Division de fractions avec les mêmes pouvoirs. Degré et ses propriétés

Chaque opération arithmétique devient parfois trop lourde à écrire et ils essaient de la simplifier. Il en était de même avec l'opération d'addition. Il fallait par exemple effectuer plusieurs additions du même type pour calculer le coût de cent tapis persans, dont le coût est de 3 pièces d'or chacun. 3 + 3 + 3 +… + 3 = 300. En raison de sa lourdeur, on a pensé réduire le record à 3 * 100 = 300. En fait, le record « trois fois cent » signifie qu'il faut en prendre cent triplés et additionnez-les. La multiplication a pris racine et a gagné en popularité générale. Mais le monde ne s'arrête pas, et au Moyen Âge il est devenu nécessaire de procéder à de multiples multiplications du même type. Je me souviens d'une vieille énigme indienne à propos d'un sage qui demandait la quantité suivante de grains de blé en récompense de son travail : il demandait un grain pour le premier carré de l'échiquier, deux pour le deuxième, quatre pour le troisième, huit pour le cinquième, et ainsi de suite. C'est ainsi qu'est apparue la première multiplication des degrés, car le nombre de grains était égal à deux à la puissance du nombre de cellules. Par exemple, sur la dernière cellule il y aurait 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 grains, ce qui équivaut à un nombre de 18 caractères de long, ce qui est en fait le sens de l'énigme.

L'opération d'élévation à une puissance s'enracine assez rapidement, et il devient aussi rapidement nécessaire d'effectuer des additions, soustractions, divisions et multiplications de puissances. Ce dernier mérite d'être examiné plus en détail. Les formules pour ajouter des degrés sont simples et faciles à retenir. De plus, il est très facile de comprendre d'où ils viennent si l'opération de puissance est remplacée par la multiplication. Mais d'abord, vous devez comprendre la terminologie de base. L'expression a ^ b (lire "a à la puissance b") signifie que le nombre a doit être multiplié par lui-même b fois, et "a" est appelé la base du degré, et "b" est appelé l'exposant de puissance . Si les bases des degrés sont les mêmes, alors les formules sont dérivées assez simplement. Exemple concret : trouvez la valeur de l'expression 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Pour savoir ce qui devrait se passer, vous devez trouver la réponse sur l'ordinateur avant de commencer la solution. Après avoir martelé cette expression dans n'importe quelle calculatrice en ligne, moteur de recherche, en tapant "multiplication de degrés avec des raisons différentes et le même "ou un package mathématique, la sortie sera 128. Maintenant, nous écrivons cette expression: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2, et 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. Il s'avère que 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4) Il s'avère que le produit des degrés de même base est égal à la base élevée à une puissance égale à la somme des deux degrés précédents.

On pourrait penser qu'il s'agit d'un accident, mais non : tout autre exemple ne peut que confirmer cette règle. Ainsi, dans vue générale la formule ressemble à ceci : a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). Il existe également une règle selon laquelle tout nombre dans le degré zéro est égal à un. Ici, vous devez vous rappeler la règle des puissances négatives : a ^ (- n) = 1 / a ^ n. Autrement dit, si 2 ^ 3 = 8, alors 2 ^ (- 3) = 1/8. En utilisant cette règle, nous pouvons prouver l'égalité a ^ 0 = 1 : a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), un ^ (n) peut être annulé et il n'en reste qu'un. De là découle aussi la règle que le quotient des degrés ayant les mêmes bases est égal à cette base à un degré égal au quotient de l'exposant du dividende et du diviseur : a ^ n : a ^ m = a ^ ( nm). Exemple : Simplifiez l'expression 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 : 2 ^ (- 2). La multiplication est une opération commutative, vous devez donc d'abord additionner les exposants de la multiplication : 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. Ensuite, vous devez gérer la division par un exposant négatif. Il faut soustraire l'indice du diviseur à l'indice du dividende : 2 ^ 1 : 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. Il s'avère que l'opération de division par le degré négatif est identique à l'opération de multiplication par un exposant positif similaire. La réponse finale est donc 8.

Il existe des exemples où la multiplication non canonique des degrés a lieu. Multiplier des diplômes avec des bases différentes est très souvent beaucoup plus difficile, voire parfois impossible. Plusieurs exemples de diverses techniques possibles doivent être donnés. Exemple : simplifier l'expression 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Évidemment, il y a une multiplication de puissances avec des bases différentes. Mais, il convient de noter que toutes les bases sont des degrés différents d'un triplet. 9 = 3 ^ 2,1 = 3 ^ 4,3 = 3 ^ 5,9 = 3 ^ 6. En utilisant la règle (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), vous devriez réécrire l'expression sous une forme plus pratique : 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) = 3 ^ (11). Réponse : 3 ^ 11. Dans les cas où il existe des motifs différents, la règle a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n fonctionne pour des indicateurs égaux. Par exemple, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. Sinon, lorsqu'il y a des bases et des indicateurs différents, il est impossible de faire une multiplication complète. Parfois, il est possible de simplifier partiellement ou de recourir à l'aide de la technologie informatique.

Premier niveau

Le degré et ses propriétés. Guide complet (2019)

Pourquoi faut-il des diplômes ? Où vous seront-ils utiles ? Pourquoi faut-il prendre le temps de les étudier ?

Pour tout savoir sur les diplômes, à quoi ils servent, comment utiliser vos connaissances dans Vie courante lire cet article.

