et d sont arithmétiques quelconques (entiers ou fractionnaires). Notez qu'il n'y a que 2 égalités de base, à savoir :

Il reste maintenant à examiner si ces égalités restent vraies si certains des nombres a, b, c et d sont supposés négatifs : si, par exemple, a est un nombre négatif, b, c et d sont positifs, alors la fraction est négatif et la fraction est positive ; par conséquent, par exemple, la division par devrait donner un nombre négatif, mais nous voyons que, selon notre hypothèse, l'expression devrait également exprimer un nombre négatif, c'est-à-dire que l'égalité est également justifiée dans ce cas. Il est également facile de considérer d'autres hypothèses pour les signes de a, b, c et d. Le résultat de cette réflexion est la conviction de l'équité des égalités

et pour le cas où a, b, c et d expriment des nombres relatifs quelconques, c'est-à-dire pour la multiplication et la division de fractions algébriques, les mêmes règles restent valables que pour les arithmétiques.

Nous pouvons maintenant effectuer la multiplication et la division de fractions algébriques. La plus grande difficulté est présentée ici par la question de la réduction des fractions obtenues après multiplication ou division. Si les fractions algébriques sont à un seul terme, alors la réduction du résultat obtenu ne présentera pas de difficultés, et si les fractions sont algébriques, alors il faut d'abord factoriser le numérateur et le dénominateur de chacune de ces fractions en facteurs.

Exemple.

Trouver le produit des fractions algébriques et.

Solution.

Avant d'effectuer la multiplication de fractions, factorisez le polynôme au numérateur de la première fraction et au dénominateur de la seconde. Les formules de multiplication abrégées correspondantes nous y aideront : x 2 + 2 x + 1 = (x + 1) 2 et x 2 −1 = (x − 1) (x + 1). De cette façon, .

Évidemment, la fraction résultante peut être annulée (nous avons discuté de ce processus dans l'article annulation des fractions algébriques).

Il ne reste plus qu'à écrire le résultat sous la forme d'une fraction algébrique, pour laquelle vous devez multiplier un monôme par un polynôme au dénominateur : .

Habituellement, la solution s'écrit sans explication sous la forme d'une suite d'égalités :

Réponse:

.

Parfois, avec des fractions algébriques qui doivent être multipliées ou divisées, vous devez effectuer certaines transformations pour rendre ces étapes plus faciles et plus rapides.

Exemple.

Diviser une fraction algébrique par une fraction.

Solution.

Simplifions la forme de la fraction algébrique en éliminant le coefficient fractionnaire. Pour ce faire, multipliez son numérateur et son dénominateur par 7, ce qui nous permet de faire la propriété principale d'une fraction algébrique, on a .

Maintenant, il est devenu clair que le dénominateur de la fraction résultante et le dénominateur de la fraction par laquelle nous devons diviser sont des expressions opposées. On change les signes du numérateur et du dénominateur de la fraction, on a .

Dans cet article, nous continuons à explorer les actions de base qui peuvent être effectuées avec des fractions algébriques. Ici, nous allons examiner la multiplication et la division : nous dérivons d'abord les règles nécessaires, puis nous les illustrons avec des solutions aux problèmes.

Comment bien diviser et multiplier des fractions algébriques

Pour multiplier des fractions algébriques ou diviser une fraction par une autre, nous devons utiliser les mêmes règles que pour les fractions ordinaires. Rappelons-nous leurs formulations.

Lorsque nous devons multiplier une fraction commune par une autre, nous multiplions les numérateurs séparément et séparément les dénominateurs, après quoi nous écrivons la fraction finale, en plaçant les produits correspondants dans les lieux. Un exemple d'un tel calcul :

2 3 4 7 = 2 4 3 7 = 8 21

Et quand on a besoin de diviser des fractions communes, on le fait en multipliant par l'inverse du diviseur, par exemple :

2 3 : 7 11 = 2 3 11 7 = 22 7 = 1 1 21

La multiplication et la division des fractions algébriques suivent les mêmes principes. Formulons une règle :

Définition 1

Pour multiplier deux ou plusieurs fractions algébriques, vous devez multiplier les numérateurs et les dénominateurs séparément. Le résultat sera une fraction avec le produit des numérateurs dans le numérateur et le produit des dénominateurs dans le dénominateur.

Sous forme littérale, la règle peut être écrite comme a b c d = a c b d. Ici a, b, c et ré représentera des polynômes définis, et b et ré ne peut pas être nulle.

Définition 2

Pour diviser une fraction algébrique par une autre, vous devez multiplier la première fraction par l'inverse de la seconde.

Cette règle peut aussi s'écrire a b : c d = a b d c = a d b c. Lettres a, b, c et ré représentent ici des polynômes, dont a, b, c et ré ne peut pas être nulle.

Arrêtons-nous séparément sur ce qu'est une fraction algébrique inverse. C'est une fraction qui, multipliée par l'original, donne un à la fin. C'est-à-dire que ces fractions seront similaires à des nombres mutuellement réciproques. Sinon, on peut dire qu'une fraction algébrique inverse est constituée des mêmes valeurs que l'originale, mais son numérateur et son dénominateur sont inversés. Ainsi, par rapport à la fraction a · b + 1 a 3, la fraction a 3 a · b + 1 sera inverse.

