Graphique proportionnel inverse. Matériel pédagogique et méthodologique en algèbre (8e année) sur le thème : La fonction de proportionnalité inverse et son graphe

Répétons la théorie sur les fonctions. Une fonction est une règle selon laquelle chaque élément d'un ensemble (argument) se voit attribuer un ( le seul!) un élément d'un autre ensemble (ensemble de valeurs de fonction). Autrement dit, s'il existe une fonction \(y = f(x)\), ce qui signifie que pour chaque valeur valide de la variable \(X\)(que l'on appelle "argument") correspond à une valeur de la variable \(y\)(appelée "fonction").

Une fonction qui décrit la relation inverse

C'est une fonction de la forme \(y = \frac(k)(x)\) où \(k \ne 0.\)

D'une autre manière, on parle de proportionnalité inverse : une augmentation de l'argument entraîne une diminution proportionnelle de la fonction.
Définissons le domaine de définition. À quoi \(x\) peut-il être égal ? Ou, en d'autres termes, à quoi ne peut-il pas être égal ?

Le seul nombre par lequel vous ne pouvez pas diviser est 0, donc \(x \ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

ou, ce qui revient au même :

\(D(y) = R\barre oblique inverse \( 0\) .\)

Une telle notation signifie que \(x\) peut être n'importe quel nombre sauf 0 : le signe "R" désigne l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire tous les nombres possibles ; le signe "\" dénote l'exclusion de quelque chose de cet ensemble (analogue au signe "moins"), et le chiffre 0 entre accolades signifie simplement le chiffre 0 ; il s'avère que nous excluons 0 de tous les nombres possibles.

Il s'avère que l'ensemble des valeurs de la fonction est exactement le même : après tout, si \(k \ne 0.\) , alors peu importe par quoi nous le divisons, 0 ne fonctionnera pas :

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

ou \(E(y) = R\barre oblique inverse \( 0\) .\)

Certaines variantes de la formule sont également possibles. \(y = \frac(k)(x)\). Par exemple, \(y = \frac(k)((x + a))\)- est également une fonction qui décrit une relation inverse. La portée et la portée de cette fonction sont les suivantes :

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

Envisager Exemple, on portera l'expression sous la forme d'une relation inverse :

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3 ) + 5))((x - 3)).\)

On introduit artificiellement la valeur 3 au numérateur, et maintenant on divise le numérateur par le dénominateur terme à terme, on obtient :

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Nous avons obtenu une relation inverse plus le nombre 1.

Tracé inverse

Commençons par un cas simple \(y = \frac(1)(x).\)

Faisons un tableau de valeurs :

Dessinez des points sur le plan de coordonnées :

Reliez les points, le graphique ressemblera à ceci :

Ce tableau s'appelle "hyperbole". Comme une parabole, une hyperbole a deux branches, seulement elles ne sont pas reliées entre elles. Chacun d'eux s'efforce par ses extrémités de se rapprocher des axes Bœuf et Oy mais ne les atteint jamais.

Notons quelques caractéristiques de la fonction :

1. Si la fonction a un moins avant la fraction, alors le graphique est inversé, c'est-à-dire qu'il est affiché symétriquement autour de l'axe Bœuf.
2. Plus le nombre au dénominateur est grand, plus le graphique "s'éloigne" de l'origine.

Relation inverse dans la vie

Où rencontre-t-on une telle fonction en pratique ? Il existe de nombreux exemples. Le plus courant est le mouvement : plus la vitesse à laquelle nous nous déplaçons est grande, moins nous avons besoin de temps pour parcourir la même distance. Rappelons la formule de vitesse :

\(v = \frac(S)(t),\)

où v - vitesse, t - temps de trajet, S - distance (chemin).

De là, nous pouvons exprimer le temps : \(t = \frac(S)(v).\)

1 leçon par sujet

Réalisé :

Telegina L.B.