Et, bien sûr, la connaissance des diplômes vous rapprochera de la réussite passer l'OGE ou l'examen d'État unifié et l'admission à l'université de vos rêves.

Allons-y allons-y!)

Note importante! Si au lieu de formules vous voyez du charabia, videz le cache. Pour ce faire, appuyez sur CTRL + F5 (sous Windows) ou Cmd + R (sous Mac).

PREMIER NIVEAU

L'exponentiation est la même opération mathématique que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division.

je vais tout expliquer maintenant langage humain sur très exemples simples... Faites attention. Les exemples sont élémentaires, mais ils expliquent des choses importantes.

Commençons par l'addition.

Il n'y a rien à expliquer. Vous savez déjà tout : nous sommes huit. Chacun a deux bouteilles de cola. Combien de cola y a-t-il au total ? C'est vrai - 16 bouteilles.

Maintenant la multiplication.

Le même exemple de cola peut être écrit différemment :. Les mathématiciens sont des gens rusés et paresseux. Ils remarquent d'abord certains modèles, puis trouvent un moyen de les "compter" rapidement. Dans notre cas, ils ont remarqué que chacune des huit personnes avait le même nombre de bouteilles de cola et ont mis au point une technique appelée multiplication. D'accord, il est considéré comme plus facile et plus rapide que.

Alors, pour compter plus vite, plus facilement et sans erreurs, il suffit de se souvenir table de multiplication... Vous pouvez, bien sûr, tout faire plus lentement, plus fort et avec des erreurs ! Mais…

Voici la table de multiplication. Répéter.

Et un autre, plus beau :

Quelles autres astuces de comptage astucieuses les mathématiciens paresseux ont-ils trouvé ? Droit - élever un nombre à une puissance.

Élever un nombre à une puissance

Si vous devez multiplier un nombre par lui-même cinq fois, alors les mathématiciens disent que vous devez élever ce nombre à la cinquième puissance. Par exemple, . Les mathématiciens se souviennent que deux au cinquième degré est. Et ils résolvent ces problèmes dans leur esprit - plus rapidement, plus facilement et sans erreurs.

Tout ce que vous avez à faire est rappelez-vous ce qui est mis en évidence dans le tableau des puissances des nombres... Croyez-moi, cela vous facilitera grandement la vie.

Au fait, pourquoi s'appelle le deuxième degré carré nombres, et le troisième - cube? Qu'est-ce que ça veut dire? Très bonne question... Maintenant, vous aurez à la fois des carrés et des cubes.

Exemple de vie #1

Commençons par un carré ou la seconde puissance d'un nombre.

Imaginez une piscine au mètre carré. La piscine est dans votre maison de campagne. Il fait chaud et j'ai vraiment envie de nager. Mais... une piscine sans fond ! Il est nécessaire de couvrir le fond de la piscine avec des tuiles. De combien de tuiles avez-vous besoin ? Pour le déterminer, vous devez connaître la superficie du fond de la piscine.

Vous pouvez simplement compter, en poussant votre doigt, que le fond de la piscine est constitué de cubes mètre par mètre. Si vous avez un carreau mètre par mètre, vous aurez besoin de pièces. C'est facile... Mais où as-tu vu de telles tuiles ? Le carreau sera plutôt cm par cm.Et puis vous serez tourmenté en "comptant votre doigt". Ensuite, il faut multiplier. Ainsi, d'un côté du fond de la piscine, on posera des tuiles (pièces) et de l'autre, aussi, des tuiles. En multipliant par, vous obtenez des tuiles ().

Avez-vous remarqué que nous avons multiplié le même nombre par nous-mêmes pour déterminer la surface du fond de la piscine ? Qu'est-ce que ça veut dire? Une fois le même nombre multiplié, on peut utiliser la technique de "l'exponentiation". (Bien sûr, quand vous n'avez que deux nombres, vous les multipliez toujours ou les augmentez à une puissance. Mais si vous en avez beaucoup, alors élever à une puissance est beaucoup plus facile et il y a aussi moins d'erreurs dans les calculs. Pour le examen, c'est très important).
Ainsi, trente au second degré seront (). Ou vous pouvez dire que trente au carré le sera. En d'autres termes, la seconde puissance d'un nombre peut toujours être représentée par un carré. A l'inverse, si vous voyez un carré, c'est TOUJOURS la seconde puissance d'un nombre. Un carré est une représentation de la seconde puissance d'un nombre.

Exemple concret n°2

Voici une tâche pour vous, comptez combien de cases il y a sur l'échiquier en utilisant la case du nombre... D'un côté des cellules et de l'autre aussi. Pour compter leur nombre, vous devez multiplier huit par huit, ou ... si vous remarquez que l'échiquier est un carré avec un côté, alors vous pouvez carré huit. Vous obtiendrez des cellules. () Donc?

Exemple de vie n°3

Maintenant le cube ou la troisième puissance du nombre. La même piscine. Mais maintenant, vous devez savoir combien d'eau devra être versée dans cette piscine. Vous devez calculer le volume. (Soit dit en passant, les volumes et les liquides sont mesurés en mètres cubes... De façon inattendue, non ?) Dessinez une piscine : le fond mesure un mètre et un mètre de profondeur et essayez de calculer combien de cubes de mètre par mètre iront dans votre piscine.

Pointez votre doigt et comptez ! Un, deux, trois, quatre... vingt-deux, vingt-trois... Combien cela s'est-il passé ? Pas perdu? Est-ce difficile de compter avec le doigt ? Pour que! Prenons l'exemple des mathématiciens. Ils sont paresseux, ils ont donc remarqué que pour calculer le volume de la piscine, vous devez multiplier sa longueur, sa largeur et sa hauteur. Dans notre cas, le volume de la piscine sera égal aux cubes... Plus facile, non ?

