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Exemples et solutions de fractions complexes. Comment résoudre des exemples avec des fractions

Cet article couvre les actions sur les fractions. Les règles d'addition, de soustraction, de multiplication, de division ou d'exponentiation de fractions de la forme A B, où A et B peuvent être des nombres, des expressions numériques ou des expressions à variables, seront formées et justifiées. En conclusion, nous considérerons des exemples de solutions avec une description détaillée.

Règles générales pour effectuer des actions avec des fractions numériques

Les fractions numériques générales ont un numérateur et un dénominateur, qui contiennent des nombres naturels ou des expressions numériques. Si nous considérons des fractions telles que 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 + , 2 0, 5 ln 3, alors il est clair que le numérateur et le dénominateur peuvent avoir non seulement des nombres, mais aussi des expressions d'un plan.

Définition 1

Il existe des règles pour effectuer des actions avec des fractions ordinaires. Il convient également aux fractions générales :

Lors de la soustraction de fractions ayant les mêmes dénominateurs, seuls les numérateurs sont additionnés et le dénominateur reste le même, à savoir : a d ± c d = a ± c d, les valeurs a, c et d 0 sont des nombres ou des expressions numériques.
Lors de l'addition ou de la soustraction de fractions avec des dénominateurs différents, il est nécessaire de réduire au total, puis d'ajouter ou de soustraire les fractions résultantes avec les mêmes indicateurs. Littéralement, cela ressemble à ceci ab ± cd = a p ± c rs, où les valeurs a, b 0, c, d ≠ 0, p 0, r ≠ 0, s 0 sont des nombres réels, et b p = dr = s. Lorsque p = d et r = b, alors a b ± c d = a d ± c d b d.
Lors de la multiplication de fractions, une action est effectuée avec les numérateurs, puis avec les dénominateurs, on obtient alors a b c d = a c b d, où a, b 0, c, d 0 agissent comme des nombres réels.
Lors de la division d'une fraction par une fraction, la première est multipliée par la seconde inverse, c'est-à-dire que nous remplaçons le numérateur et le dénominateur : a b : c d = a b d c.

Justification des règles

Définition 2

Il y a les points mathématiques suivants sur lesquels s'appuyer lors du calcul :

barre fractionnaire signifie signe de division ;
la division par un nombre est considérée comme une multiplication par sa réciproque ;
appliquer les propriétés des actions avec des nombres réels ;
application de la propriété de base des fractions et des inégalités numériques.

Avec leur aide, vous pouvez effectuer des transformations de la forme :

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s; ab cd = a db d b cb d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 B d - 1 = a d b cb d b d - 1 = (a c) (b d) - 1 = a cb d

Exemples de

Dans le paragraphe précédent, il a été question d'actions avec des fractions. C'est après cela que la fraction doit être simplifiée. Ce sujet a été discuté en détail dans le paragraphe sur la conversion des fractions.

Tout d'abord, regardons un exemple d'addition et de soustraction de fractions avec le même dénominateur.

Exemple 1

Étant donné les fractions 8 2, 7 et 1 2, 7, alors selon la règle il faut additionner le numérateur et réécrire le dénominateur.

Solution

On obtient alors une fraction de la forme 8 + 1 2, 7. Après avoir terminé l'addition, on obtient une fraction de la forme 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Par conséquent, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Réponse: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Il existe une autre solution. Pour commencer, une transition est effectuée vers la forme d'une fraction ordinaire, après quoi nous effectuons une simplification. Cela ressemble à ceci :

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Exemple 2

Soustraire de 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 fractions de la forme 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1.

Puisque les dénominateurs sont égaux, cela signifie que nous calculons la fraction avec le même dénominateur. On obtient ça

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Il existe des exemples de calcul de fractions avec différents dénominateurs. Un point important est la réduction à un dénominateur commun. Sans cela, nous ne pourrons pas effectuer d'autres actions avec des fractions.

Le processus ressemble vaguement à la réduction du dénominateur commun. C'est-à-dire qu'une recherche est effectuée pour le facteur le moins commun dans le dénominateur, après quoi les facteurs manquants sont ajoutés aux fractions.

Si les fractions à ajouter n'ont pas de facteurs communs, alors leur produit peut les devenir.

Exemple 3

Prenons l'exemple de l'addition des fractions 2 3 5 + 1 et 1 2.