Le but de la leçon :

1. répéter tout le matériel étudié par fonction.
2. introduire la définition de la proportionnalité inverse et apprendre à construire son graphique.
3. développer la pensée logique.
4. cultiver l'attention, la justesse, la justesse.

Plan de cours:

1. Répétition.
2. Explication du nouveau matériel.
3. Fizkultminutka.
4. Consolidation.

Matériel : affiches.

Pendant les cours :

1. La leçon commence par la répétition. Les élèves sont invités à résoudre une grille de mots croisés (préparée à l'avance sur une grande feuille de papier).

Questions de mots croisés :

1. Dépendance entre variables, dans laquelle chaque valeur de la variable indépendante correspond à une seule valeur de la variable dépendante. [Une fonction].

2. Variable indépendante. [Argument].

3. L'ensemble des points du plan de coordonnées de l'abscisse, qui sont égaux aux valeurs de l'argument, et les ordonnées - aux valeurs de la fonction. [Programme].

4. La fonction donnée par la formule y=kx+b. [Linéaire].

5. Quel est le nombre appelé coefficient k dans la formule y=kx+b ? [Angulaire].

6. Qu'est-ce qui sert de graphique à une fonction linéaire ? [Droit].

7. Si k≠0, alors le graphe y=kx+b coupe cet axe, et si k=0, alors il lui est parallèle. Quelle est la lettre de cet axe ? [X].

8. Le mot dans le nom de la fonction y=kx ? [Proportionnalité].

9. La fonction donnée par la formule y=x 2. [Quadratique].

10. Le nom du graphique de la fonction quadratique. [Parabole].

11. Lettre alphabet latin, qui est souvent utilisé comme fonction. [Aa].

12. Une des façons de régler une fonction. [Formule].

Prof : Quelles sont les principales manières de définir une fonction que nous connaissons ?

(Un élève reçoit une tâche au tableau noir : remplir le tableau des valeurs de la fonction 12/x en fonction des valeurs données de son argument, puis construire les points correspondants sur le plan de coordonnées).

Les autres répondent aux questions du professeur : (qui sont pré-enregistrées au tableau)

1. Quels sont les noms des fonctions suivantes données par les formules : y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Spécifiez la portée des fonctions suivantes : y=x 2 +8, y=1/x-7, y=4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x.

Puis les élèves travaillent sur le tableau en répondant aux questions posées par le professeur :

1. Quelle figure du tableau montre les graphiques :

a) fonction linéaire ;

b) proportionnalité directe ;

c) fonction quadratique ;

d) fonctions de la forme y=kx 3 ?

2. Quel est le signe du coefficient k dans les formules de la forme y=kx+b, qui correspondent aux graphiques des figures 1, 2, 4, 5 du tableau ?

3. Trouver des graphiques dans le tableau fonctions linéaires, dont les coefficients de pente sont :

a) sont égaux ;

b) sont égaux en valeur absolue et opposés en signe.

(Puis toute la classe vérifie si l'élève appelé au tableau a correctement rempli le tableau et placé des points sur le plan de coordonnées).

2. L'explication commence par la motivation.

Prof: Comme vous le savez, chaque fonction décrit certains processus se produisant dans le monde qui nous entoure.

Considérons, par exemple, un rectangle dont les côtés x et y et aire 12cm 2 . On sait que x*y=12, mais que se passera-t-il si vous commencez à changer l'un des côtés du rectangle, disons que le côté est long X?

Longueur du côté y peut être trouvé à partir de la formule y=12/x. Si X augmenter de 2 fois, alors il aura y=12/2x, c'est-à-dire côté y diminuera de 2 fois. Si la valeur X augmenter de 3, 4, 5 ... fois, puis la valeur y diminuera du même montant. Au contraire, si X diminuer plusieurs fois y augmentera du même montant. (Travailler sur la table).

