Préparation à l'examen. Résolution des inégalités logarithmiques et exponentielles par méthode de rationalisation

Parmi toute la variété des inégalités logarithmiques, les inégalités à base variable sont étudiées séparément. Ils sont résolus selon une formule spéciale, qui, pour une raison quelconque, est rarement racontée à l'école :

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

Au lieu de la case à cocher "∨", vous pouvez mettre n'importe quel signe d'inégalité : plus ou moins. L'essentiel est que dans les deux inégalités les signes soient les mêmes.

Nous nous débarrassons donc des logarithmes et réduisons le problème à l'inégalité rationnelle. Ce dernier est beaucoup plus facile à résoudre, mais lors de la suppression de logarithmes, des racines inutiles peuvent apparaître. Pour les couper, il suffit de trouver la plage de valeurs acceptables. Si vous avez oublié l'ODZ du logarithme, je vous recommande fortement de le répéter - voir "Qu'est-ce qu'un logarithme".

Tout ce qui concerne la plage de valeurs admissibles doit être écrit et résolu séparément :

f(x)> 0 ; g(x)> 0 ; k(x)> 0 ; k (x) 1.

Ces quatre inégalités constituent un système et doivent être remplies simultanément. Lorsque la plage de valeurs acceptables est trouvée, il reste à la croiser avec la solution de l'inégalité rationnelle - et la réponse est prête.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

Pour commencer, écrivons l'ODZ du logarithme :

Les deux premières inégalités sont remplies automatiquement, et la dernière devra être décrite. Puisque le carré d'un nombre est nul si et seulement si le nombre lui-même est nul, on a :

x 2 + 1 1 ;
x 2 0 ;
x 0.

Il s'avère que l'ODZ du logarithme est constitué de tous les nombres sauf zéro : x ∈ (−∞ 0) ∪ (0; + ∞). Résolvons maintenant l'inégalité principale :

Nous effectuons le passage d'une inégalité logarithmique à une inégalité rationnelle. Dans l'inégalité d'origine, il y a un signe "moins", ce qui signifie que l'inégalité résultante doit également être avec un signe "moins". Nous avons:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 x 2) x 2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

Les zéros de cette expression : x = 3 ; x = -3; x = 0. De plus, x = 0 est une racine de la seconde multiplicité, ce qui signifie qu'en la traversant, le signe de la fonction ne change pas. Nous avons:

On obtient x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). Cet ensemble est entièrement contenu dans l'ODZ du logarithme, ce qui signifie que c'est la réponse.

Transformer les inégalités logarithmiques

Souvent, l'inégalité d'origine diffère de celle ci-dessus. Cela peut être facilement corrigé en règles standard travailler avec des logarithmes - voir "Propriétés de base des logarithmes". À savoir:

1. Tout nombre peut être représenté sous forme de logarithme avec une base donnée ;
2. La somme et la différence des logarithmes avec les mêmes bases peuvent être remplacées par un seul logarithme.

Je voudrais également vous rappeler la plage de valeurs acceptables. Étant donné que l'inégalité d'origine peut contenir plusieurs logarithmes, il est nécessaire de trouver l'ODV pour chacun d'eux. Ainsi, régime général Les solutions des inégalités logarithmiques sont les suivantes :

1. Trouvez l'ODV de chaque logarithme inclus dans l'inégalité ;
2. Réduire l'inégalité à l'inégalité standard selon les formules d'addition et de soustraction de logarithmes ;
3. Résoudre l'inégalité résultante selon le schéma donné ci-dessus.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

Trouvons le domaine de définition (ODZ) du premier logarithme :

On résout par la méthode des intervalles. Trouvez les zéros du numérateur :

3x - 2 = 0 ;
x = 2/3.

Alors les zéros du dénominateur :

x - 1 = 0 ;
x = 1.