Solution

Dans ce cas, le dénominateur commun est le produit des dénominateurs. On obtient alors 2 · 3 5 + 1. Ensuite, lors de la définition de facteurs supplémentaires, nous avons qu'à la première fraction, il est égal à 2 et à la seconde 3 5 + 1. Après multiplication, les fractions sont réduites à la forme 4 2 · 3 5 + 1. La distribution générale 1 2 aura la forme 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Nous ajoutons les expressions fractionnaires résultantes et obtenons que

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Réponse: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Lorsque nous traitons de fractions générales, le plus petit dénominateur commun n'est généralement pas le cas. Il n'est pas rentable de prendre le produit des numérateurs comme dénominateur. Tout d'abord, vous devez vérifier s'il existe un numéro qui a moins de valeur que leur produit.

Exemple 4

Considérons, par exemple, 1 6 2 1 5 et 1 4 2 3 5, lorsque leur produit est 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5. Ensuite, nous prenons 12 · 2 3 5 comme dénominateur commun.

Considérez des exemples de multiplications de fractions générales.

Exemple 5

Pour ce faire, vous devez multiplier 2 + 1 6 et 2 · 5 3 · 2 + 1.

Solution

La règle suivante doit être réécrite et le produit des numérateurs doit être écrit sous la forme du dénominateur. On obtient que 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Lorsque la fraction est multipliée, des abréviations peuvent être faites pour la simplifier. Alors 5 3 3 2 + 1 : 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10.

En utilisant la règle de transition de la division à la multiplication par une fraction inverse, on obtient l'inverse de la fraction donnée. Pour ce faire, le numérateur et le dénominateur sont intervertis. Prenons un exemple :

5 3 3 2 + 1 : 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Ensuite, ils doivent effectuer la multiplication et simplifier la fraction résultante. Si nécessaire, débarrassez-vous de l'irrationalité dans le dénominateur. On obtient ça

5 3 3 2 + 1 : 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Réponse: 5 3 3 2 + 1 : 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Cette clause est applicable lorsqu'un nombre ou une expression numérique peut être représenté comme une fraction avec un dénominateur égal à 1, alors l'action avec une telle fraction est considérée comme une clause distincte. Par exemple, l'expression 1 6 · 7 4 - 1 · 3 montre que la racine de 3 peut être remplacée par une autre expression 3 1. Alors cet enregistrement ressemblera à la multiplication de deux fractions de la forme 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Exécuter une action sur des fractions contenant des variables

Les règles discutées dans le premier article s'appliquent aux actions avec des fractions contenant des variables. Considérez la règle de soustraction lorsque les dénominateurs sont les mêmes.

Il est nécessaire de prouver que A, C et D (D différent de zéro) peuvent être n'importe quelles expressions, et l'égalité A D ± C D = A ± C D est équivalente à sa plage de valeurs valides.

Il est nécessaire de prendre un ensemble de variables DHS. Alors A, C, D doivent prendre les valeurs correspondantes a 0, c 0 et d 0... Une substitution de la forme A D ± C D conduit à une différence de la forme a 0 d 0 ± c 0 d 0, où, selon la règle d'addition, on obtient une formule de la forme a 0 ± c 0 d 0. Si nous substituons l'expression A ± C D, alors nous obtenons la même fraction de la forme a 0 ± c 0 d 0. Par conséquent, nous concluons que la valeur sélectionnée satisfaisant l'ODZ, A ± C D et A D ± C D sont considérées comme égales.

Pour toute valeur des variables, ces expressions seront égales, c'est-à-dire qu'elles sont appelées identiquement égales. Cela signifie que cette expression est considérée comme une égalité prouvable de la forme A D ± C D = A ± C D.

Exemples d'addition et de soustraction de fractions avec des variables

Lorsque les dénominateurs sont les mêmes, il suffit d'ajouter ou de soustraire les numérateurs. Cette fraction peut être simplifiée. Parfois, vous devez travailler avec des fractions identiques, mais à première vue, cela est invisible, car il est nécessaire d'effectuer certaines transformations. Par exemple, x 2 3 x 1 3 + 1 et x 1 3 + 1 2 ou 1 2 sin 2 α et sin a cos a. Le plus souvent, une simplification de l'expression originale est requise afin de voir les mêmes dénominateurs.

Exemple 6

Calculer : 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - xx + x - 2, 2) lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (lgx + 2), x - 1 x - 1 + xx + 1.