Imaginez maintenant à quel point les mathématiciens sont paresseux et rusés s'ils simplifiaient cela aussi. Ils ont tout réduit à une seule action. Ils ont remarqué que la longueur, la largeur et la hauteur sont égales et que le même nombre est multiplié par lui-même... Qu'est-ce que ça veut dire ? Cela signifie que vous pouvez profiter du diplôme. Ainsi, ce que vous avez compté une fois avec votre doigt, ils le font en une seule action : trois dans un cube sont égaux. C'est écrit comme ça :.

Il ne reste que rappelez-vous la table des degrés... À moins, bien sûr, que vous soyez aussi paresseux et rusé que des mathématiciens. Si vous aimez travailler dur et faire des erreurs, vous pouvez continuer à compter avec votre doigt.

Eh bien, pour enfin vous convaincre que les diplômes ont été inventés par des paresseux et des gens rusés pour résoudre leurs problèmes de vie, et non pour vous créer des problèmes, voici quelques autres exemples tirés de la vie.

Exemple de vie n°4

Vous avez un million de roubles. Au début de chaque année, vous gagnez un autre million sur chaque million. C'est-à-dire que chaque million d'entre vous au début de chaque année double. Combien d'argent aurez-vous dans des années ? Si vous êtes maintenant assis et «comptez avec votre doigt», alors vous êtes une personne très travailleuse et .. stupide. Mais très probablement, vous donnerez une réponse en quelques secondes, car vous êtes intelligent ! Ainsi, la première année - deux fois deux... la deuxième année - il s'est passé deux fois de plus, la troisième année... Stop ! Vous avez remarqué que le nombre est multiplié par lui-même une fois. Donc deux puissance cinq c'est un million ! Imaginez maintenant que vous ayez un concours et que ces millions soient reçus par celui qui calcule le plus rapidement... Cela vaut-il la peine de se rappeler les degrés des nombres, qu'en pensez-vous ?

Exemple de vie n°5

Vous avez un million. Au début de chaque année, vous gagnez deux de plus sur chaque million. Super, n'est-ce pas ? Chaque million triple. Combien d'argent aurez-vous dans des années ? Comptons. La première année - multipliez par, puis le résultat par une autre... C'est déjà ennuyeux, car vous avez déjà tout compris : trois fois c'est multiplié par lui-même. Donc la quatrième puissance est égale à un million. Vous devez juste vous rappeler que trois à la quatrième puissance est ou.

Vous savez maintenant qu'en élevant un nombre à une puissance, vous vous faciliterez grandement la vie. Voyons ce que vous pouvez faire avec les diplômes et ce que vous devez savoir à leur sujet.

Termes et concepts ... pour ne pas se tromper

Alors, d'abord, définissons les concepts. Qu'est-ce que tu penses, qu'est-ce qu'un exposant? C'est très simple - c'est le nombre qui est "au sommet" de la puissance du nombre. Pas scientifique, mais compréhensible et facile à retenir...

Eh bien, en même temps que une telle base de diplômes? Encore plus simple est le nombre qui est en bas, à la base.

Voici un dessin pour être sûr.

Bon, de manière générale, afin de généraliser et mieux mémoriser... Un diplôme avec une base "" et un indicateur "" se lit comme "en degré" et s'écrit comme suit :

Degré du nombre avec exposant naturel

Vous l'avez probablement déjà deviné : parce que l'exposant est entier naturel... Oui, mais qu'est-ce que entier naturel? Élémentaire! Les nombres naturels sont ces nombres qui sont utilisés pour compter lors de la liste des objets : un, deux, trois... Lorsque nous comptons des objets, nous ne disons pas : "moins cinq", "moins six", "moins sept". Nous ne disons pas non plus : « un tiers », ou « zéro point, cinq dixièmes ». Ce ne sont pas des nombres naturels. A votre avis, quels sont les chiffres ?

Des nombres comme "moins cinq", "moins six", "moins sept" font référence à nombres entiers. En général, les nombres entiers comprennent tous les nombres naturels, les nombres opposés aux nombres naturels (c'est-à-dire pris avec un signe moins) et un nombre. Zéro est facile à comprendre - c'est quand il n'y a rien. Que signifient les nombres négatifs ("moins") ? Mais ils ont été inventés avant tout pour désigner les dettes : si vous avez des roubles sur votre téléphone, cela signifie que vous devez des roubles à l'opérateur.

Toutes les fractions sont nombres rationnels... Comment pensez-vous qu'ils sont arrivés? Très simple. Il y a plusieurs milliers d'années, nos ancêtres ont découvert qu'il leur manquait des nombres naturels pour mesurer la longueur, le poids, la superficie, etc. Et ils sont venus avec nombres rationnels... Intéressant, n'est-ce pas ?

Il existe aussi des nombres irrationnels. Quels sont ces chiffres ? Bref, sans fin décimal... Par exemple, si vous divisez la circonférence d'un cercle par son diamètre, vous obtenez un nombre irrationnel.

Sommaire:

Définissons la notion de degré dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire un entier et positif).

1. Tout nombre de la première puissance est égal à lui-même :
2. Mettre un nombre au carré, c'est le multiplier par lui-même :
3. Cuber un nombre, c'est le multiplier par lui-même trois fois :

Définition.Élever un nombre à une puissance naturelle signifie multiplier le nombre par lui-même par :
.