Nous marquons les zéros et les signes sur la flèche de coordonnées:

On obtient x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Le deuxième logarithme d'ODV sera le même. Si vous ne le croyez pas, vous pouvez le vérifier. Maintenant, nous transformons le deuxième logarithme pour qu'il y ait un deux à la base :

Comme vous pouvez le voir, les triplets à la base et devant le logarithme se sont contractés. Reçu deux logarithmes avec sur la même base... Nous les ajoutons :

bûche 2 (x - 1) 2< 2;
bûche 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Reçu l'inégalité logarithmique standard. On se débarrasse des logarithmes par la formule. Étant donné que l'inégalité d'origine contient un signe inférieur à, l'expression rationnelle résultante doit également être inférieure à zéro. Nous avons:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x (−1; 3).

Nous avons deux ensembles :

1. ODZ : x ∈ (−∞ 2/3) (1 ; + ∞) ;
2. Réponse du candidat : ​​x ∈ (−1 ; 3).

Il reste à traverser ces ensembles - on obtient la vraie réponse :

Nous nous intéressons à l'intersection des ensembles, nous sélectionnons donc les intervalles renseignés sur les deux flèches. On obtient x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - tous les points sont perforés.

Pensez-vous qu'il est encore temps avant l'examen, et que vous aurez le temps de vous préparer ? C'est peut-être le cas. Mais dans tous les cas, plus tôt l'étudiant commence sa formation, plus il réussit les examens. Aujourd'hui nous avons décidé de consacrer un article aux inégalités logarithmiques. C'est l'une des tâches, ce qui signifie une opportunité d'obtenir un point supplémentaire.

Savez-vous déjà ce qu'est un logarithme (log) ? Nous l'espérons vraiment. Mais même si vous n'avez pas de réponse à cette question, ce n'est pas un problème. Il est très facile de comprendre ce qu'est un logarithme.

Pourquoi exactement 4 ? Vous devez élever le nombre 3 à une telle puissance pour obtenir 81. Lorsque vous comprenez le principe, vous pouvez procéder à des calculs plus complexes.

Vous avez dépassé les inégalités il y a quelques années. Et depuis, on les rencontre constamment en mathématiques. Si vous avez des problèmes à résoudre des inégalités, consultez la section correspondante.
Maintenant que nous nous sommes familiarisés avec les concepts séparément, passons à leur examen en général.

L'inégalité logarithmique la plus simple.

Le plus simple inégalités logarithmiques ne sont pas limités à cet exemple, il y en a trois autres, uniquement avec d'autres signes. Pourquoi est-ce nécessaire ? Mieux comprendre comment résoudre une inégalité avec des logarithmes. Maintenant, nous allons donner un exemple plus applicable, il est encore assez simple, nous laisserons les inégalités logarithmiques complexes pour plus tard.

Comment résoudre cela ? Tout commence avec ODZ. Cela vaut la peine d'en savoir plus si vous voulez toujours résoudre facilement une inégalité.

Qu'est-ce que l'ODU ? ODZ pour les inégalités logarithmiques

L'abréviation signifie plage de valeurs valides. Dans les tâches de l'examen, cette formulation apparaît souvent. ODZ vous est utile non seulement dans le cas d'inégalités logarithmiques.

Reprenez l'exemple ci-dessus. Nous allons considérer l'EDS basée sur celle-ci, afin que vous compreniez le principe, et la solution des inégalités logarithmiques ne soulève aucune question. De la définition du logarithme, il s'ensuit que 2x + 4 doit être supérieur à zéro. Dans notre cas, cela signifie ce qui suit.

Ce nombre, par définition, doit être positif. Résoudre l'inégalité ci-dessus. Cela peut se faire même oralement, ici il est clair que X ne peut pas être inférieur à 2. La solution à l'inégalité sera la définition de la plage de valeurs admissibles.
Passons maintenant à la résolution de l'inégalité logarithmique la plus simple.

Nous écartons les logarithmes eux-mêmes des deux côtés de l'inégalité. Que nous reste-t-il comme résultat ? Inégalité simple.

Il n'est pas difficile de le résoudre. X doit être supérieur à -0,5. Maintenant, nous combinons les deux valeurs obtenues dans le système. Ainsi,

Ce sera la région des valeurs admissibles pour l'inégalité logarithmique considérée.