Solution

Pour faire un calcul, vous devez soustraire des fractions qui ont le même dénominateur. On obtient alors que x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2. Après cela, vous pouvez étendre les parenthèses avec la réduction des termes similaires. On obtient que x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
Les dénominateurs étant les mêmes, il ne reste plus qu'à additionner les numérateurs, en laissant le dénominateur : lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (lgx + 2) = lg 2 x + 4 + 4 x (lgx + 2)
L'ajout était terminé. On voit qu'il est possible de réduire la fraction. Son numérateur peut être plié selon la formule du carré de la somme, on obtient alors (l g x + 2) 2 à partir des formules de multiplication abrégées. Ensuite, nous obtenons que
l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
Fractions données de la forme x - 1 x - 1 + x x + 1 avec des dénominateurs différents. Après la transformation, vous pouvez procéder à l'ajout.

Envisagez une solution en deux temps.

La première consiste à décomposer le dénominateur de la première fraction en facteurs à l'aide de carrés, et avec sa réduction ultérieure. On obtient une fraction de la forme

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Par conséquent, x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1.

Dans ce cas, il faut se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

La deuxième façon consiste à multiplier le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par l'expression x - 1. Ainsi, nous nous débarrassons de l'irrationalité et passons à l'addition de fractions en présence du même dénominateur. Puis

x - 1 x - 1 + xx + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - xx - 1 = x - 1 + xx - xx - 1

Réponse: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - xx + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (Lgx + 2) = lgx + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + xx + 1 = x - 1 + xx - xx - 1.

Dans le dernier exemple, nous avons constaté que la réduction à un dénominateur commun est inévitable. Pour ce faire, vous devez simplifier les fractions. Pour l'addition ou la soustraction, vous devez toujours rechercher un dénominateur commun, qui ressemble au produit des dénominateurs avec des facteurs supplémentaires ajoutés aux numérateurs.

Exemple 7

Calculer les valeurs des fractions : 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin xx 5 ln (x + 1) (2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos xx + x

Solution

Le dénominateur ne nécessite aucun calcul compliqué, vous devez donc choisir leur produit sous la forme 3 x 7 + 2 2, puis x 7 + 2 2 à la première fraction est choisi comme facteur supplémentaire, et 3 à la seconde. En multipliant, on obtient une fraction de la forme x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = xx 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
On peut voir que les dénominateurs sont présentés comme un produit, ce qui signifie que des transformations supplémentaires sont inutiles. Le dénominateur commun sera un produit de la forme x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4. Donc x 4 est le facteur complémentaire de la première fraction, et ln (x + 1) à la seconde. Ensuite, nous soustrayons et obtenons ceci:
x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin xx 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = xx 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4 )
Cet exemple est logique lorsque l'on travaille avec des dénominateurs de fractions. Il faut appliquer les formules de la différence des carrés et du carré de la somme, puisque ce sont elles qui permettront d'aller à une expression de la forme 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. On voit que les fractions sont réduites à un dénominateur commun. On obtient que cos x - x · cos x + x 2.

Ensuite, nous obtenons que

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x Cos x + x 2

Réponse:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin xx 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = xx 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos xx + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2.

Exemples de multiplication de fractions avec des variables

Lors de la multiplication de fractions, le numérateur est multiplié par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Ensuite, la propriété de réduction peut être appliquée.

Exemple 8

Multipliez les fractions x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 et 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Solution

Il faut multiplier. On obtient ça

x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 X + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 péché (2 x - x)

Le nombre 3 est transféré en premier lieu pour la commodité des calculs, et vous pouvez réduire la fraction par x 2, nous obtenons alors une expression de la forme

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 péché (2 x - x)

Réponse: x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2x-x).

Division

La division pour les fractions est similaire à la multiplication, puisque la première fraction est multipliée par la seconde inverse. Si nous prenons, par exemple, la fraction x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 et divisons par 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, alors on peut l'écrire sous la forme

x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 : 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x), puis remplacer par un produit de la forme x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 péché (2 x - x)

Exponentiation

Passons à l'examen des actions avec des fractions générales avec élévation à une puissance. S'il y a un degré avec un exposant naturel, alors l'action est considérée comme une multiplication des mêmes fractions. Mais il est recommandé d'utiliser une approche générale basée sur les propriétés des degrés. Toutes les expressions A et C, où C n'est pas identiquement égal à zéro, et tout réel r sur l'ODZ pour une expression de la forme A C r, l'égalité A C r = A r C r est vraie. Le résultat est une fraction élevée à une puissance. Par exemple, considérez :

x 0,7 - ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0,7 - π ln 3 x - 2 - 5 2,5 x + 1 2, 5

L'ordre des actions avec les fractions

Les actions sur les fractions sont effectuées selon certaines règles. En pratique, on remarque qu'une expression peut contenir plusieurs fractions ou expressions fractionnaires. Ensuite, il est nécessaire d'effectuer toutes les actions dans un ordre strict : élever à une puissance, multiplier, diviser, puis additionner et soustraire. S'il y a des crochets, la première action est effectuée en eux.

