Axe de tangente et cotangente. Expressions utilisant des variables complexes

Tableau des valeurs fonctions trigonométriques

Noter... Ce tableau des valeurs des fonctions trigonométriques utilise le signe pour indiquer racine carrée... Pour désigner une fraction - le symbole "/".

voir également matériaux utiles :

Pour déterminer la valeur de la fonction trigonométrique, trouvez-le à l'intersection de la ligne de fonction trigonométrique. Par exemple, sinus 30 degrés - recherchez une colonne avec le titre sin (sine) et trouvez l'intersection de cette colonne du tableau avec la ligne "30 degrés", à leur intersection nous lisons le résultat - une seconde. De même, on trouve cosinus 60 degrés, sinus 60 degrés (encore une fois, à l'intersection de la colonne sin (sine) et de la rangée 60 degrés, on trouve la valeur sin 60 = √3 / 2), etc. De la même manière, les valeurs des sinus, cosinus et tangentes d'autres angles "populaires" sont trouvées.

Sinus de pi, cosinus de pi, tangente de pi et autres angles en radians

Le tableau des cosinus, sinus et tangentes ci-dessous convient également pour trouver la valeur des fonctions trigonométriques dont l'argument donné en radians... Pour ce faire, utilisez la deuxième colonne de valeurs d'angle. Grâce à cela, la valeur des angles courants peut être convertie de degrés en radians. Par exemple, trouvons un angle de 60 degrés dans la première ligne et lisons sa valeur en radians en dessous. 60 degrés équivaut à / 3 radians.

Le nombre pi exprime de manière unique la dépendance de la circonférence sur la mesure du degré de l'angle. Donc pi radians est égal à 180 degrés.

Tout nombre exprimé en termes de pi (radian) peut être facilement converti en une mesure de degré en remplaçant pi (π) par 180.

Exemples de:
1. Sinus pi.
sin = sin 180 = 0
ainsi le sinus de pi est le même que le sinus de 180 degrés et est nul.

2. cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
ainsi, le cosinus de pi est le même que le cosinus de 180 degrés et est égal à moins un.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
ainsi, la tangente de pi est la même que la tangente de 180 degrés et est nulle.

Tableau des valeurs sinus, cosinus, tangente pour les angles 0 - 360 degrés (valeurs communes)

Si dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques au lieu de la valeur de la fonction, il y a un tiret (tangente (tg) 90 degrés, cotangente (ctg) 180 degrés) signifie à cette valeur mesure de degré d'une fonction d'angle n'a pas de signification définie. S'il n'y a pas de tiret - la cellule est vide, alors nous ne sommes pas entrés Valeur souhaitée... Nous sommes intéressés par les demandes que les utilisateurs nous adressent et complètent le tableau avec de nouvelles valeurs, malgré le fait que les données actuelles sur les valeurs des cosinus, sinus et tangentes des valeurs d'angle les plus fréquemment rencontrées suffisent amplement à résoudre la plupart des problèmes.

Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques sin, cos, tg pour les angles les plus courants
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 degrés
(valeurs numériques "comme dans les tableaux Bradis")

Permet d'établir un certain nombre de résultats caractéristiques - propriétés de sinus, cosinus, tangente et cotangente... Dans cet article, nous examinerons trois propriétés principales. Le premier d'entre eux indique les signes du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de l'angle α, en fonction de la coordonnée du quart d'angle α. Ensuite, nous considérerons la propriété de périodicité, qui établit la constance des valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de l'angle α lorsque cet angle est modifié d'un nombre entier de tours. La troisième propriété exprime la relation entre les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente d'angles opposés α et −α.

Si vous êtes intéressé par les propriétés des fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente, elles peuvent être étudiées dans la section correspondante de l'article.

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Signes sinus, cosinus, tangente et cotangente en quarts

Ci-dessous dans ce paragraphe se trouve la phrase "l'angle du quartier de coordonnées I, II, III et IV". Expliquons quels sont ces angles.

Prenez le cercle unité, marquez le point de départ A (1, 0) dessus et faites-le pivoter autour du point O d'un angle , en supposant que nous atteindrons le point A 1 (x, y).

Ils disent ça l'angle α est l'angle du quart des coordonnées I, II, III, IV si le point А 1 se situe respectivement dans les quartiers I, II, III, IV ; si l'angle est tel que le point A 1 se trouve sur l'une des lignes de coordonnées Ox ou Oy, alors cet angle n'appartient à aucun des quatre quartiers.

Pour plus de clarté, nous présentons une illustration graphique. Les dessins ci-dessous montrent les angles de rotation 30, -210, 585 et -45 degrés, qui sont les angles I, II, III et IV des quarts de coordonnées, respectivement.