Par conséquent, une fonction de la forme y=12/x est appelée proportionnalité inverse. V vue générale il s'écrit y=k/x, où k est une constante, et k≠0.

C'est le sujet de la leçon d'aujourd'hui, consigné dans des cahiers. Je donne une définition stricte. Pour la fonction y=12/x, qui est une forme particulière de proportionnalité inverse, nous avons déjà noté un certain nombre de valeurs de l'argument et de la fonction dans le tableau et décrirons les points correspondants sur le plan de coordonnées. A quoi ressemble le graphique de cette fonction ? Il est difficile de juger l'ensemble du graphique par les points construits, car les points peuvent être connectés de n'importe quelle manière. Essayons ensemble de tirer des conclusions sur le graphique de la fonction résultant de l'examen du tableau et de la formule.

Questions pour la classe :

1. Quelle est la portée de la fonction y=12/x ?
2. Les valeurs y sont-elles positives ou négatives si

un)x

b) x>0 ?

3. Comment la valeur d'une variable change y avec un changement de valeur X?

Alors,

1. le point (0,0) n'appartient pas au graphe, c'est-à-dire il ne coupe ni les axes OX ni OY ;
2. le graphe est en quarts de coordonnées Ι et ΙΙΙ ;
3. s'approche en douceur des axes de coordonnées à la fois dans le quart de coordonnées Ι et dans ΙΙΙ, et il s'approche des axes aussi près que souhaité.

Avec ces informations, nous pouvons déjà relier les points de la figure (le professeur le fait lui-même au tableau) et voir le graphique de la fonction y=12/x dans son intégralité. La courbe résultante s'appelle une hyperbole, ce qui signifie en grec « passer par quelque chose ». Cette courbe a été découverte par des mathématiciens de l'ancienne école grecque vers le IVe siècle av. Le terme hyperbole a été introduit par Apollonius de la ville de Pergame (Asie Mineure), qui vivait dans le ΙΙΙ-ΙΙ c. AVANT JC.

Maintenant, à côté du graphique de la fonction y=12/x, nous allons tracer le graphique de la fonction y=-12/x. (Les élèves font cette tâche dans des cahiers et un élève au tableau).

En comparant les deux graphiques, les élèves remarquent que le second occupe 2 et 4 quarts de coordonnées. De plus, si le graphique de la fonction y=12/x est affiché symétriquement par rapport à l'axe OS, alors le graphique de la fonction y=-12/x sera obtenu.

Question : Comment la position du graphe de l'hyperbole y=k/x dépend-elle du signe et de la valeur du coefficient k ?

Les élèves s'assurent que si k>0, alors le graphe est situé dans Ι et ΙΙΙ quarts de coordonnées, et si k

1. L'éducation physique est dirigée par l'enseignant.

1. La consolidation de l'étude a lieu lors de l'exécution des numéros 180, 185 du manuel.

1. La leçon est résumée, évaluations, devoirs: point 8 n ° 179, 184.

2 cours sur le sujet

"La fonction de proportionnalité inverse et son graphique".

Réalisé :

Telegina L.B.

Le but de la leçon :

1. consolider l'habileté de tracer un graphique d'une fonction de proportionnalité inverse ;
2. développer l'intérêt pour le sujet, la pensée logique;
3. cultiver l'indépendance, l'attention.

Plan de cours:

1. Contrôle d'exécution devoirs.
2. travail oral.
3. Résolution de problème.
4. Fizkultminutka.
5. Travail indépendant à plusieurs niveaux.
6. Résumé, évaluation, devoirs.

Matériel : cartes.

Pendant les cours :

1. L'enseignant annonce le sujet de la leçon, les objectifs et le plan de la leçon.

Puis deux élèves complètent les numéros 179, 184 attribués à la maison au tableau.