Exemple 9

Évaluer 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x.

Solution

Puisque nous avons le même dénominateur, alors 1 - x cos x et 1 cos x, mais il est impossible de soustraire selon la règle, d'abord les actions entre parenthèses sont effectuées, puis la multiplication, puis l'addition. Ensuite, lors du calcul, nous trouvons que

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

En substituant l'expression à l'originale, nous obtenons que 1 - x cos x - 1 cos x x + 1 x. En multipliant des fractions, on a : 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x. En faisant toutes les substitutions, on obtient 1 - x cos x - x + 1 cos x x. Vous devez maintenant travailler avec des fractions qui ont des dénominateurs différents. On a:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Réponse: 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x.

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Fraction simple(ou simplement, une fraction) est une partie d'une unité ou plusieurs parties égales (fractions) d'une unité.

fractions simples, numérateur, dénominateur. L'anneau est divisé en 5 secteurs. 3 d'entre eux sont rouges.

Dénominateur de fraction- Un nombre indiquant en combien de fractions l'unité est divisée.

Numérateur de fractions- Un nombre indiquant le nombre de battements pris.

Enregistrer:

\ [\ frac (3) (5) \]

ou 3/5 (trois cinquièmes), ici 3 est le numérateur, 5 est le dénominateur.

Si le numérateur est inférieur au dénominateur, alors la fraction est inférieure à un et est dite correcte :

\ [\ frac (3) (5) est une fraction régulière. \]

Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à un.

Si le numérateur est supérieur au dénominateur, la fraction est supérieure à un. Dans les deux derniers cas, la fraction est dite incorrecte.

Par exemple:

\ [\ frac (5) (5), \ frac (17) (5) sont des fractions impropres. \]

Pour isoler le plus grand entier dans une fraction impropre, divisez le numérateur par le dénominateur. Si la division est effectuée sans reste, alors la fraction impropre prise est égale au quotient.

Par exemple:

\ [\ frac (45) (5) = 45 : 5 = 9 \]

Numéros mixtes

Si la division est effectuée avec un reste, alors le quotient (incomplet) donne l'entier souhaité, tandis que le reste devient le numérateur de la partie fractionnaire ; le dénominateur de la partie fractionnaire reste le même.

Exemple:

Une fraction est donnée

\ [\ frac (48) (5) \]

Divisez 48 par 5. Nous obtenons le quotient 9 et le reste 3.

\ [\ frac (48) (5) = 9 \ frac (3) (5) \]

\ [9 \ frac (3) (5) \]

appelé mixte. La partie fractionnaire d'un nombre fractionnaire peut également être une fraction impropre.

Par exemple:

\ [7 \ frac (13) (5) \]

alors vous pouvez sélectionner le plus grand entier de la partie fractionnaire et représenter le nombre mixte de telle sorte que la partie fractionnaire devienne une fraction régulière (ou disparaisse complètement).

Par exemple:

\ [7 \ frac (13) (5) = 7 + \ frac (13) (5) = 7 + 2 \ frac (3) (5) = 9 \ frac (3) (5) \]

Les nombres mixtes sont généralement amenés sous cette forme.

Il est souvent nécessaire (par exemple, lors de la multiplication de fractions) de résoudre une question de nature opposée.

Les fractions sont des nombres ordinaires et peuvent également être ajoutées et soustraites. Mais du fait qu'ils ont un dénominateur, ils nécessitent des règles plus complexes que pour les entiers.

Considérons le cas le plus simple où il y a deux fractions avec le même dénominateur. Puis:

Pour additionner des fractions avec le même dénominateur, additionnez leurs numérateurs et laissez le dénominateur inchangé.

Pour soustraire des fractions ayant le même dénominateur, soustrayez le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction et laissez le dénominateur inchangé.

Dans chaque expression, les dénominateurs des fractions sont égaux. Par la définition de l'addition et de la soustraction de fractions, on obtient :

Comme vous pouvez le voir, rien de compliqué : il suffit d'ajouter ou de soustraire les numérateurs et le tour est joué.