Propriétés de puissance

D'où viennent ces propriétés ? Je vais vous montrer maintenant.

Voyons : qu'est-ce que et ?

Un prieuré :

Combien de facteurs y a-t-il au total ?

C'est très simple : nous avons ajouté des multiplicateurs aux multiplicateurs, et le total est des multiplicateurs.

Mais par définition, c'est le degré d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire comme il faut le prouver.

Exemple: Simplifier l'expression.

Solution:

Exemple: Simplifiez l'expression.

Solution: Il est important de noter que dans notre règle nécessairement doit avoir les mêmes bases !
Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais reste un facteur distinct :

juste pour le produit des degrés !

Vous ne pouvez en aucun cas écrire cela.

2. c'est -ième puissance d'un nombre

Comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la ième puissance du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « encadrer l'indicateur ». Mais vous ne devriez jamais faire cela au total :

Rappelons-nous les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ?

Mais ce n'est pas vrai, après tout.

Diplôme avec base négative

Jusqu'à présent, nous n'avons discuté que de ce que devrait être l'exposant.

Mais quelle doit être la base ?

En degrés avec indicateur naturel la base peut être n'importe quel chiffre... En effet, nous pouvons multiplier n'importe quels nombres les uns par les autres, qu'ils soient positifs, négatifs ou même.

Pensons à quels signes ("" ou "") auront des pouvoirs de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? UNE? ? Avec le premier, tout est clair : peu importe combien de nombres positifs nous multiplions les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais le négatif est un peu plus intéressant. Après tout, nous nous souvenons d'une règle simple de la 6e année: "moins par moins donne un plus". C'est, ou. Mais si on multiplie par, ça marche.

Décidez vous-même du signe que les expressions suivantes auront :

1)	2)	3)
4)	5)	6)

as-tu réussi ?

Voici les réponses : Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l'exposant et appliquons la règle appropriée.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il n'y paraît : peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif.

Enfin, sauf quand la base est nulle. La fondation n'est pas égale, n'est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

Exemple 6) n'est plus si facile !

6 exemples pour s'entraîner

Analyser la solution 6 exemples

A part le huitième degré, que voyons-nous ici ? Nous rappelons le programme de 7e année. Alors souviens-toi? C'est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence de carrés ! On a:

Regardons de près le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des multiplicateurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? Mauvais ordre des termes. Si elles devaient être inversées, la règle pourrait être appliquée.

Mais comment faire ça ? Cela s'avère très facile : un degré pair du dénominateur nous aide ici.

Les termes sont magiquement inversés. Ce "phénomène" est applicable à toute expression à degré pair : on peut librement changer les signes entre parenthèses.

Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps!

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Entier nous appelons les nombres naturels opposés à eux (c'est-à-dire pris avec le signe "") et le nombre.

entier positif, mais ce n'est pas différent de naturel, alors tout ressemble exactement à la section précédente.

Voyons maintenant quelques nouveaux cas. Commençons par un indicateur égal à.

Tout nombre dans le degré zéro est égal à un:

Comme toujours, posons-nous la question : pourquoi en est-il ainsi ?

Considérez un certain degré avec une base. Prenez, par exemple, et multipliez par :

Donc, nous avons multiplié le nombre par, et nous avons obtenu le même qu'il était -. Et quel nombre doit-on multiplier pour que rien ne change ? C'est vrai, sur. Moyens.

On peut faire la même chose avec un nombre arbitraire :

Répétons la règle :

Tout nombre dans le degré zéro est égal à un.

Mais il existe des exceptions à de nombreuses règles. Et ici, c'est aussi là - c'est un nombre (comme base).

D'une part, il devrait être égal à n'importe quel degré - peu importe combien vous multipliez par vous-même, vous obtiendrez toujours zéro, c'est clair. Mais d'un autre côté, comme tout nombre au degré zéro, il doit être égal. Alors qu'est-ce qui est vrai ? Les mathématiciens ont décidé de ne pas s'impliquer et ont refusé d'élever de zéro à zéro. C'est-à-dire que maintenant nous ne pouvons pas seulement diviser par zéro, mais aussi l'élever à une puissance nulle.

Allons plus loin. En plus des nombres naturels et des nombres, les nombres négatifs appartiennent aux entiers. Pour comprendre ce qu'est un degré négatif, faisons comme la dernière fois : multiplions un nombre normal par le même dans degré négatif:

À partir de là, il est déjà facile d'exprimer ce que vous recherchez :

Maintenant, nous étendons la règle résultante à un degré arbitraire :

Alors, formulons une règle :

Un nombre à la puissance négative est l'inverse du même nombre à la puissance positive. Mais en même temps la base ne peut pas être nulle :(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Résumons :

I. Expression non précisée en cas. Si donc.

II. Tout nombre au degré zéro est égal à un :.

III. Un nombre différent de zéro est en puissance négative inverse du même nombre en puissance positive :.

Tâches pour une solution indépendante :

Eh bien, et, comme d'habitude, des exemples pour une solution indépendante :

Analyse des tâches pour une solution indépendante :

Je sais, je sais, les chiffres sont terribles, mais à l'examen, il faut être prêt à tout ! Résolvez ces exemples ou analysez leur solution si vous n'avez pas pu les résoudre et vous apprendrez à les gérer facilement à l'examen !

Continuons à élargir le cercle des nombres "appropriés" en tant qu'exposant.