Résolution de problèmes sur la multiplication et la division de fractions algébriques

Dans ce paragraphe, nous verrons comment appliquer correctement les règles décrites ci-dessus dans la pratique. Commençons par un exemple simple et illustratif.

Exemple 1

État: multipliez la fraction 1 x + y par 3 x y x 2 + 5, puis divisez une fraction par l'autre.

Solution

Faisons d'abord la multiplication. Selon la règle, vous devez multiplier séparément les numérateurs et les dénominateurs :

1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 1 3 x y (x + y) (x 2 + 5)

Nous avons un nouveau polynôme, qui doit être ramené à la forme standard. On termine les calculs :

1 3 x y (x + y) (x 2 + 5) = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y

Voyons maintenant comment diviser correctement une fraction par une autre. Selon la règle, nous devons remplacer cette action en multipliant par la fraction réciproque x 2 + 5 3 x y :

1 x + y : 3 x y x 2 + 5 = 1 x + y x 2 + 5 3 x y

Ramenons la fraction résultante à la forme standard :

1 x + y x 2 + 5 3 x y = 1 x 2 + 5 (x + y) 3 x y = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2

Réponse: 1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y; 1 x + y : 3 x y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2.

Assez souvent, en divisant et en multipliant des fractions ordinaires, on obtient des résultats qui peuvent être annulés, par exemple, 2 9 3 8 = 6 72 = 1 12. Lorsque nous faisons cela avec des fractions algébriques, nous pouvons également obtenir des résultats annulés. Pour ce faire, il est utile de décomposer d'abord le numérateur et le dénominateur du polynôme d'origine en facteurs séparés. Si nécessaire, relisez l'article pour savoir comment le faire correctement. Regardons un exemple de problème dans lequel il sera nécessaire de réduire des fractions.

Exemple 2

État: multiplier les fractions x 2 + 2 x + 1 18 x 3 et 6 x x 2 - 1.

Solution

Avant de calculer le produit, divisons le numérateur de la première fraction d'origine en facteurs séparés et le dénominateur de la seconde. Pour ce faire, nous avons besoin des formules de multiplication abrégées. On calcule :

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 xx 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 X 18 x 3 x - 1 x + 1

Nous avons une fraction qui peut être réduite :

x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = x + 1 3 x 2 (x - 1)

Nous avons écrit sur la façon dont cela se fait dans un article sur l'annulation des fractions algébriques.

En multipliant le monôme et le polynôme au dénominateur, on obtient le résultat dont nous avons besoin :

x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Voici une transcription de l'intégralité de la solution sans explication :

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 xx 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 X 18 x 3 x - 1 x + 1 = = x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Réponse: x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 3 x 3 - 3 x 2.

Dans certains cas, il est pratique de transformer les fractions d'origine avant la multiplication ou la division, de sorte que les calculs ultérieurs deviennent plus rapides et plus faciles.

Exemple 3

État: diviser 2 1 7 x - 1 par 12 x 7 - x.

Solution : Commencer par simplifier la fraction algébrique 2 1 7 · x - 1 pour se débarrasser du coefficient fractionnaire. Pour ce faire, multipliez les deux côtés de la fraction par sept (cette action est possible grâce à la propriété principale d'une fraction algébrique). En conséquence, nous obtenons ce qui suit :

2 1 7 x - 1 = 7 2 7 1 7 x - 1 = 14 x - 7

Nous voyons que le dénominateur de la fraction 12 x 7 - x, par lequel nous devons diviser la première fraction, et le dénominateur de la fraction résultante sont des expressions opposées. En changeant les signes du numérateur et du dénominateur 12 x 7 - x, on obtient 12 x 7 - x = - 12 x x - 7.

Après toutes les transformations, on peut enfin passer directement à la division des fractions algébriques :

2 1 7 x - 1 : 12 x 7 - x = 14 x - 7 : - 12 xx - 7 = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = 14 x - 7 x - 7 - - 12 x = = 14 - 12 x = 2 7 - 2 2 3 x = 7 - 6 x = - 7 6 x

Réponse: 2 1 7 x - 1 : 12 x 7 - x = - 7 6 x.

Comment multiplier ou diviser une fraction algébrique par un polynôme

Pour effectuer une telle action, nous pouvons utiliser les mêmes règles que nous avons données ci-dessus. Tout d'abord, vous devez représenter le polynôme sous la forme d'une fraction algébrique avec une unité au dénominateur. Cette action est similaire à la conversion d'un nombre naturel en fraction. Par exemple, vous pouvez remplacer le polynôme x 2 + x - 4 sur le x 2 + x - 4 1... Les expressions résultantes seront identiquement égales.

Exemple 4

État: Divisez la fraction algébrique par le polynôme x + 4 5 x y : x 2 - 16.

Solution

x + 4 5 x y : x 2 - 16 = x + 4 5 x y : x 2 - 16 1 = x + 4 5 x y 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 xy 1 (x - 4) x + 4 = (x + 4) 1 5 xy (x - 4) (x + 4) = 1 5 xyx - 4 = = 1 5 x 2 y - 20 x y

Réponse: x + 4 5 x y : x 2 - 16 = 1 5 x 2 y - 20 x y.

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