Coins 0, ± 90, ± 180, ± 270, ± 360, ... degrés n'appartiennent à aucun des quarts de coordonnées.

Voyons maintenant quels signes ont les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente de l'angle de rotation , selon quel quart est α.

Pour le sinus et le cosinus, c'est facile à faire.

Par définition, le sinus de l'angle est l'ordonnée du point A 1. Il est évident que dans les quartiers de coordonnées I et II il est positif, et dans les quartiers III et IV il est négatif. Ainsi, le sinus de l'angle a un signe plus dans les quartiers I et II, et un signe moins dans les quartiers III et VI.

À son tour, le cosinus de l'angle est l'abscisse du point A 1. Dans les quartiers I et IV, il est positif, et dans les quartiers II et III, il est négatif. Par conséquent, les valeurs du cosinus de l'angle dans les quartiers I et IV sont positives, et dans les quartiers II et III - négatives.

Pour déterminer les signes par les quarts de la tangente et de la cotangente, il faut se souvenir de leurs définitions : la tangente est le rapport de l'ordonnée du point A1 à l'abscisse, et la cotangente est le rapport de l'abscisse du point A1 à l'ordonnée . Puis de règles de division des nombres avec le même et différents signes il s'ensuit que la tangente et la cotangente ont un signe plus lorsque les signes d'abscisse et d'ordonnée du point A 1 sont les mêmes, et ont un signe moins - lorsque les signes d'abscisse et d'ordonnée du point A 1 sont différents. Par conséquent, la tangente et la cotangente de l'angle ont un signe + dans les quartiers de coordonnées I et III, et un signe moins dans les quartiers II et IV.

En effet, par exemple, au premier quart, à la fois l'abscisse x et l'ordonnée y du point A 1 sont positives, alors à la fois le quotient x/y et le quotient y/x sont positifs, donc, la tangente et la cotangente ont + panneaux. Et au deuxième quart, l'abscisse x est négative et l'ordonnée y est positive, donc à la fois x / y et y / x sont négatifs, d'où la tangente et la cotangente ont un signe moins.

On passe à la propriété suivante du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente.

Propriété de périodicité

Nous allons maintenant analyser, peut-être, la propriété la plus évidente du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente d'un angle. Il consiste en ce qui suit : lorsque l'angle est modifié d'un nombre entier de tours complets, les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente de cet angle ne changent pas.

Ceci est compréhensible: lorsque l'angle change d'un nombre entier de tours, nous obtiendrons toujours du point de départ A au point A1 sur le cercle unité, par conséquent, les valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente restent inchangées, car les coordonnées du point A 1 restent inchangées.

En utilisant des formules, la propriété considérée du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente peut être écrite comme suit : sin (α + 2 z) = sinα, cos (α + 2 π z) = cosα, tg (α + 2 π z) = tgα, ctg (α + 2 z) = ctgα, où est l'angle de rotation en radians, z est quelconque, dont la valeur absolue indique le nombre de tours complets dont l'angle α change, et le signe de le chiffre z indique le sens de rotation.

Si l'angle de rotation α est donné en degrés, alors ces formules seront réécrites comme sin (α + 360 ° z) = sinα, cos (α + 360 ° z) = cosα, tg (α + 360 ° z) = tgα , ctg (α + 360 ° z) = ctgα.

Voici quelques exemples d'utilisation de cette propriété. Par exemple, , car , une ... Voici un autre exemple : ou.

Cette propriété, associée aux formules de réduction, est très souvent utilisée lors du calcul des valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente des "grands" angles.

Les propriétés considérées de sinus, cosinus, tangente et cotangente sont parfois appelées propriété de périodicité.

Propriétés des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles opposés

Soit А 1 le point obtenu par rotation du point initial А (1, 0) autour du point O d'un angle α, et le point А 2 est le résultat de la rotation du point А d'un angle −α, opposé à l'angle .

La propriété des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles opposés repose sur un fait assez évident : les points A1 et A2 mentionnés ci-dessus soit coïncident (en) soit sont situés symétriquement par rapport à l'axe Ox. Autrement dit, si le point A1 a des coordonnées (x, y), alors le point A2 aura des coordonnées (x, −y). De là, selon les définitions de sinus, cosinus, tangente et cotangente, on écrit les égalités et.
En les comparant, nous arrivons aux relations entre sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles opposés α et −α de la forme.
C'est la propriété considérée sous forme de formules.

Voici quelques exemples d'utilisation de cette propriété. Par exemple, les égalités sont vraies et .

Il ne reste plus qu'à noter que la propriété des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes d'angles opposés, comme la propriété précédente, est souvent utilisée lors du calcul des valeurs de sinus, cosinus, tangente et cotangente, et permet de s'en sortir complètement sous des angles négatifs.