Mais même dans des actions aussi simples, les gens parviennent à faire des erreurs. Ce qu'on oublie le plus souvent, c'est que le dénominateur ne change pas. Par exemple, lorsqu'ils sont ajoutés, ils commencent également à ajouter, et c'est fondamentalement faux.

Il est assez facile de se débarrasser de la mauvaise habitude d'ajouter des dénominateurs. Essayez de faire la même chose pour la soustraction. Du coup, le dénominateur sera nul, et la fraction (soudain !) perdra son sens.

Par conséquent, rappelez-vous une fois pour toutes : lors de l'addition et de la soustraction, le dénominateur ne change pas !

De plus, beaucoup font des erreurs lorsqu'ils additionnent plusieurs fractions négatives. Il y a confusion avec les signes : où mettre un moins, et où mettre un plus.

Ce problème est également très simple à résoudre. Il suffit de se rappeler que le moins avant le signe de la fraction peut toujours être transféré au numérateur - et vice versa. Et bien sûr, n'oubliez pas deux règles simples :

Plus et moins donnent un moins ;
Deux points négatifs font un affirmatif.

Analysons tout cela avec des exemples précis :

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Dans le premier cas, tout est simple, mais dans le second, on ajoute des moins aux numérateurs de fractions :

Que faire si les dénominateurs sont différents

Vous ne pouvez pas additionner directement des fractions avec des dénominateurs différents. Du moins, cette méthode m'est inconnue. Cependant, les fractions originales peuvent toujours être réécrites afin que les dénominateurs deviennent les mêmes.

Il existe de nombreuses façons de convertir des fractions. Trois d'entre elles sont abordées dans la leçon « Réduire les fractions à un dénominateur commun », nous ne nous y attarderons donc pas ici. Regardons mieux les exemples :

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Dans le premier cas, nous ramenons les fractions à un dénominateur commun en utilisant la méthode « entrecroisée ». Dans la seconde, nous chercherons le LCM. Notez que 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Les derniers facteurs de ces développements sont égaux et les premiers sont premiers entre eux. Par conséquent, LCM (6 ; 9) = 2 3 3 = 18.

Que faire si une fraction a une partie entière

Je peux vous plaire : les différents dénominateurs pour les fractions ne sont pas encore le plus grand mal. Beaucoup plus d'erreurs se produisent lorsque toute la partie est sélectionnée dans les fractions.

Bien sûr, il existe ses propres algorithmes d'addition et de soustraction pour de telles fractions, mais ils sont assez compliqués et nécessitent une longue étude. Mieux vaut utiliser le schéma simple ci-dessous :

Convertissez toutes les fractions contenant une partie entière en fractions incorrectes. Nous obtenons des termes normaux (même avec des dénominateurs différents), qui sont calculés selon les règles discutées ci-dessus ;
En fait, calculez la somme ou la différence des fractions résultantes. En conséquence, nous allons pratiquement trouver la réponse ;
Si c'est tout ce qui était requis dans le problème, nous effectuons la transformation inverse, c'est-à-dire nous nous débarrassons de la fraction incorrecte, en mettant en évidence toute la partie qu'elle contient.

Les règles pour aller aux fractions impropres et mettre en évidence toute la partie sont décrites en détail dans la leçon "Qu'est-ce qu'une fraction numérique". Si vous ne vous en souvenez pas, assurez-vous de le répéter. Exemples:

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Tout est simple ici. Les dénominateurs à l'intérieur de chaque expression sont égaux, il reste donc à traduire toutes les fractions en fractions incorrectes et à compter. Nous avons:

Pour garder les choses simples, j'ai sauté certaines des étapes évidentes dans les derniers exemples.

Une petite note pour les deux derniers exemples, où les fractions avec une partie entière en surbrillance sont soustraites. Un moins devant la deuxième fraction signifie que c'est la fraction entière qui est soustraite, et pas seulement sa partie entière.

Relisez cette phrase à nouveau, jetez un œil aux exemples - et réfléchissez-y. C'est là que les débutants font un grand nombre d'erreurs. Ils aiment donner de telles tâches sur des papiers de test. Vous les rencontrerez également à plusieurs reprises dans les tests de cette leçon, qui sera publiée prochainement.