1. Le reste des élèves travaille frontalement, répondant aux questions de l'enseignant.

Des questions:

• Définissez la fonction de proportionnalité inverse.
• Quel est le graphique de la fonction proportionnelle inverse.
• Comment la position du graphe de l'hyperbole y=k/x dépend-elle de la valeur du coefficient k ?

Tâches:

1. Parmi les fonctions données par des formules, nommez les fonctions de proportionnalité inverse :

a) y=x2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Pour les fonctions de proportionnalité inverse, nommez le coefficient et indiquez dans quels trimestres se situe le graphique.

3. Trouvez le domaine de définition des fonctions de proportionnalité inverse.

(Ensuite, les élèves vérifient les devoirs de chacun avec un crayon selon les solutions des nombres vérifiés par l'enseignant au tableau et donnent une note).

Travail frontal sur le manuel n° 190, 191, 192, 193 (oral).

1. Exécution dans les cahiers et au tableau du manuel n ° 186 (b), 187 (b), 182.

4. Une séance d'éducation physique est animée par un enseignant.

5. Travail indépendant est donné en trois versions plus ou moins complexes (réparties sur cartes).

Ι c. (poids léger).

Tracez la fonction de proportionnalité inverse y=-6/x à l'aide du tableau :

À l'aide du graphique, trouvez :

a) la valeur de y, si x = - 1,5 ; 2 ;

b) la valeur de x, à laquelle y \u003d - 1; 4.

ΙΙ c. (difficulté moyenne)

Tracez la fonction de proportionnalité inverse y=16/x en remplissant d'abord le tableau.

À l'aide du graphique, trouvez à quelles valeurs x y >0.

ΙΙΙ dedans. (difficulté accrue)

Tracez la fonction de proportionnalité inverse y=10/x-2 en remplissant d'abord le tableau.

Trouver le domaine de la fonction donnée.

(Les élèves remettent des feuilles avec des graphiques construits pour vérification).

6. La leçon est résumée, évaluations, devoirs: n ° 186 (a), 187 (a).

Premier niveau

Relation inverse. Premier niveau.

Nous allons maintenant parler de relation inverse, ou en d'autres termes - de proportionnalité inverse, en tant que fonction. Vous souvenez-vous qu'une fonction est un certain type de dépendance ? Si vous n'avez pas encore lu le sujet, je vous recommande fortement de tout laisser tomber et de le lire, car vous ne pouvez pas étudier une fonction particulière sans comprendre ce que c'est - une fonction.

Il est également très utile d'apprendre deux fonctions plus simples avant de commencer ce sujet : et . Vous y consoliderez le concept de fonction et apprendrez à travailler avec des coefficients et des graphiques.

Alors, vous souvenez-vous de ce qu'est une fonction ?
On le répète : une fonction est une règle selon laquelle chaque élément d'un ensemble (argument) est associé à un ( le seul!) un élément d'un autre ensemble (ensemble de valeurs de fonction). Autrement dit, si vous avez une fonction, cela signifie que pour chaque valeur valide de la variable (appelée "argument"), il y a une valeur de la variable (appelée "fonction"). Que signifie "acceptable" ? Si vous ne pouvez pas répondre à cette question, revenez au sujet "" ! Tout est dans le concept "domaine": pour certaines fonctions, tous les arguments n'ont pas la même utilité peuvent être substitués dans une dépendance. Par exemple, pour une fonction, les valeurs d'argument négatives sont invalides.

Une fonction qui décrit la relation inverse

C'est une fonction de la forme où.

D'une autre manière, on parle de proportionnalité inverse : une augmentation de l'argument entraîne une diminution proportionnelle de la fonction.
Définissons le périmètre. Qu'est-ce qui peut être égal? Ou, en d'autres termes, à quoi ne peut-il pas être égal ?

Le seul nombre qui ne peut pas être divisé par est donc :

ou, ce qui revient au même,

(une telle notation signifie qu'il peut s'agir de n'importe quel nombre, sauf que : le signe "" désigne l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire tous les nombres possibles ; le signe "" désigne l'exclusion de quelque chose de cet ensemble (analogue du signe moins ), et le nombre entre parenthèses signifie juste un nombre ; il s'avère que nous excluons de tous les nombres possibles).