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La trigonométrie, en tant que science, est originaire de l'Orient antique. Les premiers rapports trigonométriques ont été déduits par les astronomes pour créer calendrier précis et la course d'orientation par les étoiles. Ces calculs étaient liés à la trigonométrie sphérique, tandis que dans cours d'écoleétudier le rapport hauteur/largeur et l'angle d'un triangle plat.

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite des propriétés des fonctions trigonométriques et de la relation entre les côtés et les angles des triangles.

À l'apogée de la culture et de la science du 1er millénaire de notre ère, les connaissances se sont propagées de Orient ancienà la Grèce. Mais les principales découvertes de la trigonométrie sont le mérite des hommes du califat arabe. En particulier, le scientifique turkmène al-Marazvi a introduit des fonctions telles que la tangente et la cotangente, a compilé les premiers tableaux de valeurs pour les sinus, les tangentes et les cotangentes. Le concept de sinus et de cosinus a été introduit par des scientifiques indiens. Une grande attention est consacrée à la trigonométrie dans les œuvres de grandes figures de l'Antiquité comme Euclide, Archimède et Eratosthène.

Grandeurs de base de la trigonométrie

Les fonctions trigonométriques de base d'un argument numérique sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente. Chacun d'eux a son propre graphique : sinusoïde, cosinus, tangente et cotangente.

Les formules de calcul des valeurs de ces quantités sont basées sur le théorème de Pythagore. Les écoliers le connaissent mieux dans la formule : « Pantalon pythagoricien, égal dans tous les sens », puisque la preuve en est donnée sur l'exemple d'un triangle rectangle isocèle.

Le sinus, le cosinus et d'autres dépendances établissent un lien entre coins pointus et les côtés de tout triangle rectangle. Donnons des formules pour calculer ces valeurs pour l'angle A et traçons la relation des fonctions trigonométriques :

Comme vous pouvez le voir, tg et ctg sont fonctions inverses... Si nous représentons la jambe a comme le produit du sin A et de l'hypoténuse c, et la jambe b comme cos A * c, alors nous obtenons les formules suivantes pour la tangente et la cotangente :

Cercle trigonométrique

Graphiquement, le rapport de ces quantités peut être représenté comme suit :

Le cercle, dans ce cas, représente toutes les valeurs possibles de l'angle - de 0 ° à 360 °. Comme vous pouvez le voir sur la figure, chaque fonction prend une valeur négative ou positive, selon la valeur de l'angle. Par exemple, sin α sera avec un signe "+" si α appartient aux quarts de cercle I et II, c'est-à-dire qu'il est compris entre 0 ° et 180 °. Lorsque α est compris entre 180° et 360° (quartiers III et IV), sin ne peut être que négatif.

Essayons de construire des tables trigonométriques pour des angles spécifiques et découvrons la valeur des quantités.

Les valeurs de égales à 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° et ainsi de suite sont appelées cas particuliers. Les valeurs des fonctions trigonométriques pour elles sont calculées et présentées sous forme de tableaux spéciaux.

Ces angles n'ont pas été choisis par hasard. La désignation dans les tableaux signifie radians. Rad est l'angle auquel la longueur d'un arc de cercle correspond à son rayon. Cette valeur a été introduite afin d'établir une dépendance universelle ; lors du calcul en radians, la longueur réelle du rayon en cm n'a pas d'importance.

Les angles dans les tableaux des fonctions trigonométriques correspondent aux valeurs des radians :

Donc, il n'est pas difficile de deviner que 2π est un cercle complet ou 360 °.

Propriétés des fonctions trigonométriques : sinus et cosinus

Afin d'examiner et de comparer les propriétés de base du sinus et du cosinus, de la tangente et de la cotangente, il est nécessaire de dessiner leurs fonctions. Cela peut être fait sous la forme d'une courbe située dans un système de coordonnées à deux dimensions.

Considérons un tableau comparatif des propriétés d'une onde sinusoïdale et d'une onde cosinusoïdale :

Déterminer si une fonction est paire ou non est très simple. Il suffit d'imaginer un cercle trigonométrique avec les signes des quantités trigonométriques et de "plier" mentalement le graphique autour de l'axe OX. Si les signes correspondent, la fonction est paire, sinon elle est impaire.

L'introduction des radians et l'énumération des principales propriétés de la sinusoïde et du cosinus nous permettent de donner le schéma suivant :

Il est très facile de vérifier l'exactitude de la formule. Par exemple, pour x = / 2 le sinus est 1, de même que le cosinus x = 0. Le contrôle peut être effectué en se référant à des tableaux ou en traçant les courbes de fonctions pour des valeurs données.