Résumé : schéma général de calcul

En conclusion, je vais donner un algorithme général qui vous aidera à trouver la somme ou la différence de deux ou plusieurs fractions :

Si une ou plusieurs fractions ont une partie entière, convertissez ces fractions en fractions incorrectes ;
Apportez toutes les fractions à un dénominateur commun de la manière qui vous convient (à moins, bien sûr, que les auteurs du problème ne l'aient fait) ;
Additionner ou soustraire les nombres résultants selon les règles d'addition et de soustraction de fractions ayant les mêmes dénominateurs;
Réduisez le résultat si possible. Si la fraction s'avère erronée, sélectionnez la partie entière.

N'oubliez pas qu'il est préférable de sélectionner toute la partie à la toute fin du problème, juste avant d'écrire la réponse.

Comment apprendre à résoudre des fractions ?

J'ai moi-même été confronté au fait que les fractions se sont avérées être un sujet assez difficile pour mes enfants.

Il existe un très bon jeu " Fractions Nikitin ", il est destiné aux enfants d'âge préscolaire, mais à l'école il aidera aussi parfaitement l'enfant à comprendre ce que c'est tout de même - les fractions, leur rapport les unes par rapport aux autres..., le tout dans une forme accessible, visuelle et ludique...

Il est représenté par douze cercles colorés. Un cercle est un tout, et tous les autres sont divisés en parties égales - deux, trois…. (jusqu'à douze).

L'enfant est invité à effectuer des tâches de jeu simples, par exemple :

Comment s'appellent les parties des cercles ? ou

Quelle partie est la plus grande ? (superposer le plus petit avec le plus grand.)

Cette technique a aidé la mienne. En général, je suis vraiment désolé que tous ces Nikitinskie razvishki n'a pas attiré l'attention lorsque les enfants étaient encore des tout-petits.

Vous pouvez créer le jeu vous-même ou en acheter un prêt à l'emploi et en savoir plus sur tout -.

La solution des fractions peut également être expliquée sur des briques Lego. Il développe non seulement l'imagination, mais aussi la pensée créative et logique, ce qui signifie qu'il peut être utilisé comme support pédagogique.

Alicia Zimmerman a eu l'idée d'utiliser les fameux blocs de construction pour enseigner aux enfants les bases des mathématiques.

Et voici comment les fractions peuvent être expliquées sur la base du constructeur Lego.

La pratique montre que la plupart des difficultés surviennent lors de l'addition (soustraction) de fractions avec différents dénominateurs et lors de la division de fractions.

Les difficultés proviennent des instructions courbes dans le manuel, telles que la division d'une fraction en une fraction.

Pour diviser une fraction en une fraction, vous devez multiplier le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et le numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction;.

Un enfant de 4e année peut-il comprendre cela et ne pas se tromper ? NON!

Et le professeur nous l'a expliqué de manière élémentaire : il faut tourner la seconde fraction, puis multiplier !

C'est la même chose avec l'addition.

Pour additionner deux fractions, vous devez multiplier le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, et multiplier le numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction, additionner les nombres obtenus et les écrire dans le numérateur. Et au dénominateur, vous devez écrire le produit des dénominateurs des fractions. Après cela, la fraction résultante peut (ou devrait) être réduite.

Et c'est plus facile comme ceci : Amener les fractions à un dénominateur commun, qui est égal au LCM des dénominateurs, puis additionner les numérateurs.

Montrez-leur avec un exemple illustratif. Par exemple, coupez une pomme en 4 parties, en 8 parties, ajoutez en un tout en 12 parties, ajoutez plusieurs parties, soustrayez. En même temps, expliquez sur papier en utilisant les règles. Addition, règles de soustraction. division de fractions, ainsi que comment sélectionner un tout à partir d'une fraction incorrecte - apprenez tout cela en manipulant une pomme. Ne précipitez pas les enfants, laissez-les s'occuper soigneusement des tranches avec votre aide.

Apprendre à résoudre des fractions, en particulier les enfants, est assez courant et ne créera pas beaucoup de problèmes. La chose la plus simple à faire est de prendre quelque chose en entier, par exemple une mandarine, ou tout autre fruit, de le diviser en non-parties, et d'utiliser un exemple pour montrer la soustraction, l'addition et d'autres opérations avec des morceaux de ce fruit, qui seront des fractions dans le trou. Tout doit être expliqué et montré, et le dernier facteur sera d'expliquer et de résoudre des tâches ensemble à l'aide d'exemples mathématiques, jusqu'à ce que l'enfant lui-même apprenne à faire ces tâches.