Il s'avère que l'ensemble des valeurs de la fonction est exactement le même : après tout, si, alors peu importe en quoi nous le divisons, cela ne fonctionnera pas :

Certaines variantes de la formule sont également possibles. Par exemple, est également une fonction qui décrit une relation inverse.
Définissez vous-même le périmètre et la portée de cette fonction. Il devrait s'avérer:

Regardons cette fonction : . Est-ce une relation inverse ?

À première vue, il est difficile de dire: après tout, avec une augmentation, le dénominateur de la fraction et le numérateur augmentent, il n'est donc pas clair si la fonction diminuera et, dans l'affirmative, diminuera-t-elle proportionnellement? Pour comprendre cela, nous devons transformer l'expression afin qu'il n'y ait pas de variable dans le numérateur :

En effet, nous avons obtenu une relation inverse, mais avec une mise en garde : .

Voici un autre exemple : .

C'est plus compliqué ici : après tout, le numérateur et le dénominateur ne sont désormais certainement pas réduits. Mais on peut quand même essayer :

Comprenez-vous ce que j'ai fait? Au numérateur, j'ai ajouté et soustrait le même nombre (), donc je n'ai rien changé, mais maintenant le numérateur a une partie égale au dénominateur. Maintenant, je vais diviser terme par terme, c'est-à-dire que je décomposerai cette fraction en la somme de deux fractions :

(et c'est vrai, si on ramène ce que j'ai obtenu à un dénominateur commun, on retrouvera notre fraction initiale) :

Wow! Il s'avère à nouveau relation inverse, seulement maintenant un numéro lui est ajouté.
Cette méthode nous sera très utile plus tard lors du tracé de graphiques.

Et maintenant, amenez indépendamment les expressions sous la forme d'une relation inverse:

Réponses:

2. Ici, vous devez vous rappeler comment trinôme carré est factorisé (cela est décrit en détail dans la rubrique ""). Permettez-moi de vous rappeler que pour cela, vous devez trouver les racines du correspondant équation quadratique: . Je vais les trouver verbalement en utilisant le théorème de Vieta : , . Comment c'est fait? Vous pouvez l'apprendre en lisant le sujet.
Donc, on obtient : , donc :

3. Avez-vous déjà essayé de le résoudre vous-même ? Quel est le piège? Sûrement dans le fait que nous avons au numérateur et au dénominateur - juste. Ce n'est pas un problème. Nous devrons réduire de, donc le numérateur doit être sorti des parenthèses (pour qu'il s'avère entre parenthèses sans coefficient):

Tracé inverse

Comme toujours, commençons par le cas le plus simple : .
Faisons un tableau :

Dessinez des points sur le plan de coordonnées :

Maintenant, ils doivent être connectés en douceur, mais comment ? On peut voir que les points dans les parties droite et gauche forment des lignes courbes apparemment sans rapport. C'est comme ça. Le graphique ressemblera à ceci :

Ce tableau s'appelle "hyperbole"(il y a quelque chose de similaire à "parabole" dans ce nom, non ?). Comme une parabole, une hyperbole a deux branches, seulement elles ne sont pas reliées entre elles. Chacun d'eux tend à se rapprocher des axes par ses extrémités, mais ne les atteint jamais. Si vous regardez la même hyperbole de loin, vous obtenez l'image suivante :

C'est compréhensible : puisque le graphique ne peut pas traverser l'axe. Mais aussi, pour que le graphique ne touche jamais l'axe.

Eh bien, voyons maintenant ce que les coefficients affectent. Considérez ces fonctions :
:

Waouh, quelle beauté !
Tous les graphiques sont construits Couleurs différentes pour les différencier plus facilement.