Pourquoi avez-vous besoin d'ODZ ? C'est l'occasion d'éliminer les réponses incorrectes et impossibles. Si la réponse n'est pas dans la plage des valeurs acceptables, alors la réponse n'a tout simplement pas de sens. Cela mérite d'être rappelé longtemps, car dans l'USE, il est souvent nécessaire de rechercher ODZ, et cela ne concerne pas seulement les inégalités logarithmiques.

Algorithme pour résoudre l'inégalité logarithmique

La solution se compose de plusieurs étapes. Tout d'abord, vous devez trouver la plage de valeurs valides. Il y aura deux valeurs dans l'ODZ, nous en avons discuté ci-dessus. Ensuite, vous devez résoudre l'inégalité elle-même. Les méthodes de résolution sont les suivantes :

• méthode de remplacement du multiplicateur ;
• décomposition;
• méthode de rationalisation.

Selon la situation, vous devez utiliser l'une des méthodes ci-dessus. Passons directement à la solution. Nous allons révéler la méthode la plus populaire qui convient pour résoudre les tâches USE dans presque tous les cas. Ensuite, nous examinerons la méthode de décomposition. Cela peut aider si vous rencontrez des inégalités particulièrement délicates. Donc, l'algorithme pour résoudre l'inégalité logarithmique.

Exemples de solutions :

Nous n'avons pas pris une telle inégalité pour rien ! Faites attention à la base. Rappel : s'il est supérieur à un, le signe reste le même lorsque la plage de valeurs acceptables est trouvée ; sinon, le signe d'inégalité doit être modifié.

On obtient ainsi l'inégalité :

Maintenant, nous amenons le côté gauche à la forme de l'équation égale à zéro. Au lieu du signe "moins" on met "égal", on résout l'équation. Ainsi, nous retrouverons l'ODZ. Nous espérons que vous n'aurez aucun problème à résoudre une équation aussi simple. Les réponses sont -4 et -2. Ce n'est pas tout. Il faut afficher ces points sur la carte, disposer "+" et "-". Que faut-il faire pour cela ? Remplacez les nombres des intervalles dans l'expression. Là où les valeurs sont positives, on y met "+".

Réponse: x ne peut pas être supérieur à -4 et inférieur à -2.

Nous avons trouvé la plage de valeurs valides uniquement pour le côté gauche, nous devons maintenant trouver la plage de valeurs valides pour le côté droit. C'est beaucoup plus facile. Réponse : -2. Nous intersectons les deux zones obtenues.

Et ce n'est que maintenant que nous commençons à nous attaquer à l'inégalité elle-même.

Simplifions-le au maximum pour le rendre plus facile à résoudre.

Appliquez à nouveau la méthode d'espacement dans la solution. Oublions les calculs, avec lui tout est déjà clair de l'exemple précédent. Réponse.

Mais cette méthode convient si l'inégalité logarithmique a la même base.

Résoudre des équations logarithmiques et des inégalités avec des raisons différentes suppose une réduction initiale à une base. Suivez ensuite la méthode ci-dessus. Mais il y a plus cas difficile... Considérons l'un des types les plus difficiles d'inégalités logarithmiques.

Inégalités logarithmiques à base variable

Comment résoudre des inégalités avec de telles caractéristiques ? Oui, et cela peut être trouvé dans l'examen. Résoudre les inégalités de la manière suivante sera également utile pour votre processus éducatif... Regardons la question en détail. Abandonnons la théorie, passons directement à la pratique. Pour résoudre les inégalités logarithmiques, il suffit de lire l'exemple une fois.

Pour résoudre l'inégalité logarithmique de la forme présentée, il faut réduire le membre de droite au logarithme de même base. Le principe ressemble à des transitions équivalentes. En conséquence, l'inégalité ressemblera à ceci.

En fait, il reste à créer un système d'inégalités sans logarithmes. En utilisant la méthode de rationalisation, on passe à un système d'inégalités équivalent. Vous comprendrez la règle elle-même lorsque vous substituerez les valeurs correspondantes et suivrez leurs modifications. Le système aura les inégalités suivantes.