La figure montre clairement ce qui correspond à quoi et à quoi ressemble la fraction sur un objet réel, c'est exactement ce qui doit être expliqué.

Vous devez aborder cette question de manière approfondie, car la solution des fractions vous sera utile dans la vie. Il faut en la matière, comme on dit, être sur un pied d'égalité avec les enfants, et expliquer la théorie dans un langage accessible, par exemple, dans le langage du « cake » ; ou mandarine. Vous devez diviser le gâteau en avant et le donner à des amis, après quoi l'enfant commencera à se plonger dans l'essence de la solution de fractions. Ne commencez pas par des fractions lourdes, commencez par 1/2, 1/3, 1/10. Soustraire et additionner d'abord, puis passer à des concepts plus complexes comme la multiplication et la division.

Il y a beaucoup de problèmes avec les fractions. Un enfant ne peut pas comprendre que la moitié et les cinq dixièmes sont la même chose, d'autres sont perplexes en ramenant différentes fractions au même dénominateur, tandis que d'autres encore divisent des fractions. Par conséquent, il n'y a pas de règle unique pour toutes les occasions.

L'essentiel dans les problèmes de fractions est de ne pas manquer le moment où l'intelligible cesse d'être tel. Revenir à « et répétez encore une fois, même si cela semble misérablement primitif. Par exemple, retournez à qu'est-ce qu'une seconde.

L'enfant doit comprendre que les concepts mathématiques sont abstraits, qu'un même phénomène peut être décrit par des mots différents, exprimés par des nombres différents.

J'aime la réponse donnée par Mefody66. J'ajouterai de ma pratique personnelle à long terme : il est assez facile d'enseigner à résoudre des problèmes avec des fractions (et non à résoudre des fractions ; il est impossible de résoudre des fractions, tout comme il est impossible de résoudre des nombres), il suffit de être proche de l'enfant lorsqu'il commence à peine à résoudre de tels problèmes, pour corriger sa solution à temps, afin que les erreurs, inévitables dans tout apprentissage, n'aient pas le temps de prendre pied dans l'esprit de l'enfant. Il est plus difficile de se recycler que d'apprendre de nouvelles choses. Et résoudre ces problèmes autant que possible. Apporter la solution de telles tâches à l'automatisme est une bonne chose à faire. La capacité à résoudre des problèmes avec des fractions ordinaires par importance dans le cours de mathématiques à l'école prend la même place que la connaissance de la table de multiplication. Vous ne devriez donc pas être paresseux et regarder comment votre enfant résout de tels problèmes.

Et ne vous fiez pas trop au manuel : les enseignants des écoles expliquent exactement comme Mefody66 l'a écrit dans sa réponse. Il est préférable de parler à l'enseignant, de découvrir quels mots l'enseignant a utilisé pour expliquer ce sujet. Et utilisez, si possible, les mêmes mots et phrases (afin de ne pas trop embrouiller l'enfant)

Aussi : je vous conseille de n'utiliser des exemples illustratifs qu'au stade initial de l'explication, puis d'abstraire rapidement, de passer à l'algorithme de résolution. Sinon, la clarté peut être préjudiciable lors de la résolution de problèmes plus complexes. Par exemple, si vous devez additionner des fractions avec les dénominateurs 29 et 121, quel type de clarté vous aidera ? Cela ne fera que confondre.

Les fractions sont l'un de ces sujets mathématiques fertiles où il n'y a pas d'abstractions qui ne soient pas applicables au cas. Des produits doivent être utilisés (sur des « gâteaux » comme Juanita Solis dans « Desperate Housewives » - une méthode d'explication vraiment cool). Tous ces numérateurs-dénominateurs - alors. Ensuite, l'enfant doit comprendre que la division par une fraction n'est plus du tout une diminution et que la multiplication n'est pas une augmentation. Il vaut mieux montrer ici comment diviser par une fraction sous forme de multiplication par un métamorphe. De manière ludique, soumettez une réduction, si divisée par un chiffre, puis divisez, presque Sudoku s'avère si vous êtes intéressé. L'essentiel est de remarquer les malentendus à temps, car il y aura plus loin des sujets plus abrupts qui ne sont pas faciles à comprendre. Par conséquent, un peu plus de pratique pour résoudre des fractions et tout ira vite. Pour moi, humaniste des plus purs, loin du moindre degré d'abstraction, les fractions étaient toujours plus claires que les autres sujets.

Multiplication et division de fractions.