Considérez maintenant nombres rationnels. Quels nombres sont dits rationnels ?

Réponse : tout ce qui peut être représenté sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers d'ailleurs.

Pour comprendre ce qu'est Degré fractionnaire, considérons la fraction :

Élevons les deux côtés de l'équation à la puissance :

Rappelons maintenant la règle concernant "Degré à degré":

Quel nombre doit être élevé à une puissance pour obtenir ?

Cette formulation est la définition de la racine ième.

Permettez-moi de vous rappeler : la racine de la ième puissance d'un nombre () est un nombre qui, lorsqu'il est élevé à une puissance, est égal à.

C'est-à-dire que la racine de la ième puissance est l'opération inverse de l'exponentiation :.

Il se trouve que. Evidemment ce cas particulier peut être étendu :.

Ajoutons maintenant le numérateur : qu'est-ce que c'est ? La réponse est facilement obtenue en utilisant la règle de degré à degré :

Mais la base peut-elle être n'importe quel nombre ? Après tout, la racine ne peut pas être extraite de tous les nombres.

Rien!

Rappelez-vous la règle : tout nombre élevé à une puissance paire est un nombre positif. C'est-à-dire que vous ne pouvez pas extraire des racines de degré pair à partir de nombres négatifs !

Et cela signifie que de tels nombres ne peuvent pas être élevés à une puissance fractionnaire avec un dénominateur pair, c'est-à-dire que l'expression n'a pas de sens.

Qu'en est-il de l'expression ?

Mais c'est là que le problème se pose.

Le nombre peut être représenté par d'autres fractions annulables, par exemple, ou.

Et il s'avère qu'il existe, mais n'existe pas, mais ce ne sont que deux enregistrements différents du même numéro.

Ou un autre exemple : une fois, alors vous pouvez écrire. Mais si nous écrivons l'indicateur d'une manière différente, et encore une fois, nous obtenons une nuisance : (c'est-à-dire que nous avons un résultat complètement différent !).

Pour éviter de tels paradoxes, nous considérons seule base positive avec exposant fractionnaire.

Donc si:

• - entier naturel;
• - un nombre entier;

Exemples:

Les exposants rationnels sont très utiles pour convertir des expressions enracinées, par exemple :

5 exemples pour s'entraîner

Analyse de 5 exemples pour la formation

Et maintenant le plus dur. Nous allons maintenant analyser note irrationnelle.

Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception de

En effet, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés sous forme de fraction, où et sont des nombres entiers (c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf les rationnels).

Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, global et rationnel, nous avons à chaque fois inventé une sorte d'"image", d'"analogie" ou de description en termes plus familiers.

Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ;

...nombre de puissance zéro- c'est pour ainsi dire un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à se multiplier, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas apparu - donc, le résultat n'est qu'une sorte de " nombre blanc ", à savoir le numéro ;

...exposant entier négatif- c'était comme si une sorte de "processus inverse" avait eu lieu, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Soit dit en passant, en sciences, un diplôme avec un indicateur complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'indicateur n'est même pas un nombre réel.

Mais à l'école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.

O NOUS SOMMES SRS QUE VOUS ALLEZ! (si vous apprenez à résoudre de tels exemples :))

Par exemple:

Décider vous-même:

Analyse des solutions :

1. Commençons par la règle déjà habituelle pour élever une puissance à une puissance :

Regardez maintenant l'indicateur. Il vous rappelle quelque chose ? On rappelle la formule de multiplication abrégée, la différence des carrés :

Dans ce cas,

Il se trouve que:

Réponse: .

2. On ramène les fractions en exposants à la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. Prenons par exemple :

Réponse : 16

3. Rien de spécial, on applique les propriétés habituelles des degrés :

NIVEAU AVANCÉ

Détermination du diplôme

Un diplôme est une expression de la forme :, où :

• — base du diplôme;
• - exposant.

Degré avec exposant naturel (n = 1, 2, 3, ...)

Élever un nombre à une puissance naturelle n signifie multiplier le nombre par lui-même par :

Degré entier (0, ± 1, ± 2, ...)

Si l'exposant est tout positif numéro:

Érection à zéro degré:

L'expression est indéfinie, car, d'une part, à tout degré - ceci, et d'autre part - tout nombre au ième degré - ceci.

Si l'exposant est négatif entier numéro:

(parce que vous ne pouvez pas diviser par).

Encore une fois à propos des zéros : l'expression n'est pas définie en cas. Si donc.

Exemples:

Note rationnelle

• - entier naturel;
• - un nombre entier;

Exemples:

Propriétés de puissance

Pour faciliter la résolution des problèmes, essayons de comprendre : d'où viennent ces propriétés ? Prouvons-les.

Voyons : qu'est-ce que et ?

Un prieuré :

Ainsi, du côté droit de cette expression, nous obtenons le produit suivant :

Mais par définition, c'est la puissance d'un nombre avec un exposant, c'est-à-dire :

C.Q.D.

Exemple : Simplifier l'expression.

Solution : .

Exemple : Simplifier l'expression.

Solution : Il est important de noter que dans notre règle nécessairement doit avoir les mêmes bases. Par conséquent, nous combinons les degrés avec la base, mais reste un facteur distinct :

Autre remarque importante : cette règle est - seulement pour le produit des degrés!

Je ne devrais en aucun cas écrire cela.