Alors, à quoi prêtons-nous attention en premier lieu ? Par exemple, si la fonction comporte un signe moins avant la fraction, le graphique est inversé, c'est-à-dire qu'il s'affiche symétriquement autour de l'axe.

Deuxièmement : plus le nombre au dénominateur est grand, plus le graphique "s'éloigne" de l'origine.

Mais que se passe-t-il si la fonction semble plus compliquée, par exemple, ?

Dans ce cas, l'hyperbole sera exactement la même que celle habituelle, seulement elle se décalera un peu. Réfléchissons, où ?

Qu'est-ce qui ne peut pas être égal maintenant ? À droite, . Cela signifie que le graphique n'atteindra jamais une ligne droite. Qu'est-ce qui ne peut pas être égal ? À présent. Cela signifie que maintenant le graphique tendra vers une ligne droite, mais ne la croisera jamais. Donc, maintenant, les lignes droites et jouent le même rôle que les axes de coordonnées jouent pour la fonction. De telles lignes sont appelées asymptotes(lignes vers lesquelles le graphique tend mais n'atteint pas):

Nous en apprendrons plus sur la façon dont ces graphiques sont construits dans le sujet.

Et maintenant essayez de résoudre quelques exemples pour consolider :

1. La figure montre un graphique de fonction. Déterminer.

2. La figure montre un graphique de fonction. Déterminer

3. La figure montre un graphique de fonction. Déterminer.

4. La figure montre un graphique de fonction. Déterminer.

5. La figure montre les graphiques des fonctions et.

Choisissez le bon rapport :

Réponses:

Relation inverse dans la vie

Où rencontre-t-on une telle fonction en pratique ? Il existe de nombreux exemples. Le plus courant est le mouvement : plus la vitesse à laquelle nous nous déplaçons est grande, moins nous avons besoin de temps pour parcourir la même distance. En effet, rappelons la formule de la vitesse : , où est la vitesse, est le temps de parcours, est la distance (chemin).

De là, nous pouvons exprimer le temps :

Exemple:

Une personne se rend au travail à une vitesse moyenne de km/h, et arrive en une heure. Combien de minutes passera-t-il sur la même route s'il roule à une vitesse de km/h ?

Solution:

En général, vous avez déjà résolu de tels problèmes en 5e et 6e année. Avez-vous fait la proportion?

Autrement dit, le concept de proportionnalité inverse vous est déjà parfaitement familier. C'est ce dont ils se souvenaient. Et maintenant la même chose, seulement de manière adulte : à travers une fonction.

Fonction (c'est-à-dire dépendance) du temps en minutes sur la vitesse :

On sait qu'alors :

Besoin de trouver:

Trouvez maintenant quelques exemples tirés de la vie où il y a une proportionnalité inverse.
A inventé? Bravo si oui. Bonne chance!

DÉPENDANCE INVERSE. EN BREF SUR LE PRINCIPAL

1. Définition

Une fonction qui décrit la relation inverse est une fonction de la forme où.

D'une autre manière, cette fonction est appelée proportionnalité inverse, car une augmentation de l'argument entraîne une diminution proportionnelle de la fonction.

ou, ce qui revient au même,

Le graphique de relation inverse est une hyperbole.

2. Coefficients, et.

Responsable de "pente" et la direction du graphique: plus ce coefficient est grand, plus l'hyperbole est éloignée de l'origine et, par conséquent, elle "tourne" moins brusquement (voir figure). Le signe du coefficient affecte les trimestres dans lesquels se situe le graphique :

• si, alors les branches de l'hyperbole sont situées dans et quarts;
• si, alors dans et.

x=a est asymptote verticale, c'est-à-dire la verticale vers laquelle tend le graphique.

Le nombre est responsable du déplacement du graphique de la fonction d'un montant si , et du déplacement vers le bas si .

Dès lors, il est asymptote horizontale.