En utilisant la méthode de rationalisation lors de la résolution des inégalités, vous devez vous rappeler ce qui suit: il est nécessaire de soustraire un de la base, x, par la définition du logarithme, est soustrait des deux côtés de l'inégalité (de droite à gauche), deux expressions sont multipliés et mis sous le signe original par rapport à zéro.

Une autre solution est effectuée par la méthode des intervalles, tout est simple ici. Il est important que vous compreniez les différences entre les méthodes de résolution, puis tout commencera à s'arranger facilement.

Il existe de nombreuses nuances dans les inégalités logarithmiques. Les plus simples d'entre eux sont assez faciles à résoudre. Comment faire en sorte que vous puissiez résoudre chacun d'eux sans problème ? Vous avez déjà reçu toutes les réponses dans cet article. Maintenant, vous avez une longue pratique devant vous. Entraînez-vous régulièrement à résoudre une variété de problèmes au cours de l'examen et vous pourrez obtenir le score le plus élevé. Bonne chance dans votre entreprise difficile!

Souvent, lors de la résolution d'inéquations logarithmiques, il y a des problèmes avec une base variable du logarithme. Ainsi, une inégalité de la forme

est une inégalité scolaire standard. En règle générale, pour le résoudre, une transition vers un ensemble équivalent de systèmes est appliquée :

L'inconvénient de cette méthode est la nécessité de résoudre sept inégalités, sans compter deux systèmes et un ensemble. Déjà avec des fonctions quadratiques données, la résolution d'un ensemble peut prendre du temps.

Une manière alternative, moins laborieuse, de résoudre cette inégalité standard peut être proposée. Pour cela, nous prenons en compte le théorème suivant.

Théorème 1. Soit une fonction croissante continue sur l'ensemble X. Alors sur cet ensemble le signe de l'incrément de la fonction coïncidera avec le signe de l'incrément de l'argument, c'est-à-dire , où .

Remarque : si une fonction continue décroissante sur l'ensemble X, alors.

Revenons aux inégalités. Passons au logarithme décimal (vous pouvez aller à n'importe quel avec une base constante supérieure à un).

Vous pouvez maintenant utiliser le théorème en notant au numérateur l'incrément des fonctions et au dénominateur. Donc c'est vrai

En conséquence, le nombre de calculs menant à la réponse est approximativement divisé par deux, ce qui non seulement permet de gagner du temps, mais vous permet également de faire potentiellement moins d'erreurs arithmétiques et « imprudences ».

Exemple 1.

En comparant avec (1), nous trouvons , , .

En passant à (2) nous aurons :

Exemple 2.

En comparant avec (1), nous trouvons,,.

En passant à (2) nous aurons :

Exemple 3.

Puisque le membre de gauche de l'inégalité est une fonction croissante pour et , alors la réponse est définie.

L'ensemble d'exemples dans lesquels le théorème 1 peut être appliqué peut être facilement étendu si le théorème 2 est pris en compte.

Laissez sur le plateau X les fonctions,,, sont définies, et sur cet ensemble les signes et coïncident, c'est-à-dire alors ce sera juste.

Exemple 4.

Exemple 5.

Avec l'approche standard, l'exemple est résolu selon le schéma : le produit est inférieur à zéro, lorsque les facteurs sont de signes opposés. Celles. on considère l'ensemble de deux systèmes d'inégalités, dans lesquels, comme indiqué au début, chaque inégalité se divise en sept autres.

Si l'on prend en compte le théorème 2, alors chacun des facteurs, compte tenu de (2), peut être remplacé par une autre fonction qui a le même signe dans cet exemple O.D.Z.

La méthode consistant à remplacer l'incrément d'une fonction par un incrément de l'argument, en tenant compte du théorème 2, s'avère très pratique pour résoudre les problèmes typiques C3 de l'examen.

Exemple 6.

Exemple 7.

... Notons. On a

... Notez que le remplacement implique :. En revenant à l'équation, on obtient .

Exemple 8.

Dans les théorèmes que nous utilisons, il n'y a aucune restriction sur les classes de fonctions. Dans cet article, par exemple, les théorèmes ont été appliqués à la résolution d'inéquations logarithmiques. Les quelques exemples suivants démontreront la promesse de la méthode pour résoudre d'autres types d'inégalités.