Comme pour la propriété précédente, revenons à la définition du degré :

Réorganisons cette pièce comme ceci :

Il s'avère que l'expression est multipliée par elle-même une fois, c'est-à-dire, selon la définition, c'est la ième puissance du nombre :

Essentiellement, cela peut être appelé « encadrer l'indicateur ». Mais vous ne devriez jamais faire cela au total : !

Rappelons-nous les formules de multiplication abrégées : combien de fois avons-nous voulu écrire ? Mais ce n'est pas vrai, après tout.

Un diplôme avec une base négative.

Jusqu'à présent, nous avons seulement discuté de la façon dont il devrait être indice degré. Mais quelle doit être la base ? En degrés avec Naturel indicateur la base peut être n'importe quel chiffre .

En effet, nous pouvons multiplier n'importe quels nombres les uns par les autres, qu'ils soient positifs, négatifs ou même. Pensons à quels signes ("" ou "") auront des pouvoirs de nombres positifs et négatifs ?

Par exemple, le nombre sera-t-il positif ou négatif ? UNE? ?

Avec le premier, tout est clair : peu importe combien de nombres positifs nous multiplions les uns par les autres, le résultat sera positif.

Mais le négatif est un peu plus intéressant. Après tout, nous nous souvenons d'une règle simple de la 6e année: "moins par moins donne un plus". C'est, ou. Mais si nous multiplions par (), nous obtenons -.

Et ainsi de suite jusqu'à l'infini : à chaque multiplication ultérieure, le signe changera. Il est possible de formuler de telles règles simples:

1. même degré, - nombre positif.
2. Un nombre négatif, érigé en impair degré, - nombre négatif.
3. Un nombre positif à n'importe quel degré est un nombre positif.
4. Zéro à n'importe quelle puissance est égal à zéro.

Décidez vous-même du signe que les expressions suivantes auront :

1.	2.	3.
4.	5.	6.

as-tu réussi ? Voici les réponses :

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dans les quatre premiers exemples, j'espère que tout est clair ? Nous regardons simplement la base et l'exposant et appliquons la règle appropriée.

Dans l'exemple 5), tout n'est pas non plus aussi effrayant qu'il n'y paraît : peu importe à quoi la base est égale - le degré est pair, ce qui signifie que le résultat sera toujours positif. Enfin, sauf quand la base est nulle. La fondation n'est pas égale, n'est-ce pas ? Evidemment non, puisque (parce que).

Exemple 6) n'est plus si simple. Ici, vous devez découvrir ce qui est le moins : ou ? Si vous vous en souvenez, il devient clair que, et par conséquent, la base est inférieure à zéro. C'est-à-dire que nous appliquons la règle 2 : le résultat sera négatif.

Et encore une fois, nous utilisons la définition de degré :

Tout est comme d'habitude - nous écrivons la définition des degrés et, les divisons les uns dans les autres, les divisons en paires et obtenons:

Avant d'examiner la dernière règle, résolvons quelques exemples.

Calculez les valeurs des expressions :

Solutions :

A part le huitième degré, que voyons-nous ici ? Nous rappelons le programme de 7e année. Alors souviens-toi? C'est la formule de la multiplication abrégée, à savoir la différence de carrés !

On a:

Regardons de près le dénominateur. Cela ressemble beaucoup à l'un des multiplicateurs du numérateur, mais qu'est-ce qui ne va pas ? Mauvais ordre des termes. S'ils étaient intervertis, on pourrait appliquer la règle 3. Mais comment faire ? Cela s'avère très facile : un degré pair du dénominateur nous aide ici.

Si vous le multipliez par, rien ne change, n'est-ce pas ? Mais maintenant il s'avère ce qui suit :

Les termes sont magiquement inversés. Ce "phénomène" est applicable à toute expression à degré pair : on peut librement changer les signes entre parenthèses. Mais il est important de se rappeler : tous les signes changent en même temps ! On ne peut pas le remplacer en changeant un seul inconvénient dont on ne veut pas !

Revenons à l'exemple :

Et encore la formule :

Alors maintenant la dernière règle :

Comment allons-nous le prouver ? Bien sûr, comme d'habitude : développons la notion de diplôme et simplifions :

Ouvrons maintenant les crochets. Combien de lettres y aura-t-il ? fois par multiplicateurs - à quoi cela ressemble-t-il ? Ce n'est rien de plus qu'une définition d'une opération multiplication: il n'y avait que des multiplicateurs. C'est, par définition, le degré d'un nombre avec un exposant :

Exemple:

Note irrationnelle

En plus des informations sur les degrés pour le niveau intermédiaire, voici le degré avec un exposant irrationnel. Toutes les règles et propriétés des degrés ici sont exactement les mêmes que pour un degré avec un exposant rationnel, à l'exception - après tout, par définition, les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés comme une fraction, où et sont des nombres entiers (qui c'est-à-dire que les nombres irrationnels sont tous des nombres réels sauf rationnels).

Lors de l'étude des diplômes avec un indicateur naturel, global et rationnel, nous avons à chaque fois inventé une sorte d'"image", d'"analogie" ou de description en termes plus familiers. Par exemple, un exposant naturel est un nombre multiplié par lui-même plusieurs fois ; un nombre au degré zéro est, pour ainsi dire, un nombre multiplié par lui-même une fois, c'est-à-dire qu'il n'a pas encore commencé à être multiplié, ce qui signifie que le nombre lui-même n'est même pas encore apparu - par conséquent, le résultat n'est qu'un sorte de « numéro vierge », à savoir le numéro ; un degré avec un exposant entier négatif est comme si une sorte de "processus inverse" avait eu lieu, c'est-à-dire que le nombre n'était pas multiplié par lui-même, mais divisé.