Attention!
Il y a d'autres
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Cette opération est bien plus agréable que l'addition-soustraction ! Parce que c'est plus facile. Je vous rappelle : pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez multiplier les numérateurs (ce sera le numérateur du résultat) et les dénominateurs (ce sera le dénominateur). C'est-à-dire:

Par exemple:

Tout est extrêmement simple... Et s'il vous plaît, ne cherchez pas de dénominateur commun ! Je n'ai pas besoin de lui ici...

Pour diviser une fraction en une fraction, vous devez retourner seconde(c'est important !) fractionnez-les et multipliez-les, c'est-à-dire :

Par exemple:

Si vous rencontrez une multiplication ou une division avec des nombres entiers et des fractions, ce n'est pas grave. Comme pour l'addition, nous faisons une fraction avec un au dénominateur à partir d'un nombre entier - et c'est parti ! Par exemple:

Au lycée, vous devez souvent faire face à des fractions à trois (ou même quatre!) étages. Par exemple:

Comment amener cette fraction à un look décent? C'est très simple! Utilisez la division en deux points :

Mais n'oubliez pas l'ordre de division ! Contrairement à la multiplication, c'est très important ici ! Bien sûr, 4: 2, ou 2: 4, on ne confondra pas. Mais dans une fraction de trois étages, il est facile de se tromper. Remarquez, par exemple :

Dans le premier cas (expression à gauche) :

Dans la seconde (expression à droite) :

Sentez-vous la différence? 4 et 1/9 !

Et qu'est-ce qui détermine l'ordre de division ? Ou des parenthèses, ou (comme ici) la longueur des barres horizontales. Développer un œil. Et s'il n'y a pas de crochets ou de tirets, comme :

alors on divise-multiplie dans l'ordre, de gauche à droite!

Et une autre astuce très simple et importante. Dans les actions avec diplômes, oh, comme cela vous sera utile ! Divisez l'unité par n'importe quelle fraction, par exemple, par 13/15 :

La fraction s'est retournée ! Et c'est toujours le cas. En divisant 1 par n'importe quelle fraction, le résultat est la même fraction, seulement inversée.

C'est tout pour les fractions. La chose est assez simple, mais elle donne plus qu'assez d'erreurs. Prenez note des conseils pratiques, et il y aura moins (d'erreurs) !

Conseils pratiques :

1. La chose la plus importante lorsque vous travaillez avec des expressions fractionnaires est la précision et le soin ! Ce ne sont pas des mots généraux, pas de bons voeux ! C'est une nécessité absolue ! Faites tous les calculs de l'examen comme une tâche à part entière, avec concentration et clarté. Il vaut mieux écrire deux lignes supplémentaires dans un brouillon que de le gâcher lors du calcul dans votre tête.

2. Dans les exemples avec différents types de fractions - allez aux fractions ordinaires.

3. Toutes les fractions sont réduites jusqu'à l'arrêt.

4. Les expressions fractionnaires à plusieurs étages sont réduites à des expressions ordinaires, en utilisant la division par deux points (attention à l'ordre de division !).

5. Divisez mentalement l'unité en une fraction, en retournant simplement la fraction.

Voici les tâches que vous devez absolument résoudre. Les réponses sont données après toutes les tâches. Utilisez le matériel sur ce sujet et des conseils pratiques. Réfléchissez au nombre d'exemples que vous avez pu résoudre correctement. La première fois! Pas de calculatrice ! Et tirez les bonnes conclusions...

Rappelez-vous - la bonne réponse est reçu de la deuxième (d'autant plus - la troisième) fois - ne compte pas! C'est une vie dure.

Donc, nous résolvons en mode examen ! D'ailleurs, c'est déjà une préparation à l'examen. Nous résolvons l'exemple, vérifions-le, résolvons le suivant. Nous avons tout décidé - nous avons vérifié à nouveau du premier au dernier. Mais, seulement après regarde les réponses.

Calculer:

L'avez-vous résolu ?

Nous recherchons des réponses qui correspondent aux vôtres. Je les ai délibérément écrites en désordre, loin de la tentation, pour ainsi dire... Les voici, les réponses, séparées par des points-virgules.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Et maintenant, nous tirons des conclusions. Si tout s'est bien passé, je suis content pour vous ! Les calculs de base avec des fractions ne sont pas votre problème ! Vous pouvez faire des choses plus sérieuses. Si non...

Vous avez donc l'un des deux problèmes. Ou les deux à la fois.) Manque de connaissance et/ou inattention. Mais ça soluble Problèmes.