Propriétés tangentoïdes et cotangentoïdes

Les graphiques des fonctions tangentes et cotangentes diffèrent considérablement des sinus et cosinus. Les valeurs tg et ctg sont inverses l'une de l'autre.

1. Y = tg x.
2. La tangentoïde tend vers les valeurs y à x = π / 2 + πk, mais ne les atteint jamais.
3. La plus petite période positive de la tangentoïde est .
4. Tg (- x) = - tg x, c'est-à-dire que la fonction est impaire.
5. Tg x = 0, pour x = πk.
6. La fonction est croissante.
7. Tg x ›0, pour x ϵ (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, pour x ϵ (- π / 2 + πk, πk).
9. Dérivée (tg x) '= 1 / cos 2 ⁡x.

Envisager image graphique cotangensoïdes ci-dessous dans le texte.

Les principales propriétés d'un cotangensoïde :

1. Y = ctg x.
2. Contrairement aux fonctions sinus et cosinus, dans la tangente Y peut prendre les valeurs de l'ensemble de tous les nombres réels.
3. Le cotangensoïde tend vers les valeurs de y à x = πk, mais ne les atteint jamais.
4. La plus petite période positive d'un cotangensoïde est .
5. Ctg (- x) = - ctg x, c'est-à-dire que la fonction est impaire.
6. Ctg x = 0, pour x = / 2 + πk.
7. La fonction est décroissante.
8. Ctg x ›0, pour x ϵ (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹0, pour x ϵ (π / 2 + πk, πk).
10. Dérivée (ctg x) ’= - 1 / sin 2 ⁡x Correct

Tâche 6.12. La même question que dans le problème précédent, mais pour un pentagone régulier (indication : voir problème 3.5).

Tâche 6.13. Dans le problème 4.8, il a été dit que comme valeur approximative du cosinus d'un petit angle , vous pouvez prendre le nombre 1, c'est-à-dire la valeur de la fonction cosinus à zéro. Et si, sans plus attendre, on prenait 0 = sin 0 comme valeur approximative du sinus d'un petit angle ? Pourquoi est-ce mauvais ?

Riz. 6.4. Le point M se déplace le long de la cycloïde.

Tâche 6.14. Considérons une roue de rayon 1, touchant l'axe des abscisses à l'origine (Fig. 6.4). Supposons que la roue ait roulé le long de l'axe des abscisses dans le sens positif à une vitesse de 1 (c'est-à-dire qu'au temps t, son centre est décalé de t vers la droite).

a) Tracez (approximativement) une courbe qui sera décrite par le point M, en touchant au premier instant l'axe des abscisses.

b) Trouvez ce que seront l'abscisse et l'ordonnée du point M au temps t après le début du mouvement.

6.1. Axe des tangentes

Dans cette section, nous avons défini géométriquement le sinus et le cosinus, comme l'ordonnée et l'abscisse d'un point, et la tangente, algébriquement, comme sin t / cost t. Il est cependant possible de donner à la tangente un sens géométrique.

Pour ce faire, tracez par un point de coordonnées (1; 0) (origine sur le cercle trigonométrique) une tangente au cercle trigonométrique - une droite parallèle à l'axe

Riz. 6.5. Axe des tangentes.

ordonné. Appelons cette droite l'axe tangent (Fig. 6.5). Ce nom se justifie ainsi : soit M le point du cercle trigonométrique correspondant au nombre t. Prolongez le rayon SM jusqu'à ce qu'il coupe l'axe tangent. Ensuite, il s'avère que l'ordonnée du point d'intersection est tg t.

En effet, les triangles NOS et MP S de la Fig. 6.5, évident

May SM est parallèle à l'axe de la tangente et la tangente ne peut pas être déterminée à l'aide de notre méthode. Ce n'est pas surprenant : l'abscisse de ces points est égale à 0, de sorte que cos t = 0 pour les valeurs correspondantes de t, et tg t = sin t / cost t n'est pas défini.

6.2. Signes de fonction trigonométrique

Voyons à quelles valeurs de t le sinus, le cosinus et la tangente sont positifs, et à quel - négatif. Par définition, sin t est l'ordonnée d'un point sur un cercle trigonométrique correspondant au nombre t. Par conséquent, sin t> 0 si le point t est sur

Coordonnées X les points situés sur le cercle sont égaux à cos (θ), et les coordonnées oui correspondent à sin (θ), où est l'angle.

• Si vous avez du mal à vous souvenir de cette règle, rappelez-vous simplement que dans la paire (cos; sin) "le sinus est à la dernière place".
• Cette règle peut être déduite si l'on considère triangles rectangles et la définition de ces fonctions trigonométriques (le sinus d'un angle est égal au rapport de la longueur de l'autre et le cosinus est jambe adjacenteà l'hypoténuse).