Il est extrêmement difficile d'imaginer un degré avec un exposant irrationnel (tout comme il est difficile d'imaginer un espace à 4 dimensions). C'est plutôt un objet purement mathématique que les mathématiciens ont créé pour étendre le concept de degré à tout l'espace des nombres.

Soit dit en passant, en sciences, un diplôme avec un indicateur complexe est souvent utilisé, c'est-à-dire que l'indicateur n'est même pas un nombre réel. Mais à l'école on ne pense pas à de telles difficultés, vous aurez l'occasion d'appréhender ces nouveaux concepts à l'institut.

Alors, que faisons-nous lorsque nous voyons un exposant irrationnel ? Nous essayons de toutes nos forces de nous en débarrasser ! :)

Par exemple:

Décider vous-même:

1)

2)

3)

Réponses:

1. On rappelle la formule de la différence des carrés. Réponse: .
2. Nous ramenons les fractions sous la même forme : soit les deux décimales, soit les deux ordinaires. On obtient par exemple :.
3. Rien de spécial, on applique les propriétés habituelles des degrés :

RÉSUMÉ DE LA SECTION ET DES FORMULES DE BASE

Degré est appelée une expression de la forme :, où :

Degré entier

degré, dont l'exposant est un nombre naturel (c'est-à-dire un nombre entier et positif).

Note rationnelle

degré, dont l'exposant est un nombre négatif et fractionnaire.

Note irrationnelle

degré, dont l'exposant est une fraction ou racine décimale infinie.

Propriétés de puissance

Caractéristiques des diplômes.

• Nombre négatif porté à même degré, - nombre positif.
• Nombre négatif porté à impair degré, - nombre négatif.
• Un nombre positif à n'importe quel degré est un nombre positif.
• Zéro est égal à n'importe quel degré.
• Tout nombre au degré zéro est égal à.

MAINTENANT VOTRE PAROLE...

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Parlez-nous de votre expérience avec les propriétés de diplôme.

Vous avez peut-être des questions. Ou des suggestions.

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Et bonne chance pour tes examens !

Évidemment, des nombres avec des puissances peuvent être ajoutés, comme d'autres quantités , en les ajoutant un à un avec leurs signes.

Ainsi, la somme de a 3 et b 2 est a 3 + b 2.
La somme de a 3 - b n et h 5 -d 4 est a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chances les mêmes degrés des mêmes variables peut être ajouté ou soustrait.

Ainsi, la somme de 2a 2 et 3a 2 est 5a 2.

Il est également évident que si vous prenez deux carrés a, ou trois carrés a, ou cinq carrés a.

Mais les diplômes différentes variables et divers degrés variables identiques, doivent être ajoutés par leur addition avec leurs signes.

Ainsi, la somme d'un 2 et d'un 3 est la somme d'un 2 + un 3.

Il est évident que le carré de a, et le cube de a, n'est pas égal au double du carré de a, mais au double du cube de a.

La somme de a 3 b n et 3a 5 b 6 est a 3 b n + 3a 5 b 6.

Soustraction degrés s'effectue de la même manière que l'addition, sauf que les signes de la soustraction doivent être modifiés en conséquence.

Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Multiplication de degrés

Les nombres avec des puissances peuvent être multipliés, comme d'autres quantités, en les écrivant l'un après l'autre, avec ou sans un signe de multiplication entre eux.

Ainsi, le résultat de la multiplication de a 3 par b 2 est a 3 b 2 ou aaabb.

Ou:
x -3 un m = un m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Le résultat du dernier exemple peut être ordonné en ajoutant les mêmes variables.
L'expression prendra la forme : a 5 b 5 y 3.

En comparant plusieurs nombres (variables) avec des puissances, nous pouvons voir que si deux d'entre eux sont multipliés, le résultat est un nombre (variable) avec une puissance égale à la somme degrés de termes.

Donc, un 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = un 5.

Ici 5 est la puissance du résultat de la multiplication, égale à 2 + 3, la somme des puissances des termes.

Donc, un n .a m = un m + n.

Pour a n, a est pris comme facteur autant de fois que la puissance de n est égale ;

Et a m, est pris comme facteur autant de fois que l'est la puissance de m ;

C'est pourquoi, degrés avec les mêmes tiges peuvent être multipliés en ajoutant les exposants.

Donc, un 2 .a 6 = un 2 + 6 = un 8. Et x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Ou:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Multiplier (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Réponse : x 4 - y 4.
Multiplier (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1).

Cette règle est également vraie pour les nombres dont les exposants sont - négatif.

1. Donc, un -2 .a -3 = un -5. Cela peut être écrit comme (1 / aa). (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Si a + b est multiplié par a - b, le résultat est a 2 - b 2 : c'est-à-dire

Le résultat de la multiplication de la somme ou de la différence de deux nombres est égal à la somme ou à la différence de leurs carrés.

Si la somme et la différence de deux nombres portés à carré, le résultat sera égal à la somme ou à la différence de ces nombres dans Quatrième degré.

Donc, (a - y) (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Division des diplômes

Les nombres de puissance peuvent être divisés, comme d'autres nombres, en soustrayant du diviseur, ou en les plaçant sous forme fractionnaire.

Donc a 3 b 2 divisé par b 2 est égal à 3.

Ou:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

Un 5 divisé par un 3 ressemble à $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Mais c'est égal à 2. Dans une série de nombres
un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.
n'importe quel nombre peut être divisé par un autre, et l'exposant sera égal à différence exposants des nombres divisibles.

Lors de la division des degrés avec la même base, leurs indicateurs sont soustraits..

Donc, y 3 : y 2 = y 3-2 = y 1. C'est-à-dire que $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

Et un n + 1 : a = un n + 1-1 = un n. C'est-à-dire que $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

Ou:
y 2m : y m = y m
8a n + m : 4a m = 2a n
12 (b + y) n : 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

La règle est également vraie pour les nombres avec négatif les valeurs des degrés.
Le résultat de la division d'un -5 par un -3 est un -2.
Aussi, $ \ frac (1) (aaaaa) : \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (a) $.

h 2 : h -1 = h 2 + 1 = h 3 ou $ h ^ 2 : \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

Il est nécessaire de très bien maîtriser la multiplication et la division des puissances, car de telles opérations sont très largement utilisées en algèbre.

Exemples d'exemples de résolution avec des fractions contenant des nombres avec des puissances

1. Diminuer les exposants en $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Réponse : $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. Diminuer les exposants en $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Réponse : $ \ frac (2x) (1) $ ou 2x.

3. Diminuer les exposants a 2 / a 3 et a -3 / a -4 et les ramener au dénominateur commun.
a 2 .a -4 est un premier numérateur -2.
a 3 .a -3 est un 0 = 1, le deuxième numérateur.
a 3 .a -4 est un -1, le numérateur commun.
Après simplification : a -2 / a -1 et 1 / a -1.

4. Diminuer les exposants 2a 4 / 5a 3 et 2 / a 4 et les ramener au dénominateur commun.
Réponse : 2a 3 / 5a 7 et 5a 5 / 5a 7 ou 2a 3 / 5a 2 et 5 / 5a 2.

5. Multiplier (a 3 + b) / b 4 par (a - b) / 3.

6. Multipliez (a 5 + 1) / x 2 par (b 2 - 1) / (x + a).

7. Multipliez b 4 / a -2 par h -3 / x et a n / y -3.

8. Divisez un 4 / y 3 par un 3 / y 2. Réponse : a/y.

9. Divisez (h 3 - 1) / d 4 par (d n + 1) / h.

Dans le dernier tutoriel vidéo, nous avons appris que le degré d'un certain fond de teint est une expression qui est le produit d'un fond de teint pour lui-même, pris en quantité, égal à degré. Étudions maintenant quelques-unes des propriétés et des opérations de puissance les plus importantes.

Par exemple, multiplions deux puissances différentes avec la même base :

Nous présentons ce travail dans son intégralité :

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Après avoir calculé la valeur de cette expression, nous obtenons le nombre 32. D'autre part, comme le montre le même exemple, 32 peut être représenté comme le produit de la même base (deux) prise 5 fois. Et en effet, si vous comptez, alors :

Ainsi, il est sûr de conclure que :

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Une règle similaire fonctionne bien pour n'importe quel indicateur et pour n'importe quelle raison. Cette propriété de multiplier le degré découle de la règle de conservation de la valeur des expressions lors des transformations du produit. Pour toute base a, le produit de deux expressions (a) x et (a) y est égal à a (x + y). En d'autres termes, lorsque des expressions avec la même base sont produites, le monôme final a un degré total formé par l'addition du degré des première et deuxième expressions.

La règle présentée fonctionne également très bien lors de la multiplication de plusieurs expressions. La condition principale est que les motifs pour tous soient les mêmes. Par exemple:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Il est impossible d'ajouter des degrés, et même d'effectuer des actions conjointes en loi de puissance avec deux éléments d'expression, si leurs bases sont différentes.
Comme le montre notre vidéo, en raison de la similitude des processus de multiplication et de division, les règles d'ajout de puissances dans le produit sont parfaitement transférées à la procédure de division. Considérez cet exemple :

Faisons une transformation terme par terme de l'expression dans sa forme complète et annulons les mêmes éléments dans le dividende et le diviseur :

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Le résultat final de cet exemple n'est pas si intéressant, car déjà au cours de sa solution, il est clair que la valeur de l'expression est égale au carré de deux. Et c'est deux que l'on obtient en soustrayant la puissance de la seconde expression à la puissance de la première.

Pour déterminer le degré du quotient, il faut soustraire le degré du diviseur du degré du dividende. La règle fonctionne avec la même base pour toutes ses valeurs et pour tous les degrés naturels. Par abstraction, on a :

(a) x / (a) y = (a) x - y

La définition du degré zéro découle de la règle de division des mêmes bases par des degrés. Evidemment, l'expression suivante est :

(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0

En revanche, si nous divisons plus de de manière visuelle, on a:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Lors de la réduction de tous les éléments visibles de la fraction, l'expression 1/1 est toujours obtenue, c'est-à-dire un. Par conséquent, il est généralement admis que toute base élevée à la puissance zéro est égale à un :

Quelle que soit la valeur de a.

Cependant, il sera absurde si 0 (pour toute multiplication, le donneur est toujours 0) est en quelque sorte égal à un, donc une expression de la forme (0) 0 (zéro au degré zéro) n'a tout simplement pas de sens, et au formule (a) 0 = 1 ajouter la condition : "si a n'est pas égal à 0".

Résolvons l'exercice. Trouvons la valeur de l'expression :

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Puisque la base est la même partout et est égale à 34, la valeur totale aura la même base avec le degré (selon les règles ci-dessus) :

En d'autres termes:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Réponse : l'expression est égale à un.